高中数学第一章计数原理2排列第1课时排列与排列数公式课件北师大版选修2_3
列
第1课时 排列与排列数公式
学习目标
1.理解并掌握排列的概念.
2. 理解并掌握排列数公式，能应用排列知识解决简单的实
际问题.
内容索引
问题导学
题型探究 当堂训练
问题导学
知识点一
排列的定义
思考1
若A，B，C三名同学排成一行照相，有哪些站法？请列举出来. 答案 ABC，BCA，CAB，ACB，CBA，BAC.
思考2
从n个不同的元素中取出 m个(m≤n)元素排成一列，共有多少种 不同排法？
答案 n(n－1)(n－2)„(n－m＋1)种.
答案
梳理
排列数
排列数定
所有排列的个数 ， 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的_______________
m A n 叫作从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号___
思考2
ABC与ACB是同一种站法吗？ 答案 不是.
答案
梳理
排列的定义
从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素，按照 一定顺序 排成一列，叫
作 从n个不同的元素中任意取出m个元素 的一个排列.
知识点二
排列数及排列数公式
思考1
从1,2,3,4这4个数字中选出3个能构成多少个无重复数字的 3位数？
答案 4×3×2＝24(个).
(1)会场有50个座位，要求选出3个座位有多少种方法？若选出3个座位
安排三位客人，又有多少种方法？ 解 第一问不是排列问题，第二问是排列问题 .“ 入座 ” 问题同 “ 排队 ”
问题，与顺序有关， 故选3个座位安排三位客人是排列问题.
解答
(2)从集合 M＝{1,2，„，9}中，任取两个元素作为 a，b，可以得到多少个 x2 y2 焦点在 x 轴上的椭圆方程a2＋b2＝1？可以得到多少个焦点在 x 轴上的双曲 x2 y2 线方程a2－b2＝1?
m－1 ②Am ＝ n A n n－1 .
③n· n！＝(n＋1)！－n！.
n－1 1 1 ④ ＝ － . n！ n－1！ n！
跟踪训练3
15 A 69－n ； ＝______
(1)用排列数表示(55－n)(56－n)„(69－n)(n∈N＋，且n<55)
解析 ∵55－n,56－n，„，69－n中的最大数为69－n， 且共有69－n－(55－n)＋1＝15(个)元素，
解
x2 y2 第一问不是排列问题，第二问是排列问题.若方程a2＋b2＝1 表示焦点在
x 轴上的椭圆，则必有 a>b，a，b 的大小关系一定；
x2 y2 x2 y2 在双曲线a2－b2＝1 中，不管 a>b 还是 a<b，方程a2－b2＝1 均表示焦点在 x 轴上的双曲线，且是不同的双曲线，故是排列问题.
跟踪训练2 解
A，B，C，D四名同学排成一行照相，要求自左向右，A不排
第一，B不排第四，试写出所有排列方法. 因为A不排第一，排第一位的情况有3类(可以从B，C，D中任选一人 排)，而此时兼顾分析B的排法，列树形图如图.
所以符合题意的所有排列是
BACD，BADC，BCAD，BCDA，BDAC，BDCA，CABD，CBAD，CBDA，
CDBA，DABC，DBAC，DBCA，DCBA.
解答
类型三 例3 计算下列各题：
(1)A3 10；
解 A3 10＝10×9×8＝720.
4 A5 ＋ A 9 9 (2) 6 5 ； A10－A10
排列数及其应用
命题角度1 由排列数公式进行化简与求值
解
4 A5 ＋ A 9×8×7×6×5＋×9×8×7×6 9 9 6 5 ＝ A10－A10 10×9×8×7×6×5－10×9×8×7×6
9×8×7×6×5＋1 6 3 ＝ ＝ ＝20. 10×9×8×7×6×5－1 10×4
解答
m－1 n－m An · A n－m －1 (3) . n－1 An－1
m－1 n－m An · A n－1！ n－m 1 －1 ＝ · (n－m)！· ＝1. n－1 An－1 [n－1－m－1]！ n－1！
类型一
排列的概念
①③④⑤ 例1 下列问题是排列问题的为__________.
①选2个小组分别去植树和种菜；
②选2个小组分别去种菜；
③某班40名同学在假期互发短信；
④从1,2,3,4,5中任取两个数字相除；
⑤10个车站，站与站间的车票.
解析
答案
反思与感悟
判断一个具体问题是否为排列问题的思路
跟踪训练1 判断下列问题是否为排列问题.
解答
(3)平面上有5个点，其中任意三个点不共线，这5个点最多可确定多少
条直线？可确定多少条射线？ 解 确定直线不是排列问题，确定射线是排列问题.
解答
类型二 例2 解
列举法解决排列问题
从1,2,3,4 这 4个数字中，每次取出 3 个不同数字排成一个三位数， 画出下列树形图，如下图.
写出所得到的所有的三位数.
由上面的树形图知，所有的三位数为 123,124,132,134,142,143,213,214,231,234,241,243,312,314,321,324,341,34 2,412,413,421,423,431,432，共24个三位数.
解答
反思与感悟
在“树形图”操作中，先将元素按一定顺序排出，然后以安排哪个 元素为首位为分类标准，进行分类，在每类中再按余下元素在前面 元素不变的情况下定第二位并按顺序分类，依次一直进行到完成一 个排列，这样就能不重不漏地依照“树形图”写出所有排列.
义及表示 排列数
公式 乘积式 阶乘式
表示
Am n(n－1)(n－2)„(n－m＋1) n ＝_______________________ n！ Am n－m！ n，m∈N＋，m≤n) n ＝________(
0＝ 1 ；0！＝1 ＝ ____ ； n ！ An A n n
排列数的性质
题型探究
解
解答
反思与感悟
(1)排列数公式的逆用：连续正整数的积可以写成某个排列数，其中最
大的是排列元素的总个数，而正整数(因式)的个数是选取元素的个数.
(2)利用排列数公式进行计算时可利用连乘形式也可利用阶乘形式.
当Am n 中m已知且较小时用连乘形式，当m较大或为参数时用阶乘形式.
(3)应用排列数公式可以对含有排列数的式子进行化简和证明，化简的 过程中要对排列数进行变形，并要熟悉排列数之间的内在联系.解题时 的常用变式 ①n！＝n(n－1)！.
高中数学第一章计数原理2排列第1课时排列与排列数公式ppt课件北师大版选修
解答
类型二 例2 解
列举法解决排列问题
从1,2,3,4 这 4个数字中，每次取出 3 个不同数字排成一个三位数， 画出下列树形图，如下图.
写出所得到的所有的三位数.
由上面的树形图知，所有的三位数为 123,124,132,134,142,143,213,214,231,234,241,243,312,314,321,324,341,34 2,412,413,421,423,431,432，共24个三位数.
问题，与顺序有关， 故选3个座位安排三位客人是排列问题.
解答
(2)从集合 M＝{1,2，…，9}中，任取两个元素作为 a，b，可以得到多少个 x2 y2 焦点在 x 轴上的椭圆方程a2＋b2＝1？可以得到多少个焦点在 x 轴上的双曲 x2 y2 线方程a2－b2＝1?
解
x2 y2 第一问不是排列问题，第二问是排列问题.若方程a2＋b2＝1 表示焦点在
⑤10个车站，站与站间的车票.
解析
答案
反思与感悟Leabharlann 判断一个具体问题是否为排列问题的思路
跟踪训练1 判断下列问题是否为排列问题.
(1)会场有50个座位，要求选出3个座位有多少种方法？若选出3个座位
安排三位客人，又有多少种方法？ 解 第一问不是排列问题，第二问是排列问题 .“ 入座 ” 问题同 “ 排队 ”
解答
类型三 例3 计算下列各题：
(1)A3 10；
解 A3 10＝10×9×8＝720.
4 A5 ＋ A 9 9 (2) 6 5 ； A10－A10
排列数及其应用
命题角度1 由排列数公式进行化简与求值
解
4 A5 ＋ A 9×8×7×6×5＋×9×8×7×6 9 9 6 5 ＝ A10－A10 10×9×8×7×6×5－10×9×8×7×6
高中数学 第1章 计数原理 2 排列 第1课时 排列与排列数公式课件 北师大版选修23
1．排列的定义 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，_按__照__一__定__的__顺__序___ __排__成__一__列____，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排 列．
对排列定义的理解 1．定义的两个重要因素 一是“取出元素”，二是“将元素按一定顺序排列”，这 是排列的两个重要因素，也是与后面将要学习的组合的不同． 2．每一个排列不仅与选取的元素有关，而且还与元素的 排列顺序有关．选取的元素不同或虽元素相同但元素的排列顺 序不同时都是不同的排列，只有当两个排列的元素完全相同且 元素的顺序完全一样时才是相同的排列． 3．在定义中规定m≤n，如果m<n，一般称为选排列；如 果m＝n，则称为全排列．
∴m＝12，故选C．
答案： C
3．由1,2,3,4,5,6六个数字可组成无重复数字的两位数的个 数为____________个．
解析： A26＝30(个)． 答案： 30
4．判断下列问题是否是排列问题？ (1)从 6 人中任选 2 人同时去参加一个座谈会，有多少种不 同的座谈方法？ (2)从 1,2,3,4,5,6 中任取两数分别作分数的分子和分母，共 形成多少个真分数？ (3)从 1,2,3,4,5 中任取两个数分别作为双曲线的实轴长和虚 轴长，可以得到多少个焦点在 x 轴上的双曲线 ax22－ by22＝1?
§2 排 列 第1课时 排列与排列数公式
课前预习学案
记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成 一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有多少种？
提示： 5名志愿者任意的排有A种排法，他们之间共有4 个空，把2位老人作为一个整体插空，两老人又可变换位置， 因此共有AAA＝960(种)．
[思路导引] 解决本题的关键是要明确排列的意义，看选 出的元素在安排时，是否与顺序有关，若与顺序有关，则是排 列只有三种，虽然机票是不同的，但 票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题；
高中数学 第一章 计数原理 排列(第一课时)课件 北师大版选修23
数，所以n=15,m=2.
故原有15个车站，现有(xiàn yǒu)17个车站.
第二十四页，共29页。
1.（5分）（2010·邯郸高二检测）用0、1、2、3、4、5六个数字能组成
没有(méi yǒu)重复数字的六位数，这样的六位数中奇数有
第二十七页，共29页。
4.（15分）安排5名歌手的演出顺序时，要求某名歌手不第一(dìyī)
个出场，另一名歌手不最后一个出场，求不同排法的总数.(用
数字作答)
【解析】分两类情况：（1）不最后一个出场的歌手第一(dìyī)个
出场，有 =24种排法；（2）不最后一个出场的歌手不第
一个出场，A有44
=3×3×3×2×1=54（种）排法.所以共
×1=288个.
第二十五页，共29页。
2.(5分)不等式 x A3x >3的A解2x 集是（ ）
（A）{x|x>3}
（B）{x|x>4,x∈N}
（C）{x|3<x<4,x∈Z}
（D）{x|x>3,x∈N*}
【解析(jiě xī)】选x D .∵x! >3 x! ∴x(x-2)>3，解得x>3(或x-x3<)-! 1. (x-2)!
选出来有10种选法，再安排，故总的安排方法为
10
A
4 4
=10×4×3×2×1=240种.
第十八页，共29页。
3.下列各式中与排列(páilièA)数mn 相等的是（ ）
(A) n!
(B)n(n-1)(n-2)…(n-m)
(C) (m-n)! 【解析n-】mm+选1DA.mn--11
高中数学 第一章 计数原理 2 排列学案 北师大版选修2-3(2021年最新整理)
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本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为高中数学第一章计数原理2 排列学案北师大版选修2-3的全部内容。
§2 排 列问题。
1．排列一般地，从n 个不同的元素中取出m （m ≤n ）个元素，按照一定顺序排成一列，叫作从n 个不同的元素中任意取出m 个元素的一个排列．我们把有关求排列的个数的问题叫作排列问题．预习交流1如何判断一个问题是排列问题？提示：判断一个问题是否为排列问题的依据是，是否与顺序有关，与顺序有关且是从n 个不同元素中任取m (m ≤n ）个不同元素的问题就是排列问题，而判断它是否有顺序的依据是变换元素的位置,看其结果是否有变化,有变化就是有顺序，无变化则无顺序．2．排列数我们把从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有排列的个数,叫作从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数,记作A 错误!.A 错误!＝n (n －1）(n －2）…（n －m ＋1)＝错误!.规定A 错误!＝1。
当m ＝n 时，A 错误!＝n ·(n －1）·(n －2)·…·2·1.我们把n ·(n －1)·(n －2）·…·2·1记作n ！，读作：n 的阶乘．我们规定0！＝1。
预习交流2如何理解和记忆排列数公式？提示：从n 个不同元素中取出m (m ≤n)个元素的排列，一共有A 错误!＝n (n －1）（n －2）…（n －m ＋1)种，排列数公式中的第一个数是n ,依次递减1，最后一个数为（n －m ＋1）,共有m 个连续自然数相乘．1．排列问题下列三个问题中，是排列问题的是__________．(1)在各国举行的足球联赛中，一般采取“主客场制"(即每两个球队之间分别作为主队和客队各赛一场）．若共有12支球队参赛,问共需进行多少场比赛？（2）在“世界杯”足球赛中，由于有东道主国家承办，故无法实行“主客场制”，而采用“分组循环淘汰制”,共有32支球队参加，分为八组，每组4支球队进行循环，问在小组循环赛中共需进行多少场比赛?（3)在乒乓球单打比赛中,由于参赛选手较多，故常采用“抽签捉对淘汰制"决出冠军． 若共有100名选手参赛，待冠军产生时，共需举行多少场比赛?思路分析：变换元素的顺序，看结果有无影响，如有影响，则是排列问题,否则,不是．答案：(1）解析：对于(1），同样是甲、乙两队比赛，甲作为主队和乙作为主队是两场不同的比赛，故与顺序有关，是排列问题；对于（2)，由于是组内循环,故甲，乙两队之间只需进行一场比赛，与顺序无关，不是排列问题;对于（3），由于两名选手一旦比赛后就淘汰其中一位，故也与顺序无关,不是排列问题．下列问题是排列问题吗？并说明理由．(1）从1，2，3,4四个数字中任选两个做加法,其结果有多少种不同的可能？(2）从1,2，3，4四个数字中，任选两个做除法,其结果有多少种不同的可能?解：（1）不是排列问题;（2）是排列问题．理由：由于加法运算满足交换律，所以选出的两个数做加法时，与两个数的位置无关，但做除法时，两个数谁做除数，谁做被除数不一样，此时与位置有关，故做加法不是排列问题，做除法是排列问题．判断排列问题注意:(1）与排列顺序有关；(2）元素互不相同；（3)一次抽取．2．排列数问题解方程：3A错误!＝2A错误!＋6A错误!。
1.2.1排列与排列数公式 课件(北师大选修2-3)
整理得3n2-17n+10=0，
解得n=5或 n 2 (舍去)，
3
n 3 又 n 1 2， n 3，故n 5． n 2
(2)左边＝ m! m k ! m! An m k ! m n ! m n ! m
2．下列命题中，是真命题的是( ①abc和bac是两个不同的排列；
)
②从甲、乙、丙三人中选2人站成一排，所有的站法有6种；
③过不共线的三点中任两点所作的直线的条数为6．
(A)①② (B)①③ (C)②③ (D)①②③
【解析】选A．对于①，abc和bac显然排列顺序不同，是不 同的排列；对于②，所有的站法有甲乙、甲丙、乙甲、丙
种数是________．
【解析】要确定一种车票，即是从四个车站中任意选出 2个 车站，按起点站在前、终点站在后进行排列，共有 A 2 种不 4 同的排法，即共有 A 2 种不同的车票，由排列数公式可得 4
A2 ． 4 4 3 12
答案：12
5 A7 A 6．解方程 n 5 n 89． An
有关排列数的计算
排列数的计算方法：
(1)排列数的计算主要是利用排列数公式进行．应用时注意：
连续正整数的积可以写成某个排列数，其中最大的数是排
列元素的总个数，而正整数(因式)的个数是选取元素的个 数，这是排列数公式的逆用． (2)应用排列数公式的两种形式时，一般先写出它们的式子 后，再提取公因式，然后计算，这样往往会减少运算量．
【例1】判断下列问题是否为排列问题：
(1)某班共有50名同学，现要投票选举正、副班长各一人，
共有多少种可能的选举结果？ (2)从2,3,5,7,9五个数字中任取两个数分别作为对数的底数 和真数，有多少个不同的对数值？ (3)有12个车站，共需准备多少种车票？ (4)从集合M={x|1≤x≤9,x∈N}中任取相异的两个元素作为
2019_2020学年高中数学第一章计数原理2排列第一课时排列与排列数公式课件北师大版选修2_3
探究三 无限制条件的排列问题
[例 3] (1)有 3 名大学毕业生，到 5 家招聘员工的公司应聘，若每家公司至多招聘 一名新员工，且 3 名大学生全部被聘用，若不允许兼职，则共有多少种不同的招 聘方案(用数字作答)? (2)有一部电影，被安排到 4 个单位去放映，每个单位放映 1 场，不同的放映方式 有几种？
应用排列数公式时的注意点 (1)排列数的第一个公式 Amn ＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)适用于具体计算 或解与排列数 Amn (当 m 较小时)有关的方程．要注意公式右端的特点和公 式的逆用． (2)第二个公式 Amn ＝n－n！m！适用于与排列数有关的恒等式(或不等式)的 证明或解有关排列数 Amn (当 m 与 n 较接近时)的方程与不等式． (3)对 Amn 要注意隐含条件：m≤n(m∈N，n∈N＋)．
因忽略排列数
A
m n
的隐含条件致误
[典例] 不等式 A2n－1－n＜7 的解集为( )
A．{n|－1＜n＜5}
B．{1,2,3,4}
C．{3,4}
D．{4}
[解析] 由不等式 A2n－1－n＜7， 得(n－1)(n－2)－n＜7， 整理得 n2－4n－5＜0， 解得－1＜n＜5.
又因为 n－1≥2 且 n∈N＋， 即 n≥3 且 n∈N＋， 所以 n＝3 或 n＝4， 故不等式 A2n－1－n＜7 的解集为{3,4}． [答案] C
[例 2] 求下列各式中的 x 值： (1)3A3x＝2A2x＋1＋6A2x； (2)3Ax8＝4Ax9－1. [解析] (1)由 3A3x＝2A2x＋1＋6A2x得： 3x(x－1)(x－2)＝2(x＋1)·x＋6x(x－1)． ∵x≥3 且 x∈N*， ∴3(x－1)(x－2)＝2(x＋1)＋6(x－1)． 化简整理得：3x2－17x＋10＝0.
高中数学第一章计数原理1.2排列1.2.2排列的应用课件北师大版选修2_3
A35种方法. 根据分步乘法计数原理,有A26 ·A35 = 1 800 种方法. (3)把位置作为研究对象.
第一步:从甲、乙以外的 5 个元素中选两个排在首末两个位置,有
A25种方法. 第二步:从未排上的 5 个元素中选出 3 个排在中间 3 个位置上,有
好符合“A,B,C”或“C,B,A”排列方法的排列有
A55 A33
×
2
=
40
种.
目标导航
题型一
题型二
题型三
知识梳理
典例透析
随堂演练
方法二(插空法):若字母 A,B,C 的排列顺序为“A,B,C”,这时形成 4 个空当,分两步将字母 D,E 插入.
将字母 D 插入 4 个空中的一个,有A14种方法,再将 E 插入 5 个空 中的一个,有A15种方法,所以共有A14A15 = 20 种.
随堂演练
目标导航
知识梳理
典例透析
随堂演练
12345
3.将五辆车停在5个车位上,其中A车不停在1号车位上,不同的停车 方案有( ) A.24种 B.78种C.96种 D.120种
解:(1)(捆绑法)将甲、乙两人“捆绑”为一个元素,与其余 5 人全排
列,共有A66种排法.甲、乙两人可交换位置,有A22种排法.故共有A66 · A22 = 1 440 种排法.
(2)方法一(间接法):7 人任意排列,有A77种排法,甲、乙两人相邻 有A22 ·A66种排法,故共有A77 − A22 ·A66 = 3 600 种甲、乙不相邻的排 法.
排法应是A66 − 2A55 + A44 = 504 种.
高中数学 第一章 计数原理 1-3-1 组合与组合数公式课件 北师大版选修2-3
高中数学 第一章 计数原理 1-3-1 组合与组合数公式课件 北师大版选修2-3
§3 组 合
第一课时 组合与组合数公式
1．组合的概念 一般地，从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素合成一 组，叫做从n不同元素中取出m个元素的一个组合． 2．组合数 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个 数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号Cnm表 示．
＝
11·（y－1）（！3y（）2！y＋1）！，化简得y2－5y＝0.
∴y＝0(舍)或y＝5，∴x＝15.
∴方程组的解为xy＝＝51.5，
(2)∵2Cx＋1x－2<3Cx＋12，∴2Cx＋13<3Cx＋12，即 2×（x＋11×）x2×（x3－1）<3×（x1＋×12）x. ① ∵x＋1≥3，x≥2，∴(x＋1)x>0. ①式两边同除以(x＋1)x，得x－1<92，∴x<121. ∴x＝2，3，4，5.即不等式的解集为{2，3，4，5}．
探究3 (1)Cn＋1m＝Cnm＋Cnm－1⇔Cnm－1＝Cn＋1m－Cnm； (2)C11＝C22＝C33＝…＝Cnn； (3)公式的灵活运用，体现了思维的灵活性．
◎思考题4 (1)计算①C31＋C32＋C43＋C54＋C65； ②C55＋C65＋C75＋C85＋C95＋C105； (2)计算C201198＋C200196＋C200197.
题型一 组合的概念
例1 判断下列问题是不是组合问题？ (1)从10人中选4人
①参加，6中任取两数
①构成对数或指数；②相加或相乘．
(3)三个人互相 ①问好；②送礼品．
(4)由正四面体4个顶点 ①可形成多少个向量；②形成多少对异面直线．
高中数学第一章计数原理2第一课时排列与排列数公式教学案北师大版选修2-3
第一课时排列与排列数公式[对应学生用书P6]排列的概念[例1] 下列哪些问题是排列问题：(1)从10名学生中选2名学生开会共有多少种不同的选法？(2)从2,3,5,7,11中任取两个数相乘共能得几个不同的乘积？(3)以圆上的10个点为端点作弦可作多少条不同的弦？(4)10个车站，站与站间的车票种数有多少？[思路点拨] 判断是否为排列问题的关键是选出的元素在被安排时，是否与顺序有关．[精解详析] (1)选2名同学开会没有顺序，不是排列问题．(2)两个数相乘，与这两个数的顺序无关，不是排列问题．(3)弦的端点没有先后顺序，不是排列问题．(4)车票使用时，有起点和终点之分，故车票的使用是有顺序的，是排列问题．[一点通] 判定是不是排列问题，要抓住排列的本质特征，第一取出的元素无重复性，第二选出的元素必须与顺序有关才是排列问题．元素相同且排列顺序相同才是相同的排列．元素有序还是无序是判定是否为排列问题的关键．1．下列命题，①abc和bac是两个不同的排列；②从甲、乙、丙三人中选两人站成一排，所有的站法有6种；③过不共线的三点中的任两点所作直线的条数为6.其中为真命题的是( )A．①②B．①③C．②③D．①②③答案：A2．判断下列问题是不是排列，若是，写出所有排列．(1)从张红、李明、赵华三人中选出两人去参加数学竞赛有几种不同选法？(2)从(1)中的三人中选出两人分别去参加物理竞赛和数学竞赛有几种不同选法？(3)从a，b，c，d，e中取出两个字母有几种取法？解：(1)不是排列问题，因为选出两人参加数学竞赛与顺序无关．(2)是排列问题，因为选出甲、乙两人参加竞赛，甲参加物理，乙参加数学，与甲参加数学，乙参加物理是不同的结果，即与顺序有关．不同排列为张红李明；李明张红；张红赵华；赵华张红；李明赵华；赵华李明．(3)不是排列问题，因为取出的两个字母与顺序无关．列举法解决排列问题[例2] 从得到的所有三位数．[思路点拨] 可按顺序分步解决，然后利用树形图列出所有的排列．[精解详析] 画出下列树形图，如下图．由上面的树形图知，所有的三位数为：123,124,132,134,142,143,213,214,231,234,241,243,312,314,321,324,341,342,412,413,421,423,431,432.共24个三位数．[一点通] 在“树形图”操作中，先将元素按一定顺序排出，然后以安排哪个元素在首位为分类标准，进行分类，在每类中再按余下元素在前面元素不变的情况下定第二位并按顺序分类，依次一直进行到完成一个排列，这样就能不重不漏地依照“树形图”写出所有排列．3．由1,2,3三个数字可组成________个不同数字的三位数．解析：三位数有123,132,213,231,312,321共6个．答案：64．A，B，C，D四名同学排成一行照相，要求自左向右，A不排第一，B不排第四，试写出所有排列方法．解：因为A 不排第一，排第一位的情况有3类(可以B ，C ，D 中任选一人排)，而此时兼顾分析B 的排法，列树形图如图．所以符合题意的所有排列是：BACD ，BADC ，BCAD ，BCDA ，BDAC ，BDCA ，CABD ，CBAD ，CBDA ，CDBA ，DABC ，DBAC ，DBCA ，DCBA .排列数的计算[例3] (12分)计算下列各题：(1)A310；(2)A59＋A49A610－A510；(3)Am n －1·An n －mAn n －1.[思路点拨] 对(1)(2)，直接用排列数的连乘形式公式计算；对(3)，可利用排列数阶乘形式的公式证明．[精解详析] (1)A310＝10×9×8＝720.(4分) (2)A59＋A49A610－A510＝9×8×7×6×5＋9×8×7×610×9×8×7×6×5－10×9×8×7×6 ＝9×8×7×6×5＋110×9×8×7×6×5－1＝610×4＝320.(8分) (3)Am n －1·An n －m An n －1＝n －1！[n －1－m －1]！·(n －m )！·1n －1！＝1.(12分)[一点通] (1)排列数的第一个公式Am n ＝n (n －1)…(n －m ＋1)适用于具体计算以及解当m 较小时的含有排列数的方程和不等式．在运用该公式时要注意它的特点：从n 起连续写出m 个数的乘积即可．(2)排列数的第二个公式Am n ＝n ！n －m ！适用于与排列数有关的证明、解方程、解不等式等．5．已知A2n ＝7A2n －4，则n 的值为( ) A ．6 B ．7 C ．8D ．2解析：由排列数公式，得n (n －1)＝7(n －4)(n －5)，n ∈N ＋. ∴3n 2－31n ＋70＝0，解得n ＝7或n ＝103(舍)．答案：B6．若Am 10＝10×9×…×5，则m ＝________. 解析：由排列数公式，得m ＝6. 答案：67．计算：2A59＋3A699！－A610＝________.解析：法一：原式＝2×9×8×7×6×5＋3×9×8×7×6×5×49×8×7×…×1－10×9×…×5＝2＋124×3×2－10＝1414＝1.法二：原式＝29！4！＋39！3！9！－10！4！＝24！＋33！1－104！＝2＋3×44！－10＝1.答案：18．(1)解方程A42x ＋1＝140A3x ； (2)解不等式：Ax 6<6Ax －26.解：(1)∵⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1≥4，x≥3，∴x ≥3，x ∈N ＋，由A42x ＋1＝140A3x 得(2x ＋1)2x (2x －1)(2x －2)＝140x (x －1)(x －2)， 化简得，4x 2－35x ＋69＝0，解得，x 1＝3或x 2＝234(舍)，∴方程的解为x ＝3.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧1≤x≤6，1≤x－2≤6，得3≤x ≤6，且x ∈N ＋.又Ax 6<6Ax －26 ⇒6！6－x ！<6·6！6－x ＋2！⇒(8－x )(7－x )<6⇒x 2－15x ＋50<0⇒(x －10)(x －5)<0 ⇒5<x <10.综上可知x ＝6，不等式解集为{6}．排列的根本特征是每一个排列不仅与选取的元素有关，而且与元素的排列顺序也有关．在判断一个问题是否是排列问题时，可按下列方法进行：[对应课时跟踪训练二]1．5A35＋4A24等于( ) A ．107 B ．323 C ．320D ．348解析：原式＝5×5×4×3＋4×4×3＝348. 答案：D 2.A345！等于( ) A.120B.125C.15D.110解析：A345！＝4×3×25×4×3×2×1＝15.答案：C3．设a ∈N ＋，且a <27，则(27－a )(28－a )·…·(34－a )等于( ) A ．A827－a B ．A27a 34－a C ．A734－aD ．A834－a解析：8个括号里面是连续的自然数，依据排列数的概念，选D. 答案：D4．若从4名志愿者中选出2人分别从事翻译、导游两项不同工作，则选派方案共有( )A ．16种B ．6种C ．15种D ．12种解析：4名志愿者分别记作甲、乙、丙、丁，则选派方案有：甲乙，甲丙，甲丁，乙甲，乙丙，乙丁，丙甲，丙乙，丙丁，丁甲，丁乙，丁丙，即共有A24＝12种方案．答案：D5．已知9！＝362 880，那么A79＝________. 解析：A79＝9！9－7！＝362 8802＝181 440.答案：181 440 6．给出下列问题：①从1,3,5,7这四个数字中任取两数相乘，可得多少个不同的积？ ②从2,4,6,7这四个数字中任取两数相除，可得多少个不同的商？③有三种不同的蔬菜品种，分别种植在三块不同的试验田里，有多少种不同的种植方法？④有个头均不相同的五位同学，从中任选三位同学按左高右低的顺序并排站在一排照相，有多少种不同的站法？上述问题中，是排列问题的是________．(填序号)解析：对于①，任取两数相乘，无顺序之分，不是排列问题；对于②，取出的两数，哪一个作除数，哪一个作被除数，其结果不同，与顺序有关，是排列问题；对于③，三种不同的蔬菜品种任一种种植在不同的试验田里，结果不同，是排列问题；对于④，选出的三位同学所站的位置已经确定，不是排列问题．答案：②③7．(1)计算4A48＋2A58A88－A59；(2)解方程3Ax 8＝4Ax －19.解：(1)原式＝4A48＋2×4A484×3×2A48－9A48＝4＋824－9＝1215＝45.(2)由3Ax 8＝4Ax －19，得3×8！8－x ！＝4×9！10－x ！，化简，得x2－19x＋78＝0，解得x1＝6，x2＝13.又∵x≤8，且x－1≤9，∴原方程的解是x＝6.8．从语文、数学、英语、物理4本书中任意取出3本分给甲、乙、丙三人，每人一本，试将所有不同的分法列举出来．解：从语文、数学、英语、物理4本书中任意取出3本，分给甲、乙、丙三人，每人一本，相当于从4个不同的元素中任意取出3个元素，按“甲、乙、丙”的顺序进行排列，每一个排列就对应着一种分法，所以共有A34＝4×3×2＝24种不同的分法．不妨给“语文、数学、英语、物理”编号，依次为1,2,3,4号，画出下列树形图：由树形图可知，按甲乙丙的顺序分的分法为：语数英语数物语英数语英物语物数语物英数语英数语物数英语数英物数物语数物英英语数英语物英数语英数物英物语英物数物语数物语英物数语物数英物英语物英数。
高中数学北师大版选修2-3第一章计数原理2排列之排列与排列数教学课件
2、排列数：
从n个不同的元素中取范出德蒙m(德m（≤1n73)5个-1元79素6）的所有 排列的个数，叫做从n个不Va同nd的erm元o素nd中e法取国出数m学个元素
A 的排列数。用符号 m 表家示，。于1772年发明排列 n 数符号，高等代数方面
“排列”和“排列数”有有什重么要区的分贡和献联，是系行？列
排列
【学习目标】 1.了解排列、排列数的定义． 2.掌握排列数公式的推导方法． 3.能用排列数公式解决简单的排列问题．
【重点、难点】 排列概念的理解．(难点) 排列的简单应用．(重点) 排列与排列数的区分．(易混点)
新课导入
2015年北京田径世锦赛进入到第八比赛日的争夺。在男子 4 ×100米接力决赛中，由莫有雪、谢震业、苏炳添和张培萌 组成的中国队创历史的以38秒01的成绩获得亚军，这也是亚 洲队伍在世界大赛中取得最好成绩！
讨论：莫有雪、谢震业、苏炳添和张培萌上颁奖台有多少种站法？
A44 43 21 24
思考题： (1)从5本不同的书中选3本送给3名同学，每人各1本， 共有多少种不同的送法？
“从5个不同元素中选出3个并按顺序排列”
A3 5 = 5×4×3= 60
(2)从5种不同的书中买3本送给3名同学，每人各1本， 共有多少种不同的送法？
位数？
1
树状图： 2 3 4
2
ห้องสมุดไป่ตู้
3
4
1 34 1 24 1 23
34242 3 34141 3 241412 23131 2
思维启发
问题3： 6名同学站成一排照相，有多少种不同的排 法？
思维启发
问题1：从红、黄、蓝3种颜色选出两种给地图上的 赣州市和南昌市上色。 问题2：从1、2、3、4这四个数字中，每次取出3个 不同的数字排成一个三位数。