上海市位育中学2018学年高二上学期期末考试数学试题
【上海市位育中学2018学年第一学期高二数学学科期末考试卷】
一、填空题（本大题满分40分，共有10题，要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分）
1、若直线250x y -+=与直线260x my +-=互相垂直，则实数m = ．
2、直线12
y x =
关于直线1x =对称的直线方程是 ．
3、直线2cos 1ρθ=与圆2cos ρθ=相交的弦长为 ．
4、若R θ∈，则直线sin 2y x θ=⋅+的倾斜角的取值范围是 ．
5、已知双曲线22
22:1x y C a b
-=的焦距为10，点(2,1)P 在C 的渐近线上，则C 的方程为 ．
6、若122z z ==，且12z z +=12z z -= ．
7、在直角坐标系xOy 中，已知曲线11:12x t C y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）与曲线2sin :3cos x a C y θθ=⎧⎨=⎩
（θ为参数，0a >）有一个公共点在x 轴上，则a = ．
8、已知12,F F 分别为双曲线22
:1927
x y C -=的左、右焦点，点A 在曲线C 上，点M 的坐标为(2,0)，AM 为12F AF ∠的平分线，则2AF = ．
9、已知直线:90L x y +-=和圆22
:228810M x y x y +---=，点A 在直线L 上，,B C 为圆M 上两点，在ABC △中，45BAC ∠=︒，AB 过圆心M ，则点A 横坐标范围为 ．
10、椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>上任意两点,P Q ，若OP OQ ⊥，则乘积OP OQ ⋅的最
小值为 ．
二、选择题（本大题满分16分，共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，否则一律得零分．）
11、在复平面内，复数
2334i i -+-（i 是虚数单位）所对应的点位于（ ）
A ． 第一象限
B ． 第二象限
C ． 第三象限
D ． 第四象限
12、已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点0(2,)M y ．若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则OM =（ ）
A ．
B ． 4
C ．
D ．
13、设,mn R ∈，若直线(1)(1)20m x n y +++-=与圆22(1)(1)1x y -+-=相切，则m n +的取值范围是（ ）
A ． 1⎡-+⎣
B ． (),113,⎡-∞++∞⎣
C ． 22⎡-+⎣
D ． (),2222,⎡-∞-++∞⎣
14、直线143x y +=，与椭圆221169
x y +=相交于,A B 两点，该椭圆上点P ，使得PAB ∆面积等于3．这样的点P 共有（ ）
A ． 1个
B ． 2个
C ． 3个
D ． 4个
三、解得题（本大题满分44分，共有4题，解答下列各题必须写出必要步骤．）
15、（本题10分）已知复数z 满足22z -=，4z R z
+
∈，求z ．
16、（本题10分）已知以点P 为圆心的圆经过点(1,0)A -和(3,4)B ，线段AB 的垂直平分
线交P 于点C 和D ，且CD =P 的方程．
17、（本题12分）已知椭圆2
2:14
x G y +=．过点(,0)m 作圆221x y +=的切线l 交椭圆G 于,A B 两点．
（1）求椭圆G 的焦点坐标；
（2）将AB 表示为m 的函数，并求AB 的最大值．
18、（本题12分）过抛物线2
2(0)y px p =>的对称轴上一点(,0)(0)A a a >的直线与抛物
线相交于,M N 两点，自,M N 向直线:l x a =-作垂线，垂足分别为11,M N ．
（1）当2
p a =时，求证：11AM AN ⊥； （2）记1111,,AMM AM N ANN ∆∆∆的面积分别为123,,S S S ，是否存在λ，使得对任意的
0a >，都有2213S S S λ=成立．若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．
四、附加题
19设椭圆22
22:1(0)x y E a b a b
+=>>过M N 两点，O 为坐标原点．是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点,A B ，且O
A O
B ⊥？若存在，写出该圆的方程，并求出AB 的取值范围；若不存在，说明理由．。
上海市位育中学2017-2018学年高二上学期10月月考数学试题
绝密★启用前上海市位育中学2017-2018学年高二上学期10月月考数学试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．已知a 、b 为非零向量，则222||||a b a b +=-是a b ⊥的（ ）条件 A ．充分不必要 B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要2．下列三阶行列式可以展开为a b b ca c de efdf++的是（ ）A ．111a bc de f B ．111ab c defC ．111a bc d efD ．111ab cdef - 3．若||1OA =，||3OB =0OA OB ⋅=，点C 在AB 上，且30AOC ︒∠=，设OC mOA nOB =+(,)m n R ∈，则mn的值为（ ） A ．13B ．3C D4．已知各项均不为零的数列{}n a ，定义向量1(,)n n n c a a +=，(,1)n b n n =+，*n N ∈．下列命题中真命题是 ( )A ．若对任意的*n N ∈，都有//n n c b 成立，则数列{}n a 是等差数列B ．若对任意的*n N ∈，都有//n n c b 成立，则数列{}n a 是等比数列外………内………C ．若对任意的*n N ∈，都有n n c b ⊥成立，则数列{}n a 是等差数列 D ．若对任意的*n N ∈，都有n n c b ⊥成立，则数列{}n a 是等比数列第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题5．计算：AB AC BC -+=________6．如果向量 ，共线且方向相反，则 等于 . 7．已知2111n na n n=+，则lim n n a →∞= . 8．已知||6a =，||4b =，则||a b -的取值范围是________9．若12201102x x -=-，则x =________ 10．与(1,3)a =-垂直的单位向量的坐标为________ 11．若11223PP PP =，则2P P =________1PP 12．已知矩阵0110A ⎛⎫= ⎪⎝⎭,12B ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则AB =______________ 13．已知向量(2,2)OA =，(4,1)OB =，在x 轴上存在点P 使得AP BP ⋅有最小值，则点P 的坐标为________14．如图，在三角形ABC 中，0BA AD ⋅=，||2AB =，2BC BD =，则A C A B⋅=____15．已知函数()1x f x x=+，在9行9列的矩阵111213192122232991929399a a a a a a a a a a a a ⋅⋅⋅⎛⎫⎪⋅⋅⋅ ⎪⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎪⋅⋅⋅⎝⎭中，○……………………线…○……………………线…()ij ia f j=，则这个矩阵中所有数之和为________16．如图，OM //AB ，点P 在由射线OM 、线段OB 及AB 的延长线组成的区域内（不含边界）运动，且OP xOA yOB =+u u u r u u r u u u r ，当12x =-时，y 的取值范围是________三、解答题17．已知32(2,4),(2,2),2,||4a b c a c b -=-=-⋅==，求b 与c 的夹角. 18．设()1,1OA =，()3,0OB =，()3,5OC =. （1）求证AB AC ⊥，并求ABC ∆的面积；（2）对向量()11,a x y =r ，()22,b x y =r，定义一种运算：()1221,f a b x y x y =-，试计算(),f AB AC 的值，并说明它与ABC ∆面积之间的等量关系，由此猜想这一运算的几何意义.19．用行列式解关于x 、y 的方程组3(31)484mx y m x my m -=⎧⎨+-=+⎩，并讨论说明解的情况.20．已知OA a OB b ==，，对于任意点M ，点M 关于点A 的对称点为点S ，点S 关于点B 的对称点为点N . （1）用a ，b 表示向量MN ；（2）设1223a b MN ⎡==∈⎣，，，求a 与b 的夹角θ的取值范围.21．如图，M 为△ABC 的中线AD 的中点，过点M 的直线分别交线段AB 、AC 于点P 、Q 两点，设AP xAB =，AQ y AC =，记()y f x =.（1）求11x y+的值； （2）求函数()y f x =的解析式（指明定义域）；（3）设32()32g x x a x a =++，[0,1]x ∈，若对任意11[,1]3x ∈，总存在2[0,1]x ∈，使得12()()f x g x =成立，求实数a 的取值范围.参考答案1．C 【解析】 【分析】a 、b 为两个非零向量，根据向量的数量积的运算以及向量垂直的性质可判断.【详解】解：a rQ 、b 为两个非零向量，()2222222a b a ba b a b a b -=-=+-=+20a b ∴=a b ∴⊥r r，即充分性成立；若a b ⊥，则0a b =()2222222a b a ba b a b a b ∴-=-=+-=+，即必要性成立；故222a b a b -=+是a b ⊥的充要条件. 故选：C 【点睛】本题考查充分条件、必要条件，向量的数量积及向量垂直的性质，属于中档题. 2．D 【解析】 【分析】由二阶行列式和三阶行列式的求解方法直接计算即可. 【详解】 由题干二阶行列式a b b c a c deef df++=ae bd bf ce af cd -+-+-,由AB 选项三阶行列式111a bcdef =111a b c d ef=ae bf cd ce bd af ae bd bf ce af cd ++---≠-+-+-,则AB 选项不对;由C 选项三阶行列式111a bcaf ce bd cd ae bf ae bd bf ce af cd def=++---≠-+-+-,则C 选项不对; 由D 选项三阶行列式111ab cdef ae bd bf ce af cd =-+-+--,则D 选项正确. 故选:D . 【点睛】本题考查了二阶行列式和三阶行列式的运算法则,直接运算即可,属于基础题,要求熟练掌握运算法则及运算能力. 3．B 【解析】 【分析】利用向量的数量积运算即可算出． 【详解】 解：30AOC ︒∠=3cos ,OC OA ∴<>=32OC OA OC OA⋅∴=()32mOA nOB OA mOA nOB OA+⋅∴=+ 2222322m OA nOB OAOA mnOA OB n OB OA+⋅=+⋅+1OA=，3OB =，0OA OB ⋅==229m n ∴=又C 在AB 上0m ∴>，0n >3m n∴= 故选：B 【点睛】本题主要考查了向量的基本运算的应用，向量的基本定理的应用及向量共线定理等知识的综合应用． 4．A 【解析】 【分析】根据向量平行的坐标表示，得到11n n a n a n++=，利用累乘法，求得1n a na =，从而可作出判定，得到答案． 【详解】由题意知，向量1(,)n n n c a a +=，(,1)n b n n =+，*n N ∈， 当//n n c b 时，可得1(1)n n na n a +=+，即11n n a n a n++=， 所以3211111123121n n n a a a na a a na a a a n -=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=-， 所以数列{}n a 表示首项为1a ，公差为1a 的等差数列． 当n n c b ⊥，可得1(1)0n n na n a +++=，即11n n a na n +=-+， 所以132111111(1)121()()()23n n n n a a a a n a a a a a a n n----=⨯⨯⨯⨯=⨯-⨯-⨯⨯-=，所以数列{}n a 既不是等差数列，也不是等比数列. 故选A ． 【点睛】本题主要考查了向量的平行关系的坐标表示，等差数列的定义，以及“累乘法”求解通项公式的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．5．0 【解析】【分析】根据向量的加减运算及运算律计算可得. 【详解】解：0AB AC BC AB BC AC AC AC -+=+-=-= 故答案为：0 【点睛】本题考查向量的加减运算，属于基础题. 6．【解析】试题分析： ， 共线，，又 与方向相反，考点：平面向量共线的充要条件 7．1- 【解析】 【详解】解：由题意可知2222121lim 11(1)(1)n n n n n n n a n n n n n n →+∞+-+-=-=∴=-+++ 8．[2,10] 【解析】 【分析】根据向量的三角形不等式可得. 【详解】 解：6a =，4b =a b a b a b ∴-≤-≤+ 6464a b ∴-≤-≤+即[]2,10a b -∈ 故答案为：[]2,10 【点睛】本题考查向量的三角形不等式，属于基础题. 9．5- 【解析】 【分析】用三阶行列式的化简方法把方程左边化简，得到一个关于x 的一元一次方程，解出x 即可。
2017-2018学年上海市位育中学高二上学期期中考试数学试卷
2017年徐汇区位育中学高二第一学期数学期中考试试卷（川沙2017.11）一、填空题（本大题共12题，每题3分，共36分）1、已知a =（x ,3），b =（3,1），且a ∥b ，则x =_______.【答案】9.2、行列式2-1-1-453-24k 中，第2行第1列得元素的代数余子式的值为10，则实数k =_______.【答案】6.3、增广矩阵为3m -1n10?è???÷的二元一次方程组的实数解是x =1y =2ìí???，则m +n =__________. 【答案】4.4、已知矩阵A =1234?è???÷，B =65，则AB =____________. 【答案】3917.5、已知直线上两点A （2,3），B =（-1,5），则直线AB 的点方向式方程是____________. 【答案】23-y 3-2-=x .6、直线l 的一个方向向量d =（1,2），则l 与直线02-=+y x 的夹角为______________（结果用反三角函数值表示）.【答案】10103arccos .7、若实数x ,y 满足x -y +1￡0x +y -330y ￡4ìí???，则目标函数y x z +=2的最大值为_____________. 【答案】10.8、与直线0532=++y x 平行，且距离等于13的直线方程是___________. 【答案】08-3201832=+=++y x y x 或.9、若直线l ：3-kx y =与直线06-32=+y x 的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是___________.【答案】)(2π,6π.10、在△ABC 中，AB =6，AC =4，D 为BC 中点，则C B D A ?=____________.【答案】10.11、在平面直角坐标系y xO 中，在所有以点（1,0）为圆心且与直线01-2--=m y my （R m ∈）相切的圆中，半径最大的圆的标准方程是_____________.【答案】2)1-(22=+y x .12、在如图所示的平面中，点C 为半圆的直径AB 延长线上的一点，AB =BC =2，过动点P 作半圆的切线PQ ，若PC =2PQ ，则△PAC 的面积的最大值为______________. 【答案】54.二、选择题（本大题共4题，每题4分，共16分）13、关于向量，下列结论错误的是（）【A 】0a =0；【B 】a mn a n m )()(),(R nm ；【C 】AB =BA ；【D 】),()(R n m a n a m a n m ∈?+?=?+.【答案】A .14、如果命题“曲线C 上的点的坐标都是方程()0,=y x f 的解”是正确的，则下列命题正确的是（）【A 】曲线C 是方程()0,=y x f 的曲线;【B 】方程()0,=y x f 的每一组解对应的点都在曲线C 上；【C 】不满足方程()0,=y x f 的点x,y 不在曲线C 上; 【D 】方程()0,=y x f 是曲线C 的方程.【答案】C .15、设P 是圆：4)1y 3-(22=++（）x 上的动点，Q 是直线3-=x 上的动点，则PQ 的最小值为（）【A 】6；【B 】4；【C 】3；【D 】2.【答案】B .16、已知直线1l ：01-=+y ax ，2l ：R a ay x ∈=++,01，和两点A （0,1），B （-1,0），给出如下结论：①不论a 为何值时，1l 与2l 都互相垂直；②当a 变化时，1l 与2l 分别经过定点A （0,1）和B （-1,0）；③不论a 为何值时，1l 与2l 都关于直线0=+y x 对称；④如果1l 与2l 交于点M ，则MB MA ?的最大值是1；其中，所有正确的结论的个数是（）【A 】1；【B 】2；【C 】3；【D 】4.【答案】C .三、解答题（本大题共5题，共8+8+10+10+12=48分）17、讨论关于x ，y 的一元二次方程组12)1(322m y m x y mx 的解得情况.【答案】讨论：（1）2m 且3m 方程组有唯一解；（2）3m 方程组无解；（3）2m 方程组有无穷多解.18、已知圆O ：522=+y x .（1）当直线l ：02=++a y ax 与圆O 相交于A 、B 两点，且AB =22时，求直线l 的方程; （2）求与圆O 外切点（-1,2），且半径为52的圆方程.【答案】解（1）032-x 3-0323=+=++y y x 或;（2）20)6-()3(22=++y x .19、已知1,2==b a ，b 与a 的夹角为45°.（1）求b 在a 方向上的投影；（2）求b a 2+的值;（3）若向量)b 3-a )-2(λλ与（b a 的夹角是锐角，求实数λ的取值范围.【答案】解（1）1；（2）10；。
上海市位育中学第二学期高二期终考试数学卷(含参考答案)
上海市位育中学第二学期高二期终考试数学卷一、填空题（每题4分，共56分）1、设a <0，则a 的平方根是____________．2、若(x +1)10=a 0+a 1(x -1)+a 2(x -1)2+…+a 10(x -1)10，则系数a 0=____________．3、在复平面内，复数11i +、11i-对应的点分别为A 、B ，若点C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是____________．4、正四面体ABCD 的棱AD 与面ABC 所成角的大小为____________．5、从2、4中选一个数字，从1、3、5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为____________．6、棱长为2的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 是棱BC 的中点， 则点D 1到直线AE 的距离是____________．7、五个数1,2,5,a ,b 的均值为3，方差为2，则这五个数的中位数是____________．8、湖面上漂着一个小球，湖水结冰后将球取出，冰面上留下了一个直径为12cm ，深2 cm 的空穴，则该球的体积是____________cm 3． 9、2100被9除的余数为____________．10、在某次技能大赛中，有6位参赛者的成绩分别是70,76,72,70,72,90，从这6位参赛者中随机地选x 位，其中恰有1位的成绩是72的概率是815，则x 等于____________． 11、P 是半径为1的球面上任意一点，PA 、PB 、PC 是两两互相垂直的三条弦，则PA 2+PB 2+PC 2=____________．12、对任意一个非零复数z ，定义集合{|,*}n z M w w z n ==∈N ．设α是方程10x x+=的一个根，若在M a 中任取两个数，则其和为零的概率P =____________．13、已知球O l 、O 2的半径分别为l 、r ，体积分别为V 1、V 2，表面积分别为S 1、S 2，当r ∈(1,+∞)时，2121V V S S --的取值范围是____________．14、已知关于x 的方程-2x 2+bx +c =0，若b 、c ∈{0,1,2,3,4}，记“该方程有实数根x 1、x 2且满足-1≤x 1≤x 2≤2”为事件A ，则事件A 发生的概率为____________．二、选择题（每题5分，共20分）15、若z ∈C ，下列命题中，正确的命题是( )A ．||111z z <⇔-<<B ．0z z +=⇔z 是纯虚数C ．z 2=|z |2D ．20z ≥⇔z 是实数16．若l 、m 、n 为直线，α、β、γ为平面，则下列命题中为真命题的是( )A ．若m ∥α，m ∥β，则α∥βB ．若m ⊥α，n ⊥α，则m ∥nC ．若α⊥γ，β⊥γ，则α⊥βD ．若α⊥β，l ⊂α，则l ⊥β17、“n =5”是“n (n ∈N*)的展开式中含有常数项”的( )A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件18、01122110C C C C C C C C C C n n n n n n n n n n nn n n n ---++++等于( )A ．1122C +C n n n n -+B ．22(C )n n C ．2C n nD ．212C n n -三、解答题（本大题共五题，满分74分）19、（本题满分12分，第1小题6分，第2小题6分）(1) 复数z 的实部为8，|z |=10，求z 的值；(2) i 为虚数单位，1sin 2icos z θθ=+，2cos z θθ=+，若z 1=z 2，求θ 的值．20、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）(1) 两个相交平面M 与N ，它们的交线为l ．在l 上有3点，除这3点外在平面M 、N 上各有5点、4点，则这12点最多能确定多少个平面？(2) 某校以单循环制方法进行篮球比赛，其中有两个班级各比赛了3场后，不再参加比赛，这样一共进行了84场比赛，问：开始有多少班级参加比赛？21、（本题满分14分，第1小题5分，第2小题5分，第3小题4分）某校从参加高二年级期末考试的学生中抽出60名学生，并统计了他们的物理成绩（成绩均为整数且满分为100分），把其中不低于50分的分成五段[50,60),[60,70),…,[90,100]后画出如下部分．．频率分布直方图，观察图形的信息，回答下列问题：(1) 求出物理成绩低于50分的学生人数；(2) 估计这次考试物理学科及格率（60分及以上为及格）(3) 从物理成绩不及格的学生中选两人，求他们成绩至少有一个不低于50分的概率．22、（本题满分16分，第1小题5分，第2小题6分，第3小题5分）如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、M分别是棱AB、BC和DD1所在直线上．．．．．的动点．(1) 求 EB1F的取值范围；(2) 若N为面EB1F内的一点，且∠EBN=45︒，∠FBN=60︒，求∠B1BN的余弦值；(3) 若E、F分别是所在正方体棱的中点，试问在棱DD1上能否找到一点M，使BM⊥平面EFB1？若能，试确定点M的位置；若不能，请说明理由．23、（本题满分18分，第1小题8分，第2小题5分，第3小题5分）(1) 已知二项式(x+2)n展开式中最大的二项式系数为252，求展开式中系数最大的项；(2) 记(x+2)n展开式中最大的二项式系数为a n，求证：数列{a n}单调递增；(k=0,1,2,···,n)的单调性，并加以证明．(3) 给定不小于3的正整数n，试写出数列{C}kn位育中学第二学期高二期终考试数学答案一、填空题1、； 2、1024； 3、12； 4、 5、24； 6； 7、3； 8、40003π； 9、7； 10、2或4；11、4； 12、13；13、1(,)2+∞；14、1625． 二、选择题15、D16、B17、A18、C三、解答题19、（本题12分）解：(1) 设z =8+b i,(b ∈ R )，则由64+b 2=100，得b =±6，∴ z =8±6i ． 6分(2) 由z 1=z 2，得sin 2cos cos θθθθ=⎧⎪⎨⎪⎩，∴1sin 2tan θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，2,()6k k πθπ=+∈Z12分20、（本题14分）解：(1) 这12个点中，除l 上的三点共线外，其余无三点共线，最多能确定1112112345454526030402132C C C C C C C +++=+++=个平面．6分(2) 设开始有n 个班参加比赛，1︒ 若这两个班级之间比赛过1场，则22584n C -+=，无解，8分2︒ 若这两个班级之间没有过比赛，则22684n C -+=，解得n =15．答：开始有15个班级参加比赛． 14分21、（本题满分14分）解：(1) 因为各组的频率和等于1，故低于50分的频率为： 11(0.01520.030.0250.005)100.1f =-⨯+++⨯=3分 所以低于50分的人数为600.16⨯=（人）5分(2) 依题意，成绩60及以上的分数所在的第三、四、五、六组（低于50分的为第一组）， 频率和为(0.0150.030.0250.005)100.75+++⨯= 8分所以，抽样学生成绩的合格率是75%于是，可以估计这次考试物理学科及格率约为75%10分 (3) “成绩低于50分”及“[50,60)”的人数分别是6,9，所以从成绩不及格的学生中选两人， 他们成绩至少有一个不低于50分的概率为：26215617C P C =-=14分22、（本题满分16分） 解：(1) 设,BE x BF y ==，则11B E B F EF ===所以21cos 1EB F ∠=< ，1EB F ∠的取值范围为(0,)2π5分(2) 解：设N 在1BE BF BB 、、三边上的投影分别是111E F G 、、，则由于45,60EBN FBN ∠=︒∠=︒111cos 45,cos 60.22BE BN BN BF BN BN ∴=︒==︒= 2222111,BE BF BG BN ++=112BG BN ∴=，即160B BN ∠=，它的余弦值为1211分(3) 解：设EF 与BD 的交点为G ．连接B 1G ，则由EF ⊥BD 以及EF ⊥B 1B ，知EF ⊥平面BB 1D 1D ，于是面B 1EF ⊥面BB 1D 1D ，在面BB 1D 1D 内过B 作BK ⊥B 1G 于K ，延长后交D 1D 所在的直线于点M ，则BM ⊥平面B 1EF ．在平面BB 1D 1D 内，由△B 1BG ∽△BDM ，知B 1B BG ＝BD DM ，又B 1B ＝a ，BG ＝24a ，BD ＝2a ，∴DM ＝a2． 这说明点M 在正方体的棱D 1D 上，且恰好为D 1D 的中点． 16分23、（本题满分18分）解：(1) ∵ 4599126C C ==，510252C =，561111462C C ==，由第(2)、(3)题的结论可知：n =10，3分设(x +2)10展开式中系数最大的项是101102r rr r T C x -+=⋅(r =0,1,2,…,10)，则由1110101110102222r r r r r r r r C C C C --++⎧≥⎪⎨≥⎪⎩，（其中r =1,2,…,9），即1110!210!2!(10)!(1)!(11)!10!210!2!(10)!(1)!(9)!r r r r r r r r r r r r -+⎧⋅⋅≥⎪⋅--⋅-⎪⎨⋅⋅⎪≥⎪⋅-+⋅-⎩， 5分得223193r r ⎧≤⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩，（r =1,2,…,9），∴ r =7， 7分展开式中系数最大的项是7373810215360T C x x =⋅=．8分(2) 若n 为奇数，则n +1为偶数，1122n n n nna C C-+==，1211n n n a C+++=，∴ 11122211n n n n n nnn a CCCa +-+++==+>10分若n 为偶数，则n +1为奇数，2n n na C =，122111n n n n n a C C++++==，∴ 122211n n n n n nnn a CCC a -++==+>12分 综上可知：数列{a n }单调递增．13分 (3) 数列{C }k n (k =0,1,2,···,n )离首末两端等距离的项相等，且距离越远值越大． 15分证明如下：1!!!C C (12)(1)!(1)!!()!(1)!()!k k n n n n n n k k n k k n k k n k +-=-=--+⋅--⋅-+-当12n k -<时，1C C k k n n +<，当12n k ->时，1C C k k n n +>，其中k =0,1,2,…,n -1． 若n 为奇数，3101222C C C CCn n nnnn n --<<<<<，13122C>C>C C n n n nnnn n ++->>， 若n 为偶数，201222C C C C C n n nnnnn-<<<<<，2122C >C>C C n n n nnnn n+->>， 18分。
2018-2019学年上海市位育中学高二上学期10月月考数学试题(解析版)
【解析】由向量在向量方向上的投影定义得到方程，将向量的坐标代a b2||cos ,||a b a a b b ⋅-=<>=入，即可得到关于的关系.,m n 【详解】由向量在向量方向上的投影定义得：，a b2||cos ,||a b a a b b ⋅-=<>=，5225mm --=⇒=，取任意实数.2m =n 故选：C.【点睛】本题考查向量数量积中投影的定义，考查对投影概念的理解和坐标运算，属于容易题.） （2）()()a b c c a b ⋅⋅=⋅⋅[()()]0b c a c a b c ⋅⋅-⋅⋅⋅=）（4）||||||a b a b -<-22(32)(32)9||4||a b a b a b +⋅-=- 其中正确命题的个数是（ ）1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】对（1），向量的数量积不满足结合律；对（2），利用向量的数量积与数乘运算，再根据数量积的交换律可判断；对（3），根据向量差的模与模的差的关系，根据其几何意义判断；对（4），利用数量积运算的分配律.【详解】1），向量的数量积不满足结合律，所以错误，故（1）错误；()()a b c c a b ⋅⋅=⋅⋅ 2），原式，故（2）正确；()()()()()()()()0b c a c c a b c b c a c b c a c =⋅⋅⋅-⋅⋅⋅=⋅⋅⋅-⋅⋅⋅= 3），由向量的减法法则知，两向量差的模一定大于两向量模的差，故（3）正确；，则，过点作的垂线，垂足为，|4AB =0||1P B = C AB H 上任取一点，设，则由数量积的几何意义可得，AB P 0HP a=，2||||||(1)||PC PH PB PB a PB =⋅=-+ ，0P C a⋅=-恒成立，00PB PC P B P C ⋅≥⋅整理得恒成立，2||(1)||0PB a PB a -++≥△即可，于是，22(1)4(1)0a a a =+-=-≤1a =，即是的中点，故是等腰三角形，2HB =H AB ABC ∆．AC BC =向量解决简单的几何问题的能力.二、填空题5．______.AB BC CA ++= 【答案】0【解析】根据向量加法的法则即可化简求值.【详解】因为，AB BC AC += 所以.+0AB BC CA AC CA ++== 故答案为：0【点睛】本题主要考查了向量的加法运算，属于容易题.6．方程组的増广矩阵是_____________.60320x y x y +-=⎧⎨-+=⎩【答案】116312⎛⎫ ⎪--⎝⎭【解析】先将方程组转化成，写出方程组的系数矩阵，再加入常数列，从而得到増广矩632x y x y +=⎧⎨-=-⎩阵.【详解】因为方程组等价于，60320x y x y +-=⎧⎨-+=⎩632x y x y +=⎧⎨-=-⎩所以系数矩阵为，1131⎛⎫⎪-⎝⎭所以増广矩阵是.116312⎛⎫ ⎪--⎝⎭故答案为：.116312⎛⎫ ⎪--⎝⎭；(5,12)AB =所以与方向相同的单位向量坐标为：．AB(,)|5121313|AB AB = 故答案为：．512,1313⎛⎫ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查向量的坐标表示及单位向量的坐标运算，考查基本运算求解能力，注意所求单位向量的方向方向相同．AB．三阶行列式的元素4的代数余子式是___________.1234567892389-【答案】5【解析】先根据二阶行列式的计算得到，再由三角恒等变换中的辅助角公式，()3sin 4cos f x x x =-化成正弦型三角函数，从而求得最大值.()x 【详解】，其中，sin 4cos ()3sin 4cos 5sin()31x xf x x x x θ==-=-4tan 3θ=时，.sin()1x θ-=max ()5f x =故答案为：.5【点睛】本题考查二阶行列式的计算、三角恒等变换公式的应用、三角函数的最值，考查转化与化归思想的运用，求解时注意辅助角公式的运用.．计算：________.3432⎛⎫⎛⎫=⎪⎪⎝⎭⎝⎭【答案】881820⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】由第一个矩阵的第一行元素与第二个矩阵的第一列元素对应相乘再相加得到相乘后矩阵的第一行第一列的元素，其它行列的元素依此类推，即可得到答案.【详解】由第一个矩阵的第一行元素与第二个矩阵的第一列元素对应相乘再相加得到相乘后矩阵的第一行第一列的元素，其它行列的元素依此类推：.12243432⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭881820⎛⎫ ⎪⎝⎭故答案为：.881820⎛⎫⎪⎝⎭的范围为且；212x <67x ≠-故答案为：且.212x <67x ≠-【点睛】本题考查向量夹角与向量数量积的关系，考查转化与化归思想的应用，求解时注意数量积小于0无法保证向量的夹角为钝角，还要把共线向量的情况除掉．．在中，若，则的形状为__________.ABC ∆AB AC BA BC ⋅=⋅ABC ∆【答案】等腰三角形【解析】由向量数量积的定义，将等式转化成，再由三角形的中线与高合一，||cos ||cos AC A BC B =判断三角形的形状.【详解】交于，CD AB ⊥AB D【点睛】本题考查三角形形状的判定，求解过程中要注意利用向量既有几何又有代数的双重身份进行求解，求解的关键在于和平面几何知识的结合运用 【答案】或34-【解析】由直线的方程可得直线的一个方向向量为，利用:(21)10l a x ay +-+=(,21)v a a =+可求得的值.0=a 【详解】为直线的一个方向向量，(,21)a a =+l 或.0n v ⋅= 4(21)320a a a a ⇒+⇒+⋅==-0a =故答案为：或0.34-【点睛】【解析】先利用向量的数量积公式，求出，利用余弦定理求出，由等面积可得60BOC ∠=︒BC 的距离，即可求出面积的最大值．ABC ∆【详解】，，，3OB =2OC =3OB OC ⋅=，60BOC =︒，19423272BC =+-⨯⨯⨯=到的距离为，则由等面积可得，BC h 113732222h ⋅⋅=⋅⋅⋅，3217=132133又因为与平行,则②,BC OA 1231x y +-=①②可得,,,14x =7y =的坐标为OC()14,7【点睛】本题考查向量的垂直与平行关系,考查坐标法处理向量的位置关系,考查运算能力．已知，求与的夹角.32(2,4),(2,2),2,||4a b c a c b -=-=-⋅==b c 【答案】32arccos16π-【解析】利用向量的夹角公式，根据条件分别把三个值算出，再代cos ,||||b cb c b c ⋅<>=,||,||b c b c ⋅【答案】当时，方程有无数解；当时，方程组无解；当且时，方程组有唯3m =1m =-3m ≠1m ≠2141m x m m y m --⎧=⎪⎪+⎨--⎪=⎪+⎩【解析】将原方程组写成矩阵形式为，其中为方阵，为2个变量构成列向量，Ax b =A 22⨯x b 个常数构成列向量．计算系数矩阵对应的行列式，再对进行分类讨论，求得方223D m m =--D 程组解的情况.【详解】系数矩阵对应的行列式，221233m D m m m -==--，即且时，方程组有唯一的解，2230m m =--≠1m ≠-3m ≠【解析】（1）作出图形，可得出，根据面积比为得出，从而得出CDE ABC ∆∆ 4923CD AC =，设点，利用向量的坐标运算求出点的坐标，并求出直线的斜率，即为直2DA =(),D m n D AB 的斜率，然后利用点斜式方程可得出直线的方程；l ）求出直线的方程和，设点到直线的距离为，利用的面积为求出AB ABC AB d ABC ∆2d 值，结合点到直线的距离公式可求出关于的函数关系式.y x 【详解】），即，，且，//l AB //DE AB CDE ABC ∴∆∆ 249CDE ABC CD S S AC ∆∆⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭，设点的坐标为，，，2CD DA =D(),m n ()4,5CD m n =-- ()1,2DA m n =-- ()()421522m m n n -=--=-23m n =⎧⎨=⎩()2,3D ∴（2）直线的方程为，即，AB ()1213y x -=-350x y -+=，()()22122110AB =++-=设点到直线的距离为，则的面积为，C AB d ABC ∆1110222ABC S AB d d ∆=⋅=⨯⨯=得，另一方面，由点到直线的距离公式得，410d =()223541013x y d -+==+-，解得或.354y -+=±1133y x =+133y x =+因此，关于的函数关系式为或.y x 1133y x =+133y x =+【点睛】【答案】（1），；（2）41x y x =-1,13x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦11,43k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦【解析】（1）由为的中点，为的中点，，结合平面向量的基本D BC M AD ,AP xAB AQ y AC ==定理及三点共线的充要条件，可得关于的方程，进而可得函数的表达式；xy ()y f x =）设的面积为，则的面积，，利用导数法，求出ABC ∆21S =APQ ∆2141x S xy x ==-1(1)3x ≤≤函数的值域，可得答案．【详解】）如图所示：为的中点，为的中点，BC M AD ，111111()222244AM AD AB AC AB AC==+=+ 三点共线，PQM时，，函数为增函数，1时，取最小值，12x =1S 14，或时，取最大值，13=1x =1S 13，1211[,]43∈，所以12APQ ABCS S k S S ∆∆==11[,]43k ∈。
上海市徐汇区位育中学2018-2019学年高二上学期开学考试数学试题
上海市徐汇区位育中学2018-2019学年高二上学期开学考试数学试题学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________一、填空题1. 计算：______.2. 函数的反函数是______.3. 已知，，若，则实数的值为______.4. 已知向量，则与向量平行的单位向量为______.5. 幂函数的图像与坐标轴没有公共点，且关于轴对称，则的值为______.6. 已知函数的图像不经过第四象限，则实数的取值范围是______.7. 设，则实数的取值范围是______.8. 已知，，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是______.9. 若函数，的图像关于对称，则________．10. 在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，且，其中,则__________.11. 已知△ABC为等边三角形,,设点P,Q满足,,,若,则______________________12. 已知数列的通项公式为，数列的通项公式为，设，若在数列中，对任意恒成立，则实数的取值范围是_____;二、单选题13. 已知向量,则下列能使成立的一组向量是( )A．B．C．D．14. 把函数的图像经过变化可得到函数的图像，这个变化是（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位15. 设是无穷等差数列的前项和（），则“存在”是“该数列公差”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件16. 已知等比数列的前项和为，则下列判断一定正确是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则三、解答题17. 在中，设，，、分别是、上的点，且，，设与相交于点，试用向量、表示.18. 已知函数，（1）求函数的单调递增区间；（2）求满足且的的集合.19. 已知数列的前项和为，且.（1）设数列满足，证明：数列是等比数列；（2）求为多少时，取得最小值？20. 已知函数，.（1）讨论函数的奇偶性；（2）设函数，若关于的不等式有实数解，求实数的取值范围.21. 设数列的前项和为，若，则称是“紧密数列”.（1）若数列的前项和为，判断是否是“紧密数列”，并说明理由；（2）设数列是公比为的等比数列，若数列与都是“紧密数列”，求的取值范围.。
2018-2019学年上海市位育中学高二上学期10月月考数学试题(解析版)
2018-2019学年上海市位育中学高二上学期10月月考数学试题一、单选题1．已知(,),(5,0)a m n b ==-且向量a 在向量b 方向上的投影是2-，则（ ） A ．2,2m n ==- B ．2,2m n =-=C ．2m =，n 取任意实数D ．2m =-，n 取任意实数【答案】C【解析】由向量a 在向量b 方向上的投影定义得到方程2||cos ,||a ba ab b ⋅-=<>=，将向量的坐标代入，即可得到关于,m n 的关系. 【详解】由向量a 在向量b 方向上的投影定义得：2||cos ,||a ba ab b ⋅-=<>=， 所以5225mm --=⇒=， 所以2m =，n 取任意实数.故选：C. 【点睛】本题考查向量数量积中投影的定义，考查对投影概念的理解和坐标运算，属于容易题. 2．设a 、b 是非零向量，命题甲：//a b 且||||a b =，命题乙：a b =，则命题甲是命题乙的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分又非必要条件【答案】B【解析】由于命题甲中两个向量可能为相反向量，所以推不出命题乙，反过来命题乙成立可以推出命题甲成立，故可得到答案. 【详解】因为命题甲中两个向量可能为相反向量，所以推不出命题乙，所以充分性不成立；反过来，当两个向量是相等向量时，则这两个向量互相平行且大小相等，所以命题乙可推出命题甲成立， 所以必要性成立. 故选：B. 【点睛】本题以相等向量、平行向量、模的概念为背景，考查简易逻辑知识，考查对概念的理解与应用，属于容易题.3．设a 、b 、c 是三个任意的非零平面向量，且互不平行，有下列四个结论： （1）()()a b c c a b ⋅⋅=⋅⋅ （2）[()()]0b c a c a b c ⋅⋅-⋅⋅⋅=（3）||||||a b a b -<- （4）22(32)(32)9||4||a b a b a b +⋅-=- 其中正确命题的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】C【解析】对（1），向量的数量积不满足结合律；对（2），利用向量的数量积与数乘运算，再根据数量积的交换律可判断；对（3），根据向量差的模与模的差的关系，根据其几何意义判断；对（4），利用数量积运算的分配律. 【详解】对（1），向量的数量积不满足结合律，所以()()a b c c a b ⋅⋅=⋅⋅错误，故（1）错误； 对（2），原式()()()()()()()()0b c a c c a b c b c a c b c a c =⋅⋅⋅-⋅⋅⋅=⋅⋅⋅-⋅⋅⋅=，故（2）正确；对（3），由向量的减法法则知，两向量差的模一定大于两向量模的差，故（3）正确； 对（4），由数量积运算的分配律得：2222(32)(32)949||4||a b a b a b a b +⋅-=-=-， 故（4）正确. 故选：C. 【点睛】本题考查向量数量积的运算律和向量加法、减法法则的运用，考查对概念的深刻理解与运用，属于中档题.4．设的边AB 上一定点0P 满足014P B AB =，且对于边AB 上任一点P ，恒有00PB PC P B P C ⋅≥⋅，则（ ）A ．2ABC π∠=B ．2BAC π∠=C ．AB AC =D ．AC BC =【答案】D【解析】设||4AB =，则0||1P B =，过点C 作AB 的垂线，垂足为H ，在AB 上任取一点P ，设0HP a =，则由数量积的几何意义可得2||(1)||0PB a PB a -++≥恒成立，只需△22(1)4(1)0a a a =+-=-≤即可，由此能求出ABC ∆是等腰三角形，AC BC =．【详解】设||4AB =，则0||1P B =，过点C 作AB 的垂线，垂足为H ， 在AB 上任取一点P ，设0HP a =，则由数量积的几何意义可得，2||||||(1)||PB PC PH PB PB a PB ⋅=⋅=-+，00P B PC a ⋅=-， 于是00PB PC P B P C ⋅≥⋅恒成立，整理得2||(1)||0PB a PB a -++≥恒成立，只需△22(1)4(1)0a a a =+-=-≤即可，于是1a =，因此2HB =，即H 是AB 的中点，故ABC ∆是等腰三角形， 所以AC BC =． 故选：D.【点睛】本题考查平面向量的运算、向量的模及向量的数量积的概念、向量运算的几何意义的应用，考查利用向量解决简单的几何问题的能力.二、填空题5．AB BC CA ++=______. 【答案】0【解析】根据向量加法的法则即可化简求值.【详解】因为AB BC AC +=，所以+0AB BC CA AC CA ++==. 故答案为：0 【点睛】本题主要考查了向量的加法运算，属于容易题. 6．方程组60320x y x y +-=⎧⎨-+=⎩的増广矩阵是_____________.【答案】116312⎛⎫⎪--⎝⎭【解析】先将方程组转化成632x y x y +=⎧⎨-=-⎩，写出方程组的系数矩阵，再加入常数列，从而得到増广矩阵. 【详解】 因为方程组60320x y x y +-=⎧⎨-+=⎩等价于632x y x y +=⎧⎨-=-⎩，所以系数矩阵为1131⎛⎫⎪-⎝⎭，所以増广矩阵是116312⎛⎫⎪--⎝⎭.故答案为：116312⎛⎫⎪--⎝⎭.【点睛】本题考查増广矩阵的概念，考查对概念的理解与应用，属于容易题.7．已知点(1,3),(4,15)A B -，则与AB 同向的单位向量为________________. 【答案】512,1313⎛⎫⎪⎝⎭【解析】可求出(5,12)AB =，从而得出与AB 方向相同的单位向量为(,)|5121313|AB AB =． 【详解】因为(5,12)AB =；所以与AB 方向相同的单位向量坐标为：(,)|5121313|AB AB =． 故答案为：512,1313⎛⎫⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查向量的坐标表示及单位向量的坐标运算，考查基本运算求解能力，注意所求单位向量的方向与AB 方向相同．8．三阶行列式123456789的元素4的代数余子式是___________. 【答案】2389-【解析】利用代数余子式定义直接求解． 【详解】在三阶行列式123456789中， 元素4的代数余子式的为：32323(1)8989-=-．∴元素4的代数余子式的为2389-． 故答案为：2389-． 【点睛】本题考查行列式的代数余子式的求法，而不是求代数余子式的值，解题时要认真审题，考查概念的理解与应用．9．函数sin 4cos )31(x x f x =的最大值为_____________.【答案】5【解析】先根据二阶行列式的计算得到()3sin 4cos f x x x =-，再由三角恒等变换中的辅助角公式，将()f x 化成正弦型三角函数，从而求得最大值. 【详解】 因为sin 4cos ()3sin 4cos 5sin()31x x f x x x x θ==-=-，其中4tan 3θ=，当sin()1x θ-=时，max ()5f x =. 故答案为：5. 【点睛】本题考查二阶行列式的计算、三角恒等变换公式的应用、三角函数的最值，考查转化与化归思想的运用，求解时注意辅助角公式的运用.10．若ABCD 为正方形，E 为CD 的中点，且AB a =，AD b =，则BE 可以用a 和b 表示为____________.【答案】12BE b a =-【解析】利用平面向量基本定理，取a 和b 为基底，将BE 用基向量表示出即可． 【详解】如图，1122BE AE AB AD DE AB AD AB AB b a =-=+-=+-=-． 故答案为：12BE b a =-.【点睛】考查向量的加法、减法、数乘运算的综合运用，属于容易题． 11．计算：12243432⎛⎫⎛⎫=⎪⎪⎝⎭⎝⎭________.【答案】881820⎛⎫⎪⎝⎭【解析】由第一个矩阵的第一行元素与第二个矩阵的第一列元素对应相乘再相加得到相乘后矩阵的第一行第一列的元素，其它行列的元素依此类推，即可得到答案. 【详解】由第一个矩阵的第一行元素与第二个矩阵的第一列元素对应相乘再相加得到相乘后矩阵的第一行第一列的元素，其它行列的元素依此类推：所以12243432⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭881820⎛⎫ ⎪⎝⎭.故答案为：881820⎛⎫ ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查矩阵相乘的定义，考查基本运算求解能力，属于容易题.12．设(2,7),(,3)p q x ==-，若p 与q 的夹角为钝角，则x 的取值范围是_________. 【答案】6621,,772⎛⎫⎛⎫-∞-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∪ 【解析】利用数量积公式知向量的夹角为钝角时数量积小于0且不是方向相反的向量，除去当两向量平行时x 的取值，进而得到x 的取值范围. 【详解】p 与q 的夹角为钝角，∴0p q ⋅<，即2210x -<，解得212x <. 当p 与q 方向相反时，设p q λ=且0λ<，(2,7)∴(,3)x λλ=-，∴273x λλ=⎧⎨=-⎩，67x ∴=-.x \的范围为212x <且67x ≠-； 故答案为：212x <且67x ≠-.【点睛】本题考查向量夹角与向量数量积的关系，考查转化与化归思想的应用，求解时注意数量积小于0无法保证向量的夹角为钝角，还要把共线向量的情况除掉．13．在ABC ∆中，若AB AC BA BC ⋅=⋅，则ABC ∆的形状为__________. 【答案】等腰三角形【解析】由向量数量积的定义，将等式转化成||cos ||cos AC A BC B =，再由三角形的中线与高合一，判断三角形的形状. 【详解】作CD AB ⊥交AB 于D ， 因为AB AC BA BC ⋅=⋅所以||||cos ||||cos ||cos ||cos AB AC A BA BC B AC A BC B =⇒=， 所以AD BD =，则D 为AB 的中点， 由三角形底边AB 中线与高合一， 所以ABC ∆为等腰三角形. 故答案为：等腰三角形.【点睛】本题考查三角形形状的判定，求解过程中要注意利用向量既有几何又有代数的双重身份进行求解，求解的关键在于和平面几何知识的结合运用.14．若向量(1,2)n a =是直线:(21)10l a x ay +-+=的一个法向量，则a =___________.【答案】34-或0 【解析】由直线:(21)10l a x ay +-+=的方程可得直线的一个方向向量为(,21)v a a =+，利用0n v ⋅=可求得a 的值.【详解】取(,21)v a a =+为直线l 的一个方向向量， 所以0n v ⋅=4(21)320a a a a ⇒+⇒+⋅==-或0a =.故答案为：34-或0. 【点睛】本题考查直线的方向向量与法向量的关系，考查基本运算求解能力，属于容易题. 15．在ABC ∆中，14AM AB m AC =+⋅，向量AM 的终点M 在ABC ∆的内部（不含边界），则实数m 的取值范围是 ． 【答案】304m <<【解析】【详解】试题分析：设1,4AD AB =过点D 作DE 平行AC 于E 点，则3,4DE AC =由向量加法的几何意义知，点M 必在线段DE 上（不含端点）.又0m =时，M D =；34m =时，M E =，所以304m <<. 【考点】向量加法的几何意义16．给定平面上四点,,,O A B C 满足4,3,2,3OA OB OC OB OC ===⋅=，则ABC ∆面积的最大值为_______.【答案】 【解析】先利用向量的数量积公式，求出60BOC ∠=︒，利用余弦定理求出BC ，由等面积可得O 到BC 的距离，即可求出ABC ∆面积的最大值． 【详解】3OB =，2OC =，3OB OC ⋅=，60BOC ∴∠=︒，BC ∴==设O 到BC 的距离为h ，则由等面积可得1132222h =⋅⋅⋅，7h ∴=，ABC ∆∴面积的最大值为1(4)27+=故答案为：． 【点睛】本题考查向量在几何中的应用，考查三角形面积的计算，考查分析解决问题的能力，求出BC ，O 到BC 的距离是关键．三、解答题17．已知O 为原点，(3,1)OA =，(1,2)OB =-，OC 与OB 垂直，BC 与OA 平行，求OC 的坐标. 【答案】(14,7).【解析】设C 为(),x y ,则(),OC x y =,故BC OC OB =-,由题可得0OC OB ⋅=,BC 与OA 平行,进而求出点C 坐标即可 【详解】由题, 设C 为(),x y ,则(),OC x y =,所以()1,2BC OC OB x y =-=+- 因为OC 与OB 垂直,则0OC OB ⋅=,即20x y -+=①, 又因为BC 与OA 平行,则1231x y +-=②, 由①②可得,14x =,7y =, 所以OC 的坐标为()14,7 【点睛】本题考查向量的垂直与平行关系,考查坐标法处理向量的位置关系,考查运算能力 18．已知32(2,4),(2,2),2,||4a b c a c b -=-=-⋅==，求b 与c 的夹角.【答案】arccos16π-【解析】利用向量的夹角公式cos ,||||b cb c b c ⋅<>=，根据条件分别把,||,||b c b c ⋅三个值算出，再代入公式求得余弦值，即可得到答案. 【详解】因为(32)(2,4)(2,2)12a b c -⋅=-⋅-=， 所以32123a c b c b c ⋅-⋅=⇒⋅=-， 因为(2,2)c =-，所以||22c =，所以cos ,16||||42b c b c b c ⋅<>===-⋅，因为,[0,]b c π<>∈，所以,arccos 16b c π<>=-. 【点睛】本题考查向量夹角、向量数量积、向量的模及已知三角函数值求角等知识的交会，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求夹角时要注意反三角函数知识的运用.19．用行列式的方法解关于x ，y 的方程组(2)36m x y mx my m -+=-⎧⎨+=--⎩，并对解的情况进行讨论.【答案】当3m =时，方程有无数解；当1m =-时，方程组无解；当3m ≠且1m ≠时，方程组有唯一解2141m x m m y m --⎧=⎪⎪+⎨--⎪=⎪+⎩【解析】将原方程组写成矩阵形式为Ax b =，其中A 为22⨯方阵，x 为2个变量构成列向量，b 为2个常数构成列向量．计算系数矩阵对应的行列式223D m m =--，再对D 进行分类讨论，求得方程组解的情况. 【详解】系数矩阵对应的行列式221233m D m m m-==--，当2230D m m =--≠，即1m ≠-且3m ≠时，方程组有唯一的解，1621m m m m x D m -----==+，62341mm m y m D m ----==--+． 2230D m m =--=，即3m =或1m =-时．当3m =时，原方程为3339x y x y +=-⎧⎨+=-⎩无数个解，当1m =-时，原方程组为3133x y x y -+=⎧⎨-=-⎩无解．【点睛】本题二元一次方程组解的行列式求法，考查基本的运算求解能力． 20．在ABC ∆中，已知()1,2A 、()2,1B -．（1）若点C 的坐标为()4,5C ，直线//l AB ，直线l 交AC 边于D ，交CB 边于E ，且CDE ∆与ABC ∆的面积之比为49，求直线l 的方程；（2）若(),C x y 是一个动点，且ABC ∆的面积为2，试求y 关于x 的函数关系式． 【答案】（1）370x y -+=；（2）1133y x =+或133y x =+.【解析】（1）作出图形，可得出CDEABC ∆∆，根据面积比为49得出23CD AC =，从而得出2CD DA =，设点(),D m n ，利用向量的坐标运算求出点D 的坐标，并求出直线AB 的斜率，即为直线l 的斜率，然后利用点斜式方程可得出直线l 的方程；（2）求出直线AB 的方程和AB ，设点C 到直线AB 的距离为d ，利用ABC ∆的面积为2求出d 的值，结合点到直线的距离公式可求出y 关于x 的函数关系式. 【详解】 （1）//l AB ，即//DE AB ，CDEABC ∴∆∆，且249CDE ABC CD S S AC ∆∆⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭， 2CD DA ∴=，设点D 的坐标为(),m n ，()4,5CD m n =--，()1,2DA m n =--，()()421522m m n n ⎧-=-⎪∴⎨-=-⎪⎩，解得23m n =⎧⎨=⎩，()2,3D ∴.直线AB 的斜率为211123AB k -==+，//l AB ，则直线l 的斜率为13. 因此，直线l 的方程为()1323y x -=-，即370x y -+=；（2）直线AB 的方程为()1213y x -=-，即350x y -+=，AB ==设点C 到直线AB 的距离为d ，则ABC ∆的面积为11222ABC S AB d d ∆=⋅==， 得d =，另一方面，由点到直线的距离公式得d ==， 354x y ∴-+=±，解得1133y x =+或133y x =+.因此，y 关于x 的函数关系式为1133y x =+或133y x =+.【点睛】本题考查直线方程的求解，同时也考查了利用三角形的面积求出动点的轨迹方程，涉及两点间的距离公式、点到直线的距离公式的应用，考查运算求解能力，属于中等题. 21．如图，M 为ABC ∆的中线AD 的中点，过点M 的直线分别交,AB AC 两边于点,P Q ，设,AP xAB AQ y AC ==，记()y f x =（1）求函数()y f x =的表达式；（2）设APQ ∆的面积为1S ，ABC ∆的面积为2S ，且12S kS =，求实数k 的取值范围 【答案】（1）41x y x =-，1,13x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦；（2）11,43k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦【解析】（1）由D 为BC 的中点，M 为AD 的中点，,AP xAB AQ y AC ==，结合平面向量的基本定理及三点共线的充要条件，可得关于xy 的方程，进而可得函数()y f x =的表达式；（2）设ABC ∆的面积为21S =，则APQ ∆的面积2141x S xy x ==-，1(1)3x ≤≤，利用导数法，求出函数的值域，可得答案． 【详解】 （1）如图所示：D Q 为BC 的中点，M 为AD 的中点，∴111111()222244AM AD AB AC AB AC ==+=+， 又PQM 三点共线，故(1)(1)AM AP AQ AB y AC λλλ=+-=+-，故141(1)4x y λλ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，故11144x y+=， 即()41x y f x x ==-，1(1)3x ≤≤. （2）设ABC ∆的面积为21S =，则APQ ∆的面积2141x S xy x ==-，1(1)3x ≤≤故2'1242(41)x xS x -=-，当1132x ≤<时，'10S <，函数为减函数， 当112x <≤时，'10S >，函数为增函数，故当12x =时，1S 取最小值14，当13x =，或1x =时，1S 取最大值13， 故1211[,]43S S ∈， 因为12APQ ABCS S k S S ∆∆==，所以11[,]43k ∈【点睛】本题考查函数的解析式的求解，向量的线性运算，向量共线的充要条件，三角形面积公式，考查函数与方程思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力．。
2018-2019学年上海市徐汇区高二上学期期末数学试题(解析版)
2018-2019学年上海市徐汇区高二上学期期末数学试题一、单选题1．“直线l 1、l 2互相垂直”是“直线l 1、l 2的斜率之积等于–1”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件【答案】B【解析】分别判断充分性和必要性得到答案. 【详解】直线l 1、l 2互相垂直，可能斜率不存在，不能得到直线l 1、l 2的斜率之积等于–1，不充分；直线l 1、l 2的斜率之积等于–1，则直线l 1、l 2互相垂直，必要性； 故选：B 【点睛】本题考查了必要不充分条件，意在考查学生的推断能力.2．设双曲线22221x y a b-= (a >0，b >0)的虚轴长为2，焦距为方程为( )A ．y ＝B ．y ＝±2xC ．y ＝±2x D ．y ＝±12x【答案】C【解析】由题意知,∴2=c 2-b 2∴渐近线方程为y=±bax=±2x.故选C.3．曲线2260x y x +-=与直线()2y k x =+有公共点的充要条件是（ ）．A ．3,04k ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭B ．40,3k ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦C ．30,4k ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦D ．33,44k ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】根据圆心到直线的距离小于等于半径列式求解即可. 【详解】由题,圆()2239x y -+=半径为3,故圆心()3,0到直线20kx y k -+=距离230231k k dk -+=≤+,即222599k k ≤+,解得3344k -≤≤.故选：D 【点睛】本题主要考查了根据圆与直线的位置关系求解参数范围的问题,属于基础题.4．如图，设在椭圆22154x y +=中，1B 和B 是短轴端点，P 是椭圆上不同于1B 和B 的任一点，直线1,PB PB 分别交x 轴于,M N ，则OM ON ⋅=（ ）．A ．4B ．4.5C ．5D ．5.5【答案】C【解析】设()00,P x y ，根据点p 在椭圆上，有2200154x y +=，然后由点1B 和B 的坐标，写出1002:2PB x y l x y +=+，002:2PB x y l x y -=-，再分别令0y =，得到M x ，N x 求解. 【详解】设()00,P x y ，则2200154x y +=，即()2200454x y =-，所以1002:2PB x y l x y +=+，002:2PB x y l x y -=-， 分别令0y =，得0022M x x y =+，0022N x x y -=-，所以200020002245224x x x OM ON y y y -⋅=⋅==+--. 故选：C ． 【点睛】本题主要考查椭圆的方程的应用以及直线的交点问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.二、填空题5．若直线l 过点()2,3-，且平行于向量()3,4d =u r，则直线l 的点方向式方程为________．【答案】2334x y -+=【解析】利用平行向量求出直线斜率，可得点斜式方程，化简即可得结果. 【详解】因为直线l 过点()2,3-，且平行于向量()3,4d =u r， 所以直线的斜率43k =， 直线方程为()4323y x +=-， 则直线l 的点方向式方程为2334x y -+=， 故答案为：2334x y -+=. 【点睛】本题主要考查直线的点方向式方程，正确理解点方向式方程的定义是解题的关键. 6．抛物线24y x =的焦点坐标是______． 【答案】(1,0)【解析】抛物线24y x =的焦点在x 轴上，且2,12pp =∴=，所以抛物线24y x =的焦点坐标为()1,0，故答案为()1,0. 7．已知直线的倾斜角的余弦值是12，则此直线的斜率是________．【解析】先求出倾斜角的正弦，再求出其余弦，可得倾斜角的正切值，则直线的斜率可求. 【详解】设直线的倾斜角为α, 因为直线的倾斜角的余弦值是12所以1cos 2α=, sin α∴==,此直线的斜率2tan 12k α===.【点睛】本题主要考查直线的倾斜角与斜率的关系，考查了同角三角函数的关系，属于基础题.8．双曲线2213x y -=的两条渐近线的夹角为______.【答案】60o【解析】根据双曲线的方程，求得其渐近线的方程，利用斜率与倾斜角的关系，以及双曲线的对称性，即可求解. 【详解】由题意，双曲线2213x y -=，可得两条渐近线方程为y x =，设直线y =的倾斜角为α，则tan [0,180)αα=∈o o ，解得30α=o ， 根据双曲线的对称性，可得两见解析的夹角为260α=o . 故答案为：60o . 【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质的应用，同时考查了直线的斜率与倾斜角的关系的应用，属于基础题.9．点()1,1P -到直线10x y -+=的距离是__________．【解析】点()1,1P -到直线10x y -+=2=10．方程2244kx y k +=表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是________． 【答案】()0,4【解析】将方程化为标准形式，结合椭圆的几何性质求解即可. 【详解】0k =时不合题意，0k ≠时，由2244kx y k +=可得2214x y k+=，因为方程2244kx y k +=表示焦点在x 轴上的椭圆，所以04k <<， 故答案为：()0,4. 【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程，考查了分类讨论思想的应用，属于基础题.11．若圆22240x y x y ++-=被直线30x y a ++=平分，则a 的值为__________． 【答案】1a =；【解析】求出圆的圆心坐标，代入直线方程求解即可． 【详解】解：22240x y x y ++-=Q ()()22125x y ∴++-=22240x y x y ∴++-=的圆心(1,2)-．圆22240x y x y ++-=被直线30x y a ++=平分，可知直线经过圆的圆心，可得320a -++= 解得1a =； 故答案为：1． 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的应用，属于基础题．12．抛物线的焦点为椭圆22154x y +=的右焦点，顶点在椭圆的中心，则抛物线方程为________ 【答案】24y x =【解析】由椭圆方程可求得右焦点坐标，从而得到12p=，求得p 后即可得到抛物线方程. 【详解】由椭圆方程知，椭圆右焦点为()1,0 设抛物线方程为：22y px =，则12p= 2p ∴= ∴抛物线方程为：24y x = 故答案为：24y x = 【点睛】本题考查抛物线方程的求解，关键是能够根据椭圆标准方程求得焦点坐标，属于基础题. 13．已知圆与抛物线的准线相切，则__________．【答案】2【解析】试题分析：，圆心为，半径为4，抛物线准线为，由圆与直线相切可知【考点】直线和抛物线的性质14．设1F 、2F 是椭圆2214x y +=的两个焦点，点P 在椭圆上，且满足122F PF π∠=，则12F PF △的面积等于________． 【答案】1【解析】利用椭圆的定义与勾股定理可得122PF PF ⋅=，再由三角形面积公式可得结果. 【详解】因为1F 、2F 是椭圆2214x y +=的两个焦点，点P 在椭圆上，且满足122F PF π∠=，所以122221224412PF PF a PF PF c +==⎧⎨+==⎩ ()()222121212216124PF PF PF PF PF PF ⇒⋅=+-+=-=，所以122PF PF ⋅=， 则12F PF △的面积等于12112PF PF ⋅=， 故答案为：1. 【点睛】本题主要考查椭圆的定义与几何性质，意在考查学生灵活应用所学知识解答问题的能力，属于基础题.15．已知圆22:6480C x y x y +--+=．以圆C 与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为 ．【答案】221412x y -=【解析】本小题主要考查圆、双曲线的性质．圆22:6480C x y x y +--+=20680y x x =⇒-+=，得圆C 与坐标轴的交点分别为(20)，，(40)，， 则22,4,12a c b ===，所以双曲线的标准方程为221412x y -=．16．若实数,,a b c 成等差数列，点()1,0P -在动直线:0l ax by c ++=上的射影为M ，点()0,3N ，则线段MN 长度的最小值是________．【答案】4【解析】由,,a b c 成等差数列得直线:0l ax by c ++=过定点()1,2Q -，然后可知M 在以PQ 为直径的圆上，由图形可知min MN CN r =-，求出,CN r 即可得到结果. 【详解】解：由a 、b 、c 成等差数列可得20a b c -+=，∴直线:0l ax by c ++=过定点()1,2Q -，由点()1,0P -在直线l 的射影为M 得，90PMQ ∠=︒ ，则M 的轨迹是以PQ 为直径的圆，易得，圆心()0,1C -，r PC ==min 4M N CN r =-=-故答案为: 4.【点睛】本题考查直线和圆中的最值类问题，考查了等差中项的性质，考查了直线过定点问题.关键在于能够确定所求最小值即为CN 两点间距离减去半径.三、解答题17．求经过直线1:2350l x y +-=，2:0l x y -=的交点且平行于直线20x y +=的直线方程．【答案】230x y +-=【解析】先由2350x y x y +-=⎧⎨-=⎩，解得交点坐标，再根据平行于直线20x y +=，得到斜率，写出直线的方程. 【详解】由23500x y x y +-=⎧⎨-=⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩，所以交点坐标为()1,1， 又因为平行于直线20x y +=， 所以2k =-，所求直线的方程为()121y x -=--， 即230x y +-=． 【点睛】本题主要考查两直线的位置关系及其应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 18．已知方程22224230x y mx y m m ++++-=表示一个圆． （1）求实数m 的取值范围； （2）求半径R 的最大值．【答案】（1）()1,4-；（2）52． 【解析】(1)将圆的化成化简成标准方程,再根据方程右边大于0计算即可. (2)化简可得2234R m m =-++,再利用二次函数的最值求解即可. 【详解】（1）()()222234014x m y m m m +++=-++>⇒-<<,即实数m 的取值范围是()1,4-；（2）2223252534244R m m m ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭≤,当且仅当32m =时,半径R 取得最大值52． 【点睛】本题主要考查了圆的一般方程化为标准方程的方法,同时也考查了二次函数最值的问题.属于基础题.19．已知动点(),A x y 到点()2,0F 和直线2x =-的距离相等. （1）求动点A 的轨迹方程；（2）记点()2,0K -，若AK =，求AFK △的面积．【答案】（1）28y x =（2）8S =【解析】（1）由动点(,)A x y 到点(2,0)F 和直线2x =-的距离相等，知动点A 的轨迹为抛物线，由此能求出动点A 的轨迹方程．（2）过A 作AB l ⊥，垂足为B ，根据抛物线定义，得||||AB AF =，由|||AK AF =，知AFK ∆是等腰直角三角形，由此能求出AFK ∆的面积． 【详解】解：（1）Q 动点(,)A x y 到点(2,0)F 和直线2x =-的距离相等，∴动点A 的轨迹为抛物线，其焦点为(2,0)F ，准线为2x =-，设方程为22y px =，其中22p=，即4p =， 所以动点A 的轨迹方程为28y x =； （2）过A 作AB l ⊥，垂足为B ，根据抛物线定义，得||||AB AF =，由于||2||AK AF =，所以AFK ∆是等腰直角三角形， 其中||4KF =，所以14482AFK S ∆=⨯⨯=．【点睛】本题考查动点的轨迹方程的求法，考查三角形的面积的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用，属于中档题．20．学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验．设计方案如图：航天器运行（按顺时针方向）的轨迹方程为2218844x y +=，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以y 轴为对称轴、()0,8M 为顶点的抛物线的实线部分，降落点为()8,0D ．观测点()4,0A -实时跟踪航天器．（1）求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程（只需求出曲线方程即可，不必求范围）；（2）试问：当航天器在x 轴上方时，观测点A 测得离航天器的距离为多少时，应向航天器发出变轨指令？ 【答案】（1）2188y x =-+；（2）10 【解析】（1）先设出抛物线的方程，结合所经过的点列出方程，然后解方程得到参数的值；（2）先求解变轨时点的坐标，然后利用两点间的距离公式求出AC 即可. 【详解】（1）设曲线方程为28y ax =+，由题意可知，0648a =⋅+，∴18a =-， ∴曲线方程为2188y x =-+； （2）设变轨点为(),C x y ，根据题意可知22218844188x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，得24120y y --=，解得6y =或2y =-（不合题意，舍去），∴6y =，得4x =或4x =-（不合题意，舍去）， ∴C 点的坐标为()4,6，10AC =，答：当观测点A 测得离航天器的距离为10时，应向航天器发出变轨指令． 【点睛】本题主要考查圆锥曲线在实际生活中的应用，理解模型，求解模型是求解的关键，侧重考查数学建模的核心素养，属中档题. 21．在平面直角坐标系xOy 中，点B 与点A （-1,1）关于原点O 对称，P 是动点，且直线AP 与BP 的斜率之积等于13-. (Ⅰ)求动点P 的轨迹方程；(Ⅱ)设直线AP 和BP 分别与直线x=3交于点M,N ，问：是否存在点P 使得△PAB 与△PMN 的面积相等？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（I ）2234(1)x y x +=≠±（II ）存在点P 使得PAB ∆与PMN ∆的面积相等，此时点P的坐标为5(,3. 【解析】【详解】试题分析：（1）利用直接法设()(),1P x y x ≠±，利用直线AP 与BP 的斜率之积等于13-，得到关于,x y 的方程，求得其轨迹方程；（2）根据题意设P ()00,x y ，点,M N 的坐标分别为()()3,,3,M N y y 三个点的坐标，再利用三角形的面积公式和点到直线的距离公式，求得PAB S ∆和PMN S ∆的面积，利用PAB S ∆PMN S ∆=，进而得到关于0x 的方程，求得点P的坐标为5,3⎛ ⎝⎭．试题解析：（1）点P 的轨迹方程为()22341x y x +=≠±； 5分（2）设点P 的坐标为()00,x y ，点,M N 的坐标分别为()()3,,3,M N y y ， 则直线AP 的方程为()001111y y x x --=++， 直线BP 的方程为()001111y y x x ++=--． 令3x =，得0000004323,11M N y x y x y y x x +--+==+-，于是PMN V 的面积()()200002031321PMNM N x y x S y y x x +-=--=-V ， 8分 直线AB 的方程为0x y +=，AB =， 点P 到直线AB的距离d =于是PAB △的面积PAB S V 0012AB d x y =⋅=+， 10分 当PAB S V PMN S =V 时，得()2000002031x y x x y x +-+=-，又000x y +≠，所以()220031x x -=-，解得053x =， 因为220034x y +=，所以0y =， 故存在点P 使得PAB △与PMN V 的面积相等，此时点P的坐标为5,39⎛± ⎝⎭． 12分 【考点】1．动点的轨迹方程；2．点到直线的距离公式和三角形的面积公式．。
2018-2019学年上海市徐汇区位育中学高二上学期开学考试数学试题(解析版)
2018-2019学年上海市徐汇区位育中学高二上学期开学考试数学试题一、单选题1．已知向量(3,4)a =-，则下列能使12(R)a e e λμλμ=+∈、成立的一组向量12,e e 是（ ）．A.12(0,0)(1,2)e e ==-，B.12(1,3)(2,6)e e =-=-，C.12(1,2)(3,1)e e =-=-，D.121(,1)(1,2)2e e =-=-，【答案】C【解析】【详解】试题分析：对于A ：由于与(3,4)a =-不是平行向量，所以一定不成立； 对于B ：由得到无解，所以不成立； 对于C ：由得到解得，所以成立；对于D,12122e e e e =∴，，共线，又与(3,4)a =-不是共线向量,故不成立 故选C ．【考点】向量的相等． 2．把函数()3cos 28f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像经过变化可得到函数()sin 2g x x =的图像，这个变化是（ ） A.向左平移16π个单位 B.向右平移16π个单位 C.向左平移316π个单位 D.向右平移316π个单位【答案】B【解析】先利用诱导公式将函数()sin 2g x x =转化为余弦型的函数，再根据图像变换的知识判断出正确选项. 【详解】依题意()πsin 2cos 22g x x x ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，由π3ππ28216⎛⎫--- ⎪⎝⎭=-，故()3cos 28f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭向右平移16π个单位得到π3ππcos 2cos 21682x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫--=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.故选：B. 【点睛】本小题主要考查三角函数图像变换，考查诱导公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.3．设n S 是无穷等差数列{}n a 的前n 项和（*N n ∈），则“lim n n S →∞存在”是 “该数列公差0d =”的（ ） A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件【答案】A【解析】若n S 是无穷等差数列{}n a 的前n 项和（*N n ∈），若“lim n n S →∞存在”，则必有0n S =恒成立，即0,0n a d ==，充分性成立，若0d =，则{}n a 是常数数列，例如2n a =时，“lim n n S →∞不存在”，即必要性不成立，所以“lim n n S →∞存在”是“该数列公差0d =”的充分非必要条件，故选A.4．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则下列判断一定正确是（ ） A ．若30S >，则20180a > B ．若30S <，则20180a < C ．若21a a >，则20192018a a > D ．若2111a a >，则20192018a a < 【答案】D【解析】利用排除法：考查等比数列：11a =，22a =-，34a =，()1,2n n a -=-，满足30S >，但是20180a <，选项A 错误； 考查等比数列：14a =-，22a =，31a =-，()31,12n nn a -⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭，满足30S <，但是20180a >，选项B 错误；该数列满足21a a >，但是201920180a a <<，选项C 错误； 本题选择D 选项.二、填空题5．计算：222lim 41n n n n →∞-=+______.【答案】12-【解析】先将22241n n n -+分离常数，然后按照极限的求法，计算出所求的极限. 【详解】依题意，2221212lim lim 41241n n n n n n n →∞→∞⎛⎫+ ⎪-=-+ ⎪++ ⎪⎝⎭2211112lim 1224n n n n →∞⎛⎫+ ⎪=-+=- ⎪ ⎪+⎝⎭.故填：12-.【点睛】本小题主要考查极限的计算，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题. 6．函数()()21f x x x =≤-的反函数是______.【答案】())11fx x -=≥【解析】根据反函数的求法，求得原函数的反函数的解析式并求出定义域. 【详解】 令()21,1y xx y =≤-≥，解得)1x y =≥，交换,x y的位置得)1y x =≥，所以函数()()21f x x x =≤-的反函数是())11f x x -=≥.故填：())11fx x -=≥.【点睛】本小题主要考查反函数的求法，属于基础题.7．已知()3,3a k =，()6,7b k =--，若a b ⊥，则实数k 的值为______. 【答案】75-【解析】根据两个向量垂直的坐标表示列方程，解方程求得k 的值. 【详解】由于a b ⊥，所以()63370k k -⋅+⋅-=，解得75k =-. 故填：75-. 【点睛】本小题主要考查两个向量垂直的坐标表示，属于基础题. 8．已知向量()1,2e =，则与向量e 平行的单位向量为______.【答案】05e⎛=⎝⎭，或0e ⎛=- ⎝⎭【解析】与向量a 平行的单位向量为a a±，由此求得与向量e 平行的单位向量.【详解】依题意可知与向量e平行的单位向量为21,21,21e e±=±==±+⎝⎭. 故填：05e ⎛= ⎝⎭，或0e ⎛=- ⎝⎭. 【点睛】本小题主要考查与向量平行的单位向量的求法，属于基础题. 9．幂函数()()223m m f x xm --=∈Z 的图像与坐标轴没有公共点，且关于y 轴对称，则m 的值为______.【答案】1,1,3-【解析】首先根据幂函数()f x 图像与坐标轴没有公共点列不等式，结合函数()f x 关于y 轴对称，求得m 的取值范围. 【详解】由于幂函数()()223mm f x x m --=∈Z 的图像与坐标轴没有公共点，所以{}2230131,0,1,2,3m m m m --≤⇒-≤≤⇒∈-，又因为函数为偶函数，故分别代入检验可知：1,1,3m =-满足； 故填： 1,1,3- 【点睛】本小题主要考查幂函数的图像与性质，考查幂函数的奇偶性，属于基础题. 10．已知函数()()2log f x x m =-的图像不经过第四象限，则实数m 的取值范围是______.【答案】1m ≤-【解析】根据函数()()2log f x x m =-的图像不经过第四象限得到()00f ≥，解不等式求得m 的取值范围. 【详解】由于函数()()2log f x x m =-的图像不经过第四象限，所以()00f ≥，即()22log 0log 1m -≥=，所以1,1m m -≥≤-.故填：1m ≤-. 【点睛】本小题主要考查对数型函数的图像与性质，考查对数不等式的解法，属于基础题.11．设1lim 3nn r a r →∞-⎛⎫= ⎪-⎝⎭，则实数r 的取值范围是______. 【答案】2r ≤【解析】根据指数幂有极限的条件列不等式，解不等式求得r 的取值范围. 【详解】由于1lim 3n n r a r →∞-⎛⎫= ⎪-⎝⎭，即极限存在，故113r r -≤-，即1113r r --≤≤-，113113r r r r -⎧≥-⎪⎪-⎨-⎪≤⎪-⎩，2032403rr r ⎧≥⎪⎪-⎨-⎪≤⎪-⎩，解得2r ≤. 故填：2r ≤. 【点睛】本小题主要考查指数幂有极限的条件，考查绝对值不等式的解法，考查分式不等式的解法，属于中档题.12．已知()1,2a =-r，()1,b k =，若a 与b 的夹角为锐角，则实数k 的取值范围是______.【答案】()1,22,2k ⎛⎫∈-∞-- ⎪⎝⎭【解析】根据两个向量的夹角为锐角，结合向量数量积的坐标运算列不等式组，解不等式组求得k 的取值范围. 【详解】设a 与b 的夹角为θ，由于向量a 与b 的夹角为锐角，故cos 0θ>，且向量a 与b 不同向，即0θ≠.所以cos 0121k θ⎧=>⎪⎨⎪⋅≠-⋅⎩，122k k ⎧<⎪⎨⎪≠-⎩，所以()1,22,2k ⎛⎫∈-∞-- ⎪⎝⎭.故填：()1,22,2k ⎛⎫∈-∞-- ⎪⎝⎭.【点睛】本小题主要考查向量数量积的坐标运算，考查不等式组的解法，属于基础题. 13．若函数()sin 2cos2f x x a x =+，x ∈R 的图像关于6x π=-对称，则a =________．【答案】3-【解析】特殊值法：由()f x 的对称轴是6x π=-，所以()30f f π⎛⎫=-⎪⎝⎭即可算出a 【详解】由题意得()f x 是三角函数 所以()sin 0cos0sin 2cos 23303f f a a a πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⇒+=⨯-+⨯-⇒= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭【点睛】本题主要考查了三角函数的性质，需要记忆三角函数的基本性质：单调性、对称轴、周期、定义域、最值、对称中心等。
上海市徐汇区2018-2019学年高二上学期期末考试数学试题
2018学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷高二数学 试卷 2019.1一、填空题（本大题满分40分，1~8题每小题3分，9~12题每小题4分）1．若直线l 过点()2,3-，且平行于向量()3,4d =，则直线l 的点方向式方程为 ． 2．抛物线24y x =的焦点坐标是 ．3．已知直线的倾斜角的余弦值是12，则此直线的斜率是 ．4．双曲线2213x y -=的两条渐近线的夹角大小等于 ．5．点()1,1P -到直线10x y -+=的距离是 ．6．方程2244kx y k +=表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是 ． 7．若圆22240x y x y ++-=被直线30x y a ++=平分，则a 的值为 ．8．抛物线的焦点为椭圆22154x y +=的右焦点，顶点在椭圆的中心，则抛物线方程为 ．9．已知圆22670x y x +--=与抛物线()220y px p =>的准线相切，则p = ．10．设1F 、2F 是椭圆2214x y +=的两个焦点，点P 在椭圆上，且满足122F PF π∠=，则12F PF △的面积等于 ．11．已知圆22:6480C x y x y +--+=，以圆C 与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为 ．12．若实数,,a b c 成等差数列，点()1,0P -在动直线:0l ax by c ++=上的射影为M ，点()0,3N ，则线段M N 长度的最小值是 ． 二、选择题（本大题满分16分，每小题4分）13．“直线1l 、2l 互相垂直”是“直线1l 、2l 的斜率之积等于1-”的（ ）．（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既非充分也非必要条件14．设双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为（ ）．（A ）2y x =± （B ）2y x =± （C ）12y x =± （D ）22y x =±15．曲线2260x y x +-=与直线()2y k x =+有公共点的充要条件是（ ）．（A ）3,04k ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭（B ）40,3k ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦（C ）30,4k ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦（D ）33,44k ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦16．如图，设在椭圆22154x y +=中，1B 和B 是短轴端点，P 是椭圆上不同于1B 和B 的任一点，直线1,PB PB 分别交x 轴于,M N ，则OM ON ⋅=（ ）．（A ）4 （B ）4.5 （C ）5 （D ）5.5三、解答题：（本大题共5题，满分44分） 17．（本题满分6分）求经过直线1:2350l x y +-=，2:0l x y -=的交点且平行于直线20x y +=的直线方程．18．（本题满分8分：第（1）小题4分，第（2）小题4分）已知方程22224230x y mx y m m ++++-=表示一个圆． （1）求实数m 的取值范围； （2）求半径R 的最大值．19．本题满分8分：第（1）小题4分，第（2）小题4分）已知动点(),A x y 到点()2,0F 和直线2x =-的距离相等． （1）求动点A 的轨迹方程；（2）记点()2,0K-，若2A K A F=，求AFK△的面积．20．（本题满分10分：第（1）小题4分，第（2）小题6分）学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验．设计方案如图：航天器运行（按顺时针方向）的轨迹方程为2218844x y+=，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以y轴为对称轴、()0,8M为顶点的抛物线的实线部分，降落点为()8,0D．观测点()4,0A-实时跟踪航天器．（1）求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程（只需求出曲线方程即可，不必求范围）；（2）试问：当航天器在x轴上方时，观测点A测得离航天器的距离为多少时，应向航天器发出变轨指令？21．（本题满分12分：第（1）小题4分，第（2）小题8分）在平面直角坐标系xOy中，点B与点()1,1A-关于原点O对称，P是动点，且直线A P与BP的斜率之积等于13-．（1）求动点P的轨迹方程；（2）设直线A P和BP分别与直线3x=交于点,M N，问：是否存在点P使得PA B△与PM N△的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．参考答案一、填空题 1．2334x y -+=2．()1,0 33．3π5．322 6．()0,4 7．1 8．24y x = 9．2 10．1 11．221412x y -= 12．42【第12题解析】由a 、b 、c 成等差数列可得20a b c -+=，∴直线:0l ax by c ++=过定点()1,2Q - 由点()1,0P -在直线l 的射影为M 可知，M 的轨迹是以PQ 为直径的圆， 易得，圆心()0,1C -，2r =，∴min 42M N CN r =-=- 二、选择题13．B 14．D 15．D 16．C 【第16题解析】设()00,P x y ，其中2200154x y +=，即()2200454x y =-，则1002:2PB x y l x y +=+，002:2PB x y l x y -=-， 令0y =，得0022M x x y =+，0022N x x y -=-，∴200020002245224x x x OM ON y y y -⋅=⋅==+--，选C ． 三、解答题 17．235010x y x y x y +-=⎧⇒==⎨-=⎩，∴交点坐标为()1,1，∴所求直线的方程为()()2110x y -+-=，即230x y +-=．18．（1）()()222234014x m y m m m +++=-++>⇒-<<，即实数m 的取值范围是()1,4-；（2）2 223252534244R m m m⎛⎫=-++=--+⎪⎝⎭≤，当且仅当32m=时，半径R取得最大值52．19．【2013年普陀区一模题】（1）由题意可知，动点A的轨迹为抛物线，其焦点为()2,0F，准线为2x=-，设方程为22y px=，其中22p=，即4p=，所以动点A的轨迹方程为28y x=；（2）过A作AB l⊥，垂足为B，根据抛物线定义，可得A B A F=，由于2A K A F=，所以AFK△是等腰直角三角形，其中4K F=，所以14482A FKS=⨯⨯=△．20．【改编自2006上海春考20题】（1）设曲线方程为28y ax=+，由题意可知，0648a=⋅+，∴18a=-，∴曲线方程为2188y x=-+；（2）设变轨点为(),C x y，根据题意可知22218844188x yy x⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，得24120y y--=，解得6y=或2y=-（不合题意，舍去），∴6y=，得4x=或4x=-（不合题意，舍去），∴C点的坐标为()4,6，10A C=，答：当观测点A测得离航天器的距离为10时，应向航天器发出变轨指令．21．【2010年北京理科卷19】（1）因为点B与()1,1A-关于原点O对称，所以点B的坐标为()1,1-，设点P的坐标为(),x y，由题意得111113y yx x-+⋅=-+-，化简得()22341x y x+=≠±，故动点P的轨迹方程为()22341x y x+=≠±；（2）解法一：设点P 的坐标为()00,x y ，点M ，N 的坐标分别为()3,M y ，()3,N y ， 则直线A P 的方程为()001111y y x x --=++，直线BP 的方程为()001111y y x x ++=--， 令3x =得000431M y x y x +-=+，000231N y x y x -+=-，于是PM N △的面积()()20002031321PM NM N x y x S y y x x +-=--=-△， 又直线AB 的方程为0x y +=，A B =P 到直线AB的距离d =，于是PA B △的面积0012PA B S A B d x y =⋅=+△， 当PA B PM N S S =△△时，得()2000002031x y x x y x +-+=-，又000x y +≠，所以()220031x x -=-，解得053x =，因为220034x y +=，所以0y = 故存在点P 使得PA B △与PM N △的面积相等，此时点P的坐标为5,3⎛ ⎝⎭． 解法二：若存在点P 使得PA B △与PM N △的面积相等，设点P 的坐标为()00,x y ， 则11sin sin 22PA PB A PB PM PN M PN ⋅∠=⋅∠， 因为sin sin APB MPN ∠=∠，所以PA PN PMPB=，所以00001331x x x x +-=--，即()220031x x -=-，解得053x =，因为220034x y +=，所以0y = 故存在点P 使得PA B △与PM N △的面积相等，此时点P的坐标为5,3⎛ ⎝⎭．。
上海中学(东校)2018年高二数学文上学期期末试题含解析
上海中学(东校)2018年高二数学文上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 下列类比推理命题（其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集）：①“若a，b∈R，则a﹣b=0?a=b”类比推出“若a，b∈C，则a﹣b=0?a=b”；②“若a，b，c，d∈R，则复数a+bi=c+di?a=c，b=d”类比推出“若a，b，c，d∈Q，则a+b?a=c，b=d”；③“若a，b∈R，则a﹣b＞0?a＞b”类比推出“若a，b∈C，则a﹣b＞0?a＞b”．其中类比结论正确的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3参考答案：C【考点】F1：归纳推理．【分析】在数集的扩展过程中，有些性质是可以传递的，但有些性质不能传递，因此，要判断类比的结果是否正确，关键是要在新的数集里进行论证，当然要想证明一个结论是错误的，也可直接举一个反例，要想得到本题的正确答案，可对3个结论逐一进行分析，不难解答．【解答】解：①在复数集C中，若两个复数满足a﹣b=0，则它们的实部和虚部均相等，则a，b相等．故①正确；②在有理数集Q中，若，则（a﹣c）+（b﹣d）=0，易得：a=c，b=d．故②正确；③若a，b∈C，当a=1+i，b=i时，a﹣b=1＞0，但a，b 是两个虚数，不能比较大小．故③错误故3个结论中，有两个是正确的．故选C2. 双曲线的一个焦点坐标是（）A．（0，3）B．（3，0）C．（0，1）D．（1，0）参考答案：B【考点】双曲线的简单性质．【分析】据题意，由双曲线的标准方程可得a、b的值，进而由c2=a2+b2，可得c的值，又可以判断其焦点在x轴上，即可求得其焦点的坐标，分析选项可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线的标准方程为，可得a=2，b=，则c=3，且其焦点在x轴上，则其焦点坐标为（3，0），（﹣3，0），故选：B．3. 在古腊毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，15，21，28，…这些数叫做三角形数，因为这些数对应的点可以排成一个正三角形1 3 610 15则第个三角形数为( )（A）（B）（C）（D）参考答案：B略4. 点M的直角坐标为化为极坐标为（）A． B． C． D．参考答案：D5. 在平面直角坐标系中，正三角形ABC的边BC所在直线的斜率是0，则边AB，AC所在直线的斜率之和为A. B.-1 C.0 D.参考答案：C6. 若（2x+）dx=3+ln2，则a的值是（）A．6 B．4 C．3 D．2参考答案：D【考点】67：定积分．【分析】将等式左边计算定积分，然后解出a．【解答】解：因为（2x+）dx=3+ln2，所以（x2+lnx）|=a2﹣1+lna=3+ln2，所以a=2；故选D．7. 若函数，则的导数（）A.1－cos xB.1+cos xC. 1－sin xD. 1+sin x参考答案：C8. 若椭圆：（）和椭圆：（）的焦点相同，且，则下面结论正确的是（）①椭圆和椭圆一定没有公共点②③ ④A．②③④ B.①③④ C．①②④ D.①②③参考答案：C略9. 的展开式中常数项为（）A. B. C. D.参考答案：D【分析】利用二项展开式的通项公式可得.【详解】的展开式中常数项为. 故答案为D【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．10. 由“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想：正四面体的内切球切于四个面（）A．各正三角形内一点B．各正三角形的某高线上的点C．各正三角形的中心D．各正三角形外的某点参考答案：C【考点】F3：类比推理．【分析】由平面图形的性质向空间物体的性质进行类比时，常用的思路有：由平面图形中点的性质类比推理出空间里的线的性质，由平面图形中线的性质类比推理出空间中面的性质，由平面图形中面的性质类比推理出空间中体的性质．故我们可以根据已知中平面几何中，关于线的性质“正三角形的内切圆切于三边的中点”，推断出一个空间几何中一个关于内切球的性质．【解答】解：由平面中关于正三角形的内切圆的性质：“正三角形的内切圆切于三边的中点”，根据平面上关于正三角形的内切圆的性质类比为空间中关于内切球的性质，我们可以推断在空间几何中有：“正四面体的内切球切于四面体各正三角形的位置是各正三角形的中心”故选：C．【点评】本题考查的知识点是类比推理，类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知棱台的上下底面面积分别为，高为,则该棱台的体积为___________。