四川省绵阳市2020届高三第三次诊断性测试数学(文)试题 含解析
数学试卷（文科）
一、选择题（共 12 小题）.
1．复数 ＝（ ）
A．
D．1﹣2i
2．设集合 A＝{（x，y）|x2+y2＝1}，B＝{（x，y）|x+y＝1}，则 A∩B 中元素的个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
3．已知单位向量 ， 满足 ⊥ ，则 •（ ﹣ ）＝（ ）
的甲、乙两位居民均参加其中一个服务队，则这两位居民参加不同服务队的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
10．已知函数 （f x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，
）的最小正周期为 π，且关于
中心对称，则下列结论正确的是（ ）
A．f（1）＜f（0）＜f（2）
B．f（0）＜f（2）＜f（1）
C．f（2）＜f（0）＜f（1）
为圆心的圆，曲线 C1、C2 都过极点 O． （1）分别写出半圆 C1，C2 的极坐标方程；
（2）直线 l：
与曲线 C1，C2 分别交于 M、N 两点（异于极点 O），P
为 C2 上的动点，求△PMN 面积的最大值．
[选修 4-5：不等式选讲] 23．已知函数 f（x）＝|x﹣2|+|x+1|．
（1）解关于 x 的不等式 f（x）≤5； （2）若函数 （f x）的最小值记为 m，设 a，b，c 均为正实数，且 a+4b+9c＝m，求 的最小值．
等级
频数
频率
[60，75）
三等品
10
0.1
[75，90）
二等品
30
b
[90，105）
一等品
a
0.4
[105，120）
特等品
20
0.2
合计
n
1
（1）求 a，b，n；
（2）从质量指标值在[90，120）的产品中，按照等级分层抽样抽取 6 件，再从这 6 件中
随机抽取 2 件，求至少有 1 件特等品被抽到的概率．
18．若数列{an}的前 n 项和为 Sn，已知 a1＝1，an+1＝2Sn（n∈N*）． （1）求 Sn；
（2）设 bn＝log3Sn，求使得
＞0.99 成立的最小自
然数 n． 19．如图，四边形 ABCD 是正方形，PA⊥平面 ABCD，点 E、点 F 分别是线段 AD、PB 的
中点，PA＝AB＝2． （1）证明：EF∥平面 PCD； （2）求三棱锥 F﹣PCD 的体积．
∠F1PF2＝120°，且△F1PF2 的面积为 ，则 b＝
．
16．在一个半径为 2 的钢球内放置一个用来盛特殊液体的正四棱柱容器，要使该容器所盛液
体尽可能多，则该容器的高应为
．
三、解答题
17．质量是企业的生命线，某企业在一个批次产品中随机抽检 n 件，并按质量指标值进行统
计分析，得到表格如表：
质量指标值
D．f（2）＜f（1）＜f（0）
11．如图，教室里悬挂着日光灯管 AB，AB＝90cm，灯线 AC＝BD，将灯管 AB 绕着过 AB
中点 O 的铅垂线 OO'顺时针旋转 60°至 A′B′，且始终保持灯线绷紧，若旋转后该灯管升高
了 15cm，则 AC 的长为（ ）
A．30cm
B．40cm
C．60cm
C．与 O 型血相比，B 型、AB 型血人群对 COVID﹣19 的易感性要高
D．与 A 型血相比，非 A 型血人群对 COVID﹣19 都不易感，没有风险
5．已知 x•log32＝1，则 4x＝（ ）
A．4
B．6
C．4
D．9
6．在△ABC 中，若 sinB＝2sinAcosC，那么△ABC 一定是（ ）
4
四川省绵阳市 2020 届高三第三次诊断性测试
数学试卷（文科）参考答案
一、选择题：共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的．
1．复数 ＝（ ）
A．1+i
B．1﹣i
C．i
【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简求值．
3
20．已知动直线 l 过抛物线 C：y2＝4x 的焦点 F，且与抛物线 C 交于 M，N 两点，且点 M 在 x 轴上方，O 为坐标原点，线段 MN 的中点为 G．
（1）若直线 OG 的斜率为 ，求直线 l 的方程；
（2）设点 P（x0，0），若∠FMP 恒为锐角，求 x0 的取值范围．
21．已知函数 f（x）＝ax﹣（a+2）lnx﹣ +2，其中 a∈R．
D．75cm
12．已知 x 为实数，[x]表示不超过 x 的最大整数，若函数（f x）＝x﹣[x]，则函数
的零点个数为（ A．1 二、填空题
） B．2
C．3
D．4
13．已知
，则 sinα＝
．
2
14．曲线 y＝2x﹣x3 在 x＝﹣1 的处的切线方程为
．
15．已知 F1，F2 是椭圆 C：
的两个焦点，P 是椭圆 C．上的一点，
A．等腰直角三角形
B．等腰三角形
C．直角三角形
D．等边三角形
7．数学与建筑的结合造就建筑艺术品，2018 年南非双曲线大教堂面世便惊艳世界，如图．若
将此大教堂外形弧线的一段近似看成焦点在 y 轴上的双曲线
1
＞0）
上支的一部分，且上焦点到上顶点的距离为 2，到渐近线距离为 ，则此双曲线的离
心率为（ ）
（1）当 a＝4 时，求函数 f（x）的极值； （2）试讨论函数 f（x）在（1，e）上的零点个数． （二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第 一题记分．[选修 4-4：坐标系与参数方程]
22．如图，在极坐标系中，曲线 C1 是以 C（1 4，0）为圆心的半圆，曲线 C2 是以
A．0
B．
C．1
D．2
4．有报道称，据南方科技大学、上海交大等 8 家单位的最新研究显示：A、B、O、AB 血型 与 COVID﹣19 易感性存在关联，具体调查数据统计如图：
根据以上调查数据，则下列说法错误的是（ ）
A．与非 O 型血相比，O 型血人群对 COVID﹣19 相对不易感，风险较低
B．与非 A 型血相比，A 型血人群对 COVID﹣19 相对易感，风险较高
A．2
B．3
C．
D．2
8．已知定义在 R 上的奇函数 f（x）满足 f（x+2）＝﹣f（x），若 f（﹣1）＜1，f（2019）
＝ln（a﹣1），则实数 a 的取值范围为（ ）
A．（1，2）
B．（﹣∞，e+1） C．（e+1，+∞） D．（1，e+1）
9．某社区有 3 个防疫志愿者服务队，每位社区居民参加每个服务队的可能性相同，该社区
2020届四川省绵阳市高考数学三诊试卷(文科)(有答案)(精品)
四川省绵阳市高考数学三诊试卷（文科））一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知A={x|x﹣1＞0}，B={x|x2﹣2x﹣3≤0}，则A∩B=（）A．{x|﹣1≤x＜1}B．{x|1＜x≤3}C．{x|x≥3} D．∅2．已知i为虚数单位，复数z满足z（1+i）=2i，则z=（）A．1+i B．﹣1﹣i C．1﹣i D．﹣1+i3．为了参加2016年全市“五•四”文艺汇演，某高中从校文艺队160名学生中抽取20名学生参加排练，现采用等距抽取的方法，将160名学生随机地从1～160编号，按编号顺序平均分成20组（1～8号，9～16号，…，153～160号），若第16组抽出的号码为126号，则第1组中用抽签的方法确定的号码是（）A．3 B．4 C．5 D．64．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B． C．D．5．执行如图所示程序框图，则输出的n为（）A．3 B．4 C．6 D．86．“∃x＞0，使a+x＜b”是“a＜b”成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件7．已知x∈[﹣1，1]，y∈[0，2]，则点P（x，y）落在区域内的概率为（）A．B．C．D．8．若函数f（x）同时满足以下三个性质；①f（x）的最小正周期为π；②对任意的x∈R，都有f（x﹣）=f（﹣x）；③f（x）在（，）上是减函数．则f（x）的解析式可能是（）A．f（x）=cos（x+）B．f（x）=sin2x﹣cos2xC．f（x）=sinxcosx D．f（x）=sin2x+cos2x9．已知抛物线y2=4x的焦点为F，A（﹣1，0），点P是抛物线上的动点，则当的值最小时，△PAF 的面积为（）A．B．2 C．2D．410．已知函数f（x）=，关于x的方程f2（x）﹣2af（x）+a﹣1=0（m∈R）有四个相异的实数根，则a 的取值范围是（）A．（﹣1，）B．（1，+∞）C．（，2）D．（，+∞）二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11．已知向量=（t，1）与=（4，t）共线且方向相同，则实数t=_______．12．已知sinα=，且＜α＜π，则tan2α=_______．13．若直线y=2x+b与曲线y=有且仅有一个公共点，则b的取值范围为_______．14．某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如下表所示．销售单价/元 6 7 8 9 10 11 12日均销售量/桶480 440 400 360 320 280 240请根据以上数据分析，这个经营部定价在_______元/桶才能获得最大利润．15．已知函数f（x）=x2•sinx，给出下列三个命题：（1）f（x）是R上的奇函数；（2）f（x）在上单调递增；（3）对任意的，都有（x1+x2）[f（x1）+f（x2）]≥0其中真命题的序号是_______．三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16．体育课上，李老师对初三（1）班50名学生进行跳绳测试，现测得他们的成绩（单位：个）全部介于20与70之间，将这些成绩数据进行分组（第一组：（20，30]，第二组：（30，40]，…，第五组：（60，70]），并绘制成如图所示的频率分布直方图．（1）求成绩在第四组的人数和这50名同学跳绳成绩的中位数；（2）从成绩在第一组和第五组的同学中随机取出2名同学进行搭档，求至少有一名同学在第一组的概率．17．设S n为各项不相等的等差数列{a n}的前n项和，已知a3a5=3a7，S3=9．（1）求数列{a n}通项公式；（2）设T n为数列{}的前n项和，求的最大值．18．已知在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c且满足b=acosC+csinA．（1）求A的大小；（2）若cosB=，BC=5，=，求CD的长．19．已知在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面是边长为2的正三角形，侧棱AA1的长为，P、Q分别是AB、AC上的点，且PQ∥BC，如图．（1）设面A1PQ与面A1B1C1相交于l，求证：l∥B1C1；（2）若平面A1PQ⊥面PQB1C1，试确定P点的位置，并证明你的结论．20．已知椭圆E： +=1（a＞b＞c）的离心率为，过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆E截得的线段长为2．（1）求椭圆E的方程；（2）直线y=kx+1与椭圆E交于A，B两点，以AB为直径的圆与y轴正半轴交于点C．是否存在实数k，使得y轴恰好平分∠ACB？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．21．设f（x）=，g（x）=mx﹣+m﹣1（m为整数）．（1）求曲线y=f（x）在点（，f（））处的切线方程；（2）求函数y=g（x）的单调递减区间；（3）若x＞0时，函数y=f（x）的图象始终在函数y=g（x）的图象的下方，求m的最小值．四川省绵阳市高考数学三诊试卷（文科））参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知A={x|x﹣1＞0}，B={x|x2﹣2x﹣3≤0}，则A∩B=（）A．{x|﹣1≤x＜1}B．{x|1＜x≤3}C．{x|x≥3} D．∅【考点】交集及其运算．【分析】求出A，B中不等式的解集确定出A，B，求出A与B的交集即可．【解答】解：A={x|x﹣1＞0}={x|x＞1}，由B中不等式变形得：（x﹣3）（x+1）≤0，解得：﹣1≤x≤3，即B={x|﹣1≤x≤3}，∴A∩B={x|1＜x≤3}，故选：B．2．已知i为虚数单位，复数z满足z（1+i）=2i，则z=（）A．1+i B．﹣1﹣i C．1﹣i D．﹣1+i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则即可得出．【解答】解：z（1+i）=2i，∴z（1+i）（1﹣i）=2i（1﹣i），则z=i+1．故选：A．3．为了参加2016年全市“五•四”文艺汇演，某高中从校文艺队160名学生中抽取20名学生参加排练，现采用等距抽取的方法，将160名学生随机地从1～160编号，按编号顺序平均分成20组（1～8号，9～16号，…，153～160号），若第16组抽出的号码为126号，则第1组中用抽签的方法确定的号码是（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】系统抽样方法．【分析】由系统抽样的法则，可知第n组抽出个数的号码应为x+8（n﹣1），即可得出结论．【解答】解：由题意，可知系统抽样的组数为20，间隔为8，设第一组抽出的号码为x，则由系统抽样的法则，可知第n组抽出个数的号码应为x+8（n﹣1），所以第15组应抽出的号码为x+8（16﹣1）=126，解得x=6．故选：D．4．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B． C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由题意，几何体是底面为边长为2的等边三角形，高为2的直三棱柱，利用体积公式解答即可【解答】解：由题意，几何体为平放的直三棱柱，底面是边长为2 的等边三角形，高为2，所以其体积为；故选A．5．执行如图所示程序框图，则输出的n为（）A．3 B．4 C．6 D．8【考点】程序框图．【分析】执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，n的值，S=3满足条件，退出循环，输出n的值为8．【解答】解：模拟执行程序，可得S=0，n=1执行循环体，S=1，n=2不满足条件S≥3，执行循环体，S=1+log2=log23，n=3不满足条件S≥3，执行循环体，S=log23+log2=log24，n=4…不满足条件S≥3，执行循环体，S=log28=3，n=8满足条件S≥3，退出循环，输出n的值为8．故选：D．6．“∃x＞0，使a+x＜b”是“a＜b”成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由于“∃x＞0，使a+x＜b”与“a＜b”成立等价，即可判断出关系．【解答】解：“∃x＞0，使a+x＜b”⇔“a＜b”，∴“∃x＞0，使a+x＜b”是“a＜b”成立的充要条件．故选：C．7．已知x∈[﹣1，1]，y∈[0，2]，则点P（x，y）落在区域内的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出点P（x，y）对应图形的面积，及满足条件“内”的点对应的图形的面积，然后再结合几何概型的计算公式进行求解．【解答】解：不等式组表示的区域如图所示，阴影部分的面积为，则所求概率为．故选B．8．若函数f（x）同时满足以下三个性质；①f（x）的最小正周期为π；②对任意的x∈R，都有f（x﹣）=f（﹣x）；③f（x）在（，）上是减函数．则f（x）的解析式可能是（）A．f（x）=cos（x+）B．f（x）=sin2x﹣cos2xC．f（x）=sinxcosx D．f（x）=sin2x+cos2x【考点】正弦函数的图象．【分析】由三角函数的图象和性质，结合题意的三个性质，逐个排查即可．【解答】解：根据题意，函数应满足：①f（x）的最小正周期为π；②对任意的x∈R，都有f（x﹣）+f（﹣x）=0，用x+替换式中的x可得f（x﹣）+f（﹣x﹣）=0，即函数的图象关于点（﹣，0）对称；③f（x）在（，）上是减函数；对于A，f（x）=cos（x+）的周期为T=2π，不符合①，故不满足题意；对于B，f（x）=sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣），不符合②，故不满足题意；对于C，f（x）=sinxcosx=sin2x，不符合②，故不满足题意；对于D，f（x）=sin2x+cos2x=sin（2x+），符合①②③，满足题意．故选：D．9．已知抛物线y2=4x的焦点为F，A（﹣1，0），点P是抛物线上的动点，则当的值最小时，△PAF 的面积为（）A．B．2 C．2D．4【考点】抛物线的简单性质．【分析】设P到准线的距离为PQ，根据抛物线的性质可知=sin∠PAQ．从而当∠PAQ最小，即AP与抛物线相切时，的值最小．利用解方程组的方程求出抛物线过A点的切线方程得出P点坐标，代入面积公式得出面积．【解答】解：抛物线的准线方程为x=﹣1．设P到准线的距离为|PQ|，则|PQ|=|PF|．∴=sin∠PAQ．∴当PA与抛物线y2=4x相切时，∠PAQ最小，即取得最小值．设过A点的直线y=kx+k与抛物线相切（k≠0），代入抛物线方程得k2x2+（2k2﹣4）x+k2=0，∴△=（2k2﹣4）2﹣4k4=0，解得k=±1．即x2﹣2x+1=0，解得x=1，把x=1代入y2=4x得y=±2．∴P（1，2）或P（1，﹣2）．∴S△PAF===2．故选：B．10．已知函数f（x）=，关于x的方程f2（x）﹣2af（x）+a﹣1=0（m∈R）有四个相异的实数根，则a 的取值范围是（）A．（﹣1，）B．（1，+∞）C．（，2）D．（，+∞）【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】将函数f（x）表示为分段函数形式，判断函数的单调性和极值，利用换元法将方程转化为一元二次方程，利用一元二次函数根与系数之间的关系进行求解即可．【解答】解：当x＞0时，f（x）=，函数的导数f′（x）==，当x＞1时，f′（x）＞0，当0＜x＜1时，f′（x）＜0，则当x=1时函数取得极小值f（1）=e，当x＜0时，f（x）=﹣，函数的导数f′（x）=﹣=﹣，此时f′（x）＞0恒成立，此时函数为增函数，作出函数f（x）的图象如图：设t=f（x），则t＞e时，t=f（x）有3个根，当t=e时，t=f（x）有2个根当0＜t＜e时，t=f（x）有1个根，当t≤0时，t=f（x）有0个根，则f2（x）﹣2af（x）+a﹣1=0（m∈R）有四个相异的实数根，等价为t2﹣2at+a﹣1=0（m∈R）有2个相异的实数根，其中0＜t＜e，t＞e，设h（t）=t2﹣2at+a﹣1，则，即，即，即a＞，即实数a的取值范围是（，+∞），故选：D二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11．已知向量=（t，1）与=（4，t）共线且方向相同，则实数t=2．【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】利用向量共线的坐标表示列式求得t值，结合向量同向进行取舍得答案．【解答】解：=（t，1）=（4，t），∵与共线，∴t2﹣4=0，解得t=±2．又与同向，∴t=2．故答案为：2．12．已知sinα=，且＜α＜π，则tan2α=．．【考点】三角函数中的恒等变换应用．【分析】由同角的正弦和余弦的关系及倍角公式得到结果．【解答】∵sinα=，且＜α＜π，∴cosα=﹣，∴tanα=﹣∴tan2α==．13．若直线y=2x+b与曲线y=有且仅有一个公共点，则b的取值范围为{b|﹣4≤b＜4，或b=}．【考点】曲线与方程．【分析】把曲线y=转化变形，然后画出图形，求出直线y=2x+b过点（2，0）时的b值，及直线y=2x+b与圆x2+y2=4切于第二象限时的b值，则b的取值范围可求．【解答】解：由y=，得x2+y2=4（y≥0），如图，当直线y=2x+b过点（2，0）时，直线y=2x+b与曲线y=有且仅有一个公共点，此时有2×2+b=0，即b=﹣4；平移直线y=2x+b，由对称性可知，当b＜4时，直线y=2x+b与曲线y=有且仅有一个公共点；当直线y=2x+b与圆x2+y2=4切于第二象限时，直线y=2x+b与曲线y=有且仅有一个公共点，联立，可得5x2+4bx+b2﹣4=0．由△=16b2﹣4×5（b2﹣4）=﹣4b2+80=0，解得：b=．∴b=．∴直线y=2x+b与曲线y=有且仅有一个公共点的b的取值范围为{b|﹣4≤b＜4，或b=}．故答案为：{b|﹣4≤b＜4，或b=}．14．某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如下表所示．销售单价/元 6 7 8 9 10 11 12日均销售量/桶480 440 400 360 320 280 240请根据以上数据分析，这个经营部定价在11.5元/桶才能获得最大利润．【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】通过表格可知销售单价每增加1元、日均销售量减少40桶，进而列出表达式，利用二次函数的简单性质即得结论．【解答】解：设每桶水的价格为（6+x）元，公司日利润y元，则：y=（6+x﹣5）﹣200，=﹣40x2+440x+280（0＜x＜13），∵﹣40＜0，∴当x=﹣=5.5时函数y有最大值，因此，每桶水的价格为11.5元，公司日利润最大，故答案为：11.5．15．已知函数f（x）=x2•sinx，给出下列三个命题：（1）f（x）是R上的奇函数；（2）f（x）在上单调递增；（3）对任意的，都有（x1+x2）[f（x1）+f（x2）]≥0其中真命题的序号是（1）（2）（3）．【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．【分析】根据奇函数的定义便可判断命题（1）为真命题，求导得到f′（x）=2xsinx+x2cosx，可以判断时f′（x）≥0，从而得出f（x）在上单调递增，即得出命题（2）为真命题，对于命题（3），根据增函数的定义即可得出为真命题，从而便可写出真命题的序号．【解答】解：（1）f（x）的定义域为R，且f（﹣x）=（﹣x）2sin（﹣x）=﹣x2sinx=﹣f（x）；∴f（x）是R上的奇函数，即该命题为真命题；（2）f′（x）=2xsinx+x2cosx；∴时，x＜0，sinx＜0，cosx≥0，∴f′（x）＞0；时，x≥0，sinx≥0，cosx≥0，∴f′（x）≥0；即时，f′（x）≥0；∴f（x）在上单调递增，即该命题为真命题；（3）由（2）f（x）在上单调递增，则：则对任意的，，根据增函数的定义[x1﹣（﹣x2）][f（x1）﹣f（﹣x2）]≥0；根据（1）f（x）为奇函数，∴（x1+x2）[f（x1）+f（x2）]≥0，即该命题为真命题；综上得，真命题的序号为（1）（2）（3）．故答案为：（1）（2）（3）．三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16．体育课上，李老师对初三（1）班50名学生进行跳绳测试，现测得他们的成绩（单位：个）全部介于20与70之间，将这些成绩数据进行分组（第一组：（20，30]，第二组：（30，40]，…，第五组：（60，70]），并绘制成如图所示的频率分布直方图．（1）求成绩在第四组的人数和这50名同学跳绳成绩的中位数；（2）从成绩在第一组和第五组的同学中随机取出2名同学进行搭档，求至少有一名同学在第一组的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．【分析】（1）根据频率分步直方图即可求出成绩在第四组的人数，估计中位数即可．（2）根据频率分步直方图做出要用的各段的人数，设出各段上的元素，用列举法写出所有的事件和满足条件的事件，根据概率公式做出概率．【解答】解：（1）第四组的人数为[1﹣（0.004+0.008+0.016+0.04）×10]×50=16，中位数为40+[0.5﹣（0.004+0.016）×10]÷0.04=47.5．（2）据题意，第一组有0.004×10×50=2人，第五组有0.008×10×50=4人，记第一组成绩为A，B，第五组成绩为a，b，c，d，则可能构成的基本事件有（A，a），（A，b），（A，c），（A，d），（B，a），（B，b），（B，c），（B，d），（A，B），（a，b），（a，c），（a，d），（b，c），（b，d），（c，d）共15种，其中至少有一名是第一组的有（A，a），（A，b），（A，c），（A，d），（B，a），（B，b），（B，c），（B，d），（A，B），共9种，∴概率．17．设S n为各项不相等的等差数列{a n}的前n项和，已知a3a5=3a7，S3=9．（1）求数列{a n}通项公式；（2）设T n为数列{}的前n项和，求的最大值．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）通过设{a n}的公差为d，利用a3a5=3a7与S3=9联立方程组，进而可求出首项和公差，进而可得结论（2）通过（1）裂项、并项相加可知T n=，利用基本不等式即得结论．【解答】解：（1）设{a n}的公差为d，∵a3a5=3a7，S3=9，∴，解得（舍去）或，∴a n=2+（n﹣1）×1=n+1；（2）∵，∴===，∴，当且仅当，即n=2时“=”成立，即当n=2时，取得最大值．18．已知在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c且满足b=acosC+csinA．（1）求A的大小；（2）若cosB=，BC=5，=，求CD的长．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（1）利用正弦定理将边化角，结合两角和的正弦公式得出tanA；（2）在△ABC中，使用正弦定理求出AB，得出DB，再在△BCD中使用余弦定理求出CD．【解答】解：（1）在△ABC中，∵b=acosC+csinA中，∴sinB=sinAcosC+sinCsinA，又∵sinB=sin（A+C）=sinAcosC+sinCcosA，∴sinAcosC+cosAsinC=sinAcosC+sinCsinA，∴cosAsinC=sinCsinA，∵sinC≠0，∴cosA=sinA，∴tanA=1．∴．（2）∵cosB=，∴sinB==，∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=．在△ABC中，由正弦定理得，即，解得AB=7．∵=，∴BD=．在△BCD中，由余弦定理得CD2=BD2+BC2﹣2BC•BDcosB=1+25﹣2×=20．∴CD=2．19．已知在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面是边长为2的正三角形，侧棱AA1的长为，P、Q分别是AB、AC上的点，且PQ∥BC，如图．（1）设面A1PQ与面A1B1C1相交于l，求证：l∥B1C1；（2）若平面A1PQ⊥面PQB1C1，试确定P点的位置，并证明你的结论．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【分析】（1）利用线面平行的性质证明l∥B1C1；（2）作PQ的中点M，B1C1的中点N，连接A1M，MN，A1N，利用线面垂直的判定证明A1M⊥PQ，A1M ⊥MN，即可平面A1PQ⊥面PQB1C1，利用余弦定理确定P点的位置．【解答】（1）证明：∵PQ∥BC∥B1C1，B1C1⊂面A1B1C1，PQ⊄面A1B1C1，∴PQ∥面A1B1C1．…∵面A1PQ∩面A1B1C1=l，∴PQ∥l，…∴l∥B1C1．…（2）解：P为AB的中点时，平面A1PQ⊥面PQC1B1．证明如下：作PQ的中点M，B1C1的中点N，连接A1M，MN，A1N，∵PQ∥BC，AP=AQ，进而A1Q=A1P，∴A1M⊥PQ，∵平面A1PQ⊥面PQC1B1，平面A1PQ∩面PQC1B1=PQ，∴A1M⊥面PQC1B1，而MN⊂面PQC1B1，∴A1M⊥MN，即△A1MN为直角三角形．连接AM并延长交BC于G，显然G是BC的中点，设AP=x，则PB=2﹣x，则由，可，解得，在Rt△AA1M中，．同理，在Rt△MGN中，．∴在Rt△A1MN中，，即，解得x=1，即AP=1，此时P为AB的中点．…20．已知椭圆E： +=1（a＞b＞c）的离心率为，过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆E截得的线段长为2．（1）求椭圆E的方程；（2）直线y=kx+1与椭圆E交于A，B两点，以AB为直径的圆与y轴正半轴交于点C．是否存在实数k，使得y轴恰好平分∠ACB？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由椭圆的离心率为，过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆E截得的线段长为2，求出a，b，由此能求出椭圆E的方程．（2）依题意直线BC的斜率为k BC=1，直线AC的斜率为k AC=﹣1，联立，得（1+2k2）x2+4kx ﹣2=0，由此利用韦达定理、弦长公式，结合已知条件能求出存在满足条件的k值．【解答】解：（1）设焦点F（c，0），则，从而a2=2c2，由题意有，即，解得b2=2，又a2=b2+c2，于是2c2=2+c2，解得c2=2，a2=4，∴椭圆E的方程为．…（2）依题意可知BC⊥AC，且∠BCO=∠ACO=45°，于是直线BC的斜率为k BC=1，直线AC的斜率为k AC=﹣1，…则，∴x1=y0﹣y1=﹣k（x1﹣1）+y0，x2=y2﹣y0=k（x2+1）﹣y0，相加得x1+x2=k（x2﹣x1）．…联立消去y，整理得（1+2k2）x2+4kx﹣2=0，∴．…把x1+x2=k（x2﹣x1）两边同时平方，得，代入可得，化简可得4k2+1=2，或k2=0，解得，或k=0，即可存在满足条件的k值，，或k=0．…21．设f（x）=，g（x）=mx﹣+m﹣1（m为整数）．（1）求曲线y=f（x）在点（，f（））处的切线方程；（2）求函数y=g（x）的单调递减区间；（3）若x＞0时，函数y=f（x）的图象始终在函数y=g（x）的图象的下方，求m的最小值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出函数的导数，计算f（），f′（），代入切线方程即可；（2）求出函数的导数，通过讨论m的范围求出函数的单调区间即可；（3）问题转化为在（0，+∞）上恒成立，令，根据h max（x）＜0，结合函数的单调性求出m的最小值即可．【解答】解：（1）∵f（）=﹣e，f′（x）=，∴切线斜率为，故所求的切线方程为，即y=2e2x﹣3e．…（2）g′（x）=+，当m≥0时，g'（x）＞0恒成立，无单调递减区间；当m＜0时，由g'（x）＜0，解得或，∴g（x）的单调递减区间为和．…（3）原命题转化为f（x）﹣g（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，即在（0，+∞）上恒成立，（*）令，即h max（x）＜0．…，∵h′（x）=﹣，∴当m≤0时，h'（x）＞0，此时h（x）在（0，+∞）上单调递增，而，故命题（*）不成立；当m＞0时，由h'（x）＞0，解得，由h'（x）＜0解得，∴此时h（x）在上单调递增，在上单调递减，∴，…令，由函数y=﹣lnm与函数在（0，+∞）上均是减函数，知函数φ（m）在（0，+∞）是减函数，∵当m=1时，则，当m=2时，，∴当m≥2时，φ（m）＜0，即整数m的最小值为2．…。
四川省绵阳市高三第三次诊断性考试数学(文)试题(解析版).docx
第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}1==x x M ，{}x x x N ==2，则=⋃N M ( )A.{}1B.{}1,1-C.{}1,0D.{}1,0,1-2.复数25-i 的共轭复数是( ) A.i +-2 B.i +2 C.i --2 D.i -23.某设备零件的三视图如右图所示，则这个零件的体积为( )A.8B.6C.4D.3 【答案】B考点：三视图，几何体的体积.4.已知命题a x R x p ≥∈∃sin ,:，下列a 的取值能使“p ⌝”命题是真命题的是( ) A.2=a B.1=a C.0=a D.R a ∈5.执行如右图所示的程序框图，如输入2=x ，则输出的值为( )A.5B.5log 8C.9D.9log 8 【答案】D【解析】试题分析： 由程序框图可知，程序在运行过程中各变量值变化如下表：x是否满足条件y第一次循环 2 5x >否 第二次循环 3 5x >否 第三次循环 5 5x >否第四次循环 95x >是9log 81y >是输出9log 8故选D .考点：算法与程序框图，对数函数的性质.6.点P 在边长为1的正方形ABCD 内运动，则动点P 到顶点A 的距离1＜PA 的概率为( ) A.41 B.21 C.4πD.π 【答案】C 【解析】7.函数4ln )2()44ln()2()(2--+--=x x x x x f 的零点个数为( )A.3B.2C.1D.0 【答案】B 【解析】8.已知函数)0(sin )(＞w wx x f =的一段图像如图所示，△ABC 的顶点A 与坐标原点O 重合，B 是)(x f 的图像上一个最低点，C 在x 轴上，若内角C B A ,,所对边长为c b a ,,，且△ABC 的面积S 满足22212a c b S -+=，将)(x f 左移一个单位得到)(x g ，则)(x g 的表达式为( )A.)2cos()(x x g π=B.)2cos()(x x g π-=C.)212sin()(+=x x g D.)212sin()(-=x x g【答案】A 【解析】试题分析：自点B 向x 轴作垂线，D 为垂足.考点：三角函数的性质，三角函数图象的变换，三角函数诱导公式，余弦定理的应用.9.已知椭圆)0(1222＞＞n m ny m x =+的左顶点为A ，右焦点为F ，点B 在椭圆上.BC ⊥x 轴，点C 在x 轴正半轴上.如果△ABC 的角C B A ,,所对边分别为c b a ,,，它的面积S 满足)(5222c a b S --=，则椭圆的离心率为( ) A.41 B.51 C.22 D.42 【答案】B【解析】无法确定选项！考点：椭圆的几何性质，余弦定理的应用.10.设R c b a ∈,,，且2=++c b a ，12222=++c b a ，则c 的最大值和最小值的差为( ) A.2 B.310 C.316 D.320 【答案】C 【解析】考点：一元二次方程，一元二次不等式的解法，转化与化归思想.第Ⅱ卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分 ，共25分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.11.为了参加全市的中学生创新知识竞赛，绵阳一中举行选拔赛，共有2000名学生参加.为了了解成绩情况，从中抽取了50名学生成绩（得分均为整数，满分100分）进行统计请你根据如下表所示未完成的频率分布表，估计该校成绩超过80分的人数为______.【答案】900 【解析】试题分析：由表知，第2组的频率为150.350=；平移直线2=0x y -，当直线经过点33A （，）时，m a x z 23-3=3=⨯. 考点：简单线性规划13.已知幂函数)(x f y =的图像经过点)22,21(，则=+)5(lg )2(lg f f _________. 【答案】12【解析】14.已知,a b 是两个单位向量，且3ka b a kb +=-，若,a b 的夹角为60°则实数=k ___. 【答案】1 【解析】15.对非负实数m “四舍五入”到个位的值记为m .如048.0=，164.0=，1495.1=， ........,若2332x x <-+>=，则=x ________.三、解答题 （本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16. （本小题满分12分）已知n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，693,,S S S 成等差数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的公比q ； （Ⅱ）证明：582,,a a a 成等差数列.【答案】（Ⅰ）342q =-．（Ⅱ）证明：见解析. 【解析】解得：1q =（舍去），或342q =-．…………………………………………………7分 （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知3612q q +=，∴ 4325111(1)a a a q a q a q q +=+=+671122a q q a q =⋅=， ∵ 78122a a q =，∴ 2582a a a +=，即582,,a a a 成等差数列． ……………………………………12分 考点：等比数列的求和公式，等差数列的性质.17.（本小题满分12分）绵阳市农科所研究出一种新的棉花品种，为监测长势状况.从甲、乙两块试验田中各抽取了10株棉花苗，量出它们的株高如下（单位：厘米）：（Ⅰ）画出两组数据的茎叶图，并根据茎叶图对甲、乙两块试验田中棉花棉的株高进行比较，写出两个统计结论；（Ⅱ）从甲、乙两块试验田的棉花苗株高在[23,29]中抽3株，求至少各有1株分别属于甲、乙两块试验田甲 37 21 31 20 29 19 32 23 25 33 乙10 30 47 27 46 14 26 10 44 46的概率.根据茎叶图可得统计结论如下：结论一：甲试验田棉花苗的平均珠高度小于乙试验田棉花苗的平均珠高．结论二：甲试验田棉花苗比乙试验田棉花苗长得整齐． ………………………………6分 （Ⅱ）甲试验田中棉花苗株高在[23，29]共有3株，分别记为A ，B ，C ， 乙试验田中棉花苗株高在[23，29]共有2株，分别记为a ，b ， 从甲，乙两块试验田中棉花苗株高在[23，29]中抽3株基本事件为：ABC Aab Bab Cab ABa ACa BCa ABb ACb BCb ，，，，，，，，，共10个． ……8分其中，甲，乙两块试验田中棉花苗至少各有1株的基本事件为：Aab Bab Cab ABa ACa BCa ABb ACb BCb ，，，，，，，，，共9个， ……………10分∴ 910P =．……………………………………………………………………………12分 考点：茎叶图，古典概型.18.（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点),(),,(2211y x B y x A 在单位平面上，∠xOA=α，∠AOB=4π，且(,)62ππα∈.（Ⅰ）若cos(α+3π)147-=，求1x 的值；（Ⅱ）过点A,B 分别做x 轴的垂线，垂足为C 、D ，记△AOC 的面积为S 1，△BOD 的面积为S 2.设f(α)=S 1+S 2,求函数f(α)的最大值.【答案】（Ⅰ）1277x =．（Ⅱ）max 3()34f παα==，． 【解析】试题分析：（Ⅰ）由三角函数的定义有12cos cos()3x x παα==+，，结合角的取值范围，即得max 3()34f παα==，． 试题解析：（Ⅰ）由三角函数的定义有12cos cos()3x x παα==+，， ……………………2分∵ 7cos()()31462πππαα+=-∈，，， ∴ 321sin()314πα+=， ………………………………………………………………4分 ∴ 1cos cos ()cos()cos sin()sin 333333x ππππππαααα⎡⎤==+-=+++⎢⎥⎣⎦，∴ 1277x =． …………………………………………………………………………6分19.（本小题满分12分）如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 是梯形，且满足AD=DC=CB=a AB =21在直角梯形ACEF 中，︒=∠90,21//ECA AC EF ，已知二面角E-AC-B 是直二面角. （Ⅰ）求证：AF BC ⊥； （Ⅱ）求多面体ABCDEF 的体积.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）D ACEF B ACEF V V V --=+33316a =． 【解析】试题分析：（Ⅰ）根据已知条件，取AB 的中点G ，连结CG ．得到DC//AG ． 又推知四边形ADCG 是平行四边形，得AD=CG=a ， 得到AC ⊥BC ．进一步BC ⊥平面ACEF ． 得到 BC ⊥AF ．（Ⅱ）根据面面垂直、线面垂直得到BC 、DH 分别是四棱锥B-ACEF 、D-ACEF 的高． 根据平行四边形、直角三角形，确定211333()(3)22228ACEFa a S EF AC CE a a =+⋅=+⋅=四边形，（Ⅱ）解：连结DG 交AC 于H ，连结FH ． ∵ 平面ACEF ⊥平面ABCD ， 由（Ⅰ）知BC ⊥面ACEF ，DH//BC ， ∴ DH ⊥面ACEF ．即BC 、DH 分别是四棱锥B-ACEF 、D-ACEF 的高． 在Rt △ACB 中，2243AC a a a =-=，EF=32a ． 由EF//21AC//CH ，且∠ACE=90º，知四边形HCEF 是矩形， ∴ FH//EC ，于是FH ⊥AH ． 在Rt △FAH 中，222231()22CE FH AF AH a a a ==-=-=． ∴ 211333()(3)22228ACEFa a S EF AC CE a a =+⋅=+⋅=四边形， ∴ D ACEF B ACEFV V V --=+2213313338382a a a a =⨯⨯+⨯⨯33316a =．………12分 考点：平行关系，垂直关系，几何体体积计算.20.（本小题满分13分）已知函数,221ln )(2x ax x x f --=其中0,≠∈a R a . （Ⅰ）若))1(,1(f 是)(x f 的一个极值点，求a 的值；（Ⅱ）若函数)(x f 的图像上任意一点处切线的斜率1-≥k 恒成立，求实数a 的最大值； （III ）试着讨论)(x f 的单调性.【答案】（Ⅰ）a=-1． （Ⅱ）a 的最大值为14-．（Ⅲ）①当a 1≤-时，)(x f 在(0)+∞，上是增函数； ② 当10a -<<时，)(x f 在11(0)a a +-，上是增函数，在1111()a a a a+--+-，上是减函数，在11()a a-+-+∞，上是增函数；∵ (1，f(1))是)(x f 的一个极值点， ∴(1)120f a '=--=，解得a=-1．……………………………………………………………………………3分 （Ⅱ）由题意知x>0，且1()2f x ax x '=--≥-1恒成立，即a ≤211x x-. 令g(x)=211x x -，于是323212()x g x x x x--'=+=，∴ 当x ≥2时，()g x '0≥，即()g x 是[2+)∞，上的增函数，当0<x<2时，()g x '0<，即()g x 是(0，2)上的减函数，∴ 当x=2时，()g x 取最小值g(2)=14-，∴ a ≤14-，即a 的最大值为14-．…………………………………………………7分（Ⅲ）∵ 1()2f x ax x'=-+=221ax x x --+，设2()21(00)x ax x x a ϕ=--+>≠，，① 当a 0>时，③当a 0>时，)(x f 在11(0)a a +-，上是增函数，在11()a a+-+∞，上是减函数． ……………………………………………………13分考点：应用导数研究函数的单调性、最（极）值，转化与化归思想，不等式恒成立问题，不等式解法. 21.（本小题满分14分） 已知圆E 的圆心在x 轴上，且与y 轴切于原点.过抛物线y 2=2px(p ＞0)焦点F 作垂直于x 轴的直线l 分别交圆和抛物线于A 、B 两点.已知l 截圆所得的弦长为3,且FB FA 32=.（Ⅰ）求圆和抛物线的标准方程；（Ⅱ）若P 在抛物线运动，M 、N 在y 轴上，且⊙E 的切线PM （其中B 为切点）且PN ⊙E 与有一个公共点，求△PMN 面积S 的最小值.【答案】（Ⅰ）抛物线的方程为2y 2x =，圆的方程为()22x 1y 1-+=． （Ⅱ）S △PMN 的最小值为8．【解析】试题分析： （Ⅰ）设圆的标准方程为()()222x r y rr 0-+=>，由已知有F(2p ，0)，即|EF|=r-2p ．根据 l 截得的弦长为3，从而22200020448()(2)x y x b c x +--=-， 利用200y 2x =，化简得到220204()(2)x b c x -=-，即0022x b c x -=-．从而PMN S ∆=00000014()(2)4222x b c x x x x x -⋅=⋅=+-+--2=448≥+.又直线PM 与圆()22x 1y 1-+=相切，∴0022001()y b x b y b x -+=-+，化简得22200002()x x b y b x b =-+．按题意，0x 2>，上式化简得，2000(2)20x b y b x -+-=．…………………………8分 同理，由直线PC 与圆()22x 1y 1-+=相切，可得2000(2)20x c y c x -+-=．………9分∴ 由根与系数的关系知，0022y b c x -+=-，002x bc x -=-，。
2020年四川省绵阳市南山中学高考数学三诊试卷(文科)
2020年四川省绵阳市南山中学高考数学三诊试卷（文科）一、单项选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分）1．（5分）设集合{1M =-，0，1}，2{|}N x x x =„，则(M N =I )A ．{0}B ．{0，1}C ．{1-，1}D ．{1-，0，1} 2．（5分）已知复数(32a i z a R i -=∈+，i 是虚数单位）为纯虚数，则实数a 的值等于( ) A ．23 B ．32 C ．23- D ．32-3．（5分）已知(0,)2πθ∈，sin θcos2(tan θθ= ) A ．310- B ．310 C ．65- D ．654．（5分）下列叙述中正确的是( )A ．若a ，b ，c R ∈，则“20ax bx c ++…”的充分条件是“240b ac -„”B ．若a ，b ，c R ∈，则“22ab cb >”的充要条件是“a c >”C ．命题“对任意x R ∈，有20x …”的否定是“存在x R ∈，有20x …”D ．l 是一条直线，α，β是两个不同的平面，若l α⊥，l β⊥，则//αβ5．（5分）已知3log 0.5a =，0.5log 0.6b =，0.23c =，则( )A ．a b c <<B ．b c a <<C ．b a c <<D ．c a b <<6．（5分）若向量a r 、b r 、c r 两两所成的角相等，且||1a =r ，||1b =r ，||3c =r ，则||a b c ++r r r 等于( )A ．2B ．5C ．2或5 D7．（5分）德国数学家莱布尼兹(1646年1716-年）于1674年得到了第一个关于π的级数展开式，该公式于明朝初年传入我国．在我国科技水平业已落后的情况下，我国数学家、天文学家明安图(1692年1765-年）为提高我国的数学研究水平，从乾隆初年(1736年）开始，历时近30年，证明了包括这个公式在内的三个公式，同时求得了展开三角函数和反三角函数的6个新级数公式，著有《割圆密率捷法》一书，为我国用级数计算π开创了先河．如图所示的程序框图可以用莱布尼兹“关于π的级数展开式”计算π的近似值（其中P 表示π的近似值），若输入10n =，则输出的结果是( )A ．11114(1)35717P =-+-+⋯+B ．11114(1)35719P =-+-+⋯-C ．11114(1)35721P =-+-+⋯+D ．11114(1)35721P =-+-+⋯- 8．（5分）设函数()f x 在R 上可导，其导函数()f x '，且函数()f x 在2x =-处取得极小值，则函数()y xf x ='的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．9．（5分）在区间[0，2]中随机取两个数，则两个数中较大的数大于23的概率为( ) A ．89 B ．79 C ．49D ．19 10．（5分）已知直三棱柱111ABC A B C -，90ABC ∠=︒，12AB BC AA ===，1BB 和11B C 的中点分别为E 、F ，则AE 与CF 夹角的余弦值为( )A 3B ．25C ．45D 15 11．（5分）已知不等式2230x y ->所表示的平面区域内一点(,)P x y 到直线3y x =和直线3y x =-的垂线段分别为PA 、PB ，若三角形PAB 33，则点P 轨迹的一个焦点坐标可以是( )A ．(2,0)B ．(3,0)C ．(0,2)D ．(0,3)12．（5分）函数2()3f x x x a =-+-，2()2x g x x =-，若[()]0f g x …对[0x ∈，1]恒成立，则实数a 的范围是( )A ．(-∞，2]B ．(-∞，]eC ．(-∞，2]lnD ．[0，1)2 二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）13．（5分）某时段内共有100辆汽车经过某一雷达测速区域，将测得的汽车时速绘制成如图所示的频率分布直方图．根据图形推断，该时段时速超过50/km h 的汽车辆数为 ．14．（5分）函数3sin 2cos 2y x x =-的图象向右平移(0)2πϕϕ<<个单位长度后，得到函数()g x 的图象，若函数()g x 为偶函数，则ϕ的值为 ． 15．（5分）已知抛物线24y x =，过焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，过A ，B 分别作y 轴的垂线，垂足分别为C ，D ，则||||AC BD +的最小值为 ．16．（5分）已知正三棱锥P 一ABC 的侧面是直角三角形，P ABC -的顶点都在球O 的球面上，正三棱锥P 一ABC 的体积为36，则球O 的表面积为 ．三、解答题（本大题共5小题，共70分）17．（10分）如图（a ），在直角梯形ABCD 中，90ADC ∠=︒，//CD AB ，4AB =，2AD CD ==，将ADC ∆沿AC 折起，使平面ADC ⊥平面ABC ，得到几何体D ABC -，如图（b ）所示．。
2020年四川省绵阳市南山中学高考数学三诊试卷(文科)(附答案详解)
2020年四川省绵阳市南山中学高考数学三诊试卷（文科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合M={−1,0,1}，N={x|x2≤x}，则M∩N=()A. {0}B. {0,1}C. {−1,1}D. {−1,0,1}2.已知复数z=a−i3+2i(a∈R,i是虚数单位)为纯虚数，则实数a的值等于()A. 23B. 32C. −23D. −323.已知θ∈(0,π2)，sinθ=√55，则cos2θtanθ=()A. −310B. 310C. −65D. 654.下列叙述中正确的是()A. 若a，b，c∈R，则“ax2+bx+c≥0”的充分条件是“b2−4ac≤0”B. 若a，b，c∈R，则“ab2>cb2”的充要条件是“a>c”C. 命题“对任意x∈R，有x2≥0”的否定是“存在x∈R，有x2≥0”D. l是一条直线，α，β是两个不同的平面，若l⊥α，l⊥β，则α//β5.已知a=log30.5，b=log0.50.6，c=30.2，则()A. a<b<cB. b<c<aC. b<a<cD. c<a<b6.若向量a⃗、b⃗ 、c⃗两两所成的角相等，且|a⃗|=1，|b⃗ |=1，|c⃗|=3，则|a⃗+b⃗ +c⃗|等于()A. 2B. 5C. 2或5D. √2或√57.德国数学家莱布尼兹(1646年−1716年)于1674年得到了第一个关于π的级数展开式，该公式于明朝初年传入我国．在我国科技水平业已落后的情况下，我国数学家、天文学家明安图(1692年−1765年)为提高我国的数学研究水平，从乾隆初年(1736年)开始，历时近30年，证明了包括这个公式在内的三个公式，同时求得了展开三角函数和反三角函数的6个新级数公式，著有《割圆密率捷法》一书，为我国用级数计算π开创了先河．如图所示的程序框图可以用莱布尼兹“关于π的级数展开式”计算π的近似值(其中P表示π的近似值)，若输入n=10，则输出的结果是()A. P=4(1−13+15−17+⋯+117)B. P=4(1−13+15−17+⋯−119)C. P=4(1−13+15−17+⋯+121)D. P=4(1−13+15−17+⋯−121)8.设函数f(x)在R上可导，其导函数f′(x)，且函数f(x)在x=−2处取得极小值，则函数y=xf′(x)的图象可能是()A. B.C. D.9.在区间[0,2]中随机取两个数，则两个数中较大的数大于23的概率为()A. 89B. 79C. 49D. 1910.已知直三棱柱ABC−A1B1C1，∠ABC=90°，AB=BC=AA1=2，BB1和B1C1的中点分别为E、F，则AE与CF夹角的余弦值为()A. √35B. 25C. 45D. √15511.已知不等式3x2−y2>0所表示的平面区域内一点P(x,y)到直线y=√3x和直线y=−√3x的垂线段分别为PA、PB，若三角形PAB的面积为3√316，则点P轨迹的一个焦点坐标可以是()A. (2,0)B. (3,0)C. (0,2)D. (0,3)12.函数f(x)=−x2+3x−a，g(x)=2x−x2，若f[g(x)]≥0对x∈[0,1]恒成立，则实数a的范围是()A. (−∞,2]B. (−∞,e]C. (−∞,ln2]D. [0,12)二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.某时段内共有100辆汽车经过某一雷达测速区域，将测得的汽车时速绘制成如图所示的频率分布直方图．根据图形推断，该时段时速超过50km/ℎ的汽车辆数为)个单位长度后，得到函数14.函数y=√3sin2x−cos2x的图象向右平移φ(0<φ<π2g(x)的图象，若函数g(x)为偶函数，则φ的值为______．15.已知抛物线y2=4x，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，过A，B分别作y轴的垂线，垂足分别为C，D，则|AC|+|BD|的最小值为______．16.已知正三棱锥P−ABC的侧面都是直角三角形，P−ABC的顶点都在球O的球面上，正三棱锥P−ABC的体积为36，则球O的表面积为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.如图(a)，在直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，CD//AB，AB=4，AD=CD=2，将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D−ABC，如图(b)所示．(Ⅰ)求证：BC⊥平面ACD；(Ⅱ)求点A到平面BCD的距离ℎ．18.某商店为了更好地规划某种商品进货的量，该商店从某一年的销售数据中，随机抽取了8组数据作为研究对象，如下图所示(x(吨)为该商品进货量，y(天)为销售天数x 2 3 4 5 6 8 9 11 y12334568(Ⅰ)根据上表数据在下列网格中绘制散点图；(Ⅱ)根据上表提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程y ̂=b ̂x +a ̂；(Ⅲ)在该商品进货量x(吨)不超过6(吨)的前提下任取两个值，求该商品进货量x(吨)恰有一个值不超过3(吨)的概率．参考公式和数据：b ̂=∑(ni=1x i −x −)(y i −y −)∑(n i=1x i−x −)2，a ̂=y −−b ̂x −．∑x i 28i=1=356,∑x i 8i=1y i =24119. 已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且4S n =a n 2+2a n −3．(Ⅰ)求数列{a n }的通项公式； (Ⅱ)设b n =1a n a n+1(n ∈N ∗)，T n 是{b n }的前n 项和，求使T n <215成立的最大正整数n ．20. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为2√23，左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点．(Ⅰ)若以线段AF 1为直径的动圆内切于圆x 2+y 2=9，求椭圆的长轴长； (Ⅱ)当b =1时，问在x 轴上是否存在定点T ，使得TA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅TB ⃗⃗⃗⃗⃗ 为定值？如果存在，求出定点和定值；如果不存在，请说明理由．21. 已知函数f(x)=ax 2+(1−2a)x −lnx(a ∈R)．(1)当a >0时，求函数f(x)的单调增区间；(2)当a <0时，求函数f(x)在区间[12,1]上的最小值；(3)记函数y =f(x)图象为曲线C ，设点A(x 1,x 2)，B(x 2,y 2)是曲线C 上不同的两点，点M 为线段AB 的中点，过点M 作x 轴的垂线交曲线C 于点N.试问：曲线C 在点N 处的切线是否平行于直线AB ？并说明理由．22. 在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为{x =−5+√2costy =3+√2sint(t 为参数)，在以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为ρcos(θ+π4)=−√2．(Ⅰ)求圆C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(Ⅱ)设直线l 与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，点P 是圆C 上任一点，求△PAB 面积的23.设函数f(x)=|x−1|，x∈R．(1)求不等式f(x)≤3−f(x−1)的解集；)⊆M，求实(2)已知关于x的不等式f(x)≤f(x+1)−|x−a|的解集为M，若(1,32数a的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：因为N={x|x2≤x}={x|0≤x≤1}，M={−1,0,1}，所以M∩N={0,1}．故选B．求出集合N，然后直接求解M∩N即可．本题考查集合的基本运算，考查计算能力，送分题．2.【答案】A【解析】解：∵z=a−i3+2i =(a−i)(3−2i)(3+2i)(3−2i)=3a−213−2a+313i是纯虚数，∴{3a−2=02a+3≠0，解得a=23．故选：A．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.【答案】D【解析】解：∵θ∈(0,π2)，sinθ=√55，∴cosθ=√1−sin2=2√55，tanθ=sinθcosθ=12，则cos2θtanθ=cos2θ−sin2θtanθ=2025−52512=65，故选：D．由题意利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式，求得要求式子的值．本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，属于基础题．4.【答案】D【解析】【分析】体难度不大，属于基础题．本题先用不等式的知识对选项A、B中命题的条件进行等价分析，得出它们的充要条件，再判断相应命题的真假；对选项以中的命题否定加以研究，判断其真假，在考虑全称量词的同时，要否定命题的结论；对选项D利用立体几何的位置关系，得出命题的真假，可知本题的正确答案．【解答】解：A.若a，b，c∈R，当“ax2+bx+c≥0”对于任意的x恒成立时，则有：①当a=0时，要使ax2+bx+c≥0恒成立，需要b=0，c≥0，此时b2−4ac=0，符合b2−4ac≤0；②当a≠0时，要使ax2+bx+c≥0恒成立，必须a>0且b2−4ac≤0．∴若a，b，c∈R，“ax2+bx+c≥0”是“b2−4ac≤0”充分不必要条件，“b2−4ac≤0”是“ax2+bx+c≥0”的必要条件，但不是充分条件，即必要不充分条件．故A错误；B.当ab2>cb2时，b2≠0，且a>c，∴“ab2>cb2”是“a>c”的充分条件．反之，当a>c时，若b=0，则ab2=cb2，不等式ab2>cb2不成立．∴“a>c”是“ab2>cb2”的必要不充分条件．故B错误；C.结论要否定，注意考虑到全称量词“任意”，命题“对任意x∈R，有x2≥0”的否定应该是“存在x∈R，有x2<0”.故C错误；D.命题“l是一条直线，α，β是两个不同的平面，若l⊥α，l⊥β，则α//β.”是两个平面平行的一个判定定理．故D正确．故选D．5.【答案】A【解析】解：∵log30.5<log31=0，0=log0.51<log0.50.6<log0.50.5=1，30.2>30= 1，∴a<b<c．故选：A．容易得出log30.5<0,0<log0.50.6<1,30.2>1，从而得出a，b，c的大小关系．考查对数函数、指数函数的单调性，以及增函数和减函数的定义．6.【答案】C【解析】解：由向量a⃗、b⃗ 、c⃗两两所成的角相等，设向量所成的角为α，由题意可知α=0°或α=120°则(|a⃗+b⃗ +c⃗|) 2=|a⃗|2+|b⃗ |2+|c⃗|2+2(a⃗⋅b⃗ +a⃗⋅c⃗+b⃗ ⋅c⃗ )=11+2(|a⃗|⋅|b⃗ |cosα+|a⃗|⋅|c⃗|cosα+|b⃗ |⋅|c⃗|cosα)=11+14cosα所以当α=0°时，原式=5；当α=120°时，原式=2．故选C设向量所成的角为α，则先求出(|a⃗+b⃗ +c⃗|) 2的值即可求出，考查学生会计算平面向量的数量积，灵活运用a⃗⋅b⃗ =|a⃗|⋅|b⃗ |cosα的公式．7.【答案】B【解析】解：由程序框图知：算法的功能是求P=4S=4[(−1)02×1−1+(−1)12×2−1+(−1)22×3−1…+(−1)92×10−1]的值，∵输入n=10，∴跳出循环的i值为11，∴输出P=4S=4[(−1)02×1−1+(−1)12×2−1+(−1)22×3−1…+(−1)92×10−1]=4(1−13+15−⋯−119).故选：B．模拟程序的运行可得算法的功能是求P=4S=4[(−1)02×1−1+(−1)12×2−1+(−1)22×3−1…+(−1)92×10−1]的值，根据条件确定跳出循环的i值，即可计算得解．本题考查程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解答本题的关键，属于基础题．8.【答案】A【解析】解：∵函数f(x)在R上可导，其导函数f′(x)，且函数f(x)在x=−2处取得极小值，∴当x>−2时，f′(x)>0；当x=−2时，f′(x)=0；当x<−2时，f′(x)<0．∴当x>−2时，xf′(x)<0；当x=−2时，xf′(x)=0；故选：A ．由题设条件知：当x >−2时，xf′(x)<0；当x =−2时，xf′(x)=0；当x <−2时，xf′(x)>0.由此观察四个选项能够得到正确结果．本题考查利用导数研究函数的极值的应用，解题时要认真审题，注意导数性质和函数极值的性质的合理运用．9.【答案】A【解析】解：在区间[0,2]中随机地取一个数，这个数小于23的概率为232=13，∴在区间[0,2]中随机地取两个数，则这两个数都小于23的概率为13×13=19， ∴这两个数中较大的数大于23的概率为P =1−19=89， 故选：A ．先根据几何概型的概率公式求出在区间[0,2]中随机地取一个数，这个数小于23的概率，从而得到这两个数都小于23的概率，最后根据对立事件的概率公式可求出所求 本题主要考查了几何概型，简单地说，如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型10.【答案】B【解析】解：分别以直线BA ，BC ，BB 1为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则：∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0,1),CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−1,2)， ∴cos <AE⃗⃗⃗⃗⃗ ,CF ⃗⃗⃗⃗⃗ >=AE⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CF ⃗⃗⃗⃗⃗ |AE⃗⃗⃗⃗⃗ ||CF ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√5×√5=25，∴AE 与CF 夹角的余弦值为25． 故选：B ．根据题意，可以点B 为原点，直线BA ，BC ，BB 1分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，然后可求出AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0,1),CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−1,2)，然后可求出cos <AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CF ⃗⃗⃗⃗⃗ >=25，从而可得出AE 与CF 夹角的余弦值．本题考查了直三棱柱的定义，通过建立空间直角坐标系，利用向量坐标解决异面直线所成角的问题的方法，向量夹角的余弦公式，异面直线所成角的定义，考查了计算能力，属于基础题．11.【答案】A【解析】解：如图所示，不等式3x 2−y 2>0所表示的平面区域内一点P(x,y)，可得点P 的轨迹为直线y =±√3x 之间并且包括x 轴在内的区域． |PA|=|√3x−y|2，|PB|=|√3x+y|2，∵三角形PAB 的面积为3√316，∴12|PA||PB|sin60°=3√316， 化为：x 2−y 23=1．则点P 轨迹的一个焦点坐标可以是(2,0)． 故选：A ．如图所示，不等式3x 2−y 2>0所表示的平面区域内一点P(x,y)，可得点P 的轨迹为直线y =±√3x 之间并且包括x 轴在内的区域．利用12|PA||PB|sin60°=3√316，即可得出． 本题考查了线性规划的有关知识、双曲线的标准方程及其性质、点到直线的距离公式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．12.【答案】A【解析】【分析】本题考查函数恒成立问题，训练了利用导数研究函数的单调性及最值，考查了利用分离变量法求解证明取值范围问题，属中档题．利用导数可得g(x)在x∈[0,1]上的取值范围为[1,g(x0)]，其中g(x0)<2，令t=g(x)换元，把f[g(x)]≥0对x∈[0,1]恒成立转化为−t2+3t−a≥0对t∈[1,g(x0)]恒成立，分离参数a后利用函数单调性求出函数−t2+3t的最小值得答案．【解答】解：g(x)=2x−x2，g′(x)=2x ln2−2x，∵g′(0)=ln2>0，g′(1)=2ln2−2<0，∴g′(x)在(0,1)上有零点，又[g′(x)]′=ln22⋅2x−2<0在[0,1]上成立，∴g′(x)在(0,1)上有唯一零点，设为x0，则当x∈(0,x0)时，g′(x)>0，当x∈(x0,1)时，g′(x)<0，∴g(x)在x∈[0,1]上有最大值g(x0)<2，又g(0)=g(1)=1，∴g(x)∈[1,g(x0)]，令t=g(x)∈[1,g(x0)]，要使f[g(x)]≥0对x∈[0,1]恒成立，则f(t)≥0对t∈[1,g(x0)]恒成立，即−t2+3t−a≥0对t∈[1,g(x0)]恒成立，分离a，得a≤−t2+3t，，又g(x0)<2，函数−t2+3t的对称轴为t=32∴(−t2+3t)min=2，则a≤2．则实数a的范围是(−∞,2]．故选：A．13.【答案】77【解析】解：根据频率分布直方图，得；时速超过50km/ℎ的汽车的频率为(0.039+0.028+0.010)×10=0.77；∴时速超过50km/ℎ的汽车辆数为100×0.77=77．故答案为：77．根据频率分布直方图，求出时速超过50km/ℎ的汽车的频率，即可求出对应的汽车辆数．本题考查了频率分布直方图的应用问题，解题时应根据频率分布直方图，会计算样本数据，频率与频数的大小，是基础题．14.【答案】π6【解析】解：由已知得y=√3sin2x−cos2x=2(sin2x⋅√32−cos2x⋅12)=2sin(2x−π6)．所以g(x)=2sin[2(x−φ)−π6]，由g(x)是偶函数得g(0)=2sin(−2φ−π6)=±2，∴−2φ−π6=π2+kπ,k∈Z，∴φ=−π3−kπ2，k∈Z，当k=−1时，φ=π6即为所求．故答案为：π6．先将y=√3sin2x−cos2x化为y=2sin(2x−π6)，然后再利用图象平移知识，求出g(x)，根据g(x)是偶函数，则g(0)取得最值，求出φ．本题考查三角函数图象变换的方法以及性质，将奇偶性、对称性与函数的最值联系起来，是此类问题的常规思路，属于中档题．15.【答案】2【解析】解：由题意知，F(1,0)，由抛物线的定义知，|AC|+|BD|=|AF|+|BF|−2=|AB|−2，若|AC|+|BD|取得最小值，则|AB|取得最小值，而当|AB|为通径，即|AB|=2p=4时，取得最小值，所以|AC|+|BD|的最小值为2．故答案为：2．先有抛物线的定义，可得|AC|+|BD|=|AF|+|BF|−2=|AB|−2，再找|AB|的最小值，而当|AB|为抛物线的通径时，|AB|最小，故而得解．本题考查抛物线的定义、通径等，考查学生的分析能力和运算能力，属于基础题．16.【答案】108π【解析】【分析】本题考查多面体外接球的体积的求法，关键是“补形思想”的应用，是中档题．由已知可知该三棱锥三条侧棱两两互相垂直，且PA=PB=PC，设PA=PB=PC=a，由棱锥体积公式求得a，然后利用补形法求三棱锥外接球的半径，代入球的表面积公式得答案．【解答】解：由三棱锥P−ABC是正三棱锥，且侧面是直角三角形，如图，可知该三棱锥三条侧棱两两互相垂直，即PA⊥PB，PB⊥PC，PA⊥PC，且PA=PB=PC，设PA=PB=PC=a，则13×12a3=36，即a=6，把三棱锥补形为正方体，则其对角线长为√62+62+62=6√3，∴三棱锥P−ABC的外接球的半径R=3√3．∴球O的表面积为4π×(3√3)2=108π．故答案为：108π．17.【答案】解：(Ⅰ)证明：∵在直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，CD//AB，AB=4，AD=CD=2，将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D−ABC，∴AC=BC=2√2，∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC，∵平面ADC ⊥平面ABC ，平面ADC ∩平面ABC =AC ，BC ⊂平面ABC ， ∴BC ⊥平面ACD ．(Ⅱ)解：由(1)知，BC 为三棱锥B −ACD 的高，BC =2√2， S △ACD =2，∴V B−ACD =13S △ACD ⋅BC =13×2×2√2=4√23，∵S △BCD =2√2，设点A 到平面BCD 的距离ℎ.由V B−ACD =V A−BCD ，得： 点A 到平面BCD 的距离ℎ=4√2313×2√2=2．【解析】(Ⅰ)推导出AC ⊥BC ，由平面ADC ⊥平面ABC ，能证明BC ⊥平面ACD ． (Ⅱ)设点A 到平面BCD 的距离ℎ.由V B−ACD =V A−BCD ，能求出点A 到平面BCD 的距离． 本题考查线面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力与运算求解能力，属于中档题．18.【答案】解析：(Ⅰ)散点图如图所示：(Ⅱ)依题意，x −=18(2+3+4+5+6+8+9+11)=6y −=18(1+2+3+4+5+6+6+8)=4∑x i 28i=1=356,∑x i 8i=1y i =241：b̂=∑(n i=1x i −x −)(y i −y −)∑(n i=1x i −x −)2=241−8×6×7356−8×6×6=4968∴a ̂=y −−b ̂x −=4−4968×6=−1134故得回归直线方程为y =4968x −1134．(Ⅲ) 由题意知，在该商品进货量不超过6吨共有5个，设为编码1，2，3，4，5号，任取两个有(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(2,3)(2,4)(2,5)(3,4)(3,5)(4,5)共10种，该商品进货量不超过3吨的有编号1，2号，超过3吨的是编号3，4，5号，该商品进货量恰有一次不超过3吨有(1,3)(1,4)(1,5)(2,3)(2,4)(2,5)共6种，故该商品进货量恰有一次不超过3吨的概率为P =610=35．【解析】(Ⅰ)根据上表数据绘制散点图；(Ⅱ)由题意求出x −，y −，∑x i 28i=1，∑x i 8i=1y i ，代入公式求值，从而得到回归直线方程；(2)在该商品进货量不超过6吨共有5个，设为编码1，2，3，4，5号，抽取2个，写出所有事件，即可求解恰有一个值不超过3(吨)的概率． 本题考查了散点图与线性回归方程的应用问题，是中档题19.【答案】解：(Ⅰ)由4S n =a n 2+2a n −3，可得4S n−1=a n−12+2a n−1−3，n ≥2， 两式相减可得4a n =4S n −4S n−1=a n 2+2a n −a n−12−2a n−1，可化为(a n +a n−1)(a n −a n−1−2)=0， 由a n >0，可得a n −a n−1=2，由4a 1=4S 1=a 12+2a 1−3，解得a 1=3(−1舍去)，于是{a n }是首项为3，公差为2的等差数列， 则a n =2n +1，n ∈N ∗； (Ⅱ)b n =1an a n+1=1(2n+1)(2n+3)=12(12n+1−12n+3)，则T n =12(13−15+15−17+⋯+12n+1−12n+3)=12(13−12n+3)=n3(2n+3)， 由n3(2n+3)<215，解得n <6， 则所求的最大正整数n 为5．【解析】(Ⅰ)运用数列的递推式：n =1时，a 1=S 1，n ≥2时，a n =S n −S n−1，化简整理，结合等差数列的定义和通项公式，可得所求通项公式；(Ⅱ)求得b n =1(2n+1)(2n+3)=12(12n+1−12n+3)，由数列的裂项相消求和，计算可得T n ，再解不等式可得n 的最大值．本题考查数列的递推式的运用，等差数列的定义和通项公式的求法，考查数列的裂项相消求和，以及化简运算能力，属于中档题．20.【答案】解：(Ⅰ)设AF 1的中点M ，连接OM ，AF 2，在三角形AF 1F 2中，O 为F 1F 2的中点，所以OM 为中位线， 所以|OM|=12|AF 2|=12(2a −|AF 1|)=a −12|AF 1|， 又因为圆M 与圆O 内切，所以圆心距|OM|为两个半径之差，即|OM|=3−12|AF 1|，所以a −12|AF 1|=3−12|AF 1|，可得a =3， 所以椭圆的长轴长为2a =6； (Ⅱ)由e =c a=2√23，b =1，a 2=b 2+c 2可得a 2=9，所以椭圆的方程为：x 29+y 2=1；可得左焦点F 1(−2√2,0)，当直线AB 的斜率不为0时，设直线AB 的方程为：x =my −2√2，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2) 联立直线AB 与椭圆的方程{x =my −2√2x 2+9y 2−9=0，整理可得(9+m 2)y 2−4√2m −1=0，可得y 1+y 2=4√2m 9+m 2，y 1y 2=−19+m 2，假设存在T(t,0)满足条件，则TA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅TB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1−t,y 1)(x 2−t,y 2)=(x 1−t)(x 2−t)+y 1y 2=(my 1−2√2−t)(my 2−2√2−t)+y 1y 2=(1+m 2)y 1y 2−m(2√2+t)(y 1+y 2)+(2√2+t)2=−(1+m 2)9+m 2−4√2m 2(2√2+t)9+m 2+(2√2+t)2m 2+9(2√2+t)29+m 2=m 2[(2√2+t)2−1−4√2(2√2+t)]+9(2√2+t)2−19+m 2，要使TA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅TB⃗⃗⃗⃗⃗ 为定值，则9(2√2+t)2−19=(2√2+t)2−1−4√2(2√2+t)，解得t =−19√29，即T(−19√29,0)，这时9(2√2−19√29)2−19=−781；当直线的斜率为0时，即直线AB 为x 轴，与椭圆的交点A ，B 分别为：(−3,0)，(3,0)， 这时TA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅TB⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3+19√29,0)⋅(3+19√29,0)=(19√29)2−9=−781， 综上所述：在x 轴上存在定点T(−19√29,0)使得TA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅TB ⃗⃗⃗⃗⃗ 为定值−781．【解析】(Ⅰ)设AF 1的中点为M ，连接OM 可得OM 为三角形AF 1F 2的中位线，可得|OM|=12|AF 2|=12(2a −|AF 1|)=a −12|AF 1|，再由圆M 与圆O 内切，所以圆心距|OM|为两个半径之差可得|OM|的表达式，两个式子可得a 的值，进而求出长轴长；(Ⅱ)由离心率和b 的值及a ，b ，c 之间的关系，求出a 的值，进而求出椭圆的方程；假设存在定点T(t,0)，分直线AB 的斜率为0和不为0两种情况讨论：当直线AB 的斜率不为0时设直线AB 的方程，与椭圆联立求出两根之和及两根之积，进而求出TA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅TB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的表达式，由其为定值可得分子分母对应项的系数成比例，可得t 的值，进而求出TA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅TB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值，当直线AB 的斜率为0时，求出A ，B 的坐标，也可得TA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅TB ⃗⃗⃗⃗⃗ 为定值． 本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合，考查数量积为定值的性质，即分子分母对应项的系数成比例，属于中档题．21.【答案】解：(1)∵f(x)=ax 2+(1−2a)x −lnx ，∴f ′(x)=2ax +(1−2a)−1x=2ax 2+(1−2a)x−1x=(2ax+1)(x−1)x，∵a >0，x >0，∴2ax +1>0，解f′(x)>0，得x >1， ∴f(x)的单调增区间为(1,+∞)；(2)当a <0时，由f′(x)=0，得x 1=−12a ，x 2=1， ①当−12a >1，即−12<a <0时，f(x)在(0,1)上是减函数， ∴f(x)在[12,1]上的最小值为f(1)=1−a ． ②当12≤−12a ≤1，即−1≤a ≤−12时，f(x)在[12,−12a ]上是减函数，在[−12a ,1]上是增函数， ∴f(x)的最小值为f(−12a )=1−14a +ln(−2a)． ③当−12a <12，即a <−1时，f(x)在[12,1]上是增函数， ∴f(x)的最小值为f(12)=12−34a +ln2． 综上，函数f(x)在区间[12,1]上的最小值为：f(x)min={12−34a +ln2 a <−11−14a +ln(−2a) −1≤a ≤−121−a −12<a <0 (3)设M(x 0,y 0)，则点N 的横坐标为x 0=x 1+x 22，直线AB 的斜率k 1=y 1−y2x 1−x 2=1x1−x 2[a(x 12−x 22)+(1−2a)(x 1−x 2)+lnx 2−lnx 1]=a(x 1+x 2)+(1−2a)+lnx 2−lnx 1x 1−x 2，曲线C 在点N 处的切线斜率k 2=f ′(x 0)=2ax 0+(1−2a)−1x 0=a(x 1+x 2)+(1−2a)−2x1+x 2，假设曲线C 在点N 处的切线平行于直线AB ，则k 1=k 2， 即lnx 2−lnx 1x 1−x 2=−2x1+x 2，∴ln x 2x 1=2(x 2−x 1)x 1+x 2=2(x 2x 1−1)1+x 2x 1，不妨设x 1<x 2，x2x 1=t >1，则lnt =2(t−1)1+t ，令g(t)=lnt −2(t−1)1+t (t >1)，则g ′(t)=1t −4(1+t)2=(t−1)2t(1+t)2>0，∴g(t)在(1,+∞)上是增函数，又g(1)=0， ∴g(t)>0，即lnt =2(t−1)1+t不成立，∴曲线C 在点N 处的切线不平行于直线AB ．【解析】(1)求出函数f(x)的导函数，由a >0，定义域为(0,+∞)，再由f′(x)>0求得函数f(x)的单调增区间；(2)当a <0时，求出导函数的零点−12a ,1，分−12a >1，12≤−12a ≤1，−12a <12讨论函数f(x)在区间[12,1]上的单调性，求出函数的最小值，最后表示为关于a 的分段函数； (3)设出线段AB 的中点M 的坐标，得到N 的坐标，由两点式求出AB 的斜率，再由导数得到曲线C 过N 点的切线的斜率，由斜率相等得到ln x 2x 1=2(x 2−x 1)x 1+x 2=2(x 2x 1−1)1+x 2x 1，令x2x 1=t 后构造函数g(t)=lnt −2(t−1)1+t (t >1) 由导数证明ln x 2x 1=2(x 2−x 1)x 1+x 2=2(x 2x 1−1)1+x 2x 1不成立．本题考查利用导数求函数的单调区间，考查了利用导数求函数的最值，体现了分类讨论的数学思想方法，训练了利用构造函数法证明等式恒成立问题，特别是对于(3)的证明，要求学生较强的应变能力，是压轴题．22.【答案】解：(1)圆C 的参数方程为{x =−5+√2costy =3+√2sint(t 为参数)，消去参数t ，转换为直角坐标方程为(x +5)2+(y −3)2=2．直线l 的极坐标方程为ρcos(θ+π4)=−√2.整理得√22ρcosθ−√22ρsinθ=−√2，根据：{x =ρcosθy =ρsinθρ2=x 2+y 2，转换为直角坐标方程为x −y +2=0．(2)直线l 与x 轴和y 轴的交点坐标为A(−2,0)，B(0,2)． 所以|AB|=√22+(−2)2=2√2点P(−5+√2cosα,3+√2sinα)到直线l 的距离d =√2cosα−3−√2sinα+2|√2=|−6+2cos(α+π4)|√2，当cos(α+π4)=−1时，d max =√2=2√2，所以S△PAB=12×d max×|AB|=12×2√2×2√2=4．【解析】(Ⅰ)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．(Ⅱ)利用点到直线的距离公式的应用和三角函数关系式的恒等变换和三角形的面积公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，点到直线的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.【答案】解：(1)因为f(x)≤3−f(x−1)，所以|x−1|≤3−|x−2|，⇔|x−1|+|x−2|≤3，⇔{x<13−2x≤3或{1≤x≤21≤3或{x>22x−3≤3解得0≤x<1或1≤x≤2或2<x≤3，所以0≤x≤3，故不等式f(x)≤3−f(x−1)的解集为[0,3]．(2)因为(1,32)⊆M，所以当x∈(1,32)时，f(x)≤f(x+1)−|x−a|恒成立，而f(x)≤f(x+1)−|x−a|⇔|x−1|−|x|+|x−a|≤0⇔|x−a|≤|x|−|x−1|，因为x∈(1,32)，所以|x−a|≤1，即x−1≤a≤x+1，由题意，知x−1≤a≤x+1对于x∈(1,32)恒成立，所以12≤a≤2，故实数a的取值范围[12,2]．【解析】(1)通过讨论x的范围，得到关于x的不等式组，解出即可；(2)由f(x)≤f(x+1)−|x−a|⇔|x−a|≤|x|−|x−1|，得到x−1≤a≤x+1对于x∈(1,32)恒成立，求出a的范围即可．本题考查了解绝对值不等式问题，考查函数恒成立以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．。
2020年四川省绵阳市高考(文科)数学三诊模拟测试试卷 含解析
2020年高考（文科）数学三诊试卷一、选择题（共12小题）.1．复数＝（）A．1+i B．1﹣i C．i D．1﹣2i2．设集合A＝{（x，y）|x2+y2＝1}，B＝{（x，y）|x+y＝1}，则A∩B中元素的个数是（）A．0B．1C．2D．33．已知单位向量，满足⊥，则•（﹣）＝（）A．0B．C．1D．24．有报道称，据南方科技大学、上海交大等8家单位的最新研究显示：A、B、O、AB血型与COVID﹣19易感性存在关联，具体调查数据统计如图：根据以上调查数据，则下列说法错误的是（）A．与非O型血相比，O型血人群对COVID﹣19相对不易感，风险较低B．与非A型血相比，A型血人群对COVID﹣19相对易感，风险较高C．与O型血相比，B型、AB型血人群对COVID﹣19的易感性要高D．与A型血相比，非A型血人群对COVID﹣19都不易感，没有风险5．已知x•log32＝1，则4x＝（）A．4B．6C．4D．96．在△ABC中，若sin B＝2sin A cos C，那么△ABC一定是（）A．等腰直角三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等边三角形7．数学与建筑的结合造就建筑艺术品，2018年南非双曲线大教堂面世便惊艳世界，如图．若将此大教堂外形弧线的一段近似看成焦点在y轴上的双曲线＞0）上支的一部分，且上焦点到上顶点的距离为2，到渐近线距离为，则此双曲线的离心率为（）A．2B．3C．D．28．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2）＝﹣f（x），若f（﹣1）＜1，f（2019）＝ln（a﹣1），则实数a的取值范围为（）A．（1，2）B．（﹣∞，e+1）C．（e+1，+∞）D．（1，e+1）9．某社区有3个防疫志愿者服务队，每位社区居民参加每个服务队的可能性相同，该社区的甲、乙两位居民均参加其中一个服务队，则这两位居民参加不同服务队的概率为（）A．B．C．D．10．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，）的最小正周期为π，且关于中心对称，则下列结论正确的是（）A．f（1）＜f（0）＜f（2）B．f（0）＜f（2）＜f（1）C．f（2）＜f（0）＜f（1）D．f（2）＜f（1）＜f（0）11．如图，教室里悬挂着日光灯管AB，AB＝90cm，灯线AC＝BD，将灯管AB绕着过AB 中点O的铅垂线OO'顺时针旋转60°至A′B′，且始终保持灯线绷紧，若旋转后该灯管升高了15cm，则AC的长为（）A．30cm B．40cm C．60cm D．75cm12．已知x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，若函数f（x）＝x﹣[x]，则函数的零点个数为（）A．1B．2C．3D．4二、填空题13．已知，则sinα＝．14．曲线y＝2x﹣x3在x＝﹣1的处的切线方程为．15．已知F1，F2是椭圆C：的两个焦点，P是椭圆C．上的一点，∠F1PF2＝120°，且△F1PF2的面积为，则b＝．16．在一个半径为2的钢球内放置一个用来盛特殊液体的正四棱柱容器，要使该容器所盛液体尽可能多，则该容器的高应为．三、解答题17．质量是企业的生命线，某企业在一个批次产品中随机抽检n件，并按质量指标值进行统计分析，得到表格如表：质量指标值等级频数频率[60，75）三等品100.1[75，90）二等品30b[90，105）一等品a0.4[105，120）特等品200.2合计n1（1）求a，b，n；（2）从质量指标值在[90，120）的产品中，按照等级分层抽样抽取6件，再从这6件中随机抽取2件，求至少有1件特等品被抽到的概率．18．若数列{a n}的前n项和为S n，已知a1＝1，a n+1＝2S n（n∈N*）．（1）求S n；（2）设b n＝log3S n，求使得＞0.99成立的最小自然数n．19．如图，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，点E、点F分别是线段AD、PB的中点，PA＝AB＝2．（1）证明：EF∥平面PCD；（2）求三棱锥F﹣PCD的体积．20．已知动直线l过抛物线C：y2＝4x的焦点F，且与抛物线C交于M，N两点，且点M 在x轴上方，O为坐标原点，线段MN的中点为G．（1）若直线OG的斜率为，求直线l的方程；（2）设点P（x0，0），若∠FMP恒为锐角，求x0的取值范围．21．已知函数f（x）＝ax﹣（a+2）lnx﹣+2，其中a∈R．（1）当a＝4时，求函数f（x）的极值；（2）试讨论函数f（x）在（1，e）上的零点个数．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．如图，在极坐标系中，曲线C1是以C1（4，0）为圆心的半圆，曲线C2是以为圆心的圆，曲线C1、C2都过极点O．（1）分别写出半圆C1，C2的极坐标方程；（2）直线l：与曲线C1，C2分别交于M、N两点（异于极点O），P 为C2上的动点，求△PMN面积的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣2|+|x+1|．（1）解关于x的不等式f（x）≤5；（2）若函数f（x）的最小值记为m，设a，b，c均为正实数，且a+4b+9c＝m，求的最小值．参考答案一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数＝（）A．1+i B．1﹣i C．i D．1﹣2i【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简求值．解：＝．故选：A．2．设集合A＝{（x，y）|x2+y2＝1}，B＝{（x，y）|x+y＝1}，则A∩B中元素的个数是（）A．0B．1C．2D．3【分析】可画出圆x2+y2＝1和直线x+y＝1的图象，从而可看出它们交点的个数，从而得出A∩B中的元素个数．解：画出x2+y2＝1和x+y＝1的图象如下：可看出圆x2+y2＝1和直线x+y＝1有两个交点，∴A∩B的元素个数为2．故选：C．3．已知单位向量，满足⊥，则•（﹣）＝（）A．0B．C．1D．2【分析】直接把已知代入数量积求解即可．解：因为单位向量，满足⊥，则•（﹣）＝﹣•＝12﹣0＝1．故选：C．4．有报道称，据南方科技大学、上海交大等8家单位的最新研究显示：A、B、O、AB血型与COVID﹣19易感性存在关联，具体调查数据统计如图：根据以上调查数据，则下列说法错误的是（）A．与非O型血相比，O型血人群对COVID﹣19相对不易感，风险较低B．与非A型血相比，A型血人群对COVID﹣19相对易感，风险较高C．与O型血相比，B型、AB型血人群对COVID﹣19的易感性要高D．与A型血相比，非A型血人群对COVID﹣19都不易感，没有风险【分析】根据频率分布直方图，利用频率、频数与样本容量的关系，患者占有比例即可解答．解：根据A、B、O、AB血型与COVID﹣19易感性存在关联，患者占有比例可知：A型37.75%最高，所以风险最大值，比其它血型相对易感；故而D选项明显不对．故选：D．5．已知x•log32＝1，则4x＝（）A．4B．6C．4D．9【分析】利用对数的性质和运算法则及换底公式求解．解：∵x•log32＝1，∴x＝log23，∴4x＝＝＝9，故选：D．6．在△ABC中，若sin B＝2sin A cos C，那么△ABC一定是（）A．等腰直角三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等边三角形【分析】由三角形的内角和定理得到B＝π﹣（A+C），代入已知等式左侧，利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，利用特殊角的三角函数值得到A＝C，利用等角对等边即可得到三角形为等腰三角形．解：∵sin B＝sin[π﹣（A+C）]＝sin（A+C）＝sin A cos C+cos A sin C＝2sin A cos C，∴cos A sin C﹣sin A cos C＝sin（C﹣A）＝0，即C﹣A＝0，C＝A，∴a＝c，即△ABC为等腰三角形．故选：B．7．数学与建筑的结合造就建筑艺术品，2018年南非双曲线大教堂面世便惊艳世界，如图．若将此大教堂外形弧线的一段近似看成焦点在y轴上的双曲线＞0）上支的一部分，且上焦点到上顶点的距离为2，到渐近线距离为，则此双曲线的离心率为（）A．2B．3C．D．2【分析】利用已知条件求出方程组，得到a，c，即可求解双曲线的离心率．解：双曲线＞0）的上焦点到上顶点的距离为2，到渐近线距离为，可得：，解得a＝1，c＝3，b＝2，所以双曲线的离心率为：e＝＝3．故选：B．8．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2）＝﹣f（x），若f（﹣1）＜1，f（2019）＝ln（a﹣1），则实数a的取值范围为（）A．（1，2）B．（﹣∞，e+1）C．（e+1，+∞）D．（1，e+1）【分析】根据题意，分析可得f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），即函数f（x）是周期为4的周期函数，据此可得f（2019）＝f（﹣1），进而可得ln（a﹣1）＜1，变形可得0＜a﹣1＜e，解可得a的取值范围，即可得答案．解：根据题意，函数f（x）满足f（x+2）＝﹣f（x），则有f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f （x），函数f（x）是周期为4的周期函数，则f（2019）＝f（﹣1+4×505）＝f（﹣1），又由f（2019）＝ln（a﹣1）且f（﹣1）＜1，则有ln（a﹣1）＜1，变形可得0＜a﹣1＜e，解可得：1＜a＜e+1；故a的取值范围为（1，e+1）；故选：D．9．某社区有3个防疫志愿者服务队，每位社区居民参加每个服务队的可能性相同，该社区的甲、乙两位居民均参加其中一个服务队，则这两位居民参加不同服务队的概率为（）A．B．C．D．【分析】基本事件总数n＝32＝9，这两位居民参加不同服务队包含的基本事件总数m＝＝6，由此能求出这两位居民参加不同服务队的概率．解：某社区有3个防疫志愿者服务队，每位社区居民参加每个服务队的可能性相同，该社区的甲、乙两位居民均参加其中一个服务队，基本事件总数n＝32＝9，这两位居民参加不同服务队包含的基本事件总数m＝＝6，则这两位居民参加不同服务队的概率p＝＝．故选：A．10．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，）的最小正周期为π，且关于中心对称，则下列结论正确的是（）A．f（1）＜f（0）＜f（2）B．f（0）＜f（2）＜f（1）C．f（2）＜f（0）＜f（1）D．f（2）＜f（1）＜f（0）【分析】根据条件求出函数的解析式，结合函数的单调性的性质进行转化判断即可．解：∵函数的最小周期是π，∴＝π，得ω＝2，则f（x）＝sin（2x+φ），∵f（x）关于中心对称，∴2×（﹣）+φ＝kπ，k∈Z，即φ＝kπ+，k∈Z，∵，∴当k＝0时，φ＝，即f（x）＝sin（2x+），则函数在[﹣，]上递增，在[，]上递减，f（0）＝f（），∵＜1＜2，∴f（）＞f（1）＞f（2），即f（2）＜f（1）＜f（0），故选：D．11．如图，教室里悬挂着日光灯管AB，AB＝90cm，灯线AC＝BD，将灯管AB绕着过AB 中点O的铅垂线OO'顺时针旋转60°至A′B′，且始终保持灯线绷紧，若旋转后该灯管升高了15cm，则AC的长为（）A．30cm B．40cm C．60cm D．75cm【分析】设A′B′与OO′交于点N，过点A′作A′M⊥AC于M，连接MN，由等边三角形求出A′M，由勾股定理求得AC的值．解：设A′B′与OO′交于点N，过点A′作A′M⊥AC于M，连接MN，如图所示；则CM＝AC﹣15，△A′MN中，A′N＝AB＝45，MN＝45，∠A′MN＝60°，所以A′M＝45；在Rt△A′MC中，由勾股定理得，（AC﹣15）2+452＝AC2，解得AC＝75（cm）．故选：D．12．已知x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，若函数f（x）＝x﹣[x]，则函数的零点个数为（）A．1B．2C．3D．4【分析】函数的零点个数，即方程的零点个数，也就是两函数y＝f（x）与y＝﹣的图象的交点个数，画出图象，数形结合得答案．解：函数的零点个数，即方程的零点个数，也就是两函数y＝f（x）与y＝﹣的交点个数．由y＝﹣，得y′＝．可知当x＜1时，y′＜0，函数单调递减，当x＞1时，y′＞0，函数单调递增．作出两函数y＝f（x）与y＝﹣的图象如图：由图可知，函数的零点个数为2个．故选：B．二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分.13．已知，则sinα＝．【分析】将已知等式两边平方，利用同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式即可求解．解：∵，∴两边平方可得：cos2+sin2﹣2cos sin＝，可得1﹣sinα＝，∴sinα＝．故答案为：．14．曲线y＝2x﹣x3在x＝﹣1的处的切线方程为x+y+2＝0．【分析】根据导数的几何意义求出函数在x＝﹣1处的导数，从而得到切线的斜率，再利用点斜式方程写出切线方程即可．解：y'＝2﹣3x2y'|x＝﹣1＝﹣1而切点的坐标为（﹣1，﹣1）∴曲线y＝2x﹣x3在x＝﹣1的处的切线方程为x+y+2＝0故答案为：x+y+2＝015．已知F1，F2是椭圆C：的两个焦点，P是椭圆C．上的一点，∠F1PF2＝120°，且△F1PF2的面积为，则b＝2．【分析】根据正余弦定理可得PF1•PF2＝16且4c2＝（2a）2﹣16，解出b即可．解：△F1PF2的面积＝PF1•PF2sin120°＝PF1•PF2＝4，则PF1•PF2＝16，又根据余弦定理可得cos120°＝，即4c2＝PF12+PF22+16＝（2a）2﹣32+16，所以4b2＝16，解得b＝2，故答案为：2．16．在一个半径为2的钢球内放置一个用来盛特殊液体的正四棱柱容器，要使该容器所盛液体尽可能多，则该容器的高应为．【分析】设正四棱柱的高为h，底面边长为a，用h表示出a，写出正四棱柱容器的容积，利用导数求出V取最大值时对应的h值．解：设正四棱柱的高为h，底面边长为a，如图所示；则h2+2a2＝（2×2）2，所以a2＝8﹣h2，所以正四棱柱容器的容积为V＝a2h＝（8﹣h2）h＝﹣h3+8h，h∈（0，4）；求导数得V′＝﹣h2+8，令V′＝0，解得h＝，所以h∈（0，）时，V′＞0，V（h）单调递增；h∈（，4）时，V′＜0，V（h）单调递减；所以h＝时，V取得最大值．所以要使该容器所盛液体尽可能多，容器的高应为．故答案为：．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．质量是企业的生命线，某企业在一个批次产品中随机抽检n件，并按质量指标值进行统计分析，得到表格如表：质量指标值等级频数频率[60，75）三等品100.1[75，90）二等品30b[90，105）一等品a0.4[105，120）特等品200.2合计n1（1）求a，b，n；（2）从质量指标值在[90，120）的产品中，按照等级分层抽样抽取6件，再从这6件中随机抽取2件，求至少有1件特等品被抽到的概率．【分析】（1）由10÷0.1＝100，得n＝100，由此能求出a，b．（2）设从“特等品”产品中抽取x件，从“一等品”产品中抽取y件，由分层抽样得：，解得x＝2，y＝4，在抽取的6件中，有特等品2件，记为A1，A2，有一等品4件，记为B1，B2，B3，B4，由此利用列举法能求出至少有1件特等品被抽到的概率．解：（1）由10÷0.1＝100，即n＝100，∴a＝100×0.4＝40，b＝30÷100＝0.3．（2）设从“特等品”产品中抽取x件，从“一等品”产品中抽取y件，由分层抽样得：，解得x＝2，y＝4，∴在抽取的6件中，有特等品2件，记为A1，A2，有一等品4件，记为B1，B2，B3，B4，则所有的抽样情况有15种，分别为：A1A2，A1B1，A1B2，A1B3，A1B4，A2B1，A2B2，A2B3，A2B4，B1B2，B1B3，B1B4，B2B3，B2B4，B3B4，其中至少有1件特等品被抽到包含的基本事件有9种，分别为：A1A2，A1B1，A1B2，A1B3，A1B4，A2B1，A2B2，A2B3，A2B4，∴至少有1件特等品被抽到的概率为：p＝．18．若数列{a n}的前n项和为S n，已知a1＝1，a n+1＝2S n（n∈N*）．（1）求S n；（2）设b n＝log3S n，求使得＞0.99成立的最小自然数n．【分析】（1）利用数列的递推关系式，推出数列{S n}是等比数列，然后求解即可．（2）化简数列的通项公式，然后利用裂项消项法求解数列的和，结合不等式推出n的范围，然后求解即可．解：（1）数列{a n}的前n项和为S n，已知a1＝1，a n+1＝2S n（n∈N*）．所以S n+1＝3S n，所以{S n}是等比数列，首项为1，公比为3等比数列．S n＝3n﹣1．（2）b n＝log3S n＝n﹣1，＝＝＝1，＞0.99成立，即1＞0.99，解得n＞99，所以最小自然数n为100．19．如图，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，点E、点F分别是线段AD、PB的中点，PA＝AB＝2．（1）证明：EF∥平面PCD；（2）求三棱锥F﹣PCD的体积．【分析】（1）取PC的中点G，连接DG，FG．利用正方形的性质、三角形中位线定理可得：DE∥BC，且DE＝BC．于是四边形DEFG为平行四边形，可得EF∥DG，即可证明EF∥平面PCD．（2）根据EF∥平面PCD，可得F到平面PCD的距离等于点E到平面PCD的距离，可得V F﹣PCD＝V E﹣PCD＝V A﹣PCD＝V P﹣ACD．由PA⊥平面ABCD，可得V P﹣ACD＝PA ×S△ACD，即可得出．【解答】（1）证明：取PC的中点G，连接DG，FG．∵四边形ABCD为正方形，且DE＝BC，FG∥BC，且FG＝BC．∴DE∥BC，且DE＝BC．∴四边形DEFG为平行四边形，∴EF∥DG，∵EF⊄平面PCD，DG⊂平面PCD，∴EF ∥平面PCD．（2）解：∵EF∥平面PCD，∴F到平面PCD的距离等于点E到平面PCD的距离，∴V F﹣PCD＝V E﹣PCD＝V A﹣PCD＝V P﹣ACD．∵PA⊥平面ABCD，∴V P﹣ACD＝PA×S△ACD＝××2＝．∴V F﹣PCD＝．20．已知动直线l过抛物线C：y2＝4x的焦点F，且与抛物线C交于M，N两点，且点M 在x轴上方，O为坐标原点，线段MN的中点为G．（1）若直线OG的斜率为，求直线l的方程；（2）设点P（x0，0），若∠FMP恒为锐角，求x0的取值范围．【分析】（1）由抛物线的方程可得焦点F的坐标，设直线l的方程与抛物线联立求出两根之和及两根之积，进而可得中点G的坐标，求出直线OG的斜率，再由题意可得直线中参数的值，进而求出直线方程；（2）∠FMP恒为锐角，等价于＞0，设M的坐标，求出向量的代数式，使其大于0恒成立，令函数h（t），分两种情况讨论函数大于0时的x0的范围．解：（1）由题意得F（1，0），设直线l的方程为：x＝ty+1，设M（x1，y1），N（x2，y2），线段MN的中点G（x0，y0），联立直线与抛物线的方程：，整理可得：y2﹣4ty﹣4＝0，可得y1+y2＝4t，y1y2＝﹣4，所以y0＝2t，x0＝ty0+1＝2t2+1，即G（2t2+1，2t），所以k OG＝，由题意可得＝，解得t＝或t＝1，所以直线l的方程为：x﹣y﹣1＝0，或2x﹣y﹣2＝0；（2）∠FMP恒为锐角，等价于＞0，设M（，y1），F（1，0），P（x0，0），＝（x0﹣，﹣y1），＝（1﹣，﹣y1），则＝（x0﹣）（1﹣）+y12＝+y12+（1﹣）x0＞0恒成立，令t＝，则t＞0，原式等价于t2+3t+（1﹣t）x0＞0，对任意的t＞0恒成立，令h（t）＝t2+（3﹣x0）t+x0，①△＝（3﹣x0）2﹣4x0＝x02﹣10x0+9＜0，解得1＜x0＜9，②，解得：0≤x0≤1，又x0≠1，故0≤x0＜1，综上所述：x0的取值范围[0，1）∪（1，9）．21．已知函数f（x）＝ax﹣（a+2）lnx﹣+2，其中a∈R．（1）当a＝4时，求函数f（x）的极值；（2）试讨论函数f（x）在（1，e）上的零点个数．【分析】（1）把a＝4代入后对函数求导，然后结合导数可求函数的单调性，进而可求极值；（2）先对函数求导，然后结合导数与单调性关系对a进行分类讨论，确定导数符号，然后结合导数与函数的性质可求．解：（1）当a＝4时，f（x）＝4x﹣6lnx﹣+2，＝，x＞0，易得f（x）在（0，），（1，+∞）上单调递增，在（）上单调递减，故当x＝时，函数取得极大值f（）＝6ln2，当x＝1时，函数取得极小值f（1）＝4，（2）＝，当a≤0时，f（x）在（1，e）上单调递减，f（x）＜f（1）＝a≤0，此时函数在（1，e）上没有零点；当a≥2时，f（x）在（1，e）上单调递增，f（x）＞f（1）＝a≥2，此时函数在（1，e）上没有零点；当0即时，f（x）在（1，e）上单调递减，由题意可得，，解可得，0，当即时，f（x）在（1，）上单调递减，在（）上单调递增，由于f（1）＝a＞0，f（e）＝a（e﹣1）﹣＝，令g（a）＝f（）＝2﹣（a+2）ln﹣a+2＝（a+2）lna﹣（1+ln2）a+4﹣2ln2，令h（a）＝，则＜0，所以h（a）在（）上递减，h（a）＞h（2）＝1＞0，即g′（a）＞0，所以g（a）在（）上递增，g（a）＞g（）＝2﹣，即f（）＞0，所以f（x）在（1，e）上没有零点，综上，当0＜a＜时，f（x）在（1，e）上有唯一零点，当a≤0或a时，f（x）在（1，e）上没有零点．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．如图，在极坐标系中，曲线C1是以C1（4，0）为圆心的半圆，曲线C2是以为圆心的圆，曲线C1、C2都过极点O．（1）分别写出半圆C1，C2的极坐标方程；（2）直线l：与曲线C1，C2分别交于M、N两点（异于极点O），P 为C2上的动点，求△PMN面积的最大值．【分析】（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用三角函数关系式的变换和三角形的面积的公式的应用求出结果．解：（1）曲线C1是以C1（4，0）为圆心的半圆，所以半圆的极坐标方程为，曲线C2是以为圆心的圆，转换为极坐标方程为．（2）由（1）得：|MN|＝|．显然当点P到直线MN的距离最大时，△PMN的面积最大．此时点P为过C2且与直线MN垂直的直线与C2的一个交点，设PC2与直线MN垂直于点H，如图所示：在Rt△OHC2中，|，所以点P到直线MN的最大距离d＝，所以．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣2|+|x+1|．（1）解关于x的不等式f（x）≤5；（2）若函数f（x）的最小值记为m，设a，b，c均为正实数，且a+4b+9c＝m，求的最小值．【分析】（1）将f（x）写为分段函数的形式，然后根据f（x）≤5，利用零点分段法解不等式即可；（2）利用绝对值三角不等式求出f（x）的最小值m，然后由a+4b+9c＝m，根据++＝++（a+4b+9c），利用基本不等式求出的最小值．解：（1）f（x）＝|x﹣2|+|x+1|＝．∵f（x）≤5，∴或﹣1≤x≤2或，∴﹣2≤x≤3，∴不等式的解集为{x|﹣2≤x≤3}．（2）∵f（x）＝|x﹣2|+|x+1|⩾|（x﹣2）﹣（x+1）|＝1∴f（x）的最小值为1，即m＝3，∴a+4b+9c＝3．＝＝3，当且仅当时等号成立，∴最小值为3．。
四川省绵阳市2020届高三第三次诊断性考试数学文卷word版含答案
绵阳市高中2019级第三次诊断性考试数学（文科）本试卷分第I 卷（选择题)和第II 卷（非选择题）两部分。
第I 卷l 至2页，第II 卷 3至4页。
满分150分。
考试时间120分钟。
注意事项：1. 答题前,考生务必将自己的姓名、考号用0.5毫米的黑色签字笔填写在答题卡上， 并将条形码粘贴在答题卡的指定位置。
2. 选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米的 黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷 上答题无效。
3. 考试结束后，将答题卡收回。
第I 卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的.1. 设集合U={l,2, 3, 4}, M={l, 2, 3}, N={2，3, 4},则)(N M C U 等于 A. {1, 2} B. {2, 3} C.{2, 4} D. {1, 4}2.抛物线x 2=-4y 的准线方程是A. x=-1B. x=2C.y=1D. y=-2 3. 若复数z 满足z*i=1+i (i 为虚数单位),则复数z= A. 1+i B. -1-i C. 1-i D. -1+i4. 设数列{a n }是等比数列，则“a 1<a 2广是“数列{a n }是递增数列”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件D.既不充分又不必要条件5. 平面向量a 与b 的夹角为600,a=(2, 0)，b =(cosa, sina),则|a+2b|=A.C. 4 D . 126. 函数f(x)=7. 执行如图所示的程序框图，若输出结果为26,则M 处的条件为A. 31≥kB. 15≥kC. k>3lD. k>l58. 己知函数. )|)(|2sin(2)(πθθ<+=x x f ，若函数f(x)在区间)85,6(ππ上单调递增，则0的取值范围是9. )0(122>>=+b a by 与离心率为2的双曲线)0,0(12222>>=+n m ny m x 的公共焦点 是F 1 F 2,点P 是两曲线的一个公共点，若cos 21=∠PF FA.22 C.1010D. 510 10. 已知函数f(x)=ln(e x +a)(e 是自然对数的底数，a 为常数）是实数集R 上的奇函数，若函数f(x)=lnx-f(x)(x 2-2ex+m)在(0, +∞)上有两个零点，则实数m 的取值范围是A. )1,1(2ee e + B. )1,0(2ee +C. ),1(2+∞+e eD. )1,(2ee +-∞第II 卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11. 若直线x+(a-1)y=4与直线x=1平行，则实数a 的值是____ 12. 如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为4 的正方形，俯视图是一个直径为4的圆，则这个几何体的侧 面积是____13.设变量x 、y 满足约束条件：⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≤11y y x x y ，则目标函数z=2x+y 的最大值是_______15. 定义在区间[a, b]上的函数y=f(x),)(x f '是函数f(x)的导数，如果],[b a ∈∃ξ，使得f(b)-f(a)= ))((a b f -'ξ,则称ξ为三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分12分）从高三学生中抽取n 名学生参加数学竞赛，成绩（单位：分）的分组及各数据绘制的频 率分布直方图如图所示，已知成绩的范围是 区间[40, 100),且成绩在区间[70, 90)的学 生人数是27人.(I) 求n 的值;(II)试估计这n 名学生的平均成绩；(III)若从数学成绩（单位：分）在[40,60)的学生中随机选取2人进行成绩分析，求至少有1人成绩在[40, 50)内的概率.已知{a n }是等差数列，a 1=3, Sn 是其前n 项和，在各项均为正数的等比数列{b n }中， b 1=1 且b 2+S 2=1O, S 5 =5b 3+3a 2.(I )求数列{a n }, {b n }的通项公式；18. (本小题满分12分）如图，ABCD 是边长为2的正方形，ED 丄平面ABCD,ED=1,EF//BD 且EF=BD.(I)求证：BF//平面ACE(II)求证：平面EAC 丄平面BDEF; (III)求几何体ABCDEF 的体积.19. (本小题满分12分）函数)2||,0)(sin()(πϕωϕω<>+=x x f 的部分图象如图示，将y=f(x)的图象向右平移4π个单位后得到函数y=f(x)的 图象.g已知椭圆C: 0(12222>>=+b a b y a x 原点为圆心，椭圆c 的短半轴长为半径的圆与直线02=++y x 相切.A 、B 是椭圆的左右顶点，直线l 过B 点且与x 轴垂直，如图.(I )求椭圆的标准方程；(II)设G 是椭圆上异于A 、B 的任意一点，GH 丄x 轴，H 为垂足，延长HG 到点Q 使得HG=GQ,连接AQ 并延长交直线l 于点M,点N 为MB 的中点，判定直线QN 与以AB 为直径的圆O 的位置关系，并证明你的结论.21. (本小题满分14分）已知函数f(x)=e x-ax(e 为自然对数的底数). (I )求函数f(x)的单调区间；(II)如果对任意],2[+∞∈x ，都有不等式f(x)> x + x 2成立，求实数a 的取值范围； (III)设*N n ∈,证明：nn)1(+nn)2(+nn)3(+…+nnn )(<1-e e绵阳市高中2019级第三次诊断性考试数学(文)参考解答及评分标准一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．DCCBB AABDD二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．112．16π13．31415．①④ 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．解：（Ⅰ）成绩在区间[)9070，的频率是：1-(0.02+0.016+0.006+0.004)×10=0.54，∴ 27500.54n ==人． ……………………………………………………………3分（Ⅱ）成绩在区间[)8090，的频率是： 1-(0.02+0.016+0.006+0.004+0.03)⨯10=0.24，利用组中值估计这50名学生的数学平均成绩是： 45×0.04+55×0.06+65×0.2+75×0.3+85×0.24+95×0.16=76.2． ……………3分（Ⅲ）成绩在区间[)4050，的学生人数是：50×0.04=2人，成绩在区间[)5060，的学生人数是：50×0.06=3人，设成绩在区间[)4050，的学生分别是A 1，A 2，成绩在区间[)5060，的学生分别是B 1，B 2，B 3，从成绩在[)6040，的学生中随机选取2人的所有结果有：(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 2，B 3)共10种情况．至少有1人成绩在[)5040，内的结果有：(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)共7种情况．∴ 至少有1人成绩在[)5040，内的概率P =107． ……………………………6分 17．解：（Ⅰ）设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ，由题意可得：11211121054553()2b q a d a d b q a d ⋅++=⎧⎪⎨⨯+⨯=++⎪⎩，， 解得q =2或q =517-(舍)，d =2． ∴ 数列{a n }的通项公式是a n =2n +1，数列{b n }的通项公式是12n n b -=． …7分（Ⅱ）由（Ⅰ）知2(321)22n n n S n n ++==+，于是2112n n c S n n ==-+， ∴ 11111111324352n T n n =-+-+-+⋅⋅⋅+-+1111212n n =+--++ 311212n n =--++<32． …………12分 18．解：（Ⅰ）如图，记AC 与BD 的交点为O ，连接EO ，于是DO=OB ．∵ EF ∥BD 且EF ＝12BD ，∴ EF ， ∴ 四边形EFBO 是平行四边形， ∴ BF ∥EO ．D EF而BF ⊄平面ACE ，EO ⊂平面ACE ，∴ BF ∥平面ACE ．…………………………4分 （Ⅱ）∵ ED ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， ∴ ED ⊥AC ．∵ ABCD 是正方形， ∴ BD ⊥AC ，∴ AC ⊥平面BDEF ．又AC ⊂平面EAC，故平面EAC ⊥平面BDEF ． ……………………………8分 （Ⅲ）连结FO ，∵ EF DO ， ∴ 四边形EFOD 是平行四边形． 由ED ⊥平面ABCD 可得ED ⊥DO ， ∴ 四边形EFOD 是矩形． ∵ 平面EAC ⊥平面BDEF ．∴ 点F 到平面ACE 的距离等于就是Rt △EFO 斜边EO 上的高，且高h =EF FO OE ⋅＝． ∴几何体ABCDEF 的体积E ACD F ACE F ABC V V V V ---=++三棱锥三棱锥三棱锥=111111221+221323232⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ =2．……………………………………………12分19．解：（Ⅰ）由图知：2=4+126πππω（），解得ω=2． 再由()sin(2)11212f ππϕ=⋅+=，得2(Z)62k k ππϕπ+=+∈，即2(Z)3k k πϕπ=+∈．由22ππϕ-<<，得3πϕ=．∴ ()sin(2)3f x x π=+．∴ ()sin[2()]sin(2)4436f x x x ππππ-=-+=-， 即函数y =g (x )的解析式为g (x )=sin(2)x π-．………………………………6分（Ⅱ）由已知化简得：sin sin sin A B A B +=．∵32sin sin sin sin 3a b c R A B C π====(R 为△ABC 的外接圆半径)， ∴2R =，∴ sin A =2a R ，sin B =2bR ．∴2222a b a b R R R R+=⋅，即 a b +=． ① 由余弦定理，c 2=a 2+b 2-2ab cos C ， 即 9=a 2+b 2-ab =(a +b )2-3ab ． ②联立①②可得：2(ab )2-3ab -9=0，解得：ab =3或ab =23-(舍去)，故△ABC 的面积S △ABC=1sin 2ab C =…………………………………12分20．解：（Ⅰ）由题可得：e=c a =∵ 以原点为圆心，椭圆C 的短半轴长为半径的圆与直线x +y +2=0相切，∴b ，解得b =1．再由 a =b +c ，可解得：a =2．∴ 椭圆的标准方程：2214x y +=．……………………………………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：A (-2，0)，B (2，0)，直线l 的方程为：x =2． 设G (x 0，y 0)(y 0≠0)，于是H (x 0，0)，Q (x 0，2y 0)，且有220014x y +=，即4y 02=4-x 02．设直线AQ 与直线BQ 的斜率分别为：k AQ ，k BQ ，∵220000220000224412244AQ BQ y y y x k k x x x x -⋅=⋅===-+---，即AQ ⊥BQ ， ∴ 点Q 在以AB 为直径的圆上．∵ 直线AQ 的方程为：002(2)2y y x x =++，由002(2)22y y x x x ⎧=+⎪+⎨⎪=⎩，， 解得：00282x y y x =⎧⎪⎨=⎪+⎩，，即008(2)2y M x +，，∴ 004(2)2yN x +，．∴ 直线QN 的斜率为：0000000220000422222442QN y y x x y x y x k x x y y -+---====--，∴ 0000212OQ QN y x k k x y -⋅=⋅=-，于是直线OQ 与直线QN 垂直， ∴ 直线QN 与以AB 为直径的圆O 相切． …………………………………13分 21．解：（Ⅰ）∵a e x f x -=')(，当a ≤0时0)(>'x f ，得函数f (x )在(-∞，+∞)上是增函数． 当a >0时，若x ∈(ln a ，+∞)，0)(>'x f ，得函数()f x 在(ln a ，+∞)上是增函数； 若x ∈(-∞，ln a )，0)(<'x f ，得函数()f x 在(-∞，ln a )上是减函数．综上所述，当a ≤0时，函数f (x )的单调递增区间是(-∞，+∞)；当a >0时，函数f (x ) 的单调递增区间是(ln a ，+∞)，单调递减区间是(-∞，ln a )．…5分 （Ⅱ）由题知：不等式e x -ax >x +x 2对任意[2)x ∈+∞，成立，即不等式2x e x x a x--<对任意[2)x ∈+∞，成立．设2()x e x x g x x --=(x ≥2)，于是22(1)()x x e x g x x --'=．再设2()(1)x h x x e x =--，得()(2)x h x x e '=-．由x ≥2，得()0h x '>，即()h x 在[2)+∞，上单调递增， ∴ h (x )≥h (2)=e 2-4>0，进而2()()0h x g x x'=>， ∴ g (x )在[2)+∞，上单调递增， ∴ 2min[()](2)32e g x g ==-，∴ 232e a <-，即实数a 的取值范围是2(3)2e -∞-，．………………………10分（Ⅲ）由（Ⅰ）知，当a =1时，函数f (x )在(-∞，0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递增． ∴ f (x )≥f (0)=1，即e x -x ≥1，整理得1+x ≤e x ．令i x n =-(n ∈N*，i =1，2，…，n -1)，则01i n<-≤i ne -，即(1)n i n -≤i e -，∴1()n n n -≤1e -，2()n n n -≤2e -，3()n n n -≤3e -，…，1()n n ≤(1)n e --，显然()n nn ≤0e ，∴ 1231()()()()()n n n n n n n n n n n n n n ---++++⋅⋅⋅+≤0123(1)n e e e e e -----++++⋅⋅⋅+ 11(1)111n n e e e ee e e -----==<---， 故不等式123()()()+1n n n n n en n n n e +++<-…（）（n ∈N *）成立．……………4分。
2020年四川省绵阳市高考数学三诊试卷(文科)(有答案解析)
2020年四川省绵阳市高考数学三诊试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.复数A. B. C. i D.2.设集合，，则中元素的个数是A. 0B. 1C. 2D. 33.已知单位向量，满足，则A. 0B.C. 1D. 24.有报道称，据南方科技大学、上海交大等8家单位的最新研究显示：A、B、O、AB血型与易感性存在关联，具体调查数据统计如图：根据以上调查数据，则下列说法错误的是A. 与非O型血相比，O型血人群对相对不易感，风险较低B. 与非A型血相比，A型血人群对相对易感，风险较高C. 与O型血相比，B型、AB型血人群对的易感性要高D. 与A型血相比，非A型血人群对都不易感，没有风险5.已知，则A. 4B. 6C.D. 96.在中，若，那么一定是A. 等腰直角三角形B. 等腰三角形C. 直角三角形D. 等边三角形7.数学与建筑的结合造就建筑艺术品，2018年南非双曲线大教堂面世便惊艳世界，如图．若将此大教堂外形弧线的一段近似看成焦点在y轴上的双曲线上支的一部分，且上焦点到上顶点的距离为2，到渐近线距离为，则此双曲线的离心率为A. 2B. 3C.D.8.已知定义在R上的奇函数满足，若，，则实数a的取值范围为A. B. C. D.9.某社区有3个防疫志愿者服务队，每位社区居民参加每个服务队的可能性相同，该社区的甲、乙两位居民均参加其中一个服务队，则这两位居民参加不同服务队的概率为A. B. C. D.10.已知函数的最小正周期为，且关于中心对称，则下列结论正确的是A. B.C. D.11.如图，教室里悬挂着日光灯管AB，，灯线，将灯管AB绕着过AB中点O的铅垂线顺时针旋转至，且始终保持灯线绷紧，若旋转后该灯管升高了15cm，则AC的长为A. 30cmB. 40cmC. 60cmD.75cm12.已知x为实数，表示不超过x的最大整数，若函数，则函数的零点个数为A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知，则______．14.曲线在的处的切线方程为______．15.已知，是椭圆C：的两个焦点，P是椭圆上的一点，，且的面积为，则______．16.在一个半径为2的钢球内放置一个用来盛特殊液体的正四棱柱容器，要使该容器所盛液体尽可能多，则该容器的高应为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.质量是企业的生命线，某企业在一个批次产品中随机抽检n件，并按质量指标值进行统计分析，得到表格如表：质量指标值等级频数频率三等品10二等品30b一等品a特等品20合计n1求a，b，n；从质量指标值在的产品中，按照等级分层抽样抽取6件，再从这6件中随机抽取2件，求至少有1件特等品被抽到的概率．18.若数列的前n项和为，已知，求；设，求使得成立的最小自然数n．19.如图，四边形ABCD是正方形，平面ABCD，点E、点F分别是线段AD、PB的中点，．证明：平面PCD；求三棱锥的体积．20.已知动直线l过抛物线C：的焦点F，且与抛物线C交于M，N两点，且点M在x轴上方，O为坐标原点，线段MN的中点为G．若直线OG的斜率为，求直线l的方程；设点，若恒为锐角，求的取值范围．21.已知函数，其中．当时，求函数的极值；试讨论函数在上的零点个数．22.如图，在极坐标系中，曲线是以为圆心的半圆，曲线是以为圆心的圆，曲线、都过极点O．分别写出半圆，的极坐标方程；直线l：与曲线，分别交于M、N两点异于极点，P为上的动点，求面积的最大值．23.已知函数．解关于x的不等式；若函数的最小值记为m，设a，b，c均为正实数，且，求的最小值．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：．故选：A．直接利用复数代数形式的乘除运算化简求值．本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．2.答案：C解析：解：画出和的图象如下：可看出圆和直线有两个交点，的元素个数为2．故选：C．可画出圆和直线的图象，从而可看出它们交点的个数，从而得出中的元素个数．考查了描述法的定义，交集的定义及运算，数形结合解题的方法，考查了计算能力，属于基础题．3.答案：C解析：解：因为单位向量，满足，则．故选：C．直接把已知代入数量积求解即可．本题考查向量的数量积的应用，考查向量的表示以及计算，考查计算能力．4.答案：D解析：解：根据A、B、O、AB血型与易感性存在关联，患者占有比例可知：A型最高，所以风险最大值，比其它血型相对易感；故而D选项明显不对．故选：D．根据频率分布直方图，利用频率、频数与样本容量的关系，患者占有比例即可解答．本题考查由频数直方图，看频数、频率，判断问题的关联性，属于基础题5.答案：D解析：解：，，，故选：D．利用对数的性质和运算法则及换底公式求解．本题考查对数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数的性质、运算法则及换底公式的合理运用．解析：解：，，即，，为等腰三角形．故选B．由三角形的内角和定理得到，代入已知等式左侧，利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，利用特殊角的三角函数值得到，由此可得到三角形为等腰三角形．此题考查了两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键．7.答案：B解析：解：双曲线的上焦点到上顶点的距离为2，到渐近线距离为，可得：，解得，，，所以双曲线的离心率为：．故选：B．利用已知条件求出方程组，得到a，c，即可求解双曲线的离心率．本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线的离心率的求法，是基本知识的考查，基础题．8.答案：D解析：解：根据题意，函数满足，则有，函数是周期为4的周期函数，则，又由且，则有，变形可得，解可得：；故a的取值范围为；故选：D．根据题意，分析可得，即函数是周期为4的周期函数，据此可得，进而可得，变形可得，解可得a的取值范围，即可得答案．本题考查函数的奇偶性与周期性的综合应用，注意分析函数的周期，属于基础题．9.答案：A解析：解：某社区有3个防疫志愿者服务队，每位社区居民参加每个服务队的可能性相同，该社区的甲、乙两位居民均参加其中一个服务队，基本事件总数，这两位居民参加不同服务队包含的基本事件总数，则这两位居民参加不同服务队的概率．基本事件总数，这两位居民参加不同服务队包含的基本事件总数，由此能求出这两位居民参加不同服务队的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10.答案：D解析：解：函数的最小周期是，，得，则，关于中心对称，，，即，，，当时，，即，则函数在上递增，在上递减，，，，即，故选：D．根据条件求出函数的解析式，结合函数的单调性的性质进行转化判断即可．本题主要考查三角函数值的大小比较，根据条件求出函数的解析式，利用三角函数的单调性进行判断是解决本题的关键．难度中等．11.答案：D解析：解：设与交于点N，过点作于M，连接MN，如图所示；则，中，，，，所以；在中，由勾股定理得，，解得．故选：D．设与交于点N，过点作于M，连接MN，由等边三角形求出，由勾股定理求得AC的值．本题考查了解三角形的应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．12.答案：B解析：解：函数的零点个数，即方程的零点个数，也就是两函数与的交点个数．由，得．可知当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增．作出两函数与的图象如图：由图可知，函数的零点个数为2个．故选：B．函数的零点个数，即方程的零点个数，也就是两函数与的图象的交点个数，画出图象，数形结合得答案．本题考查函数的零点与方程根的关系，考查数形结合的解题思想方法，训练了利用导数研究函数的单调性，是中档题．13.答案：解析：解：，两边平方可得：，可得，．故答案为：．将已知等式两边平方，利用同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式即可求解．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．14.答案：解析：【分析】根据导数的几何意义求出函数在处的导数，从而得到切线的斜率，再利用点斜式方程写出切线方程即可．本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查运算求解能力，属于基础题．【解答】解：而切点的坐标为曲线在的处的切线方程为故答案为：15.答案：2解析：解：的面积，则，又根据余弦定理可得，即，所以，解得，故答案为：2．根据正余弦定理可得且，解出b即可．本题考查椭圆性质，考查正、余弦定理的应用，属于中档题．16.答案：解析：解：设正四棱柱的高为h，底面边长为a，如图所示；则，所以，所以正四棱柱容器的容积为，；求导数得，令，解得，所以时，，单调递增；时，，单调递减；所以时，V取得最大值．所以要使该容器所盛液体尽可能多，容器的高应为．故答案为：．设正四棱柱的高为h，底面边长为a，用h表示出a，写出正四棱柱容器的容积，利用导数求出V取最大值时对应的h值．本题考查了球内接正四棱柱的体积的最值问题，也考查了利用导数求函数的最值问题，是中档题．17.答案：解：由，即，，．设从“特等品”产品中抽取x件，从“一等品”产品中抽取y件，由分层抽样得：，解得，，在抽取的6件中，有特等品2件，记为，，有一等品4件，记为，，，，则所有的抽样情况有15种，分别为：，，，，，，，，，，，，，，，其中至少有1件特等品被抽到包含的基本事件有9种，分别为：，，，，，，，，，至少有1件特等品被抽到的概率为：．解析：由，得，由此能求出a，b．设从“特等品”产品中抽取x件，从“一等品”产品中抽取y件，由分层抽样得：，解得，，在抽取的6件中，有特等品2件，记为，，有一等品4件，记为，，，，由此利用列举法能求出至少有1件特等品被抽到的概率．本题考查概率的求法，考查分层抽样、古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18.答案：解：数列的前n项和为，已知，所以，所以是等比数列，首项为1，公比为3等比数列．．，，成立，即，解得，所以最小自然数n为100．解析：利用数列的递推关系式，推出数列是等比数列，然后求解即可．化简数列的通项公式，然后利用裂项消项法求解数列的和，结合不等式推出n的范围，然后求解即可．本题考查数列与不等式相结合，数列求和以及数列的递推关系式的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．19.答案：证明：取PC的中点G，连接DG，四边形ABCD为正方形，且，，且．，且．四边形DEFG为平行四边形，，平面PCD，平面PCD，平面PCD．解：平面PCD，到平面PCD的距离等于点E到平面PCD的距离，．平面ABCD，．．解析：取PC的中点G，连接DG，利用正方形的性质、三角形中位线定理可得：，且于是四边形DEFG为平行四边形，可得，即可证明平面PCD．根据平面PCD，可得F到平面PCD的距离等于点E到平面PCD的距离，可得由平面ABCD，可得，即可得出．本题考查了空间位置关系、三棱锥的体积、转化方法、平行四边形与正方形的性质、三角形中位线定理，考查了数形结合方法、推理能力与计算能力，属于中档题．20.答案：解：由题意得，设直线l的方程为：，设，，线段MN的中点，联立直线与抛物线的方程：，整理可得：，可得，，所以，，即，所以，由题意可得，解得或，所以直线l的方程为：，或；恒为锐角，等价于，设，，，，，则恒成立，令，则，原式等价于，对任意的恒成立，令，，解得，，解得：，又，故，综上所述：的取值范围．解析：由抛物线的方程可得焦点F的坐标，设直线l的方程与抛物线联立求出两根之和及两根之积，进而可得中点G的坐标，求出直线OG的斜率，再由题意可得直线中参数的值，进而求出直线方程；恒为锐角，等价于，设M的坐标，求出向量的代数式，使其大于0恒成立，令函数，分两种情况讨论函数大于0时的的范围．本题考查直线与抛物线的综合及角为锐角与数量积的关系，考查函数大于0恒成立的条件，属于中难题．21.答案：解：当时，，，，易得在，上单调递增，在上单调递减，故当时，函数取得极大值，当时，函数取得极小值，，当时，在上单调递减，，此时函数在上没有零点；当时，在上单调递增，，此时函数在上没有零点；当即时，在上单调递减，由题意可得，，解可得，，当即时，在上单调递减，在上单调递增，由于，，令，令，则，所以在上递减，，即，所以在上递增，，即，所以在上没有零点，综上，当时，在上有唯一零点，当或时，在上没有零点．解析：把代入后对函数求导，然后结合导数可求函数的单调性，进而可求极值；先对函数求导，然后结合导数与单调性关系对a进行分类讨论，确定导数符号，然后结合导数与函数的性质可求．本题综合考查了导数与函数性质的应用，体现了转化思想与分类讨论思想的应用．22.答案：解：曲线是以为圆心的半圆，所以半圆的极坐标方程为，曲线是以为圆心的圆，转换为极坐标方程为．由得：．显然当点P到直线MN的距离最大时，的面积最大．此时点P为过且与直线MN垂直的直线与的一个交点，设与直线MN垂直于点H，如图所示：在中，，所以点P到直线MN的最大距离，所以．解析：直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．利用三角函数关系式的变换和三角形的面积的公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变换，三角形的面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：解：．，或或，，不等式的解集为．的最小值为1，即，．，当且仅当时等号成立，最小值为3．解析：将写为分段函数的形式，然后根据，利用零点分段法解不等式即可；利用绝对值三角不等式求出的最小值m，然后由，根据，利用基本不等式求出的最小值．本题考查了绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式和利用基本不等式求最值，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题．。
四川省绵阳市2020届高三第三次诊断性测试数学(文)试题解析word版
2020年高考（文）数学三诊试卷一、选择题（共12小题）.1．复数＝（）A．1+i B．1﹣i C．i D．1﹣2i2．设集合A＝{（x，y）|x2+y2＝1}，B＝{（x，y）|x+y＝1}，则A∩B中元素的个数是（）A．0B．1C．2D．33．已知单位向量，满足⊥，则•（﹣）＝（）A．0B．C．1D．24．有报道称，据南方科技大学、上海交大等8家单位的最新研究显示：A、B、O、AB血型与COVID﹣19易感性存在关联，具体调查数据统计如图：根据以上调查数据，则下列说法错误的是（）A．与非O型血相比，O型血人群对COVID﹣19相对不易感，风险较低B．与非A型血相比，A型血人群对COVID﹣19相对易感，风险较高C．与O型血相比，B型、AB型血人群对COVID﹣19的易感性要高D．与A型血相比，非A型血人群对COVID﹣19都不易感，没有风险5．已知x•log32＝1，则4x＝（）A．4B．6C．4D．96．在△ABC中，若sin B＝2sin A cos C，那么△ABC一定是（）A．等腰直角三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等边三角形7．数学与建筑的结合造就建筑艺术品，2018年南非双曲线大教堂面世便惊艳世界，如图．若将此大教堂外形弧线的一段近似看成焦点在y轴上的双曲线＞0）上支的一部分，且上焦点到上顶点的距离为2，到渐近线距离为，则此双曲线的离心率为（）A．2B．3C．D．28．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2）＝﹣f（x），若f（﹣1）＜1，f（2019）＝ln（a﹣1），则实数a的取值范围为（）A．（1，2）B．（﹣∞，e+1）C．（e+1，+∞）D．（1，e+1）9．某社区有3个防疫志愿者服务队，每位社区居民参加每个服务队的可能性相同，该社区的甲、乙两位居民均参加其中一个服务队，则这两位居民参加不同服务队的概率为（）A．B．C．D．10．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，）的最小正周期为π，且关于中心对称，则下列结论正确的是（）A．f（1）＜f（0）＜f（2）B．f（0）＜f（2）＜f（1）C．f（2）＜f（0）＜f（1）D．f（2）＜f（1）＜f（0）11．如图，教室里悬挂着日光灯管AB，AB＝90cm，灯线AC＝BD，将灯管AB绕着过AB 中点O的铅垂线OO'顺时针旋转60°至A′B′，且始终保持灯线绷紧，若旋转后该灯管升高了15cm，则AC的长为（）A．30cm B．40cm C．60cm D．75cm12．已知x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，若函数f（x）＝x﹣[x]，则函数的零点个数为（）A．1B．2C．3D．4二、填空题13．已知，则sinα＝．14．曲线y＝2x﹣x3在x＝﹣1的处的切线方程为．15．已知F1，F2是椭圆C：的两个焦点，P是椭圆C．上的一点，∠F1PF2＝120°，且△F1PF2的面积为，则b＝．16．在一个半径为2的钢球内放置一个用来盛特殊液体的正四棱柱容器，要使该容器所盛液体尽可能多，则该容器的高应为．三、解答题17．质量是企业的生命线，某企业在一个批次产品中随机抽检n件，并按质量指标值进行统计分析，得到表格如表：质量指标值等级频数频率[60，75）三等品100.1[75，90）二等品30b[90，105）一等品a0.4[105，120）特等品200.2合计n1（1）求a，b，n；（2）从质量指标值在[90，120）的产品中，按照等级分层抽样抽取6件，再从这6件中随机抽取2件，求至少有1件特等品被抽到的概率．18．若数列{a n}的前n项和为S n，已知a1＝1，a n+1＝2S n（n∈N*）．（1）求S n；（2）设b n＝log3S n，求使得＞0.99成立的最小自然数n．19．如图，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，点E、点F分别是线段AD、PB的中点，PA＝AB＝2．（1）证明：EF∥平面PCD；（2）求三棱锥F﹣PCD的体积．20．已知动直线l过抛物线C：y2＝4x的焦点F，且与抛物线C交于M，N两点，且点M 在x轴上方，O为坐标原点，线段MN的中点为G．（1）若直线OG的斜率为，求直线l的方程；（2）设点P（x0，0），若∠FMP恒为锐角，求x0的取值范围．21．已知函数f（x）＝ax﹣（a+2）lnx﹣+2，其中a∈R．（1）当a＝4时，求函数f（x）的极值；（2）试讨论函数f（x）在（1，e）上的零点个数．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．如图，在极坐标系中，曲线C1是以C1（4，0）为圆心的半圆，曲线C2是以为圆心的圆，曲线C1、C2都过极点O．（1）分别写出半圆C1，C2的极坐标方程；（2）直线l：与曲线C1，C2分别交于M、N两点（异于极点O），P 为C2上的动点，求△PMN面积的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣2|+|x+1|．（1）解关于x的不等式f（x）≤5；（2）若函数f（x）的最小值记为m，设a，b，c均为正实数，且a+4b+9c＝m，求的最小值．参考答案一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数＝（）A．1+i B．1﹣i C．i D．1﹣2i【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简求值．解：＝．故选：A．2．设集合A＝{（x，y）|x2+y2＝1}，B＝{（x，y）|x+y＝1}，则A∩B中元素的个数是（）A．0B．1C．2D．3【分析】可画出圆x2+y2＝1和直线x+y＝1的图象，从而可看出它们交点的个数，从而得出A∩B中的元素个数．解：画出x2+y2＝1和x+y＝1的图象如下：可看出圆x2+y2＝1和直线x+y＝1有两个交点，∴A∩B的元素个数为2．故选：C．3．已知单位向量，满足⊥，则•（﹣）＝（）A．0B．C．1D．2【分析】直接把已知代入数量积求解即可．解：因为单位向量，满足⊥，则•（﹣）＝﹣•＝12﹣0＝1．故选：C．4．有报道称，据南方科技大学、上海交大等8家单位的最新研究显示：A、B、O、AB血型与COVID﹣19易感性存在关联，具体调查数据统计如图：根据以上调查数据，则下列说法错误的是（）A．与非O型血相比，O型血人群对COVID﹣19相对不易感，风险较低B．与非A型血相比，A型血人群对COVID﹣19相对易感，风险较高C．与O型血相比，B型、AB型血人群对COVID﹣19的易感性要高D．与A型血相比，非A型血人群对COVID﹣19都不易感，没有风险【分析】根据频率分布直方图，利用频率、频数与样本容量的关系，患者占有比例即可解答．解：根据A、B、O、AB血型与COVID﹣19易感性存在关联，患者占有比例可知：A型37.75%最高，所以风险最大值，比其它血型相对易感；故而D选项明显不对．故选：D．5．已知x•log32＝1，则4x＝（）A．4B．6C．4D．9【分析】利用对数的性质和运算法则及换底公式求解．解：∵x•log32＝1，∴x＝log23，∴4x＝＝＝9，故选：D．6．在△ABC中，若sin B＝2sin A cos C，那么△ABC一定是（）A．等腰直角三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等边三角形【分析】由三角形的内角和定理得到B＝π﹣（A+C），代入已知等式左侧，利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，利用特殊角的三角函数值得到A＝C，利用等角对等边即可得到三角形为等腰三角形．解：∵sin B＝sin[π﹣（A+C）]＝sin（A+C）＝sin A cos C+cos A sin C＝2sin A cos C，∴cos A sin C﹣sin A cos C＝sin（C﹣A）＝0，即C﹣A＝0，C＝A，∴a＝c，即△ABC为等腰三角形．故选：B．7．数学与建筑的结合造就建筑艺术品，2018年南非双曲线大教堂面世便惊艳世界，如图．若将此大教堂外形弧线的一段近似看成焦点在y轴上的双曲线＞0）上支的一部分，且上焦点到上顶点的距离为2，到渐近线距离为，则此双曲线的离心率为（）A．2B．3C．D．2【分析】利用已知条件求出方程组，得到a，c，即可求解双曲线的离心率．解：双曲线＞0）的上焦点到上顶点的距离为2，到渐近线距离为，可得：，解得a＝1，c＝3，b＝2，所以双曲线的离心率为：e＝＝3．故选：B．8．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2）＝﹣f（x），若f（﹣1）＜1，f（2019）＝ln（a﹣1），则实数a的取值范围为（）A．（1，2）B．（﹣∞，e+1）C．（e+1，+∞）D．（1，e+1）【分析】根据题意，分析可得f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），即函数f（x）是周期为4的周期函数，据此可得f（2019）＝f（﹣1），进而可得ln（a﹣1）＜1，变形可得0＜a﹣1＜e，解可得a的取值范围，即可得答案．解：根据题意，函数f（x）满足f（x+2）＝﹣f（x），则有f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f （x），函数f（x）是周期为4的周期函数，则f（2019）＝f（﹣1+4×505）＝f（﹣1），又由f（2019）＝ln（a﹣1）且f（﹣1）＜1，则有ln（a﹣1）＜1，变形可得0＜a﹣1＜e，解可得：1＜a＜e+1；故a的取值范围为（1，e+1）；故选：D．9．某社区有3个防疫志愿者服务队，每位社区居民参加每个服务队的可能性相同，该社区的甲、乙两位居民均参加其中一个服务队，则这两位居民参加不同服务队的概率为（）A．B．C．D．【分析】基本事件总数n＝32＝9，这两位居民参加不同服务队包含的基本事件总数m＝＝6，由此能求出这两位居民参加不同服务队的概率．解：某社区有3个防疫志愿者服务队，每位社区居民参加每个服务队的可能性相同，该社区的甲、乙两位居民均参加其中一个服务队，基本事件总数n＝32＝9，这两位居民参加不同服务队包含的基本事件总数m＝＝6，则这两位居民参加不同服务队的概率p＝＝．故选：A．10．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，）的最小正周期为π，且关于中心对称，则下列结论正确的是（）A．f（1）＜f（0）＜f（2）B．f（0）＜f（2）＜f（1）C．f（2）＜f（0）＜f（1）D．f（2）＜f（1）＜f（0）【分析】根据条件求出函数的解析式，结合函数的单调性的性质进行转化判断即可．解：∵函数的最小周期是π，∴＝π，得ω＝2，则f（x）＝sin（2x+φ），∵f（x）关于中心对称，∴2×（﹣）+φ＝kπ，k∈Z，即φ＝kπ+，k∈Z，∵，∴当k＝0时，φ＝，即f（x）＝sin（2x+），则函数在[﹣，]上递增，在[，]上递减，f（0）＝f（），∵＜1＜2，∴f（）＞f（1）＞f（2），即f（2）＜f（1）＜f（0），故选：D．11．如图，教室里悬挂着日光灯管AB，AB＝90cm，灯线AC＝BD，将灯管AB绕着过AB 中点O的铅垂线OO'顺时针旋转60°至A′B′，且始终保持灯线绷紧，若旋转后该灯管升高了15cm，则AC的长为（）A．30cm B．40cm C．60cm D．75cm【分析】设A′B′与OO′交于点N，过点A′作A′M⊥AC于M，连接MN，由等边三角形求出A′M，由勾股定理求得AC的值．解：设A′B′与OO′交于点N，过点A′作A′M⊥AC于M，连接MN，如图所示；则CM＝AC﹣15，△A′MN中，A′N＝AB＝45，MN＝45，∠A′MN＝60°，所以A′M＝45；在Rt△A′MC中，由勾股定理得，（AC﹣15）2+452＝AC2，解得AC＝75（cm）．故选：D．12．已知x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，若函数f（x）＝x﹣[x]，则函数的零点个数为（）A．1B．2C．3D．4【分析】函数的零点个数，即方程的零点个数，也就是两函数y＝f（x）与y＝﹣的图象的交点个数，画出图象，数形结合得答案．解：函数的零点个数，即方程的零点个数，也就是两函数y＝f（x）与y＝﹣的交点个数．由y＝﹣，得y′＝．可知当x＜1时，y′＜0，函数单调递减，当x＞1时，y′＞0，函数单调递增．作出两函数y＝f（x）与y＝﹣的图象如图：由图可知，函数的零点个数为2个．故选：B．二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分.13．已知，则sinα＝．【分析】将已知等式两边平方，利用同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式即可求解．解：∵，∴两边平方可得：cos2+sin2﹣2cos sin＝，可得1﹣sinα＝，∴sinα＝．故答案为：．14．曲线y＝2x﹣x3在x＝﹣1的处的切线方程为x+y+2＝0．【分析】根据导数的几何意义求出函数在x＝﹣1处的导数，从而得到切线的斜率，再利用点斜式方程写出切线方程即可．解：y'＝2﹣3x2y'|x＝﹣1＝﹣1而切点的坐标为（﹣1，﹣1）∴曲线y＝2x﹣x3在x＝﹣1的处的切线方程为x+y+2＝0故答案为：x+y+2＝015．已知F1，F2是椭圆C：的两个焦点，P是椭圆C．上的一点，∠F1PF2＝120°，且△F1PF2的面积为，则b＝2．【分析】根据正余弦定理可得PF1•PF2＝16且4c2＝（2a）2﹣16，解出b即可．解：△F1PF2的面积＝PF1•PF2sin120°＝PF1•PF2＝4，则PF1•PF2＝16，又根据余弦定理可得cos120°＝，即4c2＝PF12+PF22+16＝（2a）2﹣32+16，所以4b2＝16，解得b＝2，故答案为：2．16．在一个半径为2的钢球内放置一个用来盛特殊液体的正四棱柱容器，要使该容器所盛液体尽可能多，则该容器的高应为．【分析】设正四棱柱的高为h，底面边长为a，用h表示出a，写出正四棱柱容器的容积，利用导数求出V取最大值时对应的h值．解：设正四棱柱的高为h，底面边长为a，如图所示；则h2+2a2＝（2×2）2，所以a2＝8﹣h2，所以正四棱柱容器的容积为V＝a2h＝（8﹣h2）h＝﹣h3+8h，h∈（0，4）；求导数得V′＝﹣h2+8，令V′＝0，解得h＝，所以h∈（0，）时，V′＞0，V（h）单调递增；h∈（，4）时，V′＜0，V（h）单调递减；所以h＝时，V取得最大值．所以要使该容器所盛液体尽可能多，容器的高应为．故答案为：．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．质量是企业的生命线，某企业在一个批次产品中随机抽检n件，并按质量指标值进行统计分析，得到表格如表：质量指标值等级频数频率[60，75）三等品100.1[75，90）二等品30b[90，105）一等品a0.4[105，120）特等品200.2合计n1（1）求a，b，n；（2）从质量指标值在[90，120）的产品中，按照等级分层抽样抽取6件，再从这6件中随机抽取2件，求至少有1件特等品被抽到的概率．【分析】（1）由10÷0.1＝100，得n＝100，由此能求出a，b．（2）设从“特等品”产品中抽取x件，从“一等品”产品中抽取y件，由分层抽样得：，解得x＝2，y＝4，在抽取的6件中，有特等品2件，记为A1，A2，有一等品4件，记为B1，B2，B3，B4，由此利用列举法能求出至少有1件特等品被抽到的概率．解：（1）由10÷0.1＝100，即n＝100，∴a＝100×0.4＝40，b＝30÷100＝0.3．（2）设从“特等品”产品中抽取x件，从“一等品”产品中抽取y件，由分层抽样得：，解得x＝2，y＝4，∴在抽取的6件中，有特等品2件，记为A1，A2，有一等品4件，记为B1，B2，B3，B4，则所有的抽样情况有15种，分别为：A1A2，A1B1，A1B2，A1B3，A1B4，A2B1，A2B2，A2B3，A2B4，B1B2，B1B3，B1B4，B2B3，B2B4，B3B4，其中至少有1件特等品被抽到包含的基本事件有9种，分别为：A1A2，A1B1，A1B2，A1B3，A1B4，A2B1，A2B2，A2B3，A2B4，∴至少有1件特等品被抽到的概率为：p＝．18．若数列{a n}的前n项和为S n，已知a1＝1，a n+1＝2S n（n∈N*）．（1）求S n；（2）设b n＝log3S n，求使得＞0.99成立的最小自然数n．【分析】（1）利用数列的递推关系式，推出数列{S n}是等比数列，然后求解即可．（2）化简数列的通项公式，然后利用裂项消项法求解数列的和，结合不等式推出n的范围，然后求解即可．解：（1）数列{a n}的前n项和为S n，已知a1＝1，a n+1＝2S n（n∈N*）．所以S n+1＝3S n，所以{S n}是等比数列，首项为1，公比为3等比数列．S n＝3n﹣1．（2）b n＝log3S n＝n﹣1，＝＝＝1，＞0.99成立，即1＞0.99，解得n＞99，所以最小自然数n为100．19．如图，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，点E、点F分别是线段AD、PB的中点，PA＝AB＝2．（1）证明：EF∥平面PCD；（2）求三棱锥F﹣PCD的体积．【分析】（1）取PC的中点G，连接DG，FG．利用正方形的性质、三角形中位线定理可得：DE∥BC，且DE＝BC．于是四边形DEFG为平行四边形，可得EF∥DG，即可证明EF∥平面PCD．（2）根据EF∥平面PCD，可得F到平面PCD的距离等于点E到平面PCD的距离，可得V F﹣PCD＝V E﹣PCD＝V A﹣PCD＝V P﹣ACD．由PA⊥平面ABCD，可得V P﹣ACD＝PA ×S△ACD，即可得出．【解答】（1）证明：取PC的中点G，连接DG，FG．∵四边形ABCD为正方形，且DE＝BC，FG∥BC，且FG＝BC．∴DE∥BC，且DE＝BC．∴四边形DEFG为平行四边形，∴EF∥DG，∵EF⊄平面PCD，DG⊂平面PCD，∴EF ∥平面PCD．（2）解：∵EF∥平面PCD，∴F到平面PCD的距离等于点E到平面PCD的距离，∴V F﹣PCD＝V E﹣PCD＝V A﹣PCD＝V P﹣ACD．∵PA⊥平面ABCD，∴V P﹣ACD＝PA×S△ACD＝××2＝．∴V F﹣PCD＝．20．已知动直线l过抛物线C：y2＝4x的焦点F，且与抛物线C交于M，N两点，且点M 在x轴上方，O为坐标原点，线段MN的中点为G．（1）若直线OG的斜率为，求直线l的方程；（2）设点P（x0，0），若∠FMP恒为锐角，求x0的取值范围．【分析】（1）由抛物线的方程可得焦点F的坐标，设直线l的方程与抛物线联立求出两根之和及两根之积，进而可得中点G的坐标，求出直线OG的斜率，再由题意可得直线中参数的值，进而求出直线方程；（2）∠FMP恒为锐角，等价于＞0，设M的坐标，求出向量的代数式，使其大于0恒成立，令函数h（t），分两种情况讨论函数大于0时的x0的范围．解：（1）由题意得F（1，0），设直线l的方程为：x＝ty+1，设M（x1，y1），N（x2，y2），线段MN的中点G（x0，y0），联立直线与抛物线的方程：，整理可得：y2﹣4ty﹣4＝0，可得y1+y2＝4t，y1y2＝﹣4，所以y0＝2t，x0＝ty0+1＝2t2+1，即G（2t2+1，2t），所以k OG＝，由题意可得＝，解得t＝或t＝1，所以直线l的方程为：x﹣y﹣1＝0，或2x﹣y﹣2＝0；（2）∠FMP恒为锐角，等价于＞0，设M（，y1），F（1，0），P（x0，0），＝（x0﹣，﹣y1），＝（1﹣，﹣y1），则＝（x0﹣）（1﹣）+y12＝+y12+（1﹣）x0＞0恒成立，令t＝，则t＞0，原式等价于t2+3t+（1﹣t）x0＞0，对任意的t＞0恒成立，令h（t）＝t2+（3﹣x0）t+x0，①△＝（3﹣x0）2﹣4x0＝x02﹣10x0+9＜0，解得1＜x0＜9，②，解得：0≤x0≤1，又x0≠1，故0≤x0＜1，综上所述：x0的取值范围[0，1）∪（1，9）．21．已知函数f（x）＝ax﹣（a+2）lnx﹣+2，其中a∈R．（1）当a＝4时，求函数f（x）的极值；（2）试讨论函数f（x）在（1，e）上的零点个数．【分析】（1）把a＝4代入后对函数求导，然后结合导数可求函数的单调性，进而可求极值；（2）先对函数求导，然后结合导数与单调性关系对a进行分类讨论，确定导数符号，然后结合导数与函数的性质可求．解：（1）当a＝4时，f（x）＝4x﹣6lnx﹣+2，＝，x＞0，易得f（x）在（0，），（1，+∞）上单调递增，在（）上单调递减，故当x＝时，函数取得极大值f（）＝6ln2，当x＝1时，函数取得极小值f（1）＝4，（2）＝，当a≤0时，f（x）在（1，e）上单调递减，f（x）＜f（1）＝a≤0，此时函数在（1，e）上没有零点；当a≥2时，f（x）在（1，e）上单调递增，f（x）＞f（1）＝a≥2，此时函数在（1，e）上没有零点；当0即时，f（x）在（1，e）上单调递减，由题意可得，，解可得，0，当即时，f（x）在（1，）上单调递减，在（）上单调递增，由于f（1）＝a＞0，f（e）＝a（e﹣1）﹣＝，令g（a）＝f（）＝2﹣（a+2）ln﹣a+2＝（a+2）lna﹣（1+ln2）a+4﹣2ln2，令h（a）＝，则＜0，所以h（a）在（）上递减，h（a）＞h（2）＝1＞0，即g′（a）＞0，所以g（a）在（）上递增，g（a）＞g（）＝2﹣，即f（）＞0，所以f（x）在（1，e）上没有零点，综上，当0＜a＜时，f（x）在（1，e）上有唯一零点，当a≤0或a时，f（x）在（1，e）上没有零点．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．如图，在极坐标系中，曲线C1是以C1（4，0）为圆心的半圆，曲线C2是以为圆心的圆，曲线C1、C2都过极点O．（1）分别写出半圆C1，C2的极坐标方程；（2）直线l：与曲线C1，C2分别交于M、N两点（异于极点O），P 为C2上的动点，求△PMN面积的最大值．【分析】（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用三角函数关系式的变换和三角形的面积的公式的应用求出结果．解：（1）曲线C1是以C1（4，0）为圆心的半圆，所以半圆的极坐标方程为，曲线C2是以为圆心的圆，转换为极坐标方程为．（2）由（1）得：|MN|＝|．显然当点P到直线MN的距离最大时，△PMN的面积最大．此时点P为过C2且与直线MN垂直的直线与C2的一个交点，设PC2与直线MN垂直于点H，如图所示：在Rt△OHC2中，|，所以点P到直线MN的最大距离d＝，所以．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣2|+|x+1|．（1）解关于x的不等式f（x）≤5；（2）若函数f（x）的最小值记为m，设a，b，c均为正实数，且a+4b+9c＝m，求的最小值．【分析】（1）将f（x）写为分段函数的形式，然后根据f（x）≤5，利用零点分段法解不等式即可；（2）利用绝对值三角不等式求出f（x）的最小值m，然后由a+4b+9c＝m，根据++＝++（a+4b+9c），利用基本不等式求出的最小值．解：（1）f（x）＝|x﹣2|+|x+1|＝．∵f（x）≤5，∴或﹣1≤x≤2或，∴﹣2≤x≤3，∴不等式的解集为{x|﹣2≤x≤3}．（2）∵f（x）＝|x﹣2|+|x+1|⩾|（x﹣2）﹣（x+1）|＝1∴f（x）的最小值为1，即m＝3，∴a+4b+9c＝3．＝＝3，当且仅当时等号成立，∴最小值为3．。
四川省绵阳南山中学2020届高三三诊模拟数学(文)试题(含答案)
(II)设直线 l 与 x 轴,y 轴分别交于 A,B 两点,点 P 是圆 C 上任一点,求△PAB 面积的最大值.
23.[选修 4-5:不等式选讲]设函数 f(x)=|x-1|，x∈R. (I)求不等式 f(x)≤3-f(x-1)的解集;
(II)已知关于 x 的不等式 f(x)≤f(x+1)-|x-a|的解集为 M,若 (1, 3) M , 求实数 a 的取值范围. 2
A. 3 5
B. 2 5
C. 4 5
D. 15 5
11.已知不等式 3x2 y2 0 所表示的平面区域内一点 P(x,y)到直线 y 3x 和直线 y 3x 的垂线段分
3
别为 PA,PB,若△PAB 的面积为
3 , 则点 P 轨迹的一个焦点坐标可以是()
16
A.(2,0)
B.(3,0)
C.(0,2)
Hale Waihona Puke 由 扫描全能王 扫描创建由 扫描全能王 扫描创建
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绵阳南山中学 2020 年绵阳三诊模拟考试 数学试题(文史类)
第 I 卷(选择题，共 60 分) 2020 年 4 月 14 日 15:00---17:00
一、单项选择题(本大题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分)
1.设集合 M {1, 0,1}, N {x | x 2 x}, 则 M∩N=().
果是()
A. P 4(1 1 1 1 1 )
357
17
B. P 4(1 1 1 1 1 ) 3 5 7 19
C. P 4(1 1 1 1 1 )
357
21
D. P 4(1 1 1 1 1 ) 3 5 7 21
2020年四川省绵阳市高考数学三诊试卷(含答案解析)
2020年四川省绵阳市高考数学三诊试卷一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.复数3+2ii=()A. −2+3iB. −2−3iC. 2+3iD. 2−3i2.已知集合A={x|x=3n+2,n∈N}，B={6,8，10，12，14}，则集合A∩B中元素的个数为()A. 5B. 4C. 3D. 23.已知单位向量a⃗，b⃗ 的夹角为π3，则a⃗⋅(a⃗+2b⃗ )=()A. 32B. 1+√32C. 2D. 1+√34.某企业3000名员工的工资情况统计如图所示，则下列说法错误的是()A. 有超过50%的员工能够领到1000元以上(含1000元)的工资B. 工资在2000～3999元的员工数占员工总数的39%C. 有150名员工能够领到5000元以上(含5000元)的工资D. 工资在3000元以上(含3000元)的员工不足700人5.已知a=log25，2b=3，则2a+b=()A. 15B. 6C. 10D. 56.在△ABC中，sinAsinC>cosAcosC，则△ABC一定是()A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不确定7.已知双曲线x24−y2b2=1(b>0)离心率是√52，那么b等于()A. 1B. 2C. √5D. 2√58.已知定义在R上的奇函数f(x)的图像关于直线x=1对称，且f(−1)=1，则f(1)+f(2)+⋯+f(2018)的值为()A. −1B. 0C. 1D. 29.某影院有三间放映厅，同时放映三部不同的电影，此时，甲、乙两位同学各自买票看其中的一场，若每位同学观看各部影片的可能性相同，则这两位同学观看同一部影片的概率为()A. 12B. 13C. 23D. 3410.若函数f(x)=√3sin(ωx−π3)(ω>0)的最小正周期为π2，则f(π3)=()A. 1B. 0C. √32D. √311.已知锐角△ABC的内角为A，B，C，点M为AB上的一点，cos∠ACM=2√77，AC=10，CM=2√7，则AB的取值范围为()A. (10,20√33)B. (4√3,10)C. (5√3,20√33)D. (5√3,+∞)12.若函数f(x)=xe x−a有两个零点，则实数a的取值范围为()A. −e<a<0B. −1e <a C. −1e<a<0 D. 0<a<e二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知α∈(π,3π2)，cosα=−45，则sinα2=______．14.曲线f(x)=sinx+x−1在x=0处的切线方程是________．15.已知F1，F2是椭圆x29+y27=1的两个焦点，A为椭圆上一点，且∠AF1F2=45°，则△AF1F2的面积为________．16.将一个半径为3和两个半径为1的球完全装入底面边长为6的正四棱柱容器中，则正四棱柱容器的高的最小值为______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.某公司需要对所生产的A，B，C三种产品进行检测，三种产品数量(单位：件)如表所示：产品A B C数量(件)18027090采用分层抽样的方法从上产品中共抽取6件．(Ⅰ)求分别抽取三种产品的件数；(Ⅱ)将抽取的6件产品按种类A，B，C编号，分别记为A i，B i，C i，i=1，2，3….现从这6件产品中随机抽取2件．(ⅰ)用所给编号列出所有可能的结果；(ⅰ)求这两件产品来自不同种类的概率．18.设数列{a n}的前n项和为S n，且满足S1=2，S n+1=3S n+2．(Ⅰ)求通项公式a n；(Ⅱ)设b n=a n，求证：b1+b2+⋯+b n<1．S n219.如图，在四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，CC1⊥底面ABCD，底面ABCD为菱形，点E，F分别是AB，B1C1的中点，且∠DAB=60°，AA1=AB=2．(I)求证：EF//平面AB1D1；(II)求三棱锥A−CB1D1的体积．20.已知抛物线C：y2=2px过点A(1,1)．(1)求抛物线C的方程；(2)过x轴上的点M(a,0)作一直线交抛物线于A、B两点，若∠AOB为锐角时，求a的取值范围．21.已知函数f(x)=xln x．(1)求f(x)的极小值；(2)讨论关于x的方程f(x)−m=0(m∈R)的解的个数．22.在极坐标系中，曲线C1：ρ=2sinθ，曲线C2：ρcosθ=3，点P(1,π)，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系．(1)求曲线C1和C2的直角坐标方程；(2)过点P的直线l交C1于点A，B，交C2于点Q，若|PA|+|PB|=λ|PQ|，求λ的最大值．23.已知函数f(x)=|2x+a|+|x+1|．(1)当a=1时，解关于x的不等式f(x)≥2；(2)当a=−1时，求f(x)的最小值．【答案与解析】1.答案：D解析：【试题解析】本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．直接由复数代数形式的乘除运算化简复数3+2ii，则答案可求．解：3+2ii =−i(3+2i)−i2=2−3i，故选D．2.答案：D解析：本题主要考查集合的交集运算和元素个数的求解．解：由已知得A={2,5，8，11，14，17，…}，又B={6,8，10，12，14}，所以A∩B={8,14}．故选D．3.答案：C解析：本题考查了向量的数量积公式，属于基础题．根据向量的数量积公式计算即可．解：单位向量a⃗,b⃗ 的夹角为，∴|a⃗|=|b⃗ |=1，a⃗⋅b⃗ =|a⃗|⋅|b⃗ |⋅cosπ3=12∴a⃗⋅(a⃗+2b⃗ )=a⃗2+2a⃗⋅b⃗ =1+2×12=2，故选：C解析：本题主要考查了频率分布图，属于基础题．根据题目给出的统计图，分析各选项即可得出答案．解：A：工资为1000元以下的占40%，有60%的员工能够领到1000元以上(含1000元)的工资，正确；B：工资在2000～2999元的员工数占员工总数的24%，工资在3000～3999元的员工数占员工总数的15%，工资在2000～3999元的员工数占员工总数的39%，正确；C：工资在5000～5999元的员工数占员工总数的5%，人数为5%×3000=150，正确；D：工资在3000～5999元的员工数占员工总数的25%，人数为25%×3000=750，故错误，故选D．5.答案：A解析：本题主要考查了对数的运算性质，是基础题．利用对数的运算性质即可求解．解：∵a=log25，b=log23，∴a+b=log215，∴2a+b=2log215=15，故选A．6.答案：D解析：解：∵sinAsinC>cosAcosC，∴cosAcosC−sinAsinC<0，即cos(A+C)<0，∴cosB>0，即B为锐角，但A、C不能判断．故选：D由两角差的余弦可判B为锐角，结合A，C可作出判断．本题考查三角形形状的判断，涉及两角差的余弦，属基础题．解析：本题主要考查双曲线的简单性质的应用，属于基础题．由双曲线x24−y2b2=1(b>0)离心率是√52，可得a=2，c=√5，即可求出b的值．解：∵双曲线双曲线x24−y2b2=1(b>0)离心率是√52，∴a=2，c=√5，∴b=√5−4=1，故选A．8.答案：A解析：本题考查函数的周期性与奇偶性的综合应用，注意分析函数的周期，属于中档题．根据题意，由函数的奇偶性以及对称性分析可得f(x+2)=−f(x)，进而可得f(x+4)=f(x)，即函数f(x)为周期为4的周期函数；据此分析可得f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0，据此可得f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(2018)=[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]×504+f(2017)+f(2018)=f(1)+f(2)，代入计算可得答案．解：根据题意，f(x)是定义域为R的奇函数，则f(−x)=−f(x)，①又由f(x)的图象关于直线x=1对称，则f(−x)=f(2+x)，②由①②可得：f(x+2)=−f(x)，变形可得：f(x+4)=f(x)，即函数f(x)为周期为4的周期函数；又由f(x)是定义域为R的奇函数，则f(0)=0，则f(1)=−f(−1)=−1，f(2)=−f(0)=0，f(3)=f(−1)=1，f(4)=f(0)=0，则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=(−1)+0+1+0=0，则有f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(2018)=[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]×504+f(2017)+f(2018)=f(1)+f(2)=−1；故选：A．解析：解：某影院有三间放映厅，同时放映三部不同的电影，此时，甲、乙两位同学各自买票看其中的一场，若每位同学观看各部影片的可能性相同，则基本事件总数为n=32=9，这两位同学观看同一部影片，包含的基本事件个数为m=C31=3，∴这两位同学观看同一部影片的概率p=mn =39=13．故选：B．由已知条件先求出基本事件总数为n=32，再求出这两位同学观看同一部影片，包含的基本事件个数为m=C31=3，由此能求出这两位同学观看同一部影片的概率．本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．10.答案：B解析：本题主要考查了函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质的应用，属于基础题.根据周期公式求解ω的值，进而得到f(π3)的值即可．解：由题意可得2πω=π2，所以ω=4,f(x)=√3sin(4x−π3)，所以f(π3)=√3sinπ=0，故选B．11.答案：C解析：本题考查三角形的余弦定理的运用，考查化简整理的运算能力和判断能力，属于中档题．在△AMC中运用余弦定理可得AM，进而得到cos A，过C作CD⊥AB于D，过C作CE⊥AC交AB于E，结合锐角三角形ABC，即可得到AB的范围．解：在△AMC中，可得AM2=AC2+MC2−2AC⋅CM⋅cos∠ACM=100+28−2×10×2√7×2√77=48，即AM=4√3，由cosA=AM2+AC2−CM22AM⋅AC =√32，过C作CD⊥AB于D，可得AD=ACcosA=5√3；可得AB>AD=5√3；过C作CE⊥AC交AB于E，可得AC=AEcosA=10，解得AE=20√33，即有AB<AE=20√33，故5√3<AB<20√33故选：C．12.答案：C解析：本题考查了利用方程的根，函数的交点，求解函数的零点问题，利用导数求解问题，属于中档题．解析：解：函数f(x)=xe x −a有2个不同的零点．∴由函数f(x)=xe x−a=0，求得a=xe x，令g(x)=xe x，则g′(x)=(1+x)e x，令g′(x)=0，求得x=−1，在(−∞,−1)上，g′(x)<0，g(x)为减函数；在(−1,+∞)上g′(x)>0，g(x)为增函数，故g(−1)=−1e为g(x)的最小值．当x→−∞时,g(x)→0，当x→+∞时,g(x)→+∞再根据f(x)有2个不同的零点，可得−1e<a<0，故选C.13.答案：3√1010解析：解：∵α∈(π,3π2)，∴α2∈(π2,3π4)，sinα2>0，∵cosα=1−2sin2α2=−45，即sin2α2=910，∴sinα2=3√1010．故答案为：3√1010由α的范围求出α2的范围，确定出sinα2大于0，利用二倍角的余弦函数公式化简已知的等式，整理后开方即可求出sinα2的值．此题考查了二倍角的余弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键．14.答案：2x−y−1=0解析：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程有关知识.根据导数的几何意义求出函数在x=0处的导数，从而得到切线的斜率，再利用点斜式方程写出切线方程即可．解：x=0时，f(0)=−1，f′(x)=cos x+1，所以f′(0)=2，所以所求切线方程为y+1=2x，即2x−y−1=0．故答案为2x−y−1=0．15.答案：72解析：本题给出椭圆的焦点三角形满足的条件，求三角形的面积．着重考查了椭圆的定义与标准方程、余弦定理和三角形的面积公式等知识，属于中档题．根据椭圆的方程算出a=3、b=√7，可得焦距|F1F2|=2√2，由椭圆的定义得|AF2|=6−|AF1|.由此在△AF1F2中利用余弦定理解出|AF1|长，根据正弦定理的面积公式即可算出△AF1F2的面积．解：由题意，可得∵椭圆的方程为x29+y27=1，∴a=3，b=√7，可得c=√a2−b2=√2，故焦距|F1F2|=2√2，∵根据椭圆的定义，得|AF1|+|AF2|=2a=6，∴△AF1F2中，利用余弦定理得|AF1|2+|F1F2|2−2|AF1|⋅|F1F2|cos45°=|AF2|2， 所以|AF2|2=|AF1|2−4|AF1|+8，即(6−|AF1|)2=|AF1|2−4|AF1|+8，解之得|AF1|=72，故△AF1F2的面积为S=12|AF1|⋅|F1F2|sin45°=12×72×2√2×√22=72．16.答案：4+2√2解析：解：作出正四棱柱的对角面如图，∵底面边长为6，∴BC=6√2，球O的半径为3，球O1的半径为1，则OA=12BC−O1N=3√2−√2=2√2，在Rt△OAO1中，OO1=4，∴O1A=√42−(2√2)2=2√2，∴正四棱柱容器的高的最小值为4+2√2．故答案为：4+2√2．由题意画出图形，然后通过求解直角三角形得答案．本题考查球的体积和表面积，考查空间想象能力和思维能力，是中档题．17.答案：(本小题满分13分)解：(I)设C产品抽取了x件，则A产品抽取了2x件，B产品抽取了3x件，…(2分)则有：x+2x+3x=6，解得x=1.…(4分)所以A、B、C三种产品分别抽取了2件、3件、1件．…(5分)(II)(i)设A产品编号为A1，A2；B产品编号为B1，B2，B3，C产品编号为C1，…(6分)则从这6件产品中随机抽取2件的所有结果是：{A1,A2}，{A1,B1}，{A1,B2}，{A1,B3}，{A1,C1}，{A2,B1}，{A2,B2}，{A2,B3}，{A2,C1}，{B1,B2}，{B1,B3}，{B1,C1}，{B2,B3}，{B2,C1}，{B3,C1}，共15个．…(10分)．(ii)根据题意，这些基本事件的出现是等可能的；其中这两件产品来自不同种类的有：{A1,B1}，{A1,B2}，{A1,B3}，{A1,C1}，{A2,B1}，{A2,B2}，{A2,B3}，{A2,C1}，{B1,C1}，{B2,C1}，{B3,C1}，共11个…(12分).…(13分)因此这两件产品来自不同种类的概率为p=1115解析：(I)设C产品抽取了x件，则A产品抽取了2x件，B产品抽取了3x件，则x+2x+3x=6，由此能求出A、B、C三种产品分别抽取的件数．(II)(i)设A产品编号为A1，A2；B产品编号为B1，B2，B3，C产品编号为C1，从这6件产品中随机抽取2件，利用列举法能求出所有可能的结果．(ii)利用列举法求出这两件产品来自不同种类的个数，由此能求出这两件产品来自不同种类的概率．本题考查分层抽样的应用，考查概率的求法，考查分层抽样、列举法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．18.答案：(Ⅰ)解：∵S n+1=3S n+2，∴S n+1+1=3(S n+1)．又∵S1+1=3，∴{S n+1}是首项为3，公比为3的等比数列，∴S n=3n−1,n∈N∗．n=1时，a1=S1=2，n>1时，a n=S n−S n−1=(3n−1)−(3n−1−1)=3n−1(3−1)=2×3n−1．故a n=2×3n−1,n∈N∗．(Ⅱ)证明：∵b n=2×3n−1(3n−1)2<2×3n−1(3n−1−1)(3n−1)=13n−1−1−13n−1,(n>1)∴b1+b2+⋯+b n<12+(131−1−132−1)+(132−1−133−1)+⋯+(13n−1−1−13n−1)=12+12−13n−1<1．解析：(Ⅰ)利用S n+1=3S n+2，推出{S n+1}是首项为3，公比为3的等比数列，求出通项公式，然后求解a1，n>1时，利用a n=S n−S n−1，即可求通项公式a n；(Ⅱ)化简b n=a nS n2，通过裂项法求和，得到b1+b2+⋯+b n与1的大小即可．本题考查数列的求和，裂项法的应用，数列的递推关系式的应用，考查转化思想以及计算能力．19.答案：证明：(I)如图，连接A1C1交B1D1于O点，连接OF，OA．∵OF//̲12C1D1，AE//̲12C1D1，∴OF//̲AE．∴AOFE是平行四边形，∴EF//OA，而EF⊄平面AB1D1，OA⊂平面AB1D1；∴EF//平面AB1D1．(II)连接AC交BD于点M，连接D1M，B1M.则V A−B1D1M =V C−B1D1M，V A−CB1D1=V A−B1D1M+V C−B1D1M=2V A−B1D1M，∵四边形BACD是菱形，∴AC⊥BD．∵BB1⊥平面ABCD，∴平面BDD1B1⊥平面ABCD，∴AM⊥平面BDD1B1，∴V A−B1D1M =13AM⋅S BDD1B1=13×√3×12×2×2=2√33，∴V A−CB1D1=4√33．解析：(I)如图，连接A 1C 1交B 1D 1于O 点，连接OF ，OA.利用三角形的中位线定理、平行四边形的判定可得AOFE 是平行四边形，再利用线面平行的判定定理即可证明．(II)连接AC 交BD 于点M ，连接D 1M ，B 1M.可得V A−B 1D 1M =V C−B 1D 1M ，V A−CB 1D 1=V A−B 1D 1M +V C−B 1D 1M ，由于四边形BACD 是菱形，BB 1⊥平面ABCD ，可得平面BDD 1B 1⊥平面ABCD ，AM ⊥平面BDD 1B 1，即可得出V A−B 1D 1M =13AM ⋅S BDD 1B 1．本题考查了空间线面位置关系及其判定、三棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 20.答案：解：(1)抛物线C ：y 2=2px 过点A(1,1)，可得1=2p ，即p =12，则抛物线的方程为y 2=x ；(2)由题意可得直线的斜率不为0，设过M 的直线的方程为x =my +a ，代入抛物线方程可得y 2−my −a =0，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，可得y 1+y 2=m ，y 1y 2=−a ，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=(y 1y 2)2+y 1y 2 =a 2−a >0，解得a >1或a <0．解析：本题考查抛物线的方程和运用，注意联立直线方程和抛物线方程，运用韦达定理和向量的数量积的坐标表示，考查运算能力，属于中档题．(1)代入A 的坐标，解方程可得p ，进而得到抛物线方程；(2)由题意可得直线的斜率不为0，设过M 的直线的方程为x =my +a ，代入抛物线方程，运用韦达定理和两斜率数量积的坐标表示，解不等式即可得到所求范围．21.答案：解(1)f(x)的定义域为(0,+∞)，f′(x)=ln x +1，…(2分)令f′(x)=0，得x =1e ，当x ∈(0,+∞)时，f′(x)，f(x)的变化的情况如下：…(6分) 所以，f(x)在(0,+∞)上的极小值是f(1e )=−1e .…(7分)(2)当x ∈(0,1e )，f(x)单调递减且f(x)的取值范围是(−1e ,0)；当x ∈(1e ,+∞)时，f(x)单调递增且f(x)的取值范围是(−1e ,+∞).…(10分)令y =f(x)，y =m ，两函数图象交点的横坐标是f(x)−m =0的解，由(1)知当m <−1e 时，原方程无解；由f(x)的单调区间上函数值的范围知，当m =−1e 或m ≥0时，原方程有唯一解；当−1e <m <0时，原方程有两解．…(13分)解析：(1)求出函数的导数，通过导数为0，判断极值点，即可求f(x)的极小值；(2)利用(1)的结果，讨论函数的单调性，然后解答关于x 的方程f(x)−m =0 (m ∈R)的解的个数． 本题考查函数的导数的综合应用，函数的极值点以及函数的单调性，方程的根的个数的应用，考查计算能力．22.答案：解：(1)曲线C 1：ρ=2sinθ，所以：曲线C 1的直角坐标方程为：x 2+y 2−2y =0；曲线C 2：ρcosθ=3，所以：曲线C 2的直角坐标方程为：x =3．(2)P 的直角坐标为(−1,0)，设直线l 的倾斜角为α，(0<α<π2)，则直线l 的参数方程为：{x =−1+tcosαy =tsinα(t 为参数，0<α<π2) 代入C 1的直角坐标方程整理得，t 2−2(sinα+cosα)t +1=0，t 1+t 2=2(sinα+cosα)直线l 的参数方程与x =3联立解得，t 3=4cosα，由t 的几何意义可知，|PA|+|PB|=2(sinα+cosα)=λ|PQ|=4λcosα，整理得，4λ=2(sinα+cosα)cosα=sin2α+cos2α+1=√2sin(2α+π4)+1，由0<α<π2，π4<2α+π4<5π4，所以，当2α+π4=π2，即α=π8时，λ有最大值14(√2+1)．解析：(1)直接利用转换关系，把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化．(2)利用一元二次方程根与系数的关系，利用三角函数的变换求出结果．本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，一元二次方程根与系数的关系的应用，三角函数的关系式的恒等变换．23.答案：解：(1)a =1时，f(x)≥2，即|2x +1|+|x +1|≥2，故{x ≤−1−3x −2≥2或{−1<x ≤−12−x ≥2或{x >−123x +2≥2， 解得：x ≤−43或x ≥0，故不等式的解集是(−∞,−43]∪[0,+∞)；(2)a =−1时，f(x)={−3x,x <−12−x,−1≤x ≤123x,x >12，故f(x)min =f(12)=32．解析：本题考查了解绝对值不等式问题，考查函数最值以及分类讨论思想，是一道常规题．(1)代入a 的值，得到关于x 的不等式组，解出即可；(2)代入a的值，求出f(x)的分段函数的形式，求出函数的最小值即可．。