2020最新高考数学模拟预测试题含答案

2020高考虽然延迟，但是练习一定要跟上，加油，孩子们！第Ⅰ卷(选择题 , 共60分)一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1） 直线x + 3y －7= 0和kx －y －2 = 0与x 轴、y 轴的正半轴所围成的四边形有外接圆 , 则k 为( )（A ） －3 ( B ) 6 ( C ) －6 ( D ) 3（2）已知tan(3π-α) = 21，tan(3π-β) = 31，则tan （α-β）等于( )（A ）71 （B ）-71（C ）65 （D ）-65 （3）设i 、j 是不共线的单位向量，若a = 5i +3j ，b = 3i -5j , 则a ⊥b 是i ⊥j 的 ( )（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既非充分又非必要条件（4）已知平面α与平面β相交，直线m ⊥α , 则 ( )（A ）β内必存在直线与m 平行，且存在直线与m 垂直（B ）β内不一定存在直线与m 平行，也不一定存在直线与m 垂直 （C ）β内不一定存在直线与m 平行，但必存在直线与m 垂直 （D ）β内必存在直线与m 平行，但不一定存在直线与m 垂直（5）设函数f(x) = 3ax+1-2a ，在区间（-1，1）上存在0x ，使f(x 0) = 0 ，则实数a 的取值范围是 ( )（A ）-1＜a ＜51 （B ）a ＞51 （C ）a ＞51或a ＜-1 （D ）a ＜（6）复数Z 满足22=-i z ，则 iz 2+的取值范围是( )（A ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡2521， （B ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡2723， （C ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡2211， （D ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡2212， （7） 椭圆122=+by a x （a> b >0） 有内接正n 边形 ，则n 的可能值是( )（A ） 4 （B ） 3，4 （C ） 3，4，5 （D ） 3，4，6（8）设一个正多面体的面数为F ，顶点数为V ，若F + V = 8，且它的各条棱长都等于4，则这一多面体的外接球的球面面积是 （ ）（A ）12π （B ）24π （C ）16π （D ）28π（9）数列{a n }中，a 1 = 1 , 且a n+1 = a n +n a +41，则a 99等于 ( )（A ）2004 （B ）2005 （C ）2400 （D ）2500（10）曲线C 与函数 y = 2x -3 的图象关于直线 l : y = x 对称 ，则曲线 C 与l的一个交点的横坐标属于区间( )（A ）（-2，-1） （B ）（2，3） （C ）（1，2） （D ）（-1，0）（11）用四种不同颜色给一正方体的六个表面涂色，相邻两面涂不同颜色，则共有涂色方法有 ( )（A ）24种 （B ）72种 （C ）96种 （D ）48（12）在曲线y = x 3 + x – 2的切线中，与直线4x –y = 1平行的切线方程是 （ ）（A ）4x –y = 0 （B ）4x –y – 4 = 0 （C ）2x –y – 2 = 0 （D ）4x –y – 4 = 0 或 4x –y = 0第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，将答案填写在题中的横线上（13）设集合A={5，log 2(a+3)},集合B={a ，b}，若A ∩B={2}，则A ∪B = ________________. （14）若不等式1-x ax＜1的解集为{x|x ＜1或x ＞2＝，则实数a 的值为________________.（15）曲线31y x x =++在点(1,3)处的切线方程是（16） 双曲线116922=-y x 的两个焦点为21,F F , P 是此双曲线上一点，若PF 1⊥PF 2 , 则点P 到x 轴的距离为_______________.三、解答题：本大题共6小题,共74分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤（17）（本小题满分12分）是否存在常数c ，使得不等式2222x y x y c x y x y x y x y+≤≤+++++对任意正数y x ,恒成立 , 试证明你的结论。

（18）（本小题满分12分）在ABC ∆中，A 、B 、C 分别为三个内角，a 、b 、c 分别为其对边，ABC ∆外接圆半径为22，已知22()()B b a C A sin sin sin 22-=-；（Ⅰ）求角C ;（Ⅱ）求ABC ∆面积S 的最大值 . （19）（本小题满分12分）已知正项数列{a n }和{b n }中，a 1 = a ,(0＜a ＜1＝,b 1=1-a,当n ≥2且n ∈*N 时，a n = a n-1b n , b n =2111---n n a b , （Ⅰ）证明：对任意n ∈*N ，都有a n + b n = 1 （Ⅱ）求数列 {a n } 的通项公式（Ⅲ）设C n = a 2n ·b n+1 , S n 为数列 {C n } 的前n 项和，求∞→n lim S n 的值（20）（本小题满分12分）如图，已知四棱锥P-ABCD 中，面ABCD 为正方形，PA ⊥面ABCD ，且PA = AB = a ,点M 是PC 的中点,（Ⅰ）求异面直线BP 与MD 所成角的大小； （Ⅱ）求二面角M-DA-C 的大小.（21）（本小题满分12分）已知直线l ：65280x y --=与椭圆C ：22221(0x y a b a b+=>>，且b 为整数）交于M 、N 两点，B 为椭圆C 短轴的上端点，若ΔMBN 的重心恰为椭圆焦点F ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设椭圆C 的左焦点为F ’，问在椭圆C 上是否存在一点P ，使得∠F ’PF = 60° ,证明你的结论．（Ⅲ）是否存在斜率不为零的直线l ，使椭圆C 与直线l 相交于不同的两点R 、S ，且 |BR| = |BS|，如果存在，求直线l 在y 轴上截距的取值范围；如果不存在，请说明理由． （22）(本小题满分14分) 设x 1、x 2是函数f(x) = 3a x 3+2b x 2-a 2x (a ＞0) 的两个极值点，且|x 1|+|x 2| = 2（Ⅰ）证明：0＜a ≤1 ; （Ⅱ）证明：b ≤934 ; （Ⅲ）若函数h(x) = f ′(x)-2a(x-x 1),证明：当x 1＜x ＜2且x 1＜0时，|h(x)|≤4a . 参考答案1、D2、B3、C4、C5、C6、B7、B8、B9、D 10、B 11、C 12、D13、{1，2，5} 14、21 15、4x - y – 1 = 0 16、516 . 17 证明：当x y=时，可由已知不等式得出2.3c =4分下面分两方面给出证明． 先证3222≤+++y x y y x x ，因为x 、y 为正数 ，所以3222≤+++y x y y x x 3(2)3(2)2(2)(2)x x y y x y x y x y ⇔+++≤++222,xy x y ⇔≤+这是显然成立的． 8分再证2,223x y x y x y +≥++ 因为x 、y 为正数，所以 3222≥+++y x y y x x 3(2)3(2)2(2)(2)x x y y x y x y x y ⇔+++≤++222,x y xy ⇔+≥这是显然成立的．综上可知，存在常数2,3c =使对任何正数,y x 、 题中的不等式恒成立． 12分18 解：（Ⅰ）因为ABC ∆外接圆半径为22，由已知等式和正弦定理得：()b b a c a -=-22，可化为222c ab b a =-+，结合余弦定理得：C ab ab cos 2=，所以21cos =C ，又π<<C 0，因此3π=C .6分（Ⅱ）由3π=C 得32π=+B A ，所以()B A abC ab S sin sin 224343sin 212=== = ()()[]()B A B A B A B A -+=--+-=cos 323cos cos 3sin sin 32. 因此当3π==B A 时，233323max =+=S . 12分19 解：（Ⅰ）用数学归纳法证明①当n =1时，a 1 + b 1 = a + (1-a) = 1 , 命题成立；②假设当n = k (k ∈*N )时命题成立，即a k + b k = 1 , 则当n = k+1时， a k+1+b k+1 = a k ·b k+1+b k+1 = b k+1(1+a k ) = 21)1(k k k a a b -+ = k k a b -1 = kkb b = 1 ∴ 当n = k+1时，命题也成立; 综合①②知a n +b n =1对n ∈*N 恒成立4分（Ⅱ）∵ a n+1 = a n ·b n+1 = a n ·21n n a b - = 21)1(n n n a a a -- =nna a +1, ∴11+n a =nn a a +1 =n a 1+1 即11+n a -n a 1= 1 （*）∴ 数列{n a 1}是公差为1的等差数列，其首项是11a =a 1∴ n a 1 = a1+ (n-1)×1,从而a n=an a)1(1-+8分（Ⅲ）∵ C n = 12+n n b a = a n (a n b n+1 ) = a n ·a n+1 ,, ( *) 式变形为a n ·a n+1 = a n - a n+1 , ∴ C n = a n - a n+1∴ S n = C 1 + C 2 + … + C n = ( a 1 - a 2 ) + ( a 2 - a 3 ) + … + ( a n - a n+1 ) = a 1 - a n+1 = a - naa+1 , ∴∞→n limS n=∞→n lim(a-naa +1) = a12分20解法一：以AB 为x 轴 ，AD 为y 轴 ，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系 ，由已知得： A （0，0，0）, B （a , 0 , 0）, C( a , a , 0 ) , D( 0 , a , 0 ) , P( 0 , 0 , a ) , 则PC 的中点M 的坐标为（2a ，2a, 2a）,于是有： 4分（Ⅰ）设直线PB 与DM 所成的角为θ , ∵BP =（-a , 0 , a ）, DM = (2a , -2a , 2a ) ∴PB ·DA = 0 ，∴直线PB 与DM 所成的角为90° , 8分（Ⅱ） ∵AP =（0，0，a ）= (a , 0 , 0) , AD= (0 , a , 0) ,∴PB ·DA = 0 ，AP ·AD = 0 , ∴ BP 与AP 的夹角为所求的二面角 ,10分设BP 与AP 的夹角为φ,则cos φ = BPAP =22,故二面角M-DA-C 的大小为45o . 12分解法二：（Ⅰ）取BC 的中点N ，连接MN 、ND ，则∠NMD 就是异面直线BP 与MD 所成的角（或其补角）,由PA ⊥面ABCD 且PA = AB = a , ∴PB = PD = AC = -2a , PC =3a , 又M 是PC 的中点 ， ∴ MN =22a , MD = 23a , ND =22CD NC = 25a , 因此 NM 2 + MD 2 = ND 2 , ∴ ∠MND = 90° .即异面直线BP与MD所成的角为90°6分（Ⅱ）取AC 的中点O ，连接MO ，则OM ∥AP ∵AP ⊥面ABCD ， ∴OM ⊥面ABCD过O 作OR ⊥AD 交AD 于R ，连MR ，则∠MRO 就是二面角M-DA-C 的平面角，∴OM =21AP =21a , OR = 21CD = 21a,∴∠MRO = 45°,即二面角M-DA-C 的大小为45° 12分21解：（Ⅰ）设M 、N 两点的坐标分别为11(,)x y 、22(,)x y ，依题意有12123(x x c c y y b +==+=-，由于M 、N 为直线与椭圆的交点，∴12126()5()560x x y y +-+-=，即18c ＋5b ＝ 56 ① 又222221212220,52x x y y bc a a b--+=∴= ②由①、②求得：4,2a b c ===，∴椭圆C 的方程为2212016x y +=． 4分（Ⅱ） 由（1）知F ’与F 的坐标分别为（－2,0） 、（2,0） ，设P 是椭圆C 上任意一点，且|'|,||PF m PF n ==，若'60F PF ∠=︒，利用余弦定理及椭圆的定义可得m 、n 为方程26403x -+=的两实根,而此方程无实根 , 所以满足条件的P 点不存在． 8分（Ⅲ）假设满足条件的直线l 存在，设直线l 的方程为y kx m =+，把y kx m=+代入椭圆方程并整理得：222(45)105800k x kmx m +++-=，则Δ＞0，∴222016m k <+①设00(,)P x y 为RS 的中点，则0002254,,5454km mx y kx m k k =-=+=++ ∴2204165BP k m k km -+=，又||||,BR BS RS BP =∴⊥∴1BP k k=-，即22016m k =--，②由①、②得10m -<<，又2160,1620m k m --=>∴<-，矛盾，故满足条件的直线l 不存在.12分22 解：（Ⅰ） f ′(x) = ax 2- bx - a 2 , ∵ x 1 , x 2 是f(x)的两个极值点，∴x 1、x 2是方程f ′(x) = 0的两个实数根∵a ＞0,x 1·x 2 = -a ＜0 ， x 1 + x 2 = -ab ，∴ | x 1 | + | x 2 | = | x 1-x 2 |=a ab 422+ ，∵| x 1 | + | x 2 | = 2 , ∴ 22ab + 4a = 4 , 即b 2 = 4a 2-4a 3 ，由b 2≥0 得4a 2-4a 3≥0 , ∴0＜a ≤1 4分（Ⅱ）令 g(a) = 4a 2-4a 3 , 则g ′(a) = 8a-12a 2 = 4a ( 2-3a ) 由g ′(a)＞0⇒ 0＜a ＜32 , g ′(a)＜0⇒32＜a ≤1故g(a)在区间（0，32）上是增函数，在区间（32，1）上是减函数， ∴g(a)m ax= g(32) =2716 ，∴ | b |≤934 8分（Ⅲ）∵x 1、x 2是方程f ′(x) = 0的两根，∴ f ′(x) = a(x-x 1)(x-x 2) ，∴ h(x) = a(x-x 1)(x-x 2)-2a(x-x 1)= a ( x-x 1 )( x-x 2-2 )，∴| h(x) | = a | x-x 1| | x-x 2-2 |≤a(2221--+-x x x x )2∵x ＞x 1 , ∴ | x-x 1 | = x-x 1 ,又 x 1＜0 , x 1x 2＜0 , ∴ x 2＞0 ，∴ x 2 + 2＞2 ,∵ x ＜2 , 故x-x 2 -2＜0 ，∴| x-x 1 | + | x-x 2-2 | = x-x 1 + x 2 + 2-x = x 2 - x 1 + 2 = | x 1 | + | x 2 | + 2 = 4 ，∴| h(x) |≤4a . 14分。