中等圆锥曲线综合大题学生版教学文案

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圆锥曲线的综合问题(答案版)讲课教案

圆锥曲线的综合问题【考纲要求】1．考查圆锥曲线中的弦长问题、直线与圆锥曲线方程的联立、根与系数的关系、整体代入和设而不求的思想．2．高考对圆锥曲线的综合考查主要是在解答题中进行，考查函数、方程、不等式、平面向量等在解决问题中的综合运用．【复习指导】本讲复习时，应从“数”与“形”两个方面把握直线与圆锥曲线的位置关系．会判断已知直线与曲线的位置关系(或交点个数)，会求直线与曲线相交的弦长、中点、最值、定值、点的轨迹、参数问题及相关的不等式与等式的证明问题．【基础梳理】1．直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程Ax ＋By ＋C ＝0(A 、B 不同时为0)代入圆锥曲线C 的方程F (x ，y )＝0，消去y (也可以消去x )得到一个关于变量x (或变量y )的一元方程．即⎩⎨⎧==++0),(0y x F c By Ax ,消去y 后得02=++c bx ax(1)当0≠a 时，设方程02=++c bx ax 的判别式为Δ，则Δ＞0⇔直线与圆锥曲线C 相交；Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C 相切；Δ＜0⇔直线与圆锥曲线C 无公共点．(2)当0=a ，0≠b 时，即得一个一次方程，则直线l 与圆锥曲线C 相交，且只有一个交点，此时，若C 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C 为抛物线，则直线l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行． 2．圆锥曲线的弦长(1)定义：直线与圆锥曲线相交有两个交点时，这条直线上以这两个交点为端点的线段叫做圆锥曲线的弦(就是连接圆锥曲线上任意两点所得的线段)，线段的长就是弦长． (2)圆锥曲线的弦长的计算设斜率为k (k ≠0)的直线l 与圆锥曲线C 相交于A ，B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝]4))[(1(212212x x x x k -++=ak ∆⋅+21=1＋1k2·|y 1－y 2|.(抛物线的焦点弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2θ，θ为弦AB 所在直线的倾斜角)． 3、一种方法点差法：在求解圆锥曲线并且题目中交代直线与圆锥曲线相交和被截的线段的中点坐标时，设出直线和圆锥曲线的两个交点坐标，代入圆锥曲线的方程并作差，从而求出直线的斜率，然后利用中点求出直线方程．“点差法”的常见题型有：求中点弦方程、求(过定点、平行弦)弦中点轨迹、垂直平分线问题．必须提醒的是“点差法”具有不等价性，即要考虑判别式Δ是否为正数． 4、一条规律“联立方程求交点，根与系数的关系求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”双基自测1．直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系为( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定解：y ＝kx －k ＋1＝k (x －1)＋1过定点(1,1)，点在椭圆内部，故线与椭圆相交．答案A 2．“直线与双曲线相切”是“直线与双曲线只有一个公共点”的( )．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：与渐近线平行的直线也与双曲线有一个公共点．答案 A3．已知以F 1(－2,0)，F 2(2,0)为焦点的椭圆与直线x ＋3y ＋4＝0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为( )．A ．3 2B ．2 6C ．27D ．4 2解析：根据题意设椭圆方程为x 2b 2＋4＋y 2b2＝1(b ＞0)，则将x ＝－3y －4代入椭圆方程，得4(b 2＋1)y 2＋83b 2y －b 4＋12b 2＝0，∵椭圆与直线x ＋3y ＋4＝0有且仅有一个交点，∴Δ＝(83b 2)2－4×4(b 2＋1)·(－b 4＋12b 2)＝0，即(b 2＋4)(b 2－3)＝0，∴b 2＝3，长轴长为2b 2＋4＝27. 答案 C4．已知双曲线E 的中心为原点，F (3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，则E 的方程为( )．A.x 23－y 26＝1B.x 24－y 25＝1C.x 26－y 23＝1D.x 25－y 24＝1解析设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，由题意知c ＝3，a 2＋b 2＝9，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-11222222221221b y a x by a x ，两式作差得：y 1－y 2x 1－x 2＝b 2x 1＋x 2a 2y 1＋y 2＝－12b 2－15a 2＝4b 25a 2，又AB 的斜率是－15－0－12－3＝1，所以将4b 2＝5a 2代入a 2＋b 2＝9得a 2＝4，b 2＝5，所以双曲线的标准方程是x 24－y 25＝1. 答案 B5．y ＝kx ＋2与y 2＝8x 有且仅有一个公共点，则k 的取值为________．解析:由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，y 2＝8x ，得ky 2－8y ＋16＝0，若k ＝0，则y ＝2；若k ≠0，则Δ＝0，即64－64k ＝0，解得k ＝1.故k ＝0或k ＝1.答案 0或1【考向探究导析】考向一直线与圆锥曲线的位置关系【例1】(2011·合肥模拟)设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是( )． A.]21,21[-B ．[－2,2]C ．[－1,1]D ．[－4,4] [审题视点] 设直线l 的方程，将其与抛物线方程联立，利用Δ≥0解得．解析由题意得Q (－2,0)．设l 的方程为y ＝k (x ＋2)，代入y 2＝8x 得k 2x 2＋4(k 2－2)x ＋4k2＝0，∴当k ＝0时，直线l 与抛物线恒有一个交点；当k ≠0时，Δ＝16(k 2－2)2－16k 4≥0，即k 2≤1，∴－1≤k ≤1，且k ≠0，综上－1≤k ≤1.答案 C研究直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为研究直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组解的个数，但对于选择、填空题，常充分利用几何条件，利用数形结合的方法求解．【训练1】若直线mx ＋ny ＝4与⊙O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆 x 29＋y 24＝1的交点个数是( )．A ．至多为1 B ．2 C ．1 D ．0 解：由题意知：4m 2＋n 2＞2，即m 2＋n 2＜2，∴点P (m ，n )在椭圆x 29＋y 24＝1的内部，故所求交点个数是2个．答案 B考向二弦长及中点弦问题【例2】若直线l 与椭圆C ：x 23＋y 2＝1交于A 、B 两点，坐标原点O 到直线l 的距离为32，求△AOB 面积的最大值．[审题视点] 联立直线和椭圆方程，利用根与系数关系后代入弦长公式，利用基本不等式求出弦长的最大值即可．解设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．(1)当AB ⊥x 轴时，|AB |＝3； (2)当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m .由已知，得|m |1＋k2＝32，即m 2＝34(k 2＋1)．把y ＝kx ＋m 代入椭圆方程，整理，得(3k 2＋1)x 2＋6kmx ＋3m 2－3＝0. ∴x 1＋x 2＝－6km 3k 2＋1，x 1x 2＝3m 2－13k 2＋1. ∴|AB |2＝(1＋k 2)(x 2－x 1)2＝(1＋k 2)·⎣⎢⎡⎦⎥⎤36k 2m 23k 2＋12－12m 2－13k 2＋1＝12k 2＋13k 2＋1－m 23k 2＋12＝3k 2＋19k 2＋13k 2＋12＝3＋12k29k 4＋6k 2＋1. 当k ≠0时，上式＝3＋129k 2＋1k2＋6≤3＋122×3＋6＝4，当9k 2＝1k 2，即k ＝±33时等号成立．此时|AB |＝2；当k ＝0时，|AB |＝3，综上所述|AB |max ＝2.∴当|AB |最大时，△AOB 面积取最大值S max ＝12×|AB |max ×32＝32.当直线(斜率为k )与圆锥曲线交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)时，则|AB |＝1＋k 2·|x 1－x 2|＝1＋1k2|y 1－y 2|，而|x 1－x 2|＝x 1＋x 22－4x 1x 2，可根据直线方程与圆锥曲线方程联立消元后得到的一元二次方程，利用根与系数的关系得到两根之和、两根之积的代数式，然后再进行整体代入求解．【训练2】椭圆ax 2＋by 2＝1与直线x ＋y －1＝0相交于A ，B 两点，C 是AB 的中点，若 AB ＝22，OC 的斜率为22，求椭圆的方程．法一：设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，代入椭圆方程作差a (x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋b (y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0.而y 1－y 2x 1－x 2＝－1，y 1＋y 2x 1＋x 2＝k oc ＝22，代入上式可得b ＝2a ，再由|AB |＝1＋k 2|x 2－x 1|＝ 2|x 2－x 1|＝22，其中x 1、x 2是方程(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0的两根，故⎝ ⎛⎭⎪⎫2b a ＋b 2－4·b －1a ＋b ＝4，将b ＝2a 代入得a ＝13，∴b ＝23.∴椭圆的方程是x 23＋2y 23＝1. 法二由⎩⎪⎨⎪⎧ax 2＋by 2＝1，x ＋y ＝1，得(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0，设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则|AB |＝k 2＋1x 1－x 22＝2·4b 2－4a ＋bb －1a ＋b2.∵|AB |＝22，∴a ＋b －ab a ＋b ＝1.① ，设C (x ，y )，则x ＝x 1＋x 22＝b a ＋b ，y ＝1－x ＝aa ＋b ，∵OC 的斜率为22，∴a b ＝22.代入①，得a ＝13，b ＝23.∴椭圆方程为x 23＋23y 2＝1.考向三圆锥曲线中的定点定值问题常见的类型(1)直线恒过定点问题；(2)动圆恒过定点问题；(3)探求定值问题；(4)证明定值问题．例3、(2011·山东)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x23＋y 2＝1.如图所示，斜率为k (k ＞0)且不过原点的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，线段AB 的中点为E ，射线OE 交椭圆C于点G ，交直线x ＝－3于点D (－3，m )．(1)求m 2＋k 2的最小值； (2)若|OG |2＝|OD |·|OE |，求证：直线l 过定点． (1)解：设直线l 的方程为y ＝kx ＋t (k ＞0)，由题意，t ＞0.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋t ，x 23＋y 2＝1，得(3k 2＋1)x 2＋6ktx ＋3t 2－3＝0.由题意Δ＞0，所以3k 2＋1＞t 2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由根与系数的关系得x 1＋x 2＝－6kt3k 2＋1，所以y 1＋y 2＝2t 3k 2＋1.由于E 为线段AB 的中点，因此x E ＝－3kt 3k 2＋1，y E ＝t3k 2＋1，此时k OE ＝y E x E ＝－13k .所以OE 所在直线方程为y ＝－13k x ，又由题设知D (－3，m )，令x ＝－3，得m ＝1k，即mk ＝1，所以m 2＋k 2≥2mk ＝2，当且仅当m ＝k ＝1时上式等号成立，此时由Δ＞0得0＜t ＜2，因此当m ＝k ＝1且0＜t ＜2时，m 2＋k 2取最小值2.(2)证明由(1)知OD 所在直线的方程为y ＝－13kx ，将其代入椭圆C 的方程，并由k ＞0，解得G ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3k 3k 2＋1，13k 2＋1.又E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3kt3k 2＋1，t 3k 2＋1，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，1k ，由距离公式及t ＞0得 |OG |2＝⎝⎛⎭⎪⎫－3k 3k 2＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13k 2＋12＝9k 2＋13k 2＋1，|OD |＝－32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 2＝9k 2＋1k ， |OE |＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3kt 3k 2＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫t 3k 2＋12＝t 9k 2＋13k 2＋1，由|OG |2＝|OD |·|OE |得t ＝k ，因此直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，所以直线l 恒过定点(－1,0)．【训练3】椭圆有两顶点A (－1,0)、B (1,0)，过其焦点F (0,1)的直线l 与椭圆交于C 、D 两点，并与x 轴交于点P .直线AC 与直线BD 交于点Q . (1)当|CD |＝322时，求直线l 的方程．(2)当点P 异于A 、B 两点时，求证：O P →·O Q →为定值． [审题视点] (1)设出直线方程与椭圆方程联立．利用根与系数的关系和弦长公式可求出斜率从而求出直线方程；(2)关键是求出Q 点坐标及其与P 点坐标的关系，从而证得OP →·OQ →为定值．证明过程中要充分利用已知条件进行等价转化．(1)解:因椭圆焦点在y 轴上，设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，由已知得b ＝1，c ＝1，所以a ＝2，椭圆方程为y 22＋x 2＝1.直线l 垂直于x 轴时与题意不符．设直线l 的方程为y ＝kx ＋1，将其代入椭圆方程化简得(k 2＋2)x 2＋2kx －1＝0. 设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2k k 2＋2，x 1·x 2＝－1k 2＋2，|CD |＝k 2＋1·x 1＋x 22－4x 1x 2＝22k 2＋1k 2＋2，由已知得22k 2＋1k 2＋2＝322，解得k ＝±2，所以直线l 的方程为y ＝2x ＋1或y ＝－2x ＋1. (2)证明直线l 与x 轴垂直时与题意不符．设直线l 的方程为y ＝kx ＋1(k ≠0且k ≠±1)，所以P 点坐标为]0,1[k-，设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，由(1)知x 1＋x 2＝－2k k 2＋2，x 1·x 2＝－1k 2＋2，直线AC 的方程为y ＝y 1x 1＋1(x ＋1)，直线BD 的方程为y ＝y 2x 2－1(x －1)，将两直线方程联立，消去y 得x ＋1x －1＝y 2x 1＋1y 1x 2－1，因为－1＜x 1，x 2＜1，所以x ＋1x －1与y 2y 1异号．⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －12＝y 22x 1＋12y 21x 2－12＝2－2x 222－2x 21·x 1＋12x 2－12＝1＋x 11＋x 21－x 11－x 2＝1＋－2k k 2＋2＋－1k 2＋21－－2k k 2＋2＋－1k 2＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k －1k ＋12.又y 1y 2＝k 2x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝21－k1＋k k 2＋2＝－21＋k 2k 2＋2·k －1k ＋1， ∴k －1k ＋1与y 1y 2异号，x ＋1x －1与k －1k ＋1同号，∴x ＋1x －1＝k －1k ＋1，解得x ＝－k . 因此Q 点坐标为(－k ，y 0)．O P →·O Q →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ，0·()－k ，y 0＝1.故O P →·O Q →为定值．[训练4](2012年高考福建卷)如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F 1，右焦点为F 2，离心率e ＝12.过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点，且△ABF 2的周长为8.(1)求椭圆E 的方程； (2)设动直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆E 有且只有一个公共点P ，且与直线x ＝4相交于点Q .试探究：在坐标平面内是否存在定点M ，使得以PQ 为直径的圆恒过点M ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．[解析] (1)因为|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝8，即|AF 1|＋|F 1B |＋|AF 2|＋|BF 2|＝8.又|AF 1|＋|AF 2|＝|BF 1|＋|BF 2|＝2a ，所以4a ＝8，a ＝2.又因为e ＝12，即c a ＝12，所以c ＝1，所以b ＝a 2－c 2＝ 3.故椭圆E 的方程是x 24＋y 23＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 23＝1，消去y 得(4k 2＋3)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0.因为动直线l 与椭圆E 有且只有一个公共点P (x 0，y 0)，所以m ≠0且Δ＝0，即64k 2m 2－4(4k 2＋3)(4m 2－12)＝0，化简得4k 2－m 2＋3＝0.(*)所以P (－4k m ，3m)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝kx ＋m ，得Q (4，4k ＋m ) 假设平面内存在定点M 满足条件，由图形对称性知，点M 必在x 轴上．设M (x 1，0)，则0MP MQ ⋅=u u u r u u u u r对满足(*)式的m ，k 恒成立．因为MP u u u r =(－4k m－x 1，3m)，MQ u u u u r =(4－x 1，4k ＋m )，由0MP MQ ⋅=u u u r u u u u r ，得－16k m ＋4kx 1m －4x 1＋x 21＋12k m ＋3＝0，整理，得(4x 1－4)k m＋x 21－4x 1＋3＝0. (* *)由于(* *)式对满足(*)式的m ，k 恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧4x 1－4＝0，x 21－4x 1＋3＝0，解得x 1＝1.故存在定点M (1，0)，使得以PQ 为直径的圆恒过点M .【训练5】已知抛物线y 2＝4x ，圆F ：(x －1)2＋y 2＝1，过点F 作直线l ，自上而下顺次与上述两曲线交于点A ，B ，C ，D (如图所示)，则|AB |·|CD |的值正确的是( )A ．等于1B ．最小值是1C ．等于4D ．最大值是4解析：设直线l ：x ＝ty ＋1，代入抛物线方程，得y 2－4ty －4＝0.设A (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，由抛物线定义AF ＝x 1＋1，DF ＝x 2＋1，故|AB |＝x 1，|CD |＝x 2，故|AB |·|CD |＝x 1x 2＝y 214·y 224＝（y 1y 2）216，而y 1y 2＝－4，代入上式，得|AB |·|CD |＝1.故选A.考向四最值与范围问题1．求参数范围的方法：据已知条件建立等式或不等式的函数关系，再求参数范围． 2．求最值问题的方法(1)几何法：题目中给出的条件有明显的几何特征，则考虑用图象来解决；(2)代数法：题目中给出的条件和结论几何特征不明显则可以建立目标函数，再求这个函数的最值，求最值的常见方法是判别式法、基本不等式法，单调性法等．例4、已知椭圆x 22＋y 2＝1的左焦点为F ，O 为坐标原点． (1)求过点O 、F ，并且与直线l ：x ＝－2相切的圆的方程； (2)设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ，求点G 横坐标的取值范围．[审题视点] (1)求出圆心和半径，得出圆的标准方程； (2)设直线AB 的点斜式方程，由已知得线段AB 的垂直平分线方程，利用求值域的方法求解．解 (1)∵22=a ，12=b ，∴1=c ，F (－1,0)，∵圆过点O ，F ，∴圆心M 在直线x ＝－12上．设M ),21(t -，则圆半径r ＝23)2()21(=---，由|OM |＝r ，得23)21(22=+-t ，解得t＝±2，∴所求圆的方程为49)2()21(22=±++y x(2)设直线AB 方程为y ＝k (x ＋1)(k ≠0)，代入x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0.∵直线AB 过椭圆的左焦点F 且不垂直于x 轴，∴方程有两个不等实根．如图，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 中点N (x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝－4k 22k 2＋1，x 0＝12(x 1＋x 2)＝－2k 22k 2＋1，y 0＝k (x 0＋1)＝k 2k 2＋1，∴AB 的垂直平分线NG 的方程为y －y 0＝－1k(x －x 0)．令y ＝0，得x G ＝x 0＋ky 0＝－2k 22k 2＋1＋k 22k 2＋1＝－k 22k 2＋1＝－12＋14k 2＋2，∵k ≠0，∴－12＜x G ＜0，∴点G 横坐标的取值范围为)0,21(-【训练6】已知过点A (－4,0)的动直线l 与抛物线G ：x 2＝2py (p ＞0)相交于B 、C 两点．当直线l 的斜率是12时，AC →＝4AB →.(1)求抛物线G 的方程；(2)设线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为b ，求b 的取值范围．解 (1)设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，当直线l 斜率是12时,l 方程为y ＝12(x ＋4)，即x ＝2y －4.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2py ，x ＝2y －4得2y 2－(8＋p )y ＋8＝0，∴⎪⎩⎪⎨⎧+=+=②①2842121py y y y 又∵AC →＝4AB →，∴y 2＝4y 1③,由①②③及p ＞0得：y 1＝1，y 2＝4，p ＝2，得抛物线G 方程为x 2＝4y .(2)设l :y ＝k (x ＋4)，BC 中点为(x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，y ＝k x ＋4得x 2－4kx －16k ＝0，④∴x 0＝x C ＋x B2＝2k ，y 0＝k (x 0＋4)＝2k 2＋4k .∴线段BC 中垂线为y －2k 2－4k ＝－1k(x －2k )，∴线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为：b ＝2k 2＋4k ＋2＝2(k ＋1)2，对于方程④，由Δ＝16k 2＋64k ＞0得k ＞0或k ＜－4.∴b ∈(2，＋∞)．[训练7]已知抛物线y 2＝2px (p ≠0)上存在关于直线x ＋y ＝1对称的相异两点，则实数p 的取值范围为( )A ．(－23，0)B ．(0，23)C ．(－32，0)D ．(0，32)解析：设抛物线上关于直线x ＋y ＝1对称的两点是M (x 1，y 1)、N (x 2，y 2)，设直线MN 的方程为y ＝x ＋b .将y ＝x ＋b 代入抛物线方程，得x 2＋(2b －2p )x ＋b 2＝0，则x 1＋x 2＝2p －2b ，y 1＋y 2＝(x 1＋x 2)＋2b ＝2p ，则MN 的中点P 的坐标为(p －b ，p )．因为点P 在直线x ＋y ＝1上，所以2p －b ＝1，即b ＝2p －1.又Δ＝(2b －2p )2－4b 2＝4p 2－8bp >0，将b ＝2p －1代入得4p 2－8p (2p －1)>0，即3p 2－2p <0，解得0<p <23.考向五探索性问题【问题研究】解析几何中探索性问题的结论往往不明确，需要根据已知条件通过推理论证或是计算对结论作出明确的肯定或是否定，因此解决起来具有较大的难度．【解决方案】明确这类问题的解题思想：即假设其结论成立、存在等，在这个假设下进行推理论证，如果得到了一个合情合理的推理结果，就肯定假设，对问题作出正面回答，如果得到一个矛盾的结果，就否定假设，对问题作出反面回答．[例5】已知一条曲线C 在y 轴右边，C 上每一点到点F (1,0)的距离减去它到y 轴距离的差都是1. (1)求曲线C 的方程；(2)是否存在正数m ，对于过点M (m,0)且与曲线C 有两个交点A ，B 的任一直线，都有 FA →·FB →＜0？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．解：(1)设P (x ，y )是C 上任意一点，那么点P (x ，y )满足：x －12＋y 2－x ＝1(x ＞0)．化简得y 2＝4x (x ＞0)．(2)设过点M (m,0)(m ＞0)的直线l 与曲线C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．设l 的方程为x ＝ty ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋m ，y 2＝4x ，得y 2－4ty －4m ＝0，Δ＝16(t 2＋m )＞0，于是⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4m .①又FA →＝(x 1－1，y 1)，FB →＝(x 2－1，y 2)．FA →·FB →＜0⇔(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＋y 1y 2＜0.②又x ＝y 24，于是不等式②等价于y 214·y 224＋y 1y 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫y 214＋y 224＋1＜0⇔y 1y 2216＋y 1y 2－14[(y 1＋y 2)2－2y 1y 2]＋1＜0，③，由①式，不等式③等价于m 2－6m ＋1＜4t 2，④对任意实数t,4t 2的最小值为0，所以不等式④对于一切t 成立等价于m 2－6m ＋1＜0，即3－22＜m ＜3＋22，由此可知，存在正数m ，对于过点M (m,0)且与曲线C 有两个交点A ，B 的任一直线，都有FA →·FB →＜0，且m 的取值范围是(3－22，3＋22)．【训练8】(2012年高考广东卷)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的离心率e ＝23，且椭圆C 上的点到点Q (0，2)的距离的最大值为3. (1)求椭圆C 的方程； (2)在椭圆C 上，是否存在点M (m ，n )，使得直线l ：mx ＋ny ＝1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于不同的两点A 、B ，且△OAB 的面积最大？若存在，求出点M 的坐标及对应的△OAB 的面积；若不存在，请说明理由．[解析] (1)∵e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝23，∴a 2＝3b 2，∴椭圆方程为x 23b 2＋y 2b 2＝1，即x 2＋3y 2＝3b 2.设椭圆上的点到点Q (0，2)的距离为d ，则d ＝（x －0）2＋（y －2）2＝x 2＋（y －2）2＝3b 2－3y 2＋（y －2）2＝－2（y ＋1）2＋3b 2＋6，∴当y ＝－1时，d 取得最大值，d max ＝3b 2＋6＝3，解得b 2＝1，∴a 2＝3.∴椭圆C 的方程为x 23＋y 2＝1.(2)假设存在点M (m ，n )满足题意，则m 23＋n 2＝1，即m 2＝3－3n 2.设圆心到直线l 的距离为d ′，则d ′<1，d ′＝|m ·0＋n ·0－1|m 2＋n 2＝1m 2＋n 2.∴|AB |＝212－d ′2＝21－1m 2＋n 2.∴S △OAB ＝12|AB |d ′＝12·21－1m 2＋n 2·1m 2＋n 2＝1m 2＋n 2（1－1m 2＋n 2）.∵d ′<1，∴m 2＋n 2>1，∴0<1m 2＋n 2<1，∴1－1m 2＋n 2>0. ∴S △OAB ＝1m 2＋n 2（1－1m 2＋n 2）≤ ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1m 2＋n 2＋1－1m 2＋n 222＝12，当且仅当1m 2＋n 2＝1－1m 2＋n 2，即m 2＋n 2＝2>1时，S △OAB 取得最大值12.由⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋n 2＝2，m 2＝3－3n2得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＝32，n 2＝12，∴存在点M 满足题意，M 点坐标为(62，22)，(62，－22)，(－62，22)或(－62，－22)，此时△OAB 的面积为12.。

圆锥曲线大题教案

直线和椭圆相交问题直线与椭圆的位置关系判断方法：位置关系直线与椭圆交点个数方程解的个数的取值相交个解相切个解相离个解直线与椭圆的位置关系直线与椭圆的公共点直线与椭圆方程联立方程组解个数当为何值时，直线：与椭圆：相切、相交、相离．圆锥曲线大题1已知椭圆C：，直线l：y=kx+1（k≠0）与椭圆C相交于A，B两点，D为AB的中点．若直线l与直线OD（O为坐标原点）的斜率之积为，求椭圆..的方程；设而不求第一步1、直线与圆锥曲线相交，满足一个关系式，22221x y a b +=设直线方程m kx y +=代入22221x y a b +=得=+21x x =21.x x =-21x x 用m kx y +=可得=+21y y =21.y y =-21y y第二步列出关系式第三步将关系式化为用=+21x x =21.x x =-21x x=+21y y=21.y y =-21y y 表达的式子，然后再代入。

2、过椭圆14922=+y x 内一点()1,1P 作弦AB ，若PB AP =，则直线AB 的方程为3、如图，点P（0，﹣1）是椭圆的一个顶点，C1的长轴是圆的直径．l1，l2是过点P且互相垂直的两条直线，其中斜率为k的直线l1交圆C2于A，B两点，l2交椭圆C1于另一点D （1）求椭圆C1的方程；（2）试用k表示△ABD的面积S；（3）求△ABD面积S取最大值时直线l1的方程．二、定值问题1、设椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率12e =,右焦点到直线1x ya b+=的距离217d =,O 为坐标原点.(Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)过点O 作两条互相垂直的射线,与椭圆C 分别交于,A B 两点,证明点O 到直线AB 的距离为定值,并求出定值.三、定点问题1、如图，已知椭圆C ：+y 2=1（a ＞1）的上顶点为A ，离心率为，若不过点A 的动直线l 与椭圆C 相交于P ，Q 两点，且•=0．（1）求椭圆C的方程；（2）求证：直线l过定点，并求出该定点N的坐标．四、如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，两条准线之间的距离为4．（1）求椭圆的标准方程；（2）已知椭圆的左顶点为A，点M在圆x2+y2=上，直线AM与椭圆相交于另一点B，且△AOB的面积是△AOM的面积的2倍，求直线AB的方程．五、1.已知动圆过定点A(4,0)，且在y轴上截得弦MN的长为8.(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；抛物线p=4(2)已知点B(－1,0)，设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P，Q，若x轴是∠PBQ的角平分线，证明直线l过定点．2、已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的右焦点为（，0），离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线l与椭圆C相交于A，B两点，且以AB为直径的圆经过原点O，求证：点O到直线AB的距离为定值；3、设椭圆的中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，一个顶点为A（0，2），右焦点F到点的距离为2．（I）求椭圆的方程；（Ⅱ）设经过点（0，﹣3）的直线l与椭圆相交于不同两点M，N满足，试求直线l的方程．练习1、已知椭圆C=1（a＞b＞0）的短轴长为2，离心率为．直线l：y=kx+m 与椭圆C交于A，B两点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若线段AB的垂直平分线通过点，证明：2k2+1=2m；（3）在（2）的前提下，求△AOB（O为原点）面积的最大值2、过椭圆的右焦点F作两条相互垂直的直线分别交椭圆于A，B，C，D四点，则的值是否为定值？如果是，定值是多少？3.如图，曲线C由上半椭圆C1：y2a2＋x2b2＝1(a>b>0，y≥0)和部分抛物线C2：y＝－x2＋1(y≤0)连接而成，C1与C2的公共点为A，B，其中C1的离心率为3 2.(1)求a，b的值；(2)过点B的直线l与C1，C2分别交于点P，Q(均异于点A，B)，若AP⊥AQ，求直线l的方程．4、已知椭圆C与双曲线y2﹣x2=1有共同焦点，且离心率为．设A 为椭圆C的下顶点，M、N为椭圆上异于A的不同两点，且直线AM 与AN的斜率之积为﹣3①试问M、N所在直线是否过定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由；②若P点为椭圆C上异于M，N 的一点，且|MP|=|NP|，求△MNP的面积的最小值．5、已知点F为椭圆的左焦点，且两焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形，直线与椭圆E有且仅有一个交点M．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）设直线与y轴交于P，过点P的直线与椭圆E交于两不同点A，B，若λ|PM|2=|PA|•|PB|，求实数λ的取值范围．6.已知椭圆=1（a＞b＞0）经过点（，﹣），且椭圆的离心率e=．（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆的右焦点F作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于点A，C及B，D，设线段AC，BD的中点分别为P，Q．求证：直线PQ恒过一个定点．7、已知双曲线，椭圆C与双曲线有相同的焦点，两条曲线的离心率互为倒数．（1）求椭圆的方程；（2）椭圆C经过点M，点M的横坐标为2，平行于OM的直线l交椭圆于A、B两个不同点，求证：直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形．8.已知椭圆C中心在原点、焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点的最大值为3，最小值为1．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆交于不同的两点M、N（M、N不是左、右顶点），且以MN为直径的圆经过椭圆的右顶点A．求证：直线l过定点，并求出定点的坐标9.已知抛物线C：y2＝4x，点M(m,0)在x轴的正半轴上，过M的直线l与C相交于A，B两点，O为坐标原点．(1)若m＝1，且直线l的斜率为1，求以线段AB为直径的圆的方程；(2)问是否存在定点M，不论直线l绕点M如何转动，使得1|AM|2＋1|BM|2恒为定值作业1、已知椭圆C：+=1的内接平行四边形的一组对边分别经过其两个焦点（如图），则这个平行四边形面积的最大值为（）2、已知椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1和F2，点P （1，）在椭圆上，且△PF1F2的面积为．（1）求该椭圆的标准方程；（2）过该椭圆的左顶点A作两条相互垂直的直线分别与椭圆相交于不同于点A的两点M、N，证明：动直线MN恒过x轴上一定点．3.已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率，且点P（﹣2，0）在椭圆C上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知A、B为椭圆C上的动点，当PA⊥PB时，求证：直线AB恒过一个定点．并求出该定点的坐标．4、已知椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1和F2，点P （1，）在椭圆上，且△PF1F2的面积为．（1）求该椭圆的标准方程；（2）过该椭圆的左顶点A作两条相互垂直的直线分别与椭圆相交于不同于点A的两点M、N，证明：动直线MN恒过x轴上一定点．5、在直角坐标系xOy上取两个定点A1(－2,0)、A2(2,0)，再取两个动点N1(0，m)、N2(0，n)，且mn＝3.(1)求直线A1N1与A2N2交点的轨迹M的方程；(2)已知F2(1,0)，设直线l：y＝kx＋m与(1)中的轨迹M交于P、Q两点，直线F2P、F2Q的倾斜角为α、β，且α＋β＝π，求证：直线l过定点，并求该定点的坐标.6、已知椭圆，直线l与椭圆C相交于A、B两点，若以AB为直径的圆经过坐标原点．（1）证明：点O到直线AB的距离为定值7.椭圆的对称中心在坐标原点，一个顶点为A（0，2），右焦点F与点的距离为2，（1）求椭圆的方程；（2）斜率k≠0的直线l：y=kx﹣2与椭圆相交于不同的两点M，N满足|AM|=|AN|，求直线l的方程．8、已知点F1，F2分别为椭圆C：的左、右焦点，点P为椭圆上任意一点，P到焦点F2（1，0）的距离的最大值为+1．（1）求椭圆C的方程．（2）点M的坐标为（，0），过点F2且斜率为k的直线l与椭圆C相交于A，B两点．对于任意的k∈R，是否为定值？9、已知椭圆C ：（b ＞0），以椭圆C 的短轴为直径的圆O 经过椭圆C 左右两个焦点，A ，B 是椭圆C 的长轴端点．（1）求圆O 的方程和椭圆C 的离心率e ；（2）设P ，Q 分别是椭圆C 和圆O 上的动点（P ，Q 位于y 轴两侧），且直线PQ 与x 轴平行，直线AP ，BP 分别与y 轴交于点M ，N ，试判断MQ 与NQ 所在的直线是否互相垂直，若是，请证明你的结论；若不是，也请说明理由．10、在直角坐标系xoy 中，曲线C ：y ＝x 24与直线y ＝kx ＋a (a ＞0)交于M ，N 两点，y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM ＝∠OPN ？说明理由.11、已知椭圆C：（b＞0），以椭圆C的短轴为直径的圆O 经过椭圆C左右两个焦点，A，B是椭圆C的长轴端点．（1）求圆O的方程和椭圆C的离心率e；（2）设P，Q分别是椭圆C和圆O上的动点（P，Q位于y轴两侧），且直线PQ与x轴平行，直线AP，BP分别与y轴交于点M，N，试判断MQ与NQ所在的直线是否互相垂直，若是，请证明你的结论；若不是，也请说明理由．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率e ＝12，且经过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－32. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)如果斜率为12的直线EF 与椭圆交于两个不同的点E 、F ，试判断直线AE 、AF 的斜率之和是否为定值，若是请求出此定值；若不是，请说明理由．(3)试求三角形AEF 面积S 取得最大值时，直线EF 的方程．已知椭圆G 的离心率为，其短轴两端点为A （0，1），B （0，﹣1）．（Ⅰ）求椭圆G 的方程；（Ⅱ）若C 、D 是椭圆G 上关于y 轴对称的两个不同点，直线AC 、BD 与x 轴分别交于点M 、N ．判断以MN 为直径的圆是否过点A ，并说明理由．补充设椭圆E 的方程为+y 2=1（a ＞1），O 为坐标原点，直线l 与椭圆E 交于点A ，B ，M 为线段AB 的中点．（1）若A ，B 分别为E 的左顶点和上顶点，且OM 的斜率为﹣，求E 的标准方程；（2）若a=2，且|OM |=1，求△AOB 面积的最大值．已知椭圆方程为+y 2=1，点B （0，1）为椭圆的上顶点，直线l ：y=kx +m 交椭圆于P 、Q 两点，设直线PB ，QB 的斜率分别为k 1、k 2，且k 1k 2=1（1）求证：直线l 过定点M ，并求出点M 的坐标；（2）求△BPQ 面积的最大值．已知椭圆,22)0(1:2222=>>=+e b a by a x C 的离心率左、右焦点分别为F 1、F 2,点)3,2(P ,点F 2在线段PF 1的中垂线上.(1)求椭圆C 的方程;(2)设直线m kx y l +=:与椭圆C 交于M 、N 两点,直线F 2M 与F 2N 的倾斜角互补,求证:直线l 过定点,并求该定点的坐标.已知椭圆C ：的焦距为2c ，离心率为，圆O ：x 2+y 2=c 2，A 1，A 2是椭圆的左右顶点，AB 是圆O 的任意一条直径，△A 1AB 面积的最大值为2；（1）求椭圆C 及圆O 的方程；（2）若l 为圆O 的任意一条切线，l 与椭圆E 交于两点P ，Q ，求|PQ |的取值范围；设O 为坐标原点，椭圆C ：的左焦点为F ，离心率为．直线l ：y=kx +m （m ＞0）与C 交于A ，B 两点，AF 的中点为M ，|OM |+|MF |=5．（1）求椭圆C 的方程；（2）设点P （0，1），=﹣4，求证：直线l 过定点，并求出定点的坐标．已知椭圆的右顶点为A ，上顶点为B ，离心率，O 为坐标原点，圆与直线AB 相切．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）已知四边形ABCD 内接于椭圆E ，AB ∥DC ．记直线AC ，BD 的斜率分别为k 1，k 2，试问k 1•k 2是否为定值？证明你的结论．如图，曲线C由上半椭圆C1：y2a2＋x2b2＝1(a>b>0，y≥0)和部分抛物线C2：y＝－x2＋1(y≤0)连接而成，C1与C2的公共点为A，B，其中C1的离心率为3 2.(1)求a，b的值；(2)过点B的直线l与C1，C2分别交于点P，Q(均异于点A，B)，若AP⊥AQ，求直线l的方程．。

课题圆锥曲线综合教案(试讲用)

课题：解析几何综合题教学目的：1．使学生掌握圆锥曲线标准方程的求解2．使学生熟练联立方程组法，并能够合理分析题目，明确解题方向3．并使学生能利用相关知识进行相关的论证、计算、作双曲线的草图以及解决简单的实际问题4．通过教学使学生解决问题的能力得到进一步巩固和提高，“应用数学”的意识等到进一步锻炼的培养教学重点：圆锥曲线的标准方程求解及相关证明教学难点：联立方程组法的灵活应用和快速计算授课类型：复习巩固课课时安排：30分钟教学过程：一、复习引入联立方程组（设而不求六步走）①设点1122()()A x y B x y ，，，；②设直线方程m kx y +=（注意k 是否存在）③联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=12222b y ax m kx y 012)1(2222222=-+++b m b kmx x b k a ④判别式0∆≥或0∆>（2222222144()k m b ac a b a b ∆=-=+-） ⑤韦达定理ac x x a b x x =-=+2121， ⑥逆向思维求解师：同学们是否还记得我们上次课的解题模型“设而不求，六步走”和它的适用情况吗？生：设点、设直线、联立方程、判别式、韦达，它适用于直线与圆锥曲线方程综合性问题师：（非常好）那设直线有什么需要特别注意的吗？生：斜率的存在性，和设直线的技巧师：（非常好）斜率不存在，直线方程将是一条特殊的直线，垂直x 轴，当斜率存在时，需要注意是用点斜式还是斜截式。

师：那我们联立方程的过程有没有简便方法？生：有！巧妙口算，且分母打死不通分师：没错，就是快速口算......012)1(2222222=-+++bm b kmx x b k a 师：判别式呢？需要一直算ac b 42-=∆吗？生：不用，这里的判别式有特定的结构22222214()k m a b a b∆=+- 师：（非常好）有了六步走和这些解题技巧，我们就一定能够得分了吗？生：不能，我们还必须会分析题干，明确解题突破口师：对，分析很重要，正确的有条理性分析对我们的解题将会有事半功倍的效果师：为了，进一步提高同学们的解题分析能力，今天我们进一步讲解有别于这个解题模型，但又有一定关联性的题型。

圆锥曲线综合.板块七.相交弦问题.学生版普通高中数学复习讲义Word版

【例1】设F 是抛物线2:4G x y =的焦点．⑴过点(04)P -，作抛物线G 的切线，求切线方程；⑵设A 、B 为抛物线G 上异于原点的两点，且满足·0FA FB =，延长AF BF ，分别交抛物线G 于点C D ，，求四边形ABCD 面积的最小值．【例2】 P 、Q 、M 、N 四点都在椭圆2212y x +=上，F 为椭圆在y 轴正半轴上的焦点．已知PF 与FQ 共线，MF 与FN 共线，且0PF MF ⋅=．求四边形PMQN 的面积的最小值和最大值．【例3】已知椭圆22132x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ．过1F 的直线交椭圆于,B D 两点，过2F 的直线交椭圆于A C ，两点,且AC BD ⊥，垂足为P ．⑴设P 点的坐标为00()x y ，，证明：2200132x y +<；⑵求四边形ABCD 的面积的最小值．典例分析板块七.相交弦问题【例4】如图，椭圆22221x y a b+=上的点M 与椭圆右焦点2F 的连线2MF 与x 轴垂直，且OM（O 是坐标原点）与椭圆长轴和短轴端点的连线AB 平行．⑴求椭圆的离心率；⑵1F 是椭圆的左焦点，C 是椭圆上的任一点，证明：12π2FCF ∠≤； ⑶过2F 且与AB 垂直的直线交椭圆于P 、Q ，若1PFQ ∆的面积是，求此时椭圆的方程及PQ 的长．【例5】已知抛物线24x y =的焦点为F ，过焦点F 且不平行于x 轴的动直线l 交抛物线于A ，B 两点，抛物线在A 、B 两点处的切线交于点M ．⑴ 求证：A ，M ，B 三点的横坐标成等差数列；⑵ 设直线MF 交该抛物线于C ，D 两点，求四边形ACBD 面积的最小值．yxOMFDCBA【例7】已知动点P 到点(20)F ，的距离与它到直线1x =⑴求动点P 的轨迹方程；⑵设点P 的轨迹为曲线C ，过点F 作互相垂直的两条直线1l 、2l ，1l 交曲线C 于A 、B 两点，2l 交曲线C 于M 、N 两点．求证：11FA FB FM FN+⋅⋅为定值．【例8】已知动点M 到点()1,0F 的距离，等于它到直线1x =-的距离．⑴求点M 的轨迹C 的方程；⑵过点F 任意作互相垂直的两条直线12,l l ，分别交曲线C 于点,A B 和,M N ．设线段,AB MN 的中点分别为,P Q ，求证：直线PQ 恒过一个定点； ⑶在⑵的条件下，求FPQ ∆面积的最小值．。

高考数学讲义圆锥曲线综合.参考教案.学生版

【例1】 P 是以1F 、2F 为焦点的椭圆上一点，过焦点2F 作12F PF ∠外角平分线的垂线，垂足为M ，则点M 的轨迹是（） A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线【例2】已知P 为抛物线22(0)x py p =>上的动点，F 为抛物线的焦点，过F 作抛物线在P 点处的切线的垂线，垂足为G ，则点G 的轨迹方程为（） A ．222x y p +=B ．2p y =- C ．22224p p x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭D ．0y =【例3】已知定点(30)B ，，点A 在圆221x y +=上运动，M 是线段AB 上的一点，且13AM MB =u u u u r u u u r，则点M 的轨迹方程是___________．【例4】如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点M 在A 上，且13AM AB =，点P在平面ABCD 上，且动点P 到直线11A D 的距离的平方与P 到点M 的距离的平方差为1，在平面直角坐标系xAy 中，动点P 的轨迹方程是．ABC D P A 1B 1C 11M xy【例5】 AB 是圆O 的直径，且||2AB a =，M 为圆上一动点，作MN AB ⊥，垂足为N ，在OM 上取点P ，使||||OP MN =，求点P 的轨迹方程．【例6】已知A 、B 、D 三点不在一条直线上，且(20)A -，，(20)B ，，12()2AD AE AB AD ==+u u u r u u u r u u u r u u u r ，．①求点E 的轨迹方程；②过A 作直线交以A ，B 为焦点的椭圆于M ，N 两点，线段MN 的中点到y 轴圆锥曲线综合.参考教案的距离为45，且直线MN 与E 点的轨迹相切，求椭圆的方程．【例7】直线y kx =与圆2264100x y x y +--+=相交于两个不同点A B ，，当k 取不同实数值时，求AB 中点的轨迹方程．【例8】已知抛物线2:C y ax =，点(1,1)P -在抛物线C 上，过点P 作斜率为1k 、2k 的两条直线，分别交抛物线C 于异于点P 的两点11(,)A x y ，22(,)B x y ，且满足120k k +=．⑴求抛物线C 的焦点坐标；⑵若点M 满足BM MA =u u u u r u u u r，求点M 的轨迹方程．【例9】已知曲线2:C y x =与直线:20l x y -+=交于两点()，A A A x y 和()，B B B x y ，且A B x x <．记曲线C 在点A 和点B 之间那一段L 与线段AB 所围成的平面区域（含边界）为D ．设点()，P s t 是L 上的任一点，且点P 与点A 和点B 均不重合． ⑴若点Q 是线段AB 的中点，试求线段PQ 的中点M 的轨迹方程； ⑵若曲线22251:24025G x ax y y a -+-++=与D 有公共点，试求a 的最小值．【例10】长度为(0)a a >的线段AB 的两个端点A 、B 分别在x 轴和y 轴上滑动，点P 在线段AB 上，且AP PB λ=u u u r u u u r（λ为常数且0λ>）． ⑴求点P 的轨迹方程C ，并说明轨迹类型；⑵当2λ=时，已知直线1l 与原点O 的距离为2a，且直线1l 与轨迹C 有公共点，求直线1l 的斜率k 的取值范围．【例11】若直线y x b =+与曲线234y x x =--有公共点，则b 的取值范围是A ．1122⎡⎤-+⎣⎦，B ．122122⎡⎤-+⎣⎦，C ．1223⎡⎤-⎣⎦，D ．123⎡⎤-⎣⎦，【例12】下列命题正确的是（）A ．到两坐标轴的距离相等的点组成的直线方程是y x =B ．已知三点(20)A ，，(02)B ，，(00)C ，，ABC ∆的边AB 上的中线方程为y x = C ．到两坐标轴的距离的乘积是1的点的轨迹方程是1xy =±D ．到x 轴的距离等于1的点的轨迹方程是1y =【例13】已知以4T =为周期的函数21(11]()12(13]m x x f x x x ⎧-∈-⎪=⎨--∈⎪⎩，，，，其中0m >．若方程3()f x x =恰有5个实数解，则m 的取值范围为（） A ．1583⎫⎪⎪⎝⎭，B ．157⎝，C ．4833⎛⎫⎪⎝⎭，D ．473⎛ ⎝，【例14】设π02θ<<，曲线22sin cos 1x y θθ+=和22cos sin 1x y θθ-=有四个交点， ⑴求θ的范围；⑵证明：这四个交点共圆，并求该圆半径的取值范围．【例15】如图，曲线G 的方程为22(0)y x y =≥．以原点为圆心，以(0)t t >为半径的圆分别与曲线G 和y 轴的正半轴相交于点A 与点B ．直线AB 与x 轴相交于点C ． ⑴求点A 的横坐标a 与点C 的横坐标c 的关系式；⑵设曲线G 上点D 的横坐标为2a +，求证：直线CD 的斜率为定值．a+2a G:y 2=2xDCBAO yx【例16】设0a >且1a ≠，试求使方程222log ()log ()a a x ak x a -=-有解的k 的取值范围．【例17】过点(01)P ，且与抛物线22y x =只有一个公共点的直线方程为_______________________．【例18】若曲线22y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则切线l 的方程为（）A ．430x y ++=B ．490x y +-=C ．430x y -+=D ．420x y --=【例19】如图，P 是抛物线C ：212y x =上一点，直线l过点P 且与抛物线C 交于另一点Q ．⑴若直线l 与过点P 的切线垂直，求线段PQ 中点M 的轨迹方程；⑵若直线l 不过原点且与x 轴交于点S ，与y 轴交于点T ，试求ST ST SPSQ+的取值范围．OyxSl TMPQ【例20】已知椭圆22122:1(0)y x C a b a b+=>>的右顶点为(10)A ，，过1C 的焦点且垂直长轴的弦长为1．⑴求椭圆1C 的方程；⑵设点P 在抛物线22:()C y x h h =+∈R 上，2C 在点P 处的切线与1C 交于点M ，N ．当线段AP 的中点与MN 的中点的横坐标相等时，求h 的最小值．【例21】已知双曲线212xy -=的左、右顶点分别为1A ，2A ，点()11P x y ，，()11Q x y -，是双曲线上不同的两个动点．⑴ 求直线1A P 与2A Q 交点的轨迹E 的方程⑵ 若过点()0,h 的两条直线1l 和2l 与轨迹E 都只有一个交点，且12l l ⊥，求h 的值．【例22】已知椭圆()222210x y a b a b+=>>和圆O ：222x y b +=，过椭圆上一点P 引圆O 的两条切线，切点分别为,A B ．⑴（ⅰ）若圆O 过椭圆的两个焦点，求椭圆的离心率e ；（ⅱ）若椭圆上存在点P ，使得90APB ∠=︒，求椭圆离心率e 的取值范围．⑵设直线AB 与x 轴、y 轴分别交于点M ，N ，求证：2222a b ON OM+为定值．【例23】已知圆O ：222x y +=交x 轴于,A B 两点，曲线C 是以AB 2的椭圆，其左焦点为F ．若P 是圆O 上一点，连结PF ，过原点O 作直线PF 的垂线交直线2x =-于点Q ．⑴求椭圆C 的标准方程；⑵若点P 的坐标为(1,1)，求证：直线PQ 与圆O 相切．⑶试探究：当点P 在圆O 上运动时（不与,A B 重合），直线PQ 与圆O 是否保持相切的位置关系?若是，请证明；若不是，请说明理由．【例24】已知定点(10)A -，，(20)F ，，定直线12l x =∶，不在x 轴上的动点P 与点F 的距离是它到直线l 的距离的2倍．设点P 的轨迹为E ，过点F 的直线交E 于B 、C 两点，直线AB 、AC 分别交l 于点M 、N⑴求E 的方程；⑵试判断以线段MN 为直径的圆是否过点F ，并说明理由．【例25】已知椭圆Γ的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，点P 的坐标为()a b -，．⑴ 若直角坐标平面上的点M 、()0A b -，，()0B a ，满足()12PM PA PB =+u u u u r u u u r u u u r，求点M 的坐标；⑵ 设直线11:l y k x p =+交椭圆Γ于C 、D 两点，交直线22:l y k x =于点E ．若2122b k k a⋅=-，证明：E 为CD 的中点；⑶ 对于椭圆Γ上的点()cos sin (0π)Q a b θθθ<<，，如果椭圆Γ上存在不同的两个交点1P 、2P 满足12PP PP PQ +=u u u r u u u r u u u r ，写出求作点1P 、2P 的步骤，并求出使1P 、2P 存在的θ的取值范围．【例26】已知0p >，动点M 到定点F ,02p ⎛⎫⎪⎝⎭的距离比M 到定直线:l x p =-的距离小2p ． ⑴求动点M 的轨迹C 的方程； ⑵设,A B 是轨迹C 上异于原点O 的两个不同点，0OA OB ⋅=u u u r u u u r，求AOB ∆面积的最小值；⑶在轨迹C 上是否存在两点,P Q 关于直线():02p m y k x k ⎛⎫=-≠ ⎪⎝⎭对称？若存在，求出直线m 的方程，若不存在，说明理由．【例27】设双曲线C ：2221(0)x y a a-=>与直线:1l x y +=相交于两个不同的点A 、B ．⑴求双曲线C 的离心率e 的取值范围：⑵设直线l 与y 轴的交点为P ，且512PA PB =u u u r u u u r，求a 的值．【例28】椭圆C 的中心为坐标原点O ，焦点在y 轴上，离心率22e =，椭圆上的点到焦点的最短距离为1e -，直线l 与y 轴交于P 点()0m ，，与椭圆C 交于相异两点A 、B ，且AP PB λ=u u u r u u u r⑴求椭圆方程；⑵若4,OA OB OP m λ+=u u u r u u u r u u u r求的取值范围．【例29】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的短轴长为2，且与抛物线243y x =有共同的焦点，椭圆C 的左顶点为A ，右顶点为B ，点P 是椭圆C 上位于x 轴上方的动点，直线AP ，BP 与直线3y =分别交于,G H 两点．⑴求椭圆C 的方程；⑵求线段GH 的长度的最小值；⑶在线段GH 的长度取得最小值时，椭圆C 上是否存在一点T ，使得TPA △的面积为1，若存在求出点T 的坐标，若不存在，说明理由．【例30】在平面直角坐标系xOy 中，如图，已知椭圆22195x y +=的左、右顶点为A 、B ，右焦点为F ，设过点()T t m ，的直线TA 、TB 与此椭圆分别交于点()11M x y ，、()22N x y ，，其中0m >，10y >，20y <．⑴ 设动点P 满足224PF PB -=，求点P 的轨迹；⑵ 设12x =，213x =，求点T 的坐标；⑶ 设9t =，求证：直线MN 必过x 轴上的一定点（其坐标与m 无关）yxO FB A【例31】给定抛物线C ：24y x =，F 是C 的焦点，过点F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点．⑴设l 的斜率为1，求OA u u u r与OB u u u r 夹角的余弦值；⑵设FB AF λ=u u u r u u u r，若[49]λ∈，，求l 在y 轴上截距的变化范围．【例32】设F 是抛物线2:4G x y =的焦点．⑴过点(04)P -，作抛物线G 的切线，求切线方程；⑵设A 、B 为抛物线G 上异于原点的两点，且满足·0FA FB =u u u r u u u r，延长AF BF ，分别交抛物线G 于点C D ，，求四边形ABCD 面积的最小值．【例33】已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>经过点()0,1，过右焦点F 且不与x 轴重合的动直线l 交椭圆于A 、C 两点，当动直线l 的斜率为2时，坐标原点O 到l 的距离为255． ⑴ 求椭圆的方程；⑵ 过F 的另一直线交椭圆于B 、D 两点，且AC BD ⊥，当四边形ABCD 的面积169S =时，求直线l 的方程．。

圆锥曲线大题综合：五个方程型(学生版)

圆锥曲线大题综合归类：五个方程型目录重难点题型归纳 1【题型一】基础型 1【题型二】直线设为：x=ty+m型 4【题型三】直线无斜率不过定点设法：双变量型 7【题型四】面积最值 10【题型五】最值与范围型 13【题型六】定点：直线定点 15【题型七】定点：圆过定点 18【题型八】定值 21【题型九】定直线 23【题型十】斜率型：斜率和定 26【题型十一】斜率型：斜率和 29【题型十二】斜率型：斜率比 31【题型十三】斜率型：三斜率 34【题型十四】定比分点型：a=tb 36【题型十五】切线型 38【题型十六】复杂的“第六个方程” 41好题演练 45重难点题型归纳重难点题型归纳题型一基础型【典例分析】1已知椭圆x2a21+y2b21=1a1>b1>0与双曲线x2a22-y2b22=1a2>0,b2>0有共同的焦点，双曲线的左顶点为A-1,0，过A斜率为3的直线和双曲线仅有一个公共点A，双曲线的离心率是椭圆离心率的3倍.(1)求双曲线和椭圆的标准方程；(2)椭圆上存在一点P x P,y P-1<x P<0,y P>0，过AP的直线l与双曲线的左支相交于与A不重合的另一点B，若以BP为直径的圆经过双曲线的右顶点E，求直线l的方程.1已知F 是椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的一个焦点，过点P t ,b 的直线l 交C 于不同两点A ,B .当t =a ，且l 经过原点时，AB =6,AF +BF =22.(1)求C 的方程；(2)D 为C 的上顶点，当t =4，且直线AD ,BD 的斜率分别为k 1,k 2时，求1k 1+1k 2的值.题型二直线设为：x =ty +m 型【典例分析】1已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左､右焦点分别为F 1，F 2，右顶点为P ，点Q 0,b ，PF 2=1，∠F 1PQ =60°.(1)求双曲线C 的方程；(2)直线l 经过点F 2，且与双曲线C 相交于A ，B 两点，若△F 1AB 的面积为610，求直线l 的方程.1已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左焦点为F，右顶点为A，离心率为22，B为椭圆C上一动点，△FAB面积的最大值为2+1 2．(1)求椭圆C的方程；(2)经过F且不垂直于坐标轴的直线l与C交于M，N两点，x轴上点P满足PM=PN，若MN=λFP，求λ的值．题型三直线无斜率不过定点设法：双变量型【典例分析】1已知抛物线：y 2=2px p >0 ，过其焦点F 的直线与抛物线交于A 、B 两点，与椭圆x 2a 2+y 2=1a >1 交于C 、D 两点，其中OA ⋅OB =-3．(1)求抛物线方程；(2)是否存在直线AB ，使得CD 是FA 与FB 的等比中项，若存在，请求出AB 的方程及a ；若不存在，请说明理由．1已知双曲线E 的顶点为A -1,0 ，B 1,0 ，过右焦点F 作其中一条渐近线的平行线，与另一条渐近线交于点G ，且S △OFG =324.点P 为x 轴正半轴上异于点B 的任意点，过点P 的直线l 交双曲线于C ，D 两点，直线AC 与直线BD 交于点H .(1)求双曲线E 的标准方程；(2)求证：OP ⋅OH 为定值.题型四面积最值【典例分析】1已知椭圆x 23+y 22=1的左、右焦点分别为F 1，F 2．过F 1的直线交椭圆于B ,D 两点，过F 2的直线交椭圆于A ,C 两点，且AC ⊥BD ，垂足为P ．(1)设P 点的坐标为(x 0,y 0)，证明：x 203+y 202<1；(2)求四边形ABCD 的面积的最小值．1已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)过点M (2，3),点A 为其左顶点，且AM 的斜率为12，(1)求C 的方程；(2)点N 为椭圆上任意一点，求△AMN 的面积的最大值.2020年新高考全国卷Ⅱ数学试题(海南卷)题型五最值与范围型【典例分析】1设F 1、F 2分别是椭圆x 24+y 2=1的左、右焦点．(1)若P 是该椭圆上的一个动点，求PF 1 ⋅PF 2 =-54，求点P 的坐标；(2)设过定点M (0,2)的直线l 与椭圆交于不同的两点A 、B ，且∠AOB 为锐角(其中O 为坐标原点)，求直线l 的斜率k 的取值范围．1已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)一个顶点A(0,-2)，以椭圆E的四个顶点为顶点的四边形面积为45．(1)求椭圆E的方程；(2)过点P(0，-3)的直线l斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与直线交y=-3交于点M，N，当|PM|+|PN|≤15时，求k的取值范围．2021年北京市高考数学试题题型六定点：直线定点【典例分析】1已知F为抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点，O为坐标原点，M为C的准线l上的一点，直线MF的斜率为-1,△OFM的面积为1．(1)求C的方程；(2)过点F作一条直线l ，交C于A,B两点，试问在l上是否存在定点N，使得直线NA与NB的斜率之和等于直线NF斜率的平方？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．1已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)，四点P 12,2 ，P 20,2 ，P 3-2,2 ，P 42,2 中恰有三点在椭圆C 上.(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 不经过P 2点且与椭圆C 相交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，若∠AMP 2=2∠ABP 2，试问直线l 是否经过定点？若经过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.题型七定点：圆过定点【典例分析】1如图，等边三角形OAB的边长为83，且其三个顶点均在抛物线E：x2=2py(p>0)上．(1) 求抛物线E的方程；(2) 设动直线l与抛物线E相切于点P，与直线y=-1相交于点Q．证明以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点【变式演练】1已知动点P到点F1,0的距离与到直线l:x=4的距离之比为12，记点P的轨迹为曲线E．(1)求曲线E的方程；(2)曲线E与x轴正半轴交于点M，过F的直线交曲线E于A，B两点(异于点M)，连接AM，BM并延长分别交l于D，C，试问：以CD为直径的圆是否恒过定点，若是，求出定点，若不是，说明理由．【典例分析】1如图，已知抛物线C :x 2=4y ，过点M (0,2)任作一直线与C 相交于A ,B 两点，过点B 作y 轴的平行线与直线AO 相交于点D (O 为坐标原点).(1)证明：动点D 在定直线上；(2)作C 的任意一条切线l (不含x 轴)与直线y =2相交于点N 1，与(1)中的定直线相交于点N 2，证明：|MN 2|2-|MN 1|2为定值，并求此定值.【变式演练】1已知抛物线C ：y 2=2px 经过点P (1，2)．过点Q (0，1)的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线PA 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N ．(Ⅰ)求直线l 的斜率的取值范围；(Ⅱ)设O 为原点，QM =λQO ，QN =μQO ，求证：1λ+1μ为定值．.【典例分析】1已知直线l:x=my-1，圆C:x2+y2+4x=0.(1)证明：直线l与圆C相交；(2)设直线l与C的两个交点分别为A、B，弦AB的中点为M，求点M的轨迹方程；(3)在(2)的条件下，设圆C在点A处的切线为l1，在点B处的切线为l2，l1与l2的交点为Q.证明：Q，A，B，C四点共圆，并探究当m变化时，点Q是否恒在一条定直线上?若是，请求出这条直线的方程；若不是，说明理由.【变式演练】1已知双曲线E:x2a2-y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点分别为F1、F2，F1F2=23且双曲线E经过点A3,2．(1)求双曲线E的方程；(2)过点P2,1作动直线l，与双曲线的左、右支分别交于点M、N，在线段MN上取异于点M、N的点H，满足PMPN=MHHN，求证：点H恒在一条定直线上．【典例分析】1已知点F是椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点，P是椭圆E的上顶点，O为坐标原点且tan∠PFO=33.(1)求椭圆的离心率e；(2)已知M1,0，N4,3，过点M作任意直线l与椭圆E交于A，B两点.设直线AN，BN的斜率分别为k1，k2，若k1+k2=2，求椭圆E的方程.【变式演练】1在平面直角坐标系中，己知圆心为点Q的动圆恒过点F(1,0)，且与直线x=-1相切，设动圆的圆心Q的轨迹为曲线Γ.(Ⅰ)求曲线Γ的方程；(Ⅱ)过点F的两条直线l1、l2与曲线Γ相交于A、B、C、D四点，且M、N分别为AB、CD的中点.设l1与l2的斜率依次为k1、k2，若k1+k2=-1，求证：直线MN恒过定点.【典例分析】1设椭圆方程为x2a2+y2b2=1a>b>0，A-2,0，B2,0分别是椭圆的左、右顶点，动直线l过点C6,0，当直线l经过点D-2,2时，直线l与椭圆相切.(1)求椭圆的方程；(2)若直线l与椭圆交于P，Q(异于A，B)两点，且直线AP与BQ的斜率之和为-12，求直线l的方程.【变式演练】1已知点M1,3 2在椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0上，A，B分别是椭圆的左、右顶点，直线MA和MB的斜率之和满足：k MA+k MB=-1.(1)求椭圆的标准方程；(2)斜率为1的直线交椭圆于P，Q两点，椭圆上是否存在定点T，使直线PT和QT的斜率之和满足k PT+k QT=0(P，Q与T均不重合)？若存在，求出T点坐标；若不存在，说明理由.【典例分析】1已知圆F 1:x 2+y 2+2x -15=0和定点F 2(1,0),P 是圆F 1上任意一点，线段PF 2的垂直平分线交PF 1于点M ，设动点M 的轨迹为曲线E ．(1)求曲线E 的方程；(2)设A (-2,0),B (2,0)，过F 2的直线l 交曲线E 于M ，N 两点(点M 在x 轴上方)，设直线AM 与BN 的斜率分别为k 1,k 2，求证：k 1k 2为定值．【变式演练】1已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b2=1(a >0，b >0)，离心率e =55，P 为椭圆上一点，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，若△PF 1F 2的周长为2+25.(1)求椭圆E 的方程；(2)已知四边形ABCD (端点不与椭圆顶点重合)为椭圆的内接四边形，且AF 2 =λF 2C ，BF 2 =μF 2D ，若直线CD 斜率是直线AB 斜率的52倍，试问直线AB 是否过定点，若是，求出定点坐标，若不是，说明理由.江西省重点中学协作体2023届高三下学期第一次联考数学(理)试题题型十三斜率型：三斜率【典例分析】1已知F是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点，且P1,32在椭圆C上，PF垂直于x轴.(1)求椭圆C的方程.(2)过点F的直线l交椭圆C于A,B(异于点P)两点，D为直线l上一点.设直线PA,PD,PB的斜率分别为k1,k2,k3，若k1+k3=2k2，证明：点D的横坐标为定值.【变式演练】1在平面内动点P与两定点A1(-3,0),A2(3,0)连线斜率之积为-23．(1)求动点P的轨迹E的方程；(2)已知点F1(-1,0),F2(1,0)，过点P作轨迹E的切线其斜率记为k(k≠0)，当直线PF1,PF2斜率存在时分别记为k1,k2．探索1k⋅1k1+1k2是否为定值．若是，求出该定值；若不是，请说明理由．题型十四定比分点型：a =tb【典例分析】1已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)，倾斜角为30°的直线过椭圆的左焦点F 1和上顶点B ，且S △ABF 1=1+32(其中A 为右顶点).(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若过点M (0,m )的直线l 与椭圆C 交于不同的两点P ，Q ，且PM =2MQ ，求实数m 的取值范围.【变式演练】1已知点M ，N 分别是椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的右顶点与上顶点，原点O 到直线MN 的距离为32，且椭圆的离心率为63．(1)求椭圆C 的方程；(2)斜率不为0的直线经过椭圆右焦点F 2，并且与椭圆交于A ，B 两点，若AF 2 =12F 2B ，求直线AB 的方程．题型十五切线型【典例分析】1法国数学家加斯帕尔·蒙日被誉为画法几何之父.他在研究椭圆切线问题时发现了一个有趣的重要结论：一椭圆的任两条互相垂直的切线交点的轨迹是一个圆，尊称为蒙日圆，且蒙日圆的圆心是该椭圆的中心，半径为该椭圆的长半轴与短半轴平方和的算术平方根.已知在椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)中，离心率e =12，左、右焦点分别是F 1、F 2，上顶点为Q ，且QF 2 =2，O 为坐标原点.(1)求椭圆C 的方程，并请直接写出椭圆C 的蒙日圆的方程；(2)设P 是椭圆C 外一动点(不在坐标轴上)，过P 作椭圆C 的两条切线，过P 作x 轴的垂线，垂足H ，若两切线斜率都存在且斜率之积为-12，求△POH 面积的最大值.【变式演练】1已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的上顶点为A，左、右焦点分别为F1、F2，三角形AF1F2的周长为6，面积为3．(1)求椭圆C的方程；(2)已知点M是椭圆C外一点，过点M所作椭圆的两条切线互相垂直，求三角形AF2M面积的最大值．题型十六复杂的“第六个方程”【典例分析】1如图，已知点B2,1，点N为直线OB上除O，B两点外的任意一点，BK，NH分别垂直y轴于点K，H，NA⊥BK于点A，直线OA，NH的交点为M.(1)求点M的轨迹方程；(2)若E3,0，C，G是点M的轨迹在第一象限的点(C在G的右侧)，且直线EC，EG的斜率之和为0，若△CEG的面积为152，求tan∠CEG.【变式演练】1已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为32，且椭圆C上的点到两个焦点的距离之和为4.(1)求椭圆C的方程；(2)设A为椭圆C的左顶点，过点A的直线l与椭圆交于点M，与y轴交于点N，过原点且与l平行的直线与椭圆交于点P.求SΔPAN⋅SΔPAM(SΔAOP)2的值.好题演练1(2023·贵州毕节·统考模拟预测)已知椭圆C的下顶点M，右焦点为F，N为线段MF的中点，O为坐标原点，ON=32，点F与椭圆C任意一点的距离的最小值为3-2.(1)求椭圆C的标准方程；(2)直线l：y=kx+m k≠0与椭圆C交于A，B两点，若存在过点M的直线l ，使得点A与点B关于直线l 对称，求△MAB的面积的取值范围.2(2023·天津南开·统考二模)已知椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率为32，左、右顶点分别为A，B，上顶点为D，坐标原点O到直线AD的距离为255.(1)求椭圆的方程；(2)过A点作两条互相垂直的直线AP，AQ与椭圆交于P，Q两点，求△BPQ面积的最大值.3(2023·河北·统考模拟预测)已知直线l ：x =12与点F 2,0 ，过直线l 上的一动点Q 作直线PQ ⊥l ，且点P 满足PF +2PQ ⋅PF -2PQ =0．(1)求点P 的轨迹C 的方程；(2)过点F 作直线与C 交于A ，B 两点，设M -1,0 ，直线AM 与直线l 相交于点N ．试问：直线BN 是否经过x 轴上一定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由．4(2023·北京东城·统考二模)已知焦点为F 的抛物线C :y 2=2px (p >0)经过点M (1,2)．(1)设O 为坐标原点，求抛物线C 的准线方程及△OFM 的面积；(2)设斜率为k (k ≠0)的直线l 与抛物线C 交于不同的两点A ,B ，若以AB 为直径的圆与抛物线C 的准线相切，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．5(2023·四川自贡·统考三模)已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的离心率e =22，设A 62,12 ，B -62,12，P 0,2 ，其中A ，B 两点在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的方程；(2)过点P 的直线交椭圆C 于M ，N 两点(M 在线段AB 上方)，在AN 上取一点H ，连接MH 交线段AB 于T ，若T 为MH 的中点，证明：直线MH 的斜率为定值．6(2023·江西赣州·统考二模)在平面直角坐标系xOy 中，F 1(-1,0)，F 2(1,0)，点P 为平面内的动点，且满足∠F 1PF 2=2θ，PF 1 ⋅PF 2 cos 2θ=2．(1)求PF 1 +PF 2 的值，并求出点P 的轨迹E 的方程；(2)过F 1作直线l 与E 交于A 、B 两点，B 关于原点O 的对称点为点C ，直线AF 2与直线CF 1的交点为T ．当直线l 的斜率和直线OT 的斜率的倒数之和的绝对值取得值最小值时，求直线l 的方程．7(2023·四川乐山·统考三模)已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的右焦点为F (2,0)，短轴长等于焦距．(1)求C 的方程；(2)过F 的直线交C 于P ，Q ，交直线x =22于点N ，记OP ，OQ ，ON 的斜率分别为k 1，k 2，k 3，若(k 1+k 2)k 3=1，求|OP |2+|OQ |2的值．8(2023·贵州贵阳·统考模拟预测)已知椭圆C 1：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 与椭圆C 2：x 22+y 2=1的离心率相等，C 1的焦距是22．(1)求C 1的标准方程；(2)P 为直线l ：x =4上任意一点，是否在x 轴上存在定点T ，使得直线PT 与曲线C 1的交点A ，B 满足PA PB =AT TB？若存在，求出点T 的坐标．若不存在，请说明理由．。

高考数学一轮复习 8.10 圆锥曲线的综合问题精品教学案(学生版) 新人教版

【考纲解读】1．了解圆锥曲线的简单应用，理解数形结合的思想．2．领会转化的数学思想，提高综合解题能力.【考点预测】高考对此部分内容考查的热点与命题趋势为:1.平面解析几何是历年来高考重点内容之一,经常与逻辑、不等式、三角函数等知识结合起来考查，在选择题、填空题与解答题中均有可能出现，在解答题中考查，一般难度较大，与其他知识结合起来考查，在考查平面解析几何基础知识的同时，又考查数形结合思想、转化思想和分类讨论等思想，以及分析问题、解决问题的能力.2.2013年的高考将会继续保持稳定,坚持考查解析几何与其他知识的结合，在选择题、填空题中继续搞创新,命题形式会更加灵活.【要点梳理】1.圆锥曲线中的最值问题2.圆锥曲线中的面积问题3.圆锥曲线中的定点或定值问题【例题精析】考点一圆锥曲线中的最值与面积问题例1. (2012年高考重庆卷文科21)（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分）已知椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，上顶点为A ，左、右焦点分别为12,F F ，线段12,OF OF 的中点分别为12,B B ，且△12AB B 是面积为4的直角三角形。

（Ⅰ）求该椭圆的离心率和标准方程；（Ⅱ）过1B作直线交椭圆于,P Q ，22PB QB ⊥，求△2PB Q 的面积【变式训练】1.（2012年高考安徽卷文科20）（本小题满分13分）如图，21F F 分别是椭圆C ：22a x +22by =1（0>>b a ）的左、右焦点，A 是椭圆C 的顶点，B 是直线2AF 与椭圆C 的另一个交点，1F ∠A 2F =60°.（Ⅰ）求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）已知△A B F 1的面积为403，求,a b 的值.考点二定点（定值）问题例2.(2012年高考福建卷文科21)（本小题满分12分）如图，等边三角形OAB 的边长为83，且其三个顶点均在抛物线E ：x 2=2py （p ＞0）上。

高三数学第十二章圆锥曲线的综合问题复习教案

第十一节圆锥曲线的综合问题————热点考点题型探析一、复习目标：掌握圆锥曲线中有关定点、定值问题的解法；能利用方程求圆锥曲线的有关范围与最值；掌握对称问题的求法。

二、重难点：重点：掌握圆锥曲线中有关定点、定值问题的解法；能利用方程求圆锥曲线的有关范围与最值。

难点：圆锥曲线的有关范围与最值问题。

三、教学方法：讲练结合，探析归纳四、教学过程（一）、热点考点题型探析考点1.对称问题[例1]若直线l 过圆x2+y2+4x-2y=0的圆心M 交椭圆49:22y x C +于A 、B 两点，若A 、B 关于点M 对称，求直线L 的方程．[解析] )1,2(-M ，设),(),,(2211y x B y x A ，则2,42121=+-=+y y x x又1492121=+y x ，1492222=+y x ，两式相减得：04922122212=-+-y y x x ，化简得0))((9))((421212121=-++-+y y y y x x x x ，把2,42121=+-=+y y x x 代入得982112=--=x x y y k AB故所求的直线方程为)2(211--=-x y ，即042=-+y x 所以直线l 的方程为：8x-9y+25=0.【反思归纳】要抓住对称包含的三个条件：(1)中点在对称轴上(2)两个对称点的连线与轴垂直(3)两点连线与曲线有两个交点(0>∆),通过该不等式求范围考点2. 圆锥曲线中的范围、最值问题题型：求某些变量的范围或最值[例2]已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>与直线10x y +-=相交于两点A B 、．当椭圆的离心率e满足2e ≤≤，且0OA OB ⋅=u u u r u u u r （O 为坐标原点）时，求椭圆长轴长的取值范围．【解题思路】通过“韦达定理”沟通a 与e 的关系[解析]由22222210b x a y a b x y ⎧+=⎨+-=⎩，得222222()2(1)0a b x a x a b +-+-= 由22222(1)0a b a b =+->V ，得221a b +>此时222121222222(1),a a b x x x x a b a b -+==++ 由0OA OB ⋅=u u u r u u u r，得12120x x y y +=，∴12122()10x x x x -++=即222220a b a b +-=，故22221a b a =- 由222222c a b e a a -==，得2222b a a e =-∴221211a e =+-由32e ≤≤得25342a ≤≤2a ≤≤【反思归纳】求范围和最值的方法：几何方法：充分利用图形的几何特征及意义，考虑几何性质解决问题代数方法：建立目标函数，再求目标函数的最值．考点3 定点，定值的问题题型：论证曲线过定点及图形（点）在变化过程中存在不变量[例3] 已知P 、Q 是椭圆C ：12422=+y x 上的两个动点，)26,1(M 是椭圆上一定点，F 是其左焦点，且|PF|、|MF|、|QF|成等差数列。

圆锥曲线的综合问题-教案

第三讲圆锥曲线的综合问题考点整合1. 直线与圆锥曲线的位置关系(1) 直线与椭圆的位置关系的判定法：将直线程与椭圆程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次程•若少0,则直线与椭圆相交；若A= 0,则直线与椭圆相切；若A<0,则直线与椭圆相离.(2) 直线与双曲线的位置关系的判定法：将直线程与双曲线程联立，消去y或x)，得到一个一元程ax2+ bx+ c= 0(或ay2+ by+ c=0) •①若a工0，当A>0时，直线与双曲线相交；当A= 0时，直线与双曲线相切；当A<0时，直线与双曲线相离.②若a= 0时，直线与渐近线平行，与双曲线有一个交点.(3) 直线与抛物线的位置关系的判定法：将直线程与抛物线程联立，消去y(或x)，得到一个一元程ax2+ bx+ c= 0(或ay2+ by+ c =0) •①当a z 0时，用△判定，法同上.②当a= 0时，直线与抛物线的对称轴平行，只有一个交点.2. 有关弦的问题(1) 有关弦长问题，应注意运用弦长公式及根与系数的关系，“设而不求”；有关焦点弦长问题，要重视圆锥曲线定义的运用，以简化运算.①斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P i(x i,y i), P2(x2, y2)，则所得弦长|P i P2|=』1 + k2|x2- X1或|P1P2= - , 1 +胡2—y1|,其中求|x2- X1|与|y2- y11时通常使用根与系数的关系,即作如下变形：|x2 —X1 = \/ X1 + X2 2—4X1x2 ,②当斜率k不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用两点间距离公式).(2) 弦的中点问题有关弦的中点问题，应灵活运用“点差法”，“设而不求法”来简化运算.3. 圆锥曲线中的最值(1)椭圆中的最值个端点，O为坐标原点，则有① |0P|€ [b , a].② |PF i |€ [a — c , a + c]. ③ |PF i | |PF 2|€ [ b 2 , a 2]. ④ / F I PF 2<Z F 1BF 2.标原点，则有 ① |OP|》a. ② |PF i |> c — a. (3) 抛物线中的最值点P 为抛物线y 2 = 2px(p > 0)上的任一点，F 为焦点，则有: ① PF |> 21. (2013课标全国I )已知椭圆E :羊+ $= 1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F 的直线交Eb 2所以直线AB 的斜率为k = a设直线程为y = *(x — 3),联立直线与椭圆的程得(a 2+ b 2)x 2— 6b 2x + 9b 2— a 4= 0, 所以 X 1 + X 2= a T^= 2 ；又因为 a 2— b 2= 9,解得 b 2= 9, a 2= 18.2. (2013 )过点(2, 0)引直线I 与曲线y = . 1 — x 2相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线 I 的斜率等于( )⑵双曲线中的最值x 2 y 2F i 、F 2为双曲线孑一^2=1(a > 0,b > 0)的左、右焦点, P 为双曲线上的任一点, O 为坐于A 、B 两点.若AB 的中点坐标为1 1 - =(1,— 1),贝U E 的程为 +27 = 1 +右12X362X-18 B D解析所以设 A(x 1, y 1)、B(X 2, y 2),运用点差法,②A(m , n)为一定点，则|PA|+ |PF|有最小值.y 1b 2=1B .- ¥C .答案 1T S ^AOB = 2|OA||OB|sin / AOB1 / 1=2sin / AOB < 2 解析当/ AOB =,AOB 面积最大.此时O 到AB 的距离d =爭. 设 AB 程为 y = k(x — 2)( k<0), 即 kx — y — i 2k = 0. 由d =「邓=(也可 k = — tan / OPH = 3. (2013大纲全国)椭圆C :k 一逅3 '一) 3 ).2 2 -+ 4 3=1的左、右顶点分别为 A i 、A 2,点P 在C 上且直线PA 2 斜率的取值围是[—2 , 1 _ A . © 4] 1C .[夕 1]答案 B —1]，那么直线解析利用直线PA 2斜率的取值围确定点 FA 1斜率的边界值.由题意可得 A 1(— 2,0), A 2(2,0), 当PA 2的斜率为— 2时,y =— 2(x — 2), y 化简得解得x = 2或x = ^6. 由点P 在椭圆上得点P 26, 直线FA 2的程式为代入椭圆程，消去同理,当直线PA 2的斜率为一1时, 代入椭圆程，PA 1斜率的取值围是 3 3 [3, 3] ,1] P 变化围的边界点，再利用斜率公式计算直线 19x 2— 64x + 52= 0,24，此时直线PA 1的斜率k =8直线PA 2程为y =— (x — 2), 消去y 化简得7x 2— 16x + 4 = 0,解得x = 2或由点P 在椭圆上得点此时直线PA 1的斜率2 12F7, & , k = 3 k= 4.数形结合可知，直线 3PA 1斜率的取值围是 8,4. (2012)椭圆4 + 3=1的左焦点为F ,直线x = m 与椭圆相交于点 A 、B ，当△ FAB 的长最大时，△ FAB 的面积是 ________ . 答案 3解析直线x = m 过右焦点(1,0)时，△ FAB 的长最大，由椭圆定义知，其长为 4a = 8,b 2 2 X 3i此时，AB|= 2 X-== 3,.・. S ^FAB =-X 2 X 3 = 3.a 225. (2012 )在直角坐标系xOy 中，直线I 过抛物线y 2= 4x 的焦点F ，且与该抛物线相交于 A ,B 两点.其中点A 在x 轴上，若直线I 的倾斜角为60°则厶OAF 的面积为 _____________ 答案；3解析••• y 2= 4x 的焦点F(1,0), 又直线I 过焦点F 且倾斜角为60° 故直线l 的程为y = ；'3(x - 1),将其代入 y 2= 4x 得 3x 2- 6x + 3 — 4x = 0,1即 3x 2— 10x + 3 = 0. x = 3或 x = 3.3 又点 A 在 x 轴上，• • X A = 3.二 y A = 2\'- 3.1• S A OAF = 2* 1 X 2 ■ 3 = ■' 3.题型一圆锥曲线中的围、最值问题【例1】已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为(2,0)，实半轴长为-3.(1) 求双曲线C 的程；⑵若直线I : y = kx + .2与双曲线C 的左支交于A , B 两点，求k 的取值围；(3)在(2)的条件下，线段 AB 的垂直平分线l 0与y 轴交于M(0, b)，求b 的取值围. 审题破题(2)直接利用判别式和根与系数的关系确定k 的围；(3)寻找b 和k 的关系,由已知，得 a = . 3, c = 2, b 2= c 2— a 2= 1, 故双曲线程为彳—y 2= 1. ⑵设 A(X A , y A ), B(X B , y B )，将 y = kx + , 2代入 — y 2= 1, 得(1 — 3k 2)x 2— 6 2kx — 9= 0.利用(2)中k 的围求解.解(1)设双曲线程为2 2x- y-= 1 a b(a>0, b>0),1 —3 k2丰 0,△= 36 1 —k2 >0,由题意，知x A+ x B= 1 ' 3：2<0 , 解得~3<«1.—9XAXB =匚汞 >°，所以当-3<k<1时，直线I与双曲线的左支有两个交点.3⑶由⑵，得X A+ X B= 1—^2，所以Y A+ y B= (kx A+ 2) + (kx B+ 2)=k(X A+ X B) + 2 2= 1—^2，所以AB中点P的坐标为园尘，」.1 —3 k2 1—3k21 A\f2设I o的程为y=—[x+ b,将P点的坐标代入l0的程，得b= 1—3k2，T 33<k<1 ,•••— 2<1 —3k2<0,「. b< —2 2.••• b的取值围是(一a, —2 2).反思归纳求最值或求围问题常见的解法有两种：(1)几法•若题目的条件和结论能明显体现几特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几法. (2)代数法•若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值，这就是代数法.变式训练1 (2013)已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F(0, c)(c>0)到直线I: X— y— 2 = 0 的距离为穿.设P为直线I上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA, PB,其中A, B为切点.(1) 求抛物线C的程；(2) 当点P(X O, y o)为直线I上的定点时，求直线AB的程；(3) 当点P在直线I上移动时，求|AF||BF|的最小值.解(1)依题意知|c+ 2|=卑乎,c>0,解得c= 1.寸2 2所以抛物线C的程为x2= 4y.(2)由y=扶得y，=],、r 1 1设A(X1, y1), B(X2, y2),则切线PA, PB的斜率分别为"X1, 5x2，所以切线PA的程为y X1 X1X2—y1 = ~(x—X1)，即y= ~x —— + y1,即卩X1X —2y—2y1 = 0.同理可得切线PB的程为X2x—2y —2y2= 0,又点P(X0, y0)在切线PA和PB上，所以 x i X o — 2y o — 2y i = 0, X 2X 0 — 2y o — 2y 2= 0,所以(X i , y i ),(X 2, y 2)为程 x o x — 2y o — 2y = 0 的两组解, 所以直线AB 的程为X o x — 2y — 2y o = 0.⑶由抛物线定义知|AF|= y i + 1, |BF|= y 2+ 1, 所以 |AF| |BF |= (y i + 1)(y 2 + 1) = y i y 2 + (y i + y 2)+ 1,消去 x 整理得 y 2 + (2y o — x 0)y + y 2= 0, y 1 + y 2= x 2— 2y 0, y 1y 2= y 2,|AF| |BF|= y 1y 2 + (y 1 + y 2)+ 1 = y 0+ x 0— 2y o + 1 =y 2 + (y o + 2)2 — 2y o + 1 = 2y 0+ 2y o + 5 c 1 2 9=2 y o + 2 2 + 2，•••当y o = — 2■时，|AF||BF|取得最小值，且最小值为 2. 题型二圆锥曲线中的定点、定值问题【例2] (2012 )如图，等边三角形 OAB 的边长为8 .3,且其三个顶点均在抛物线 E : x 2= 2py(p>0)上. (1) 求抛物线E 的程；(2) 设动直线I 与抛物线E 相切于点P,与直线y =— 1相交于点证明以PQ 为直径的圆恒过 y 轴上某定点.审题破题 (1)先求出B 点坐标，代入抛物线程，可得 p 的值；(2)假设在y 轴上存在定点M ，使得以线段PQ 为直径的圆经过点 M ，转化为MP MQ = 0，从而判断点 M 是否存在.(1)解依题意,|OB|= 8 .3,7 BOy = 30°设 B(x , y)，则 x = |OB|sin 30 =4羽，y = |OB|cos 30 = 12. 因为点 B(4 ,3, 12)在 x 2= 2py 上, 所以(4 ,3)2= 2p X 12，解得 p = 2. 故抛物线E 的程为x 2= 4y.⑵证明法一由(1)知y =扶，y '= 2x.1设P(X 0, y o )，则X 0工0, y o = [x 2,且l 的程为联立程X 0X — 2y — 2y 0= 0, x 2= 4y ,x 2— 4 得 X = 2x 0 ,所以Q 为 x 2 —42x1X 0(x — X 0),即卩 y =y — y o =即(y 2+ y i — 2) + (1 — y i )y o = 0.(*) 由于(*)式对满足y o = 4X 0(X O M 0)的y o 恒成立，i — y i = 0, 所以。

圆锥曲线综合问题(一)教案

圆锥曲线综合问题（一）定点、定值问题教学目标：（1）理解并初步掌握圆锥曲线中的定点、定值问题的基本思维路径和解题方法；（2）培养学生“设而不求，整体代换”等数学思想方法和技巧，简化数学运算，达到直接、快速、准确的解题效果，提升学生运算水平；（3）通过引导学生分析、思考解决圆锥曲线中的定点、定值问题，提升学生解答综合问题的水平。

重点：培养学生“设而不求，整体代换”等数学思想方法和技巧。

难点：体会感悟解决定点、定值问题的基本思维路径和解法。

学情分析：圆锥曲线是中学数学知识的一个重要交汇点，它常与函数、方程、导数、不等式、数列、平面向量等内容交汇渗透，知识跨度大，题型新颖别致、解法灵活，思维抽象强，水平要求高，它既是高考的热点题型，又是颇难解决的重点题型，在高考中占据着举足轻重的地位。

近年来，虽然高考对圆锥曲线的考查总体难度有所降低，但常因其综合性强、运算水平要求高而成为考生望而生畏的难题。

课时安排：两课时。

课题引入：【高考定位】圆锥曲线的综合问题包括：探索性问题、定点与定值问题、范围与最值问题等，一般试题难度较大．这类问题以直线和圆锥曲线的位置关系为载体，以参数处理为核心，需要综合使用函数与方程、不等式、平面向量等诸多知识以及数形结合、分类讨论等多种数学思想方法实行求解，对考生的代数恒等变形水平、计算水平等有较高的要求．【问题提出】在解析几何中，有些几何量与参数无关，这就构成了定值问题；对满足一定条件的曲线上两点连结所得直线过定点或满足一定条件的曲线过定点，这又构成了过定点问题。

定点、定值问题是每年高考中的热点题型，也是高考中很多考生望而生畏的难题。

所以我们下面来专题探寻定点、定值问题的基本思维路径和方法。

第一课时：定点问题教学过程：一、【考点整合】1．定点问题：在解析几何中，有些含有参数的直线或曲线，不论参数如何变化，其都过某定点，这类问题称为定点问题．2．解答定点问题的基本思维方法：恒过定点问题，可设该直线（曲线）上两点的坐标，利用坐标在直线（或曲线）上，建立点的坐标满足的方程（组），求出相对应的直线（或曲线），然后再利用直线（或曲线）过定点的知识加以解决，主要以两种形式表现：点斜式方程和过定点的直线系或曲线系方程。

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1.已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a b
y a x 的右焦点为F ，离心率22=e ，椭圆C 上的点到F 的距离的最大值为12+，直线l 过点F 与椭圆C 交于不同的两点,.A B
（1）求椭圆C 的方程；
（2）若2
23||=
AB ，求直线l 的方程.
2.(山东省济南市2011年2月高三教学质量调研文科) （本小题满分12分）
已知椭圆22221(0)x y C a b a b
+=>>：，其中左焦点F (-2,0). （1）求椭圆C 的方程；
（2）若直线y =x +m 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的中点M 在圆x 2+y 2=1上，求m 的值.
3． (本小题满分14分)已知圆1C ：22
(1)8x y ++=，点2(1C ，0)，点Q 在圆1C 上运动，2QC 的垂直平分线交1QC 于点P .
(Ⅰ)求动点P 的轨迹W 的方程； (Ⅱ)设、M N 分别是曲线W 上的两个不同点，且点M 在第一象限，点N 在第三象限，若1+22OM ON OC =uuu r uuu r uuu r ，O 为
坐标原点，求直线MN 的斜率k ；
(Ⅲ)过点(0S ，1)3
-
且斜率为k 的动直线l 交曲线W 于，A B 两点，在y 轴上是否存在定点D ，使以AB 为直径的圆恒过这个点？若存在，求出D 的坐标，若不存在，说明理由. 解：
4.（山东省淄博市2011年3月高三下学期模拟考试理科）（本题满分12分）
已知椭圆1C 、抛物线2C 的焦点均在x 轴上，1C 的中心和2C 的顶点均为原点O ，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中：
（Ⅰ）求12的标准方程；
（Ⅱ）请问是否存在直线l 满足条件：①过2C 的焦点F ；②与1C 交不同两点,M N 、且满足OM ON ⊥u u u u r u u u r ？若存在，
求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．
5.(山东省烟台市2011年1月“十一五”课题调研卷文科)（本小题满分14分）
已知椭圆的一个顶点为(0,1)A -，焦点在x 轴上.若右焦点到直线0x y -+=的距离为3.
（1）求椭圆的方程.
（2）设直线(0)y kx m k =+≠与椭圆相交于不同的两点,M N .当||||AM AN =时，求m 的取值范围.
6：。