探索与规律基本方法
北师大版初一上册3.5《探索与表达规律》
北师大版初一上册3教材分析:探究规律是北师大版七年级数学上册第三章第五节，探究规律本身是数学课中比较抽象的一部分内容，学生需要积存一定的体会和差不多的探究方法才能够找到题目的规律，本章学习的整式及其加减正好用来表示这种规律，因此表达规律是整式应用专门好的范例，教材在本章安排了几种简单的规律探究问题，其目的要紧是让学生把握解决这类问题的差不多方法即：探究分析——归纳表示——验证结论，体会解决问题的差不多思想即：从专门到一样的思想。
教学目标：1.知识目标：会用代数式表示简单问题中的数量关系，能用合并同类项、去括号等法则验证所探究的规律。
2.能力目标：培养学生的观看能力、动手能力、创新能力以及交往协作能力，并提高其分析问题和解决问题的能力。
3.情感目标：让学生体会数学就在周围，激发学生的探究热情，体验数学活动的探干脆及制造性，培养学生实事求是的科学态度。
教学重难点：【教学重点】探究实际问题中蕴涵的关系和规律。
【教学难点】用字母、运算符号表示一样规律。
课前预备：见PPT教学过程：一、问题引入这是2021年3 月的日历，你能填空吗？【设计意图】通过简单的问题，学生快速回答从而获得对数字规律的直观体验，为用字母表示规律埋下伏笔。
二、合作探究1.学生探究活动项目单：（1）说一说日历中的数字排列有什么规律？（同一排或同一列）（2）若用一个方框任意框出九个数，这九个数字之间有什么数量关系？（3）用字母表示这种数量关系。
（4）这九个数的和与中间数有什么关系？（5）尝试使用较为简练的语言和同桌说一说你发觉的规律。
学生摸索、猜想、交流，个别学生展现。
应鼓舞学生大胆探究，积极发言。
(a-8)+(a-7)+(a-6)+(a-1)+a+(a+1)+(a+6)+(a+7)+(a+8) = __9a____可得到：蓝色方框中九个数之和=9×正中间的数。
进一步挑战：给出几个图形，如“十”字形、“H”形，“W”形，让学生以小组为单位对相应图形中数的规律进行探究，并用代数式表示验证规律，并分小组展现。
探索与表达规律
5 探索与表达规律1．规律探索 规律探索是数学中常见的类型之一，是指从已知的几个数据或几个图形中发现其中的数据变化情况，并用代数式表示出来．规律探索体现了从特殊到一般，再从一般到特殊的数学思想．探索规律的一般方法是：(1)观察：从具体的、实际的问题出发，观察各个数量的特点及相互之间的变化规律；(2)猜想：由此及彼，合理联想，大胆猜想；(3)归纳：善于类比，从不同的事物中发现其相似或相同点；(4)验证：总结规律，作出结论，并取特殊值验证结论的正确性．探索规律问题，要从给出的几个有限的数据着手，认真观察其中的变化规律，尝试猜想、归纳其规律，并取特殊值代入验证． 在探索规律的过程中，要善于变换思维方式，这样可收到事半功倍的效果．【例1】 观察下列数表：根据数表中所反映的规律，猜想第6行与第6列的交叉点上的数应为__________，第n 行(n 为正整数)与第n列的交叉点上的数应为________．解析：通过观察、分析、比较可知，第1行与第1列的交叉点上的数是1，第2行与第2列的交叉点上的数是3，第3行与第3列的交叉点上的数是5，第4行与第4列的交叉点上的数是7，…，所以可猜想第6行与第6列的交叉点上的数是11，第n 行(n 为正整数)与第n 列的交叉点上的数应为2n －1.答案：11 2n －12．探索规律的常见类型及方法(1)数字规律和代数式规律常见的几种数字规律形式：①②(2)新运算的规律 新运算是指用特定的符号表示与加、减、乘、除不相同的一种规定运算． 新运算的实质是有理数的几种混合运算，关键是观察出用到了哪些运算，要特别注意运算的顺序．(3)图形规律探索图形规律的实质是用字母表示数，即列代数式．要从不同的角度分析，可用去括号、合并同类项验证规律．【例2－1】 符号“§”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下：(1)§(1)＝0，§(2)＝1，§(3)＝2，§(4)＝3，… (2)§⎝⎛⎭⎫12＝2，§⎝⎛⎭⎫13＝3，§⎝⎛⎭⎫14＝4，§⎝⎛⎭⎫15＝5，… 利用上面的规律计算：§⎝⎛⎭⎫12 013－§(2 012)．分析：从(1)中的运算可以看出，当括号内的数是整数时，运算的结果等于括号内的数减去1，所以§(2 012)＝2011；从(2)中可以看出，当括号内的数是一个分子是1的分数时，运算的结果等于括号内那个数的倒数，所以§⎝⎛⎭⎫12 013＝2 013.解：§⎝⎛⎭⎫12 013－§(2 012)＝2 013－2 011＝2.【例2－2】 观察下列图形及图形所对应的算式，根据你发现的规律计算1＋8＋16＋24＋…＋8n (n 是正整数)的结果为( )．A ．(2n ＋1)2B ．(2n －1)2C ．(n ＋2)2D ．n 2解析：观察图形和下面的式子可以知道，1＋8＝1＋8×1＝9＝32,1＋8＋16＝1＋8×1＋8×2＝52,1＋8＋16＋24＝1＋8×1＋8×2＋8×3＝72，…，其规律是：计算的结果是连续奇数的平方，所以1＋8＋16＋24＋…＋8n ＝(2n ＋1)2.故选A.答案：A3．探索规律的应用常见的探索规律的应用：探索日历中的规律和折叠中的规律．(1)探索日历中的规律 在日历中一般我们可以从横行、竖列、斜列三个方向去寻找规律，当然也可以从其他角度去探索． ①横行：相邻两数相差1.如左下图所示：②竖列：相邻两数相差7.如右上图所示．③斜列：从左上到右下的斜列相邻两数相差8；从右上到左下的斜列相邻两数相差6.④日历中的3×3方框内的规律：在这9个方格中的数的和是中间方框中的数的9倍．若将中间数设为a ，则其余8个数可按规律如上图所示，则这9个数的和即为(a －8)＋(a －7)＋(a －6)＋(a －1)＋a ＋(a ＋1)＋(a ＋6)＋(a ＋7)＋(a ＋8)＝9a ，正好是中间数a 的9倍．(2)折叠中的规律 将一张纸折叠，每折叠一次就会得到纸的层数、折痕数，将这些数记录下来，找出规律，就可预测当折叠n 次后，相应的层数与折痕数．折叠次数：1,2,3,4,5，…，n .层数：2,4,8,16,32，…，2n .平行对折的折痕数：1,3,7,15,31，…，2n －1.____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________【例3－1】 2013年的元宵节是阳历2月24日，根据下面的日历，你知道春节和初夕分别是哪一天吗？请你填在下面的横线上：春节：2月__________日，除夕：2月__________日．解析：根据日历中竖列和横列的规律可以求出．如图，春节与元宵节在同一竖列中，根据竖列中相邻两数相差7，可知春节比元宵节少14，即24－14＝10，春节是10日，根据横列中相邻相差1的规律，可知除夕是9日．答案：10 9【例3－2】将连续的偶数2,4,6,8，…排列成如右图所示的数表．(1)“十”字框内5个数的和，与框内中间的数18有什么关系？(2)若将“十”字框上、下、左、右平移，框住另外5个数，这5个数还有这样的规律吗？(3)设中间的数为a，用代数式表示“十”字框内5个数之和．分析：观察对比可以发现：左右相邻两数相差2，上下相邻两数相差12.再换另一组数，同样有这样的规律．解：(1)6＋16＋18＋20＋30＝90，而90÷18＝5，所以框内5个数的和是框内中间的数18的5倍．(2)将框上、下、左、右平移，任意框住5个数，同样有这样的规律．(3)若中间的数为a，则框住的5个数分别为a－12，a－2，a，a＋2，a＋12，其中a为偶数，故它们的和为(a －12)＋(a－2)＋a＋(a＋2)＋(a＋12)＝5a.【例3－3】如果将一张长方形的纸，平行对折7次，展开后，会有__________条平行折痕，折痕会把这张长方形的纸分成__________个小长方形．解析：根据折叠中的规律：对折7次，即当n＝7时，平行折痕数为2n－1＝27－1＝127(条),1条折痕能把长方形分成2个小长方形，2条能分成3个，…，127条折痕则分成128个小长方形．答案：127 128。
北师大版七年级数学上册第三章整式及其加减探索与表达规律
运用代数式表示问题中的数量规律
日一二三四 五六
123 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31
日历中 每横行 相邻的 三个日 期数有 什么规
律？
日
一
二
三
四
五
六
1
2
3
4
5
日历中 竖列相
（2）这个关系对其它这样的方框成立吗？ 如果用a表示中间的数请你按前面找出的关系填出框中另外 的8个数。你能用代数式表示这个关系吗？
（3）这个关系对任何一个月的日历都成立吗？为什么？
活动六：思维延伸，发散拓展
在日历中,从其它区域上考察 还能发现哪些规律？ 星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 如: 十字型区1 域,2H型3区域4。 5
亲爱的同学们！
祝愿你们步入一个新的学习起点！ 你们越来越走近数学！ 走近数学—— 你们会发现生活中处处都有她的身影会发现许多令人
惊喜的东西。你们还会感到自己越来越聪明，越来 越有本领。 相信自己，我能学好数学！
今天你要学习什么呢？
学习目标：
1、经历探索数量关系、运用符号表示规律、通过运算验证规 律的过程，拥有一定的问题解决、课题研究、社会调查的经验 。 2、会用代数式表示简单问题中的数量关系，培养学生面对挑 战勇于克服困难的意志，鼓励学生大胆尝试，从中获得成功体 验，激发学生的学习热情
27 28 29 30 31
ab
c d 规律8：田字型a+d=b+c
将连续的奇数1,3,5,7，9….排成如下数表,
1 3 5 7 9 11
探索与表达规律教案
探索与表达规律一、教学目标：1、知识与技能经历由特殊到一般和由一般到特殊的过程，体会代数推理的特点和作用。
能用代数式表示并借助代数式运算验证所探索规律的一般性。
能用代数式表示并借助代数式运算解释具体问题中蕴含的一般规律或现象。
2、情感与价值观在小组合作，共同学习的课堂环境中，锻炼学生积极思考，勇于探索的科学实践精神。
并培养学生主动与人交流、合作的意识情感。
二、教学重点：能够发现具体情境中的数学规律并用适当的代数式表达发现的数学规律。
三、教学难点：能够用适当的代数式表达发现的数学规律。
四、教学资源：多媒体、PPt课件五、教学方法：教师指导下的小组互助学习六、教学过程：同学们，通过对代数式的学习，我们已经能够利用代数式表达具体的量之间的关系，以及利用代入法求出代数式的值。
在开始今天的新课之前，请同学们完成学案中的课前练习。
1、课前练习：观察规律并完成表格学生自主完成，举手回答。
教师引导验证规律学生小组内交流解题思路，然后举手回答。
教师作适当点评2、通过课前练习，我们发现：代数式可以反映生活中蕴含的数学规律。
大家都熟悉日历吧，你知道它蕴含有哪些数学规律吗？让我们一起来探寻吧例题:（1）请同学们观察2004年10月的日历，找出日历中每个横排，每个纵列之间相邻两数有什么特点？（2）若用黄色横排框出3个数字，你能借助发现的规律，用代数式表示这3个数字吗？想想，有几种表示方法。
（在课件中横排框出3个数，用字母表示出其中任意一个，学生回答另外两个）请分别用写出的代数式，求出横排3个数的和（学生举手回答结果）同学们求出的和有什么特点：（教师引导学生得出和是3的倍数）我们用字母表示哪一位置上的数，求和最简单（学生比较不同情况，得出结论。
）（3）若用黄色纵列框出3个数字，你能借助发现的规律，用代数式表示这3个数字吗？想想，有几种表示方法。
请分别用写出的代数式，求出纵列3个数的和同学们求出的和有什么特点：我们用字母表示哪一位置上的数，求和最简单（4）如果将方框变为蓝色区域的9个数，①用字母表示其中一个位置上的数，有多少种方法？②你怎样又快有准的求出它们的和。
北师大版数学七年级上册第三章第五节探索与表达规律
第三章第五节探索与表达规律一、基本知识点1.探究规律；2.计算二、基本方法数字探究；图形探究三、知识讲练【例1】图形题用棋子摆出下列一组图形：（1）（2）（3）图形编号 1 2 3 4 5 6图形中的棋子（2）照这样的方式摆下去，写出摆第个图形棋子的枚数；（3）如果某一图形共有99枚棋子，你知道它是第几个图形吗？〖针对练习1〗1.用同样大小的黑色棋子按图6所示的方式摆图形，按照这样的规律摆下去，则第n个图形需棋子枚（用含n的代数式表示）.…第1个图第2个图第3个图2. 下列每个图是由若干盆花组成的形如三角形的图案，按此规律写出第n个图形花盆的总数______________________；3. 下列每个图是由若干盆花组成的形如正方形的图案，按此规律写出第n个图形花盆的总数__________4. 下列每个图是由若干盆组成的形如三角形的图案，每条边（包括两个顶点）有n(n>1)盆花，每个图案花盆的总数是S，按此规律推断，花盆的总数S=______________________；5. 下列每个图是由若干盆组成的形如三角形的图案，每条边（包括两个顶点）有n(n>1)盆花，每个图案花盆的总数是S，按此规律推断，花盆的总数S=______________________；6. 下图中所有正方体的边长都是1. 例如第（1）个图形的表面积为6个平方单位，第（2）个图形的表面积为18个平方单位，第（3）个图形的表面积是36个平方单位。
依此规律。
则第（6）个图形的表面积个平方单位。
【例2】数字题1. 有若干个数，第1个数记为1a，第二个数记为2a，第三个数记为3a……，第n个记为na，若211-=a，从第二个数起，每个数都等于“1与它前面的那个数的差的倒数。
”（1）试计算__________,__________________,432===aaa（2）根据以上结果，请你写出___________1999=a，_______2001=a。
探索与表达规律2
十位数字和个位数字，那么这个两位
数可以表示为
，10则a+可b 得：
5（2a+3）+b=10a+b+15
规律：结果为原两位数与15的和.
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ห้องสมุดไป่ตู้
二、探索新知
1.任意写出一个两位数； 2.交换这个两位数的十位数字和个位数字， 又得到一个数； 3.求这两个数的和 .
这些和有什么规律？ 你们组能发现并验证这个规律吗？
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三、探索新知
要求： 1.请解决本节课最初的游戏问题； 2.以小组为单位，设计类似的数字游戏 并解释其中的道理 .
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四、归纳提炼
1.基本方法：
分析
表示
验证
2.基本思想：
特殊 一般
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五、扩展延伸
一个三位数能不能被3整除，只要看 这个数的各位数字的和能不能被3整除， 这是为什么？四位数能否被3整除是否也 有这样的规律？你还能得到哪些结论？
二、探索新知
小明：你在心里想好一个两位数，将十位数字乘 以2，然后加上3，再把所得新数乘以5，最后把得到 的新数加上个位数字，把你的结果告诉我，我就知道 你心里想的两位数. 小亮：怎么知道的呢？
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二、探索新知 要求：同桌两人分工进行.
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二、探索新知
如果用a、b分别表示一个两位数的
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随堂练习与问题解决
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谢谢各位， 再见！
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感谢您的观看！
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探索规律的方法
探索规律的方法有很多，以下是一些常见的方法：1. **观察法**：观察是思维的眼晴，是探索规律的重要方法。
通过观察数字、图形、变化过程等的变化，找出其中的规律。
2. **归纳法**：通过对一系列特殊事例的研究，归纳出一般性结论，是一种从特殊到一般的推理方法。
3. **类比法**：类比是将相似的事物进行比较，找出它们的共同点，从而推断出它们之间可能存在的其他关系。
类比可以用于不同事物之间的比较，也可以用于同一事物不同方面的比较。
4. **总结法**：通过对已经掌握的数据、信息、知识进行总结，归纳出其中的规律和趋势。
5. **实验法**：通过实验来验证规律的存在，例如通过数学实验来探索某些数学问题的规律。
6. **数形结合法**：通过数字和图形的结合来探索规律，数字和图形可以相互补充，帮助我们更好地理解规律。
在具体操作时，可以根据问题的特点选择合适的方法。
例如，如果问题是寻找一个数字序列的规律，那么观察法、归纳法和总结法可能比较适合。
如果问题是解决一个数学问题，需要运用数形结合的思想，那么数形结合法可能更有效。
同时，还可以结合使用多种方法，以提高解决问题的效率和质量。
此外，在探索规律的过程中，还需要注意一些问题：1. **准确性和严谨性**：在探索规律时，要确保数据的准确性和推理的严谨性，避免因为错误的数据或推理导致结论的错误。
2. **全面性和系统性**：要全面考虑问题，系统地分析数据和信息，不要遗漏任何可能的规律。
3. **耐心和毅力**：探索规律可能需要花费较长时间和精力，需要有足够的耐心和毅力。
4. **交流和协作**：在探索规律的过程中，需要与他人交流和协作，共享资源和信息，共同解决问题。
5. **不断试错和修正**：在探索规律的过程中，可能会遇到很多困难和挫折，需要不断试错和修正，不要轻易放弃。
总之，探索规律需要综合运用多种方法和技能，需要耐心、细致、全面地分析数据和信息，不断试错和修正，才能找到问题的答案。
探索规律问题题型及解题方法探究
n2 n2
１３、下列图案是由边长为单位长度的小正方形按一定的规律拼 41 接而成。依此规律，第5个图案中小正方形的个数为_________。
14、根据下列图形的排列规律，第2008个图形 是 （３）(填序号即可). (①；②；③；④.)
4、为庆祝“六一”儿童节，某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比 赛．如图所示：
按照上面的规律，摆n 个“金鱼”需要火柴棒的根数为（ A
）
A、2+6n ,B、8+6n , C、4+4n , D、8n
二、填空题
1、有一组数：1，2，5，10，17，26，……，请观察这组数的构 成规律，用你发现的规律确定第8个数为 50 ． 2、把正整数1，2，3，4，5，……，按如下规律排列： 1 2，3， 4，5，6，7， 8，9，10，11，12，13，14，15，
从第二项开始每一项与 前一项之比的常数为 , q a1q n1 用含a1 , q, n的代数式表示),如果这个 则an _______(
2、学习投影后，小明、小慧利用灯光下自己的影子长度来测量一 路灯的高度，并探究影子长度的变化规律。如图，在同一时间，身 高为1.6m的小明（AB）的影子BC长是3m，而小慧（EH）刚好在 路灯灯泡的正下方H点，并测得HB=6m。 （1）请在图中画出形成影子的光线，交确定路灯灯泡所在的位置 G； G （2）求路灯灯泡的垂直高度GH； 解：（2）由题意得： △ABC∽GHC
序号 周长 ① 6 ② 10 ③ 16 ④ 26
若按此规律继续作矩形，则序号为⑩的矩形周长是＿＿＿＿ 466 ＿＿＿。
7、如图6，∠AOB=450，过OA到点O的距离分别 为1，3，5，7，9，11，----的点作OA的垂线与OB 相交，得到并标出一组黑色梯形，它们的面积分别 为S1、S2、S3、S4--观察图中的规律，求出第10个黑色梯形的面积 76 S10=__________
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探索与规律求通式的基本方法
（一）标出序列号：找规律的题目，通常按照一定的顺序给出一系列量，要求我们根据这些已知的量找出一般规律。
找出的规律，通常包序列号。
所以，把变量
和序列号放在一起加以比较，就比较容易发现其中的奥秘。
看看每个数与序列号的关系。
如下例题。
例如，观察下列各式数：0，3，8，15，24，……。
试按此规律写出的第100个数是（），第n个数是（）。
那么这个题的规律就跟序列号有关系。
（二）公因式法：每位数分成最小公因式相乘，然后再找规律，看是不是与n,或2n、3n有关。
例如：1，9，25，49，（），（），的第n项为（）
（三）有的可对每位数同时减去第一位数，成为第二位开始的新数列，然后用（一）、（二）技巧找出每位数与位置的关系。
再在找出的规律上加上第一位数，
恢复到原来。
例：2、5、10、17、26、、、
（四）有的可对每位数同时加上，或乘以，或除以第一位数，成为新数列，然后，在再找出规律，并恢复到原来。
例：4,16,36,64，？，144,196，。
求问号处是多少，并写出通式。
（五）同技巧（四）、（五）一样，有的可对每位数同加、或减、或乘、
或除同一数（一般为1、2、3）。
当然，同时加、或减的可能性大一些，同时乘、或除的不太常见。
（六）观察一下，能否把一个数列的奇数位置与偶数位置分开成为两个数列，再分别找规律。
三、基本步骤1、先看增幅是否相等，如相等，用基本方法（一）解题。
2、如不相等，综合运用技巧（一）、（二）、（三）找规律
3、如不行，就运用技巧（四）、（五）、（六），变换成新数列，然后运用技巧（一）、（二）、（三）找出新数列的规律
4、最后，如增幅以同等幅度增加，则用用基本方法（二）解题。