定态薛定谔方程解的算例

双原子分子定态振动薛定谔方程

双原子分子定态振动薛定谔方程一个双原子分子是由两个原子核和它们之间的电子组成的。

当原子核和电子之间发生相对位移时，双原子分子会发生振动。

为了研究双原子分子的振动行为，可以运用薛定谔方程。

接下来，我们将详细介绍双原子分子的定态振动薛定谔方程。

薛定谔方程描述了量子力学体系中粒子的行为。

对于一个双原子分子，薛定谔方程可以写为：HΨ = EΨ其中，H是哈密顿算符，Ψ是波函数，E是总能量。

为了简化问题，考虑了以下几个因素：1.电子和原子核之间的相互作用。

我们假设这是一个双原子分子的近似，即两个原子核之间的电子相对运动可以忽略。

2.在绝热近似下，我们可以将电子-核相互作用势能近似为原子核之间的势能。

即V = V(r)，其中r是原子核之间的距离。

根据绝热近似，波函数可以表示为Ψ(r) = ψ(r)χ(R)，其中r是电子的坐标，R是原子核的坐标。

ψ(r)表示电子的波函数，χ(R)表示原子核的波函数。

将波函数代入薛定谔方程，我们可以得到：(-ħ²/2m∇_r² + V(r))ψ(r) = E₁ψ(r)其中ħ是普朗克常数除以2π，m是电子的质量，∇是拉普拉斯算符。

这个方程描述了双原子分子电子的运动。

为了求解这个方程，我们可以使用一种常见的方法，称为变分法。

变分法基于变分原理，即通过找到合适的试函数来最小化函数的能量。

根据变分法，我们可以将电子波函数表示为一组基函数的线性组合：ψ(r) = Σcᵢϕᵢ(r)其中，cᵢ是待定的系数，ϕᵢ(r)是一组基函数。

我们可以将能量表示为这些系数的函数，并将其最小化，以求得能量的最小值。

通过对基函数的选择和适当的计算，我们可以求得双原子分子的定态振动的能量。

能量的最小值对应于分子的定态振动能量。

总结一下，双原子分子的定态振动薛定谔方程描述了分子电子在相对位移下的行为。

通过使用薛定谔方程和变分法，我们可以求得分子的能量，并研究分子的振动特性。

这些研究对理解分子的结构和化学性质具有重要意义。

薛定谔方程及其解法

关于薛定谔方程一．定义及重要性薛定谔方程（Schrdinger equation ）是由奥地利物理学家薛定谔提出的量子力学中的一个基本方程，也是量子力学的一个基本假定，其正确性只能靠实验来检验.是将物质波的概念和波动方程相结合建立的二阶偏微分方程，可描述微观粒子的运动，每个微观系统都有一个相应的薛定谔方程式，通过解方程可得到波函数的具体形式以及对应的能量，从而了解微观系统的性质。

薛定谔方程是量子力学最基本的方程，亦是量子力学的一个基本假定，它的正确性只能靠实验来检验.二．表达式三．定态方程()()222V r E r m ηψψ+⎡⎤-∇=⎢⎥⎣⎦所谓势场，就是粒子在其中会有势能的场,比如电场就是一个带电粒子的势场；所谓定态，就是假设波函数不随时间变化。

其中，E 是粒子本身的能量；v(x ，y ，z ）是描述势场的函数，假设不随时间变化。

2222222z y x ∂∂∂∂∂∂++=∇可化为d 0)(222=-+ψψv E h m dx薛定谔方程的解法一．初值解法；欧拉法，龙格库塔法二．边值解法；差分法，打靶法，有限元法龙格库塔法(对欧拉法的完善)给定初值问题).()()((3)),(),()( ,,(2))(),( 3112122111021h O t y t y hk y h t f k y t f k k c k c h y y y c c a y b t a y t f dt dyi i i i i i i i =-⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++==++==⎪⎩⎪⎨⎧=≤≤=++的局部截断误差使以下数值解法的值及确定常数ββαβα.))(,(,,(3) )()(2)()( ,))(,())(,())(,()( ))(,()( )()(2)()()( )( 3213211处的函数值分别表示相应函数在点其中得代入上式将处展成幂级数在首先将i i y t y t i i y t i i i i i i t y t f f f h O ff f h hf t y t y t y t f t y t f t y t f t y t y t f t y h O t y h t y h t y t y t t y '++++=+'=''='+''+'+=+++.)(21 1 ,,021,01 ),()()())(21()1()( ,)( 3221212213113222111的计算公式局部截断误差为可得到但只有两个方程，因此方程组有三个未知数，满足条件即常数当且仅当要使局部截断误差得下假设在局部截断误差的前提h O c c c c c c c c h O y t y h O ff f c h f c c h y t y t y y i i y t i i i i ==+=-=-+=-++-+-+-=-=++++ββββ有限元方法有限元的概念早在几个世纪前就已产生并得到了应用，例如用多边形（有限个直线单元）逼近圆来求得圆的周长，但作为一种方法而被提出，则是最近的事。

第三章_某些定态体系薛定谔方程的解

决
定
轨道角动量
大
小轨道磁矩
uB 9.2741024 J T 1 玻尔磁子
例:Li2+激发态2p1,l =1,电子轨道角动量大小为
。
③ m — 磁量子数
电子所在的轨道
m = 0, 1, 2, l
(2 l+1个可能的取值 )
决
定
轨道角动量在z 轴的分量 M lz m
轨道磁矩在z轴的分量 ulz mu B
有关，故每项只有分别为常数才能成立。
设三项分别为 Ex , Ey , Ez , 则:
(1)
(2)
(3)(1),(2)Fra bibliotek(3) 形式类似，有类似的解 . 方程(1)有如下通解:
结合边界条件，以及归一化条件
可得:
综上，方盒中的自由质点的运动状态及其能量为：
1.一维势箱的自由质点
其解为：
Ψ0，n 0
2

3. R(r)方程的解
n l 1 整数 E 13.6 Z 2 (eV )
n2
联属拉盖尔方程
2Zr
na0
拉盖尔函数
显然，Rn,l ( r )为实函数, 具有指数函数的形式。
R(r) 函数中
项决定 n 值.
R1,0
(r)

2(
Z a0
)
3 2

e
Zr a0
R2,0 (r)

中，10个电子的体系的多重度。
解：在该势场中，能级如下，
Enx ,ny

nx2h2 8ma2

n 2y h 2 8mb2

nx2h2 32mb2

n 2y h 2 8mb2

第一章薛定谔方程,一维定态问题

第一章薛定谔方程,一维定态问题
薛定谔方程是描述量子力学中微观粒子运动的基本方程，也是研究原子、分子、固体等微观粒子体系行为的重要工具。

在一维定态问题中，我们假设粒子在一个长度为L的有限区域内运动，边界处满足一定的边界条件。

这种假设简化了问题的复杂性，使得我们能够更加深入地研究粒子在有限区域内的定态行为。

一维定态问题的薛定谔方程可以写成如下的形式：
$$-
\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{d^{2}\Psi(x)}{dx^{2}}+V(x)\Psi(x)=E \Psi(x)$$
其中，$\hbar$为约化普朗克常数，m为粒子的质量，V(x)为粒子在x位置处的势能，E为粒子的总能量，$\Psi(x)$为描述粒子波函数的解析函数。

一维定态问题中，由于波函数只与一个坐标x有关，因此我们可以采用分离变量的方法将波函数表示为如下形式：
$$\Psi(x)=\psi(x)e^{ikx}$$
其中，$\psi(x)$为关于x的解析函数，k为波矢。

将上式代入薛定谔方程，可将其简化为如下形式：
$$-\frac{\hbar^{2}}{2m}\psi''(x)+(V(x)-E)\psi(x)=0$$
这个简化后的方程可以通过求解得到波函数的解析表达式及对应的能量。

对于有限区域内的粒子，我们需要根据边界条件来限定波函数的形状，在定态问题中，我们通常采用周期性边界条件或硬壳边界条件。

通过分析一维定态问题的波函数和能谱，我们可以深入理解原子、分子、固体等复杂体系中微观粒子的行为规律，同时也可以为设计新的材料、光电子器件等提供理论基础和指导。

定态薛定谔方程的matlab求解(一)

定态薛定谔方程的MATLAB求解(一)利用矩阵法对定态薛定谔方程的MATLAB求解摘要：本文首先对薛定谔方程的提出及发展做了一个简单介绍。

然后，以在一维空间运动的粒子构成的谐振子的体系为例，详细介绍了矩阵法求解薛定谔方程的过程及公式推导。

最后，通过MATLAB编程仿真实现了求解结果。

关键词：定态薛定谔方程求解矩阵法MATLAB仿真薛定谔方程简介1.1背景资料薛定谔方程是由奥地利物理学家薛定谔提出的量子力学中的一个基本方程，是将物质波的概念和波动方程相结合建立的二阶偏微分方程，可描述微观粒子的运动，每个微观系统都有一个相应的薛定谔方程式，通过解方程可得到波函数的具体形式以及对应的能量，从而了解微观系统的性质。

其仅适用于速度不太大的非相对论粒子，其中也没有包含关于粒子自旋的描述。

当计及相对论效应时，薛定谔方程由相对论量子力学方程所取代，其中自然包含了粒子的自旋。

薛定谔方程建立于1926年。

它是一个非相对论的波动方程。

它反映了描述微观粒子的状态随时间变化的规律，它在量子力学中的地位相当于牛顿定律对于经典力学一样，是量子力学的基本假设之一。

设描述微观粒子状态的波函数为Ψ（r，t），质量为m的微观粒子在势场V （r，t）中运动的薛定谔方程为在给定初始条件和边界条件以及波函数所满足的单值、有限、连续的条件下，可解出波函数Ψ（r，t）。

由此可计算粒子的分布概率和任何可能实验的平均值（期望值）。

当势函数V不依赖于时间t时，粒子具有确定的能量，粒子的状态称为定态。

定态时的波函数可写成式中Ψ（r）称为定态波函数，满足定态薛定谔方程，这一方程在数学上称为本征方程，式中E为本征值，是定态能量，Ψ（r）又称为属于本征值E的本征函数。

量子力学中求解粒子问题常归结为解薛定谔方程或定态薛定谔方程。

薛定谔方程揭示了微观物理世界物质运动的基本规律，被广泛地用于原子物理、核物理和固体物理，对于原子、分子、核、固体等一系列问题中求解的结果都与实际符合得很好。

5 氢原子与类氢离子的定态薛定谔方程及其解

0
5. ()方程的解：
()方程是：
求解该方程的条件: 边界条件? 无
d 2 2 m 0 2 d
合格波函数的条件: 单值?有;连续,有限 ? 求得方程的解为： Φ
m
( ) Ae
im
式中A是归一化系数，如何求得？
归一化求A：

2
0
d
* m m
2
0
A2 e im e im d 1 1 e im 2
1 ( m m ) 2 1 ( m m ) i 2 1

1
cos m si nm

可以证明组合得到的实函数是归一化的,如:
1 1 [ 2 ( m m )]* [ 2 ( m m )]d 1 { m m d m m d 2 1 m m d m m d } 2 {1 0 0 1} 1

Zr a0
e E Z 2 2 8 0 h
2
Z2 e2 ( ) 13.6 Z 2 (e V) 2 4 0 a0
4. 将偏微分方程化为常微分方程 ——分离变量法
一般来说，偏微分方程化为常微分方程后才能求解。
令： (r , , ) R(r )Y ( , ) R(r ) ( ) ( ) 代入薛定谔方程, 先将径向部分(只与r有关) 和角度部分分开, 分别移到方程的两边. 这样该方程两边应等于同一个常数 . 然后在将角度部分分离成只含一个变量的两个常微分方程 , 就将偏微分方程分离成了三个常微分方程。
6. ()方程的解:
1 d d m2 (sin ) k 0 2 sin d d sin

1薛定谔方程

复习上次课内容： 1.薛定谔方程
2 2 i (r ,t ) [ U (r ,t )] (r,t ) t 2m
2. 定态薛定谔方程
[ 2m
2
2 U (r )]

(r ) E (r )
3. 波函数物理意义
例题：在阱宽为a 的无限深势阱中,一个粒子处在基态,波函数为
2 1( x) sin x, n 1,2,3, a a
试求:粒子在
x0
之间被找到的概率
解：概率密度为:
a 到x 3
2 2 `1( x) a sin a
x,
a 粒子在 x 0 到 x 之间被找到的概率 3 a a
2 3 2 x P 1dx sin dx a0 a 0
d 2m d 2m ( x) 2 E1( x) ( x) 2 (U0 E ) 2 ( x) 2 1 2 2 dx dx 通解： ik x ik x
2
2
1( x) Ae 1 Be 1 k2 x k2 x 2 ( x)Ce De
ik1 x
U
U0
E
0
a
x
分区间求解薛定谔方程
U
U0
x 0:
d ( x) E1( x) 2 1 2m dx
2
2
E
ik x ik x 1 1 1( x) Ae Be 0 2 d 2 0 x a : 2m 2 2( x) U02 E2( x) dx
1 2 1 2 2 U ( x ) kx m x 2 2
1.势函数
m—振子质量，—固有频率，x—位移 2.哈密顿量 2 d 2 1 2 2