单缝和圆孔夫琅禾费衍射
圆孔的夫朗和费衍射
圆孔的夫朗和费衍射1、圆孔的夫朗和费衍射：根据几何光学，平行光经过球面凸透镜后将会聚于透镜焦平面上一点。
但实际上，由于光的波动性，平行光经过小圆孔后也会产生衍射现象，称为圆孔的夫朗和费衍射。
圆孔的夫朗和费衍射图样为一个圆形的亮斑（称为爱里斑），在爱里斑的周围还有一组明暗相间的同心圆环。
由于光学仪器中所用的孔径光阑、透镜的边框等都相当于一个透光的圆孔，所以圆孔的夫朗和费衍射对光学系统的成像质量有直接影响。
爱里斑光强约占总光强的84% 。
而其1级暗环的角宽度（即爱里斑半角宽度）满足D 22.1R610.0sin 1λλθ==式中R 、D 为小圆孔的半径和直径。
2、光学仪器的分辨本领：由于圆孔衍射现象的限制，光学仪器的分辨能力有一个最高的极限。
下面通过光学仪器分辨本领的讨论，说明为什么有一个分辨极限，并给出分辨极限的大小。
当两个物点S 1、S 2很靠近时（设S 1、S 2光强相等），两个爱里斑将互相重叠而无法分辨。
对一个光学仪器来说，若一个点光源产生的爱里斑的中央刚好与另一个点光源产生的爱里斑瑞的1级暗环相重合，这时两个爱里斑重合部分的光强约为单个爱里斑中央光强的80%左右，一般人眼刚好能分辨出这是两个光点的像。
因此，满足上述条件的两个点光源恰好能被该光学仪器所分辨。
这一条件称为瑞利分辨判据。
（见下图）恰能分辨时两光源发出的光线对透镜光心的夹角Δθ 称为最小分辨角，用δθ表示。
由上讨论可知，最小分辨角δθ等于爱里斑的半角宽度θ1：)D 22.1arcsin(1λθδθ==尤其当θ1 ~ 0D 22.1λδθ≈（或称分辨率），用R 表示：λδθ22.1D 1R ==讨论：⑴ 增大透镜的直径D 可提高镜头的分辨率。
光学天文望远镜的镜头孔径可达数米！ ⑵ 设r 、d 为爱里斑的半径和直径，则：f 2d f r D 22.1===λδθ即：D f44.2d λ=f D称为镜头的相对孔径（越大越好）。
如照相机镜头上所标示的502:1字样，即表示镜头的焦距mm 50f =，而镜头的孔径mm 25D =。
单缝和圆孔夫琅禾费衍射介绍
三、入射光非垂直入射时光程差的计算
DB BC A
b(si n sin ) b
（中央明纹向下移动）
D
B
C
BC DA
b(si n sin )
（中央明纹向上移动）
D A
b
C
B
例1 在单缝衍射中，=600nm, a=0.60mm, f=60cm, 则（1）中央明纹宽度为多少？（2）两 个第三级暗纹之间的距离？
单缝和圆孔的夫琅 禾费衍射介绍
一、单缝夫琅禾费衍射
1.衍射装置及图样
单缝 透镜
衍射角
f
衍射屏
I
衍射图样
（1） 衍射条纹与狭缝平行。 （2）中心条纹很亮，两侧明条纹对称分布， 亮度减弱。 （3）中央亮斑的宽度为其他亮斑的两倍。
由惠更斯——菲涅耳原理：
单缝处波面看作无穷多个相干波源，屏上一点是 (无穷)多光束干涉的结果。
解 ⑴ 中央明纹的宽度
⑵第三级暗纹在屏上的位置
x3ftanf3a3l0
两个第三级暗纹之间的距离
x6l 7.2mm 0
例2 已知：一雷达位于路边d =15m处,射束与公路成 15°角，天线宽度a =0.20m，射束波长=30mm。
求：该雷达监视范围内公路长L =?
L
d
a
θ1
β
150
解：将雷达波束看成是单缝衍射的0级明纹
越大，
越大，衍射效应越明显.
1
二、用振幅矢量推导光强公式
1.振幅矢量法 将缝AB的面积S等分成N(很大)个等宽的窄带,
每个窄带宽度a/N.
每个窄带发的子波在P点振
A
幅近似相等，设为A1，相邻
窄带所发子波在P点引起的振
14-7单缝和圆孔夫琅禾费衍射
太原理工大学物理系
附： 1）若 BC a sin 2
半波带
将缝分为两个半波带
2
A
A1
p
半波带
B
C
o
/2
相邻两个半波带对应点光程差均是/2,每两个相邻 “半波带”发的光在 P处干涉相消形成暗纹。 若AB恰好被分成偶数个半波带，偶数个“半波带” 发的光在 P处干涉相消形成暗纹。即
2
附： 3） BC a sin n 2
(n整数)
缝分成整数个半波带.
(k 1, 2,3,)
n为偶数， BC a sin 2k
2
暗纹
n为奇数，BC a sin (2k 1)
BC 4） a sin m
2
(k 1, 2,3,) 明纹
平行光斜向下入射，衍射条纹将整体下移； 平行光斜向上入射，衍射条纹将整体上移。 太原理工大学物理系
本例即考点4,即ZP18,25 例1 在单缝衍射中，=600nm, a=0.60mm, 缝 后有一焦距f=60cm透镜, 则（1）中央明纹宽度 为多少？（2）两个第三级暗纹之间的距离？ 解 ⑴ 中央明纹的宽度 ⑵第三级暗纹在屏上的位置 x3 f tan f 3 a 两个第三级暗纹之间的距离
4）在单缝衍射中，若使单缝和单缝后透镜分 别稍向上移，则衍射条纹将如何变化？
单缝上移衍射光束向上平移经透镜聚焦 后，位置不变条纹不变 单缝后的透镜上移衍射光束经透镜聚焦后， 位置随之上移条纹向上平移
衍射角
f
I
结论：单缝向上平移时，入射到单缝上，衍射条纹 将如何变化？ f
对于屏上其它点P，由 于屏上位置不同，对应的 衍射角就不同，Ａｐ的大小 也不同．
第43讲光的衍射现象单缝夫琅禾费衍射光学仪器的分辨本领
教学要求了解菲涅耳衍射、夫琅和费衍射、惠更斯－菲涅耳原理；理解光的衍射现象；单缝的夫琅和费衍射；圆孔的夫琅和费衍射、瑞利准则、分辨律；理解光学仪器的分辨本领。
15.1光的衍射现象惠更斯——菲涅耳原理15.1.1光的衍射现象及分类在讨论第六章时就已知道：孔隙（或障碍物）的线度与波长的比值直接影响着衍射现象，当孔隙（或障碍物）的线度与波长的数量级接近时，才能观察到明显的衍射现象。
对于光波，由于波长远小于一般孔隙（或障碍物）的线度，所以光的衍射现象通常不易观察到。
而光的直线传播却给人们留下了深刻的印象。
图15-1 光的衍射现象实验在实验室中，采用高亮度的激光或是普通的强点光源，同时屏幕的面积也足够大，则可以将光的衍射现象演示出来。
如图15-1（a）所示，E为屏幕，K是一个可调节的狭缝，S 为一单色点光源。
实验发现，当E，K，S三者位置固定的情况下，光通过宽缝时，是沿直线传播的，如图(a)所示。
若将缝的宽度减小到约10 4m及更小时，缝后几何阴影区的光屏上将出现衍射条纹，如图(b)所示，光斑的亮度也由原来的均匀分布变成一系列的明暗条纹（单色光源）或彩色条纹（白光光源），条纹的边缘也失去了明显的界限，变得模糊不清，这就是光的衍射现象。
衍射系统是由光源、衍射屏和接收屏组成，通常是根据三者相对位置的大小，把衍射现象分为两类。
一类是光源、接收屏（或两者之一）与衍射物之间的距离有限远。
这种衍射叫做菲涅耳衍射（或近场衍射），如图15-2（a ）所示。
另一类是光源、接收屏与衍射物的距离都是无限远。
这种衍射称为夫琅禾费衍射（或远场衍射），如图15-2（b ）所示。
在实验室中产生的夫琅禾费衍射通常利用两个会聚透镜来实现，如图15-2（c ）。
由于夫琅和费衍射在实际应用和理论上都十分重要，而且这类衍射的分析与计算都比菲涅耳衍射简单，因此本节只讨论只讨论夫琅和费衍射。
15.1.2惠更斯——菲涅耳原理惠更斯原理指出：波阵面上的每一点都可以看成是发射子波的新波源，任何时刻子波的包迹即为新的波阵面。
§2.3 夫琅和费单缝、圆孔和矩孔衍射
（3）单缝衍射次最大位置的中心—高级衍射斑 在每两个相邻最小值之间有一次大值，这些次大值的位置可解 超越方程 u tgu 。见图3.3
图3.3超越方程 u
tgu 的图像解
3 sin 10 1.43 u 1.43 10 b 2b u 2.46 5 20 sin 20 2.46 u tgu b 2b 1 u ( j ) j0 sin ( j 1 ) 2 j0 2 b
2 I 0 A0
Ij 0 I j0
（2）
2
A0 2 j 1
3、解析法——光强分布的积分公式 菲涅耳衍射微分公式 近似： ① 在上式中的分母中
K ( ) A( x) i (t kr ) dE p C e dx r
r r0 C / r0 C C 1
sin u 0 u 0 sin 0 0
光强为最大，叠加的各个次波位相差为零，振幅叠加相互加强。
（2）单缝衍射最小值的位置中心（屏上这些点是暗的）：
sin u 0 b sin j sin j j b u 0
j 1, 2
（2）分布图样.图3.7所示
2 A12 / A0 0.0175 2 2 A2 / A0 0.0042 2 2 A3 / A0 0.0016
I / I0
R sin
O 0.610
图3.7 夫琅禾费圆孔衍射光强分布
图3.8 夫琅禾费圆孔衍射光强三维分布图
4、爱里斑 爱里斑的半角宽度为：
条纹的位置及强度分布为
（1）
0 0 b sin 0 j sin j b sin 2 j / 2 b (2 j 1) b sin (2 j 1) / 2 sin j 0 2b
单缝和圆孔的夫琅禾费衍射介绍
明纹在屏上的位置
x f sin f (2k 1)
2a
k ax 1 3.5 0.5 3
f 2
第3级明 纹
（2）对应于 p点缝可分成多少个半波带？
asin (2k 1)
2
(23 1) 7
22
7个半波带
（3）将缝宽增加1倍，p 点将变为什么条纹？
y2 = u
-2 - o
··
··
2 u
-2.46π -1.43π
+1.43π +2.46π
u 1.43， 2.46， 3.47，…
相应 asin 1.43, 2.46, 3.47,…
三、入射光非垂直入射时光程差的计算
DB BC
b(sin sin)
“半波带”发的光在 P处干涉相消形成暗纹。
当asin=3/2时，可将缝分为3个半波带.
a
AA
A1
p
B
A2 C
o
B /2
相邻半波带的相对应点光程差均是/2,两个
“半波带”发的光在 P处干涉相消形成暗纹。第 3个“半波带”发的光在 P形成明纹。
一般情况下，可将缝分为k个半波带，当k为偶数 时，p点为暗纹，当k为奇数时，p点为明纹。
例3 在单缝衍射中，若使单缝和透镜分别 稍向上移，则衍射条纹将如何变化？ 解：
o
⑴单缝上移衍射光束向上平移经透镜聚焦后， 位置不变条纹不变 ⑵透镜上移衍射光束经透镜聚焦后，位置随之 上移条纹向上平移
例4 在单缝夫琅和费衍射实验中，缝宽a=10，缝 后透镜焦距 f =40cm , 试求第一级明纹的角宽度，线 宽度以及中央明纹的线宽度。
2—3 夫琅和费单缝衍射
3、狭缝上所有次波在P 的叠加
积分过程见（附录2－1） b sinu u sin A A A0 sincu 令 p 0 u
2 sin u 2 2 2 2 Ap A0 A sin c u 0 2 u
I p I 0 sinc 2 u P点光强随θ的分布
16
三、强度公式的讨论 1、最大最小位置：
y2 = u
-
·
-2.46
·
-1.43
· 0
0
+1.43
+2.46
解得 :
相应 :
u 1.43， 2.46， 3.47， „
b sin 1.43 , 2.46 , 3.47 ,„
19
前几个次最大的位置
次最大序号 次最大位置 相对强度
u
1.43 2.46
(k 1, 2, ) 暗纹 (k 1, 2, ) 明纹 中央明纹
•正、负号表示衍射条纹对称分布于中央明纹的两侧 •对于任意衍射角，单缝不能分成整数个半波带，
在屏幕上光强介于最明与最暗之间。
方法一、菲涅耳半波带法
I / I0
明纹宽度
中央明条纹的角宽度 为中央两侧第一暗条纹 之间的区域:
3.47
4.48
sin
3 2b 5 2.46 b 2b 7 3.47 b 2b 9 4.48 b 2b 1.43 b
I I 0
1 2 3 4
0.047
0.017
0.008
0.005
1 sin k0 k 2 b
b
0
sin (2k 1)
2b
基于MATLAB的矩孔、单缝、圆孔夫琅和费衍射概诉
课程设计任务书学生姓名：专业班级：指导教师：工作单位：信息工程学院题目: 夫琅和费矩孔、单缝、圆孔衍射图样一、设计目的了解MA TLAB软件的基本知识，基本的程序设计，软件在高等数学和工程数学中的应用，学会使用软件进行数值计算和控制工程中的应用。
二、设计内容和要求1．绘制弗朗禾费矩孔、单缝和圆孔衍射图样，可以是二维的或三维的，也可以两种都有。
改变矩孔、单缝和圆孔的参数，比较衍射条纹的变化。
2. 学习Matlab语言的概况和Matlab语言的基本知识。
3．学习Matlab语言的程序设计。
三、初始条件计算机；Matlab软件。
四、时间安排1、2015年01月19日，任务安排，课设具体实施计划与课程设计报告格式的要求说明。
2、2015年01月20日，查阅相关资料，学习Matlab语言的基本知识，学习MATLAB语言的应用环境、调试命令，绘图功能函数等。
3、2015年01月21日至2015年01月22日，Matlab课程设计制作和设计说明书撰写。
4、2015年01月23日，上交课程设计成果及报告，同时进行答辩。
指导教师签名：2015年01 月19日系主任（或负责教师）签名：2015年01 月19日目录摘要 (I)1.设计的内容及要求 (1)1.1设计的目的 (1)1.2设计任务要求 (1)2.设计原理及设计思路 (1)2.1夫琅和费干涉理论 (1)2.1.1夫琅和费圆孔衍射 (2)2.1.2夫琅和费矩孔衍射 (2)2.1.3夫琅和费单缝衍射 (2)2.2设计思路 (3)3.仿真及分析 (4)4.心得和体会 (8)参考文献 (8)摘要物理光学理论较为复杂抽象，实验现象的演示对条件要求高。
采用MATLAB7.0强大的函数作图功能对矩孔、单缝、圆孔的夫琅和费衍射进行模拟,建立直观形象并且精确完整的理论模型,并附上程序代码,将干涉理论联系起来,分析衍射和干涉的本质。
从而加深对夫琅和费原理、概念、和图像的理解。
通过使用MATLAB编写程序，不仅理解了物理思想，而且了解了运用软件解决物理问题的方法。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
d sin u ( ) 0 求得 位置：由 du u
2 2
得 tgu = u，由作图法可得次极大位置
y y1 = tgu
y2 = u
-2
-
o
·
2
·
u
·
-2.46π
·
-1.43π +1.43π
+2.46π
u 1.43， 2.46， 3.47，…
相应 a sin 1.43 , 2.46 , 3.47 ,… 太原理工大学物理系
太原理工大学物理系
2 2 x2 2 D a
例2 单缝衍射中，a=0.1mm，入射波长λ=500nm， 透镜焦距f=10cm，在屏上x=1.75mm的p点为明条纹
求：（1）p 点条纹级数 k ? 解 (1) x f tan
x tan 0.0175 f
很小
单缝衍射明纹的条件 a sin (2k 1) 明纹在屏上的位置
2 (n整数)
B
若A、B到达P点的光程差为
n
2
即波面AB可划分成n个半波带，即
BC a sin n
太原理工大学物理系
越大，AB分成的半波带数目越多，则每个半
波带越窄。因每个半波带面积相等，它们发出子 波在P点引起的光强度相同。 若AB恰好被分成偶数个半波带 暗纹 BC a sin 2k (k 1, 2,3, ) 2 则每两个相邻“半波带”发出的光在 P点会聚 2 干涉相消，形成暗纹。 若AB恰好被分成奇数个半波带
2
附： 3） BC a sin n 2
(n整数)
缝分成整数个半波带.
(k 1, 2,3, )
n为偶数， BC a sin 2k
2
暗纹
n为奇数，BC a sin (2k 1)
BC a sin m 4）
2
(k 1, 2,3, ) 明纹
sin u I I u
p 0
2
光强：中央明纹中心的光强最大 I = I0 2）暗纹
位置：在u≠0，sinu = 0处 条件:
a sin k
sin (/a)， 2(/a)， 3(/a)，… 在sin坐标上暗纹是等间距的。 太原理工大学物理系
3）其他明纹
2
x f tan f sin f (2k 1)
2a
ax 1 k 3. 5 0 .5 3 f 2
第3级明纹
太原理工大学物理系
（2）对应于 p 点，缝可分成多少个半波带？
a sin (2k 1)
7个半波带
2
(2 3 1)
2
平行光斜向下入射，衍射条纹将整体下移； 平行光斜向上入射，衍射条纹将整体上移。 太原理工大学物理系
本例即考点4,即ZP18,25 例1 在单缝衍射中，=600nm, a=0.60mm, 缝 后有一焦距f=60cm透镜, 则（1）中央明纹宽度 为多少？（2）两个第三级暗纹之间的距离？ 解 ⑴ 中央明纹的宽度 ⑵第三级暗纹在屏上的位置 x3 f tan f 3 a 两个第三级暗纹之间的距离
tan sin
x
f
f 2a
O
k 1, 2...
f k 1,2... 暗纹中心： x f tan f sin k a 3）其他明纹的线宽度：相邻暗纹中心间的距离
明纹中心： x f tan f sin (2k 1)
即中央明纹宽度为其他明纹宽度的两倍。 太原理工大学物理系
2 则总有一部分振动不能被抵消，会聚在屏上的 亮度介于明暗纹之间。
(m非整数) 缝不能分成整数个半波带.
综上可知，可得如下结论 太原理工大学物理系
△单缝衍射明、暗条纹条件 中央明纹中心
P119,式14.20,14.21及下第2行
0 (k 0)
2 (k 1, 2,3 )
2k+1个半波带
1 解： a sin 4 sin 30 4 4 2 2
0
4个半波带
练考点6，若缝宽a=4λ，单缝处波面可划分为4个 半波带，则衍射角φ=？ （讨论P159） 26 作业P158 --23,28，
太原理工大学物理系
例 3B
在单缝夫琅和费衍射实验中，缝宽 a=10，
缝后透镜焦距 f =40cm , 试求第一级明纹的角宽度，
明纹中心（近似） a sin (2k 1) 暗纹中心 a sin 2k
2
(k 1, 2,3 )
2k个半波带
k=0为中央明纹，k=1,2,…分别称为第一，二，… 级明纹（或暗纹）；正负表示对称。可见，单缝衍 射条纹是关于中央亮纹对称分布的。 太原理工大学物理系
P120 3.说明 1)中央明纹 半角宽度：k=1级暗纹所对应的衍射角
0, 0 光直线传播 a
3)a、λ一定，能看到条纹的最高级次
2 a sin
2
k
a （若k 不是整数， k 取整数部分） m m km （若km 为整数，则取km-1）
太原理工大学物理系
观察：单缝宽度变化，中央明纹宽度如何变化？
a减小，1增大，衍射效应越明显. 太原理工大学物理系
太原理工大学物理系
附： 1）若 BC a sin 2
半波带
2
将缝分为两个半波带
A
A1
p
半波带
B
C
o
/2
相邻两个半波带对应点光程差均是/2,每两个相邻 “半波带”发的光在 P处干涉相消形成暗纹。 若AB恰好被分成偶数个半波带，偶数个“半波带” 发的光在 P处干涉相消形成暗纹。即
2 x3 2 f tan 2 f 3
a
3l0 3.6mm
太原理工大学物理系
练考点3，即 13
解
x2 D tan
因
a sin 2
x2 tan 0.016 D
很小 tan sin
2 x2 D tan D sin D a 4 D 2 a 7.6 10 mm 2 x2
1 arcsin
a
或
1 sin 1
a
(1很小) (1很小)
角宽度:
21 2
。
a
线宽度: k=1和k= -1两个第一级暗纹间距离。
a
2 f l0 2 x1 2 f tan 1 2 f sin 1 a
太原理工大学物理系
讲考点2，教案附
2）其他条纹在屏幕上线位置 当 较小时，
三、圆孔夫琅禾费衍射 1.圆孔夫琅禾费衍射 光通过眼睛的瞳孔、望远镜、显微镜、照相 机所成的像都是光波通过圆孔的衍射图样。
4）单缝衍射的光强分布
x
f
O
k级亮纹合成（2k+1）个半波带；k级暗纹对应2k 个半波带.k越大，AB上波阵面分成的波带数就越多， 所以，每个半波带的面积就越小，在P点引起的光强 就越弱。因此，各级明纹随着级次的增加而亮度减弱。 太原理工大学物理系 P119图上面两行及P120第1行
4.讨论 1)波长变化对条纹的影响
7
2
（3）将缝宽增加1倍，p 点将变为什么条纹？
7 2a sin 2 14 7 2 2
第7级暗纹 思考：缝可分成的半波带数目为多少？ 直接练ZP18,26，本次不练下例 作业P158 --23,28， 太原理工大学物理系 （讨论P159） 26
练考点 直接练 ZP18,26，本次不练下例
a sin 2k
2
k
sin k
a
a一定， sin ，λ越大，衍射效应越明显.
指出：白光照射，中央明纹为白色，每一级明纹 都成彩色（紫-红），称为衍射光谱。
对于高级次衍射条纹会发生重叠，条件
a sin (2k1 1) a sin (2k2 1)
对于屏上其它点P，由 于屏上位置不同，对应的 衍射角就不同，Ａｐ的大小 也不同．
A
p
a sin 令 u
可以求出
A
i
sin u A A u
p 0
过程略
2
p点的光强
sin u I I u
p 0
太原理工大学物理系
2.衍射条纹的特点 １）中央明纹 位置：在 = 0处
通知：
各位同学： 上课前先到物理老师 处签到，并取回作业。
§14-7 单缝和圆孔的夫琅禾费衍射
△一、单缝夫琅禾费衍射
1.衍射装置及花样
单缝 衍射角 透镜 衍射屏
f
I
太原理工大学物理系
衍射图样 (1) S为线光源：衍射图样为一组与狭缝平行的 以中央明纹为中心，两侧对称分布的明暗相间 P117,图上段正数第2，4-7行画 的直条纹。 (2）中央明条纹很亮，两侧明条纹对称分布，亮 度减弱。 （3）中央明条纹的宽度为其它明条纹宽度的两倍。 解释: 由惠更斯——菲涅耳原理： 单缝处波面看作无穷多个相干的子波源，屏 上一点是 (无穷)多光束干涉的结果。 太原理工大学物理系
BC a sin 2k
太原理工大学物理系
2
(k 1, 2,3, )
暗纹
附： 2）BC
a sin 3
2
将缝分为3个半波带.
a
A
B
A
p