一元二次方程的解法配方法(1)
x
x 1 x 1 x x
1 1 x
1 x2+2x=24
配
x2
x
方
（x+1）2=24+1
x x2
1
x 1
应用拓展，共同提高
若a b 4a 2b 5 0
2 2
求a 的值
b
k2 7 2.如果x 2 (k 1) x 是一个完全平方式， 4 则k ___
(1)下列将方程 6 x 7 0配方变形 x
2
正确的是
2
( C
)
B.(x 3) 16 2 D.(x 6) 16
2
A.(x 6) 2
C.(x 3) 2
2
（2）用配方法解下列方程时，配方有 错误的是（ ） B 2 2 A.x 2 x 99 0化为（x 1 100 ）
B.x 8x 9 0化为（x 4） 25
2
（3） 方程 (2 x 1) 2 9的根是 X1＝2， x2＝－1
2. 选择适当的方法解下列方程：
（1）x2－ 81＝0
(3)(x＋1)2=4
（2） x2 ＝50
(4)x2＋2 5 x＋5=0
知识回顾
1.那么什么样的一元二次方程能用直接开平方法解？
形如 x2=a(a≥0) 或（x＋h）2= k（k≥0）的 一元二次方程可用直接开平方法来解
∴
y1 4 3
想一想
解下列方程
（1）y2-4
2 y-42=0
（2） m2 2 5m-11=0
归纳
用配方法解一元二次方程的一般步骤是什么？ 1.移项:把常数项移到方程的右边; 2.配方:方程两边都加上一次项系数一半的平 方; 3.变形:方程左边分解因式,右边合并同类项 4.开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 5.求解:解一元一次方程; 6.定解:写出原方程的解.
2 2
2
完全平方式
填一填
1 1 (1) x 2 x ) x 8 x _____ ( x ___) 4
2
2
2
(3) y
2
5 5 y （ ） _____ 2
2
2
( y ___)
5 2
2
(4) y
2
2 1 1 1 （ ） y ____ ( y ___) 4 4 2
2
(5) x 3x 5 0
2
配方时, 等式两边同时加上的是一 次项系数一半的平方。
试一试
3.某种罐头的包装纸是长方形，它的长 比宽多10cm，面积是200cm2，求这张 包装纸的长与宽。
拓展：
2-3x+p=0配方得到 把方程x
1 2 (1)求常数p,m的值；
(x+m)2=
(2)求方程的解。
3 =1+ 3 2 2
2
2
3 2 13 即 （x+ ）= 2 4
3 13 直接开平方，得x+ = 2 2
∴x1=
3 13 2 2
=
3 13 x2= 2 2
想一想
1、解下列方程(书87页练习2) （1）x2+2x-3=0 （2）x2+10x+20=0
∴ x1 2 2 3 x2 2 2 3
典型例题
例2 解下列方程 （1）y2+ 4
y-1=0 （2）y2-2 2
2
解（2）配方，得 y 2 3 y
即
y 3
3
3 y=24
24
2
3
2
2
27
直接开平方，得
y 3 3 3
y2 2 3
左边:所填常数等于一次项系数一半的平方.
试一试
将下列各式进行配方： (1)x2+x+ =(x+ )2；
3 （2）x2+ 2 x+__=(x+___)2
(3)x2+px+
=(x+ )2；
(4) x2-6
2 x+_____=(x-____)2
分析：本题应用“方程两边都加上一次项系 数一半的平方”来配方。
典型例题
例1 解下列方程： （1） x2－4x＋3 = 0 （2）x2＋3x－1 = 0
解：（1）移项，得x2-4x=-3 配方，得x2-2· · x 2+22=-3+22
即（x-2）2=1
直接开平方，得x-2=±1 ∴x1=3，x2=1
典型例题
例1 解下列方程： （2）x2＋3x－1 = 0
解（2）移项，x2+3x=1 配方，得x2+3x+
1.把一元二次方程的左边配成一个完 全平方式,然后用开平方法求解,这种解 一元二次方程的方法叫做配方法.
注意:配方时, 等式两边同时加上的是 一次项系数一半的平方.
归纳总结
1、用配方法解一元二次方程，配方时 要注意什么？
方程两边都加上一次项系数一半的平方
2、用配方法解形如x2+bx+c=0一元二 次方程的一般步骤是什么？ 移项，配方，变形，开方，求解，定解
22.2一元二次方程的解法(3) ----配方法1
学习目标:
1、了解什么是配方法？
2、会用配方法解系数是1的￣一元二次方 程。 学习重难点： 利用配方法解二次系数是1的一元二次方 程。
1.（１）方程2 0.25 的根是 X1=0.5, x2=－0.5 x
（２）方程 2 x 18 的根是 X1＝3， x2＝—3
配方的过程可用拼图直观地表示：如方程 x2+2x＋24 = 0 变形为x（x+2）=24后，配方的过程，可以看成是将一个长为（x+2）、 宽为x、面积为24的矩形割补后拼成一个正方形（如图4-3）。
图形 x x（x+2） x+2 面积
x（x+2）=24
拼 成 一 个 正 方 形
x
x2
x
x
x2+2x=24
尝试
问题：如何解方程 x2＋6x＋4 = 0呢？
能否根据上题将方程x2＋6x＋4 = 0化为（x+h）2=k 的形式？
先将常数项移到方程的右边，得
x2＋6x = －4 即 x2＋2· 3 = －4 x·
在方程的两边都加上一次项系数6的一半的平方，即32后，得
x2＋2· 3 ＋32 = －4＋32 x· 即（x＋3）2 = 5 解这个方程，得 x＋3 = ±
2 2
C.x 3x 1 0化为（x 1.5） 1.25
2 2
D.x 5x 2 0化为（x 2.5） 4.25
2 2
用配方法解下列方程：
2
(1) x 12x 9 (2) x x 1 2 2 (3) x 4x 3 0 (4) x 2 x 1 0
大胆试一试：
填上适当的数或式,使下列各等式成立. 2 观察(1)(2)看所填的常 (1) x 6 x 32 =( x+ 3)2 数与一次项系数之间 2 有什么关系? (2) x 8 x 4 2 =( x 4)2 2 2 (3) x 4 x 2 =( x 2 )2 p 2 p 2 (4) x px ( ) =( x 2 )2 2 共同点：
2.用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤是什么？
首先将一元二次方程化为左边是含有未知数的一个 完全平方式，右边是非负数的形式，然后用平方根 的概念求解
那么如何解方程x2＋6x＋4 = 0呢?
因式分解的完全平方公式
a 2ab b a b 2 2 2 a 2ab b a b
所以
x1 = ―3＋
5 5 , x2 = ―3-
5
试一试：
如：能否将方程x2-4x-5 = 0化为（x+h）2=k的形式？
移项，得x2-4x=5 在方程两边都加上22得x2-2· 2+22=5+22 x· 即（x-2）2=9 直接开平方，得x-2=±3 ,所以x1=5，x2=-1
由此可见，只要先把一个一元二次方程变形为 （x＋h）2= k的形式（其中h、k都是常数），如果k≥0， 再通过直接开平方法求出方程的解，这种解一元二次方 程的方法叫做配方法。 注意：“配方法”的前提是熟练掌握完全平公 式的结构，配方时尤其要注意未知数的一次 项系数，配方就是在方程两边都加上一次项 系数一半的平方。
（3）x2-6x=4
(4) x2-x=1
典型例题
例2 解下列方程 （1）y2+
y-1=0 （2）y2-2 4 2
2
2
解（1）移项，得 配方，得 即
y 4 2y 1
3 y=24
2
y 4 2y 2 2
y 2 2
1 2 2
2
2
9
直接开平方，得
y 2 2 3
解一元二次方程配方法
1.2.解一元二次方程-配方法（1）第二课时教学内容配方法解一元二次方程（1）教材P10-12页教材分析对于一元二次方程，配方法是解法中的通法，它的推导建立在直接开平方法的基础上，他又是公式法的基础：同时一元二次方程又是今后学生学习二次函数等知识的基础。
一元二次方程是中学数学的主要内容之一，在初中数学中占有重要地位。
我们从知识的发展来看，学生通过一元二次方程的学习，可以对已学过的一元二次方程、二次根式、平方根的意义、完全平方式等知识加以巩固。
初中数学中，一些常用的解题方法、计算技巧以及主要的数学思想，如观察、类比、转化等，在本章教材中都有比较多的体现、应用和提升。
我们想通过一元二次方程来解决实际问题，首先就要学会一元二次方程的解法。
教学目标知识能力1.会用直接开平方法解形如（X+m）2=n(n≧0)2.会用配方法解简单的数字系数的一元二次方程。
过程与方法1．理解配方法；知道“配方”是一种常用的数学方法。
2. 了解用配方法解一元二次方程的基本步骤。
情感、态度与价值观1.通过用配方法将一元二次方程变形的过程，让学生进一步体会转化的思想方法，并增强他们的数学应用意识和能力，激发学生的学习兴趣。
2．能根据具体问题的实际意义，验证结果的合理性。
教学重难点及突破重点用配方法解一元二次方程难点理解配方法的基本过程突破老师必须从学生的认知结构和心理特征出发，利用他们有强烈的好奇心和求知欲。
当他们在解决实际问题时发现要解的方程不再是以前所学过的一元一次方程或可化为一元一次方程的其他方程时，他们自然会想进一步研究和探索配方法解方程的问题。
课前预习方案：复习直接开平法解一元二次方程，完全平方公式，预习本课内容，完成P13页练习1、2题。
教学设想：利用多媒体辅助教学，直观地展示教学内容，有效地突出重点，突破难点，使学生多种感官共同参与到整个学习过程中，激发学生的学习兴趣，提供课堂效率。
本节课由简到难展开学习，使学生认识配方法的基本原理并掌握具体解法。
解一元二次方程的三种基本方法
解一元二次方程的三种基本方法解一元二次方程的三种基本方法一元二次方程是数学中的基础概念之一，它的解法有很多种。
在这里，我们将介绍三种基本的解法。
一、配方法（1）将方程写成“完全平方”的形式。
例如，对于方程x²+6x–16=0，将右边的常数项移到左边，变为x²+6x=16，然后再将6x一分为二，得到x²+3x+3x=16，继续变形，即可让其成为完全平方。
（2）设定新的变量，使其成为一个完全平方。
例如，对于x²+6x–16=0，令y=x+3，代入原方程，得到y²–9+6y–16=0，简化后得到y²+6y–25=0，再将其变形成完全平方，可得(y+3)²=34，解得y= ± √34–3，代入y=x+3得到x=-3±√34。
二、公式法在公式法中，我们将方程ax²+bx+c=0写成：x=[–b±√(b²–4ac)]/2a，即可求得方程的两个根。
例如，对于方程x²+6x–16=0，可将a=1，b=6，c=–16带入公式中，计算得到x=-3±√34。
三、图像法对于一元二次方程y=ax²+b x+c，我们可以将其用一条二次函数的图像表示出来，相交坐标轴的两个点就是其解。
例如，对于方程x²+6x–16=0，我们可以作出相应的二次函数的图像，其中一条相交坐标轴的边界为x=-4和x=–2，因此可以解得方程的两个根为x=-4和x=-2。
总结以上三种方法都可以用来解一元二次方程。
配方法被广泛地应用于题目的解答中，因为它在操作方式上比较简单，尤其是在遇到较为复杂的方程式时有很好的实际应用。
公式法是一种少有的利用抽象公式的方法，尤其是在解有较大常数的一元二次方程时，可以简化计算。
图像法则不太常用，但在一些情况下，例如探究关于两个变量的函数的等高线时，它是非常实用的。
一元二次方程的解法配方法 1
方程的两边都加上36,得
x2＋12x+36= - 9+36 即 (x+6)2=27. ∴x+6= 27 或x+6=- 27 ,x2=-6－3 3
解得 x1=-6＋3 3
你能总结出配 方法的步骤吗?
通过配成完全平方形式 来解一元二次方程的方 法，叫做配方法。
用配方法解一元二次方程的步骤:
移项:把常数项移到方程的右边; 配方:方程两边都加上一次项系数
解：∵原式=x2+8x+16+1 =（x+4）2+1 ＞0 ∴代数式x2+8x+17的值总大于0
应用拓展，共同提高
1、若a b 4a 2b 5 0
2 2
求a 的值
k 7 2.如果x (k 1) x 是一个完全平方式， 4 则k ___
2 2
b
2 3、把方程x -3x+p=0配方得到
1 2 (1)求常数p,m的值；
(x+m)2=
(2)求方程的解。
X1=1, x2=-3
.
一般地,对于形如x2=a(a≥0)的方程, 根据平方根的定义,可解得 x1 a ,x2 a
这种解一元二次方程的方法叫做开平方法.
那么什么样的一元二次方程能用直接开平方法解？
形如 x2=a(a≥0) 或（x＋h）2= k （k≥0）的一元二次方程可用直接开平方 法来解
即a 1 b 1 c 0
2
∴方程ax2+bx+c=0 (a≠0)一个根是1.
拓展:若 4a+2b a-b +c=0, +c=0 你能通过观察,求出方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)一个根吗?
一元二次方程的解法--配方法
2
x 6x 7 0
2
变 形 为
2
a 的形式．（ａ为非负常数）
这种方 程怎样 解？
２、请说出完全平方公式
x a
x a
2
x 2ax a
2
2
2
x 2ax a
2
2
根据完全平方公式填空(格式如题(1))
(1)
x 8x _____ ( x ____) ４
把一元二次方程的左边配成一 个完全平方式,然后用开平方法 求解,这种解一元二次方程的方 法叫做配方法.
参照第一题， 推想一下第二题及第三题的解法
(1) (2)
( x 1) 6
2
x 2x 1 6
2
(3)
x 2x 5
2
例题1
(1) y 6 y 4 0
2
(2) x 6 5 x
一元二次方程的解法（1）
一般地，对于形如
(mx n) p( p 0)
2
的方程，根据平方根的意义，可 解得什么？
１.方程 x
2
２.方程
2 x 18 的根是
2
2
0.25 的根是
；
3.方程 (2 x 1)
9的是
；
如何变形？
x 10 x 25 9 变形为 ( x 5) 9
2
例2、用配方法解下列方程：
(1)
x 6 x 27 0
2
(2)
x 3x 1 0
2
提高
9x 6x 3 0
2
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；
接动手扁人吧. 最重要の是巫山还对自己…使了个眼色,这说明什
1.2.2 一元二次方程的解法-配方法(解析版)
1.2.2 一元二次方程的解法-配方法考点一．配方法解一元二次方程： (1)配方法解一元二次方程： 将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法. (2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：. (3)用配方法解一元二次方程的一般步骤： ①把原方程化为的形式； ②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解.要点：（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方；（2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方.（3）配方法的理论依据是完全平方公式．考点二、配方法的应用1．用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小.2．用于求待定字母的值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．3．用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值．4．用于证明：“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用．题型1：配方法解一元二次方程1．用配方法解一元二次方程2620x x -+=，此方程可化为（ ）A ．2(3)7x -=B ．2(3)11x -=C ．2(3)7x +=D ．2(3)11x +=【答案】A 【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后可得答案．2222()a ab b a b ±+=±【解析】解：2620x x -+=Q ，262x x \-=-，则26929x x -+=-+，即()237x -=，故选：A ．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法．2．用配方法解一元二次方程23610x x +-=时，将它化为()2x a b +=的形式，则a b +的值为（ ）A ．103B ．73C ．2D ．433．用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ）A ．22990x x --=化为2(1)100x -=B ．2890x x ++=化为2(4)25x +=C ．22740t t --=化为2781416t æö-=ç÷èøD ．23420x x --=化为221039x æö-=ç÷èø【答案】B【分析】根据配方的步骤计算即可解题．【解析】()2222890,89,816916,47x x x x x x x ++=+=-++=-++=故B 错误．且ACD 选项均正确，故选：B【点睛】考查了用配方法解一元二次方程，配方步骤：第一步平方项系数化1；第二步移项，把常数项移到右边；第三步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第四步左边写成完全平方式；第五步，直接开方即可．4．关于y 的方程249996y y -=，用___________法解，得1y =__，2y =__．【答案】 配方 102 98-【分析】利用配方法解一元二次方程即可得．【解析】249996y y -=，24499964y y -+=+，2(2)10000y -=，2100y -=±，1002y =±+，12102,98y y ==-，故答案为：配方，102，98-．【点睛】本题考查了利用配方法解一元二次方程即可得，熟练掌握配方法是解题关键．5．用配方法解方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0），四个学生在变形时得到四种不同结果，其中配方正确的是（ ）A ．2224()24b ac b x a a -+=B ．2224()22b b ac x a a -+=C ．2224()24b b ac x a a -+=D ．2222()22b b ac x a a ++=6．用配方法解方程22103x x -+=，正确的是（ ）A ．212251()1,,333x x x -===-B ．224(),39x x -==C ．238(29x -=-，原方程无实数解D ．2()1839x -=-，原方程无实数解7．用配方法解下列方程：(1)2352x x -=；(2)289x x +=；(3)212150x x +-=；(4)21404x x --=；(5)2212100x x ++=；(6)()22040x px q p q ++=-³．8．ABC D 的三边分别为a 、b 、c ，若8+=b c ，21252bc a a =-+，按边分类，则ABC D 是______三角形【答案】等腰【分析】将8+=b c ，代入21252bc a a =-+中得到关系式，利用完全平方公式变形后，根据非负数的性质求出a 与c 的值，进而求出b 的值，即可确定出三角形形状．【解析】解：∵8+=b c ∴8b c =- ，∴()288bc c c c c =-=-+，∴2212528bc a a c c =-+=-+，即2212361680a a c c -+++-=，整理得：()()22640a c -+-=，∵()260a -³，()240c -³，∴60a -=，即6a =；40c -=，即4c =，∴844b =-=，则△ABC 为等腰三角形．故答案是：等腰．【点睛】此题考查了配方法的应用，非负数的性质，以及等腰三角形的判定，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．9．如果一个三角形的三边均满足方程210250x x -+=，则此三角形的面积是______10．已知三角形的三条边为,,a b c ，且满足221016890a a b b -+-+=，则这个三角形的最大边c 的取值范围是（ ）A ．c ＞8B ．5＜c ＜8C ．8＜c ＜13D ．5＜c ＜13【答案】C【分析】先利用配方法对含a 的式子和含有b 的式子配方，再根据偶次方的非负性可得出a 和b 的值，然后根据三角形的三边关系可得答案．【解析】解：∵a 2-10a +b 2-16b +89=0，∴（a 2-10a +25）+（b 2-16b +64）=0，∴（a -5）2+（b -8）2=0，∵（a -5）2≥0，（b -8）2≥0，∴a -5=0，b -8=0，∴a =5，b =8．∵三角形的三条边为a ，b ，c ，∴b -a ＜c ＜b +a ，∴3＜c ＜13．又∵这个三角形的最大边为c ，∴8＜c ＜13．故选：C ．【点睛】本题考查了配方法在三角形的三边关系中的应用，熟练掌握配方法、偶次方的非负性及三角形的三边关系是解题的关键．题型3：配方法的应用2-比较整式大小与求值问题11．若M =22x -12x +15，N =2x -8x +11，则M 与N 的大小关系为（ ）A ．M ≥NB ．M ＞NC ．M ≤ND ．M ＜N 【答案】A【解析】∵M=22x -12x +15，N=2x -8x +11，∴M-N=222222(21215)(811)2121581144(2)x x x x x x x x x x x -+--+=-+-+-=-+=- .∵2(2)0x -³，∴M-N ³0，∴M ³N.故选A.点睛：比较两个含有同一字母的代数式的大小关系时，当无法直接比较两者的大小关系时，可以通过求出两者的“差”，再看“差”的值是“正数”、“负数”或“0”来比较两者的大小.12．已知下面三个关于x 的一元二次方程2ax bx c 0++=，2bx cx a 0++=，2cx ax b 0++=恰好有一个相同的实数根a ，则a b c ++的值为（ ）A ．0B ．1C ．3D ．不确定【答案】A【分析】把x =a 代入3个方程得出a •a 2+ba +c =0，ba 2+ca +a =0，ca 2+a •a +b =0，3个方程相加即可得出（a +b +c ）（a 2+a +1）=0，即可求出答案．【解析】把x =a 代入ax 2+bx +c =0，bx 2+cx +a =0，cx 2+ax +b =0得：a •a 2+ba +c =0，ba 2+ca +a =0，ca 2+a •a +b =0，相加得：（a +b +c ）a 2+（b +c +a ）a +（a +b +c ）=0，13．已知实数m ，n ，c 满足2104m m c -+=，22112124n m m c =-++，则n 的取值范围是（ ）A ．74n ³-B ．74n >-C ．2n ³-D ．2n >-14．若x 为任意实数时，二次三项式26x x c -+的值都不小于0，则常数c 满足的条件是（ ）A ．0c ³B ．9c ³C ．0c ＞D ．9c ＞【答案】B【分析】把二次三项式进行配方即可解决．【解析】配方得：226(3)9x x c x c -+=--+∵2(3)0x -³，且对x 为任意实数，260x x c -+³∴90c -+³∴9c ³故选：B【点睛】本题考查了配方法的应用，对于二次项系数为1的二次三项式，加上一次项系数一半的平方，再减去这个数即可配成完全平方式．15．无论x 、y 取任何实数，多项式x 2+y 2－2x －4y+16的值总是_______数．【答案】正【解析】x 2+y 2－2x －4y +16=（x 2－2x +1）+（y 2－4y +4）－1－4+16=（x －1）2+（y －2）2+11，由于（x －1）2≥0，（y －2）2≥0，故（x －1）2+（y －2）2+11≥11，所以x 2+y 2－2x －4y +16的值总是正数.故答案为正.点睛：要证明一个式子的值总是正数，可以用配方法将式子写成多个非负数之和与一个正数的和的形式即可证明.16．不论x ，y 为什么数，代数式4x 2+3y 2+8x ﹣12y +7的值（ ）A ．总大于7B ．总不小于9C ．总不小于﹣9D ．为任意有理数【答案】C【分析】先将原式配方，然后根据偶次方的非负性质，判断出代数式的值总不小于−9即可．【解析】解：4x 2+3y 2+8x ﹣12y +7＝4x 2＋8x ＋4＋3y 2−12y ＋3＝4（x 2＋2x ＋1）＋3（y 2−4y ＋1）＝4（x ＋1）2＋3（y 2−4y ＋4−4＋1）＝4（x ＋1）2＋3（y −2）2−9，∵（x ＋1）2≥0，（y −2）2≥0，∴4x 2+3y 2+8x ﹣12y +7≥−9．即不论x 、y 为什么实数，代数式4x 2+3y 2+8x ﹣12y +7的值总不小于−9．故选：C ．【点睛】此题主要考查了配方法的应用，以及偶次方的非负性质的应用，要熟练掌握．解决本题的关键是掌握配方法．17．若12123y z x +--==，则x 2+y 2+z 2可取得的最小值为（ ）A ．3B ．5914C ．92D ．618．关于代数式12a a ++，有以下几种说法，①当3a =-时，则12a a ++的值为-4.②若12a a ++值为2，则a =③若2a >-，则12a a ++存在最小值且最小值为0.在上述说法中正确的是（ ）A ．①B ．①②C ．①③D ．①②③19．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a ，b ，c ，记2a b c p ++=，则其面积S =．这个公式也被称为海伦—秦九韶公式．若3p =，2c =，则此三角形面积的最大值是_________．20．已知y=x，y均为实数），则y的最大值是______．21．已知152a b c +--=-，则a b c ++=____________22．已知212y x x c =+-，无论x 取任何实数，这个式子都有意义，则c 的取值范围_______.【答案】c ＜−1【分析】将原式分母配方后，根据完全平方式的值为非负数，只需−c−1大于0，求出不等式的解集即可得到c 的范围．【解析】原式分母为：x 2＋2x−c ＝x 2＋2x ＋1−c−1＝（x ＋1）2−c−1，∵（x ＋1）2≥0，无论x 取任何实数，这个式子都有意义，∴−c−1＞0，解得：c ＜−1．故填：c ＜−1【点睛】此题考查了配方法的应用，以及分式有意义的条件，灵活运用配方法是解本题的关键．23．（1）设220,3a b a b ab >>+=，求a b a b+-的值．（2）已知代数式257x x -+，先用配方法说明：不论x 取何值，这个代数式的值总是正数；再求出当x 取何值时，这个代数式的值最小，最小值是多少？24．选取二次三项式2(0)ax bx c a ++¹中的两项，配成完全平方式的过程叫作配方．例如①选取二次项和一次项配方：2242(2)2x x x -+=--；②选取二次项和常数项配方：2242(4)x x x x -+=+-或2242((4x x x x -+=+-+；③选取一次项和常数项配方：22242x x x -+=-．根据上述材料解决下面问题：（1）写出284x x -+的两种不同形式的配方．（2）已知22330x y xy y ++-+=，求y x 的值．（3）已知a 、b 、c 为三条线段，且满足()222214(23)a b c a b c ++=++，试判断a 、b 、c 能否围成三角形，并说明理由．25．若实数x ，y ，z 满足x ＜y ＜z 时，则称x ，y ，z 为正序排列．已知x =﹣m 2+2m ﹣1，y =﹣m 2+2m ，若当m 12＞时，x ，y ，z 必为正序排列，则z 可以是( )A ．m 14+B ．﹣2m +4C ．m 2D ．1A．甲B．乙C．丙D．丁故选：D ．【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握配方法是解题的关键．7．代数式243x x -+的最小值为（ ）．A ．1-B ．0C ．3D ．5【答案】A【分析】利用配方法对代数式做适当变形，通过计算即可得到答案．【解析】代数式()2224344121x x x x x -+=-+-=--∵()220x -³，∴()2211x --³-即代数式2|431x x -+³-，故选：A ．【点睛】本题考查了完全平方公式和不等式的知识；解题的关键是熟练掌握完全平方公式和不等式的性质，从而完成求解．8．已知625N m =-，22M m m =-(m 为任意实数)，则M 、N 的大小关系为（ ）A ．M N<B ．M N >C ．M N =D ．不能确定【答案】B 【分析】求出M N -的结果，再判断即可．【解析】根据题意，可知()22226258169490M N m m m m m m -=--+=-++=-+>，所以M N >．故选：B ．【点睛】本题主要考查了整式的加减运算，配方法的应用，掌握配方法是解题的关键．9．若22242021p a b a b =++++，则p 的最小值是（ ）A ．2021B ．2015C ．2016D ．没有最小值【答案】C【分析】将等式右边分组，配成两个完全平方式，即可根据平方的非负性进行解答．【解析】解：22242021p a b a b =++++2221442016a ab b =++++++()()2221442016a ab b =++++++()()22120162a b ++=++，∵()210a +³，()220b +³，∴p 的最小值为2016，故选：C ．【点睛】本题主要考查了配方法的应用，解题的关键是将原式分组配方．10．新定义：关于x 的一元二次方程21()0a x m k -+=与22()0a x m k -+=称为“同族二次方程”．如22021(3)40x -+=与23(3)40x -+=是“同族二次方程”．现有关于x 的一元二次方程22(1)10x -+=与()()22480a x b x ++-+=是“同族二次方程”，那么代数式22021ax bx ++能取的最小值是（ ）A ．2013B ．2014C ．2015D ．2016【答案】D【分析】根据同族二次方程的定义，可得出a 和b 的值，从而解得代数式的最小值．【解析】解：22(1)10x -+=Q 与2(2)(4)80a x b x ++-+=为同族二次方程．22(2)(4)8(2)(1)1a x b x a x \++-+=+-+，22(2)(4)8(2)2(2)3a x b x a x a x a \++-+=+-+++，∴42(2)83b a a -=-+ìí=+î，解得：510a b =ìí=-î．∴()22220215102021512016ax bx x x x ++=-+=-+\当1x =时，22021ax bx ++取最小值为2016．故选：D ．【点睛】此题主要考查了配方法的应用，解二元一次方程组的方法，理解同族二次方程的定义是解答本题的关键．二、填空题11．将一元二次方程2410x x -+=变形为()2x h k +=的形式为______三、解答题。
一元二次方程的解法—配方法
5、课后作业、拓展延伸
P41 A组2
教学后记：：
（1）x＝土2．
(2)
x十3＝士3，
x十3＝3或x十3＝一3，
x ＝0，x ＝一6．
这种方法叫直接开平方法．
(x十m) ＝n(n 0)．
因此，解一元二次方程的基本思路是将方程转化为(x+m)2=n 的形式，它的一边是一个完全平方式，另一边是一个常数，当n≥0 时，两边开平方便可求出它的根。
学生：P33 练习1
配方：填上适当的数，使下列等式成立：
（1）x2+12x+=(x+6)2
（2）x2―12x+=(x―)2
（3）x2+8x+=(x+)2
3、思考：解方程：
x2+12x－15=0
二、引例讲解、讲授新知
解：x 十12x一15＝0，
1、引入：像上面第3题，我们解方程会有困难，是否将方程转化为第1题的方程的形式呢？
（1）x1=5+ x2=5－
（2）x1=－3+ x2=－3－
这节课我们研究了一元二次方程的解法：
(1)直接开平方法．
(2)配方法．
即：(x+4)2=25
开平方，得：x+4=±5
即：x+4=5，或x+4=―5
所以：x1=1，x2=―9
4、配方法：通过配成完全平方式的方法得到了一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法。
三、课堂练习、巩固新知
1．解下列方程
(1) x 一l0x十25＝7； (2) x 十6ห้องสมุดไป่ตู้＝1.
2、书P33 2
2、解方程的基本思路（配方法）
一元二次方程的解法(二)配方法—知识讲解(基础
一元二次方程的解法（二）配方法—知识讲解（基础）【学习目标】1．了解配方法的概念，会用配方法解一元二次方程；2．掌握运用配方法解一元二次方程的基本步骤；3．通过用配方法将一元二次方程变形的过程，进一步体会转化的思想方法，并增强数学应用意识和能力.【要点梳理】知识点一、一元二次方程的解法---配方法1．配方法解一元二次方程：(1)配方法解一元二次方程：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.(2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：.(3)用配方法解一元二次方程的一般步骤：①把原方程化为的形式；②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解.要点诠释：（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方；（2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方.（3）配方法的理论依据是完全平方公式2222()a ab b a b ±+=±．知识点二、配方法的应用1．用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小.2．用于求待定字母的值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．3．用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值．4．用于证明：“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用．要点诠释：“配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同学们一定要把它学好．【典型例题】类型一、用配方法解一元二次方程首先把方程的二次项系数化为1，移项，然后在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方，左边就是完全平方式，右边就是常数，然后利用平方根的定义即可求解．【答案与解析】解：2x 2+3x ﹣1=0x 2+x 2+） x+x 1= 【点评】一般地，用先配方，再开平方的方法解一元二次方程，应按以下步骤进行：(1)把形如ax 2+bx+c=0(a ≠0)的方程中二次项的系数化为1；(2)把常数项移到方程的右边；(3)方程的两边都加“一次项系数一半的平方”，配方得形如(x+m)2=n(n ≥0)的方程；(4)用直接开平方的方法解此题．举一反三：【变式】用配方法解方程.(1)x 2-4x-2=0； (2)x 2+6x+8=0.【答案】(1)方程变形为x 2-4x=2．两边都加4，得x 2-4x+4=2+4．利用完全平方公式，就得到形如(x+m)2=n 的方程，即有(x-2)2=6．解这个方程，得x-2=或x-2=-． 于是，原方程的根为x=2+或x=2-． (2)将常数项移到方程右边x 2+6x=-8．两边都加“一次项系数一半的平方”=32，得 x 2+6x+32=-8+32， ∴ (x+3)2=1．用直接开平方法，得x+3=±1，∴ x=-2或x=-4．类型二、配方法在代数中的应用2．若代数式221078M a b a =+-+，2251N a b a =+++，则M N -的值（ ）Ａ．一定是负数 Ｂ．一定是正数 Ｃ．一定不是负数 Ｄ．一定不是正数【答案】B ；【解析】（作差法）22221078(51)M N a b a a b a -=+-+-+++2222107851a b a a b a =+-+----29127a a =-+291243a a =-++2(32)30a =-+>．故选Ｂ．【点评】本例是“配方法”在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项、配成完全平方，使此差大于零而比较出大小.【高清ID 号：388499关联的位置名称（播放点名称）：配方法与代数式的最值—例4】【答案与解析】解：﹣8x 2+12x ﹣5=﹣8（x 2﹣x ）﹣5=﹣8[x 2﹣x+（）2]﹣5+8×（）2=﹣8（x ﹣）2﹣，∵（x ﹣）2≥0，∴﹣8（x ﹣）2≤0，∴﹣8（x ﹣）2﹣＜0，即﹣8x 2+12﹣5的值一定小于0．【点评】利用配方法将代数式配成完全平方式后，再分析代数式值的符号. 注意在变形的过程中不要改变式子的值．举一反三：【高清ID 号：388499关联的位置名称（播放点名称）：配方法与代数式的最值—例4变式1】【变式】求代数式 x 2+8x+17的最小值【答案】x 2+8x+17= x 2+8x+42-42+17=（x+4）2+1∵（x+4）2≥0，∴当（x+4）2=0时，代数式 x 2+8x+17的最小值是1.4．已知223730216b a a b -+-+=，求4a b -的值． 【思路点拨】解此题关键是把3716拆成91416+ ，可配成两个完全平方式． 【答案与解析】将原式进行配方，得2291304216b a a b ⎛⎫⎛⎫-++-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即2231024a b ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴ 302a -=且104b -=， ∴ 32a =，14b =．∴ 3312222a -=-=-=-． 【点评】本题可将原式用配方法转化成平方和等于0的形式，进而求出a ．b 的值．。
一元二次方程的解法--配方法
(2) x2 2x 1 6
(3) x2 2x 5
例题1
(1) y2 6 y 4 0 (2)x2 6 5x
例2、用配方法解下列方程：
(1) x2 6x 27 0
(2) x2 3x 1 0
提高
9x2 6x 3 0
x2 6x 7 0
变
这种方
形 为
程怎样 解？
2 a 的形式．（ａ为非负常数）
；资质办理 /banli/ 资质办理
；
《千字文》《牡丹诗》。瘦金体的线条仿佛金戈银丝，有一年把玩《秾芳诗帖》，看久了，越发觉得线条薄利，笔锋可以削水果，手不敢触。我看瘦金体，老想到春秋时候的尖首刀币。 《秾芳诗帖》，大字楷书长卷，每行二字，共二十行，清人陈邦彦曾题跋道：“此卷以画法作书，脱去笔墨畦 径，行间如幽兰丛竹，泠泠作风雨声。” 纤细，青郁，劲挺，有力，瘦金体之味差不多就是这样。不要说书法，宋人文章也涓涓始流一派文气，不像唐朝欣欣向荣、郁郁勃发。唐人写时间流逝无可奈何，“念天地之悠悠，独怆然而涕下”，宋人却是“夕阳西下几时回？无可奈何花落去”。唐朝 人慷慨，宋朝人感慨。慨慷常常是壮士，感慨往往为道家，宋徽宗恰恰是道君皇帝。 中国艺术，道家的痕迹处处可见，阴阳为骨，无为是表。前些时日读《易经》，象曰：“风行水上，涣。”大意是水上见风，涟漪泛起，散而不乱，涣然而和，成自然之象。宋人书法，受老庄道家影响，大抵虚 静，瘦金体是异数。每见瘦金体，像在冬天的梅园游玩，老树新花，四周一望，虚室生白，全是一片吉祥。 有回在朋友画室玩，他运转提顿写瘦金体给我看。想起当年的赵佶，一笔一画运转提顿在汴京皇城里自得其乐。瘦金体的精气神是入世的，也是出世的，更多还是入世的。我读赵佶书法， 读出自得其乐——天下
一元二次方程的解法--配方法
x2 6x 7 0
变
这种方
形 为
程怎样 解？
2 a 的形式．（ａ为非负常数）
２、请说出完全平方公式
x a2 x2 2ax a2
x a2 x2 2ax a2
根据完全平方公式填空(格式如题(1))
(1) x2 8x ___4_2_ (x __４___)2
一元二次方程的解法（1）
一般地，对于形如
(mx n)2 p( p 0)
的方程，根据平方根的意义，可 解得什么？
１.方程 x2 0.25的根是 ；
２.方程 2 x2 18 的根是
3.方程 (2x 1)2 9的是
；
如何变形？
x2 10x 25 9 变形为 (x 5)2 9
提高
9x2 6x 3 0
；/ MES软件 ；
啪声挥开.她发出一声轻微痛呼,握住手腕.“华华！”忽然从旁边林子里窜出一人,快步来到康荣荣身边扶着她の手仔细端详,“你手没事吧？”“没事,这是旧伤.”康荣荣挣开,看他一眼,“辉哥,你怎么来了？不是出远差吗？”赖正辉眉头深锁,“现在交通发达,去哪儿都快.”眼神复杂地 看着一脸漠然の陆羽,用半开玩笑の轻松语气道,“陆陆,这玩笑开不得,看,有人生气了.”陆羽转头一看,神情冷淡の柏少华正站在她身边不远,目光清冷地盯着自己.“我没说过,是她自己说の.”她冷静地解释一句.康荣荣忙点头,“确实是我说の,对不起,我们只是开个玩笑,你们别当真.” 有了之前の那番话,如今不管她承不承认,在大家心里已经认定是陆羽说の.这一点康荣荣清楚,陆羽也明白,所以多说无益.柏少华拄着拐杖慢慢来到她跟前,在他冷漠の注视下,不知怎の,一股委屈涌上心头,陆羽秀眉轻颤,眼眶微热.为这事哭太糗了.她忙收回目光准备离开,