特殊化与一般思想第七篇_解析几何中的特殊化思想_俞新龙
高考数学解析特殊与一般思想
v4
(Ⅱ)当 n = 128时,要使所有机器都得到 ∑vi ,至少需要多少单位时间可 完成计算?(结果不要求证明) 完成计算?(结果不要求证明) ?(结果不要求证明
( 得到启发,当 在第一单位时间,1 【分析及解】 Ⅰ)由 n = 2 得到启发 当 n = 4 时,在第一单位时间 号机与 分析及解】 2 号机互相读取 都得到 v1 + v2 ,3 号机与 4 号机互相读取 都得到 v3 + v4 . 号机互相读取,都得到 号机互相读取,都得到 号机互相读取,都得到 第二单位时间, 在第二单位时间 ,1 号机与 3 号机互相读取 都得到 v1 + v2 + v3 + v4 , 2 号机与 4 号机互相读取 都得到 v1 + v2 + v3 + v4 . 号机互相读取,都得到 因此, 至少需要两个单位时间可完成计算. 因此, 至少需要两个单位时间可完成计算 可知,至少需要 (Ⅱ)当 n = 128时,要使所有机器都得到 ∑vi ,由 27 =128 可知 至少需要
i k = ak +1nk + 2 + ak nk + ak 1nk 1 + ak 2 nk 2 + + a1n + a0 , ∑
i =1
n
1 1 可以推测, , ak = , ak 1 = 可以推测, x ≥2 k ∈N ) , k +1 = 当 ( 时 a k +1 2
*
, ak 2 =
.
【分析及解】由观察可知当 k ≥ 2时 , 分析及解】 每一个式子的第三项的系数是成等差数列的, 每一个式子的第三项的系数是成等差数列的, k , 所以 a k 1 = 12 第四项均为零, 第四项均为零,所以 a k 2 = 0 .
用“从特殊到一般”的数学思想方法探究圆中的几何性质
㊀㊀㊀解题技巧与方法１３１㊀数学学习与研究㊀２０２２ １７从特殊到一般的数学思想方法探究圆中的几何性质用 从特殊到一般 的数学思想方法探究圆中的几何性质Һ钱秋平㊀（南京市第二十九中学幕府山初级中学，江苏㊀南京㊀２１００００）㊀㊀ʌ摘要ɔ‘义务教育课程标准（２０１１年版）“在 圆 章节的教学建议中指出：充分挖掘教材中蕴含的数学思想方法，加强思想方法的教学．在教学过程中，提高学生对数学思想方法的认识㊁理解和运用，有利于学生探究圆中的类似问题．ʌ关键词ɔ数学思想方法；从特殊到一般；圆；几何性质一㊁数学思想方法的重要性数学思想是人们对数学知识的本质认识，是从某些具体的数学内容和对数学的认识过程中提炼的数学观点，它在认识活动中被反复运用，带着普遍的指导意义，是建立数学和用数学解决问题的指导思想．在学生认知水平和已有经验的基础上，引导学生通过观察㊁分析㊁交流等方式来发现和归纳几何图形的共性特征，进而发展学生的几何直观和逻辑思维能力，培养学生的空间观念．通过猜想得出特殊几何图形的性质，然后利用已有的知识理论证明㊁验证自己的猜想，从而得出一般几何图形的共性特征．从 一般 出发，发现其共性的性质，并以一般为依据，探究特殊几何图形的个性特征，从而感受 一般与特殊 之间的联系．圆是中学数学中研究的第一个曲线类几何图形， 从特殊到一般 的数学方法是转化思想方法中的一种，是探究圆中几何性质的重要数学思想方法之一．在研究圆中的问题时，运用特殊化㊁具体化的方法，总结出一般性的结论，并用已有的理论知识去验证一般性的结论，可以帮助学生降低问题的难度，从而找到解决问题的方法．二㊁用 从特殊到一般 的数学思想方法探究圆中的几何性质１．圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半在圆中，同弧所对的圆心角只有一个，而同弧所对的圆周角却有无数个，在探究同弧所对的圆心角和圆周角两者之间的数量关系时，可将同弧所对的无数个圆周角和圆心之间的位置关系分为如图１所示的三类情形：圆心在圆周角的一边上㊁圆心在圆周角的内部和圆心在圆周角的外部．图１观察三类图形，不难发现，当圆心在圆周角的一边上时（如图①），利用圆心角øＢＯＣ是等腰әＯＡＣ顶角的外角，易得øＢＡＣ＝１２øＢＯＣ．由此，我们可以推测圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半，但在第二种和第三种情形中，无法直接证明同弧所对的圆周角和圆心角之间的数量关系，需要通过添加辅助线去解决问题，那么如何添加辅助线呢？回到情形一的特殊位置关系，当圆心角是等腰三角形的一个外角时，易得两者之间的数量关系，故在情形二和情形三中，通过添加辅助线：连接ＡＯ并延长交☉Ｏ于点Ｄ，构造圆心角是等腰三角形顶角的一个外角．图２㊀㊀㊀图３如图２，当圆心在圆周角的内部时，连接ＡＯ，并延长交☉Ｏ于点Ｄ，㊀㊀解题技巧与方法㊀㊀１３２数学学习与研究㊀２０２２ １７由情形一可知，øＢＡＤ＝１２øＢＯＤ，øＣＡＤ＝１２øＣＯＤ，ʑøＢＡＤ＋øＣＡＤ＝１２（øＢＯＤ＋øＣＯＤ），ʑøＢＡＣ＝１２øＢＯＣ．如图３，当圆心在圆周角的外部时，连接ＡＯ，并延长交☉Ｏ于点Ｄ，由情形一可知，øＢＡＤ＝１２øＢＯＤ，øＣＡＤ＝１２øＣＯＤ，ʑøＢＡＤ－øＣＡＤ＝１２（øＢＯＤ－øＣＯＤ），ʑøＢＡＣ＝１２øＢＯＣ．综上所述，圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半．在探究圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半的过程中，先通过对 圆心在圆周角的一边上 这一特殊情形的探究，得出一般情形下的猜想，再对其余两种情形进行演绎推理．在这个过程中，通过添加辅助线，在一般情形中构造特殊情形时的基本图形，借助特殊图形的结论去验证猜想．２．圆的内接四边形的对角互补如图４，在☉Ｏ的内接四边形ＡＢＣＤ中，øＡ与øＣ㊁øＡＤＣ与øＡＢＣ有怎样的数量关系？一组对角øＡ和øＣ是弦ＢＤ所对的一组圆周角，从特殊情形考虑，当弦ＢＤ是一条直径时，如图５，直径ＢＤ所对的两个圆周角øＡ＝øＣ＝９０ʎ，所以øＡ＋øＣ＝１８０ʎ．再由四边形ＡＢＣＤ的内角和为３６０ʎ，得øＡＤＣ＋øＡＢＣ＝３６０ʎ－（øＡ＋øＣ）＝１８０ʎ．因此，可以猜想：圆的内接四边形对角互补．或者从特殊情形øＡ为直角考虑，则弦ＢＤ是直径，所以øＣ为直角，故øＡ＋øＣ＝１８０ʎ．再由四边形ＡＢＣＤ的内角和为３６０ʎ，得øＡＤＣ＋øＡＢＣ＝３６０ʎ－（øＡ＋øＣ）＝１８０ʎ．因此，也可以猜想：圆的内接四边形对角互补．图４㊀㊀㊀图５图６如图６，在一般情形中，通过连接ＤＯ并延长交☉Ｏ于点Ｅ，构造直径ＤＥ，将一般情形下的圆周角øＤＡＢ和øＤＣＢ转化成直径ＤＥ所对的９０ʎ的圆周角øＤＡＥ和øＤＣＥ，此时，øＤＡＥ＋øＤＣＥ＝１８０ʎ，即øＤＡＢ＋øＢＡＥ＋øＤＣＢ－øＥＣＢ＝１８０ʎ．又ȵøＢＡＥ＝øＥＣＢ，ʑøＤＡＢ＋øＤＣＢ＝１８０ʎ，ʑ在四边形ＡＢＣＤ中，有øＡＤＣ＋øＡＢＣ＝３６０ʎ－（øＤＡＢ＋øＤＣＢ）＝１８０ʎ．因此，圆的内接四边形对角互补．在探究圆的内接四边形对角互补的过程中，先通过直径所对的圆周角为直角的结论，特殊化这一组对角，得出一般情形下的猜想．在推理证明过程中，根据特殊情形的基本图形特征，通过构造直径，将一般情形下的一对圆周角转化为直径所对的圆周角，从而验证猜想．３．对角线互相垂直的圆内接四边形的对边平方和等于一个定值如图７，☉Ｏ的半径为Ｒ，在☉Ｏ的内接四边形ＡＢＣＤ中，ＡＣʅＢＤ，则ＡＢ２＋ＣＤ２＝，ＡＤ２＋ＢＣ２＝，ＡＢ２＋ＣＤ２＝ＡＤ２＋ＢＣ２＝．（用含Ｒ的代数式表示）☉Ｏ的内接四边形ＡＢＣＤ的对角线是相互垂直的两条弦，当这两条弦特殊化为两条直径时，四边形ＡＢＣＤ为如图８的正方形ＡＢＣＤ，此时，ＡＢ２＝ＣＤ２＝ＡＤ２＝ＢＣ２＝ＯＡ２＋ＯＢ２＝２Ｒ２，所以ＡＢ２＋ＣＤ２＝ＡＤ２＋ＢＣ２＝４Ｒ２．因此，可以猜想：对角线互相垂直的圆内接四边形的对边平方和相等，且等于４Ｒ２．如图７，边ＡＢ和边ＣＤ是两个直角三角形的斜边，想要得到ＡＢ２＋ＣＤ２＝４Ｒ２，则需要重新构造直角三角形，使得边ＡＢ或边ＣＤ是直角边，由图８可知，可以通过将弦特殊化，构造直径，得到直径所对的圆周角为直角，从而将圆内接四边形的边放到直角三角形里．㊀㊀㊀解题技巧与方法１３３㊀数学学习与研究㊀２０２２１７图７㊀㊀㊀图８图９如图９，连接ＣＯ，并延长交☉Ｏ于点Ｅ，连接ＤＥ，则在ＲｔәＣＤＥ中，øＣＤＥ＝９０ʎ，有ＤＥ２＋ＣＤ２＝ＣＥ２，ʑＤＥ２＋ＣＤ２＝４Ｒ２，且øＥ＋øＥＣＤ＝９０ʎ．又ＡＣʅＢＤ，ʑøＣＢＤ＋øＢＣＡ＝９０ʎ．ȵøＥ＝øＣＢＤ，ʑøＥＣＤ＝øＢＣＡ．又ȵøＥＯＤ＝２øＥＣＤ，øＢＯＡ＝２øＢＣＡ，ʑøＥＯＤ＝øＢＯＡ，ʑＤＥ＝ＡＢ，ʑＡＢ２＋ＣＤ２＝４Ｒ２．同理，ＡＤ２＋ＢＣ２＝４Ｒ２，ʑＡＢ２＋ＣＤ２＝ＡＤ２＋ＢＣ２＝４Ｒ２．在探究对角线互相垂直的圆内接四边形的对边平方和等于一个定值的过程中，先通过两条相互垂直的直径得到圆内接四边形的对边平方和等于４Ｒ２的结论，从而得出一般情形下的猜想．在推理证明的过程中，通过作直径，构造特殊情形时的基本图形特征，将圆内接四边形的边转化为直角三角形的直角边，得到两边平方和等于４Ｒ２．再通过等量代换，可以得到对角线互相垂直的圆内接四边形的对边的平方和等于４Ｒ２．三㊁在一般情形中，构造特殊情形下的基本图形模块当利用 从特殊到一般 的数学思想方法探究几何图形的基本性质时，我们不仅可以利用特殊情形下的结论作为一般情形下的猜想，还可以在一般情形中，构造特殊情形下的基本图形去验证猜想．在探索圆的几何性质的过程中，根据已知图形中的边㊁角属性，添加适当的辅助线，构造特殊图形，这是解决圆中一类问题的一个有效的方法．但有时会发现很难将图形中的已知条件建立联系，导致学生对在圆中添加适当的辅助线感到无助．此时，我们可以指导学生学会基于对几何图形特征的深入观察和分析，通过对特殊情形中的几何图形进行研究，形成大胆的猜想，并以特殊情形中的基本图形作为构造辅助线的一个方法，然后进行推理论证，体现了几何模型思想的应用．四㊁加强数学思想方法在课堂教学中的渗透数学思想方法不同于具体的数学知识，它往往隐藏于数学知识的生成和应用的过程中．数学思想的体验和领悟，要以数学知识为载体，经历分析㊁解决问题的过程，逐渐成为一种培养数学素养和解决问题的方法．在教学过程中，应该引导学生在数学活动过程中潜移默化地体验㊁感受知识生成过程中所蕴含的数学思想方法．数学来源于生活，在教学中，教师可以把学生熟悉的㊁了解的㊁感兴趣的生活事例搬进数学课堂．在对实际情境问题进行数学建模的过程中，让学生进行观察㊁分析㊁猜想㊁论证㊁概括，看到知识形成的过程及其中蕴涵的思想．如此，学生在课堂上所获得的知识就是自己的，并且是可迁移的㊁可发散的．教师要将数学思想方法在教学过程中显化，让学生充分体验数学思想，进而使他们对数学思想方法的感悟得到提高．学生对数学知识的获取㊁理解和应用不是一蹴而就的，而是在不同阶段，从不同角度逐步认识㊁加强理解的一个反复的过程．所以，教师可以针对相应的知识块㊁一节课，或单元的章节复习，加强数学思想方法的过程性渗透，从而使学生在不断拓展中逐步感悟数学思想方法，并且加强对数学思想方法的认识．教师还可以有意识地培养学生的自我分析㊁自我提炼以及自我概括数学思想方法的能力，帮助学生逐步建立起自己的数学思想方法体系．数学思想方法的学习与研究，有助于提高学生的数学文化素养，数学思想方法的应用能有效指导我们更好地研究数学和解决数学问题，因此在数学课堂教学中㊁在问题探究中㊁在例题分析中，我们应该有意识㊁有目的地将数学思想方法渗透到数学知识的发生㊁发展过程中，培养学生的思维策略，使学生进行有意义的数学学习活动，才能真正深入透彻地理解与掌握数学知识．。
转化与化归思想在解析几何中的应用
4 7
.点 D渊
1袁0冤 为线段 OF2 的
中点袁亦c=2袁从而 a=3袁b= 姨 5 袁左焦点 F渊1 -2袁0冤 袁椭圆 E 的方程为
x2 9
+
y2 5
=1.设
M渊
x1袁y1冤 袁N渊
x2袁y2冤 袁P渊
x3袁y3冤 袁Q渊
x4袁y4冤 袁则直线
MD
的
方程为
x=
x1-1 y1
y+1袁
代入椭圆方程 x2 9
法. 化归不仅是一种重要的解题思想袁 也是一种最基本的思维策
略袁更是一种有效的数学思维方式.一般总是将复杂问题通过变换
转化为简单问题曰 将难解的问题通过变换转化为容易求解的问
题曰将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题袁因此每解一
道题袁无论是难题还是易题袁都离不开化归.化归的基本功能是院生
Hale Waihona Puke 疏化成熟悉袁复杂化成简单袁抽象化成直观袁含糊化成明朗.说到
曲的体裁形式遥 希望大家能在音乐的海洋中继续放飞梦想袁遨游
前进遥
渊 作者单位 江苏省南京市弘光中学冤
誗编辑 谢尾合
- 165 -
案例展示
2013-10
渊 上接第 165 页冤 条件中的形袁由野 形冶直接转化到野 数冶来解决袁而
大部分题目的确都能通过这个转化来解决. 解析几何还是考查学
生运算能力的重要载体袁很多学生常常因为运算量大而求解错误.
A F2 +5BF2 =0軋渊. 1冤 求椭圆 E 的离心
y M
OD
Q
F2 B x
P
率曰渊 2冤 已知点 D渊 1袁0冤 为线段 OF2 的中点袁M 为椭圆 E 上的动点
特殊与一般思想在初中数学解题中的应用
２０２３年１２月下半月㊀学生培养㊀㊀㊀㊀特殊与一般思想在初中数学解题中的应用◉哈尔滨师范大学教师教育学院㊀徐㊀岩㊀㊀摘要:从特殊到一般,再从一般到特殊,是认识事物的一般规律,这一规律在数学的认识活动中有着重要的应用．特殊与一般思想是初中数学重要的思想方法之一,本文中旨在通过举例探讨 特殊与一般 思想在解题中的应用策略．关键词:特殊与一般;初中数学;解题㊀㊀特殊与一般思想具体到一个数学问题就是如果直接解决有困难,可以考虑用特殊情况来获得结果,然后把解决特殊情况的方法或结论应用或者推广到一般问题上,从而获得一般性问题的解答．特殊化是以一种称为 倒退 的方法,从 一般 到 特殊 ,而反过来称为 前进 的方法[１]．做题时把问题转化为较容易解决的特殊情况,会有事半功倍的效果,尤其是做填空题㊁选择题时,采用特殊与一般思想,可以避免 小题大做 ,节约时间．１用字母表示数用字母表示数是初中数学从有形的数字到抽象符号的质的飞跃,是发展符号意识的基础,从 代表数字的信息 转变为用字母代表未知元素㊁待定系数㊁根和系数之间关系等,体现了使用字母表达任意数的想法．当使用字母表示一定数量的实际问题时,应确定一组字母的值．在同一个问题上,不同的字母会表示不同的数字[２]．例１㊀先化简,再求值:(２－４x ＋２)ːx２x ２－４,其中x 所取的值是在－２＜x ɤ３内的一个整数．解析:原式＝２x ＋４－４x ＋２ (x ＋２)(x －２)x ２＝２x －４x ．由－２＜x ɤ３,x ʂ０,x ２－４ʂ０及x ɪZ 得,x 的取值为－１,１,３．将x ＝－１,１,３代入原式,其值依次为６,－２,２３．２特殊值的应用特殊 可以在一定程度内反映或表示 一般 ,在解决数学问题时,通常先分析特殊情况,然后总结一般情况,即根据具体的条件,选择符合条件的特殊值,然后使用条件或特殊图形进行计算和推断．这类问题通常有一个共同点:题目包含一般条件,可以利用这些条件得出具体的结论或值．而特殊情况的答案通常与一般情况的答案相同．特殊值的选取必须符合特定条件．特殊值的选择应尽可能简单,以便计算和比较．当其中有不止一个未知量时,每个未知量之间应尽可能具有特殊数量关系,以帮助解决问题．例２㊀已知二次函数y ＝a x ２＋b x ＋c (a ʂ０)图象的对称轴x ＝－１２,开口向上,图象与x 轴有两个交点,与x 轴非负半轴的交点横坐标大于１,下列结论中,正确的是(㊀㊀)．A．a b c ＞０㊀㊀㊀㊀㊀㊀B ．a ＋b ＝０C ．２b ＋c ＞０D．４a ＋c ＜２b解析:应用由特殊到一般的思路,先取符合题意的特殊二次函数y ＝x ２＋x －３,则a ＝b ＝１,c ＝－３,可得出D 选项正确．但对于学生来说,特殊值的选取要求较高,学生可能因为取值不合适而得不出正确答案．那么,此类问题的常规解法是什么呢?由开口向上,可知a ＞０．由对称轴为x ＝－b ２a ＝－１２,可得a ＝b ＞０．由题意可知,函数与y 轴交点纵坐标小于零,即c ＜０．由此可知,选项A ,B 错误．由题意可知当x ＝１时,y ＜０,即a ＋b ＋c ＜０,也就是２b ＋c ＜０,所以选项C 也错误．故正确答案为选项D ．３特殊图形的应用在解决平面图形问题的过程中,在一般的位置关系下,通常很难找到元素之间的关系,这可能会阻碍思路的探索．此时使用特殊情况下的图形结构会简化计算,但应注意所选择的特殊图形须符合题目条件,且答案必须明确,否则就是不可取的．例３㊀在әA B C 中,A B ＝A C ＝m ,P 为B C 上任意一点,则P A ２＋P B P C 的值等于(㊀㊀)．A．m ２㊀㊀B ．m ２＋１㊀㊀C ．２m ２㊀㊀D．(m ＋１)２１５学生培养２０２３年１２月下半月㊀㊀㊀图１㊀㊀㊀图２解析:选择题可用特殊图形解决．若点P 与点B重合,如图１所示,原式为m ２,则A 选项正确;当点P 位于B C 中点时,如图２所示,可得P A ʅP B ,P B ＝P C ,则原式＝P A ２＋P B ２＝A B ２＝m ２;当点P 与点C 重合时,也能得出相同的结论．但此方法只适用于选择题,严谨证明还应让点P 保持任意性．图３如图３,根据相交弦定理,得㊀P B P C ＝P D P E＝(A D －P A )(A E ＋P A )＝(m －P A )(m ＋P A )＝m ２－P A ２．故P A ２＋P B P C ＝m ２．４用特殊化方法探求定值一些数学问题由于高度抽象,很难直接找到或证明某些一般特征．在这种情况下,可以探索特殊特征和某些条件,找到规律和解决方案．在某些几何图形中,某些点或线段的位置会不断变化,但总有一些关系始终保持不变,这属于定值问题．例４㊀已知同心圆中,A B 是大圆的直径,点P 在小圆上,求证:P A ２＋P B ２为定值．证明:设大圆㊁小圆半径分别为R ,r ．若P ,A ,B 三点共线,如图４所示,则有P A ２＋P B ２＝(R －r )２＋(R ＋r )２＝２R ２＋２r ２．图４㊀㊀㊀图５若P 为直径A B 中垂线上一点,如图５,则P A ２＝P B ２＝R ２＋r ２,所以P A ２＋P B ２＝２R ２＋２r ２．图６而要想严格证明还需保持点P的任意性,如图６,作P F ʅA B 于点F ,则有P A ２＝P F ２＋A F ２＝(r ２－O F ２)＋(R －O F )２,P B ２＝P F ２＋B F ２＝(r ２－O F ２)＋(R ＋O F )２,所以P A ２＋P B ２＝２r ２－２O F ２＋２R ２＋２O F ２＝２r ２＋２R ２．由此可知,在任意情况下P A ２＋P B ２均为定值,结论得证．５用特殊化方法寻找结论当问题解决方案不明确时,可以先分析一些特殊情况并总结,通常可以找到结果或解决问题的方法,然后分析特殊情况与一般情况之间的关系,以便在一般情况下解决问题．通常有如下两种方法:(１)在一些具有一定数量结构的代数问题中,通常可赋予字母特殊值或利用字母表示的量之间的关系．(２)在平面图形中,通常可选取一个特殊的点(例如,一条线段的中点)㊁特殊的关系位置(例如,两条平行线或垂直的直线)或者是几何形状(例如,直角三角形㊁等边三角形等)来帮助解决问题[３]．例５㊀当１ɤx ɤ２时,化简x ＋２x －１＋x －２x －１．解析:由１ɤx ɤ２,得０ɤx －１ɤ１,所以㊀x ＋２x －１＋x －２x －１＝x －１＋２x －１＋１＋x －１－２x －１＋１＝x －１＋１()２＋x －１－１()２＝|x －１＋１|＋|x －１－１|＝x －１＋１－x －１－１()＝２．６结语特殊与一般思想是初中数学的重要解题思想．掌握了这种思想,学生在面对比较复杂的数学问题时能将其转换成特殊或一般情况,以此简化计算或证明过程．这对培养学生的数学核心素养和数学思维都有帮助．参考文献:[１]崔志锋．特殊与一般[J ]．中小学数学(初中版),２０１９(４):３３Ｇ３５．[２]李文彬．巧用特殊与一般思想进行初三数学客观题解法教学[J ]．数学学习与研究,２０２２(１３):１５５Ｇ１５７．[３]李硕,何意玲,王海涛．例谈 特殊与一般 思想在初中数学教学和解题中的应用[J ]．理科爱好者,２０２２(４):８７Ｇ８９．Z ２５。
高中数学 “一般问题特殊化思想”专题(教师用)素材
用“一般问题特殊化思想方法”指导解题什么叫一般问题特殊化法？ 选取符合题意的特殊值、特殊向量、特殊数列、特殊方程、不等式或函数、特殊点和特殊图形，代入或者对比选项来确定答案。
这种方法叫做一般问题特殊化法，或叫特值代验法，是一种使用频率很高的方法。
下面就几类题型来说明它的独到之处。
（1）特殊值1.在∆ABC 中，角A ．B ．C 所对的边分别为a ．b ．c ，如果a ．b ．c 成等差数列，则=++CA CA cos cos 1cos cos。
解法一：取特殊值a ＝3, b ＝4, c ＝5 ,则cosA ＝,54cosC ＝0, =++C A C A cos cos 1cos cos 45． 解法二：取特殊角A ＝B ＝C ＝600cosA ＝cosC ＝21,=++C A C A cos cos 1cos cos 45．2.求值=++++)240(cos )120(cos cos 222a a a 。
分析：题目中“求值”二字提供了这样信息：答案为一定值，于是不妨令 0=a ，得结果为23。
（2）特殊向量3.（2011年东城一模4）已知平面上不重合的四点P ，A ，B ，C 满足→→→→=++0PC PB PA ， 且AB AC mAP +=，那么实数m 的值为（ B ）（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5 注：提供三种方法给大家。
解法1：（向量加法的几何意义）→→→→→→→→→=-+=+++=+P 3)A (P 2)PC P ()PB P (C B A P A A A A A 故m =3.解法2：（特殊化思想方法）画图以P 为坐标原点，建立平面直角坐标系，并令)0,1(A =→P ，)1,0(PB =→，故)1,1(PC --=→。
然后求出→→+C B A A 的坐标（-3，0）及→P A 的坐标（-1，0）。
解法3：画三个向量，相互间的夹角为120度。
4．（2010年西城二模理）设,,a b c 为单位向量，,a b 的夹角为60，则()++⋅a b c c 的最大值为___ __.1。
特殊化与一般思想第二篇_集合中的特殊化思想_俞新龙
特殊情形的方法或结果应用或推广到一般问题之中， 从而获得
一般性问题的解决的思想．显而易见， 相对于 “一般” 而言，
“特殊” 往往显得简单、 直观和具体， 且容易解决．
二、 特殊化思想解题的一些思路
在解答数学问题时， 特殊化方法常常表现为将一般问题
特殊化处理或从特殊出发探索解题方向， 以获得问题的解决，
集合 M∩N＝（ ）
A． x＝1，y＝-1 B． （1,-1） C． {1,-1} D． {（1,-1）}
∩ ∩ 2x-y＝3，
x＝1，
解析： 通过联立方程组
解得
所以集合
x+y＝0，
y＝-1，
M∩N＝{（1,-1）}．
但实际上， 我们可以从判断 A、 B、 C、 D 四个选择项的
形式上直接给出答案 D， 因为所求结果必须是一个点坐标为
假 设 存 在 等 差 数 列{bn}使 等 式 an=b1C1n +b2C2n +…+bnCnn 对 一 切 正 整 数 n 成 立 ， 则 当 n=1 时 得 1=b1C11 ， 所 以 b1=1； 当 n=2 时 得 4= b1C12+b2C22 ， 所 以 b2=2； 当 n=3 时 得 12=b1C13 +b2C23 +b3C33 ， 所 以 b3=3．如果由此就给出结论存在 等 差 数 列{bn=n}满 足 题 意 ， 我 们 认 为 是 不 完 备 的．因 为 在 之 前 的 解 答 中 仅 证 明 了 n=1，2，3 是 成
必要条件解题， 但因为在选择题和填空题中又是充分的， 所
以， 在客观题中用这种思想解题是等价的， 即是充分必要条
件关系， 但如果是解答题， 则这种做法是不完备的， 犯了
特殊化与一般化在中学数学解题中的应用
苏州大学本科生毕业设计（论文）目录摘要-------------------------------------------------------------------------------------（1）Abstract---------------------------------------------------------------------------------（1）前言-------------------------------------------------------------------------------------（2）第1章中学数学中的特殊化-----------------------------------（3）第1.1节何为特殊化---------------------------------------------------------（3）第1.2节特殊化的应用------------------------------------------------------（3）第1.3节如何培养中学生的特殊化思维---------------------------------（5）第2章中学数学中的一般化-----------------------------------（5）第1.1节何为一般化---------------------------------------------------------（5）第1.2节一般化的应用------------------------------------------------------（5）第1.3节如何培养中学生的一般化思维---------------------------------（7）第3章特殊化与一般化的辩证关系-----------------------------（8）结论-------------------------------------------------------------------------------------（9）参考文献-------------------------------------------------------------------------------（9）苏州大学本科生毕业设计（论文）摘要在中学学习过程中，数学思想方法是学习数学、运用数学的灵魂。
特殊化思想在高中数学解题中的应用探讨
特殊化思想在高中数学解题中的应用探讨作者：陈晓玲来源：《考试与评价》2019年第07期【摘要】特殊和一般的辩证关系，是数学研究中常用的解题思想。
本文针对特殊化思想在数学解题中的应用进行探讨，为特殊化解题思想的教学和学生解题中特殊化思想的应用提供参考。
【关键词】特殊化思想 ;高中数学 ;解题 ;应用特殊化思想作为数学的一种重要思想和方法，其在高考中出现和应用的频率越来越高。
作为一种辩证的数学解题思想，特殊化思想在数学解题中的应用更考验学生的知识广度和数学应用能力。
但特殊化思想作为一种常用的数学解题思想，其在数学解题中的应用也有一些技巧和方法，掌握这些技巧和方法将极大的提高学生的解题速度和解题能力。
1. 巧设特殊解析式一类函数具有的通性，和不同函数具有的特性，是我们之所以学习函数的关键。
在解答函数问题时，如果题干没有给出特定的函数，而是给出了几点性质，我们可以将这类函数具体化，通过假设的函数解析式，来对题干中的函数性质进行判断。
通过这种假设函数解析式的方法，能够帮助我们在选择题中排除错误答案，也能在大题的解答中用于解题思路的探索和解题结果正确与否的判断。
例：某奇函数f（x）是定义在区间（-∞，+∞）的奇函数，现有函数g（x）图像与f（x）重合，已知函数g（x）在区间[0，+∞]之间，问以下不等式哪个成立？A：f（b）-f（-a）g（a）-g（-b）C：f（a）-f（-b）=g（b）-g（-a）; D：f（a）-f（-b）该问题题干并没有给出具体的函数，但根据题干我们可以假设函数为f（x）=x，g（x）=|x|，取a、b的值为区间内任一自然数，我们很轻易的就能够判断正确的选项为B。
2. 巧用特殊因素，优化解题方案在数学解题中，无论题干给出的已知条件多么奇怪，它一定会对解题有所帮助。
在解题过程中，我们要善用特殊化思想，对题干中的特殊因素进行深入思考。
因为这些特殊因素往往都是解题的关键点，只要运用这些特殊的因素来探路，那么你很容易就能发现题目所存在的规律，而发现了解题规律，难题也就不是难题了。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
“进”到
Sn，Sn=（x1n-1+x2n-1）（x1+x2）-x1x2（x1
n-2+x2n-2）＝Sn-1（-
b a
）-
c a
Sn-2=-
bSn-1+cSn-2 ． a
点评： 特殊化情形的解决过程有助于发现或得到一般性
问题的解法．
第七篇： 解析几何中的特殊化思想
解析几何是高中数学的重点和热点内容之一， 繁杂的计
径．设方程两根为
x1，x2
则
x1+x2=-
b a
，x1x2=
c a
，S1=x1+x2，S2=x12+x22，
S3=x13+x23=（x12+x22）（x1+x2）-x1x2（x1+x2）＝S2=（-
b a
）-
c a
S1=-
bS2+cS1 a
．
由 S3 的 启 示 ， 我 们 找 到 了 解 题 的 途 径 ， 即 可 沿 着 这 条 途 径
但实际上， 我们可以从判断 A、 B、 C、 D 四个选择项的点
的个数上直接给出答案 D， 因为根据三个顶点的坐标可以作三个
平行四边形， 因此第四个点应该有三种情况， 而只有D 是三种．
二、 根据特殊位置来巧妙解题
例 2． 过抛物线 y=ax2（a＞0）的焦点 F 作一直线交抛物线于 P，
Q 两点， 若线段 PF 与 QF 的长分别是 p， q 则 1 + 1 等于 （ ） pq
7
7
7
7
49 49 2
10 a2＝0， 因此， BPBA ⊥PBBC ， 则 PA⊥PC．
49
注： 仔细分析上述两种解法可以发现， 当三角形为一般
三 角 形 时 PA⊥PC 就 不 成 立 了 ，
但
｜DP｜＝
1 7
｜DA ｜ ，
｜BP｜＝
3 7
｜BE｜
仍成立．
以下两道题是适当改变、 类比上面课本题的命题方式而
所以 sinB＝ 姨1－cos2B
＝ 24 25
，故
sinA＋sinC sinB
＝6 5
× 25 24
＝5 4
．
例 5． （ 2014 高 考 辽 宁 理
科 15） 已 知 椭 圆 C∶ x2 ＋ y2 ＝1， 94
y
N
D
M
点 M 与 C 的焦点不重合． 若 M
F1
关于 C 的焦点的对称点分别为
A
O F2 x
3
BDBP ＝DBBB ＋BBBP ＝－ 1 BBBC ＋λBBBE ＝－ 1 BBBC ＋λ（BBBC ＋BCBE ） ＝－ 1 BBBC ＋λ
3
3
3
（BBBC ＋ 1
3
CBBA ）
＝
λ 3
BBBA ＋
2λ－1 3
BBBC ，
因 为DBBA ∥BDBP ，
所以 1×
2λ－1 3
－
（－
1 3
）
×
λ 3
线 AD 的方程为 y＝3 姨 3
（x－2）， 直 线
BE
的方程为
y＝
姨3 5
（x－
5）＋姨 3
．
联立两直线方程得
P（
15 7
， 3姨3 7
），所以直线 PC 的
3姨3
y
A
斜 率 为 7 ＝－ 姨 3 ，故 直 线
15 7
－6
9
E
P
PC、AD
的斜率满足－
姨3 9
×3
B
D
Cx
例6图
姨 3 ＝－1，所以 AP⊥CP．
A． （1，5）或（5，-5）
B． （1，5）或（-3，-5）
C． （5，-5）或（-3，-5） D． （1，5）或（-3，-5）或（5，-5）
解析：设第四个点的坐标为 D（x，y），记 A（-1，0），B（3，0），C
（1，-5），则 当 AB 为 对 角 线 时 有(解 法 1)：A≠≠D =≠C≠B ，即 （x+1，y）＝
25 9
sinB
解析：
该题除了能利
用正弦
定理
sinA＋sinC sinB
＝ ｜BC｜＋｜BA｜ ＝ ｜AC｜
2a 2c
＝5 4
外，
一般比较难解决，
但是我们可以利用顶点 B 在椭
圆上的特殊位置来解决．
不妨取 B（0，3），则 sinA＝sinC＝ 3 ，cosB＝ 25＋25－64 ＝－ 7 ，
5
2×5×5 25
注： 从上面的解答过程我们可以得到｜DP｜＝ 2 姨 7 ， ｜DA｜＝ 7
2姨7
，
故｜DP｜＝ 1 7
｜DA｜，
同理｜BP｜＝ 3 7
｜BE｜．
那么， 能否用其他方法解决呢？ 下面我们用平面向量的
方法来求证．
设 边 长 为 a， BBBP ＝λBBBE ＝， 则DBBA ＝DBBB ＋BBBA ＝BBBA － 1 BBBC ，
（2，5），所以 x＝1，y＝5；(解法 2)： AB 中点与 CD 中点重合，即-1+3=
x+1，0+0=y+（-5）所以 x＝1，y＝5，所以第四个点的坐标为（1，5）．
用 同 样 的 方 法 可 以 求 得 当 AC 为 对 角 线 、 BC 为 对 角 线 时
第 四 个 点 的 坐 标 为 （-3，-5）、（5，-5）．
得到的， 我们可以在上述特殊三角形即正三角形的解决过程
中发现或得到一般性三角形问题的解决方法．
变式 1. 如图， 已知 △ABC 面积为 1， 点 D、 E、 F 分 别 在
边 BC、 CA、 AB 上 ， BD ＝2DC， CE ＝2EA， AF ＝2FB， AD、
BE、 CF 两两相交， 交点为 P、 Q、 R． 求 △PQR 的面积．
4、 5 的 直 角 三 角 形 ， 当 然 取 正 三 角 形 是 最 简 单 的 ，
cosA+cosC 1+cosAcosC
＝
1
1+
1 4
＝
4 5
．
点评： 显然特殊法中 “特殊” 的程度会影响解题的快慢，
所以， 用特殊法解题时应尽可能取最特殊的情况．
第六篇： 数列中的特殊化思想
数列是一种具有递推关系的量， 给人的感觉是 “无穷无
= 2a a+b
+ 2c b+c
=
2ab+4ac+2bc ac+（a+c）b+b2
＝
4b2+2b（a+c） 2b2+（a+c）b
＝2
，
但不如用特殊化
思想来得简捷，若取
a＝1，b＝2，c＝4，则
x= 3 2
，y=3，故
a x
+c y
=2 3
+
4 3
=2， 当 然 取
a＝b=c＝1
时可更简洁直观得结果，故选
尽”， 容易造成难解题的错觉．其实如果能够从特殊化思想考虑
便能马到成功．
一、 取特殊值来巧妙解题
例 1． 已 知 a，b，c 成 等 比 数 列 ， 如 果 a，x，b 和 b，y，c 都 成
等差数列，
则
a x
+
c y
＝（
）
A． 1
B． 2
C． 3
D． 4
解析： 本题常 规 解 法 是 由 b2=ac，2x=a+b，2y=b+c 得 a + c xy
=
（a+c）2 +c2-a2 4
＝ 5c-3a
，
同 理 cosC =
2bc
（a+c）c
4c
5a-3c 4a
，
将两式代
入目
标
式得
cosA+cosC 1+cosAcosC
＝
4 （-3a2+10ac-3c2） -15a2+50ac-15c2
＝
4 5
，
计算、
化简要求较高，
而如果同学
们想到用特殊三角形来解， 则比较方便， 如可以是边长为 3、
·2 1
＝1，
AP ＝ 3 ， PD 4
所以
S△APB ＝
3 7
S△ABD ＝
3 7
·2 3
S△ABC ＝
2 7
，
同理
S△BQC ＝S△ARC ＝
2 7
，
故 S△PQR＝S△ABC －
算、 平面几何性质的应用和较高的分析问题能力一直是同学
们最头痛的， 但是， 如果我们能够合理利用好特殊化思想，
则解决问题也会有 “小菜一碟” 的感觉．
一、根据所求结果的个数来巧妙解题
例 1． 已 知 平 行 四 边 形 三 个 顶 点 的 坐 标 分 别 为 （-1，0），
（3，0），（1，-5）， 则第四个点的坐标为 （ ）
a1=2， a2=1， 故 a3=0， 选 D．
二、 从特殊情形解决中感悟一般解法
例 3． 已 知 二 次 方 程 ax2+bx+c=0 的 两 根 n 次 方 的 和 为 Sn，
求证：
Sn=-
bSn-1+cSn-2 a
（n＝3，4，5，… ）．
解析： 同学们直接找出该题的解法一般是非常困难的，
但 我 们 可 以 从 n=3 的 这 种 特 殊 情 形 的 解 决 过 程 来 探 求 解 题 途
1 ｜BC｜，｜CE｜＝ 1 ｜CA｜，AD，BE 相交于点 P． 求证：AP⊥CP．