第13章 大学物理机械波基础

u
8m 5m 9m
C
B oA
Dx
1）以 A 为坐标原点，写出波动方程
A 310-2 m T 0.5s 0
uT 10m
y (310-2 m) cos 4π(t - x )
20
37
2）以 B 为坐标原点，写出波动方程
yA (310-2 m) cos(4 π)t
u
8m 5m 9m
C oB A
tx
A
cos[2( T
-
)
0
]
A
cos[
2
(ut
-
x)
0
]
( x,t ) Acos(t - kx )
➢ 波动方程的复数表示
波数 k 2π
Re Aei( t-kx0 )
波 数 ---- 表 示 单 位 长 度
上波的相位变化 19
➢ 质点的振动速度，加速度：
v - A sin[( t - x ) ]
经 t = 0.005 s , 波形右 移 x = u t = 40× 0.005 = 0.2m = λ/ 2
t =0 t = 0.0025s
y o
y o
x
0.4m
0.8m
0.8m
0.4m
x
y
t = 0.005s
0.4m
0.8m
o
x
31
3、已知某时刻波形，写出波动方程
例 一平面简谐波以波速 u = 200 m·s-1 沿x轴正方 向传播 ,在t = 0 时刻的波形如图所示。
波源
机
+
弹性作用
械
介质
波
注意
波是运动状态的传播，介质的 质点并不随波传播.
4
二 横波与纵波
横波：质点振动方向与波的传播方向相垂直的波.
➢ 特征：具有交替出现的波峰和波谷.
5
纵波：质点振动方向与波的传播方向互相平行的波.
➢ 特征：具有交替出现的密部和疏部.
6
问：水波是纵波还是横波？
横
答：水波即不是是纵波也不是横波是 混合波。
一维平面简谐波的表达式（波函数）
以机械波的横波为例，设平面波沿 x方向以
速度 u 传播，媒质均匀、无限大，无吸收。
13
如何写出平面（一维）简谐波的波函数？
抓住概念：某时刻某质元的相位（振动状态） 将在较晚时刻于“下游”某处出现。
或：沿波的传播方向,各质元的相位依次落后。
须知三个条件：
1. 某参考点的振动方程( A, , ) 2. 波长 (或 u) u T
波
水表面的波既非横波又非纵波：
u
纵x 波
水的流动性和不可压缩性
水波中水质元
纵向运动 作二维运动 横向运动 作(椭)圆运动
7
三 波线 波面 波前
波线（wave line）—— 表示波的传播方向的射线（波射线）
波面（wave surface）——
媒质振动相位相同的点组成的面（同相面）
波前（wave front）—— 某时刻波到达的最前面的波(振)面
振动是激发波动的波源.
波动
机械波 机械振动在弹性介质中的传播. 电磁波 交变电磁场在空间的传播.
两
类 ❖机械波的传播需
波 的
有传播振动的介质;
不 同
❖电磁波的传播可
之 不需介质.
处
征两 类 波 的 共 同 特
能量传播 反射 折射 干涉 衍射
3
§13.1 机械波的形成与传播
一 机械波的形成
机械波：机械振动在弹性介质中的传播. 产生条件：1）波源；2）弹性介质.
24
从波形图可看出在同一时刻，距波源 o 分别
为x1、x2两质点的相位差:
u
传播方向
a·
b·
x
x = x2 - x1
图中b点比a点的相位落后：
2π x
其中x叫波程差
（记住！）
25
当 x、t 都变化时
表达了波线上所有质元在各个时刻的位移，波函数 表示波形沿传播方向的运动情况（行波）
如图：
t 时刻的波形曲线
第十三章
波动
（Wave）
1
第十三章 机械波基础
§13.1 机械波的形成与传播 §13.2 平面简谐波的表达式 波动微分方程 §13.3 波的能量与能流 §13.4 声波* §13.5 惠更斯原理 §13.6 波的叠加原理 波的干涉 §13.7 驻波 半波损失 §13.8 多普勒效应
2
前言
波动是振动的传播过程.
（2）作图
解法一：描点法 。将t值代入波动方程， 再取x 值，算出对应位移y 值。然后描 点、连线，即得 t 时刻波形图（ 具体过 程略 ）。
30
解法二: 意义法。先作出 t = 0 时刻的波形图，再算出 时间 t 内波传播的距离，平移波形即可。
经 t = 0.0025 s , 波形右移 x = u t = 40 × 0. 0025 = 0.1 m = λ/ 4
时刻点O 的运动
t 时刻点 P 的运动
则点P 振动方程:
A u
p
A cos
t
-
x u
0
Ox
-A
P
x
*
➢ 波函数
A
cos
t
-
x u
0
或:
A cos
t
-
2π
x
0
16
解法二： 相位落后法
A u
由相位关系：P点相位落后 波源o的振动相位，所以就 在o点振动表达式的基础上 改变相位因子就得到了P的
t ( x - x0 )
u
因此
p 为任一点，故波动方程为 (2) x = 0 代入波动方程，得 o 点振动方程：
28
2、已知波动方程作出 t 时刻的波形
例
一横波沿一根弦线传播，其方程为
（SI制）
（1）求振幅、波长、频率、周期及波速；
（2）画出 t = 0.0025 s 及 t = 0.005 s 时刻弦的波形图；
(1) 求 o 点的振动方程与波动方程 ；
(2) 求t = 0.1s , x = 10 m 处质点的位移、振动速
度和加速度。
解
A
y (m) t = 0 时
0.0 2
波形
u=200m·s
为方便起见,以下均 用SI制,单位略去。
o 1 2 3 4 5 x(m
）
432m
(1) o点振动方程
0.02
y (m)
t = 0 时波形 u = 200m·s-1
波动方程:
o 1 2 3 4 5 x (m) vo
3
(2) t = 0.1 s , x = 10 m 处质点
2
位移
速度
加速度
33
例1 一平面简谐波沿 O x 轴正方向传播， 已知振
幅 A 1.0m ，T 2.0s ， 2.0m . 在 t 0 时坐标
10m
C
B oA
Dx
点 C 的相位比点 A 超前
yC
(310-2 m) cos[(4 π)t
2π
AC ]
(310-2 m) cos[(4 π)t 13 π]
点 D 的相位落后于点 A
5
yD (310-2 m) cos[(4 π)t
(310-2 m) cos[(4 π)t -
-
9
2π
π]
AD ]
x 0.5m 处质点的振动方程
y (1.0m) cos[(πs-1)t - π]
y
y/m
3
1.0
3*
2
4
4O
2
0 * 1.0 * 2.0 * t / s
1 -1.0*1
*
x 0.5 m 处质点的振动曲线 36
例2 一平面简谐波以速度 u 20m / s沿直线传播,波
线上点 A 的简谐运动方程 yA (310-2 m) cos(4 π)t .
x ut 27
● 求解波动问题示例
1、已知波源 x0 的振动方程，写出波动方程
例 一平面简谐波以波速 u 沿 x 轴正向传播 , 在离原点o 的 距离为 x0 处的 p0 点，其振动方程为 y = A cos (ωt + φ)
（1）求波动方程；
o•
（2）求o点的振动方程。
x0
•p0
•p
x
x
解
(1) p 点比 p0 点的振动落后 Δt=(x－x0)/ u
动所传播的完整波的数目.
1 T
u 波速 ：波动过程中，某一振动状态（即
振动相位）单位时间内所传播的距离（相速）.
u u Tu
T
注意
周期或频率只决定于波源的振动! 波速只决定于媒质的性质！
11
波速 u 与介质的性质有关， 为介质的密度.
固体
u G G切变模量
u Y Y弹性模量
液、气体 u B B体积模量
原点处的质点位于平衡位置沿 O y 轴正方向运动 . 求
1）波动方程？
O
y
A
解 ： 写出波动方程的标准式
y Acos[2π ( t - x ) ] T
t0 x0
y 0, v y 0 - π
t
2
y (1.0m) cos[2 π( t - x ) - π] 2.0s 2.0m 2 34
2）求t 1.0s 波形图.
（1）求波长、频率、波速和周期？ （2）说明x=0时方程的意义并作图表示。
【解】：（1）求解特征量，可采用比较法。将
题给方程改写成：
x
)
0
当坐标 x 确定(即考察波线上的某一点)