打开物质微观世界大门的金钥匙_薛定谔方程
比较出名的科学定论
比较出名的科学定论量子力学：揭示微观世界的奥秘量子力学是一门研究微观世界的科学学科，它以其独特的理论体系和精确的实验验证而闻名于世。
量子力学的诞生和发展揭示了微观粒子行为的本质，也为现代科技的发展提供了重要的理论基础。
在本文中，我将介绍几个以比较出名的科学定论，这些定论对现代物理学和科技的发展起到了重要的推动作用。
1. 薛定谔方程：描述量子体系的演化薛定谔方程是量子力学的核心方程之一，由奥地利物理学家埃尔温·薛定谔在1925年提出。
该方程描述了量子体系的演化规律，能够精确预测微观粒子的运动和特性。
薛定谔方程的提出彻底改变了人们对微观世界的认识，揭示了微观粒子不同于经典物理学预测的行为。
2. 测不准原理：限制了粒子的测量精度测不准原理是由德国物理学家维尔纳·海森堡在1927年提出的。
它指出，在量子力学中，存在着一种不确定性，即无法同时准确测量粒子的位置和动量，测量其中一个属性的精度越高，另一个属性的精度就越低。
这一定理的提出打破了经典物理学中对粒子状态的确定性认识，强调了观测者和被观测系统之间的相互关系。
3. 波粒二象性：物质和能量的双重性质波粒二象性是量子力学的核心概念之一，由法国物理学家路易斯·德布罗意在1924年提出。
根据波粒二象性，微观粒子既可以表现出粒子的特性，如位置的局域性和动量的离散性，又可以表现出波的特性，如干涉和衍射。
这一概念的引入极大地拓宽了人们对微观世界的认识，为量子力学的发展奠定了基础。
4. 量子纠缠：神秘的非局域性联系量子纠缠是量子力学中的一种特殊现象，它描述了两个或多个粒子之间存在着一种神秘的非局域性联系。
即使这些粒子之间的距离很远，它们的状态仍然是相互关联的。
量子纠缠的观念由奥地利物理学家埃尔温·薛定谔、阿尔伯特·爱因斯坦和鲍里斯·波登在1935年提出。
量子纠缠的发现引发了许多关于量子力学的哲学思考，也为量子通信和量子计算等领域的研究提供了重要的理论基础。
薛定谔方程一维谐振子代数方法
薛定谔方程一维谐振子代数方法嘿，咱今儿来聊聊薛定谔方程一维谐振子代数方法。
这玩意儿听起来是不是特高深莫测？就好像是隐藏在科学世界里的神秘宝藏，等着我们去挖掘呢！
想象一下，薛定谔方程就像是一把神奇的钥匙，能打开微观世界那扇神秘的大门。
而一维谐振子呢，就像是这个微观世界里的一个小精灵，蹦蹦跳跳的，充满了活力。
那代数方法呀，就是我们和这个小精灵沟通的特殊语言。
你说这代数方法咋就这么神奇呢？它能让我们把那些复杂得让人头疼的问题，变得清晰明了起来。
就好像是在一团乱麻中找到了线头，轻轻一拉，整个谜团就解开啦！
咱就说，要是没有这代数方法，我们得在那复杂的科学海洋里迷失多久呀！它就像是一盏明灯，照亮我们前行的道路。
你想想看，科学家们面对那些密密麻麻的公式和符号，是怎么一点一点钻研出这代数方法的呢？那得花费多少心血和精力呀！这可不是一般人能做到的。
其实啊，生活中不也有很多类似的情况吗？有时候我们遇到一些难题，感觉就像走进了一个迷宫，找不到出口。
但只要我们用心去寻找方法，就一定能找到出路。
就像解一道数学题，刚开始可能毫无头绪，但是当我们静下心来，运用各种方法去尝试，说不定就能突然灵光一闪，找到答案啦！
薛定谔方程一维谐振子代数方法，它不仅仅是科学的瑰宝，更是我们探索未知的有力武器。
它让我们看到了微观世界的奇妙，也让我们对这个世界有了更深刻的理解。
所以呀，可别小看了这代数方法哦！它说不定在未来还会给我们带来更多的惊喜和发现呢！咱可得好好研究研究它，说不定哪天我们也能成为科学领域的一颗闪亮之星呢！你说是不是呀？。
9-4薛定谔方程
隧道效应
贯穿势垒的概率定义为在 x a处透射波的强度与
入射波的强度之比：
T
3(a) 2
2a
e
2m(U0 E )
A2
贯穿概率与势垒的宽度与高度有关。
扫描隧道显微镜(STM)
原理： 利用电子的隧道效应。
金属样品外表面有一层 电子云，电子云的密度随着 与表面距离的增大呈指数形 式衰减，将原子线度的极细 的金属探针靠近样品，并在 它们之间加上微小的电压， 其间就存在隧道电流，隧道 电流对针尖与表面的距离及 其敏感，如果控制隧道电流 保持恒定，针尖的在垂直于 样品方向的变化，就反映出 样品表面情况。
z z 为 轴，角动量在 轴上的投影 Lz 只能取
Lz ml ml 0, 1, 2,..., l
ml 称为磁量子数。对于一定的角量子数l, ml 可以取 2(l 1) 个值。
B(z)
2 角动量的空间量子化 o 2
L 6
l2
三、电子的自旋
1925年，乌仑贝克 ( G.E.Uhlenbeck ) 和古兹密特(S.A.Goudsmit)提出电子自旋假说。把 电子绕自身轴线的转动称为自旋。
4 E1
n 1
0
a2
ax 0
a2
aEE1x0
四、一维势垒 隧道效应
一维方势垒如图
U
U
(x)
U0
0xa
0 x 0, x a
U0 E
粒子沿 x 方向运动,当
Ⅰ E U0
ⅡⅢ
粒子可以通过势垒。
oa x
当 E U0，实验证明粒子也能通过势垒,这只有 由量子力学的到解释。
设三个区域的波函数分别为 1, 2,3
麦克斯韦薛定谔方程
麦克斯韦薛定谔方程是量子力学中的基本方程之一，描述了量子力学中的波函数随时间和空间的演化。
这个方程的形式是一个偏微分方程，通常写作：iħ∂Ψ/∂t = HΨ
其中，Ψ是波函数，i是虚数单位，ħ是普朗克常数除以2π，t是时间，H是哈密顿算子。
这个方程可以用来描述量子力学中微观粒子的行为，包括波函数的叠加和分离、位置和动量的不确定性等现象。
通过求解麦克斯韦薛定谔方程，可以得到粒子在不同时间和空间的波函数，从而推断出粒子可能出现的位置和动量分布。
麦克斯韦薛定谔方程的提出对量子力学的发展产生了深远的影响，它揭示了微观世界中粒子行为的全新模式，也为理解原子、分子、凝聚态物质等多种微观系统的性质提供了重要的数学工具。
因此，麦克斯韦薛定谔方程被认为是量子力学中的基石之一，对于理解和解释微观世界中的现象具有重要意义。
量子力学基本假设解读
量子力学基本假设解读在探索微观世界的奇妙之旅中，量子力学无疑是我们手中的神奇钥匙。
然而，这把钥匙背后的基本假设却常常让人感到困惑。
让我们一同揭开它们神秘的面纱，尝试用通俗易懂的方式来解读量子力学的基本假设。
量子力学的第一个基本假设是“量子态的叠加原理”。
想象一下，一个粒子不再像我们日常生活中的小球那样，只能处于确定的位置或状态。
在量子世界里，它可以同时处于多种可能的状态，就好像是多个状态的叠加。
这就好比你在选择晚餐吃什么的时候，不是只能决定吃中餐或者西餐，而是可以同时处于想吃中餐和想吃西餐的叠加态！这种叠加不是简单的混合，而是一种独特的量子现象。
举个例子，电子的自旋可以向上或者向下。
但在未被测量时，它可能处于自旋向上和自旋向下的叠加态。
只有当我们进行测量时，它才会“随机”地展现出其中一种确定的状态。
为什么会这样呢？这是因为在微观世界，粒子的行为不再遵循我们熟悉的经典物理规律。
叠加原理让量子世界充满了不确定性和可能性。
第二个基本假设是“波函数的概率诠释”。
波函数是描述量子态的数学工具，但它并不是直接对应我们能直观感受到的物理量。
而是通过波函数的平方，给出了在某个位置或某个状态找到粒子的概率。
比如说，我们知道了一个电子的波函数，就能计算出在某个空间区域找到这个电子的概率。
这并不是说电子像云雾一样弥漫在空间中，而是表示在测量时它出现在某个位置的可能性大小。
这一假设让我们对微观粒子的位置和状态有了全新的理解。
不再是确定性的“在这儿”或者“在那儿”，而是一种概率性的分布。
第三个基本假设是“测量导致波函数坍缩”。
这是一个非常神奇且令人费解的概念。
当我们对处于叠加态的量子系统进行测量时，系统会瞬间从叠加态坍缩到一个确定的状态。
还是以电子的自旋为例，在测量之前，它处于自旋向上和自旋向下的叠加态。
一旦测量，它就会立即确定为向上或者向下。
这种坍缩是瞬间发生的，而且结果具有随机性。
这就好像是量子世界在跟我们玩一个神秘的游戏，只有在测量的那一刻，它才会揭示出一个确定的答案。
量子力学的核心——薛定谔方程
量子力学的核心——薛定谔方程在日常生活中，利用牛顿定律我们就可以描述各种运动。
但是，当物理学家想要探索微观世界，比如电子围绕着原子核运动，他们发现事情变得异常诡异，而牛顿定律也不再适用。
要想要描述微观世界就必须运用量子力学，该理论在20世纪初发展起来。
而量子力学的核心方程就是薛定谔方程，它就好比是牛顿第二定律在经典力学中的位置。
也许你没见过薛定谔方程，但是你或许听过他那只举世闻名的猫，因为薛定谔猫同时处于死和活的叠加态。
不过今天的主要目的是要让你们理解薛定谔方程，因此我首先要从波和粒子开始说起。
薛定谔（1887 - 1961）。
【波与粒子】在经典力学中，我们利用位置和动量来描述一个物理系统的状态。
举个例子，在一个桌上有许多的台球，如果你知道每个球在某个时刻 t 的位置和动量（即质量乘以速度），那么你就知道该系统在t 的一切：球的位置，以及它们移动的方向和速度。
因此我们可以问，如果我们知道一个系统的初始条件，即该系统在时间t₀的状态，那么这个系统的动态如何演化？利用牛顿第二定律我们就可以回答这个问题。
在量子力学中，我们问同样的问题，但是答案更加的巧妙，因为位置和动量已不再是描述该系统的合适变量。
爱因斯坦提出的光电效应。
（© Hyperphysics）问题的关键在于，发生在微观尺度下事物的行为与桌球的行为不同。
举个例子，牛顿认为，光是由微粒构成的，但是，之后许多其它科学家的通过实验表明光的行为像波动。
但是，爱因斯坦在1905年发现，波动学说也并不是完全正确的。
为了解释所谓的光电效应，你需要把一束光想象成一束粒子流，爱因斯坦称之为光子。
光子的数量正比于光的强度，每个光子的能量 E 与它的频率 f 成正比：普朗克常数h = 6.626068×10⁻³⁴m²kg/s，这个非常小的数字是由普朗克在1900年对黑体辐射研究时提出来的。
现在我们面对的问题是有时光的行为像粒子，而有时它的性质像波。
量子力学中的薛定谔方程解析
量子力学中的薛定谔方程解析量子力学是研究微观世界中的粒子行为和现象的重要分支学科。
其中，薛定谔方程是量子力学的基石之一，描述了粒子的波函数演化规律。
本文将介绍薛定谔方程的基本原理和解析方法。
一、薛定谔方程的基本原理薛定谔方程是由奥地利物理学家埃尔温·薛定谔于1925年提出的，用于描述微观粒子的行为。
薛定谔方程的一般形式为：iħ∂Ψ/∂t = ĤΨ其中，ħ是普朗克常数的约化形式，Ψ是粒子的波函数，t是时间，Ĥ是哈密顿算符。
该方程是一个偏微分方程，描述了波函数随时间的变化。
二、薛定谔方程的解析方法在实际应用中，我们通常采用特定形式的波函数来解析求解薛定谔方程。
下面介绍几种常见的薛定谔方程解析方法。
1. 分离变量法分离变量法是一种常用的薛定谔方程解析方法。
它的基本思想是将多变量波函数分解为若干个单变量的乘积形式，然后将其代入薛定谔方程进行求解。
2. 平面波方法平面波方法是一种常见的简化模型，适用于特定情况下的薛定谔方程。
该方法假设波函数可以用平面波的线性叠加表示，然后通过代入薛定谔方程得到对应的能量本征值和本征函数。
3. 变分法变分法是薛定谔方程求解的一种非常灵活的方法。
该方法通过引入一组试探波函数，利用变分原理寻找使波函数能量达到最小值的解。
4. 系统对称性方法系统对称性方法适用于具有特殊对称性的系统。
通过利用系统的对称性，可以简化薛定谔方程的求解过程，并得到更加精确的解析解。
三、薛定谔方程的应用与发展薛定谔方程不仅在量子力学的基础研究中发挥着重要作用，也广泛应用于各个实际领域。
在原子物理学中，薛定谔方程用于描述电子在原子中的运动轨迹和能级结构，揭示了量子力学的基本规律，对原子光谱和分子结构的解释有重要贡献。
在固体物理学中，薛定谔方程应用于研究电子在晶体中的行为，解释了导电性等晶体性质，为材料科学和电子器件的发展提供理论基础。
在量子信息科学中，薛定谔方程被用于研究量子态的演化和测量，为量子计算和量子通信等领域的发展带来了新的可能性。
第一章薛定谔方程
第一章薛定谔方程薛定谔方程是量子力学中的基础方程之一，描述了微观粒子的运动状态和演化规律。
它的提出对于量子力学的发展产生了深远的影响，并深刻改变了人们对世界的认识。
本文将围绕着展开讨论，探究其背后所蕴含的深刻物理学原理。
首先，我们来回顾一下薛定谔方程的提出背景。
20世纪初，物理学家们在研究微观粒子的运动规律时，遇到了经典物理学无法解释的种种难题。
经典力学在描述微观粒子的行为时无法给出合理的解释，因此人们渐渐意识到需要一种全新的理论来描述这些微小世界中的规律。
正是在这样的背景下，薛定谔方程应运而生。
薛定谔方程的提出，标志着量子力学的诞生。
薛定谔方程不同于经典物理学中的牛顿力学方程，它描述的是微观粒子的波函数随时间的演化，而非粒子的轨迹和速度。
通过对波函数的求解，我们可以得到微观粒子在不同时刻的位置、动量以及其他物理量的概率分布。
这种概率性描述方式，颠覆了人们对于物质世界运动规律的传统认识，揭示了微观粒子背后隐藏的深奥规律。
薛定谔方程的提出，引发了人们对于量子力学本质的讨论。
在量子力学中，波函数的叠加原理和不确定性原理等概念颠覆了人们对于经典物理学中确定性原理的理解。
薛定谔方程的波函数解释了微观粒子的波粒二象性，即微粒既具有粒子的离散性，又具有波的波动性。
这种全新的物理学范式挑战了人们对世界的认知，促使人们重新审视自然界中的种种现象。
薛定谔方程在理论物理学中有着广泛的应用。
量子力学作为现代物理学的核心理论，已经在众多领域展现了其强大的解释和预测能力。
薛定谔方程在固体物理、量子化学、粒子物理等领域都有着重要的应用，为人们深入理解微观世界提供了有效的工具和方法。
薛定谔方程的解析、数值求解和近似方法已经成为当今物理学研究中不可或缺的一部分。
除了在理论物理学中的应用，薛定谔方程还对实验物理学的发展产生了深远的影响。
量子力学中的许多理论预言已经得到了实验证实，如双缝实验、量子隧穿现象等。
这些实验证实不仅证明了薛定谔方程的正确性，也进一步深化了人们对量子力学的理解。
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1. 1 薛定谔方程的表述形式 量子力学要解决的是微观粒子遵循什么运动
方程 ,并怎样由运动方程确定微观粒子运动状态 (即求得其波函数) 的问题. 答案就是薛定谔方程 , 由求薛定谔方程的解来确定波函数.
1) 非定态薛定谔方程
如果作用在微观粒子上的力场是随时间 t 变
化的 ,则此时的薛定谔方程为非定态薛定谔方程 ,
(Applied Physics and Electronics Department , Changsha University , Changsha Hunan 410003)
Abstract :The expression format of Schr dinger equation is described , the methods for establishing Schr dinger e2 quation of different systems are explained , and the approximative models and methods for solving Schr dinger equation are described too. Based on the Hartree - Fock SCF calculation model , in order to analyze the importance of Schr dinger equation in discovering the microworld of materials , the quantum chemistry abinito of moleculars H2O and C2H4 are carried out by using Gaussian98W , and it is helpful for understanding the importance of Schr dinger equa2
以及氢原子和类氢粒子的薛定谔方程才可以精确
求解 ,而对于多电子原子和分子等复杂的体系 ,由
于要考虑不同电子之间的相互作用 ,因而在势能函
数的电子排斥势能项中就出现了 rij ,使得变量无法 分离 ,因此其薛定谔方程是不能精确求解的 ,必须
要通过建立一些模型来近似地求解 ,常用的近似模
型有 :
1) 单电子零级近似 ———即完全忽略电子间的
近似相同时为止. 这样一个过程称为自洽场方法 , 最终得到的一组波函数称为自洽解 ,这个解较为准 确地描述了原子中单个电子 i 的运动状态 ,因此就 是原子轨道 ,而与之相对应的能量 Ei 就是轨道能. 后来 Fock 对 此 进 一 步 改 进 , 就 形 成 了 Hartree Fock 近似自洽场方法.
零级近似波函数 ,将其代入式 (7) ,然后通过求解单 电子方程组得到新的一组 Ψi (1) ,这是一级近似波 函数 ,显然这组 Ψi (1) 会比零级 Ψj (0) 近似程度好一 些 ;再将这组 Ψi (1) 代入式 (11) ,又可求得新的一组
Ψi (2) ,这是二级近似波函数. 如此重复下去 ,直到
所得到的一组新的波函数与前一组波函数相同或
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长 沙 大 学 学 报 2004 年 12 月
原子或分子中每个电子是独立的在原子核和其他
电子产生的一个平均力场中运动 ,所有其他 (n - 1)
个电子对第 i 个电子的排斥作用是从原子核所在
位置发出的 ,因此其他电子的力场也是一个中心力
场 ,第 i 个电子正是在这样一个中心力场中运动
的. 显然 ,这种近似模型比前者更加接近实际.
3) 自洽场模型近似 ———这是一种更好地考虑
2 不同体系的薛定谔方程的建立
如前所述 ,薛定谔方程是微观粒子运动所遵循
的运动方程 ,显然 , 原子核外电子的运动同样要遵
循薛定谔方程 ,这就为我们利用薛定谔方程研究物
质的微观性质奠定了基础.
2. 1 多电子原子的薛定谔方程
对于一个含有 n 个电子的原子体系 ,在建立其
薛定谔方程时 ,体系的势能函数除了原子核与不同
tion. Key words : Schr dinger equation ; Hartree - Fock ; SCF ; Quantum chemistry ; Abinito
由于在实践中只有少数几个特殊的粒子运动 体系的薛定谔方程可以精确求解 ,而对于复杂的多 电子原子和分子体系的薛定谔方程则无法精确求 解 ,即使是利用近似模型处理后 ,其求解过程仍然 非常复杂烦琐. 随着计算机技术的飞速发展 ,经过 适当的近似处理后 ,通过求解薛定谔方程来揭示物 质的微观性质和状态已经得到了非常成功的应用 , 尤其是在量子化学计算领域. 因此 ,薛定谔方程已 经成为了人们打开物质微观世界大门的“金钥匙”.
相互排斥作用 , 认为各电子在原子或分子中完全
“独立”地运动. 由于不再考虑电子间的排斥势能 ,
因此势能函数中也不再包含 rij , 从而可以分离变 量 ,求解薛定谔方程. 显然 ,这种近似处理与客观实
际相差较大 ,因此这种处理是比较粗糙的.
2) 中心力场模型近似 ———即考虑电子间的相
互排斥作用 ,但将这种相互作用作简化处理 ,认为
又称为薛定谔方程的第二式 ,即 :
-
η 5Ψ i 5t
=
[-
η2 2m
2 + Ep ( x , y , z , t) ]Ψ
(1)
2) 定态薛定谔方程
如果作用在微观粒子上的力场是不随时间 t
变化的 ,即力场以势能 EP ( x , y , z) 来表征 , 不含时 间 ,则此时的薛定谔方程为定态薛定谔方程 ,即 :
85
在实际问题中很大一部分都是讨论定态问题 , 因此薛定谔方程的第一式在研究物质的微观性质
时(比如量子化学计算) 占有很重要的地位. 只要 知道了粒子所处环境的势能 EP ( x , y , z) 的具体函 数形式 ,即可按式 (3) 写出其运动方程 - - 薛定谔 方程的第一式 ,通过求解该薛定谔方程即可求出波 函数 Ψ( x , y , z) 及在状态 Ψ( x , y , z) 时粒子所具 有的能量 E.
电子间的相互排斥作用的近似方法. 因为在求解薛
定谔方程时 ,最大的困难在于两电子 i 和 j 间的排
斥势能
e2 rij
与两个电子
i
和
j
的坐标都有关
,因而无
法分离变量. 因此 Hartree 提出如果将这种排斥作
用对两个电子中的一个 (如 j) 的所有可能位置进
行平均 , 其结果将只是另一个电子 i 的坐标的函
第 2
18 卷 004
第 4 期 年 12 月
J
长 OURNAL
沙 OF
大 学 学 报 CHAN GSHA UNIVERSITY
Vol. 18 No Dec. 2 0 0
.4 4
打开物质微观世界大门的金钥匙 —薛定谔方程Ξ
孙利平 刘晓芝
(长沙大学应用物理与电子技术系 ,湖南 长沙 410083)
电子之间的吸引势能外 ,还要考虑不同电子间的排
斥势能 ,因此其势能函数为 :
∑ ∑∑ Ep = -
n i =1
Ze2 ri
+
1 2
i
e2 j rij
则其薛定谔方程为 :
∑ ∑ ∑∑ [ -
∂2 n 2 m i =1
2 i
-
n i =1
Ze2 ri
+
1 2
i
j
e2 rij
]
Ψ
= EΨ
(5)
波函 数 Ψ = Ψ( x1 , y1 , z1 ; x2 , y2 , z2 ; . . . . . .
子核的吸引势能 、原子核间的排斥势能以及不同电
子间的排斥势能 ,尽管复杂但其薛定谔方程仍然不
难写出 ,下面以 H2 分子为例来建立一个分子的薛 定谔方程.
假设 H2 分子的坐标如图 1 所示 :
[-
∂2 2m
图 1 H2 分子的坐标
2 1
-
∂2 2m
2 2
-
e2 rα1
e2 rα2
-
e2 rb1
-
总体说来 ,一个分子体系的总能量 E 越低 ,则 该体系将越稳定. 但值得注意的是 ,只有在两个分 子的组成原子的种类和数量完全相同时 (如同分异
应用.
xn , yn , zn) ,它是 n 个电子坐标的函数.
在多电子原子的薛定谔方程中 ,由于在电子排
斥势能项中出现了 rij ,变量无法分离 ,因此该方程 目前无法精确求解 ,只能求近似解.
2. 2 分子的薛定谔方程
对于分子体系 ,由于一般具有多个电子和多个
原子核 ,因此其势能函数要考虑每个电子与不同原
关键词 :薛定谔方程 ; Hartree - Fock ;自洽场 ;量子化学 ;从头算 中图分类号 :O41 文献标标识码 :A 文章编号 :1008 - 4681 (2004) 04 - 0084 - 04
The Golden Key For Opening The Microworld of Materials ———Schr dinger Equation SUN Liping LIU Xiaozhi
在 Hartree - Fock 近似自洽场方法的基础上 , 人们开发出了相应的计算软件 ,从而使薛定谔在研 究原子和分子等物质的微观性质方面得到了实际
的信息. 在对 H20 和 C2H4 分子进行计算时 ,均采用 HF 计算方法 ,所采用的基组 (即 Hartree - Fock 自洽 场方法中的初始波函数) 为 6 - 31G( d) ,分子结构 可以通过查阅化学手册获得. 下面将对计算结果进 行分析. 4. 1 体系总能量