【赢在课堂】2015学年高中数学(人教)必修5课件：2-2-2等差数列的性质
第 2 课时
等差数列的性质
第2课时
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等差数列的性质
课前预习导学
KEQIAN YUXI DAOXUE
课堂合作探究
KETANG HEZUO TANJIU
预习引导
学习目标
1.记住等差数列的一些常见性质; 2.会用等差数列的性质解答一些简单的等差数列问题. 重点:等差数列性质的应用; 难点:等差数列性质的理解.
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问题导学
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a4+a8=( A.30 a3+b3=( A.12
例 1(1)如果等差数列{an}中,a5+a6+a7=15,那么 ). B.15 ). B.6 C.4 D.3 C.10 D.5
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迁移与应用 1.已知等差数列{an}中,a2=4,a4+a6=26,则 a8 的值是( A.9 答案:D 解析:∵ a2+a8=a4+a6=26, ∴ a8=26-a2=22. B.13 C.18 D.22 ).
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灵活运用等差数列的性质,能化繁为简,简化计算,但设首项与公差 仍是解答数列问题的最基本方法.
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(2)已知数列{an},{bn }都是等差数列,且 a1+b1=2,a5+b5=10,则
思路分析:解答时既可以用等差数列的性质求解,也可以用等差数 列的通项公式求解. 答案:(1)C (2)B
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预习交流
若数列{an},{bn}分别是公差为 d 1,d2 的等差数列,则数列 {λan},{λan+b},{pan+qbn }(λ, b,p,q 是常数)是否为等差数列?若是,公差分 别是多少? 提示:它们都是等差数列,公差分别是 λd 1,λd 1,pd 1+qd 2.
当堂检测
解析:(1)方法一:∵ a5+a6+a7=15,∴ 3a6=15. ∴ a6=5.∴ a4+a8=2a6=10. 方法二:设数列{an}的公差为 d ,则由 a5+a6+a7=15 得 (a1+4d )+(a1+5d )+(a1+6d )=15, ∴ 3a1+15d=15.∴ a1+5d=5. ∴ a4+a8=2a1+10d=10.
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ当堂检测
一、等差数列性质的应用 活动与探究
1.在等差数列{an}中,若已知任意两项 am,an,怎样求公差? 提示:在等差数列{an}中,an-am=(n-m)d ,所以 d=
重点难点
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等差数列的重要性质 1.an=am+(n-m)d (m,n∈N*). 2.若 m+n=p+q(m,n,q,p∈N*),则 am+an=ap+aq. 特别地,若 m+n=2p,则 am+an=2ap. 3.若数列{an}是公差为 d 的等差数列,则 (1)数列{an}去掉前几项后余下的项仍组成公差为 d 的等差数列; (2)奇数项数列{a2n-1}是公差为 2d 的等差数列; 偶数项数列{a2n}是公差为 2d 的等差数列; (3)若数列{kn}成等差数列,则数列{������������ ������ }也是等差数列.
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二、等差数列设元的应用 活动与探究
1.解决等差数列问题时,常用的两个基本量是什么? 提示:等差数列的首项 a1 与公差 d 是两个基本量,在很多等差数列 问题中,可设出首项与公差,建立关于首项与公差的方程(组),使问题获 解. 2.在数列问题中,若存在三数成等差数列,这三个数该如何设出? 提示:可设这三个数为 a,a+d ,a+2d ,也可设此三数为 a-d ,a,a+d ,这样 若已知三数和时容易求出 a,从而只有一个未知量 d ,将问题简化.
������������ -������������ . ������-������
2.在有穷等差数列中,与首末两项“等距离”的两项之和有何特点? 提示:在等差数列中,与首末两项“等距离”的两项之和相等,且等于 首末两项之和,即 a1+an=a2+an-1=…=ak+an-k+1.可由等差数列的通项公 式求得每两项之和都等于 2a1+(n-1)d ,故上述结论成立.
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2.设数列{an},{bn}都是等差数列,且 a1=25,b1=85,a2+b2=100,求 a100+b100. 解:∵ 数列{an},{bn}都是等差数列, ∴ 数列{an+bn}也构成等差数列,并且首项为 a1+b1=25+85=110, 公差 d=(a2+b2)-(a1+b1)=100-110=-10. ∴ an+bn=110-10(n-1)=120-10n.∴ a100+b100=120-10×100=-880.
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(2)∵ 数列{an},{bn}都是等差数列, ∴ 数列{an+bn}也是等差数列. ∵ 2(a3+b3)=(a1+b1)+(a5+b5)=12, ∴ a3+b3=6.
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1.记住等差数列的一些常见性质; 2.会用等差数列的性质解答一些简单的等差数列问题. 重点:等差数列性质的应用; 难点:等差数列性质的理解.
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a4+a8=( A.30 a3+b3=( A.12
例 1(1)如果等差数列{an}中,a5+a6+a7=15,那么 ). B.15 ). B.6 C.4 D.3 C.10 D.5
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迁移与应用 1.已知等差数列{an}中,a2=4,a4+a6=26,则 a8 的值是( A.9 答案:D 解析:∵ a2+a8=a4+a6=26, ∴ a8=26-a2=22. B.13 C.18 D.22 ).
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灵活运用等差数列的性质,能化繁为简,简化计算,但设首项与公差 仍是解答数列问题的最基本方法.
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(2)已知数列{an},{bn }都是等差数列,且 a1+b1=2,a5+b5=10,则
思路分析:解答时既可以用等差数列的性质求解,也可以用等差数 列的通项公式求解. 答案:(1)C (2)B
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若数列{an},{bn}分别是公差为 d 1,d2 的等差数列,则数列 {λan},{λan+b},{pan+qbn }(λ, b,p,q 是常数)是否为等差数列?若是,公差分 别是多少? 提示:它们都是等差数列,公差分别是 λd 1,λd 1,pd 1+qd 2.
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解析:(1)方法一:∵ a5+a6+a7=15,∴ 3a6=15. ∴ a6=5.∴ a4+a8=2a6=10. 方法二:设数列{an}的公差为 d ,则由 a5+a6+a7=15 得 (a1+4d )+(a1+5d )+(a1+6d )=15, ∴ 3a1+15d=15.∴ a1+5d=5. ∴ a4+a8=2a1+10d=10.
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一、等差数列性质的应用 活动与探究
1.在等差数列{an}中,若已知任意两项 am,an,怎样求公差? 提示:在等差数列{an}中,an-am=(n-m)d ,所以 d=
重点难点
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等差数列的重要性质 1.an=am+(n-m)d (m,n∈N*). 2.若 m+n=p+q(m,n,q,p∈N*),则 am+an=ap+aq. 特别地,若 m+n=2p,则 am+an=2ap. 3.若数列{an}是公差为 d 的等差数列,则 (1)数列{an}去掉前几项后余下的项仍组成公差为 d 的等差数列; (2)奇数项数列{a2n-1}是公差为 2d 的等差数列; 偶数项数列{a2n}是公差为 2d 的等差数列; (3)若数列{kn}成等差数列,则数列{������������ ������ }也是等差数列.
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二、等差数列设元的应用 活动与探究
1.解决等差数列问题时,常用的两个基本量是什么? 提示:等差数列的首项 a1 与公差 d 是两个基本量,在很多等差数列 问题中,可设出首项与公差,建立关于首项与公差的方程(组),使问题获 解. 2.在数列问题中,若存在三数成等差数列,这三个数该如何设出? 提示:可设这三个数为 a,a+d ,a+2d ,也可设此三数为 a-d ,a,a+d ,这样 若已知三数和时容易求出 a,从而只有一个未知量 d ,将问题简化.
������������ -������������ . ������-������
2.在有穷等差数列中,与首末两项“等距离”的两项之和有何特点? 提示:在等差数列中,与首末两项“等距离”的两项之和相等,且等于 首末两项之和,即 a1+an=a2+an-1=…=ak+an-k+1.可由等差数列的通项公 式求得每两项之和都等于 2a1+(n-1)d ,故上述结论成立.
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2.设数列{an},{bn}都是等差数列,且 a1=25,b1=85,a2+b2=100,求 a100+b100. 解:∵ 数列{an},{bn}都是等差数列, ∴ 数列{an+bn}也构成等差数列,并且首项为 a1+b1=25+85=110, 公差 d=(a2+b2)-(a1+b1)=100-110=-10. ∴ an+bn=110-10(n-1)=120-10n.∴ a100+b100=120-10×100=-880.
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(2)∵ 数列{an},{bn}都是等差数列, ∴ 数列{an+bn}也是等差数列. ∵ 2(a3+b3)=(a1+b1)+(a5+b5)=12, ∴ a3+b3=6.
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人教A版高中数学必修5课件：2.2等差数列定义及通项公式(共37张PPT)
∴294<d≤3.又 d 为整数， ∴d＝3. ∴an＝a1＋(n－1)·d＝－24＋3(n－1)＝3n－27. ∴通项公式为 an＝3n－27.
10．如果一个数列的各项都是实数，且从第二项开始， 每一项与它前一项的平方差是相同的常数，则称该数列为等 方差数列，这个常数叫做这个数列的公方差．
(1)设数列{an}是公方差为 p 的等方差数列，求 an 和 an－ 1(n≥2)的关系式；
[答案] B
4．首项是 18，公差为 3 的等差数列的第________项开
始大于 100.
[解析] 由题意 an＝18＋3(n－1)＝3n＋15，
由
3n＋15>100
得
1 n>283.
∵n∈N*，
∴n＝29，即从 29 项开始大于 100.
[答案] 29
5．若b＋1 c，c＋1 a，a＋1 b成等差数列，求证：a2，b2，c2 成等差数列．
又∵d 是整数，∴d＝－4.故选 C. [答案] C
二、填空题
5．若 x≠y，数列 x，a1，a2，y 和 x，b1，b2，b3，y 各
自成等差数列，则ab11－ －ab22＝________. [解析] 由于 a1－a2＝x－3 y，b1－b2＝x－4 y，则ab11－ －ab22＝43.
[答案]
(2)若数列{an}既是等方差数列，又是等差数列，证明该 数列为常数列．
[解] (1)由等方差数列的定义可知：a2n－a2n－1＝p(n≥2)． (2)解法一：∵{an}是等差数列，设公差为 d，则 an－an －1＝an＋1－an＝d(n≥2)．又{an}是等方差数列，∴a2n－a2n－1＝ a2n＋1－a2n(n≥2)，∴(an＋an－1)(an－an－1)＝(an＋1＋an)(an＋1－ an)，即 d(an＋an－1－an＋1－an)＝－2d2＝0，∴d＝0，即{an} 是常数列．
10．如果一个数列的各项都是实数，且从第二项开始， 每一项与它前一项的平方差是相同的常数，则称该数列为等 方差数列，这个常数叫做这个数列的公方差．
(1)设数列{an}是公方差为 p 的等方差数列，求 an 和 an－ 1(n≥2)的关系式；
[答案] B
4．首项是 18，公差为 3 的等差数列的第________项开
始大于 100.
[解析] 由题意 an＝18＋3(n－1)＝3n＋15，
由
3n＋15>100
得
1 n>283.
∵n∈N*，
∴n＝29，即从 29 项开始大于 100.
[答案] 29
5．若b＋1 c，c＋1 a，a＋1 b成等差数列，求证：a2，b2，c2 成等差数列．
又∵d 是整数，∴d＝－4.故选 C. [答案] C
二、填空题
5．若 x≠y，数列 x，a1，a2，y 和 x，b1，b2，b3，y 各
自成等差数列，则ab11－ －ab22＝________. [解析] 由于 a1－a2＝x－3 y，b1－b2＝x－4 y，则ab11－ －ab22＝43.
[答案]
(2)若数列{an}既是等方差数列，又是等差数列，证明该 数列为常数列．
[解] (1)由等方差数列的定义可知：a2n－a2n－1＝p(n≥2)． (2)解法一：∵{an}是等差数列，设公差为 d，则 an－an －1＝an＋1－an＝d(n≥2)．又{an}是等方差数列，∴a2n－a2n－1＝ a2n＋1－a2n(n≥2)，∴(an＋an－1)(an－an－1)＝(an＋1＋an)(an＋1－ an)，即 d(an＋an－1－an＋1－an)＝－2d2＝0，∴d＝0，即{an} 是常数列．
等差数列的性质 高中数学必修五课件
巩固练习
3、已知{an}为等差数列 且 a4+a5+a6+a7=56，a4a7=187，求公差d.
4. 三数成等差数列，它们的和为12，首尾二数的
积为12，求此三数. 6，4，2或2，4，6
设这三个数分别为a-d ，a，a+d，则3a=12，a2-d2=12
5. 四个数成等差数列，它们的和为12，首尾二数
…,a-3d,a-d,a+d,a+3d,…
对称项设法的优点：若有n个数构成等差数列．利用对 称项设出这个数列，则其各项和为na．
巩固练习
1. 在数列{an}中a1=1，an= an+1+4，则a10= -35 提示： d=an+1—an=4
2、
已知 a n 中 a 数 1 3 ， ,a 1 n 列 a 1 n 1 5 (n 2 )则 ,a n __ .
m n p q , a m a n a p a q .
例题分析
例1 .在等差数列{an}中 (1) 已知 a6+a9+a12+a15=20，求a1+a20
分析：由 a1+a20 =a6+ a15 = a9 +a12 及 a6+a9+a12+a15=20，可得a1+a20=10
(2）已知 a3+a11=10，求 a6+a7+a8
试ap求 q.
解：设 d,则公 因 apa 差 q为 (p 为 q)d, 所d以 apaqqp1. pq pq 从 a p q a p 而 q q d q ( 1 ) 0 . 所a以 pq0.
二、 例：
例： 已知数列{ a n }的通项公式为 an pnq，其
人教版高中数学必修五同课异构课件：2.2 等差数列 第2课时 等差数列的性质 情境互动课型
-1，…，4-n
（四）等差数列与一次函数的关系
解析式 不同点
相同点
等差数列
一次函数
an=kn+b(n∈N*) 定义域为N*，图象是均匀排 开的一系列孤立的点.
f(x)=kx+b(k≠0) 定义域为R，图象 为一条直线.
等差数列的通项公式与一次函数的解析式都是关 于自变量的一次整式，都是简单的，也是最基本 的数列或函数的解析式.
如何利用规律实现更好记忆呢？
超级记忆法-记忆
规律
记忆后
选择巩固记忆的时间 艾宾浩斯遗忘曲线
超级记忆法-记忆 规律
TIP1：我们可以选择巩固记忆的时间！ TIP2：人的记忆周期分为短期记忆和长期记忆两种。 第一个记忆周期是 5分钟 第二个记忆周期是30分钟 第三个记忆周期是12小时 这三个记忆周期属于短期记忆的范畴。
解：根据题意，当该市出租车的行程大于或等于 4 km时，每增加1 km，乘客需要支付1.2元.所以，
我们可以建立一个等差数列an 来计算车费.令
a1 = 11.2,表示4 km处的车费，公差d = 1.2.那么
当出租车行至14 km处时，n = 11,此时需要 支付车费a11 = 11.2 +(11- 1)×1.2 = 23.2(元). 答：需要支付车费23.2元.
学习知识的能力 （学习新知识 速度、质量等）
长久坚持的能力 （自律性等）
什么是学习力-常见错误学 习方式
案例式 学习
顺序式 学习
冲刺式 学习
什么是学习力-高效学习必 备习惯
积极 主动
以终 为始
分清 主次
不断 更新
高效学习模型
高效学习模型-学习的完 整过程
方向
资料
（四）等差数列与一次函数的关系
解析式 不同点
相同点
等差数列
一次函数
an=kn+b(n∈N*) 定义域为N*，图象是均匀排 开的一系列孤立的点.
f(x)=kx+b(k≠0) 定义域为R，图象 为一条直线.
等差数列的通项公式与一次函数的解析式都是关 于自变量的一次整式，都是简单的，也是最基本 的数列或函数的解析式.
如何利用规律实现更好记忆呢？
超级记忆法-记忆
规律
记忆后
选择巩固记忆的时间 艾宾浩斯遗忘曲线
超级记忆法-记忆 规律
TIP1：我们可以选择巩固记忆的时间！ TIP2：人的记忆周期分为短期记忆和长期记忆两种。 第一个记忆周期是 5分钟 第二个记忆周期是30分钟 第三个记忆周期是12小时 这三个记忆周期属于短期记忆的范畴。
解：根据题意，当该市出租车的行程大于或等于 4 km时，每增加1 km，乘客需要支付1.2元.所以，
我们可以建立一个等差数列an 来计算车费.令
a1 = 11.2,表示4 km处的车费，公差d = 1.2.那么
当出租车行至14 km处时，n = 11,此时需要 支付车费a11 = 11.2 +(11- 1)×1.2 = 23.2(元). 答：需要支付车费23.2元.
学习知识的能力 （学习新知识 速度、质量等）
长久坚持的能力 （自律性等）
什么是学习力-常见错误学 习方式
案例式 学习
顺序式 学习
冲刺式 学习
什么是学习力-高效学习必 备习惯
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不断 更新
高效学习模型
高效学习模型-学习的完 整过程
方向
资料
【赢在课堂】2015学年高中数学(人教)必修5课件：2-3-2等差数列的前n项和性质与应用
10×9 ×0.5=15+12.5=27.5,得 a1=0.5. 2 1 ������1 = 16 , 1 ������ = 8 .
第2课时
问题导学
等差数列前n项和的性质与应用
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������(������- 1) ������(������-1 ) 2 d=ka d+k d. 1+ 2 2 ������(������- 1) ������(������-1 ) 2 d=ka + d+ 2 k d, 1 2 2
同理,S3k-S2k=k(a1+2kd )+
所以 Sk,S2k-Sk,S3k-S2k 构成等差数列,且公差为 k2d.
第2课时
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等差数列前n项和的性质与应用
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等差数列{an}的前 n 项和 Sn 是关于 n 的二次函数吗?若是,能据此求 Sn 的最值吗? 提示:当公差 d≠0 时,等差数列{an}的前 n 项和 Sn=na1+
当堂检测
一、等差数列前 n 项和的性质 活动与探究
在等差数列中,如何证明 Sk,S2k-Sk,S3k-S2k…仍成等差数列? 提示:设等差数列的首项为 a1,公差为 d ,则
������(������-1 ) ak+1=a1+kd ,a2k+1=a1+2kd ,Sk=ka1+ 2 d.
又 S2k-Sk 为数列第 k+1 项到第 2k 项这 k 项的和,因此 S2k-Sk=k(a1+kd )+
第2课时
问题导学
等差数列前n项和的性质与应用
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������(������- 1) ������(������-1 ) 2 d=ka d+k d. 1+ 2 2 ������(������- 1) ������(������-1 ) 2 d=ka + d+ 2 k d, 1 2 2
同理,S3k-S2k=k(a1+2kd )+
所以 Sk,S2k-Sk,S3k-S2k 构成等差数列,且公差为 k2d.
第2课时
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等差数列前n项和的性质与应用
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等差数列{an}的前 n 项和 Sn 是关于 n 的二次函数吗?若是,能据此求 Sn 的最值吗? 提示:当公差 d≠0 时,等差数列{an}的前 n 项和 Sn=na1+
当堂检测
一、等差数列前 n 项和的性质 活动与探究
在等差数列中,如何证明 Sk,S2k-Sk,S3k-S2k…仍成等差数列? 提示:设等差数列的首项为 a1,公差为 d ,则
������(������-1 ) ak+1=a1+kd ,a2k+1=a1+2kd ,Sk=ka1+ 2 d.
又 S2k-Sk 为数列第 k+1 项到第 2k 项这 k 项的和,因此 S2k-Sk=k(a1+kd )+
高中数学人教A版必修5《2.2.2等差数列2》课件
解：由题意得， a6=a1+5d＞0 a7=a1+6d＜0
∴-23/5＜d＜-23/6
∵d∈Z ∴d=-4
这例个数7.列已从知第等1差2项数起列为{a负n}的数首，项求为公3差0， d的范围。
解：a12=30+11d＜0 a11=30+10d≥0
∴ -3≤d＜-30/11
即公差d的范围为：-3≤d＜-30/11
讲解范例:
例5. 已知数列{an}的通项公式为 an＝pn＋q，其中p、q为常数， 且p≠0，那么这个数列一定是 等差数列吗？
这个等差数列的首项与公差分 别是多少？
首项a1＝p＋q 公差d＝p.
应用延伸
例6.一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前 六项均为正数，第七项起为负数1
,
a
2
,
a
3
,
y和x,
b1
,
b
2
,
b
3
,
b
4
,
y都是等差
数
列
，则..
a b
2 2
- a1 - b1
总结:
2. 判断数列是否为等差数列的常用方法： (1) 定义法: 证明an－an－1＝d (常数) (2) 中项法: 利用中项公式，若2b＝a＋c,
则a, b, c成等差数列.
讲解范例:
4. 数列{an}中,a1= 2 , an+1=an- 2 (n∈N*), 则通项an=（C ）
A. 2n 2 2
B. 2n
C. 2n 2 2
D. 不能确定
5. 已知等差数列的前三项依次为：a-1, a+1, a+3, 则此数列的通项为（ B ）
数学必修5-2-2第2课时等差数列的性质PPT (2)
解析： (1)方法一：根据等差数列的性质 a2＋a14＝a3＋a13＝2a8 1 由 a2＋a8＋a14＝1，得 3a8＝1，解得 a8＝ . 3 2 ∴a3＋a13＝2a8＝3.
方法二：根据等差数列的通项公式，得 a2＋a8＋a14＝(a1＋d)＋(a1＋7d)＋(a1＋13d) ＝3a1＋21d. 1 由题意知 3a1＋21d＝1，即 a1＋7d＝3. 2 ∴a3＋a13＝2a1＋14d＝2(a1＋7d)＝3.
栏目导引
3．设数列{an}、{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2 ＋b2＝100，则a37＋b37等于________．
解析： 设cn＝an＋bn，则数列{cn}为等差数列．
c1＝a1＋b1＝100，c2＝a2＋b2＝100， ∴cn＝100，∴c37＝a37＋b37＝100. 答案： 100
工具
第二章 数列
栏目导引
等差数列的常用性质 性质1 通项公式的推广：an＝am＋ (n－m)d (n，m∈N*) 若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)， 性质2 则ak＋al＝am＋an 若{an}是等差数列，则2an＝an－1＋an＋1 a1＋an＝a2＋ 性质3 an－1＝a3＋an－2＝„
为d，则这三个数分别为a－d，a，a＋d，2分 依题意，3a＝6且a(a－d)(a＋d)＝－24， 所以a＝2，代入a(a－d)(a＋d)＝－24， 化简得d2＝16，于是d＝±4，4分
故这三个数为－2,2,6或6,2，－2.6分
工具
第二章 数列
栏目导引
方法二：设首项为a，公差为d，这三个数分别为a，a＋d，
(3)若{kn}成等差数列，则{akn}也是等差数列．
工具
高中数学人教版必修5课件：2.2.1等差数列的性质(共14张PPT)
则am a1 (m 1)d , an a1 (n 1)d ,
ap a1 ( p 1)d , aq a1 (q 1)d ,
am an 2a1 (m n 2)d ,
ap aq 2a1 ( p q 2)d , m n p q,am an ap aq.
2、等差数列的性质二：
பைடு நூலகம்
课后作业
• 1. 在等差数列{an}中 ，已知a5=10 ， a12=31 , 公差 d 及a19 。
• 2.已知为等差数列, a1+a5=10,
a2+a4+a6=33,则求a3+a4的值。
懂得如何避开问题的人，胜过知道怎样解决问题的人。在这个世界上，不知道怎么办的时候，就选择学习，也许是最佳选择。胜出者往往不是能力而是观念！在 永远是家，走出去看到的才是世界。把钱放在眼前，看到的永远是钱，把钱放在有用的地方，看到的是金钱的世界。给人金钱是下策，给人能力是中策，给人观 财富买不来好观念，好观念能换来亿万财富。世界上最大的市场，是在人的脑海里！要用行动控制情绪，不要让情绪控制行动；要让心灵启迪智慧，不能让耳朵 人与人之间的差别，主要差在两耳之间的那块地方！人无远虑，必有近忧。人好的时候要找一条备胎，人不好的时候要找一条退路；人得意的时候要找一条退路 时候要找一条出路！孩子贫穷是与父母的有一定的关系，因为他小的时候，父母没给他足够正确的人生观。家长的观念是孩子人生的起跑线！有什么信念，就选 有什么态度，就会有什么行为；有什么行为，就产生什么结果。要想结果变得好，必须选择好的信念。播下一个行动，收获一种习惯；播下一种习惯，收获一种 一种性格，收获一种命运。思想会变成语言，语言会变成行动，行动会变成习惯，习惯会变成性格。性格会影响人生！习惯不加以抑制，会变成生活的必需品， 随时改变人生走向。人往往难以改变习惯，因为造习惯的就是自己，结果人又成为习惯的奴隶！人生重要的不是你从哪里来，而是你到哪里去。当你在埋头工作 定要抬头看看你去的方向。方向不对，努力白费！你来自何处并不重要，重要的是你要去往何方，人生最重要的不是所站的位置，而是所去的方向。人只要不失 永远不会失去自己！这个世界唯一不变的真理就是变化，任何优势都是暂时的。当你在占有这个优势时，必须争取主动，再占据下一个优势，这需要前瞻的决断 是智慧！世上本无移山之术，惟一能移山的方法就是：山不过来，我就过去。人生最聪明的态度就是：改变可以改变的一切，适应不能改变的一切！学一分退让 宜；增一分享受，减一分福泽。念头端正，福星临，念头不正，善人行善，从乐入乐，从明入明；行恶，从苦入苦，骨宜刚，气宜柔，志宜大，胆宜小，心宜虚 慧宜增，福宜惜，虑不远，忧亦近。人之所以痛苦，在于追求错误的东西。你目前拥有的，都将随着你的而成为他人的。那为何不现在就给真正需要的人呢？如 往，凡做事应有余步。我们最值得自豪的不在于从不跌倒，而在于每次跌倒之后都爬得起来。见己不是，万善之门。见人不是，诸恶之根。为了向别人、向世界 努力拼搏，而一旦你真的取得了成绩，才会明白：人无须向别人证明什么，只要你能超越自己。没有哪种教育能及得上逆境。如果你想成功，那么请记住：遗产 第一、学习第二、礼貌第三、刻苦第四、精明第五。任何的限制，都是从自己的内心开始的。失败只是暂时停止成功，假如我不能，我就一定要；假如我要，我 无论你如何为他人着想，烦你的人眼里，你就是居心叵测；不管你怎样据理力争，不懂你的人心里，你就是胡搅蛮缠。最后你会发现，有些事不是你做错了，而 人；有些人不是不理解你，而是根本不想懂你。不管怎样，生活还是要继续向前走去。有的时候伤害和失败不见得是一件坏事，它会让你变得更好，孤单和失落 每件事到最后一定会变成一件好事，只要你能够走到最后。工资是发给日常工作的人，高薪是发给承担责任的人，奖金是发给做出成绩的人，股权是分给能干忠 誉是颁给有理想抱负的人，辞退信将送给没结果还耍个性的人，这里一定有个你。内心想成为什么样的人，就会努力成为这样的人，做你想做的那种人。与其指 谁，不如指望自己能够吸引那样的人；与其指望每次失落的时候会有正能量出现温暖自己，不如指望自己变成一个正能量满满的人；与其担心未来，不如现在好 虹绚烂多姿，是在与狂风暴雨争斗之后；枫叶似火燃烧，是在与秋叶的寒霜争斗之后；雄鹰的展翅高飞，是在与坠崖的危险争斗之后。他们保持着奋斗的姿态， 们的成功。有能力的人影响别人，没能力的人受人影响；不是某人使自己烦恼不安，而是自己拿某人的言行来烦恼自己；树一个目标，一步步前行，做好自己就 不需鼓掌，也在飞翔；小草，没人心疼，也在成长；野花，没人欣赏，也在芬芳；做事不需人人都理解，只需尽心尽力；做人不需人人都喜欢，只需坦坦荡荡。 为力，拼搏到感动自己；吃过的苦，受过的累，会照亮未来的路；没有年少轻狂，只有胜者为王。真正成功的人生，不在于成就的大小，而在于你是否努力地去 喊出自己的声音，走出属于自己的道路。选一个方向，定一个时间；剩下的只管努力与坚持，时间会给我们最后的答案。许多人企求着生活的完美结局，殊不知 结局，而在于追求的过程。慢慢的才知道：坚持未必就是胜利，放弃未必就是认输，。给自己一个迂回的空间，学会思索，学会等待，学会调整。人生没有假设 全部。背不动的，放下了；伤不起的，看淡了；想不通的，不想了；恨不过的，抚平了。在比夜更深的地方，一定有比夜更黑的眼睛。一切伟大的行动和思想， 不足道的开始。从来不跌倒不算光彩，每次跌倒后能再站起来，才是最大的荣耀。这个世界到处充满着不公平，我们能做的不仅仅是接受，还要试着做一些反抗 苦、最卑贱、最为命运所屈辱的人，只要还抱有希望，便无所怨惧。有些人，因为陪你走的时间长了，你便淡然了，其实是他们给你撑起了生命的天空；有些人 就忘了吧，残缺是一种大美。照自己的意思去理解自己，不要小看自己，被别人的意见引入歧途。没人能让我输，除非我不想赢！花开不是为了花落，而是为了 烂。随随便便浪费的时间，再也不能赢回来。不管从什么时候开始，重要的是开始以后不要停止；不管在什么时候结束，重要的是结束以后不要后悔。当你决定 情，全世界都会为你让路。只有在开水里，茶叶才能展开生命浓郁的香气。别想一下造出大海，必须先由小河川开始。不要让未来的你，讨厌现在的自己，困惑 成功只配得上勇敢的行动派。人生最大的喜悦是每个人都说你做不到，你却完成它了！如果你真的愿意为自己的梦想去努力，最差的结果，不过是大器晚成。不 得始终。每个人都有潜在的能量，只是很容易：被习惯所掩盖，被时间所迷离，被惰性所消磨。不论你在什么时候开始，重要的是开始之后就不要轻言放弃。恨 的却是自己。每天醒来，敲醒自己的不是钟声，而是梦想。你不能拼爹的时候，你就只能去拼命！、如果人生的旅程上没有障碍，人还有什么可做的呢。我们无 的出身，可是我们的未来是自己去改变的。励志名言：比别人多一点执着，你就会创造奇迹伟人之所以伟大，是因为他与别人共处逆境时，别人失去了信心，他 现自己的目标。人生就像一道漫长的阶梯，任何人也无法逆向而行，只能在急促而繁忙的进程中，偶尔转过头来，回望自己留下的蹒跚脚印。时间，带不走真正 月，留不住虚幻的拥有。时光转换，体会到缘分善变；平淡无语，感受了人情冷暖。有心的人，不管你在与不在，都会惦念；无心的情，无论你好与不好，只是 一段路，总能有一次领悟；经历一些事，才能看清一些人。我们无法选择自己的出身，可是我们的未来是自己去改变的。
ap a1 ( p 1)d , aq a1 (q 1)d ,
am an 2a1 (m n 2)d ,
ap aq 2a1 ( p q 2)d , m n p q,am an ap aq.
2、等差数列的性质二：
பைடு நூலகம்
课后作业
• 1. 在等差数列{an}中 ，已知a5=10 ， a12=31 , 公差 d 及a19 。
• 2.已知为等差数列, a1+a5=10,
a2+a4+a6=33,则求a3+a4的值。
懂得如何避开问题的人，胜过知道怎样解决问题的人。在这个世界上，不知道怎么办的时候，就选择学习，也许是最佳选择。胜出者往往不是能力而是观念！在 永远是家，走出去看到的才是世界。把钱放在眼前，看到的永远是钱，把钱放在有用的地方，看到的是金钱的世界。给人金钱是下策，给人能力是中策，给人观 财富买不来好观念，好观念能换来亿万财富。世界上最大的市场，是在人的脑海里！要用行动控制情绪，不要让情绪控制行动；要让心灵启迪智慧，不能让耳朵 人与人之间的差别，主要差在两耳之间的那块地方！人无远虑，必有近忧。人好的时候要找一条备胎，人不好的时候要找一条退路；人得意的时候要找一条退路 时候要找一条出路！孩子贫穷是与父母的有一定的关系，因为他小的时候，父母没给他足够正确的人生观。家长的观念是孩子人生的起跑线！有什么信念，就选 有什么态度，就会有什么行为；有什么行为，就产生什么结果。要想结果变得好，必须选择好的信念。播下一个行动，收获一种习惯；播下一种习惯，收获一种 一种性格，收获一种命运。思想会变成语言，语言会变成行动，行动会变成习惯，习惯会变成性格。性格会影响人生！习惯不加以抑制，会变成生活的必需品， 随时改变人生走向。人往往难以改变习惯，因为造习惯的就是自己，结果人又成为习惯的奴隶！人生重要的不是你从哪里来，而是你到哪里去。当你在埋头工作 定要抬头看看你去的方向。方向不对，努力白费！你来自何处并不重要，重要的是你要去往何方，人生最重要的不是所站的位置，而是所去的方向。人只要不失 永远不会失去自己！这个世界唯一不变的真理就是变化，任何优势都是暂时的。当你在占有这个优势时，必须争取主动，再占据下一个优势，这需要前瞻的决断 是智慧！世上本无移山之术，惟一能移山的方法就是：山不过来，我就过去。人生最聪明的态度就是：改变可以改变的一切，适应不能改变的一切！学一分退让 宜；增一分享受，减一分福泽。念头端正，福星临，念头不正，善人行善，从乐入乐，从明入明；行恶，从苦入苦，骨宜刚，气宜柔，志宜大，胆宜小，心宜虚 慧宜增，福宜惜，虑不远，忧亦近。人之所以痛苦，在于追求错误的东西。你目前拥有的，都将随着你的而成为他人的。那为何不现在就给真正需要的人呢？如 往，凡做事应有余步。我们最值得自豪的不在于从不跌倒，而在于每次跌倒之后都爬得起来。见己不是，万善之门。见人不是，诸恶之根。为了向别人、向世界 努力拼搏，而一旦你真的取得了成绩，才会明白：人无须向别人证明什么，只要你能超越自己。没有哪种教育能及得上逆境。如果你想成功，那么请记住：遗产 第一、学习第二、礼貌第三、刻苦第四、精明第五。任何的限制，都是从自己的内心开始的。失败只是暂时停止成功，假如我不能，我就一定要；假如我要，我 无论你如何为他人着想，烦你的人眼里，你就是居心叵测；不管你怎样据理力争，不懂你的人心里，你就是胡搅蛮缠。最后你会发现，有些事不是你做错了，而 人；有些人不是不理解你，而是根本不想懂你。不管怎样，生活还是要继续向前走去。有的时候伤害和失败不见得是一件坏事，它会让你变得更好，孤单和失落 每件事到最后一定会变成一件好事，只要你能够走到最后。工资是发给日常工作的人，高薪是发给承担责任的人，奖金是发给做出成绩的人，股权是分给能干忠 誉是颁给有理想抱负的人，辞退信将送给没结果还耍个性的人，这里一定有个你。内心想成为什么样的人，就会努力成为这样的人，做你想做的那种人。与其指 谁，不如指望自己能够吸引那样的人；与其指望每次失落的时候会有正能量出现温暖自己，不如指望自己变成一个正能量满满的人；与其担心未来，不如现在好 虹绚烂多姿，是在与狂风暴雨争斗之后；枫叶似火燃烧，是在与秋叶的寒霜争斗之后；雄鹰的展翅高飞，是在与坠崖的危险争斗之后。他们保持着奋斗的姿态， 们的成功。有能力的人影响别人，没能力的人受人影响；不是某人使自己烦恼不安，而是自己拿某人的言行来烦恼自己；树一个目标，一步步前行，做好自己就 不需鼓掌，也在飞翔；小草，没人心疼，也在成长；野花，没人欣赏，也在芬芳；做事不需人人都理解，只需尽心尽力；做人不需人人都喜欢，只需坦坦荡荡。 为力，拼搏到感动自己；吃过的苦，受过的累，会照亮未来的路；没有年少轻狂，只有胜者为王。真正成功的人生，不在于成就的大小，而在于你是否努力地去 喊出自己的声音，走出属于自己的道路。选一个方向，定一个时间；剩下的只管努力与坚持，时间会给我们最后的答案。许多人企求着生活的完美结局，殊不知 结局，而在于追求的过程。慢慢的才知道：坚持未必就是胜利，放弃未必就是认输，。给自己一个迂回的空间，学会思索，学会等待，学会调整。人生没有假设 全部。背不动的，放下了；伤不起的，看淡了；想不通的，不想了；恨不过的，抚平了。在比夜更深的地方，一定有比夜更黑的眼睛。一切伟大的行动和思想， 不足道的开始。从来不跌倒不算光彩，每次跌倒后能再站起来，才是最大的荣耀。这个世界到处充满着不公平，我们能做的不仅仅是接受，还要试着做一些反抗 苦、最卑贱、最为命运所屈辱的人，只要还抱有希望，便无所怨惧。有些人，因为陪你走的时间长了，你便淡然了，其实是他们给你撑起了生命的天空；有些人 就忘了吧，残缺是一种大美。照自己的意思去理解自己，不要小看自己，被别人的意见引入歧途。没人能让我输，除非我不想赢！花开不是为了花落，而是为了 烂。随随便便浪费的时间，再也不能赢回来。不管从什么时候开始，重要的是开始以后不要停止；不管在什么时候结束，重要的是结束以后不要后悔。当你决定 情，全世界都会为你让路。只有在开水里，茶叶才能展开生命浓郁的香气。别想一下造出大海，必须先由小河川开始。不要让未来的你，讨厌现在的自己，困惑 成功只配得上勇敢的行动派。人生最大的喜悦是每个人都说你做不到，你却完成它了！如果你真的愿意为自己的梦想去努力，最差的结果，不过是大器晚成。不 得始终。每个人都有潜在的能量，只是很容易：被习惯所掩盖，被时间所迷离，被惰性所消磨。不论你在什么时候开始，重要的是开始之后就不要轻言放弃。恨 的却是自己。每天醒来，敲醒自己的不是钟声，而是梦想。你不能拼爹的时候，你就只能去拼命！、如果人生的旅程上没有障碍，人还有什么可做的呢。我们无 的出身，可是我们的未来是自己去改变的。励志名言：比别人多一点执着，你就会创造奇迹伟人之所以伟大，是因为他与别人共处逆境时，别人失去了信心，他 现自己的目标。人生就像一道漫长的阶梯，任何人也无法逆向而行，只能在急促而繁忙的进程中，偶尔转过头来，回望自己留下的蹒跚脚印。时间，带不走真正 月，留不住虚幻的拥有。时光转换，体会到缘分善变；平淡无语，感受了人情冷暖。有心的人，不管你在与不在，都会惦念；无心的情，无论你好与不好，只是 一段路，总能有一次领悟；经历一些事，才能看清一些人。我们无法选择自己的出身，可是我们的未来是自己去改变的。
高中数学 2.2.2 等差数列的性质课件 新人教A版必修5
程组求解;也可采用对称的设法,三个数时,设 a-d,a,a+d.四个数时,设 a-3d,a-d,a+d,a+3d,利用已知条件列方程(组)先求出其中的 a 与 d,再进一步解 题.
题型一
题型二
题型三
题型三
易错辨析
【例 3】 设数列{an}是等差数列,ap=q,aq=p(p≠q),试求 ap+q.
错解:∵数列{an}是等差数列,
由已知,得
(a-d) + a + (a + d) = 18, ① (a-d)2 + a2 + (a + d)2 = 116, ②
由①,得 a=6.代入②,得 d=±2.
∵该数列是递增的,∴d=-2 舍去.
∴这三个数为 4,6,8.
题型一
题型二
题型三
当三个数或四个数成等差数列时,可设出这几个数,由已知条件列方
.
答案:13
12
2.等差中项 如果 a,A,b 成等差数列,那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项.
由 a,A,b 成等差数列,得 A-a=b-A,所以 A=a+2b.反过来,如果 A=a+2b,那么 2A=a+b,A-a=b-A,即 a,A,b 成等差数列.
【做一做 2】 x+1 与 y-1 的等差中项为 10,则 x+y 等于( )
∴(λan+b)-(λan-1+b)=λd(n≥2)为常数, ∴数列{λan+b}也是等差数列,公差为 λd.
题型一
题型二
题型三
题型一
等差数列性质的应用
【例 1】 设{an}为等差数列,若 a3+a4+a5+a6+a7=450,求 a2+a8. 分析:方法一:依性质“若 m+n=p+q,则 am+an=ap+aq”求解即可. 方法二:将 a3+a4+a5+a6+a7 用 a1,d 表示,再将 a2+a8 用 a1,d 表示,从中寻找
题型一
题型二
题型三
题型三
易错辨析
【例 3】 设数列{an}是等差数列,ap=q,aq=p(p≠q),试求 ap+q.
错解:∵数列{an}是等差数列,
由已知,得
(a-d) + a + (a + d) = 18, ① (a-d)2 + a2 + (a + d)2 = 116, ②
由①,得 a=6.代入②,得 d=±2.
∵该数列是递增的,∴d=-2 舍去.
∴这三个数为 4,6,8.
题型一
题型二
题型三
当三个数或四个数成等差数列时,可设出这几个数,由已知条件列方
.
答案:13
12
2.等差中项 如果 a,A,b 成等差数列,那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项.
由 a,A,b 成等差数列,得 A-a=b-A,所以 A=a+2b.反过来,如果 A=a+2b,那么 2A=a+b,A-a=b-A,即 a,A,b 成等差数列.
【做一做 2】 x+1 与 y-1 的等差中项为 10,则 x+y 等于( )
∴(λan+b)-(λan-1+b)=λd(n≥2)为常数, ∴数列{λan+b}也是等差数列,公差为 λd.
题型一
题型二
题型三
题型一
等差数列性质的应用
【例 1】 设{an}为等差数列,若 a3+a4+a5+a6+a7=450,求 a2+a8. 分析:方法一:依性质“若 m+n=p+q,则 am+an=ap+aq”求解即可. 方法二:将 a3+a4+a5+a6+a7 用 a1,d 表示,再将 a2+a8 用 a1,d 表示,从中寻找
高中数学必修5课件：第2章2-2-2等差数列的性质
(4)形如a1＋a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9，…的抽取， 实 际 上 是 3a2,3a5,3a8… 当 然 成 等 差 数 列 ． 对 于 每 2 项 ， 4 项 ， 5 项…抽取，道理是相同的．
(5)a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝…
数学 必修5
第二章 数列
1．已知{an}为等差数列，a2＋a8＝12，则a5等于( )
A．4
B．5
C．6
D．7
解析： a2＋a8＝2a5＝12，∴a5＝6. 答案： C
数学 必修5
第二章 数列
2．在等差数列{an}中，已知a1＝2，a2＋a3＝13，则a4＋a5
＋a6等于( )
A．40
B．42
C．43
D．45
解析： ∵a2＋a3＝2a1＋3d，∴d＝3，∴a4＋a5＋a6＝a1 ＋a2＋a3＋3×3d＝42.
答案： B
数学 必修5
第二章 数列
3 ． 已知 {an} 为等差数列 ， a3＋ a8＝22 ，a6＝ 7， 则a5＝ ________.
解析： ∵a3＋a8＝a5＋a6＝22，∴a5＝22－a6＝22－7＝ 15.
答案： 15
数学 必修5
第二章 数列
4．在等差数列{an}中， (1)已知a2＋a3＋a23＋a24＝48，求a13； (2)已知a2＋a3＋a4＋a5＝34，a2·a5＝52，求公差d. 解析： 方法一：(1)直接化成a1和d的方程如下：(a1＋d) ＋(a1＋2d)＋(a1＋22d)＋(a1＋23d)＝48，即4(a1＋12d)＝48， ∴4a13＝48，∴a13＝12.
数学 必修5
第二章 数列
利用等差数列的定义巧设未知量，可以简化 计算．一般地有如下规律：当等差数列{an}的项数n为奇数时， 可设中间一项为a，再用公差为d向两边分别设项：…a－2d，a －d，a，a＋d，a＋2d，…；当项数为偶数项时，可设中间两 项为a－d，a＋d，再以公差为2d向两边分别设项：…a－3d，a －d，a＋d，a＋3d，…，这样可减少计算量．
(5)a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝…
数学 必修5
第二章 数列
1．已知{an}为等差数列，a2＋a8＝12，则a5等于( )
A．4
B．5
C．6
D．7
解析： a2＋a8＝2a5＝12，∴a5＝6. 答案： C
数学 必修5
第二章 数列
2．在等差数列{an}中，已知a1＝2，a2＋a3＝13，则a4＋a5
＋a6等于( )
A．40
B．42
C．43
D．45
解析： ∵a2＋a3＝2a1＋3d，∴d＝3，∴a4＋a5＋a6＝a1 ＋a2＋a3＋3×3d＝42.
答案： B
数学 必修5
第二章 数列
3 ． 已知 {an} 为等差数列 ， a3＋ a8＝22 ，a6＝ 7， 则a5＝ ________.
解析： ∵a3＋a8＝a5＋a6＝22，∴a5＝22－a6＝22－7＝ 15.
答案： 15
数学 必修5
第二章 数列
4．在等差数列{an}中， (1)已知a2＋a3＋a23＋a24＝48，求a13； (2)已知a2＋a3＋a4＋a5＝34，a2·a5＝52，求公差d. 解析： 方法一：(1)直接化成a1和d的方程如下：(a1＋d) ＋(a1＋2d)＋(a1＋22d)＋(a1＋23d)＝48，即4(a1＋12d)＝48， ∴4a13＝48，∴a13＝12.
数学 必修5
第二章 数列
利用等差数列的定义巧设未知量，可以简化 计算．一般地有如下规律：当等差数列{an}的项数n为奇数时， 可设中间一项为a，再用公差为d向两边分别设项：…a－2d，a －d，a，a＋d，a＋2d，…；当项数为偶数项时，可设中间两 项为a－d，a＋d，再以公差为2d向两边分别设项：…a－3d，a －d，a＋d，a＋3d，…，这样可减少计算量．
人教A版高中数学必修5第二章 数列2.2 等差数列课件
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[错因分析] 等差数列{an}的其中一个性质是：若m＋ n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq，而题目中有2＋4＝6，故得a2 ＋a4＝a6.
此种解法是学生没有掌握此性质的实质，其实等式的 左边和右边都必须是两项相加才行．
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[正解] 设数列的首项和公差分别为a1和d. a2＋a4＝a1＋d＋a1＋3d＝10， a5＝a1＋4d＝9. 解得a1＝1，d＝2. ∴an＝a1＋(n－1)d＝2n－1.
新人教A版 必修5 第二章 数列 2.2 等差数列
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第2课时 等差数列的性质
课前自主预习
课堂互动探究
随堂知能训练
课时作业
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目标了然于胸，让讲台见证您的高瞻远瞩
1.进一步了解等差数列的项与序号之间的规律． 2．理解等差数列的性质． 3．掌握等差数列的性质及其应用.
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课前 自 主 预 习
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联立解得 a2＝4，a5＝13，或 a2＝13，a5＝4. 当 a2＝4，a5＝13 时，d＝a55－－a22＝3； 当 a2＝13，a5＝4 时，d＝a55－－a22＝－3. ∴公差 d 为 3 或－3.
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自我纠错
易错点：等差数列的性质理解不深导致出错 [错题展示] 已知{an}是等差数列，且a2＋a4＝10，a5 ＝9，求数列{an}的通项公式． [错解] ∵{an}是等差数列， 由性质知 a2＋a4＝a6＝10. ∴d＝a6－a5＝1. ∴an＝a5＋(n－5)×d＝n＋4.
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[反思] 此等差数列的性质还可以推广到3个： 若m＋n＋k＝p＋q＋r， 则am＋an＋ak＝ap＋aq＋ar. 甚至推广到4个，5个，…，只要是有限个都行．
[错因分析] 等差数列{an}的其中一个性质是：若m＋ n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq，而题目中有2＋4＝6，故得a2 ＋a4＝a6.
此种解法是学生没有掌握此性质的实质，其实等式的 左边和右边都必须是两项相加才行．
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[正解] 设数列的首项和公差分别为a1和d. a2＋a4＝a1＋d＋a1＋3d＝10， a5＝a1＋4d＝9. 解得a1＝1，d＝2. ∴an＝a1＋(n－1)d＝2n－1.
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第2课时 等差数列的性质
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1.进一步了解等差数列的项与序号之间的规律． 2．理解等差数列的性质． 3．掌握等差数列的性质及其应用.
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联立解得 a2＝4，a5＝13，或 a2＝13，a5＝4. 当 a2＝4，a5＝13 时，d＝a55－－a22＝3； 当 a2＝13，a5＝4 时，d＝a55－－a22＝－3. ∴公差 d 为 3 或－3.
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易错点：等差数列的性质理解不深导致出错 [错题展示] 已知{an}是等差数列，且a2＋a4＝10，a5 ＝9，求数列{an}的通项公式． [错解] ∵{an}是等差数列， 由性质知 a2＋a4＝a6＝10. ∴d＝a6－a5＝1. ∴an＝a5＋(n－5)×d＝n＋4.
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[反思] 此等差数列的性质还可以推广到3个： 若m＋n＋k＝p＋q＋r， 则am＋an＋ak＝ap＋aq＋ar. 甚至推广到4个，5个，…，只要是有限个都行．