线性代数2.4可逆矩阵
可逆矩阵求法
可逆矩阵求法可逆矩阵是线性代数中一个非常重要的概念，它在求解线性方程组和研究线性变换等方面有着广泛的应用。
本文将从可逆矩阵的定义、性质和求解方法三个方面进行介绍。
一、可逆矩阵的定义可逆矩阵是指一个方阵，如果它的行列式不为零，则称这个矩阵是可逆的。
也就是说，如果一个矩阵能够通过初等行变换或者初等列变换，化成一个单位矩阵，则称它是可逆的。
二、可逆矩阵的性质1. 可逆矩阵的逆矩阵是唯一的。
2. 若矩阵A、B都是可逆的，则AB也是可逆的，并且(AB)的逆等于B的逆乘以A的逆，即(AB)^-1 = B^-1A^-1。
3. 若矩阵A是可逆的，则A的转置矩阵也是可逆的，且(A^T)^-1 = (A^-1)^T。
4. 若矩阵A是可逆的，则A的行列式不为零。
5. 若矩阵A是可逆的，则A的每一行和每一列都是线性无关的。
三、可逆矩阵的求解方法1. 行列式法行列式法是一种求解可逆矩阵的方法，它基于一个定理：如果一个n阶矩阵的行列式不为零，则这个矩阵是可逆的。
因此，我们可以通过计算矩阵的行列式来判断它是否可逆。
2. 初等矩阵法初等矩阵法是一种求解可逆矩阵的方法，它利用了初等矩阵的性质：对于任意一个可逆矩阵A，我们可以通过一系列的初等变换将它化成一个单位矩阵，这样的变换可以表示成A = E1E2...En，其中Ei 表示一个初等矩阵。
因此，我们可以通过对单位矩阵进行相应的初等变换，得到原矩阵的逆矩阵。
3. 矩阵分块法矩阵分块法是一种求解可逆矩阵的方法，它可以将一个大的矩阵分成若干个小的矩阵，从而简化计算。
具体来说，我们可以将一个可逆矩阵表示成如下形式：A = [A11 A12][A21 A22]其中A11和A22都是方阵，且A11和A22都是可逆的。
那么，我们就可以通过矩阵的初等变换将A11和A22分别化成单位矩阵，从而得到原矩阵的逆矩阵。
可逆矩阵在线性代数中有着非常重要的地位，它不仅是求解线性方程组的重要工具，也是研究线性变换的基础。
大学线性代数课件第三章第一节可逆矩阵
假设有两个不同的逆矩阵$B$和$C$，则有$AB = BA = I$和$AC = CA = I$。由此可得$(B - C)A = 0$和 $A(B - C) = 0$，从而推出$(B - C)$是零矩阵，即$B = C$。
逆矩阵与原矩阵的关系
逆矩阵的性质
如果矩阵$A$是可逆的，那么它的逆矩阵和原矩阵满足关系式 $AA^{-1} = A^{-1}A = I$。
分解方法
常见的矩阵分解方法包括QR 分解、LU分解、SVD分解等， 这些方法都利用了可逆矩阵的 性质。
应用场景
在数值分析、计算物理等领域 中，矩阵分解是非常重要的计 算工具，可逆矩阵的应用为这 些领域提供了强大的支持。
特征值和特征向量的计算
特征值和特征向量
可逆矩阵可以用于计算特征值和 特征向量，这些数值在许多领域 中都有重要的应用。
p;3 1&2 end{bmatrix} $$
习题
判断矩阵B是否可逆，如果可逆，求其逆矩阵。
$$ B = begin{bmatrix}
习题
4 & -3 1&2 end{bmatrix} $$
答案与解析
矩阵A的行列式值为
$ |A| = 2*2 - 3*1 = 1 neq 0 $，因此矩阵A是可逆的。
矩阵A的逆矩阵为
$ A^{-1} = frac{1}{2} begin{bmatrix}
答案与解析
2 & -3
end{bmatrix} $。 1&2
01
03 02
答案与解析
矩阵B的行列式值为
$ |B| = 4*2 - (-3)*(-1) = 5 neq 0 $，因此矩 阵B是可逆的。
2.4逆矩阵
0 0 3
− 3 −1 , B2 1
1 0 = 0
B
0 0 1 0 0 0 0
3 = −1
0 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0 0 1 3 0 0
− 5 2
0 0 0 0 0 3 −1
所以
0 0 0 0 0 − 5 2
* *
n
∴A · A =
*
A
n
A* = A 当A ≠ 0 ， 时
n−1
例2
1 A = 求 ( 2 A)−1 − 5 A* 阶矩阵， 设A为3阶矩阵， 为 阶矩阵 2
这是抽象矩阵求行列式的问题。 分析 这是抽象矩阵求行列式的问题。注意矩阵行列式满足的运算 规律以及矩阵之间的一些关系。 规律以及矩阵之间的一些关系。
1. 重要的结论
A1 A2 (1) O An
−1
=
A1−1
− A2 1
O −1 An
A1 A2 ( 2) N A n
−1
− An 1 N = − A2 1 −1 A 1
−1
=
1
λ
A−1.
证
要证矩阵 B为 A 的可逆矩阵 , 由定义只须验证 AB = E . 1 1 −1 (2 ) 因 (λ A )( A ) = (λ ) ( AA − 1 ) = E . λ λ 1 −1 故 ( λ A ) 可逆 , 且 ( λ A ) = A −1 λ
( 3 ) 因 ( AB ) ( B
= A 0 M 0 0 L 0 A L 0 = A I . 同理可得 A * A = A I . M M 0 L A
矩阵求逆的方法
前言矩阵理论在《线性代数》课程中有着重要的地位,矩阵和数相仿可以运算,特别是乘法和数一样有逆运算,其定义为:对于 n 阶方阵 A,如果存在 n 个阶段 B 使得 AB=BA=E,则 n 个阶方阵 A 为可逆的,B 为 A 的逆矩阵。
掌握好求逆矩阵的方法对线性方程组、二次型、线性变换等问题的解决有很大帮助。
关于矩阵求逆问题,不同的《线性代数》教材介绍了不同的方法。
下面对求逆矩阵方法进行全面论述,并做一步探讨。
1矩阵求逆常见的几种方法 1.1 用伴随矩阵法求逆矩定理1.1.1：n 阶矩阵)(ij a A =可逆的充要条件0≠A ，而且当)2(≥n 阶矩阵A 有逆矩阵，*-=A AA 11，其中*A 伴随矩阵。
例1 矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=412112013A 是否可逆？若可逆，求1-A 解：A A ∴≠=05可逆又511=A ，421=A ，3131=A ，1012=A ，1222=A ，332-=A ，013=A ，123=A ，133=A∴*-=A AA 11 例 2 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=543022001A ，*A 是A 的伴随矩阵，求()1-*A 解：1-*=A A A ，又()kB kB 11--=， 所以()()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡====---*5430220011011011111A A A AA A且有规律可循。
对于三阶以上方阵用该方法逆矩阵,不仅计算量大且易出错,一般不用此种方法。
对求出逆矩阵正确与否,一般用E AA A A ==--11来检验是否正确。
1.2 用初等变换法求逆矩阵定理 1.2.1 如果n 阶方阵A 可逆，则存在有限个初等矩阵，l P P P 21,使得l P P P A 21=。
如果A 可逆，则1-A 也可逆，由上述定理， 存在初等矩阵l Q Q Q ,,,21 使得l Q Q Q A 211=-那么A A AA E 11--== 即A Q Q Q E l 21= E Q Q Q A l 211=-于是我们得到一个求逆矩阵的方法如下：如果n 阶方阵A 可逆，作一个n n 2⨯的矩阵E A ，然后对此矩阵施以初等行换，使A 化为单位矩阵E 同时化为1-A ，即：E A 1-−−−→−A E 初等行变换例1 用初等行变换求矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=521310132A 的逆矩阵解：=E A →⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001010100132310521100010001521310132 →⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--201010100910310521211010100600310521⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--→316161100123210103461361001316161100010310100521 故⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=-3161611232134613611A 同理，如果n 阶矩阵A 可逆，作一个n n ⨯2的矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡E A ，然后此矩阵施以初等变换，使矩阵A 化为单位阵E ，则同时E 化为1-A ，即⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−−→−⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1A E E A 初等列变换。
线性代数 2-4 可逆矩阵的逆矩阵
2a c 1, 2b d 0 , a 0, b 1,
又因为
a 0, b 1, c 1, d 2.
AB
BA
2 1 0 1 0 1 2 1 1 0 , 1 0 1 2 1 2 1 0 0 1
所以
0 1 A .. 1 2
1
定理2.3 矩阵 A 可逆的充要条件是 1 1 A A , A
其中A为矩阵A的伴随矩阵.
A 0 ，且
证明 若 A 可逆， 即有A1使AA 1 E .
故 A A1 E 1,
所以 A 0. .
当 A 0时,
例5 证明:若A是可逆的反对称,则 A 1也是反对称矩阵。 证明 因为
( A1 )T ( AT )1 ( A)1 A1 ,
所以 A 是反对称矩阵。
1
同理可以证明:可逆的对称矩阵的逆矩阵也是对称矩阵。 .
例
设A,B均为n阶可逆矩阵,证明:
(1)
( AB ) B A ;
2.4 可逆矩阵的逆矩阵
一、概念的引入
在数的运算中，当数 a 0 时， 有
aa a a 1,
其中 a 1 1 为 a 的倒数， （或称 a 的逆）； a 在矩阵的运算中， 单位阵 E相当于数的乘法运算中 的1， 那么，对于矩阵 A ， 如果存在一个矩阵A1, 使得
1
1
AA1 A1 A E ,
a11 a12 a1n A11 A21 An1 a a22 a2 n A12 A22 An 2 21 AA a A a A a A A 11 12 1 1n 11 12 n a a a A A A n1A n a A nn n a 2 nA A 1 2 nn a
可逆矩阵知识点总结
可逆矩阵知识点总结一、可逆矩阵的定义可逆矩阵是指一个方阵A，如果存在另一个方阵B，使得AB=BA=I，其中I为单位矩阵，那么我们称A是可逆的，B就是A的逆矩阵，记作A^-1。
换句话说，如果一个n阶方阵A的行列式det(A)不等于零，则该矩阵A是可逆的，即存在一个n阶矩阵B，使得AB=BA=I。
我们知道，单位矩阵I是一个对角线上元素均为1，其余元素均为0的n阶方阵。
二、可逆矩阵的性质1. 可逆矩阵的逆矩阵是唯一的在可逆矩阵中，如果存在逆矩阵B，那么逆矩阵是唯一的。
这是因为假设还有一个逆矩阵B'也满足AB'=B'A=I，那么可以证明B=B'。
这个性质在证明逆矩阵的存在时非常重要。
2. 可逆矩阵的转置矩阵也是可逆的如果一个矩阵A是可逆的，那么它的转置矩阵A^T也是可逆的，并且(A^T)^-1 = (A^-1)^T。
3. 可逆矩阵的逆矩阵也是可逆的如果一个矩阵A是可逆的，那么它的逆矩阵A^-1也是可逆的，而且(A^-1)^-1=A。
4. 可逆矩阵的乘积是可逆的如果两个矩阵A和B都是可逆的，那么它们的乘积AB也是可逆的，且(AB)^-1=B^-1A^-1。
5. 可逆矩阵的逆矩阵的逆矩阵还是它本身如果一个矩阵A是可逆的，那么它的逆矩阵A^-1的逆矩阵还是它本身，即(A^-1)^-1=A。
6. 可逆矩阵的乘法满足结合律如果三个矩阵A、B、C都是可逆的，那么它们的乘法满足结合律，即(AB)C=A(BC)。
三、可逆矩阵的判定定理在求解一个矩阵是否可逆时，我们需要有一个判定的定理，这就是可逆矩阵的判定定理。
1. 矩阵可逆的判定公式对于一个n阶方阵A，它的行列式不等于0，即det(A)≠0，则矩阵A可逆。
这是最基本的判定定理，也是我们最常用的方法。
2. 矩阵可逆的充分必要条件对于一个n阶方阵A，它的行列式不等于0，则矩阵A可逆。
反之，如果一个n阶方阵A可逆，则其行列式也不等于0。
3. 矩阵可逆的另一种判定法对于一个n阶方阵A，如果它的秩等于n，则矩阵A可逆。
2.4矩阵的逆
−1
= −4 E
故A+2E可逆,
1 （ A + 2 E ） = ( 3 E − A) 4
−1
此题也可以用待定系数法： ( A + 2 E )( A + aE ) = bE
乘开： A + ( a + 2) A + ( 2a − b) E = 0
2
与已知等式比较，有 a + 2 = −1
2 a − b = −2
ad − cb ≠ 0
2 1 A= 1 2
1 2 B= − 1 4
例 5.求 A
−1
1 −1 3 A = 2 −1 4 − 1 2 − 4
x1 − x2 + 3x3 = 1 例 6.解方程 2x1 − x2 + 4x3 = 0 − x + 2x − 4x = −1 2 3 1
∴A 是非奇异的
(⇐ QA是非奇异的， 由(**)式知 A 可逆，且 A−1 = A* / A )
推论 1 设 A、B 均为 n 阶矩阵，如果 AB=E，则 A、B 均可逆， 且A
−1
= B, B −1 = A 。
a b 例 3. 求矩阵 A 的逆矩阵 A = c d
例 4.解矩阵方程:AX = B
定义214的所有元素的代数余子式构成的n阶矩阵22122111称为a的伴随矩阵记作的代数余子式ij代替元素ij2212211122211211nnnn22222121122211212212211112121111阶矩阵a可逆均为n阶矩阵如果abe则ab均可逆求矩阵a的逆矩阵cbad对角线的元素均不为0用伴随矩阵求逆矩阵计算量比较大尤其是手工计算但在理论上它是一个完美的公式更为实用的计算方法以后讨论
可逆线性变换与可逆矩阵的性质与判定
可逆线性变换与可逆矩阵的性质与判定可逆线性变换与可逆矩阵在线性代数中占据重要地位。
它们在矩阵变换、线性方程组求解以及向量空间中的运算中都具有重要的应用。
本文将介绍可逆线性变换与可逆矩阵的性质与判定方法。
一、可逆线性变换的定义与性质可逆线性变换是指线性变换中存在逆变换的一类特殊变换。
对于线性变换T: V → W，如果存在另一个线性变换T'：W → V满足T'T = I （恒等变换），即T'是T的逆变换，则称T为可逆线性变换，T'为T的逆变换。
1.1 可逆性质：可逆线性变换具有以下性质：- 存在唯一性：当且仅当可逆线性变换T的逆变换T'存在且唯一时，T才是可逆的。
- 逆变换的可逆性：若T是可逆的，则T'也是可逆的，并且(T')^-1 = T。
- 双射性质：可逆线性变换是双射的，即对于任意w ∈ W，存在唯一的v ∈ V，使得T(v) = w。
- 保持线性运算：可逆线性变换保持线性运算，即对于任意v1, v2∈ V和k ∈ R（实数域）或C（复数域），有T(v1 + v2) = T(v1) +T(v2)和T(kv1) = kT(v1)。
针对给定的线性变换T: V → W，判定其可逆性，可以通过以下方法进行：- 零空间法：如果T的零空间只包括零向量，即ker(T) = {0}，则T是可逆的。
- 值域法：如果T的值域等于整个目标空间W，即range(T) = W，则T是可逆的。
二、可逆矩阵的定义与性质可逆矩阵是指方阵中存在逆矩阵的一类特殊矩阵。
对于n阶矩阵A，如果存在另一个n阶矩阵B满足AB = BA = I，即B是A的逆矩阵，则称A为可逆矩阵，B为A的逆矩阵。
2.1 可逆性质：可逆矩阵具有以下性质：- 存在唯一性：当且仅当矩阵A的逆矩阵存在且唯一时，A才是可逆的。
- 逆矩阵的性质：若A是可逆的，则其逆矩阵A^-1也是可逆的，并且(A^-1)^-1 = A。
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= O + 4E = 4E 所以
A
1 4
(A
−
3E )
=
E
所以
A 可逆，且
A−1 =
1 (A − 3E)
4
。
（2）因为 (A- 2E)(A − E) = A(A − E)− 2E(A − E) = A2 − A − 2A + 2E
= A2 − 3A − 4E + 6E = O + 6E = 6E
所以 (A- 2E)16 (A − E) = E 也就是 A - 2E 可逆，且 (A - 2E)−1= 1 (A − E)
( ) ( ) 求（1） A∗ （2） A-1 （3） A∗ -1 （4） A∗ ∗
解：（1）因为
21 0
A = 0 1 -3 =2
20 4
又
AA∗ = A∗A = A E
等号各边取行列式有 AA∗ = A E ，
所以 A A∗ = A 3 E = A 3 得到 A∗ = A 2 = 22 = 4
（对于n阶方阵 A ，我们有 关系式 A∗ = A n−1 ）
所以 E − A 可逆，且 (E − )A −1 = E + A + A2 ++ An−1 。
例5 已知 A2 − 3A − 4E = O
证明（1）A 可逆 ，并求 A−（1 2）A - 2E 可逆，并求 (A - 2E)−1 证（1）因为 A(A − 3E) = A2 − 3A= A2 − 3A − 4E + 4E
A31= (−1)3+111 -03 = −3
A32
=
(−
)1 3+2
2 0
−03 = 6
A33
=
(−
1)3+3
2 0
11 = 2
A−1 =
1 A∗= A
1 A11
A
A12 A13
A21 A22 A23
A31 A32 A33
=
1 2
4 −6 −2
−4 8 2
− 3 2 6 =−3 2 −1
三 逆矩阵的性质
性质1、若 A 可逆，则其逆矩阵唯一。
证：设 B ，C 均为 A 的逆矩阵
则有 AB = BA = E AC = CA = E
所以 B = BE = B(AC) = (BA)C = EC = C
证毕。
由此性质若 A 可逆，则 A−1 代表着唯一一个矩阵。
( ) 性质2 若 A 可逆，则其逆矩阵也可逆，且 A−1 −1 = A 。
积是单位矩阵。
由数字运算得到启发
( ) (E − A) E + A + A2 ++ An−1 ( ) ( ) = E E + A + A2 ++ An−1 − A E + A + A2 ++ An−1 ( ) = E + A + A2 + + An−1 − A + A2 + A3 + An
= E − An = E
2
- 6
2 0 4 4 0 8
例2
对于 A = ac
b d
a ，已知 A =
c
b ≠0
d
求
A−1
解：
A−1 =
1 A
A∗ =
1 A
A11 A12
A21 A22
=
ad
1 −
bc
d −c
− b d
这个结果可以当成公式来记，2阶方阵的逆矩阵等于其行列 式的倒数乘以一个2阶矩阵，矩阵是原矩阵主对角线元素互 换，其它元素取相反数。
( ) ( ) 且 An −1 = A−1 n （n为正整数）
这个性质告诉我们幂运算与逆运算的顺序可以交换。
性质5 若 A 可逆，数 k ≠ 0 ,则 kA 可逆，且 (kA)−1 = k −1A−1 .
证: 因为 AA−1 = A−1A = E
所以 (kA) 1 A−1 = 1 A−1 (kA) = E
（2）因为 A = 2 ≠ 0 ，所以 A 可逆。
A11
=
(−
)1 1+1
1 0
−43 = 4
A12=
(−
)1 1+2
0 2
−43 = −6
A13
=
(−
)1 1+3
0 2
10 = −2
A21
=
(−
1)2+1
1 0
40 = −4
A22
=
(−
)1 2+2
2 2
0 4
=
8
A23
=
(−
)1 2+3
2 2
10 = 2
−2 4 1
− 1.5 3 1
（再次提醒代数余子式放置的位置。）
（3）因为
1 AA∗ = 1 A∗ A = E
A
A
所以
1 A
A A∗
=
A∗
1 A
A =
E
( ) 也就是
A∗ -1 =
1 A
A
=
1 2
2 0 2
1 1 0
0 1 - 3= 0 4 1
0.5 0.5 0
0 − 1.5
2
且 A 可逆时有 A−1 = 1 A∗ 。 A
证：先证 “⇒”设 A 可逆，则存在存在方阵 B 使得 AB = BA = E 成立
有 AB = E = 1 ， A B = 1 所以 A ≠ 0
再证 “⇐”令 A ≠ 0 ，
由引理
AA∗ = A∗A = A E
有
1 AA∗ = 1 A∗A = 1 A E
二 逆矩阵的求法
1、伴随矩阵概念
（1） 定义
对于方阵
a11 a12 a1n
A
=
a21
a22
a2n
an1 an2 ann
令 Aij 为方阵 A 的行列式 A 元素 aij 的代数余子式，
称方阵
A11 A12
A21 A22
An1 An2
A1n A2m Ann
得到 B = A−1 ，然后在两端用 A 右乘有 BA = A−1A
也就是 BA = E 。
这个结果告诉我们当两个方阵乘积是单位矩阵时，交换 相乘一定也是单位矩阵。
例4 若 An = O （n为正整数），
证明 E − A 可逆，并求 (E − )A −1
证：要想证明 E − A 只需能找到一个方阵，它与 E − A 的乘
证：因为 AA−1 = A−1A = E ，
( ) 由定义 A−1 可逆，且 A−1 −1 = A 。
性质3 若 A 可逆，则其转置矩阵也可逆，
( ) ( ) 且 AT −1 = A−1 T 。 ( ) ( ) 证：因为 AA−1 = A−1A = E 所以 AA−1 T = A−1A T = ET
k k
由定义 kA 可逆, 且 (kA)−1 = 1 A−1 .
k 性质6 若 A 可逆 ,则 A−1 = A −1 . 证: 因为 AA−1 = A−1A = E
所以 AA−1 = E ,得到 A A−1 = 1
1 两边乘 A 有
A−1 = 1 . A
这条性质从形式上看-1次幂可以从行列式符号里提出来。
可以将这个性质推广到有限多个方阵乘积上。
推论1 若同阶方阵 A1，，A2,, An, 均可逆，
( ) 则它们的乘积也可逆，且
A1A2 An
−1
=
An−1
A−1 n−1
A1−1
。
（注意乘积的顺序）
在这个推论中令 A1 = A2 = = An = A ，则有 推论2 若方阵 A 可逆，则 An 可逆，
( ) ( ) 即 A−1 T AT = A−1 T AT = E ( ) ( ) 由定义 AT 可逆，且 AT −1 = A−1 T 。
性质4 若同阶方阵 A ，B 均可逆，
则它们的乘积也可逆，且 ( ) AB −1 = B−1A−1
证：因为 AA−1 = A−1A = E
BB−1 = B−1B = E
( ) ( ) 所以 AB B−1A−1 = A BB−1 A−1 = AEA−1 = AA−1 = E ( ) ( ) B−1A−1 AB = B−1 A−1A B = B−1EB = B−1B = E
( ) ( ) 即 (AB) B−1A−1 = B−1A−1 (AB) = E
由定义 AB 可逆，且 (AB)−1 = B−1A−1
( ) ( ) ( ) （4）因为 A∗ -1 = 1 A∗ ∗ 又 A∗ -1 = 1 A
A∗
A
( ) 所以
1 A∗
A∗
∗
=
1
A
A
( )A∗
∗
=
A∗
A=
A2
A=
AA
A
A
（注：对于n阶方阵有 (A∗ )∗ = A n−2 A ）
( ) 所以
2 1 0 4 2 0
A∗
∗
=
2 0
1
- 3 = 0
ann
A1n
A21 An1 A22 An2 A2n Ann
∑ ∑ ∑ n a1k A1k
n
a1k A2k
n a1k Ank
k=1
k =1
k =1
A
0 0
∑
=
n
a2k A1k
k =1 n
∑ k=1 ank A1k
n
∑ a2k A2k