等腰三角形(第1课时)课件
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1等腰三角形的性质课件(1)
14.5 等腰三角形的性质（1）
概念巩固
• 等腰三角形的定义是什么？
有两条边相等的三角形是等腰三角形.
• 如图,在△ABC中,AB=AC,我们就说△ABC是等腰三角形
A
顶 腰角
相等的两边AB和AC叫做腰，另一 边BC叫做底边；
B 底角 底边
两腰所夹的角叫做顶角（如∠A），一腰 与底边所夹的角叫底角（如∠B、∠C）。
_A_D_⊥__B_C_（__等__腰__三__角_ 形底边上的中线是底边上的高）
等腰三角形的三线合一
等腰三角形的性质二： 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的 高互相重合（简称“等腰三角形的三线合一”）
A
符号语言3
在△ABC中，
∵AB=AC, AD⊥BC（已知）
B
D
C
∴∠__B_A_D_=_∠__C_AD（等腰三角形底边上的高是顶角平分线）
（条件）已知，在△ABC中，AB=AC，
（结论）说明∠B=∠C的理由.
A
解：取底边BC的中点D，联结AD
∵D是BC的中点（已作）
∴BD=CD（线段中点的意义）.
在△ABD与△ACD中， AB=AC(已知)
B
D
C
BD=CD(已求)
AD=AD(公共边)
∴△ABD≌△ACD（S.S.S）.
∴∠B=∠C（全等三角形的对应角相等）
D
C
∴∠ADB=∠ADC（全等三角形的对应角相等）
又∵∠ADB+∠ADC=180°（邻补角的意义）
∴2∠ADB=2∠ADC=180°（等量代换）
∴∠ADB=∠ADC=90°（等式性质）
性质探究
思考2：通过这些结论你发现了什么？
概念巩固
• 等腰三角形的定义是什么？
有两条边相等的三角形是等腰三角形.
• 如图,在△ABC中,AB=AC,我们就说△ABC是等腰三角形
A
顶 腰角
相等的两边AB和AC叫做腰，另一 边BC叫做底边；
B 底角 底边
两腰所夹的角叫做顶角（如∠A），一腰 与底边所夹的角叫底角（如∠B、∠C）。
_A_D_⊥__B_C_（__等__腰__三__角_ 形底边上的中线是底边上的高）
等腰三角形的三线合一
等腰三角形的性质二： 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的 高互相重合（简称“等腰三角形的三线合一”）
A
符号语言3
在△ABC中，
∵AB=AC, AD⊥BC（已知）
B
D
C
∴∠__B_A_D_=_∠__C_AD（等腰三角形底边上的高是顶角平分线）
（条件）已知，在△ABC中，AB=AC，
（结论）说明∠B=∠C的理由.
A
解：取底边BC的中点D，联结AD
∵D是BC的中点（已作）
∴BD=CD（线段中点的意义）.
在△ABD与△ACD中， AB=AC(已知)
B
D
C
BD=CD(已求)
AD=AD(公共边)
∴△ABD≌△ACD（S.S.S）.
∴∠B=∠C（全等三角形的对应角相等）
D
C
∴∠ADB=∠ADC（全等三角形的对应角相等）
又∵∠ADB+∠ADC=180°（邻补角的意义）
∴2∠ADB=2∠ADC=180°（等量代换）
∴∠ADB=∠ADC=90°（等式性质）
性质探究
思考2：通过这些结论你发现了什么？
北师大版七年级数学下册第1课时等腰三角形的性质课件
1. 一个等边三角形的对称轴共有( C ) A．1条 B．2条 C．3条 D．6条
2. 如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点， ∠BAD＝35°，则∠C的度数为( C ) A．35° B．45° C．55° D．60°
3. 一个等腰三角形的周长为11 cm,其中一边长为3 cm,
则其余两边长为 ( C )A.3 cm,5 cmB.4 cm,4 cmC.3 cm,5 cm或4 cm,4 cmD.以上都不对
B 底角
底边
C 底角
等腰三角形是生活中常见的图形. (1)等腰三角形是轴对称图形吗？如果是，请找出它的对称轴.
(2)等腰三角形顶角平分线所在的直线是它的对称轴吗？
顶角
(3)等腰三角形底边上的中线所在的直线是它的对称轴吗？ A
底边上的高所在的直线呢？
腰
腰
(4)沿对称轴对折，你能发现等腰三角形的哪些特征？
解:(1)如图所示:
(2)如图所示:
课堂小结
等腰三角形的性质总结： (1)性质1：等腰三角形的两腰相等 (2)性质2：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线(或底边上的高、 底边上的中线)所在的直线是它的对轴． (3)性质3：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高 重合(简写成“三线合一”)． (4)性质4：等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)．
6.如图，AB＝AE，BC＝DE，∠B＝∠E，AM⊥CD， 垂足为M. 试说明：CM＝MD.
解：如图，连接AC，AD.
AB＝AE，
在△ABC和△AED中，B＝E，
BC＝ED，
所以△ABC≌△AED(SAS)．所以AC＝AD. 又因为A⊥CD，所以CM＝MD.
7. 用三角尺和直尺作图.(不写作法,保留作图痕迹)如图, 点A,B在直线l的同侧.(1)试在直线l上取一点M,使MA+MB 的值最小;(2)试在直线l上取一点N,使NB-NA的值最大.
2. 如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点， ∠BAD＝35°，则∠C的度数为( C ) A．35° B．45° C．55° D．60°
3. 一个等腰三角形的周长为11 cm,其中一边长为3 cm,
则其余两边长为 ( C )A.3 cm,5 cmB.4 cm,4 cmC.3 cm,5 cm或4 cm,4 cmD.以上都不对
B 底角
底边
C 底角
等腰三角形是生活中常见的图形. (1)等腰三角形是轴对称图形吗？如果是，请找出它的对称轴.
(2)等腰三角形顶角平分线所在的直线是它的对称轴吗？
顶角
(3)等腰三角形底边上的中线所在的直线是它的对称轴吗？ A
底边上的高所在的直线呢？
腰
腰
(4)沿对称轴对折，你能发现等腰三角形的哪些特征？
解:(1)如图所示:
(2)如图所示:
课堂小结
等腰三角形的性质总结： (1)性质1：等腰三角形的两腰相等 (2)性质2：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线(或底边上的高、 底边上的中线)所在的直线是它的对轴． (3)性质3：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高 重合(简写成“三线合一”)． (4)性质4：等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)．
6.如图，AB＝AE，BC＝DE，∠B＝∠E，AM⊥CD， 垂足为M. 试说明：CM＝MD.
解：如图，连接AC，AD.
AB＝AE，
在△ABC和△AED中，B＝E，
BC＝ED，
所以△ABC≌△AED(SAS)．所以AC＝AD. 又因为A⊥CD，所以CM＝MD.
7. 用三角尺和直尺作图.(不写作法,保留作图痕迹)如图, 点A,B在直线l的同侧.(1)试在直线l上取一点M,使MA+MB 的值最小;(2)试在直线l上取一点N,使NB-NA的值最大.
《等腰三角形》教材课件ppt
垂直
问题（5）线段BD与线段CD的长相等吗？
相等
问题（6）你能总结一下折痕所在直线AD具有 的性质吗？
重要结论
等腰三角形是轴对称图形，等腰三角形的对称轴
是底边的垂直平分线。 PPT模板：/moban/ PPT背景：/beijing/ PPT下载：/xiazai/ 资料下载：/ziliao/ 试卷下载：/shiti/ PPT论坛： 语文课件：/kejian/yuwen/ 英语课件：/kejian/yingyu/ 科学课件：/kejian/kexue/ 化学课件：/kejian/huaxue/
实验探究
在纸上任意画一个等腰三角形ABC， 把纸对折，使它的两腰AB与AC重合， 记折痕与底边的交点为D，然后把纸展 开铺平，思考下面的问题：
问题（1）等腰三角形ABC是轴对称图形吗？ 是
问题（2）∠BAC与∠CAD相等吗？
相等
问题（3） ∠B与∠C相等吗？ ？
相等
问题（4）折痕所在直线AD与底边有什么位置关系？
地理课件：/kejian/dili/
历史课件：/kejian/lishi/
等腰三角形的顶角平分线，底边上的高，底边上的中线 重合﹙也称三线合一﹚。
等腰三角形的两个底角相等。
交流与发现
画一个等边三角形ABC， 思考下面问题？
等边三角形有几条对称轴？你能画出这些对称轴吗？
等边三角形的每一个内角都等于600
感谢您的阅读！ 为了便于学习和使用，本 文档下载后内容可随意修 改调整及打印。 欢迎下载！
例1 试说明“等边三角形的每个内角都等于600 ” A
解：因为△ABC是等边三角形，从而AB=AC，
所以∠B= ∠CBC同理∠A= ∠B 所以∠A= ∠B= ∠C
问题（5）线段BD与线段CD的长相等吗？
相等
问题（6）你能总结一下折痕所在直线AD具有 的性质吗？
重要结论
等腰三角形是轴对称图形，等腰三角形的对称轴
是底边的垂直平分线。 PPT模板：/moban/ PPT背景：/beijing/ PPT下载：/xiazai/ 资料下载：/ziliao/ 试卷下载：/shiti/ PPT论坛： 语文课件：/kejian/yuwen/ 英语课件：/kejian/yingyu/ 科学课件：/kejian/kexue/ 化学课件：/kejian/huaxue/
实验探究
在纸上任意画一个等腰三角形ABC， 把纸对折，使它的两腰AB与AC重合， 记折痕与底边的交点为D，然后把纸展 开铺平，思考下面的问题：
问题（1）等腰三角形ABC是轴对称图形吗？ 是
问题（2）∠BAC与∠CAD相等吗？
相等
问题（3） ∠B与∠C相等吗？ ？
相等
问题（4）折痕所在直线AD与底边有什么位置关系？
地理课件：/kejian/dili/
历史课件：/kejian/lishi/
等腰三角形的顶角平分线，底边上的高，底边上的中线 重合﹙也称三线合一﹚。
等腰三角形的两个底角相等。
交流与发现
画一个等边三角形ABC， 思考下面问题？
等边三角形有几条对称轴？你能画出这些对称轴吗？
等边三角形的每一个内角都等于600
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例1 试说明“等边三角形的每个内角都等于600 ” A
解：因为△ABC是等边三角形，从而AB=AC，
所以∠B= ∠CBC同理∠A= ∠B 所以∠A= ∠B= ∠C
人教版《等腰三角形》ppt课件初中数学1
一般地，判断三角形形状的关键在于要先求出三角形的 三个内角度数或三条边长,或找到角（边）所满足的重要数 量关系,然后再利用等腰（等边）三角形的判定方法,进行 三角形形状的判断.
初中数学
知识运用
二、运用等腰三角形的判定和性质进行边角等有关计算
初中数学
例 如图，在△ABC中,AB=AC,∠A=40°,DE垂直平分AB
2、特殊的等腰三角形：等边三角形
本课小结
AE=ED=DB=BC
A
D
C
等腰三角形：△AED,△EDB,△BCD.
初中数学
初中数学
变式: 如图,在△ABC中,∠ABC=120°,点D，E分别在AC和
AB上,且AE=ED=DB=BC,若∠A的度数为x°,则用x的代数
式表示∠C为__3_x_°_,并求∠A=_1_5__°.
初中数学
例 已知三角形△ABC的三边长为a,b,c.
(4)当满足(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²=0时,则三角形的形状为 等边三角形 .
分析： ∵(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²=0; (a-b)²,(b-c)²,(c-a)²均具有非负性, ∴(a-b)²=0,且(b-c)²=0,且(c-a)²=0. ∴a=b 且 b=c 且 c=a. 根据等边三角形定义,得△ABC是等边三角形.
初中数学
初中数学
例 如图,△ABC是等边三角形,AD⊥BC,DE⊥AB,垂足分别
为D,E.若AB=8,则BD=____4_,BE=____2_.
分析：
等边三角形△ABC
AB=AC=BC=8 ∠BAC=∠B=∠C=60°
A
AD⊥BC AD: 三线合一
DE⊥AB ∠BED=∠AED=90°
等腰三角形PPT课件(1)
小结与复习
本节课你学习了等腰三角形的哪些 重要性质?
探究
我们知道，等腰三角形的两底角相等，反过来， 两个角相等的三角形是等腰三角形吗？
如图，在△ABC中，如果∠B=∠C，那么AB 与AC之间有什么关系吗？
我测量后发现AB与AC相等
3cm
3cm
事实上，如图，在△ABC中，∠B=∠C 沿过点A的直线把∠BAC对折，得∠BAC的平
结论
由此得到另一条等边三角形的判定定理： 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
例3 已知：如图，△ABC是等边三角形，点 D，E分别在BA，CA的延长线上，且AD=AE。求证： △ADE是等边三角形。
证明 ∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC=∠B=∠C= 60° ∵∠EAD=∠BAC= 60° 又 AD=AE， ∴△ADE是等边三角形
腰和底边的夹角叫做底角。
探究
任意画一个等腰三角形 其中AB =AC，如图, 作△ABC 关于 顶角平分线AD 所在直线的轴反射， 由于∠1 =∠2，AB=AC，因此：
射线AB的像是射线AC，射线AC的像是射线 AB ； 线段AB的像是线段AC，线段AC的像是线段 AB ； 点B的像是点C，点C的像是点 B ； 线段BC的像是线段CB。 从而等腰三角形ABC关于直线 AD 对称。
例1 已知：如图,在△ABC中,AB=AC,点D, E 在边BC上, 且AD=AE，求证：BD=CE.
证明：作AF⊥BC,垂足为点F, 则AF是等腰三角形ABC 和等腰三角 形ADE 底边上的高, 也是底边上的 中线。 ∴ BF = CF， DF=EF， ∴ BF－DF=CF－EF， 即BD=CE
（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）
作业
等腰三角形ppt课件
何图形的基本性质把复杂作图拆
解成基本作图，逐步操作.
感悟新知
知3－练
例6 如图13.3-11， 在△ ABC 中，D 为AC 的中点，DE ⊥
AB，DF ⊥ BC，垂足分别为点E，F，且DE=DF．求
证：△ ABC 是等腰三角形．
解题秘方：利用“等角对等边”
判定等腰三角形，只需证明三
角形两个内角相等即可.
角的度数，再利用三角形的内角和等于18 0 °
列出方程，求出未知数的值即可.
知2－练
感悟新知
解：设∠ A=x°.
知2－练
∵ AD=DE，∴∠ AED= ∠ A=x°.
∵ DE=EB，∴∠ EBD= ∠ BDE= x°.
∴∠ BDC= ∠ A＋ ∠ EBD= x°.
∵ BC=BD，∴∠ C= ∠ BDC= x°.
∵ AB=AC，∴∠ ABC= ∠ C= x°.
∴ x＋ x＋ x =18 0，解得x =4 5 .∴∠
A=45°.
感悟新知
知2－练
5 -1. [新考向知识情境化中考·衢州]“三等分角”大约是在
公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的
“三等分角仪”能三等分任一角．
感悟新知
知2－练
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
感悟新知
知1－练
1-2.[期末·广州南沙区]若等腰三角形的周长是28 cm，一条
边长为6 cm，则它的腰长为______
11 cm.
感悟新知
知识点 2 等腰三角形的性质
知2－讲
必定是锐角
1. 性质1：等腰三角形的两个底角相等(简写成
解成基本作图，逐步操作.
感悟新知
知3－练
例6 如图13.3-11， 在△ ABC 中，D 为AC 的中点，DE ⊥
AB，DF ⊥ BC，垂足分别为点E，F，且DE=DF．求
证：△ ABC 是等腰三角形．
解题秘方：利用“等角对等边”
判定等腰三角形，只需证明三
角形两个内角相等即可.
角的度数，再利用三角形的内角和等于18 0 °
列出方程，求出未知数的值即可.
知2－练
感悟新知
解：设∠ A=x°.
知2－练
∵ AD=DE，∴∠ AED= ∠ A=x°.
∵ DE=EB，∴∠ EBD= ∠ BDE= x°.
∴∠ BDC= ∠ A＋ ∠ EBD= x°.
∵ BC=BD，∴∠ C= ∠ BDC= x°.
∵ AB=AC，∴∠ ABC= ∠ C= x°.
∴ x＋ x＋ x =18 0，解得x =4 5 .∴∠
A=45°.
感悟新知
知2－练
5 -1. [新考向知识情境化中考·衢州]“三等分角”大约是在
公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的
“三等分角仪”能三等分任一角．
感悟新知
知2－练
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
感悟新知
知1－练
1-2.[期末·广州南沙区]若等腰三角形的周长是28 cm，一条
边长为6 cm，则它的腰长为______
11 cm.
感悟新知
知识点 2 等腰三角形的性质
知2－讲
必定是锐角
1. 性质1：等腰三角形的两个底角相等(简写成
17.1 等腰三角形 - 第1课时课件(共23张PPT)
等边三角形的性质定理
等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于６０°．
例题解析
例１已知：如图，在△ABC中，AB=BC，BD，CE分别为∠ABC，∠ACB的平分线．求证：BD＝CE．
证明：∵BD，CE分别为∠ABC，∠ACB的平分线，∴∠ABD＝½∠ABC，∠ACE＝½∠ACB．∵∠ABC＝∠ACB（等边对等角）∴∠ABD＝∠ACE（等量代换）．∵AB＝AC（已知），∠A＝∠A（公共角），∴△ABD≌△ACE（ ASA ）.∴BD＝CE（全等三角形的对应边相等）．
2.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝５０°，则∠C的度数为（ ）．A．８０° B．６０°C．５０° D．４０°
C
3.如图，△ABC是等边三角形，点D在AC边上，∠DBC=35°，则∠ADB的度数为（ ）A.25° B.60° C.85° D.95°
（1）证明：∵△ABC和△ECD都是等边三角形，∴AC =BC，CD =CE，∠ACB =∠DCE=60°，又∵∠ACD=∠ACB-∠DCB，∠BCE=∠DCE-∠DBC，∴∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中，AC =BC，∠ACD=∠BCE，CD =CE，∴△ACD≌△BCE（SAS）.∴AD=BE.
三边都相等的三角形叫做等边三角形.等边三角形是等腰三角形的特例.
定义
知识点3 等边三角形的定义及性质定理
已知：如图，在△ABC中，AB=BC=AC．求证：∠A=∠B=∠C＝６０°．
证明：∵在△ABC中，AB=BC=AC，∴∠A=∠B=∠C（等边对等角）．∵∠A＋∠B＋∠C＝１８０°，∴∠A=∠B=∠C＝６０°．
（2）解：在等边△ECD中，∠CDE=∠CED=60°，∴∠ADC=120°，∵△ACD≌△BCE，∴∠BEC=∠ADC=120°，∴∠AEB=∠BEC-∠CED=120°-60°=60°.
等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于６０°．
例题解析
例１已知：如图，在△ABC中，AB=BC，BD，CE分别为∠ABC，∠ACB的平分线．求证：BD＝CE．
证明：∵BD，CE分别为∠ABC，∠ACB的平分线，∴∠ABD＝½∠ABC，∠ACE＝½∠ACB．∵∠ABC＝∠ACB（等边对等角）∴∠ABD＝∠ACE（等量代换）．∵AB＝AC（已知），∠A＝∠A（公共角），∴△ABD≌△ACE（ ASA ）.∴BD＝CE（全等三角形的对应边相等）．
2.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝５０°，则∠C的度数为（ ）．A．８０° B．６０°C．５０° D．４０°
C
3.如图，△ABC是等边三角形，点D在AC边上，∠DBC=35°，则∠ADB的度数为（ ）A.25° B.60° C.85° D.95°
（1）证明：∵△ABC和△ECD都是等边三角形，∴AC =BC，CD =CE，∠ACB =∠DCE=60°，又∵∠ACD=∠ACB-∠DCB，∠BCE=∠DCE-∠DBC，∴∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中，AC =BC，∠ACD=∠BCE，CD =CE，∴△ACD≌△BCE（SAS）.∴AD=BE.
三边都相等的三角形叫做等边三角形.等边三角形是等腰三角形的特例.
定义
知识点3 等边三角形的定义及性质定理
已知：如图，在△ABC中，AB=BC=AC．求证：∠A=∠B=∠C＝６０°．
证明：∵在△ABC中，AB=BC=AC，∴∠A=∠B=∠C（等边对等角）．∵∠A＋∠B＋∠C＝１８０°，∴∠A=∠B=∠C＝６０°．
（2）解：在等边△ECD中，∠CDE=∠CED=60°，∴∠ADC=120°，∵△ACD≌△BCE，∴∠BEC=∠ADC=120°，∴∠AEB=∠BEC-∠CED=120°-60°=60°.
等腰三角形 课件(1)(浙教版八年级上)
三线合一
)．
B
D
C
③∵AB＝ AC，AD平分∠BAC AD ⊥______ BC ， ∴ ______ BD CD 三线合一 ) ___
等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）
C
AC=BC
1 2
∠1=∠2
A
B
等腰三角形的性质定理
等腰三角形顶角平分线平分底边并 且垂直于底边。
B
D
C
∴∠B=∠C=(1800-∠A)=400(三角形内角和定理). ∴∠BAD=∠CAD(等腰三角形的评分限于底边上的高 互相重合).
∴∠BAD=∠CAD=500.
题组训练
一、填空题： 已知：在△ABC中，AB=AC （1）若∠A=700，则∠B= ∠C= （2）若一个角为300，则它的另外两内角 分别为 （3）若一个角为1000，则它的另外两内角 分别为
D
∠ADC=∠BDC
AD=BD
DC⊥AB AC=BC
A
C
B
例题讲解
例1 已知：如图,房屋的顶角∠BAC=1000,过屋顶A 的立柱AD⊥BC,屋椽AB=AC。 求：顶架上∠B、∠C、∠BAD、∠CAD的度数。 解：在△ABC中， A ∵AB=AC（已知），
∴∠B=∠C（等边对等角）.
又∵AD⊥BC(已知),
A
A
B
D
C
B
D
C
让学生观察、思考、交流，可能 得到的结论：
（1）等腰三角形是轴对称图形 （2）∠B=∠C （3）BD=CD，AD为底边上的中线 （4）∠ADB=∠ADC=900，AD为底边上 的高线 (5) ∠BAD=∠CAD，AD为顶角平分线
结论（2）用文字如何表述？ 等腰三角形的两个底角相等 （简写成“等边对等角） 结论（3）（4）（5）用文字如何 表述？ 等腰三角形的顶角平分线，底边上的 高和底边上的中线互相重合 （简称“三线合一”)
冀教版初中八年级数学上册17-1等腰三角形第一课时等腰三角形及其性质课件
在遇到等腰三角形时,常见的辅助线是作出底边上的高 线或中线,即“三线合一”中的一条,直接利用这一性质可以 省去证明三角形全等.如果直接给出“三线”其中的一条,那 么其他两线的性质可以直接应用. 1.(2024河北石家庄赵县期末)如图,CD是等边 △ABC的中线,DE⊥AC,垂足为点E.若DE=3 cm, 则点D到BC的距离为 3 cm.
解析 ∵OC=CD=DE,∴∠O=∠ODC,∠DCE=∠DEC, ∴∠DCE=∠O+∠ODC=2∠ODC,∴∠O+∠OED=∠O+ ∠DCE=3∠ODC=∠BDE=78°,∴∠ODC=26°, ∴∠CDE=180°-∠BDE-∠ODC=76°.
16.(2023山东威海中考改编,24,★★☆)回顾:用数学的思维思考. (1)如图1,在△ABC中,AB=AC. ①BD,CE是△ABC的角平分线,求证:BD=CE. ②点D,E分别是边AC,AB的中点,连接BD,CE,求证:BD=CE. 从①②两题中选择一题加以证明. 猜想:用数学的眼光观察. 经过做题反思,小明同学认为:在△ABC中,AB=AC,点D为边 AC上一动点(不与点A,C重合).对于点D在边AC上的任意位
2
AD⊥BC,∵AD=AE,∴∠ADE=∠AED= 180=75°,BAD
2
∴∠EDB=90°-∠ADE=15°,故选A.
11.(2024河南新ຫໍສະໝຸດ 获嘉一中期中)如图,△ABC是等边三角形, CB=CD,若∠ABD=12°,则∠BAD的度数为 ( C )
A.10°
B.15°
C.18°
D.20°
解析 ∵△ABC是等边三角形,∴∠ABC=60°,∵∠ABD=12°, ∴∠DBC=60°+12°=72°.∵CB=CD,∴∠BCD=180°-72°-
解析 ∵OC=CD=DE,∴∠O=∠ODC,∠DCE=∠DEC, ∴∠DCE=∠O+∠ODC=2∠ODC,∴∠O+∠OED=∠O+ ∠DCE=3∠ODC=∠BDE=78°,∴∠ODC=26°, ∴∠CDE=180°-∠BDE-∠ODC=76°.
16.(2023山东威海中考改编,24,★★☆)回顾:用数学的思维思考. (1)如图1,在△ABC中,AB=AC. ①BD,CE是△ABC的角平分线,求证:BD=CE. ②点D,E分别是边AC,AB的中点,连接BD,CE,求证:BD=CE. 从①②两题中选择一题加以证明. 猜想:用数学的眼光观察. 经过做题反思,小明同学认为:在△ABC中,AB=AC,点D为边 AC上一动点(不与点A,C重合).对于点D在边AC上的任意位
2
AD⊥BC,∵AD=AE,∴∠ADE=∠AED= 180=75°,BAD
2
∴∠EDB=90°-∠ADE=15°,故选A.
11.(2024河南新ຫໍສະໝຸດ 获嘉一中期中)如图,△ABC是等边三角形, CB=CD,若∠ABD=12°,则∠BAD的度数为 ( C )
A.10°
B.15°
C.18°
D.20°
解析 ∵△ABC是等边三角形,∴∠ABC=60°,∵∠ABD=12°, ∴∠DBC=60°+12°=72°.∵CB=CD,∴∠BCD=180°-72°-
湘教版八年级上册等腰三角形的性质课件
7如图，△ABC中，以B为圆心，BC长为半径画弧，分别交AC、
AB于D，E两点，并连接BD，DE.若∠A＝30°，AB＝AC，则
∠BDE的度Байду номын сангаас是 (
A.45°
B.52.5°
C.67.5°
D.75°
C )
分层作业
8如图，△ABC中，D是BC上一点，AC＝AD＝DB，∠BAC＝
102°，则∠ADC＝
52 度.
称轴过哪个顶点，哪条边？
是.对称轴过两条腰相交的顶点，过底边.
预习导学
2.通过上述的“操作”，试视察右图，AD为折痕(即对称轴)，
思考:
(1)底角∠B与底角∠C能完全重合吗？说明了什么？
能，两底角相等.
(2)BD与CD能完全重合吗？说明AD是△ABC的什
么特殊线段？
能，是底边上的中线.
预习导学
(3)∠CAD与∠BAD能完全重合吗？说明了AD是△ABC的什
36°，则∠1的度数为
A.36°
B.60°
C.72°
D.108°
( C
)
5等腰三角形中有一个角是50°，那么其他两个角的度数是
50°，80°或65°，65° .
分层作业
6腰长与底边长不相等的等腰三角形中，三角形的中线、角平分
线和高共有(重合的算一条)
A.9条
B.3条
C.7条
D.3条或7条
(
C
)
分层作业
等腰三角形底边中线、 顶角平分线
、 底
，三线合一，在证明或计算中，一定要记得使用，
因为不需要再添辅助线，这条线本身就具有多重“身份”.
合作探究
·方法点拨·
等腰三角形性质定理的常用运用方法:由两边相等推导出两角
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B D C
大胆猜想
等腰三角形除了两腰相等以外, 你还能发现它的其他性质吗?
猜想与论证
猜想
等腰三角形的两个底角相等。 已知：△ABC中，AB=AC
A
求证：∠B=C
分析：1.如何证明两个角相等？
B
D
C
2.如何构造两个全等的 三角形？
如何构造两个全等的三角形?
A
证明: 作顶角的平分线AD，
则有∠1＝∠2
动手做一做
看一看
△ABC有什么特点?
C A
B
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.
A
顶 角
腰
腰
B
底角
底角
C
底边
等腰三角形中，相等的两边都叫做腰， 另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰 和底边的夹角叫做底角.
小试牛刀
1、等腰三角形一腰为3cm,底为4cm,则它的周长 是
10 cm
；
2、等腰三角形的一边长为3cm,另一边长为4cm, 则它的周长是 10 cm 或 11 cm ；
想一想:
刚才的证明除了能得到∠B＝∠C 你还能发现什么?重合的线段 AB＝AC 重合源自角A∠B ＝ ∠C.
∠BAD ＝ ∠CAD
∠ADB ＝∠ADC =90°
B D C
BD＝CD
AD＝AD
是真是假
性质2 等腰三角形顶角的平分线平分底边并 且垂直于底边. A
(等腰三角形三线合一)
B
C D
等腰三角形的顶角平分线与底边上的中线，底 边上的高互相重合
（简称“等边对等角”，前提是在同一 个三角形中。）
等腰三角形的顶角的平分线、底 边上的中线、底边上的高互相重合。
:
性质2
（简称“三线合一”，前提是在同一个 等腰三角形中。）
课后思考
如图：△ABC中，AB=AC,AD和BE是高，它们相 交于点H，且AE=BE。 求证：AH=2BD
证明：∵AB=AC,AD是高,∴BC=2BD 又∵BE是高，∴∠ADC=∠BEC=∠AEH=90°
于是在△ABC中，有 ∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°，
解得x=36°，
在△ABC中， ∠A=36°， ∠ABC=∠C=72°
谈谈你的收获！
轴对称图形
两个底角相等，简称“等边对等角”
顶角平分线、底边上的中线、和底边上的高
互相重合，简称“三线合 一”
性质1
:
等腰三角形的两个底角相等
如图，已知△ABC中，AB=AC,F在AC上，在 BA的延长线上截取AE=AF,求证：ED⊥BC
E
A
F
B
D
C
课 外 作 业 ：
习题
P149
14.3
D1 D4 D6
下课了!
12
在△ABD和△ACD中 AB＝AC C B D ∠1＝∠2 AD＝AD （公共边） ∴ △ABD≌ △ACD （SAS） ∴ ∠B＝∠C （全等三角形对应角相等）
A
证明: 作△ABC 的中线AD
则有 BD＝CD
在△ABD和△ACD中 AB＝AC C B D BD＝CD AD＝AD （公共边） ∴ △ABD≌ △ACD （SSS） ∴ ∠B＝∠C （全等三角形对应角相等）
3、等腰三角形的一边长为3cm,另一边长为8cm, 19 cm 则它的周长是 。
等腰三角形是轴对称图形吗？
※等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线所在的直线。
把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折， 找出其中重合的线段和角.
重合的线段
重合的角
A
AB＝AC BD＝CD AD＝AD
∠B ＝ ∠C
∠BAD ＝ ∠CAD ∠ADB ＝ ∠ADC
A
⌒ H B D 1 E
∴∠1+∠C=∠2+∠C=90°∴ ∠1=∠2 在△AEH和△BEC中 ∠AEH=∠BEC AE=BE ∠1=∠2
你的细心加你的 耐心等于成功！
C
︸
∴△AEH≌△BEC(ASA) ∴AH=BC ∴AH=2BD
一次数学课上，老师布置了一道几何证明题，通 课后思考 过大家的激烈讨论得到了许多种证明方法，聪明的你 们，能找出几种证明方法呢？试试看吧！
A
证明: 作△ABC 的高线AD
则有 ∠ADB＝∠ADC ＝90º 在Rt△ABD和Rt△ACD中 AB＝AC B （公共边） AD＝AD
D
C
∴ Rt△ABD≌Rt△ACD （HL） ∴ ∠B＝∠C （全等三角形对应角相等）
猜想与论证
猜想 性质 1
等腰三角形的两个底角相等。 (等边对等角) 已知：△ABC中，AB=AC
例1、如图，在△ABC中 ，AB=AC，点D在AC上，且 BD=BC=AD，求△ABC各角的度数。
A
解：∵AB=AC，BD=BC=AD， ∴∠ABC=∠C=∠BDC，∠A=∠ABD （等边对等角)
D 2x
2x B C
⌒ x
设∠A=x,则∠BDC= ∠A+ ∠ABD=2x, 从而∠ABC= ∠C= ∠BDC=2x,
A
求证：∠B=C
分析：1.如何证明两个角相等？
B
D
C
2.如何构造两个全等的 三角形？
小试牛刀
⒈等腰三角形一个底角为75°,它的另外两个 75°, 30° 角为_____ __； ⒉等腰三角形一个角为70°,它的另外两个角 70°,40°或55°,55° 为___________________ ； ⒊等腰三角形一个角为110°,它的另外两个角 35°,35° 为______ __。
大胆猜想
等腰三角形除了两腰相等以外, 你还能发现它的其他性质吗?
猜想与论证
猜想
等腰三角形的两个底角相等。 已知：△ABC中，AB=AC
A
求证：∠B=C
分析：1.如何证明两个角相等？
B
D
C
2.如何构造两个全等的 三角形？
如何构造两个全等的三角形?
A
证明: 作顶角的平分线AD，
则有∠1＝∠2
动手做一做
看一看
△ABC有什么特点?
C A
B
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.
A
顶 角
腰
腰
B
底角
底角
C
底边
等腰三角形中，相等的两边都叫做腰， 另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰 和底边的夹角叫做底角.
小试牛刀
1、等腰三角形一腰为3cm,底为4cm,则它的周长 是
10 cm
；
2、等腰三角形的一边长为3cm,另一边长为4cm, 则它的周长是 10 cm 或 11 cm ；
想一想:
刚才的证明除了能得到∠B＝∠C 你还能发现什么?重合的线段 AB＝AC 重合源自角A∠B ＝ ∠C.
∠BAD ＝ ∠CAD
∠ADB ＝∠ADC =90°
B D C
BD＝CD
AD＝AD
是真是假
性质2 等腰三角形顶角的平分线平分底边并 且垂直于底边. A
(等腰三角形三线合一)
B
C D
等腰三角形的顶角平分线与底边上的中线，底 边上的高互相重合
（简称“等边对等角”，前提是在同一 个三角形中。）
等腰三角形的顶角的平分线、底 边上的中线、底边上的高互相重合。
:
性质2
（简称“三线合一”，前提是在同一个 等腰三角形中。）
课后思考
如图：△ABC中，AB=AC,AD和BE是高，它们相 交于点H，且AE=BE。 求证：AH=2BD
证明：∵AB=AC,AD是高,∴BC=2BD 又∵BE是高，∴∠ADC=∠BEC=∠AEH=90°
于是在△ABC中，有 ∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°，
解得x=36°，
在△ABC中， ∠A=36°， ∠ABC=∠C=72°
谈谈你的收获！
轴对称图形
两个底角相等，简称“等边对等角”
顶角平分线、底边上的中线、和底边上的高
互相重合，简称“三线合 一”
性质1
:
等腰三角形的两个底角相等
如图，已知△ABC中，AB=AC,F在AC上，在 BA的延长线上截取AE=AF,求证：ED⊥BC
E
A
F
B
D
C
课 外 作 业 ：
习题
P149
14.3
D1 D4 D6
下课了!
12
在△ABD和△ACD中 AB＝AC C B D ∠1＝∠2 AD＝AD （公共边） ∴ △ABD≌ △ACD （SAS） ∴ ∠B＝∠C （全等三角形对应角相等）
A
证明: 作△ABC 的中线AD
则有 BD＝CD
在△ABD和△ACD中 AB＝AC C B D BD＝CD AD＝AD （公共边） ∴ △ABD≌ △ACD （SSS） ∴ ∠B＝∠C （全等三角形对应角相等）
3、等腰三角形的一边长为3cm,另一边长为8cm, 19 cm 则它的周长是 。
等腰三角形是轴对称图形吗？
※等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线所在的直线。
把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折， 找出其中重合的线段和角.
重合的线段
重合的角
A
AB＝AC BD＝CD AD＝AD
∠B ＝ ∠C
∠BAD ＝ ∠CAD ∠ADB ＝ ∠ADC
A
⌒ H B D 1 E
∴∠1+∠C=∠2+∠C=90°∴ ∠1=∠2 在△AEH和△BEC中 ∠AEH=∠BEC AE=BE ∠1=∠2
你的细心加你的 耐心等于成功！
C
︸
∴△AEH≌△BEC(ASA) ∴AH=BC ∴AH=2BD
一次数学课上，老师布置了一道几何证明题，通 课后思考 过大家的激烈讨论得到了许多种证明方法，聪明的你 们，能找出几种证明方法呢？试试看吧！
A
证明: 作△ABC 的高线AD
则有 ∠ADB＝∠ADC ＝90º 在Rt△ABD和Rt△ACD中 AB＝AC B （公共边） AD＝AD
D
C
∴ Rt△ABD≌Rt△ACD （HL） ∴ ∠B＝∠C （全等三角形对应角相等）
猜想与论证
猜想 性质 1
等腰三角形的两个底角相等。 (等边对等角) 已知：△ABC中，AB=AC
例1、如图，在△ABC中 ，AB=AC，点D在AC上，且 BD=BC=AD，求△ABC各角的度数。
A
解：∵AB=AC，BD=BC=AD， ∴∠ABC=∠C=∠BDC，∠A=∠ABD （等边对等角)
D 2x
2x B C
⌒ x
设∠A=x,则∠BDC= ∠A+ ∠ABD=2x, 从而∠ABC= ∠C= ∠BDC=2x,
A
求证：∠B=C
分析：1.如何证明两个角相等？
B
D
C
2.如何构造两个全等的 三角形？
小试牛刀
⒈等腰三角形一个底角为75°,它的另外两个 75°, 30° 角为_____ __； ⒉等腰三角形一个角为70°,它的另外两个角 70°,40°或55°,55° 为___________________ ； ⒊等腰三角形一个角为110°,它的另外两个角 35°,35° 为______ __。