数学试题卷参考答案及评分建议
山东省烟台市初三数学第一学期期末考试真题及答案解析
山东省烟台市初三数学第一学期期末考试真题及答案解析（第一部分：基础演练，满分120分）一、 选择题（3′×12=36′）1、 下列智能手机的功能图标中，是中心对称图形但不是轴对称图形的有（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2、 下列各式从左到右的变形属于因式分解的是（ ）A.（m -2）（m -3）= （2-m ） （3-m ）B. 3a -6b +3=3（a -2b ）C. （x +1）（x -1）=x 2-1D. x 2-7x +12=（x -4）（x -3） 3、下列对代数式12---x x 的变形，不正确的是（ ）A. 1-2--x x B. xx -1-2 C. 12--x x D. xx -12--4、使分式23422++-x x x 的值为零的x 的值是（ ） A ． x =2 B ． x = -2或x =-1 C ． x =±2 D ． x = -2 5、下列命题中，正确的命题是（ ）A. 有一个角是直角的四边形是矩形B. 对角线互相垂直的四边形是菱形C. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形D. 对角线互相平分的四边形是平行四边形6、小亮根据演讲比赛中九位评委所给的分数制作了如下表格： 如果要去掉一个最高分和一个最低分，则表中数据一定不发生变化的是（ ）A. 平均数B. 众数C. 方差D. 中位数7、在俄罗斯方块游戏中，所有出现的方格体自由下落，如果一行中九个方格齐全，那么这一行会自动消失．已拼好的图案如图所示，现又出现一小方格体，必须进行以下哪项操作，才能拼成一个完整图案，使其全部自动消失（ ） A ．顺时针旋转90°，向下平移 B ．逆时针旋转90°，向下平移 C ．顺时针旋转90°，向右平移 D ．逆时针旋转90°，向右平移8、如图所示，在平行四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，E ，F 是对角线AC 上的两点，当E ，F 满足下列哪个条件时，四边形DEBF 不一定是平行四边形（ ）A. OE=OFB. ∠ADE=∠CBFC. DE=BFD. ∠ABE=∠CDF 9、如图，在平行四边形ABCD 中，∠A=47°，将平行四边形折叠，使点D ，C 分别落在点F ，E 处（点F ，E 都在AB 所在的直线上），折痕为MN ，则∠AMF 等于（ ） A. 47° B. 86° C. 90° D. 94° 10、如图，在菱形ABCD 中，M ，N 分别在AB ，CD 上，且AM=CN ，MN 与AC 交于点O ，连接BO.若∠DAC=29°，则 ∠OBC 的度数为（ ） A. 29° B. 58° C. 61° D. 71°11、 某次列车平均提速20km/h ，用相同的时间，列车提速前行驶400km ，提速前比提速后多行驶100km ，平均数 中位数 众数 方差 8.5 8.3 8.1 0.15A. 20100400400-+=x xB. 20100400400++=x xC. 20100400400+-=x xD. 20100400400--=x x12、如图，平行四边形ABCD 中，AB=10cm ，AD=15cm ，点P 在AD 边上以每秒1cm 的速度从点A 向点D 运动，点Q 在BC 边上，以每秒3cm 的速度从点C 出发，在CB 间往返运动，两个点同时出发，点P 到达点D 时停止（同时点Q 也停止运动），在运动以后，当以点P 、D 、Q 、B 为顶点组成平行四边形时，运动时间t 为（ ） A. 6秒 B. 6.5秒 C. 7.5秒 D. 15秒 二、填空题（3分×6=18分）13、若关于x 的分式方程33122x m x x +-=--有增根，则m = . 14、用一条宽度相等的足够长的纸条打一个结（如图1所示）然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形ABCDE.图中，∠BAC= .15、如图，四边形ABCD 是菱形，点O 是对角线的交点，三条直线都经过点O ，图中阴影面积为24cm 2，其中一条对角线长为6cm ，则另一条对角线长为 cm.16、如图，将△ABC 沿射线BC 方向移动，使点B 移动到点C ，得到△DCE ，连接AE ，若△ABC 的面积为4，则△ACF 的面积为 .17、如图所示，在△ABC 中，M 是BC 的中点，AN 平分∠BAC ，BN ⊥AN.若AB=14，AC=19，则MN 的长为 . 18、如图，正方形ABCD 的边长为6，E 为BC 上的一点，BE=1，F 为AB 上的一点，AF=3，P 为AC 上一点，则PF+PE 的最小值为 . 三、解答题（66分）19、（12分）先化简，再求值：（1） 2222a b ab b b aab⎛⎫+--÷ ⎪⎝⎭，已知a =b -8.（2）先化简：⎪⎭⎫ ⎝⎛--÷+-+x x x x x x 1121222，再从-2≤x ＜3的范围内选取一个适合的整数代入求值.20、（10分）如图，等边△ABC 的边长是4，D 、E 分别为AB 、AC 的中点，延长BC 至点F ，使CF=21BC ，连接CD 和EF.（1）求证：DE=CF ； （2）求EF 的长．21、（10分）如图，△ABC 三个顶点的坐标分别为A （1，1），B （4，2），C （3，4）． （1）画出△ABC 向下平移5个单位长度后得到的△A 1B 1C 1； （2）画出△ABC 关于原点对称的△A 2B 2C 2； （3）画出△ABC 绕点A 逆时针旋转90°后得到的△AB 3C 3；（3）在x 轴上求作一点P ，使△P AB 的周长最小，画出△P AB ，并直接写出点P 的坐标．22、（12分）某学校在初三级部举行了全员参加的数学运算能力竞赛，试卷题目共10题，每题10分.现分别从三个班中各随机取10名同学的成绩（单位：分），收集数据如下： 整理数据： 分析数据：根据以上信息回答下列问题：（1）a = ，b = ，c = ，d = ；（2）比较这三组样本数据的平均数、中位数和众数，你认为哪个班的成绩比较好，请说明理由； （3）已知三班方差为S 32=141，请计算1班方差S 12并判断1班，3班哪个班的成绩比较稳定；（4）为了让学生重视数学运算学习，学校将给竞赛成绩满分的同学颁发奖状，该校初三共1200人，试估计需要准备多少张奖状？23、（10分）先阅读下面的内容，再解决问题. 例题：若m 2+2mn +2n 2-4n +4=0，求m 和n 的值. 解：∵m 2+2mn +2n 2-4n +4=0 ∴m 2+2mn +n 2+n 2-4n +4=0 ∴（m+n ）2+（n -2）2=0 ∴m+n =0，n -2=0 ∴m = -2，n =2.问题解决：（1）若x 2+2y 2-2xy +6y +9=0，求x y 的值；（2）已知a ，b ，c 是△ABC 的三边长，满足a 2+b 2=8a +6b -25，且c 是△ABC 中最长的边，求c 的取值范围． 班 数 人数 分数 60 70 80 90 100 1班 0 1 6 2 1 2班 1 1 3 a 1 3班 1 1 4 2 2 平均数 中位数 众数 1班 83 80 80 2班 83 c d 3班 b 80 8024、（12分）为落实大美福山“七纵十横”的城区路网大框架，区政府计划对城区道路进行了改造，现安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队的工作效率是乙队工作效率的1.5倍，甲队改造360米的道路比乙队改造同样长的道路少用3天．（1）甲、乙两工程队每天能改造道路的长度分别是多少米？（2）若甲队工作一天需付费用7万元，乙队工作一天需付费用5万元，如需改造的道路全长1200米，改造总费用不超过145万元，至少安排甲队工作多少天？（第二部分：能力挑战，满分30分）四、附加题25、（14分）某校八年级学习小组在探究学习过程中，用两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC 与AFE按如图1所示位置放置，∠A=90°，现将Rt△AEF绕A点按逆时针方向旋转角α（0°＜α＜90°），如图2，AE与BC交于点M，AC与EF交于点N，BC与EF交于点P．（1）求证：AM=AN；（2）当旋转角α=30°时，四边形ABPF是什么样的特殊四边形？并说明理由．26、（16分）如图1，已知点E，F分别为正方形ABCD的边BC，CD上的点，AF，DE相交于点G，当E，F分别为边BC，CD的中点时，有：①AF=DE；②AF⊥DE成立．试探究下列问题：（1）如图1，若点E不是边BC的中点，F不是边CD的中点，且CE=DF，上述结论①，②是否仍然成立？（请直接回答“成立”或“不成立”），不需要证明）（2）如图2，若点E，F分别在CB的延长线和DC的延长线上，且CE=DF，此时，上述结论①，②是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由；（3）如图3，在（2）的基础上，连接AE和EF，若点M，N，P，Q分别为AE，EF，FD，AD的中点，请判断四边形MNPQ是“矩形、菱形、正方形”中的哪一种，并证明你的结论．初三数学试题参考答案及评分建议(如有错误请组长及时更正)一、选择题（每小题3分，满分36分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案BDAADDCCBCBC二、填空题（每小题3分，满分18分）13. 3 14．36° 15．16 16．2 17．2.5 18．40(102或) 三、解答题（满分66分）19．（本题共2个小题，满分12分）解：（1）原式222=()22()a b ab ab a a b a b +-⋅-2()2a b a a a b-=⋅-………………2分2a b -=. ………………3分 ∵8a b =-，∴a －b =－8.………………4分∴原式=－4. ……………6分（2）原式=2(1)2(1)(1)(1)x x x x x x x +--÷-- =2(1)(1)(1)1x x x x x x +-⋅-+…………2分 =21x x - ……………3分∵x ≠－1，0，1，∴当x =2时，…………4分 原式=21x x -=2221-=4．…………6分(或当-2x =时，原式=34-……6分） 20. （本题满分10分）解：（1）∵ D ,E 分别是AB ,AC 中点 ∴DE 是△ABC 的中位线…………2分∴DE =21BC ,DE ∥BC ∵ CF =21BC ∴DE =CF ……………………5分 （2）∵ DE =CF DE ∥CF ∴四边形EDCF 是平行四边形 ∴EF =CD …………7分 ∵ D 是AB 的中点，等边△ABC 的边长为4∴CD =32 …………9分∴FE =CD =32 …………10分 21.（本题共10分，每小题画图各2分） （1）△111C B A 如图； ………………2分 （2）△222C B A 如图；………………4分（3）△33C AB 如图，3C 的坐标是（－2,3）；.…………7分 （4）点P 和△P AB 如图，点P 的坐标是（2,0）…………10分22. （本题满分12分）解：（1）设乙工程队每天能改造道路的长度为x 米，则甲工程队每天能改造道路的长度为23x 米，…1分 根据题意得：323360360=-x x ………3分 解得：x =40，…………4分 经检验，x =40是原分式方程的解，且符合题意，…………5分 ∴23x =23×40=60． …………6分 答：乙工程队每天能改造道路的长度为40米，甲工程队每天能改造道路的长度为60米．………7分 （2）设安排甲队工作m 天，则安排乙队工作4060-1200m天，………………8分根据题意得：7m +5×4060-1200m≤145， …………10分解得：m ≥10． …………11分答：至少安排甲队工作10天。
小学期末学业水平检测六年级上册数学试卷评分建议及部分参考答案
小学期末学业水平检测六年级上册数学试卷评分建议及部分参考答案
卷面整洁、书写端正共2分。
如果卷面有破损、脏乱、用涂改液、书写潦草等，
酌情扣分。
一、填空。
每空1分，共25分。
１．、1 2．96﹪、4﹪3．3、18、20、60 4．b、a 5．6:5、1.2 6．3、 7．、3.14﹪8．60 9．80、160 10．55 11．12.5、
25π 12．18.84、3、28.26二、判断。
每题1分，共5分。
1．√2．×3．×4．√5．×
三、选择。
每题1分，共5分。
1．C 2．B 3．A 4．B 5．C
四、计算。
共26分。
1．直接写出得数。
每道1分，计8分。
（略）2．计算下面各题，能用简便算法的就用简便算法。
每道3分（过程2分，结果1分。
能简算未简算但四则运算过程结果都正确的扣1分）。
（略）3．解方程。
每题3分（过程2分，结果1分）。
（略）
五、算算、画画。
共10分。
1．画圆2分；画对三角形的一个顶点1分。
计5分。
（略）
2．计算圆环面积5分。
（略）
六、解决问题。
共27分。
第1至5题每题4分（列式3分，计算1分）；第6题①每空1分，②列式2分，计算1分，③提出问题1分，解答1分。
（略）。
山东省烟台市蓬莱区(五四制)2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题(含答案)
蓬莱区2024-2025学年第一学期期中学业水平考试初四数学试题一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题都给出标号为A ，B ，C ，D 四个备选答案，其中有且只有一个是正确的．1．如图，在中，，，，，则下列选项错误的是（）第1题图A ．B ．C ．D ．2．下列关系式中，属于二次函数的是（x 为自变量）（ ）A ．B ．C ．D ．3．在中，∠A 和∠C 都是锐角，且，的形状是（ ）A ．直角三角形 B ．钝角三角形C．等边三角形D ．不能确定4．如果在高为2米，坡度为1:2的楼梯上铺地毯，那么地毯长度至少需要（ ）A ．2米B ．6米C ．米D ．米5．已知反比例函数图像经过点，下列说法中不正确的是（ ）A ．该函数图像在第二、四象限B ．点在该函数图像上C ．当时，D ．y 随x 的增大而增大6．已知二次函数的图像与x 轴有交点，则k 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．且D ．且7．如图，在边长相等的小正方形组成的网格中，点A ，B ，C 都在格点上，那么的值（）ABC △90C ∠=︒BC a =AC b =AB c =sin a A c=cos a B c=tan a A b=tan b B c=218y x =y =21y x =22y a x=ABC △sin A =tan C =ABC △2+ky x=-()2,3-()1,6-1x >60y -<<()2321y k x x =-+-2k ≥2k ≤2k ≥3k ≠4k ≥-3k ≠sin ACB ∠第7题图ABCD ．8．如图，在中，O 是角平分线AD ，BE 的交点，若，，则的值是（）第8题图AB ．CD ．9．一次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．10．如图①，在中，，，F 是边AB 的中点，P 是边BC 上一动点，设，，图②是y 关于x 的函数图象，图象中的最低点的坐标为，那么的值为（）13ABC △10AB AC ==12BC =tan OBD ∠2312y ax b =+cy x=2y ax bx c =+-ABC △AB AC =120BAC ∠=︒PC x =PA PE y +=(),b a a b +第10题图AB ．C ．D二、填空题（共6个小题，每小题3分，满分18分）11．函数x 的取值范围是______．12．点和点在反比例函数（k 为常数）的图象上，若，则，，0的大小关系为______．（用“<”连接）13．如图，在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，平行四边形ABCD 的顶点A 、B 在x 轴的正半轴上，顶点C 在第一象限内，顶点D 在y 轴的正半轴上，对角线AC 和BD 相交于点E 且，函数的图象经过点E ．若平行四边形ABCD 的面积为8，则k 的值为______．第13题图14．在中，，，则BC 的长为______．15．若抛物线与一次函数的图象都经过同一定点，则代数式的值是______．16．如图，已知开口向下的抛物线对称轴为直线，与x 轴交于点，与一次函数的图象交于，．下列结论正确的有______．（填序号）4+4+y =()11,M x y ()22,N x y 223k k y x-+=120x x <<1y 2y AC AB ⊥()0,0ky k x x=>>ABC △1tan 2B ∠=AB =2AC =()21y x a x a =+--y ax b =+23a ab +-()210y ax bx c a =++≠1x =-()1,0()20y mx n m =+≠()2,A p -()1.5,B q第16题图①；②；③使不等式成立的x 的取值范围是或；④若关于x 的一元二次方程有实数根，则；三、解答题（本大题共9个题．满分72分，解答题要写出必要的计算步骤或文字说明或说理过程）17．（本题满分8分）计算：（1（2）．18．（本题满分6分）如图，AD 是的中线，，，，求：（1）BC 的长；（2）∠ADC 的值．19．（本题满分9分）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，连接AO ，BO ，延长AO 交反比例函数图象于点C ．（1）求一次函数与反比例函数的表达式；（2）当时，自变量x 的取值范围；0abc <20a b +=2ax bx c mx n ++<+2x <- 1.5x >210ax bx cd ++-+=1d a c≥-+6045tan 60︒-︒︒-︒()112cos30tan 602π 3.142-⎛⎫︒+︒-+-+- ⎪⎝⎭ABC △1tan 3B =cos C =AC =1y ax b =+2ky x=()2,8A ()8,B n 1y 2y 12y y <（3）点P 是x 轴上一点，当时，请求出点P 的坐标．20．（本题满分10分）已知二次函数图象的顶点坐标为，且图象经过点，．（1）求二次函数的表达式；（2）将二次函数的图象向右平移个单位，图象经过点，求m 的值；（3）在由（2）平移后的图象上，当时，函数的最小值为－3，求n 的值．21．（本题满分9分）图1，2分别是某吊车在吊一物品时的实物图与示意图，已知吊车底盘CD 的高度为2米，支架BC 的长为4米，BC 的坡度为，吊绳AB 与支架BC 的夹角为80°，吊臂AC 与地面成70°角，求吊车的吊臂顶端A 点距地面的高度是多少米？（精确到0.1米；参考数据：，，，，）22．（本题满分9分）操作与探究：（1）在如图的平面直角坐标系xOy 中画出函数的图象；（2）仔细观察图象，结合所学知识解答下列问题：①当函数值时，自变量x 的取值范围是______；45PAC AOB S S =△△()1,4-()3,0()0,3-()0m m >151,4⎛⎫-⎪⎝⎭21n x n -≤≤+sin10cos800.17︒=︒≈cos10sin 800.98︒=︒≈sin 20cos 700.34︒=︒≈tan 70 2.75︒≈sin 700.94︒≈223y x x =--+0y ≥②当时，y 随x 的增大而增大，则m 的取值范围是______；③当时，函数值，直接写出n 的取值范围______．23．（本题满分9分）中国蓬莱，位于山东半岛东部，以其独特的地理条件和丰富的葡萄种植资源而闻名于世．如今，蓬莱凭借其得天独厚的气候与土壤条件，成功跻身世界七大葡萄海岸之列，吸引着众多葡萄酒爱好者和旅行者前来探索．某店购进一种葡萄酒，每瓶进价为50元，规定销售单价不低于成本．该葡萄酒月销售量y （瓶）与售价x （元/瓶）的变化情况部分数据如下表：售价x （元/瓶）…55606570…销售量y （瓶）…1500140013001200…（1）请你根据表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识直接判断y 是关于x 的哪种函数，并求出函数关系式；（2）若该种葡萄酒的每瓶利润不超过进价的30%，设这种葡萄酒每月的总利润为w （元），那么售价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少元？24．（本题满分12分）如图，抛物线与x 轴交于点，，与y轴交于点C ，连接BC ．（1）求抛物线的解析式；（2）点P 在BC 下方的抛物线上，连接BP ，CP ，若，求点P 的坐标；（3）点N 在线段OC 上，若存在最小值n ，求点N 的坐标及n 的值．x m <2x n -≤≤34y ≤≤24y ax bx =+-()1,0A -()4,0B 12BCP BOC S S =△△AN +2024-2025学年度第一学期期中学业水平考试初四数学试题参考答案及评分建议一、选择题（每小题3分，满分30分）题号12345678910答案D A C B D C C D B A 二、填空题（每小题3分，满分18分）11．且12．13．4 14．15．－3 16．③④三、解答题（满分72分）17．（本题满分8分）（1）解：原式（2）原式．18．（本题满分6分）（1）解：过点A作于点E，∵，∴，在中，，∴，在中，，即，∴，∴；（2）解：∵AD是的中线，∴，∴，∵，，∴．19．（本题满分9分）解：（1）将代入得，解得，∴反比例函数的解析式为，1x≥-1x≠12y y<<13352222 ==--=-=22231242=---+=+-=-AE BC⊥cos C=45C∠=︒Rt ACE△cos1CE AC C=⋅=1AE CE==Rt ABE△1tan3B=13AEBE=33BE AE==4BC BE CE=+=ABC△122CD BC==1DE CD CE=-=AE BC⊥DE AE=45ADC∠=︒()2,8A2kyx=82k=16k=216yx=把代入得，，∴，将，代入得，解得，∴一次函数为；（2）由图象可知，当时，自变量x 的取值范围为：或；（3）设一次函数与x 轴的交点为D由题意可知，把∴，代入得，，解得，∴，∴，∵，∴，∴，即，∴，∴或．20．（本题满分10分）解：（1）∵二次函数图象的顶点坐标为，设二次函数解析式为：，∵二次函数图象经过点，，∴，解得：，∴二次函数解析式为；（2）将二次函数的图象向右平移个单位后，二次函数解析式为，∵平移后二次函数图象经过点，∴，()8,B n 1628n ==()8,2B ()2,8A ()8,2B 1y ax b =+2881a b a b +=⎧⎨+=⎩110a b =-⎧⎨=⎩110y x =-+12y y <8x >02x <<1y OA OC =2APC AOP S S =△△0y =110y x =-+10x x =-+10x =()10,0D 111081023022AOB AOD BOD S S S =-=⨯⨯-⨯⨯=△△△44302455PAC AOB S S ==⨯=△△224AOP S =△12242A OP y ⨯⨯=128242OP ⨯⨯=3OP =()3,0P ()3,0P -()1,4-()214y a x =--()3,0()0,3-()23014a -=--1a =()221423y x x x =--=--()0m m >()214y x m =---151,4⎛⎫-⎪⎝⎭()2151144m -=---解得：，（舍去），∴m的值为；（3）由（2）可知：平移后二次函数解析式为，函数图像开口向上，对称轴为，当函数取值为－3时，则有，解得：，，∵当时，函数的最小值为－3，∴x 的取值为或，①当x 的取值为时，则有，解得：，②当x 的取值为时，则有，解得：，∴n 的值为或．21．（本题满分9分）解：如图，由题可知，，，米，米，，，∵BC 的坡度为，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，过点A 作于M ，∴米，∵在中，米，，∴，∴米，∵在中，米，，112m =212m =-122342y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭32x =23342x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭152x =212x =21n x n -≤≤+212x =152x =212x =112n +=12n =-152x =522n -=92n =12-92BH HE ⊥AE HE ⊥2CD =4BC =80ABC ∠=︒70ACE ∠=︒tan BH BCH CH ∠===30BCH ∠=︒180BCH ACB ACE ∠+∠+∠=︒80ACB ∠=︒80ABC ∠=︒ABC ACB ∠=∠AB AC =AM BC ⊥2CM BM ==Rt ACM △2CM =80ACB ∠=︒cos cos800.17CM ACB AC ∠==︒≈22000.170.1717CM AC ===Rt ACE △20017AC =70ACE ∠=︒∴，∴米，∴米，∴点A 到地面的距离为13．1米22．（本题满分9分）（1）列表：x …－3－2－101…y…343…描点，连线，如图，（2）①根据图象可知，当函数值时，自变量x 的取值范围是；②根据图象可知，当时，y 随x 的增大而增大，当时，y 随x 的增大而增大，则m 的取值范围是；③根据图象可知，n 的取值范围是．23．（本题满分9分）解：（1）根据表格信息，设售价x （元/瓶）与销售量y （瓶）的解析式为：，且，，∴，解得，，∴函数解析式为：，当时，；当时，；符合题意，∴y 与x 是一次函数，解析式为：；（2）售价为x （元/瓶），进价为50（元/瓶），∴单件利润为：元/瓶，sin sin 700.94AE ACE AC =∠=︒≈2001880.9411.11717AE =⨯=≈11.1213.1AE CD +=+=0y ≥31x -≤≤1x <-x m <1m ≤-10n -≤≤()0y kx b k =+≠()55,1500()60,1400551500601400k b k b +=⎧⎨+=⎩202600k b =-⎧⎨=⎩202600y x =-+65x =1300y =70x =1200y =202600y x =-+()50x -∴，∴每盒利润不超过进价的30%，∴，解得，，∵，开口向下，且对称轴为，∴当时，w 随x 的增大而增大；当时，w 随x 的增大而减小；∴当时，利润取得最大值，且（元），∴售价为65元时可获得最大利润，最大利润为19500元．24．（本题满分12分）解：（1）将，坐标代入得，，解得，∴抛物线的解析式为：，（2）解：令，得，则；设直线BC 的解析式为，则，解得，∴直线BC 的解析式为，如图，过点P 作轴，交BC 于点D ．设点P 的坐标为，则点D 的坐标为．∴．由，得．解得．∴点P 的坐标为或；（3）解：如图，作，垂足为点E ．()()()25050202600203600130000w x y x x x x =-=--+=-+-505030%x -≤⨯65x ≤200-<()360090220x =-=⨯-90x <90x >65x =2206536006513000019500w =-⨯+⨯-=()1,0A -()4,0B 24y ax bx =+-4016440a b a b --=⎧⎨+-=⎩13a b =⎧⎨=-⎩234y x x =--0x =4y =-()0,4C -y mx n =+404m n n +=⎧⎨=-⎩14m n =⎧⎨=-⎩4y x =-PH x ⊥()2,34m m m --(),4m m -24DP m m =-+12BCP BOC S S =△△()21114444222m m -+⨯=⨯⨯⨯12m =+22m =-()24-()24-NE CB ⊥∵，，∴，∴，∴为等腰直角三角形．∴．∴．当点A ，N ，E 共线时，有最小值．最小值n 为线段AE 的长，∵为等腰直角三角形，∴，∴，∴为等腰直角三角形，∴，∴为等腰直角三角形．∴，即点N 的坐标为．∴．∴n()0,4C -()4,0B 4OB OC ==45OCB ∠=︒NCE △sin 45NE NC =⋅︒=AN AN NE +=+AN NE +NCE △45CNE ∠=︒45ANO CNE ∠=∠=︒AON △45NAO ∠=︒ABE △1ON OA ==()0,1-sin 45AE AB =⋅︒=。
江苏省南通市2023届高三第二次调研测试数学试题 附答案与评分建议
南通市2023届高三第二次调研测试数学参考答案与讲评建议一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若M ，N 是U 的非空子集，M ∩N = M ，则A ．M ⊆NB ．N ⊆MC ．U ðM =ND ．U ðN = M【答案】A2．若i z = (1- 2i )2，则z =A ．4+ 3iB ．4- 3iC ．- 4+ 3iD ．- 4- 3i【答案】C3．已知(x 3+ 22x)n 的展开式中各项系数和为243，则展开式中常数项为A ．60B ．80C ．100D ．120【答案】B4．古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础．现根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑物的高度，已知点A 是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上B ，C 两点与点A 在同一条直线上，且在点A 的同侧．若在B ，C 处分别测得球体建筑物的最大仰角为60°和20°，且BC = 100m ，则该球体建筑物的高度约为（cos10°≈0.985）A ．49.25mB ．50.76mC ．56.74mD ．58.60m【答案】B5．在▱ABCD 中，12BE BC = ，13AF AE =．若AB mDF nAE =+ ，则m + n =A ．12B ．34C ．56D ．43【答案】D6．记函数f (x )= sin (ωx + π4)(ω>0)的最小正周期为T ．若ππ2T <<，且f (x )≤|f ( π3)|，则ω=A ．34B ．94C ．154D ．274【答案】C7．已知函数f (x )的定义域为R ，y =f (x )+e x 是偶函数，y =f (x )- 3e x 是奇函数，则f (x )的最小值为A ．eB ．C ．D ．2 e【答案】B8．已知F 1，F 2分别是双曲线C ：22221(00)y x a b a b-=>>，的左、右焦点，点P 在双曲线上，PF 1⊥PF 2，圆O ：22229()4x y a b +=+，直线PF 1与圆O 相交于A ，B 两点，直线PF 2与圆O 相交于M ，N 两点．若四边形AMBN 的面积为9b 2，则C 的离心率为A ．54B ．85C D ．【答案】D二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
二年级数学下册学业水平测试卷(人教版)试卷参考答案和评分标准
二年级数学下册学业水平测试卷（人教版）试卷参考答案和评分标准平罗县城关第四小学安惠霞一、填一填共22分，1小题3分，2、5、8、9小题每空0.5分，其余每小题1分。
参考答案：1. 6×3=18或3×6=18；18 ÷3 = 6或18 ÷3 = 62. ②④③3．2和5或5和2；1和6或6和1，3和8或8和3，4和7或7和44.10，四， 15.126， 580,2374,30036.五千四百六十四7.2008. <， >，=9.千克，克，米10.（1）23,30，38 （2）■◇◆□二、火眼金睛来当老师共8分，每题2分参考答案：1. × 2. × 3．√ 4.√ 5. × 6. √ 7.√ 8. ×三、快乐选择，共5分 ,每题1分参考答案：1. ② 2. ③ 3．③ 4. ③ 5. ① 6. ① 7. ②四、看清题目，精心细算共 39分1.直接写得数共15分，每题1分参考答案： 2 12 4 9 93 8 1 110 90320 1100 1000 900 2002.用竖式计算共8分，每题2分参考答案：520 190 134 12103.用递等式计算共8分，每题2分，按步骤给分参考答案：55 40 4 354.列式计算共8分，每题2分参考答案：① 40÷8=5 ②20÷5=4 ③ 28÷7=4 ④ 25+60=85五、移一移，画一画共3分，答案（略）六、解决问题共22分， 4.5各5分，其余每题3分参考答案：1. 36÷6=6（天） 36÷4=9（页）2.26+30=56（名） 56÷8=7（个）3.116+268=384（元） 500〉384 够或116+268≈400（元） 500〉400 够4. ①打游戏机②看动画片③略④提问和解答各0.5分⑤发现：同学们课余时间喜欢打游戏机和看动画片。
四年级数学试卷参考答案及评分建议
四年级数学试卷参考答案及评分建议一、看清数据，细心计算（8分+14分+9分=31分）1.直接写出得数。
（每题1分，共8分）5 3 7 1600 4 646 92.用竖式计算，带*题要验算。
（前面3题每题3分，验算题5分，每个竖式2分，得数1分。
共14分）7......2 20......25 32......13 67 (40)3.计算下面各题。
（每题3分，共9分）50－15×39÷65 320÷（16＋48）×92 432÷［12×（216÷36）］=50－585÷65 =320÷64×92 =432÷［12×6］……1分=50－9 =5×92 =432÷72 ……1分=41 =460 =6 ……1分二、认真读题，正确填空（每空1分，共22分）1.9000 72.63.4 两 34. 13……200 13……105.546.方块（画图也可以），2 37. 锐角75°直角90°平角180° 8.9.∠2＝140°，∠3＝40°三、反复比较，慎重选择（每题1分，共6分）1．B 2．C 3．C 4．A 5．A 6．C四、明确要求，动手操作（4分+3分+7分+4分=18分）1．量出下面每个角的度数（左右悬殊3°），每小题2分，共4分。
55° 130°2．画出最短路线2分，填空1分，（50）3.（1）图略，每个图2分（2）填空1分，（○3）4.（1）每空1分，共2分△○（2）设计一个按周期排列的图形序列，正确即可。
……2分五、学以致用，解决问题（5分×3+8分=23分）1.600÷20=30（元）……2分30÷2=15（元）……1分600÷15=40（箱）……2分第二个问题也可以用20×20=40(箱)2.（1）（15+18）×20=33×20=660（箱）或15×20+18×20……2分（2）48×18-35×15=864-525=339（元）……3分也可以分步列式，分步赋分3．（1）（23+34+20+28+51+47+21）÷7=32（本）……3分（2）32×32=960（本）……2分4．（1）画出统计图，每个直条1分，如有未填时间-0.5分填空每空1分。
浙教版八年级第一学期第一次阶段数学试题卷及答案
PDEF浙教版八年级第一学期第一次阶段数学试题卷亲爱的同学们：转眼间，你进入八年级的第一个学期已一个多月了，回头看看，你收获到了哪些？通过这份测试卷，检验一下你自己，相信你会给自己、给大家一个惊喜、沉着、冷静，动动脑，开始吧．温馨提示：1.试卷共4页，答题纸4页，满分100分，考试时间90分钟。
2.答案必须写在答题纸相应的位置上，写在试卷、草稿纸上无效。
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分）1．如图，工人师傅砌门时，常用木条EF 固定长方形门框ABCD ，使其不变形，这样做的根据是（）．A ．两点之间的线段最短B ．长方形的四个角都是直角C ．长方形是轴对称图形D ．三角形有稳定性第1题图 第3题图 第4题图 第6题图 2．下面每组数分别是三根小木棒的长度, 它们能摆成三角形的是（ ）. A. 12cm, 3cm, 6cm B. 8cm, 16cm, 8cm C.6cm, 6cm, 13cm D. 2cm, 3cm, 4cm 3．如图，一次数学活动课上，小聪将一副三角板按图中方式叠放，则α∠等于 （ ）． A ．10° B ．15° C ．30° D ．45° 4．如图，已知∠BAC=∠DAC ，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC ≌△ADC 的是（ ）. A ．CB=CD B ．AB=AD C ．∠BCA=∠DCA D ．∠B=∠D 5．正n 边形的每个内角都是135°，则n 的值为 （ ）.A ．7B ．8C ．9D ．106．如图，三条直线表示相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有( ) ．A.一处B. 两处C.三处D.四处7．如图，在△ABC 中，∠C=40°，按图中虚线将∠C 剪去后，∠1+∠2等于（ ）. A.140° B.210° C.220° D.320°8．如图，已知∠A=∠B=∠BCD=90°，AB=CD=3，AD=5，BE=10，点C 是BE 的中点，动点P 从点B 出发以每秒1个单位的速度沿BC →CD →DA ，向终点A 运动，设点P 的运动时间为t 秒.当t 为多少秒时，△ABP 与△DCE 全等（）.A ．5B ．3或5C ．3或8D ．5或8CBE F aAxyBCO D C BAE第7题图 第8题图 第9题图 第10题图 9．如图，两组邻边分别相等的四边形我们称它为筝形．如图，在筝形ABCD 中，AB=AD ，BC=DC ，AC 与BD 相交于点O ，则①AC ⊥BD ；②AC 、BD 互相平分；③AC 平分∠BCD ；④∠ABC=∠ADC=90°；⑤筝形ABCD 的面积为BD AC ⋅21.上述判断正确的有（ ）个.A ．2B ．3C ．4D ．510．如图，在六边形ABCDEF 中，∠A+∠F+∠E+∠D =α，∠ABC 的平分线与∠BCD 的平分线交于点P ，则∠P 度数为（ ）. A ．11802α-︒B ．13602α︒-C ．11802α︒-D ． 13602α-︒ 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，满分18分）11. 已知：△ABC ≌△A ′B ′C ′，∠A=∠A ′，∠B=∠B ′，∠C=60°，AB=16cm ，则 ∠C ′=_________°，A ′B ′=__________cm.12. 已知一个等腰三角形的两边长为3和6，则它的周长等于_________.13. 如图，在△ABC 中，AD 平分∠CAB ，DE ⊥AB 于点E, DE=2， AC=6,则S △ADC =_________． 14．如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠2+∠3=_________°.第13题图 第14题图 第15题图15．如图，在坐标平面内有一等腰直角三角形ABC,直角顶点C （1，0），另一顶点A 的坐标为（－1，4），则点B 的坐标为 _________ ．16. 如图，在第1个△ABA 1，∠B =40°，∠BAA 1=∠BA 1A ；在A 1B 上取一点C ，延长AA 1到A 2，使得在第2个△A 1C A 2中，∠A 1CA 2=∠A 1 A 2C ；在A 2C 取一点D,延长A 1 A 2到A 3，使得在第3个△A 2DA 3中，∠A 2DA 3=∠A 2 A 3D ；…,按此顺序进行下去，第3个三角形中以A 3为顶点的内角的度数为_______°，第n 个三角形中以A n 为顶点的内角的度数为_________°.第16题图AB CDEA nA 4A 3A 2A 1DACBCDCABD21三、解答题（本题有7小题，第17～20题每题6分，第21、22题每题8分，第23题12分，共52分）17.如图，已知△ABC 中，AB=AC ，AD 平分∠BAC ，求证△ABD ≌△ACD第17题图18．如图，在△ABC 中，∠1=∠B ，∠2=∠C ，∠BAC=60°，求∠B 的度数．第18题图19．如图，已知△ABC ≌△A ＇B ＇C ＇，AD 、A ＇D ＇是对应边BC 、B ＇C ＇边上的高． （1）求证AD= A ＇D ＇（2）请用一句话来表述本题的结论．____________________________________________________________________. 第19题图20．如右图，在△ABC 中，∠B=40°，∠C=110°． （1）按要求画图：①作∠A 的角平分线AE （尺规作图）；②作BC 边上的高AD. （2）试求∠DAE 的度数．第20题图21．如图，∠A=∠B ，AE=BE ，点D 在AC 边上，∠1=∠2，AE 和BD 相交于点O ． （1）求证：△AEC ≌△BED ；（2）若AD:CD=3:2，S △EBD =10，求S △BOE -S △AOD第21题图AC22．如图，已知：OP平分∠MON，点A，B 分别在边O M，O N 上，且∠OAP＋∠OBP=180°， PC⊥OM于点C．（1）求证：PA=PB；（2）求证：OA－OB=2AC．第22题图23.（1）观察理解：如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线l过点C，点A、点B 在直线l同侧，BD⊥l，AE⊥l，垂足分别为D、E，由此可得：∠AEC=∠CDB=90°，所以∠CAE+∠ACE=90°，又因为∠ACB=90°，所以∠BCD+∠ACE=90°，所以∠CAE=∠BCD，又因为AC=BC，所以△AEC≌△CDB（）；（请填写全等判定的方法）（2）理解应用：如图2，AE⊥AB，且AE=AB，BC⊥CD，且BC=CD，利用(1)中的结论，请按照图中所标注的数据计算图中实．线．所围成的图形的面积S= ；（直接写出答案）（3）类比探究：如图3，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，将斜边AB绕点A逆时针旋转90°至AB＇，连结B＇C，求△AB＇C的面积；（4）拓展提升：如图4，等边△EBC中，∠EBC=∠BEC=∠ECB=60°，EC=BC=3cm，点O在BC上，且OC=2cm，动点P从点E沿射线EC以1cm/s速度运动，连结OP，将线段OP绕点O 逆时针旋转120°得到线段OF，当点F恰好落在射线EB上时，请补全图形，并求出点P运动的时间.数学答案参考答案及评分建议一、单选题（共 10 题， 共 30 分）1．D 2．D 3．B 4．A 5．B 6．D 7．C 8．D 9．B 10．A 二、填空题（共 8 题，共 18 分） 11．60，16（对一个得2分） 12．15 13．614．135° 15．（5，2） 16．235（1分），1270-n 或n 2140（2分） 三、解答题（共 8 题 ，共 52 分） 17．（6分）证明略 18．（6分）40°过程略 19．（1）（4分）证明略 （2）（2分） 全等三角形对应边上的高线相等. 20．（1）①（2分） ②（1分）略 （2）35°（3分）略 21．（1）（4分） 略 （2）（4分） 略 22．（8分） （1）（4分）证明略 （2）（4分）证明略 23．（12分） (1)（2分）AAS (2)（2分）50(3)（4分）过 B ′作 B ′E ⊥AC 于 E ，由旋转得：AB=AB ′， ∵∠BAB ′=90°，可证△AEB ′≌△BCA ， ∴AC=B ′E=4， ∴S △ AB ′C= 21AC .B ′E = 21⨯ 4⨯4 = 8(4)（4分）如图，∵∠FOP=120°， ∴∠FOB+∠COP=60°， ∵∠BCE=60°，∴∠COP+∠OPC=60°， ∴∠FOB=∠OPC ，∵OF=OP ，∠OBF=∠OCP=120°， ∴△PCO ≌△OBF ， ∴PC=OB=1=t ﹣3， t=4，即当t=4秒时，点F恰好落在射线EB 上．。
淮安2013届高三第二次调研测试数学参考答案及评分建议
因为O为△ABC的外心，所以 ，
于是 ．…………………………………………12分
所以当 时， ， ；
当 时， ， ．………………………………………………………14分
16.（本小题满分14分）
如图，在四棱锥 中，平面 平面 ，BC//平面PAD， ,
．求证：
（1） 平面 ；
（2）平面 平面 ．
第11题本题考查两角和与差的三角函数，三角函数的恒等变换等.
法一：由 得， ， ，
由 ， ，所以 .
= .
法二：由 得， ，由法一可知， ， .
.
法三：由 ，得 ， ， =
.
第12题本题考查数列、递推数列，概率及分类讨论.
法一：由 得 a2＝16，或a2＝6
再由a2＝16，或a2＝6及 ，得a1=32，14，12，4.故概率为 .
第5题本题考查茎叶图的概念，重在看懂所给的茎叶图.评讲时对统计的有关知识适当归纳总结一
下，统计重在操作，记住解题的步骤，按照课本的要求步骤解题.计算本题时，适当讲一些
算平均值的方法与技巧.
第6题本题考查算法的概念，算法主要考查流程图与伪代码，复习时要求能看懂流程图与伪代码就
行，不宜过难过深.
第7题本题考查圆锥曲线的几何性质.研究圆锥曲线的性质常用二种方法，一是由方程研究曲线的几何性质，二是由曲线的几何性质求曲线的方程.另外，在解题时，适当利用圆锥曲线的定义可以取到“时半功倍”之效.
第16题主要考查线面平行和面面垂直的处理，本题中当 时结论不成立， 为锐角，钝角均可。本题的辅助性的添加是解决立体几何的常用手段。
第17题考查实际问题建立数学模型的能力，理清综合费用的表示，求出平均费用后，由待定系数法求出常数。列式时注意单位要统一。本题还可以只计算一幢楼的平均成本。第（2）由数列知识求得每平方米平均综合费用为f(n)，再由利用基本不等式可得最低费用，提醒学生注意均值不等式求最值注意检验等号成立的条件一正、二定、三相等。最后作答。
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14． 解：当 x 3 时， ∴原式
x 2 1 x2 x x 2 x 2 x 2 2 x
2
x2 x2 1 x x 2 x 2 2 x
1 1 x 2x 1 2x
3 6
15． 【解析】 解：拼接如图：
长方形的面积为：x2+3x+2，还可以表示面积为：(x+2)(x+1)， x2+3x+2=(x+2)(x+1)
2017-2018 学年第二学期八年级期末测试数学试题卷 参考答案及评分建议
一、选择题（6×3′=18′） 1．C 2．A 3．D 4．B 5．C 6．B
二、填空题（6×3′=18′ 7．80 8．x≠1 10．a>1 11．6
9．7 12．0 或－4
三、解答题（本大题 5 小题，每小题 6 分，共 30 分） 13．解不等式①，得 x<2； 解不等式②，得 x≥－1． 在数轴上表示不等式①②的解集如下：
1 BC ， 2 ∵E、F 分别是 OB、OC 的中点， 1 ∴EF∥BC， EF BC ， 2 ∴DG=EF，DG∥EF， ∴四边形 DEFG 是平行四边形； (2)∵∠OBC 和∠OCB 互余， ∴∠OBC+∠OCB=90° ， ∴∠BOC=90° ， ∵M 为 EF 的中点，OM=3， ∴EF=2OM=6． 由(1)有四边形 DEFG 是平行四边形， ∴DG=EF=6．
△PAB 的面积=
四、 （本大题共 3 小题，每小题 8 分，共 24 分）
18． 解：(1)如图，△A1B1C1 即为所求； (2)如图，△A2B2C2 即为所求．
19．
1 4 1 1 10 1 ，解得 x=20． 4 10 x
经检验 x=20 是原方程的解． 所以，乙工程队单独完成这项工程需要 20 天 20． 解：(1)∵AC=AD，∠CAD=60° ， ∴△ACD 是等边三角形， ∴DC=AC=4． 故答案是：4； (2)作 DE⊥BC 于点 E． ∵△ACD 是等边三角形， ∴∠ACD=60° ， 又∵AC⊥BC， =30° ∴∠DCE=∠ACB﹣∠ACD=90° ﹣60° ， ∴Rt△CDE 中， DE
∴DG∥BC， DG
22． 解：(1)设 A 种商品每件的进价为 x 元，B 种商品每件的进价为 y 元，
30 x 40 y 3800 根据题意得： ， 40 x 30 y 3200 x 20 解得： ． y 80
答：A 种商品每件的进价为 20 元，B 种商品每件的进价为 80 元． (2)设购进 B 种商品 m 件，获得的利润为 w 元，则购进 A 种商品（1000﹣m）件， 根据题意得：w=(30﹣20)(1000﹣m)+(100﹣80)m=10m+10000． ∵A 种商品的数量不少于 B 种商品数量的 4 倍， ∴1000﹣m≥4m， 解得：m≤200． ∵在 w=10m+10000 中，k=10>0， ∴w 的值随 m 的增大而增大， ∴当 m=200 时，w 取最大值，最大值为 10×200+10000=12000， ∴当购进 A 种商品 800 件、B 种商品 200 件时，销售利润最大，最大利润为 12000 元
1 DC 2 ， 2
3 2 3， 2
CE DC cos30 4
∴ BE BC CE 3 3 2 3 3 ． ∴Rt△BDE 中， BD DE 2 BE 2 22
3
2
7．
五、 （本大题 2 小题，每小题 9 分，共 18 分） 。 21． 解：(1)∵D、G 分别是 AB、AC 的中点，
年级 八年级 试题编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
学科 数学 考查的知识点
范围 全册
时间（分） 120
总分 120 试题难度 基础 基础 基础 基础 基础 中档 基础 基础 基础 基础 中档 中档 基础 基础 基础 基础 困难 基础 中档(1)作 BM⊥y 轴与 M ∵OA=OB=AB=2 ∴OM=1， BM 3 ∴B( 3 ，1) ……（3 分）
(2)∵AP=AQ，AO=AB ∠1=∠2=60° －∠OAQ ∴△APO≌△AQB(SAS) ∴∠AOP=∠ABQ=90° 即∠ABQ 的大小不变． ……（8 分） (3)当 OQ∥AB 时，∠BQO=90° ∵∠OBQ=90° －60° =30° ∴OQ=1， BQ 3 ∵△APO≌△AQB ∴ PO BQ 3 ∴P( 3 ，0) ……（12 分）
16． 证明：∵E 是 BC 的中点， ∴CE=BE， ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AB∥CD，AB=CD， ∴∠DCB=∠FBE， 在△ CED 和△ BEF 中，
∠DCA ∠FBE ， CE BE ∠CED ∠BEF
∴△CED≌△BEF（ASA） ， ∴CD=BF， ∴AB=BF． 17． 解：(1) AB 12 42 17 ． 故答案为 17 ． (2)如图 AC 与网格相交，得到点 D、E，取格点 F，连接 FB 并且延长，与网格相交，得 到 M，N，G．连接 DN，EM，DG，DN 与 EM 相交于点 P，点 P 即为所求．
八年级下期第二次月考数学试题细目表 轴对称和中心对称图形 不等式组的解集 等腰三角形 因式分解 图形的平移 图形的旋转和规律的探究 提公因式法求值 分式有意义的条件 垂直平分线 不等式的性质 等边三角形及直角三角形 30 度角的性质 分式方程无解问题 解不等式 分式化简求值 构图法因式分解 平形四边形及三角形全等 无刻度画图 画平移、旋转图形 分式方程的应用 勾股定理、等边三角的性质 平形四边形判定、三角形中位线 二元一次方程组、不等式、一次函数 三角形全等证明、等边三角形、勾股定理、
理由：S 平行四边形 ABME∶S 平行四边形 CDNB∶S 平行四边形 DEMG=1∶2∶3，
1 1 平行四边形 ABME 的面积，△PBC 的面积= 平行四边形 CDNB 的 2 2 1 1 面积， △PAC 的面积=△PNG 的面积= △DGN 的面积= 平行四边形 DEMG 的面积， 2 2 ∴S△PAB∶S△PBC∶S△PCA=1∶2∶3．