《例谈数学思想在2011高考解析几何中的应用》

- 1 - 湖北省孝感高级中学高中数学《例谈数学思想在2011高考解析几何中的应用》论文

在数学的知识和技能中，蕴含着具有普遍性的数学思想，它是数学的精髓和灵魂，是知识转化为能力的桥梁，是人们对数学事实与理论经过高度提炼概括后产生的本质认识，是数学知识和方法产生的根本源泉，是解决数学问题过程中的指路明灯.对数学思想的应用，是数学学习走向更深层次的一个标志，它能指导我们有效的应用数学知识探寻解题方向.本文就数学思想在解析几何中的应用作一些探讨.

例1（湖北理20）平面内与两定点12,0,,00AaAaa连线的斜率之积等于非零常数m的点的轨迹，加上12,AA两点所成的曲线C可以是圆，椭圆或双曲线.（1）求曲线C的方程，并讨论C的形状与m值的关系.（2）当1m时，对应的曲线为1;C对给定的1,00,,m对应的曲线为2,C设12,FF 是2C的两个焦点.试问：在1C上，是否存在点,N使得12FNF的面积2?Sma若存在，求12tanFNF的值；若不存在，请说明理由.

分析（1）问先用直接法求轨迹方程，再根据曲线的概念进行分类讨论；（2）问是探索性问题，根据是否存在及绝对值的运算性质分类.

解析（1）设,,Mxy当xa时，由条件可得12222,MAMAyyykkmxaxaxa即222.mxymaxa又12,0,,0AaAa的坐标满足222,mxyma故曲线C的方程为22221,xyama①当1m时，C是圆心在原点的圆；②当1m时，C是焦点在y轴上的椭圆；③当10m时，C是焦点在x轴上的椭圆；④当0m时，C是焦点在y轴上的双曲线.（2）由（1）知，当1m时，1C的方程为222;xya当1,00,,m2C的两个焦点为121,0,1,0.FamFam对给定的1,00,,m1C上存在点000,0Nxyy使得2Sma的充要条件是

- 2 - 22200020,0,121.2xyayamyma故00,1amyam解得155122m且0,m故当1551,00,22m时，存在点,N使2;Sma当15511,,22m时，不存在点,N使2.Sma由1002001,,1,,NFamxyNFamxy可得12NFNF

2222001.xmayma令112212,,,NFrNFrFNF则由21212cosNFNFrrma可得212,cosmarr从而222121sin1sintan,22cos2maSrrmama故2tan.mm综上可得：当15,02m时，在1C上存在点,N使得2,Sma且12tan2;FNF当150,2m时，在1C上存在点,N使得2,Sma且12tan2;FNF当15511,,22m时，在1C上不存在点,N使得2.Sma

点评本题具有课本背景，利用分类讨论思想引领可以准确快速解决此问题.

2数形结合思想

解析几何的基本思想就是数形结合，在解题中要善于将数形结合的数学思想运用于对圆锥曲线和平面几何的性质以及相互关系的研究.

例2（广东理19）设圆C与两圆222254,54xyxy中的一个内切，另一个外切.（1）求圆C的圆心轨迹L的方程；（2）已知点3545,,5,0,55MF且P为L上动点，求MPFP的最大值及此时点P的坐标.

解析（1）由定义法求得轨迹方程为221.4xy（过程略）.（2）由图1知，,MPFPMF故当,,MPF三点共线，且点P在MF延长线上时，

- 3 - MPFP取得最大值,MF且223545502.55MF直线MF的方程为225,yx与双曲线方程联立得22225,1,4yxxy整理得215325840.xx解得114515x（舍去），26525,.55xy故当MPFP取得最大值2时，点P的坐标为6525,.55

点评将“距离差的绝对值”这一抽象问题转化为形象直观的“三角形两边之差小于第三边”这一基本常识，体现了数形结合解题的简洁性.

例3（上海理23）已知平面上的线段l及点,P在l上任取一点,Q线段PQ长度的最小值称为点P到线段l的距离，记作,.dPl（1）求点1,1P到线段:30(35)lxyx的距离,.dPl（2）设l是长为2的线段，求点集|,1DPdPl所表示的图形面积.（3）写出到两条线段12,ll距离相等的点的集合12|,,,PdPldPl其中12,,,,,lABlCDABCD是下列三组点中的一组.①1,3,1,0,1,3,1,0.ABCD②1,3,1,0,1,3,1,2.ABCD③0,1,0,0,0,0,2,0.ABCD

解析（1）设,3Qxx是线段:30(35)lxyx上一点，则2225914235,22PQxxxx当3x时，min,5.dPlPQ（2）设线段l的端点分别为,,AB以直线AB为x轴，线段AB的中点为坐标原点建立直角坐标系，则1,0,1,0,AB点集D由如图2的曲线围成，12:11,:11,lyxlyx

222212:111,:111,CxyxCxyx其面积为4.S（3）①选择1,3,1,0,1,3,1,0,,|0,ABCDxyx如图3.②选择21,3,1,0,1,3,1,2,,|0,0,|4,20ABCDxyxyxyyxy

- 4 - ,|10,1.xyxyx如图4.③选择0,1,0,0,0,0,2,0,ABCD

,|0,0xyxy,|,01xyyxx2,|21,12xyxyx

,|4230,2.xyxyx如图5.

点评对这样一道新定义综合创新试题，文字语言显得苍白无力，但是利用图形引领，集合语言跟进，问题便迎刃而解.体现了数与形的完美组合.

3函数思想

在解析几何中应用函数思想就是用运动变化，联系的观点，分析问题中的数量关系，构造函数来解决问题.

例4（北京理19）已知椭圆22:1,4xGy过点,0m作圆221xy的切线l交椭圆G于,AB两点.（1）求椭圆G的焦点坐标和离心率；（2）将AB表示为m的函数，并求AB的最大值.

解析（1）略；（2）由题知1,m当1m时，切线l的方程为1,x则331,,1,,22AB此时3;AB当1m时，同理可得3;AB当1m时，设切线l的方程为,ykxm将其代入2214xy消去y并化简整理得，22222148440,kxkmxkm设1122,,,,AxyBxy则222121222844,,1414kmkmxxxxkk又l与圆221xy相切得21,1kmk即2221.mkk故222121212114ABkxxkxxxx

- 5 - 22422222244443644312,314314kmmkmkkmkmm当且仅当“3m”时取等号.综合上述知，max2.AB

点评构建弦长关于斜率这一函数关系，是解决此类最值问题的高效方法之一.

4方程思想

解析几何的题目大部分都以方程形式给定直线和圆锥曲线，因此把直线与圆锥曲线的相交问题利用韦达定理进行整体处理，以及直线方程思想的应用，都可以大大简化解题过程.

例5（浙江理21）已知抛物线21:.Cxy圆222:41Cxy的圆心为点M.（1）求点M到抛物线1C的准线的距离；（2）已知点P是抛物线1C上一点（异于原点），过点P作圆2C的两条切线交抛物线1C于A，B两点，若过点M，P两点的直线l垂直于AB，求直线l的方程.

分析这里仅分析第（2）问，原解答中两次利用二次方程思想，一是构造利用1020,(,)xxxx或为根的一元二次方程，解出12,xx两点的坐标，解决了12,xx与12,kk的关系；二是构造了以12,kk为根的一元二次方程，较为复杂.如果根据相切条件利用直线方程思想，只需构造一次便可得到关于直线AB的方程，从而求出直线AB的斜率.于是得到下面的一个简解.

简解如图6，设2001122,,,,,,PxxAxyBxy由题意得00120,1,,xxxx

221011001010,,,PAyyxyxykxxPAxx直线方程为20100,yxxxxx即10010,xxxyxxPA与圆2C相切，0121041,1xxxx化简得2220110061150,xxxxx即220101061150,xxxyx同理可得220202061150,xxxyx由直线方程思想得直线AB的方程为22000020661150,,1ABxxxxyxkx

220200200644233,1,,,15115PMABPMlxxkkkxklxx的直线方程为34.115yx

点评合理构造与斜率相应的直线方程，通过方程将未知量与已知量间的关系显性化，从而找图6

- 6 - 到解决本题的简单方法.

5转化与化归思想

数学对象的内部，或者不同的数学对象之间，往往会以某种形式相互联系，在一定的条件下能够相互转化，经过转化，能促进问题的解决.可以说，数学解题的过程就是不断化归与转化的过程.

例6（全国理21）已知O为坐标原点，F为椭圆22:12yCx在y轴正半轴上的焦点，过点F且斜率为2的直线l与C交于,AB两点，点P满足0.OAOBOP（1）证明：点P在C上；（2）设点P关于点O的对称点为,Q证明：,,,APBQ四点在同一圆上.

分析证明四点共圆的等价方法很多，可以利用圆心到四个点,,,APBQ的距离相等来证明；也可以通过四边形的两对角互补证明；也可以利用割线定理证明；也可以利用托勒密定理逆定理证明.这里利用“同底同侧等顶角的三角形”这一新方法证明.

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例谈平面几何法解决解析几何问题的几种途径

周华

【期刊名称】《中学数学》

【年(卷),期】2016(000)013

【总页数】4页(P78-81)

【作者】周华

【作者单位】江苏省启东市吕四中学

【正文语种】中文

众所周知，解析几何是高中数学的主要内容，也是历年高考的首选题型.解析几何的本质是用代数方法研究几何问题，数形结合是其主要特征.因此，灵活运用代数知识的同时，充分利用问题中的“几何性质”，往往是解决解析几何问题的关键.在解决高中解析几何问题时，若能够巧妙地运用平面几何知识，不仅能够有效解决问题，而且会使问题变得简洁明了.特别是在高三复习过程中，能将相关知识点联系起来，将平面几何与解析几何融为一体，在提高解题的技能和速度的同时，也使学生解题中感受到数学的无限魅力.下面笔者就从平面几何的一些性质出发，探讨几类解析几何问题的巧妙解法.

中位线定理是平面几何中较容易掌握和理解的结论，在解析几何题中经常含有中点一类的信息，若能在解析几何中巧妙地加以运用，则会使有关问题变得更加简单容易，利于解题.

例1设椭圆上一点P到左准线的距离为10，F是该椭圆的左焦点，若点M满足

解析：如图1，设F′为椭圆的右焦点，连接PF′. 因为所以M是线段PF的中点，从而OM为△PFF′的中位线，则.又点P到椭圆左准线的距离为10，椭圆离心率e=，所以|PF|=10×=6，从而|PF′|=10-6= 4，故

评注：本解法是从几何角度入手，巧妙地利用了三角形的中位线的性质，充分发挥了数形结合的作用，揭示了题目的本质.

解析几何经常是点、线之间的关系，经常会涉及点、线的对称问题，若能巧妙用好直线与点的对称问题，就能轻松求解.

例2如图2，使抛物线y=ax2-1（a≠0）上总有关于直线l：x+y=0对称的两点，试求实数a的取值范围.

解析：设P1（x1，y1），P2（x2，y2）是抛物线上关于直线l对称的两点，直线P1P2的方程为y=x+b.

2011经典卷高考数学应用题真题解析

2011年的高考数学经典卷是考生备战高考的重要资料之一。其中的应用题是考察学生数学应用能力的重要环节。本文将对2011年高考数学应用题进行详细解析，帮助考生更好地理解题目，并提供解题思路和方法。

一、选择题解析

选择题是考生在高考数学中常见的题型之一，2011年的高考数学经典卷中也包含了多个选择题。我们选取其中一道选择题进行解析。

题目：

某商品去年的价格是今年价格的3倍，今年该商品价格同比下降了20%，则今年的价格是

A. 去年价格的2/3

B. 去年价格的4/5

C. 去年价格的2/5

D. 去年价格的3/5

解析：

根据题目中提供的信息，去年的价格是今年价格的3倍，今年价格同比下降了20%。我们首先需要确定去年价格和今年价格的具体数值关系。设今年价格为x元，则去年的价格为3x元。根据同比下降20%的含义，今年价格是去年价格的80%，即0.8倍。因此，今年的价格为0.8 × 3x = 2.4x元。

根据计算结果可知，今年的价格是去年价格的2.4倍，而选项中只有A. 去年价格的2/3符合这个条件。因此，答案选A.

二、解答题解析

解答题是高考数学应用题中较为复杂的题型，需要考生针对给定的问题进行全面、逻辑清晰的思考和解答。我们选取其中一道解答题进行解析。

题目：

已知函数f(x)满足f(4x) = 12x - 8(x ≠ 0)。求f(-3)的值。

解析：

根据题目中给出的已知条件，我们需要确定函数f(x)的具体表达式，进而计算f(-3)的值。设f(x)的表达式为ax + b，则根据已知条件可得到f(4x) = 12x - 8。将x替换为4x，得到f(4x) = 4ax + b。

由于题目中已知f(4x) = 12x - 8，因此可以得到以下方程：

4ax + b = 12x - 8

根据方程我们可以得到两个未知数a和b之间的关系，并由此计算出具体数值。将方程转化为一元一次方程形式：

结构对称性质优巧用对称解疑难——以2011年全国各地高考题为例谈对称思想的妙用

・　４８　・　中学数学月刊　２０１２年第１期　

结构对称性质优巧用对称解疑难　

以２０１　１年全国各地高考题为例谈对称思想的妙用　

程　璞　（江苏省南京市中华中学　２１００１９）　

宁连华　（南京师范大学数学科学学院２１００９７）　

对称普遍存在于自然界之中，数学学科正是对　

自然事物的抽象、归纳与概括，因此数学中具有对称　

性的内容非常多．著名数学教育家Ｇ・波利亚曾说：　

“从一般意义上讲，对称对于我们的论题（探索怎样　

解题）是很重要的．”他还说：“如果一道题目具有某　

些方面的对称性，我们常常能得益于注意到可以互　

换的各部分，而且，常常值得我们用同样的方式来处　

理那些起相同作用的部分．”＿１　这句话为我们处理对　

称指明了思路和方向．２０１１年对对称思想的考查体　

现在多个省市的考卷中，考查的面也很广，分散在多　

个知识块中，如函数、数列、解析几何、立体几何、三　

角函数、正态分布、优选试验和应用问题，现将相关　

考题整理如下．　

１　形的对称　

一提到“对称”，人们首先想到的多半是对称图　

形，如立体几何中存在很多具有对称性的空间图形，　

如球体、圆柱、圆锥、正棱锥、长方体、正方体等，以它　

们为载体，可以研究相关元素的一些位置关系和数　

量关系．　

１．１　以立体几何为载体　

“初等立体几何考虑两种类型的对称性，即关于　

一个平面（称为对称平面）的对称性和关于一个点　（称为对称中心）的对称性．－Ｄ］２０１１年辽宁理科卷　

第８题考查的就是关于某个平面对称的情形．选项　

ｃ若通过对称思想来判断，采取“小题小做”的解题　

策略，可简化思考过程，节约答题时间．　

例１（２０１１年辽宁卷　

理科第８题）如图１，四棱　

锥Ｓ－ＡＢＣＤ的底面为正方　

形，ＳＤ　Ｊ＿底面ＡＢＣＤ，则　

下列结论中不正确的是　

（　）．　丑　Ｃ　（Ｄ）ＡＢ与ＳＣ所成的角等于ＤＣ与ＳＡ所成的　

角　

解析　选项Ａ与Ｂ易知是正确的．　

选项ｃ可从对称性的角度考虑，由于四棱锥　

Ｓ－ＡＢＣＤ的底面是正方形，ＳＤ－ｌ－底面ＡＢＣＤ，故点　

2011年高考数学试题分类解析(四)--平面向量

Ｎ０．７－８　２０１１　．　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｃｈｉｎｅｓｅ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ　Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ　２０１１年第７—８期　在差异，文科、理科的考查力度也不同，尽管各地考纲对文理　科的要求相同，但理科的考查力度总体上要比文科大．与往年相　比，高考对平面向量的考查方向基本稳定，选择题和填空题考　查向量的核心概念及核心运算公式，解答题大多是与解析几何　扣结合，关注对数学思想方法的考查．　关键词：平面向量；命题特点；亮点扫描；典型错误；总　结提升　向量是集数形于一身的近代数学中重要和基础的数学概念　之一，是数形结合的桥梁，是沟通代数、几何、三角的有力工　具．具有良好的运算性质，向量知识和其他知识，如曲线、数　列、函数、三角等知识进行综合，使其成为多项内容的媒介，　成为中学数学知识的一个交会点，也是高考的必考内容之一，　单独命题是一个选择题（或填空题），在解答题中常作为载体出　现，考查三角函数或解析几何等问题．试卷总体上围绕着平面向　量的基本概念和基本运算展开考查，这些问题常考常新．通过对　部分试题错解的分析，提醒我们在对向量的学习中要抓基础，　重思想，重视有关题型的处理．　一、命题特点　高考命题中考查向量的加（减）法运算、向量加（减）法　的几何意义、向量的线性运算、平面向量的数量积及运算律、　平面向量的坐标运算、两向量平行与垂直的充要条件、平面向　量的夹角及有关长度的问题．分析近几年的高考试题对本部分内　容的考查有如下趋势：一是考查向量的基本运算、向量平行或　垂直的充要条件，大多数试题难度不大，多以选择题、填空题　的形式出现，也有少部分题目注重向量知识的灵活运用，有一　定难度．二是用向量做“包装”，作为载体，对其他知识综合考　查，如以向量形式的条件综合考查函数、三角、数列、解析几　何等问题，此类问题多以解答题形式出现，综合性较强，但向　量只是起工具的作用，其应用难度并不大．２０１　１年各份高考试　题型主要为选择题、填空题，也有少部分解答题目以向量　为载体处理有关问题．每份文、理试卷中至少有一道选择题或填　空题，只有一道小题的试卷有安徽文科试卷、北京文（理）科　试卷、福建文科试卷、湖北文（理）科试卷、江西理科试卷、　辽宁文（理）科试卷、山东文（理）科试卷、陕西文（理）科　试卷、天津文（理）科试卷、江苏试卷；试卷中有两道小题的　有福建理科试卷、广东理科试卷、上海文（理）科试卷、浙江　理科卷试；试卷中有一道小题同时涉及到一道大题的有湖南文　科试卷、安徽理科试卷、江西文科试卷、新课程全国文科试卷、　大纲全国文（理）科试卷、重庆理科试卷；试卷中有两道小题、　同时涉及到一道大题的有四川文（理）科试卷；试卷中有一道　小题同时涉及到大题两道的有新课程全国理科试卷．值得关注的　是新课程全国的文（理）科试卷中平面向量与选修系列４的坐　标系与参数方程试题进行综合．　从以上的统计中不难发现，各份试卷对平面向量的考查力　度略有不同，不仅分值不同，对平面向量考查力度也有较大的　差异．　从同一省（市）文、理科的试卷来看，题目内容完全相同的　有安徽试卷、北京试卷、山东试卷、陕西试卷、上海试卷、天　津试卷；其他省（市）及国家的两份试卷中文、理题目内容部　分相同或完全不同．总的来看，理科的考查力度明显高于文科．　２．考查方向稳定　对平面向量内容的考查不仅在题型上基本稳定，考查的主　干知识点及主要思想方法基本稳定．从题目内容及考查方式上仍　然体现如下三个方面．　（１）考查平面向量的概念、性质和运算法则，运用向量直观　的几何意义进行运算．如四川试卷文７（理４）、天津试卷文１４　（理１４）、浙江试卷理１７、湖南试卷理１４、上海试卷文ｌ８、上　海试卷理１７等题目，这些试题要求学生深刻理解向量的相关概　念和运算法则．　卷都对平面向量进行了考查，且有如下几点值得关注．　’　（２）考查向量的坐标运算，向量的线性运算．如重庆试卷文　收稿日期：２０１Ｉ—Ｏ７—２９　作者简介：刘莉（１９６４一），女，辽宁沈阳人，副教授，主要从事数学教育与中学数学研究　

例谈解析几何综合问题的解题策略

例谈解析几何综合问题的解题策略　一唐远军　解析几何综合题是高考命题的热点内容之一．这类试题　往往以解析几何知识为载体，综合函数、不等式、三角、数列等　知识，所涉及到的知识点较多，对解题能力考查的层次要求较　高，同学们在解答时，常常表现为无从下手，或者半途而废．据　此笔者认为，解决这一类问题的关键在于：通观全局，局部入　手，整体思维．即在掌握通性通法的同时不应只形成一个一个　的解题套路，解题时不加分析，跟着感觉走，做到哪儿算哪儿．　而应当从宏观上去把握，从微观上去突破，在审题和解题思路　的整体设计上下功夫，不断克服解题征途中的道道难关．　案例在△ＡＢＣ中，ＡＣ＝２√　，Ｂ是椭圆　＋　＝１在　ｚ轴上方的顶点，ｚ是双曲线ｚ　一　一一２位于　轴下方的　准线，ＡＣ在直线ｚ上运动．　（１）求△ＡＢＣ外接圆的圆心Ｐ的轨迹Ｅ的方程；　（２）过定点Ｆ（０，÷）作互相垂直的直线ｆ　，ｚ。，分别交轨　迹Ｅ于Ｍ、Ｎ和Ｒ、Ｑ，求四边形ＭＲＮＱ面积的最小值．　分析：（１）这是一个轨迹问题，解题的困难在于多动点的　困扰，学生往往不知从何人手．其实，应该想到轨迹问题可以　通过参数法求解．因此，首先是选定参数，然后想方设法将点　Ｐ的坐标满足方程表达出来，最后通过消参可达到解题的　目的．　由于点Ｐ（Ｊｃ，　）的变化是由直线ＡＣ的变化引起的，自然　可选择设Ａ（７７＂１．一√３，一１），Ｃ（，ｎ＋，／ｇ，一１），，ｎ作为参数，如　何将　，　与　联系起来？～方面利用点Ｐ在ＡＣ的垂直平　分线上，另一方面点Ｐ又在ＡＢ的垂直平分线上，求出ＡＣ的　垂直平分线的方程与ＡＣ的垂直平分线的方程，最后通过消　参即可．　通过这样的分析，可以看出，虽然我们还没有开始解题，　但对于如何解决本题，已经做到心中有数．　直线方程是Ｙ一一１，且ＡＣ一２√　，可设Ａ（，ｎ一√ｉ，一１），　Ｃ（　＋，／ｇ，一１），求出ＡＣ的垂直平分线的方程为　：　，ＡＣ　的垂直平分线方程为ｊ，一—｝一　ｆ　一ｍ＿　１．可消去　。　一　＼　／　参数”。，求出点Ｐ的轨迹方程．　分析：（２）欲求四边形ＭＲＮＱ面积的最值，如果从函数的　角度去思考，就应当把四边形的面积用代数式表达，即所谓　“作互相垂直的直线　，ｚ　，分别交轨迹Ｅ于Ｍ、Ｎ和Ｒ、Ｑ，”，　相当于化归为四边形ＭＲＮＱ面积关于　的函数．据此设计出　如下解题思路：　设直线ｚ　的方程是Ｙ一七　＋÷，直线ｚ：的方程是Ｙ一　～　＋÷，可分别求出　、ｚ：与抛物线相交的弦长，解得　』ＭＮｆ一６（１＋志。），』ＲＱ』＝６　ｆ１＋去ｌ。再求出ＩＮ边形的面积　，　为Ｓ一１８ｆ女　＋方ｌ，可利用均值不等式求出ｓ的最值，解得　四边形ＭＮＲＱ面积的最小值为７２．　解：（１）由椭圆方程￣ｉＸ　２　ｙ　２一ｌ及双曲线方程ｘ　２＿＿ｙ　２＝　一２，可得点Ｂ（Ｏ，２），直线　方程是Ｙ一一１．　所以ＡＣ＝２√　，且ＡＣ在直线ｚ上运动．　可设Ａ（，ｎ一√　，一１），Ｃ（　＋√手，一１），则ＡＣ的垂直平　分线方程为３２．一ｍ．　①　ＡＢ的垂直平分线方程为：　一丢一）．　②　—　一—　ｌｚ一　Ｊ　因为Ｐ是ＡＡＢＣ的外接圆圆心，所以点Ｐ的坐标（ｚ，　）　满足方程①和②．　由①和②联立，消去ｍ得　＝　．　故圆心Ｐ的轨迹Ｅ的方程为．２Ｊ　一６ｙ．　（２）由图像可知，直线　和ｌ　的斜率存在且不为零，设１．　的方程为　一　ｚｑ－÷．　因为ｚ　上ｚ　ｚ，所以ｚ　ｚ的方程为　一一　１　＋　３．　由｛　二　’得　ｚ—ｓ　ｚ～。一。．　所以ｆ　ＭＮ　ｆ一、　・　ｉ　■一　，／－ｆ４－　。・√３６　４－３６—６（１＋　。）．　同理可得：ｌＲＱＩ一　（　＋　１）・　所以四边形ＭＲＮＱ的面积：　５一÷Ｊ　ＭＮ　Ｊ・Ｉ　ＲＱ　Ｊ一】８（　＋　＋２）≥　Ｚ　ｓ（。＋。　）　．　当且仅当　一　，即女一±１时．等号成立．　故四边形ＭＮＲＱ的面积的最小值为７２．　点评：由方程组实施消元，产生一个标准的关于一个变量　的一元二次方程，其判别式、韦达定理模块思维易于想到．这　当中，难点在引出参，活点在应用参，重点在消去参．，而“引　参、用参、消参”三步曲，正是解析几何综合问题求解的一务有　效通道．　解题犹如打仗，不能只是忙于冲锋陷阵，一时局部的胜利　并不能说明问题，有时甚至会被局部所纠缠而看不清问题的　实质所在，只有见微知著，树立全局观念，讲究排兵布阵，运筹　帷幄，方能决胜千里．　作者单位：湖南省宜章县第一中学　中学生效理他．掌饼版

例谈解析几何中的定点定值问题

例谈解析几何中的定点定值问题　扬州中学教育集团树人学校陈瑞飞　解析几何中的定点定值问题一直是高考与竞赛中的热点之一，　由于现行教材对这个问题没有做专门的介绍，因此也成了高中数学　的难点之一，事实上，对这类问题的解答还是有规律可循的，如证　明直线过定点的解题步骤可以归纳为：一选、二求、三定点。具体　操作程序如下：　一选：选择参变量。需要证明过定点的直线往往会随某一个量　的变化而变化，可选择这个量为参变量（当动直线牵涉的量比较多　时，也可以选择多个参变量）。　二求：求出动直线的方程。求出只含上述参变量的动直线方程，　并由其他辅助条件减少参变量的个数，最终使动直线的方程的系数　中只含有一个参变量。　三定点：求出定点的坐标。不妨设动直线的方程中含有变量　，　把直线方程写成ｆ（ｘ，　）＋Ｚｇ（　，　）：０的形式，然后解关于ｘ，Ｙ的方　程组｛　耋　得到定点的坐标。　例题１、如图，椭圆Ｇ：　＋　＝１（ａ＞ｂ＞０）和圆　：　‘　ａ　ｂ　一　＋Ｙ　＝ｂ　，已知圆ｃ，将椭圆　的长轴三等分，椭圆　右焦点　到右准线的距离为兰，椭圆Ｇ的下顶点为Ｅ，过坐标原点Ｏ且与　坐标轴不重合的任意直线，与圆Ｇ相交于点Ａ、Ｂ．　（１）求椭圆Ｃ的方程；　（２）若直线Ｅ　、　分别与椭圆ＣｒＩ相交于另一个交点为点　Ｐ、　．求证：直线』　’经过一定点；　Ｐ　Ｍ—　，一Ｉ　／　＼／／，　、　＼＼＼、．　．　Ｅ　讲解：（１）依题意，２６＝　．２ｎ，则以＝３ｂ，　．・．　ｃ：　：２　，又了ａ２一ｃ＝譬＝　４　．㈦　口：３，．．．椭圆方程为ｘＡ＋ｖ２：１．　９　（２）由题意知直线ＰＥ，ＭＥ的斜率存在且不为０，设直线尸　ｆＹ＝　～１，　搴为　则胁　＇由　１，得　

‘・Ｐ　，　，　用　去代尼，得　（　，　），　９ｋ　一１　９一ｋ　ｋｐＭ…９ｋ２＋１　ｋ２＋９生　．　１８ｋ．１８ｋ　１０ｋ’　９ｋ２一＋１　七ｊ＋９　．・．跗一嵩＝　，　：　＋詈　州　４１０ｋ　Ｏｋ　５　１　５　．．．直线户　经过定点　（０　４）．　说明：１）易知动直线ＭＰ随着Ａ、Ｂ两点的位置的变化而变化。　事实上，Ａ点的位置决定着Ｂ点的位置。　２）如果仔细观察图像，能发现直径所对的圆周角是９０。，　ＥＰ，ＭＥ所在直线互相垂直。引入参变量直线Ｅ尸的斜率为ｋ，则　直线ＭＥ的斜率为一÷。　３）利用直线与椭圆联立方程，将　，Ｐ两点的坐标用参数ｋ表　示出来。从而求出直线方程，￥１ｊＪ￣ＩＩｆｇ（（　ｘ，＇ｙｙ））：＝ｕ０求出定点的坐标。　例２、在平面直角坐’标系ｘＯｙ中，已知椭圆　ｃ：　＋　：ｌ（ａ＞６＞０）与直线ｚ　：　∽∈Ｒ）．　四点（３，１），（３，一１），（－２，，／ｔ２，０），（√３，√３）中有　个点在椭　圆Ｃ上，剩余一个点在直线，上．（１）求椭圆Ｃ的方程；　（２）若动点Ｐ在直线，上，过Ｐ作直线交椭圆Ｃ于Ｍ，Ⅳ两　点，＂￣－ＰＭ＝ＰＮ，再过Ｐ作直线　上　Ⅳ．证明：直线，，恒过　定点，并求出该定点的坐标．　讲解：（１）由题意有３个点在椭圆Ｃ上，根据椭圆的对称性，　则点（３，１），（３，一１）一定在椭圆Ｃ上，即　＋　：１　①，若点　（－２√　，０）在椭圆Ｃ上，则点（－２４２，０）必为Ｃ的左顶点，而　３＞２√　，则点（－２，／２，ｏ）－－￣ｒ上，故点（４５，√ｊ）在椭圆　Ｃ上，点（－２￣ｔ２，０）在直线，上，所以之＋　－３＝１　②，联立①②　‘　ａ‘　ｂ‘　可解得ａ。＝１２，６　＝４，所以椭圆Ｃ的方程为　＋—ｙ　Ｚ＝１；　（２）由（１）可得直线，的方程为ｘ：一２√　，设　Ｐ（一２　，　），　一＿２４３，＿２￣／３　Ｊ．，　当Ｙ。≠Ｏ时，设　（　，　１），Ⅳ（　，Ｙ２），显然Ｘ≠　，１　联立　篝２　等４＿ｌ，则：０，即则苎：二兰：＋　！：二　：　，即　芏＋芷：１，　１２　４　１２　４　：一　．　，ＲＰＭ：ＰⅣ，即尸为线段　Ⅳ的中点　ｘ，一Ｘ２　ｊ　Ｙｌ＋Ｙ２　

2011年数学高考分类汇编解答题(文)05——解析几何

05 解析几何（文）第1页（23） 05 解析几何

1. （天津文）18．（本小题满分13分）

设椭圆22221(0)xyabab的左、右焦点分别为F1，F2。点(,)Pab满足212||||.PFFF

（Ⅰ）求椭圆的离心率e；

（Ⅱ）设直线PF2与椭圆相交于A，B两点，若直线PF2与圆22(1)(3)16xy相交于M，N两点，且5||||8MNAB，求椭圆的方程。

【解析】（18）本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、两点间的距离公式、点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的数学思想，考查解决问题能力与运算能力，满分13分。

（Ⅰ）解：设12(,0),(,0)(0)FcFcc，因为212||||PFFF，

所以22()2acbc，整理得2210,1cccaaa得（舍）

或11,.22cea所以

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知2,3acbc，可得椭圆方程为2223412xyc，直线FF2的方程为3().yxc

A，B两点的坐标满足方程组2223412,3().xycyxc消去y并整理，得2580xcx。解得1280,5xxc，得方程组的解21128,0,53,33.5xcxycyc

不妨设833,55Acc，(0,3)Bc，

所以2283316||3.555ABcccc

于是5||||2.8MNABc 05 解析几何（文）第2页（23）圆心1,3到直线PF2的距离|333|3|2|.22ccd

例谈圆锥曲线知识在高考中的综合应用

第１期　杨帆：例谈圆锥曲线知识在高考中的综合应用　・３５・　

例谈圆锥曲线知识在高考中的综合应用　

●杨　帆　（杭州市第二中学浙江杭州３１００５２）　

解析几何是中学数学的核心内容之一，在高考　

数学中占有十分重要的地位，是高考的重点、热点　

和难点．解析几何基本思想是利用代数的方式研究　

几何：曲线用怎样的代数形式表示，某个代数式描　

述怎样的几何性质，怎样表述各种位置关系和数量　

关系等本质问题是考查的重点．　

由于导数的引入，曲线的切线问题逐步受到命　

题者的青睐．新课标对学生的运算能力有明确的要　求，解析几何是其天然的载体，设计的问题入口宽、　

代数运算强，对学生的解题能力有较高的要求．　

１考试要求　

掌握椭圆与抛物线的定义、几何图形、标准方　

程；了解双曲线的定义；掌握双曲线的几何图形和　

标准方程，理解它的简单几何性质；能解决直线与　

椭圆、抛物线的位置关系问题；理解数形结合思想．　

２命题走势　

从近２年的各省市高考试卷来看，与圆锥曲线　

相关的试题分值在２０分左右．试题既注重了通性　

通法，淡化了特殊技巧，又适度体现了灵活运用技　

巧解题的能力．圆锥曲线小题更多地考查圆锥曲线　

的定义、方程与几何性质，离心率、渐近线等问题穿　

插在各种几何性质中．圆锥曲线大题仍出现在理科　

试卷倒数第２题、文科试卷最后一题的位置，综合　

能力要求较高，主要体现在以下几个方面：　

（１）突出解析几何知识的横向联系（譬如直线　

与圆锥曲线的位置关系，椭圆、抛物线与圆的相互　

结合等），提高运用函数和方程的思想，在遵循　

“设一列一解”的程序化运算的基础上，体现解析　几何设而不求的求简意识；　

（２）进一步融合圆锥曲线与其他知识板块的　

交叉，利用向量几何与代数的“双重身份”、导数几　

何意义的“切线问题”包装圆锥曲线的几何性质，　体现向量法和导数法的应用；　

（３）最值、定值问题依然为高考的热点之一，　将函数思想、方程思想、分类讨论思想、代数运算能　

力、推理论证能力、抽象概括能力等贯穿于一道试　

浅析高考数学试卷中的两种意识

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浅析高考数学试卷中的两种意识

作者：刘绿芹

来源：《中学数学杂志(高中版)》2011年第02期

在刚刚出版的江苏省2011年高考考试说明数学学科命题指导思想中明确提出：注重数学的应用意识和创新意识的考查，不仅江苏如此，在全国各地的高考考试说明上都谈到了数学应用意识和创新意识，而且在高考试卷上也有所体现，如今的一张高考数学试卷中不仅要对基础知识的掌握进行检测，还要展现出数学应用的能力和创新能力，数学应用意识和创新意识的要求有哪些?怎样在一张高考试卷中体现呢?

1 数学应用意识

数学应用意识要求考生能够运用所学的数学知识、思想和方法，构造数学模型，将一些实际问题转化为数学问题，并加以解决，《普通高中数学课程标准》提出：高中数学课程要有助于学生认识数学的应用价值，增强应用意识，形成解决简单实际问题的能力，同时，要不断发展学生应用数学的意识，作为教育教学的指挥棒，高考数学应用方面已经开始有所体现，如2009年江苏卷第19题，该题就是典型的数学应用，这道题是对生产成本的分析与应用，在日常生活中，很多学生的家长就是从事某种商品的生产和销售，这道题是将实际中的成本控制与高中数学中的函数、不等式相联系，在平时的高中数学学习中，很多学生抱怨函数、不等式在现实中无用，这道高考题就粉碎了函数、不等式的“无用论”，在高考试卷中，应用型的问题主要体现在以下知识点中：

1.1不等式与函数的综合

这是传统的应用型问题，即常见的应用题，这类问题大多是给定一个现实案例，要求考生列出函数关系，并根据实际情况，设置函数解析式、定义域等，从而求出最值或者最优值，此类问题无非是利用二次函数求最值、基本不等式求最值或者三角函数求最值等等，总之都是常见的求最值的方法，不等式与函数的综合题是历年考试的常客，是应用数学的经典体现，

1.2概率问题龙源期刊网

【数学】2011版《3年高考2年模拟》：第8章立体几何第三节空间向量在立体几何中的应用

高考学习网－中国最大高考学习网站 | 我们负责传递知识！第三节空间向量在立体几何中的应用

第一部分三年高考荟萃

2010年高考题

一、选择题

1.（2010全国卷2理）（11）与正方体1111ABCDABCD的三条棱AB、1CC、11AD所在直线的距离相等的点

（A）有且只有1个（B）有且只有2个

（C）有且只有3个（D）有无数个

【答案】D

【解析】直线上取一点，分别作垂直于于则分别作，垂足分别为M，N，Q，连PM，PN，PQ，由三垂线定理可得，PN⊥PM⊥；PQ⊥AB，由于正方体中各个表面、对等角全等，所以，∴PM=PN=PQ，即P到三条棱AB、CC1、A1D1.所在直线的距离相等所以有无穷多点满足条件，故选D.

2.（2010辽宁理）(12) (12)有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则a的取值范围是

(A)（0,62） (B)（1,22）

【答案】A

【命题立意】本题考查了学生的空间想象能力以及灵活运用知识解决数学问题的能力。

【解析】根据条件，四根长为2的直铁条与两根长为a的直铁条要组成三棱镜形的铁架，有以下两种情况：（1）地面是边长为2的正三角形，三条侧棱长为2，a，a，如图，此时a可以取最大值，可知AD=3，SD=21a，则有21a<2+3，即

高考学习网－中国最大高考学习网站 | 我们负责传递知识！ 22843(62)a，即有a<62

(2)构成三棱锥的两条对角线长为a，其他各边长为2，如图所示，此时a>0;

综上分析可知a∈（0,62）

3.（2010全国卷2文）（11）与正方体ABCD—A1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点

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