北师大版高中数学必修二第一章《空间图形的基本关系与公理》

高中数学学习材料（灿若寒星精心整理制作）北师大版必修2第一章《空间图形的基本关系与公理》单元测试题班级：姓名：一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）．1．下列命题中，正确命题的个数为( )①平面的基本性质1可用集合符号叙述为：若A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α，则必有l∈α；②四边形的两条对角线必相交于一点；③用平行四边形表示的平面，以平行四边形的四条边作为平面的边界线；④平行四边形是平面图形．A．1个B．2个 C．3个D．4个2．若三条直线两两相交，则由这三条直线所确定的平面的个数是( ) A．1个B．2个 C．3个 D．1个或3个3．已知空间四点A、B、C、D确定惟一一个平面，那么这四个点中( ) A．必定只有三点共线B．必有三点不共线C．至少有三点共线D．不可能有三点共线4．有两个三角形不在同一平面内，它们的边两两对应平行，那么这两个三角形( )A．全等B．相似 C．有一个角相等 D．全等或相似5．分别和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是( ) A．异面B．相交 C．平行 D．异面或相交6．如图所示，设E、F、G、H依次是空间四边形ABCD边AB、BC、CD、DA上除端点外的点，AEAB＝AHAD＝λ，CFCB＝CGCD＝μ，则下列结论中不正确的为( )A．当λ＝μ时，四边形EFGH是平行四边形B．当λ≠μ时，四边形EFGH是梯形C．当λ≠μ时，四边形EFGH一定不是平行四边形D．当λ＝μ时，四边形EFGH是梯形7．a、b、c是三条直线，若a与b异面，b与c异面，则a与c的位置关系( )A．异面B．平行 C．相交D．都有可能8．在空间中有下列四个命题：①有两组对边相等的四边形是平行四边形；②四边相等的四边形是菱形；③两组对边分别平行的四边形是平行四边形；④连接空间四边形各边中点的四边形一定是梯形．其中正确命题的个数为( )A．1 B．2 C．3 D．49．已知a、b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b( ) A．一定是异面直线 B．一定是相交直线C．不可能是平行直线 D．不可能是相交直线10．下列说法中正确的是( )A．空间中没有交点的两条直线是平行直线B．一条直线和两条平行直线中的一条相交，则它和另一条也相交C．空间四条直线a、b、c、d，如果a∥b，c∥d，且a∥d，那么b∥c D．分别在两个平面内的直线是平行直线二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题5分，共25分）．11．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，已知P、Q分别是AA1、CC1的中点，则过点B、P、Q的截面的形状是______．12．在正方体A1B1C1D1－ABCD中，与AB异面的棱有_______________．13．如图所示，用集合符号表示下列图形中元素的位置关系．(1)图①可以用符号语言表示为_________________________________； (2)图②可以用符号语言表示为________________________________． 14．如下图，△ABC 和△A′B′C′的对应顶点的连线AA′、BB′、CC′交于点O ，O 在平面ABC 和平面A′B′C′之间，且AO OA′＝BO OB′＝CO OC′＝23，则S △ABCS △A′B′C＝_____.15．如图，在正方体ABCD －EFMN 中，①BM 与ED 平行；②CN与BM 是异面直线；③CN 与BE 是异面直线；④DN 与BM 是异面直线．以上四个命题中，正确命题的序号是_______．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共75分)． 16．（12分）求证：过直线外一点有且只有一条直线和这条直线平行． 17．（12分）如图所示正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为CC 1和AA 1的中点，画出平面BED 1F 和平面ABCD 的交线，并说明理由．18．（12分）如图所示，在长方体A 1B 1C 1D 1－ABCD 中，E 、F 分别是棱A 1A和棱C 1C 的中点．求证：四边形B 1EDF 是平行四边形． 19．（12分）如图，O 1是正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的上底面A 1B 1C 1D 1的中心，M 是对角线A 1C 和截面B 1D 1A 的交点．求证：O 1，M ，A 三点共线．20．（13分）梯形ABCD中，AB∥CD，E、F分别为BC和AD的中点，将平面CDEF沿EF翻折起来，使CD到C′D′的位置，G、H分别为AD′和BC′的中点，求证：EFGH为平行四边形．21.（14分）如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，M1分别是棱AD和A1D1的中点．（1）求证：四边形BB1M1M为平行四边形；(2)求证：∠BMC＝∠B1M1C1.北师大版必修2第一章《空间图形的基本关系与公理》单元测试题答案一、选择题：1．[答案]A[解析] ①中，l∈α不对，应为l⊂α；②中，当四边形的四个顶点不共面时，两条对角线不能相交；③中，平面是无限延展的，用平行四边形表示平面，平行四边形的边并不表示平面的边界线；④平行四边形是平面图形(原理：两条平行直线确定一个平面)，故只有④正确．2．[答案]D[解析] 如图(1)所示的三条两两相交直线确定一个平面；如图(2)所示的三条两两相交直线确定三个平面．3．[答案]B[解析] 四点A、B、C、D确定惟一一个平面，则AB与CD相交或平行，AB∥CD时，选项A、C错，AB 与CD相交于点A时，D错．4．[答案]D5．[答案]D[解析]a，b为异面直线，c，d分别与a，b都相交．图(1)中c，d异面，图(2)中c，d相交．6．[答案]D[解析] 由AEAB＝AHAD＝λ，得EH∥BD，且EHBD＝λ，同理得FG∥BD且FGBD＝μ，当λ＝μ时，EF綊FG.当λ≠μ时，EF∥FG，但EH≠FG，故A、B、C都对，只有D错误．7．[答案]D[解析] 直线a与c的位置关系有以下三种情形(如下图)：∴直线a与c的位置关系可能平行(如图(1))；可能相交(如图(2))；可能异面(如图(3))，故选D.8． [答案] A[解析] 四边相等或两组对边相等的四边形可以是空间四边形，故①②错误，连接空间四边形的各边中点构成的四边形是平行四边形，故④错，易知③对，由此选A.9．[答案]C[解析] 如图所示，图(1)中，b与c相交，图(2)中b与c异面，假如b∥c，∵a∥c，∴a∥b这与a，b异面矛盾，∴b与c不可能为平行直线．10．[答案]C[解析] A、B中，两直线可能异面，D中两直线可能相交，也可能异面．二、填空题：11．[答案]菱形 [解析] 先证截面BPD1Q是平行四边形，再证是菱形．12．[答案]A1D1、DD1、CC1、C1B113．[答案] (1)α∩β＝l，m⊂α，n⊂β，l∩n＝P，m∥l(2) α∩β＝l，m∩α＝A，m∩β＝B14．[答案]49[解析] 由题设条件知ABA′B′＝BCB′C′＝ACA′C′＝23，∴△ABC∽△A′B′C′.∴S△ABCS△A′B′C＝49.15．[答案] ②④[解析] 观察图形，根据异面直线的定义可知，BM与ED是异面直线，CN与BM是异面直线，CN与BE不是异面直线，DN与BM是异面直线，故①、③错误，②、④正确．即正确命题的序号是②、④.三、解答题16．已知：点P∉直线a.求证：过点P和直线a平行的直线b有且只有一条．[解析] ∵P∉a，∴点P和直线a确定一个平面α，在平面α内过点P作直线b与直线a平行(由平面几何知识)，故存在．假设过点P，还有一条直线c与a平行．∵a∥ b，a∥c，∴b∥c，这与b、c共点P矛盾，故假设不成立，因此直线b惟一．即过直线外一点有且只有一条直线和这条直线平行．17．[解析] 如图所示，在平面ADD1A1内延长D1F与DA，交于一点P，则P∈平面BED1F，∵DA ⊂平面ABCD ，∴P∈平面ABCD ，∴P 是平面ABCD 与平面BED 1F 的一个公共点， 又B 是两平面的一个公共点， ∴PB 为两平面的交线．18．[解析] 设Q 是D 1D 的中点，连结EQ 、QC 1，∵E 是A 1A 的中点，∴EQ //=A 1D 1.在矩形A 1B 1C 1D 1中，有A 1D 1//=B 1C 1. 由基本性质4，得EQ//B 1C 1.∴四边形EQC 1B 1是平行四边形．∴B 1E//C 1Q. 又由F 、Q 分别是矩形C 1CDD 1中CC 1、D 1D 两边的中点．得QD//C 1F.∴四边形DQC 1F 是平行四边形，从而C 1Q //=FD.由基本性质4，得B 1E //=FD ，所以四边形B 1EDF 是平行四边形．19．证明：因为上底面中A 1C 1∩B 1D 1＝O 1，A 1C 1平面A 1C 1CA ，B 1D 1平面AB 1D 1，所以，O 1是平面A 1C 1CA 与平面AB 1D 1的公共点． 又因为A 1C∩平面AB 1D 1＝M ，A 1C 平面A 1C 1CA ， 所以，M 是平面A 1C 1CA 与平面AB 1D 1的公共点． 又因为A∈平面AB 1D 1，A∈平面A 1C 1CA ，所以，A 是平面A 1C 1CA 与平面AB 1D 1的公共点．所以，O 1，M ，A 都是平面A 1C 1CA 与平面AB 1D 1的公共点，由公理3可知，O 1，M ，A 三点共线．20．[解析] ∵梯形ABCD 中，AB∥CD，E 、F 分别为BC 、AD 的中点，∴EF∥AB 且EF ＝12(AB ＋CD)，又C′D′∥EF，EF∥AB，∴C′D′∥AB. ∵G、H 分别为AD′、BC′的中点，∴GH∥AB 且GH ＝12(AB ＋C′D′)＝12(AB ＋CD)，∴GH 綊EF ，∴EFGH 为平行四边形．21.证明：(1)在正方形ADD 1A 1中，M ，M 1分别为AD ，A 1D 1的中点，∴MM 1＝AA 1，MM 1∥AA 1. 又∵AA 1＝BB 1，AA 1∥BB 1， ∴MM 1∥BB 1，且MM 1＝BB 1，∴四边形BB 1M 1M 为平行四边形．(2)方法一：由(1)知四边形BB 1M 1M 为平行四边形， ∴B 1M 1∥BM.同理可得四边形CC 1M 1M 为平行四边形， ∴C 1M 1∥CM.由平面几何知识可知，∠BMC 和∠B 1M 1C 1都是锐角， ∴∠BMC＝∠B 1M 1C 1.方法二：由(1)知四边形BB 1M 1M 为平行四边形， ∴B 1M 1＝BM.同理可得四边形CC 1M 1M 为平行四边形． ∴C 1M 1＝CM.又∵B 1C 1＝BC ，∴△BCM≌△B 1C 1M 1. ∴∠BMC＝∠B 1M 1C 1.。