2016年福建省泉州市南安一中高二上学期数学期中试卷和解析(理科)

2015-2016学年福建省泉州市南安一中高二（上）期中数学试卷（理科）一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）：1．（5分）双曲线2x2﹣y2=8的实轴长是（）A．4 B．4 C．2 D．22．（5分）已知p：2+2=5，q：3≥2，则下列判断中，错误的是（）A．p或q为真，非q为假B．p或q为真，非p为真C．p且q为假，非p为假D．p且q为假，p或q为真3．（5分）抛物线的焦点坐标是（）A．（﹣2，0）B．（2，0） C．D．4．（5分）根据下列算法语句，当输入x为60时，输出y的值为（）A．25 B．30 C．31 D．615．（5分）若椭圆+=1的两个焦点F1，F2，M是椭圆上一点，且|MF1|﹣|MF2|=1，则△MF1F2是（）A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等边三角形6．（5分）对于实数m，n，“mn＞0”是“方程mx2+ny2=1对应的曲线是椭圆”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是（）A．B．C．D．8．（5分）有下列四个命题：①“若x+y=0，则x，y互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q≤1，则x2+2x+q=0有实根”的逆命题；④“若x+y≠3，则x≠1或y≠2”，其中真命题有（）A．①②B．②③C．①③D．①③④9．（5分）若向量=（1，λ，2），=（2，﹣1，2），且与的夹角余弦值为，则λ等于（）A．2 B．﹣2 C．﹣2或D．2或﹣10．（5分）双曲线C的中心在原点，焦点在x轴，离心率e=，C与抛物线y2=16x 的准线交于A，B点，|AB|=4，则C的实轴长为（）A．B．2 C．4 D．811．（5分）过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是原点，若|AF|=3，则△AOF的面积为（）A．B．C．D．212．（5分）执行如图的程序框图，如果输入的d=0.01，则输出的n=（）A．5 B．6 C．7 D．8二．填空题（共4小题，每小题4分，共16分，请把答案写在答题卡上）：13．（4分）命题“对任意的x∈R，x2﹣x+1≥0”的否定是．14．（4分）已知向量=（2，﹣1，3），=（﹣4，2，x），若∥，则x=．15．（4分）已知双曲线的渐近线方程为y=±x，且过点M（﹣1，3），则该双曲线的标准方程为．16．（4分）若二进制数100y011和八进制数x03相等，则x+y=．三．解答题（本大题共6小题，共74分）：17．（12分）已知双曲线﹣=1的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合，求该双曲线的焦点到其渐近线的距离．18．（12分）命题p：“方程+=1表示双曲线”（k∈R）；命题q：y=log2（kx2+kx+1）定义域为R，若命题p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数k的取值范围．19．（12分）如图，棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，BD=．（1）求证：BD⊥平面PAC；（2）求二面角P﹣CD﹣B余弦值的大小；（3）求点C到平面PBD的距离．20．（12分）椭圆C：+y2=1，直线l交椭圆C于A，B两点．（1）若l过点P（1，）且弦AB恰好被点P平分，求直线l方程．（2）若l过点Q（0，2），求△AOB（O为原点）面积的最大值．21．（12分）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，M，N分别是棱AB，AD，A1B1，A1D1的中点，点P，Q分别在棱DD1，BB1上移动，且DP=BQ=λ（0＜λ＜2）（Ⅰ）当λ=1时，证明：直线BC1∥平面EFPQ；（Ⅱ）是否存在λ，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．22．（14分）如图，椭圆E：的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e=．过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8．（Ⅰ）求椭圆E的方程．（Ⅱ）设动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x=4相交于点Q．试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．2015-2016学年福建省泉州市南安一中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）：1．（5分）双曲线2x2﹣y2=8的实轴长是（）A．4 B．4 C．2 D．2【解答】解：双曲线2x2﹣y2=8，可化为∴a=2，∴双曲线2x2﹣y2=8的实轴长是4故选：B．2．（5分）已知p：2+2=5，q：3≥2，则下列判断中，错误的是（）A．p或q为真，非q为假B．p或q为真，非p为真C．p且q为假，非p为假D．p且q为假，p或q为真【解答】解：对于命题p：2+2=5，是假命题；对于q：3≥2，是真命题．∴p∨q为真命题，p∧q是假命题，￢p为真命题，￢q为假命题．∴C是假命题．故选：C．3．（5分）抛物线的焦点坐标是（）A．（﹣2，0）B．（2，0） C．D．【解答】解：抛物线的标准方程为y2=﹣8x，则2p=8，∴∴抛物线的焦点坐标是（﹣2，0）故选：A．4．（5分）根据下列算法语句，当输入x为60时，输出y的值为（）A．25 B．30 C．31 D．61【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出分段函数y=的函数值．当x=60时，则y=25+0.6（60﹣50）=31，故选：C．5．（5分）若椭圆+=1的两个焦点F1，F2，M是椭圆上一点，且|MF1|﹣|MF2|=1，则△MF1F2是（）A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等边三角形【解答】解：由题意，|F1F2|=2，|MF1|+|MF2|=4，∵|MF1|﹣|MF2|=1，∴|MF1|=，|MF2|=，∴|MF2|2+|F1F2|2=|MF1|2，故选：B．6．（5分）对于实数m，n，“mn＞0”是“方程mx2+ny2=1对应的曲线是椭圆”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：当mn＞0时，方程mx2+ny2=1的曲线不一定是椭圆，例如：当m=n=1时，方程mx2+ny2=1的曲线不是椭圆而是圆；或者是m，n都是负数，曲线表示的也不是椭圆；故前者不是后者的充分条件；当方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆时，应有m，n都大于0，且两个量不相等，得到mn＞0；由上可得：“mn＞0”是“方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆”的必要不充分条件．故选：B．7．（5分）若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是（）A．B．C．D．【解答】解：设长轴为2a，短轴为2b，焦距为2c，则2a+2c=2×2b，即a+c=2b⇒（a+c）2=4b2=4（a2﹣c2），所以3a2﹣5c2=2ac，同除a2，整理得5e2+2e﹣3=0，∴或e=﹣1（舍去），故选：B．8．（5分）有下列四个命题：①“若x+y=0，则x，y互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q≤1，则x2+2x+q=0有实根”的逆命题；④“若x+y≠3，则x≠1或y≠2”，其中真命题有（）A．①②B．②③C．①③D．①③④【解答】解：①“若x+y=0，则x，y互为相反数”的逆命题为“若x，y互为相反数，则x+y=0”为真命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题为“不全等三角形的面积不相等”为假命题；③“若q≤1，则x2+2x+q=0有实根”的逆命题为“若x2+2x+q=0有实根，则q≤1”，由△=4﹣4q≥0得q≤1，即为真命题；④“若x+y≠3，则x≠1或y≠2”的逆否命题为：“若x=1且y=2，则x+y=3”为真命题，故原命题也为真，故真命题有：①③④，故选：D．9．（5分）若向量=（1，λ，2），=（2，﹣1，2），且与的夹角余弦值为，则λ等于（）A．2 B．﹣2 C．﹣2或D．2或﹣【解答】解：由题意向量=（1，λ，2），=（2，﹣1，2），且与的夹角余弦值为，故有cos＜，＞===，解得：λ=﹣2或．故选：C．10．（5分）双曲线C的中心在原点，焦点在x轴，离心率e=，C与抛物线y2=16x 的准线交于A，B点，|AB|=4，则C的实轴长为（）A．B．2 C．4 D．8【解答】解：双曲线C的中心在原点，焦点在x轴，离心率e=，设等轴双曲线C的方程为x2﹣y2=λ．（1）∵抛物线y2=16x，2p=16，p=8，∴=4．∴抛物线的准线方程为x=﹣4．C与抛物线y2=16x的准线交于A，B点，|AB|=4，设等轴双曲线与抛物线的准线x=﹣4的两个交点A（﹣4，2），B（﹣4，﹣2），代入（1），得（﹣4）2﹣（2）2=λ，∴λ=4．∴等轴双曲线C的方程为x2﹣y2=4，即，∴C的实轴长为4．故选：C．11．（5分）过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是原点，若|AF|=3，则△AOF的面积为（）A．B．C．D．2【解答】解：抛物线y2=4x的准线l：x=﹣1．∵|AF|=3，∴点A到准线l：x=﹣1的距离为3∴1+x A=3∴x A=2，∴y A=±2，∴△AOF的面积为=．故选：B．12．（5分）执行如图的程序框图，如果输入的d=0.01，则输出的n=（）A．5 B．6 C．7 D．8【解答】解：模拟执行程序框图，可得a=1，b=2，n=0，m=，n=1满足条件：f（1）•f（）＜0，b=，不满足条件：|a﹣b|＜0.001，m=，n=2，不满足条件：f（1）•f（）＜0，a=，不满足条件：|a﹣b|＜0.001，m=，n=3，不满足条件：f（）•f（）＜0，a=，不满足条件：|a﹣b|＜0.001，m=，n=4，不满足条件：f（）•f（）＜0，a=，不满足条件：|a﹣b|＜0.001，m=，n=5，不满足条件：f（）•f（）＜0，a=，不满足条件：|a﹣b|＜0.001，m=，n=6，不满足条件：f（）•f（）＜0，a=，不满足条件：|a﹣b|＜0.001，m=，n=7，不满足条件：f（）•f（）＜0，a=，满足条件：|a﹣b|＜0.001，退出循环，输出n的值为7．故选：C．二．填空题（共4小题，每小题4分，共16分，请把答案写在答题卡上）：13．（4分）命题“对任意的x∈R，x2﹣x+1≥0”的否定是存在x∈R，使x2﹣x+1＜0．【解答】解：命题“对任意的x∈R，x2﹣x+1≥0”是全称命题，否定时将量词对任意的x∈R变为存在x∈R，再将不等号≥变为＜即可．∴命题“对任意的x∈R，x2﹣x+1≥0”的否定是存在x∈R，使x2﹣x+1＜0，故答案为：存在x∈R，使x2﹣x+1＜0．14．（4分）已知向量=（2，﹣1，3），=（﹣4，2，x），若∥，则x=﹣6．【解答】解：∵∥，∴存在实数λ使得．∴，解得x=﹣6．故答案为：﹣6．15．（4分）已知双曲线的渐近线方程为y=±x，且过点M（﹣1，3），则该双曲线的标准方程为．【解答】解：∵双曲线的渐近线方程为y=±x，∴设双曲线方程为=λ，λ≠0，把点M（﹣1，3）代入，得1﹣3=λ=﹣2，∴x2﹣=﹣2，整理，得．故答案为：．16．（4分）若二进制数100y011和八进制数x03相等，则x+y=1．=1+1×21+y×23+1×26=67+8y，【解答】解：∵100y011（2）x03（8）=3+x×82=3+64x，∴由3+64x=67+8y，解得：8+y=8x，∵y∈{0，1}，x∈{0，1，2，3，4，5，6，7，}，∴解得：x=1，y=0．x+y=1．故答案为：1．三．解答题（本大题共6小题，共74分）：17．（12分）已知双曲线﹣=1的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合，求该双曲线的焦点到其渐近线的距离．【解答】解：∵抛物线y2=12x的p=6，开口方向向右，∴焦点是（3，0），∵双曲线﹣=1的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合，∴4+b2=9，∴b2=5∴双曲线的渐近线方程为y=，即∴双曲线的焦点到其渐近线的距离为=．18．（12分）命题p：“方程+=1表示双曲线”（k∈R）；命题q：y=log2（kx2+kx+1）定义域为R，若命题p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数k的取值范围．【解答】解：p：由（k﹣3）（k+3）＜0得：﹣3＜k＜3；q：令t=kx2+kx+1，由t＞0对x∈R恒成立．（1）当k=0时，1＞0，∴k=0符合题意．（2）当k≠0时，，由△=k2﹣4×k×1＜0得k（k﹣4）＜0，解得：0＜k＜4；综上得：q：0≤k＜4．因为p∨q为真命题，p∧q为假命题，所以命题p，q一个为真，一个为假．∴或；∴﹣3＜k＜0或3≤k＜4．19．（12分）如图，棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，BD=．（1）求证：BD⊥平面PAC；（2）求二面角P﹣CD﹣B余弦值的大小；（3）求点C到平面PBD的距离．【解答】解：（1）建立如图所示的直角坐标系，则A（0，0，0）、D（0，2，0）、P（0，0，2）．在Rt△BAD中，AD=2，BD=，∴AB=2．∴B（2，0，0）、C（2，2，0），∴∵，即BD⊥AP，BD⊥AC，又因为AP∩AC=A，∴BD⊥平面PAC．解：（2）由（1）得．设平面PCD的法向量为，则，即，∴，故平面PCD的法向量可取为∵PA⊥平面ABCD，∴为平面ABCD的法向量．设二面角P﹣CD﹣B的大小为θ，依题意可得．（3）由（Ⅰ）得，设平面PBD的法向量为，则，即，∴x=y=z，故可取为．∵，∴C到面PBD的距离为20．（12分）椭圆C：+y2=1，直线l交椭圆C于A，B两点．（1）若l过点P（1，）且弦AB恰好被点P平分，求直线l方程．（2）若l过点Q（0，2），求△AOB（O为原点）面积的最大值．【解答】解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程得：+=1，+=1；两式作差得：（x1+x2）（x1﹣x2）+（y1+y2）（y1﹣y2）=0，又x 1+x2=2，y1+y2=，代入得k==﹣1，∴此弦所在的直线方程是y﹣=﹣（x﹣1），即x+y﹣=0；…（5分）（2）易知直线AB的斜率存在，设其方程为y=kx+2，…（6分）将直线AB的方程与椭圆C的方程联立，消去y得（1+3k2）x2+12kx+9=0；…（7分）令△=144k2﹣36（1+3k2）＞0，得k2＞1；设A（x1，y1），B（x2，y2），∴x1+x2=﹣，x1x2=；…（8分）=|S△POB﹣S△POA|=×2×|x1﹣x2|=|x1﹣x2|，∴S△AOB∵=﹣4x1x2=﹣=，…（10分）设k2﹣1=t（t＞0），∴==≤=，…（12分）当且仅当9t=，即t=，k2﹣1=，k2=时等号成立，此时△AOB面积取得最大值．…（13分）21．（12分）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，M，N分别是棱AB，AD，A1B1，A1D1的中点，点P，Q分别在棱DD1，BB1上移动，且DP=BQ=λ（0＜λ＜2）（Ⅰ）当λ=1时，证明：直线BC1∥平面EFPQ；（Ⅱ）是否存在λ，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．【解答】（Ⅰ）证明：以D为原点，射线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴的正半轴，建立坐标系，则B（2，2，0），C1（0，2，2），E（2，1，0），F（1，0，0），P（0，0，λ），∴=（﹣2，0，2），=（﹣1，0，λ），=（1，1，0）λ=1时，=（﹣2，0，2），=（﹣1，0，1），∴=2，∴BC1∥FP，∵FP⊂平面EFPQ，BC1⊄平面EFPQ，∴直线BC1∥平面EFPQ；（Ⅱ）设平面EFPQ的一个法向量为=（x，y，z），则，∴取=（λ，﹣λ，1）．同理可得平面MNPQ的一个法向量为=（λ﹣2，2﹣λ，1），若存在λ，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角，则•=λ（λ﹣2）﹣λ（2﹣λ）+1=0，∴λ=1±．∴存在λ=1±，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角．22．（14分）如图，椭圆E：的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e=．过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8．（Ⅰ）求椭圆E的方程．（Ⅱ）设动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x=4相交于点Q．试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．【解答】解：（Ⅰ）∵过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8．∴4a=8，∴a=2∵e=，∴c=1∴b2=a2﹣c2=3∴椭圆E的方程为．（Ⅱ）由，消元可得（4k2+3）x2+8kmx+4m2﹣12=0∵动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P（x0，y0）∴m≠0，△=0，∴（8km）2﹣4×（4k2+3）×（4m2﹣12）=0∴4k2﹣m2+3=0①此时x0==，y0=，即P（，）由得Q（4，4k+m）取k=0，m=，此时P（0，），Q（4，），以PQ为直径的圆为（x﹣2）2+（y﹣）2=4，交x轴于点M1（1，0）或M2（3，0）取k=，m=2，此时P（1，），Q（4，0），以PQ为直径的圆为（x﹣）2+（y﹣）2=，交x轴于点M3（1，0）或M4（4，0）故若满足条件的点M存在，只能是M（1，0），证明如下∵∴故以PQ为直径的圆恒过x轴上的定点M（1，0）方法二：假设平面内存在定点M满足条件，因为对于任意以PQ为直径的圆恒过定点M，所以当PQ平行于x轴时，圆也过定点M，即此时P点坐标为（0，）或（0，﹣），由图形对称性知两个圆在x轴上过相同的交点，即点M必在x轴上．设M（x1，0），则•=0对满足①式的m，k恒成立．因为=（﹣﹣x1，），=（4﹣x1，4k+m），由•=0得﹣+﹣4x1+x12++3=0，整理得（4x1﹣4）+x12﹣4x1+3=0．②由于②式对满足①式的m，k恒成立，所以，解得x1=1．故存在定点M（1，0），使得以PQ为直径的圆恒过点M．赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：60°运用举例：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC. （1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝62，求BC的长；（2）当∠APB＝90°时，若AB=45APBC的面积是36，求△ACB的周长.2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝35，求ABBC的值.3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。