量子力学-第二章-定态薛定谔方程详解
第二章薛定谔方程
单值条件
有界条件
其中A、B、k 均为常数，A、B由边界条件确定。 边界条件： (0) A 0 (a ) B sin ka 0 连续条件
B 0 （若B=0，则势阱内无粒子）
sin ka 0
n ( x ) B sin x a
ka n
n 1,2,3, n 叫量子数
2 2 能量算符 (哈密顿算符) H U 2m
ˆ 本征方程 H n En n
当粒子处在 n 态时，则实验测量该粒子有确定的能量 En。 ˆ n 称为能量算符 H 的本征态，En 为与其对应的本征值。
叠加原理：薛定谔方程是线性微分方程，如果 1,2,3,…,n 是体系的可能状态 (解)，那其线性叠加态也是体系 的一个可能状态。
薛定谔方程
§2.2 无限深方势阱中的粒子 (Particle in infinite square-well otential)
一、无限深一维方势阱 粒子在力场中的势能函数为：
U
U
0 xa
x 0, x a
U 0 U
U 0
0
a
x
粒子处于束缚态：在阱内势能为零，粒子不受力的 作用；在边界处，势能突然增加到无限大，粒子受 到无限大的斥力。粒子被限制在 0< x < a 的范围内， 不可能到此范围外。
第二章 薛定谔方程（4学时）
(Schrö dinger Equation)
§2.1 薛定谔得出的波动方程 §2.2 无限深方势阱中的粒子
§2.3 势 垒 穿 透
§2.4 谐
量子力学体系
振
子
总 结
§2.1 薛定谔得出的波动方程
(Wave equation of Schrö dinger ) 一、波函数
量子力学第二章总结
第二章1.波函数/平面波：（1）频率和波长都不随时间变化的波叫平面波。
（2）如果，粒子受到随时间或位置变化的力场作用，他的动量和能量不再是常量，这时的粒子就不能用平面波来描写。
在一般情况下，我们用一个复函数表示描写粒子的波，并称这个函数为波函数2.自由粒子/粒子的状态：不被位势束缚的粒子叫做自由粒子.3.波函数的几率解释/波恩解释： （1）粒子衍射试验中，如果入射电子流的强度很大，则照片上很快就会出现衍射图样；如果入射电子流强度很小，电子一个一个的从晶体表面上反射，开始它们看起来是毫无规则的散布着，随时间变化在照片上同样出现了衍射图样。
由此可见，实验所显示的电子的波动性是许多电子在同一实验的统计结果，或者是一个电子在许多次相同试验中的统计结果。
（2）波恩提出了统计解释，即：波函数在空间中某一点的强度（振幅绝对值的平方）和该点找到粒子的概率成比例，按照这种解释，描写粒子的波乃是概率波。
4.几率密度: 在t 时刻r 点，单位体积内找到粒子的几率是： ω(r,t) ={dW(r,t)/d τ}= C|Ψ(r,t)|25.平方可积： 由于粒子在空间总要出现（不讨论粒子产生和湮灭情况）， 所以在全空间找到粒子的几率应为一，即： C ∫∞|Ψ(r,t)|2d τ= 1 而得常数C 之值为： C = 1/∫∞|Ψ(r,t)|2d τ 若 ∫∞|Ψ(r , t)|2d τ→∞,则 C → 0, 这是没有意义的。
故要求描写粒子量子状态的波函数Ψ必须是绝对值平方可积的函数。
7.归一化： C ∫∞|Φ(x,y,z,t)|2d τ= 1 （波函数乘以一个常数以后，并不改变空间各点找到粒子的概率，不改变波函数的状态） C = 1/∫∞|Φ(x,y,z,t)|2d τ 现把上式所确定的C 开平方后乘以Φ，并以Ψ表示所得函数： Ψ(x,y,z,t)=C ½Φ(x,y,z,t) 在t 时刻 在（x,y,z ）点附近单位体积内找到粒子的概率密度是： ω( x,y,z,t) = C|Φ(x,y,z,t)|2故把（1）式改写成 ∫∞|Ψ(r , t)|2d τ=1 把Φ换成Ψ的步骤称为归一化。
2 第二章 薛定谔方程
第二章薛定谔方程(4学时)§2.1 薛定谔得出的波动方程§2.2 无限深方势阱中的粒子§2.3 势垒穿透§2.4 谐振子§2.1 薛定谔得出的波动方程在§1.5中我们已说明,微观粒子的状态用波函数ψ描述,波动性和粒子性的关系为:波的强度正比于粒子到达的概率.具体来说,若ψ(r,t)为波函数,d V为空间r点附近的体积元,则t时刻在此体积元内发现粒子的概率正比于|ψ(r,t)|2d V.|ψ(r,t)|2叫做相对概率密度.波函数一般是空间坐标和时间的复函数由于波函数ψ的概率解释,ψ可以相差一个任意常数因子,即ψ和Aψ代表相同的状态.其中A为任意复常数.这是因为将ψ换为Aψ,空间各点的相对概率没有变化.这一点与经典力学有本质区别,在经典力学中,代表波动的函数如果增大A倍,表示振幅增大了A倍,它代表的是另一个振动状态.正因为波函数可以相差一个任意常数,使ψ满足以下归一化条件:1ψd2=⎰V例如,如果ϕ是一个未归一化的波函数,则可令ψ=Aϕ,由归一化条件12222=ϕ=ϕ=ψ⎰⎰⎰dV A dV A dV得到:⎰ϕ=dVA 21, ψ=ϕϕ⎰dV21这样得到的波函数ψ已经满足归一化条件,我们就说ψ已归一，并用它代替ϕ来描述状态.设ψ(r,t )是归一化波函数,则|ψ(r,t )|2d V 的物理意义为t 时刻在r 点附近d V 体积元内发现粒子的概率.|ψ(r,t )|2称为概率密度.由于概率必须单值,有界,连续,所以要求ψ单值,有界,连续.这称为波函数的标准条件,它在决定波函数时起着重要作用. 在经典力学中,粒子的运动满足牛顿定律,它给出了粒子的运动状态随时间的变化规律.上节我们已说明,微观粒子的运动状态用波函数描述.波函数ψ是时间和空间的函数:ψ=ψ(x,y,z,t ).所谓微观粒子的运动规律,也就是描述状态的波函数ψ随时间的变化规律,即ψ所满足的方程,它在量子力学中的地位就相当于经典力学中牛顿方程的地位.这样的方程肯定不能从经典物理学导出,因为经典物理学根本没有涉及微观粒子的波粒二象性.波函数满足的方程由薛定谔首先找到,它的一般形式是包含时间和空间变量的微分方程.叫做薛定谔方程,在一维情形下，其一般形式为：),()],(2[),(222t x t x U xm t x t i ψ+∂∂-=ψ∂∂ 式中U (x ,t )为粒子的势函数。
量子力学概论第2章 定态薛定谔方程
子的基态)，从而我们可以反复应用升阶算 符生成激发态,20 每升一步增加能量ћω ψn(x)=An(a+)nψ0(x)，和En=n+12ћω， (2.61)
例题2.4 求出谐振子的第一激发态。 解：利用式2.61
ψ1(x)=A1a+ψ0=A12ћmω-ћddx+mωxmωπћ1/4emω2ћx2=A1mωπћ1/42mωћxe-mω2ћx2.(2.62)
我们可以直接用“手算”对它进行归一化：
∫ψ12dx=A12mωπћ2mωћ∫+∞-∞x2e-mωћx2dx=A12, 恰好，A1=1。 我们不想用这种方法去计算ψ50(那需要应用升阶算符
(式２.５)称为定态(time-independent)薛定谔方程； 如果不指定V(x)我们将无法继续求它的解。
Ψ(x，t)=∑∞n=1cnψn(x)e-iEnt/ћ=∑∞n=1cnΨn(x， t).(2.17)
尽管分离解自身是定态解，
Ψn(x,t)=ψn(x)e-iEnt/ћ,(2.18)
即，概率和期望值都不依赖时间，但是需要强调的 是，一般解(式2.17)并不具备这个性质；因为不同 的定态具有不同的能量，在计算Ψ2的时候，含时指 数因子不能相互抵消
f(x)=∑∞n=1cnψn(x)=2a∑∞n=1cnsinnπax.(2.32)
例题2.2 在一维无限深方势阱中运动的粒子，其初始波函数 是Ψ(x,0)=Ax(a-x), (0≤x≤a),A是常数(如图2.3)。设在势阱外 Ψ=0。求Ψ(x,t)。
解：首先需要归一化波函数Ψ(x,0)求出A 1=∫a0Ψ(x,0)2dx=A2∫a0x2(a-x)2dx=A2a530， 所以A=30a5. 第n项的系数(式2.37)是 cn=2a∫a0sinnπax30a5x(a-x)dx
定态薛定谔方程与不含时薛定谔方程
一、概述薛定谔方程是量子力学的基本方程之一，描述了微观粒子的运动规律。
在量子力学中，薛定谔方程有两种常见形式，即定态薛定谔方程和不含时薛定谔方程。
本文将对这两种方程进行详细介绍和比较。
二、定态薛定谔方程1. 定态薛定谔方程的概念定态薛定谔方程是描述粒子在给定势场中的稳定状态下的运动规律的方程。
它是一个经典的波动方程，通过求解定态薛定谔方程，可以得到粒子在不同能级下的波函数和能量。
2. 定态薛定谔方程的数学形式定态薛定谔方程的数学形式为一维情况下的定态薛定谔方程为\[-\dfrac{ℏ^2}{2m} \dfrac{d^2ψ(x)}{dx^2} + V(x) ψ(x) = E ψ(x)\] 其中ℏ是普朗克常数，m 是粒子的质量，V(x) 是势能函数，E 是粒子的能量。
3. 定态薛定谔方程的物理意义定态薛定谔方程的解是波函数ψ(x)，它描述了粒子在给定势场中的稳定状态。
波函数的模长平方|ψ(x)|^2 表示了粒子出现在空间中不同位置的概率分布，能量 E 则是粒子的可能能级。
三、不含时薛定谔方程1. 不含时薛定谔方程的概念不含时薛定谔方程描述了粒子在外势场作用下的运动规律，它包含了时间变量 t。
通过求解不含时薛定谔方程，可以得到粒子在给定势场下的时间演化规律。
2. 不含时薛定谔方程的数学形式不含时薛定谔方程的一维形式为\[iℏ \dfrac{dψ(x,t)}{dt} = -\dfrac{ℏ^2}{2m}\dfrac{d^2ψ(x,t)}{dx^2} + V(x) ψ(x,t)\]其中 i 是虚数单位，ψ(x,t) 是描述粒子状态的波函数，V(x) 是势能函数。
3. 不含时薛定谔方程的物理意义不含时薛定谔方程的解是随时间演化的波函数ψ(x,t)，它描述了粒子在外势场中的运动规律。
通过求解不含时薛定谔方程，可以得到粒子在不同时间下的波函数演化，从而揭示了粒子在外势场中的时间行为。
四、定态薛定谔方程与不含时薛定谔方程的比较1. 数学形式定态薛定谔方程和不含时薛定谔方程在数学形式上有所不同。
量子物理第二章-薛定谔方程ppt课件.ppt
P2 Ψ 2
2 2Ψ
2m
x 2
i Ψ t
E
Ek
P2 2m
一维自由粒子的 含时薛定谔方程
2、一维势场 U (x,t) 中运动粒子薛定谔方程
E
Ek
U
(x,t)
P2 2m
U
(x,t)
Ψ t
i
EΨ
2Ψ x 2
P2 2
Ψ
Ψ t
i
[
P2 2m
U
(x,
t)]Ψ
2
2m
2Ψ x2
P2 Ψ 2m
2 2m
0
波函数本身无直观物理意义，只有模的平方反映粒子出 现的概率，在这一点上不同于机械波，电磁波!
2、玻恩（M..Born)的波函数统计解释:
概率密度： w Ψ (r,t) 2 ΨΨ*
单位体积内粒子出现的概率! 3、波函数满足的条件
1、单值： 在一个地方出现只有一种可能性； 2、连续：概率不会在某处发生突变； 3、有限 4、粒子在整个空间出现的总概率等于 1
(x) Asin(kx ) ( a x a)
（2）确定常数 A、
2
2
由波函数连续性， 边界条件 (-a/2) = 0 (a/2) = 0
Asin( ka 2 ) 0 ka 2 l1
Asin( ka 2 ) 0
2 (l1 l2) l
ka 2 l2 l
2
1）当 l 0 时 o Asin kx ——奇函数。 2）当 l 1 时 e Acos kx ——偶函数。
3. 薛定谔方程是对时间的一阶偏微分方程, 因此波动形式 解要求在方程中必须有虚数因子 i，波函数是复函数。
4. 只有动量确定的自由粒子才能用平面波的描写。
量子物理 第二章 薛定谔方程
v v Ψ ( r , t ) = ψ ( r ) f (t )
ih df 1 ⎡ h2 2 v ⎤ （1） ⇒ = − ⎢− ∇ + U ( r ) ⎥ψ = E f dt ψ ⎣ 2μ ⎦
（2）
⎡ h2 2 v ⎤ v v ∇ + U ( r ) ⎥ψ ( r ) = Eψ ( r ) ⎢− ⎣ 2μ ⎦
当
A≠0 B=0 nπ αn =
2a
，有
sin αa = 0
(6)
（n为偶数） ，有
当
A=0 B≠0
nπ αn = 2a
cos αa = 0
(7)
（n为奇数）
(6)和(7)两式统一写成
nπ αn = , 2a
n = 1,2,3, L
（8）
22
2.3 一维无限深势阱 The infinite potential well
（3）
10
2.2 定态薛定谔方程 Time independent Schrödinger equation
df ih = Ef (t ) dt
（4） （2） 令 则 （4）
i − Et h
⇒
f (t ) = Ce
（5）
i − Et h
v ⇒ Ψ ( r , t ) = ψ ( r )e
（6）
ω = E/ h E =hω
9
2.2 定态薛定谔方程 Time independent Schrödinger equation
1．定态，定态波函数 v ∂Ψ(r , t ) ⎡ h 2 2 v ⎤ v = ⎢− ∇ + U (r , t )⎥ Ψ(r , t ) ih ∂t ⎣ 2μ ⎦ 若
（1）
量子力学概论第2章 定态薛定谔方程
图2.3 例题2.2中的初始波函数
所有这些概率的之和一定为1， ∑∞n=1cn2=1.(2.38)
能量的期望值一定是 〈H〉=∑∞n=1cn2En.(2.39)
例题2.3 在例题2.2中的初始波函数(图2.3)与基态 ψ1(图2.2)很相似，这意味着 c12将是主要的，事实 上c12=815π32=0.998555….其余的系数之和为与1 的差额
2.3.1 代数法 2.3.2 解析法
2.3 谐振子
图2.4 对任意势能极小值点附近的抛物线形近似(虚线)
图2.5 谐振子的能态“梯子”
2.3.1 代数法
ψ0(x)=mωπћ1/4e-mω2ћx2。(2.59) 我们把它代入薛定谔方程以确定相应的能量
(以式2.57的形式)，ћω(a+a-+1/2)ψ0=E0ψ0， 利用a-ψ0=0，有：
解：第一问很简单： Ψ(x,t)=c1ψ1(x)e-iE1t/ћ+c2ψ2(x)e-iE2t/ћ， 这里的E1,E2是ψ1,ψ2相应的能量，由此 Ψ(x,t)2=(c1ψ1eiE1t/ћ+c2ψ2eiE2/ћ)(c1ψ1e-
iE1t/ћ+c2ψ2eiE2/ћ)=c21ψ21+c22ψ22+2c1c2ψ1ψ2cos［(E2E1)t/ћ］. (这里用了欧拉公式expiθ=cos θ+isin θ来化简。)很显 然，概率密度以正弦形式振动，角频率是(E2E1)t/ћ；这当然不是一个定态。但是注意它是(具有 不同能量的)定态的线性组合，并且这种组合会产生 运动
2.1 定态
1.它们是定态(stationary states)。 ２.它们是具有确定总能量的态。 3.一般解是分离变量解的线性组合。
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需要注意的是，尽管分离解自身是定态解，
n (x,t) n (x)eiEnt , 其几率和期望值都不依赖时间，但是一般解并不具备这个性质；
因为不同的定态具有不同的能量，在计算时含时指数因子不能相互抵消
2.2一维无限深势阱
0, V ( x)
| x | a | x | a
V(x)
I
II
III
l 求解 S — 方程 分四步： l （1）列出各势域的一维S—方程 l （2）解方程 l （3）使用波函数标准条件定解 l （4）定归一化系数
（三）求解定态问题的步骤
讨论定态问题就是要求出体系可能有的定态波函数 Ψ(r,t)和在这些态中的能量 E。其具体步骤如下：
（1）列出定态 Schrodinger方程
[
2
2
V ] (r )
E (r )
2
（2）根据波函数三个标准 本征值： 条件求解能量 E 的
E1, E2 , , En ,
本征值问题，得：
i
d dt
f (t) Ef (t)
[
2
2
V
]
(r )
E
(r )
2
f (t ) ~ eiEt /
于是：
(r ,
t
)
(r )e
i
Et
(r ,
t
)
(
r
)e
i
Et
此波函数与时间t的关系是正弦型的，其角频率ω=2πE/h。 由de Broglie关系可知： E 就是体系处于波函数Ψ(r,t)所描写 的状态时的能量。也就是说，此时体系能量有确定的值，所以这 种状态称为定态，波函数Ψ(r,t)称为定态波函数。
（3）写出定态波函数即得 到对应第 n 个本征值 En 的定态波函数
本征函数
1， 2 , , n ,
n
(r ,
t
)
n
(r )
exp[
iEnt
/
]
（4）通过归一化确定归一化系数 Cn
|
C
n
n
(
r
)
|2
d
1
（四）定态的性质
（1）粒子在空间几率密度分布与时间无关
n
(r ,
t
)
nn
[ n exp( iEnt / )][ n exp( iEnt / )]
-a 0 a
（1）列出各势域的 S — 方程
2
2
d2 dx 2
(
x)
V
(
x )
(
x)
E ( x)
d2 dx 2
( x)
2
2
[V
( x)
E ]
( x)
0
势V(x)分为三个区域，
用 I 、II 和 III
表示，其上的波函数分 别为ψI(x),ψII(x) 和 ψIII (x)。则方程为：
正交归一性
薛定鄂方程的通解可以用定态波函数的叠加表示为
(x,t)
cnn (x,t)
c eiEnt / n
n (x)
其中展开系数由初n始条件定
n
(x,0) cnn (x,0) cn n (x)
n
n
由定态波函数的正交归一性
cn *(x)(x,0)dx
我们来求处在 (x,t) 能量的期待值
（2）量子力学中：波函数要满足三个标准条件，对应数学物 理方法中的边界条件，称为波函数的自然边界条件。
因此，在量子力学中称与上类似的方程为束缚的本征值方程。 常量 E 称为算符 H 的本征值；Ψ称为算符 H 的本征函数。
（3）由上面讨论可知，当体系处于能量算符本征函数所描写 的状态（简称能量本征态）时，粒子能量有确定的数值，这个数 值就是与这个本征函数相应的能量算符的本征值。
n
n
exp(iEnt
(r ) n (r )
/
)
n
exp(iEnt
/
)
（2）几率流密度与时间无关
Jn(r , t)
i
2
[nn
nn ]
i
2
[ n
e xp( iEn t
/
)
n
e xp(iEn t
/
)
n
e
xp(iEnt
/
)
n
e
xp(iEnt
/
)]
i
2
[
n
(r
)
n
(r
)
n
(r
)
n
(r
)]
空间波函数ψ(r)由方程
[
2
2
V
]
(r )
E
(r )
2
和具体的边界条件所确定。
该方程称为定态 Schrödinger 方程。
（二）能量本征值方程
[ 2 V ] E
2
或
Hˆ E
（1）一个算符作用于一个函数上得到一个常数乘以该函数 这与数学物理方法中的本征值方程相同。
数学物理方法中：微分方程 + 边界条件构成本征值问题；
n
m
e e c c iEnt /
iE mt /
* nm
nm
n
m
cn*cn
c2 n
n
n
从上面两个式子可以看出，
c2 n
具有几率的概念，当对
(x,t) 测量能量时，测到 En
的几率是
c2 n
也可以说体系
是部分地处于1, 2,...n ,... 态，各个态出现的几率分别是
c1 2, c2 2,..., cn 2,..
Jn(r )
（3）处于定态时力学量（不显含时间）的期待值是常数
Q(x, p)
* n
(
x,
t
)
Q(
x,i
/
x)n
(
x,
t
)dx
* n
(
x)
Q(
x,i
/
x)
n
(
x)dx
常量（不随时间变化）
推论
x 常量 p 0
4. 能量本征函数是完备的正交归一系 可以证明（以后证明）
* m
(r)
n
(r)dr
mn
第二章 定态薛定鄂方程
（一）定态Schrödinger方程，定态 （二）能量本征值方程 （三）求解定态问题的步骤 （四）定态的性质
（五）如何由定态得到一般解
（一）定态Schrödinger方程，定态
讨论有外场情况下的 Schrödinger 方程：
V(r)与t无关时，可以 分离变量
i
(r , t) [
H * ( x, t ) H ( x, t )dx
e e iEnt / iEmt /
cn*cm
* n
(
x)
H
m ( x)dx
n
m
e e iEnt / iEmt /
cn*cm
* n
(
x
)
Em
m ( x)dx
n
m
e e c c E iEnt /
iE mt /
* nm
m nm
n
m
cn*cn En
cn
E 2 n
n
n
我们在来看(x,t) 的归一化
1 * ( x, t )( x, t )dx
e e iEnt / iE mt /
cn*cm
* n
(
x
)
m ( x)dx
n
m
e e iEnt / iE mt /
cn*cm
* n
(x)源自m ( x)dx2
2
V
(r )](r ,
t)
令：
t
2
(r ,
t
)
(r )
f
(t
)
代
入
两边同除
(r )
f
(t )
i
(r )
d
f (t)
f (t)[
2
2
V
]
(r )
dt
2
等式两边是相互无
i 1
d f (t)
1
[
2
2
V
]
(r )
E
关的物理量，故应
f (t) dt
(r ) 2
等于与 t, r 无关 的常数