临界阻尼系数cc
单自由度系统的有阻尼自由振动
0.8 (e nTd ) 20 0.16
ln5 20 nTd 20 n 2 n 1 2
由于 很小，ln5 40
ln5 W W ln5 1502 c 2 m k 2 2 40 g st 40 1980 0.122( Ns/cm)
nt
2 t n2 n
C2 e
2 t n2 n
)
代入初始条件 (t 0时 , x x0 , x x 0 )
C1
2 0 ( n n 2 n x ) x0
2 n
2
2 n
; C2
2 0 ( n n 2 n ) x0 x 2 2 n 2 n
可见阻尼使自由振动的周期增大，频率降低。当阻尼小时， 影响很小，如相对阻尼系数为5%时，为1.00125，为20%时， 影响为1.02，因此通常可忽略。
14
振幅的影响： 为价评阻尼对振幅衰减快慢的影响，引入减 幅系数η ，定义为相邻两个振幅的比值。
Ai Aewnti wnti td ewntd Ai 1 Ae
5
也可写成
x Ae nt sin(d t )
2 d n n2
—有阻尼自由振动的圆频率
x 0 , 则 设 t 0 时, x x0 , x
2 2 2 x n ( x nx ) 0 n 2 A x0 0 2 02 ; tg1 0 nx0 n n x
16
例4 如图所示，静载荷P去除后质量块越过平衡位置的最大 位移为10%，求相对阻尼系数。
17
x(t ) e
wnt
0 wn x0 x ( x0 cos wd t sin wd t ) wd
18
汽车悬置软垫参数计算
悬置软垫参数计算
发动机悬置软垫隔振效率的关键是如何根据已知的条件计算出减振器的固有频率，当减振器的固有频率一旦确定后，隔振效率也就随之而确定了。
所以说减振器的固有频率是最关键的参数。
根据无锡凯华减震器公司提供资料整理悬置软垫计算公式和步骤如下：
1、 确定悬置软垫隔振效率目标值：一般选取%95~%80=η
2、 计算传递率： η−=1A T
3、 选取合适的阻尼比ξ：07.0~05.0==C
C C ξ 一般选取0.06 注：C －阻尼系数 C C －临界阻尼
4、 根据以下公式求λ
2222222222)1(4]2)1(4[)1(42A
A A A A A A T T T T T T T −−−−+−−=ξξλ 5、 确认发动机扰动频率f ；
260τ
××=i
n f
n －发动机转速
i －发动机缸数
τ－发动机冲程
6、 根据公式n f f =
λ求解悬置软垫固有频率n f 7、 根据公式W
k g m k f n ×==
ππ2121求解悬置软垫在该载荷下静刚度参数k
m ：悬置承受载荷（Kg ）
8、天然橡胶动静刚度比：1.2～1.6 选取动静刚度比1.4。
9、根据已经计算出的额定负荷下软垫静刚度求解在额定负荷下
固有频率时的悬置动刚度。
临界阻尼名词解释
临界阻尼名词解释嘿，朋友们！今天咱来唠唠临界阻尼这个神奇的玩意儿。
你说啥是临界阻尼呀？咱打个比方哈，就好比一辆汽车在刹车的时候。
如果刹车太猛，那就像急刹车似的，车子一下子就停住了，可能人都要往前冲，这就有点过头啦；可要是刹车太松呢，车子滑出去老长一段距离才停下，这也不行呀。
而临界阻尼呢，就刚刚好，车子能比较平稳快速地停下来，不拖沓也不过头，是不是挺有意思？想象一下啊，生活中很多事情其实都跟这临界阻尼有点像呢。
就说你走路吧，走得太快容易摔跟头，走得太慢又耽误事儿，得找到那个刚刚好的节奏，就跟临界阻尼似的。
再比如说弹钢琴，按键的力度和速度也得掌握好，才能弹出美妙的音乐，这其实也是一种临界阻尼的体现呀。
你可别小瞧了这临界阻尼，它在很多领域都有着重要的作用呢！在工程上，要是没有把握好临界阻尼，那机器设备运行起来可能就不顺畅，说不定还会出故障呢！这可不是闹着玩的呀。
在物理学里，临界阻尼也是个很关键的概念呢，它能帮助我们更好地理解各种现象。
咱再回到生活中，很多时候我们做事情也得找到那个临界阻尼的状态。
比如说学习吧，太拼命了可能会累垮自己，反而效率不高；可要是不努力呢，那肯定啥也学不到呀。
得找到那个平衡，就像临界阻尼一样，让自己既能有效地学习，又不会压力过大。
工作也一样呀，不能一味地埋头苦干，得掌握好节奏和方法，找到属于自己工作中的临界阻尼。
这样才能既把工作做好，又能享受工作的过程，不至于累得半死还没啥成果。
总之呢，临界阻尼看似是个很专业的名词，但其实跟我们的生活息息相关。
它就像一个隐藏在幕后的小魔法师，默默地影响着我们的方方面面。
所以呀，咱可得好好琢磨琢磨这个临界阻尼，让它为我们的生活添彩，而不是添乱哟！怎么样，是不是对临界阻尼有了更深的认识啦？哈哈！。
二阶系统临界阻尼
二阶系统临界阻尼
二阶系统临界阻尼是控制工程中一个重要的概念，它指的是当系统的阻尼比达到临界值时，系统的阻尼比会使系统恢复到平衡位置的速度最快，同时不会出现震荡或者过冲的现象。
在实际工程中，合理地选择阻尼比是非常重要的，可以有效地提高系统的响应速度和稳定性。
临界阻尼是一个系统动力学特性的重要参数，它直接影响着系统的动态响应。
当阻尼比小于临界值时，系统会出现过冲现象，即在到达平衡位置之前会超过平衡位置并在两侧振荡。
而当阻尼比大于临界值时，系统的恢复速度会变慢，导致系统响应时间延长。
因此，临界阻尼是一个平衡点，可以使系统在最短的时间内恢复到平衡位置，同时不会出现过冲或者震荡。
在控制工程中，设计合适的控制系统是非常重要的。
而临界阻尼的概念可以帮助工程师们更好地理解系统的动态响应特性，从而设计出更加优秀的控制系统。
通过合理地选择阻尼比，可以使系统在受到干扰或者输入信号变化时，快速、稳定地恢复到平衡位置，提高系统的控制性能和稳定性。
临界阻尼的概念不仅在控制工程中有重要的应用，也在其他领域有着广泛的应用。
比如在建筑结构设计中，合理地选择结构的阻尼比可以提高结构的抗震性能；在机械系统设计中，合理地选择阻尼比可以减少系统的振动和能量损耗。
因此，了解临界阻尼的概念对工
程师们来说是非常重要的。
总的来说，二阶系统临界阻尼是一个非常重要的概念，它可以帮助工程师们更好地理解系统的动态响应特性，设计出更加优秀的控制系统。
合理地选择阻尼比可以提高系统的响应速度和稳定性，从而提高系统的控制性能。
通过深入研究临界阻尼的概念，可以更好地应用于实际工程中，为各种系统的设计和优化提供参考和指导。
同济大学_汽车学院_汽车振动_郭荣_chapter2_作业答案
解：设 m2 的线位移为 x，由能量法
Ua
=
1 2
⎛ k1 ⎜
⎝
a2 a4
⎞2 x⎟
⎠
+
1 2
k2
⎛ ⎜ ⎝
a3 a4
⎞2 x⎟
⎠
=
1⎛
2
⎜ ⎝
k1a22 + k2a32 a42
⎞ ⎟
x
2
,
⎠
又
Ue
=
1 2
ke x2
故
ke
=
k1a22 + k2a32 a42
Ta
=
1 2
m1
⎛ ⎜ ⎝
a1 a4
x
⎞2 ⎟
215一个有阻尼弹簧质量系统受到简谐激励力的作用求发生加速度共振时的频率比时发生加速度共振216在图示的弹簧质量系统中在两弹簧连接处作用一激励力
2.1 如图所示系统中，已知 m1, m2 , k1, k2 , a1, a2 , a3, a4 , 水平刚杆的质量忽略不计。以 m2 的线位移为运动坐标，求系统的等效刚度 ke ，等效质量 me 以及固有频率。
（1） 第一次到达静平衡位置的时间？ （2）过静平衡位置后的最大幅值为多少？所需时间为多少？
解: 临界阻尼状态下系统自由振动的解为：
x = e−ω0t ⎡⎣ x0 + ( x0 + ω0 x0 ) t ⎤⎦
（1） 平衡位置x = 0
ω0 =
k = 10rad / s m
代入式中，t=- x0
x0 + ω0 x0
解：
Jθ + kb (bθ − e cosωt ) − mgaθ = 0
( ) 变换得： ma2θ+ kb2 − mga θ = kbe cosωt
03-单自由度系统：阻尼自由振动
整理得：
2W 2 2 T1 T gAT 1 T
μ的物理意义是单位面积的阻尼系数。
23
第2章 单自由度系统--阻尼自由振动
24
第2章 单自由度系统--阻尼自由振动
25
第2章 单自由度系统--阻尼自由振动
例
习题课—单自由度系统阻尼简谐振动
解
26 Theory of Vibration with Applications
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--阻尼自由振动 第 2章 --阻尼自由振动 第 2章 单自由度系统 单自由度系统 引言
粘性阻尼－若物体以较大速度在空气或液体中运 动，阻尼与速度平方成正比。但当物体以低速度在粘 性介质中运动（包括两接触面之间有润滑剂时）可以 认为阻尼与速度成正比。
物体运动沿润滑表面的阻力与速度的关系
Fc cx
4 Theory of Vibration with Applications
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--阻尼自由振动 第 2章 --阻尼自由振动 第 2章 单自由度系统 单自由度系统 引言
• 振动系统的无阻尼振动是对实际问题的理论抽象。 如果现实世界没有阻止运动的话，整个世界将处在 无休止的运动中。客观实际是和谐的，有振动又有 阻尼，保证了我们生活在一个相对安静的世界里。 • 最常见的阻尼是
2 2
xe
nt
(C1e
n2 - p2 t
C2 e
n2 - p2 t
)
临界阻尼(n = p )情形 r1 r2 n
Theory of Vibration with Applications
x e nt (C1 C2 t )
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第2章
单自由度系统--阻尼自由振动 运动微分方程
临界阻尼系数与阻尼比
使机械振动能量耗散的作用，是组成机械系统的一个元素。
例如物体在其平衡位置附近作自由振动时，振幅总是随着时间增长而逐渐衰减，这表明有阻尼存在。
在机械系统中，多数阻尼以阻力形式出现，如两物体表面的摩擦阻力，加入润滑剂后油膜的粘性阻力，物体在流体中运动受到的介质阻力等。
此外还有振荡电路中的电阻、材料和结构的内阻引起的结构阻尼等。
在机械系统中，线性粘性阻尼是最常用的一种阻尼模型。
阻尼力R的大小与运动质点的速度的大小成正比，方向相反，记作R=-C，C为粘性阻尼系数，其数值须由振动试验确定。
由于线性系统数学求解简单，在工程上常将其他形式的阻尼按照它们在一个周期内能量损耗相等的原则，折算成等效粘性阻尼。
物体的运动随着系统阻尼系数的大小而改变。
如在一个自由度的振动系统中，[973-01],称临界阻尼系数。
式中为质点的质量,K为弹簧的刚度。
实际的粘性阻尼系数C 与临界阻尼系数C之比称为阻尼比。
＜1称欠阻尼,物体作对数衰减振动；＞1称过阻尼，物体没有振动地缓慢返回平衡位置。
欠阻尼对系统的固有频率值影响甚小，但自由振动的振幅却衰减得很快。
阻尼还能使受迫振动的振幅在共振区附近显著下降，在远离共振区阻尼对振幅则影响不大。
新出现的大阻尼材料和挤压油膜轴承，有显著减振效果。
在某些情况下，粘性阻尼并不能充分反映机械系统中能量耗散的实际情况。
因此，在研究机械振动时，还建立有迟滞阻尼、比例阻尼和非线性阻尼等模型。
使机械振动能量耗散的作用，是组成机械系统的一个元素。
例如物体在其平衡位置附近作自由振动时，振幅总是随着时间增长而逐渐衰减，这表明有阻尼存在。
在机械系统中，多数阻尼以阻力形式出现，如两物体表面的摩擦阻力，加入润滑剂后油膜的粘性阻力，物体在流体中运动受到的介质阻力等。
此外还有振荡电路中的电阻、材料和结构的内阻引起的结构阻尼等。
在机械系统中，线性粘性阻尼是最常用的一种阻尼模型。
阻尼力R的大小与运动质点的速度的大小成正比，方向相反，记作R=-C，C为粘性阻尼系数，其数值须由振动试验确定。
1、隔振理论的要素及隔振设计方法
采用隔振技术控制振动的传递是消除振动危害的重要途径。
隔振分类1、主动隔振对于本身是振源的设备，为了减少它对周围的影响，使用隔振器将它与基础隔离开来，减少设备传到基础的力称为主动隔振，也称为积极隔振。
2、被动隔振对于允许振幅很小，需要保护的设备，为了减少周围振动对它的影响，使用隔振器将它与基础隔离开来，减少基础传到设备的振动称为被动隔振，也称消极隔振。
隔振理论的基本要素1、质量m(Kg)指作用在弹性元件上的力，也称需要隔离构件(设备装置)负载的重量。
2、弹性元件的静刚度K(N/mm)在静态下作用在弹性元件上的力的增量T与相应位移的增量§之比称为刚度K=T(N)/6(m)。
如果有多个弹性元件，隔振器安装在隔振装置下,其弹性元件的总刚度计算方法如下：如有静刚度分别为K1、K2、K3・・・Kn个弹性元件并联安装在装置下其总刚度K=K1+K2+K3+・・・+Kn。
如有静刚度分别为K1、K2、K3・・・Kn个弹性元件串联安装在装置下其总刚度1/K二(1/K1)+(1/K2)+(1/K3)+(…)+(1/Kn)。
3、弹性元件的动刚度Kd。
对于橡胶隔振器，它的动刚度值与隔振器橡胶硬度的高低，使用橡胶的品种有关，一般的计算方法是该隔振器的静刚度乘以动态系数d,动态系数d按以下选取：当橡胶为天然胶，硬度值Hs=40-60，d=1.2-1.6当橡胶为丁腈胶，硬度值Hs=55-70，d=1.5-2.5当橡胶为氯丁胶，硬度值Hs=30-70，d=1.4-2.8d的数值随频率、振幅、硬度与承载方式而异，很难获得正确数值，通常只考虑橡胶硬度Hs=40°-70°。
按上述围选取，Hs小时取下限，否则相反。
4、激振圆频率3(rad/s)当被隔离的设备(装置)在激振力的作用下作简谐运动所产生的频率，激振力可视为发动机或电动机的常用轴速n其激振圆频率的计算公式为3二(n/60)X2nn—发动机(电动机)转速n转/分5、固有圆频率3n(rad/s)质量m的物体作简谐运动的圆频率3n称固有圆频率，其与弹性元件(隔振器)刚度K的关系可由下式计算：3n(rad/s)=VK(N/mm)=m(Kg)6、振幅A(cm)当物体在激振力的作用下作简谐振动，其振动的峰值称为振幅，振幅的大小按以下公式计算：A=V=3V—振动速度cm/s3—激振圆频率，3=2nn=60(rad/s)7、隔振系数n（绝对传递系数）隔振系数指传到基础上的力F与激振力F之比，它是隔振设计中一个主要要TO素，隔振系数按不同的隔振类型分别选取，一般选择围0.25-0.01，最正确选择围为0.11-0.04。
振动习题完整版本
机械振动习题集同济大学机械设计研究所2004．91_简谐运动及其运算1-1 求下列简谐函数的单边复振幅和双边复振幅(1) x 2sin( t )(2) x 4 cos(10 t ) ( 3) x 3 cos(2 t 45 )341-2 通过简谐函数的复数表示，求下列简谐函数之和。
(1)x12sin( t 3)x23sin( t3)(2)x15sin 10 tx 24 cos(10 t4)(3) x 1 4 sin(2 t 30 ) x 2 5 sin( 2 t 60 )x 3 3cos(2 t 45 )x 47cos(2 t38 )x 5 2 cos(2 t 72 )答案：(1) x 124.359 cos( t 6.6)(2) x 12 3.566 cos(10 t 47.52 )(3) x 12345 14.776 cos(2 t9.22 )1-3试计算题 1中 x(t)的一阶对数和二阶导数对应的复振幅，并给出它们的时间历程。
1-4 设 x(t)、 f(t) 为同频简谐函数，并且满足 ax bx cx f(t) 。
试计算下列问题 (1)已知 a 1.5,b 6,c 25,x(t) 10 sin(12 37 ) ，求 f(t)(2)已知 a 3,b 7,c 30, f (t) 25 sin(7 64 )，求 x(t)1-5 简述同向异频简谐振动在不同频率和幅值下合成的不同特点。
1-6 利用“振动计算实用工具” ，通过变换频率和相位总结垂直方向振动合成的特点。
2_单自由度系统振动2-1 请解释有阻尼衰减振动时的固有圆频率d为什么总比自由振动时的固有圆频率n小？答案：因为 d 1 2 n ， <12-2 在欠阻尼自由振动中，把 改成 0.9 的时候，有人说曲线不过 X 轴了，这种说法正确么，请说明理由？答案： <1 为小阻尼的衰减振动，当然过 X 轴2-3 在单自由度自由振动时候，给定自由振动时的固有圆频率n ,阻尼系数 ,初始位移 x 0,以及初始速度 v 0 ,利用本计算工具 ,请计算有阻尼衰减振动时的固有圆频率d .答案：如n =3rad/s, =0.01, x 0 =-1, v 0=0;则 d =2.9985rad/s 2-4 如图 2-1 所示，一小车(重 P )自高 h 处沿斜面滑下，与缓冲器相撞后，随同缓冲器一 起作自由振动。
弹簧质量阻尼系统模型
自动控制原理综合训练项目题目：关于MSD系统控制的设计目录1设计任务及要求分析 (3)1.1初始条件 (3)1.2要求完成的任务 (3)1.3任务分析 (4)2系统分析及传递函数求解 (4)2.1系统受力分析 (4)2.2 传递函数求解 (10)2.3系统开环传递函数的求解 (10)3.用MATLAB对系统作开环频域分析 (11)3.1开环系统波特图 (11)3.2开环系统奈奎斯特图及稳定性判断 (13)4.系统开环频率特性各项指标的计算 (16)总结 (18)参考文献 (19)弹簧-质量-阻尼器系统建模与频率特性分析1设计任务及要求分析1.1初始条件已知机械系统如图。
x图1.1 机械系统图1.2要求完成的任务（1）推导传递函数)(s/)sX，(Ps(/)(sXY，)（2） 给定m N k m N k m s N b g m /5,/8,/6.0,2.0212==•==，以p 为输入)(t u（3） 用Matlab 画出开环系统的波特图和奈奎斯特图，并用奈奎斯特判据分析系统的稳定性。
（4） 求出开环系统的截止频率、相角裕度和幅值裕度。
（5） 对上述任务写出完整的课程设计说明书，说明书中必须进行原理分析，写清楚分析计算的过程及其比较分析的结果，并包含Matlab 源程序或Simulink 仿真模型，说明书的格式按照教务处标准书写。
1.3任务分析由初始条件和要求完成的主要任务，首先对给出的机械系统进行受力分析，列出相关的微分方程，对微分方程做拉普拉斯变换，将初始条件中给定的数据代入，即可得出)(/)(s X s Y ，)(/)(s P s X 两个传递函数。
由于本系统是一个单位负反馈系统，故求出的传递函数即为开环传函。
后在MATLAB 中画出开环波特图和奈奎斯特图，由波特图分析系统的频率特性，并根据奈奎斯特判据判断闭环系统位于右半平面的极点数，由此可以分析出系统的稳定性。
最后再计算出系统的截止频率、相角裕度和幅值裕度，并进一步分析其稳定性能。
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2.4 有阻尼系统的衰减振动
阻尼对振幅的影响
振幅减缩率的自然对数称为对数减缩率或对数减幅
系数，以d 表示
d ln ezpnt1
ln ezpn (t1 Td )
ln ezpnTd
zpnTd
nTd
d 2πz 1z 2
d 2π z
Td 2 π pn 1z 2
例 在欠阻尼（z <1）的系统中，
两振幅之比为 Ai enTd
Ai1
称为振幅减缩率或减幅系数。如仍以z =0.05为例，算
得 enTd 1.37 ,物体每振动一次，振幅就减少27%。 由此可见 ，在欠阻尼情况下，周期的变化虽然微小， 但振幅的衰减却非常显著 ，它是按几何级数衰减的。
Mechanical and Structural Vibration
2.4 有阻尼系统的衰减振动
衰减振动:物块在平衡位置附近作具有振动性质的往复 运动，但它的振幅不是常数，随时间的推延而衰减。 有阻尼的自由振动视为准周期振动。
x Aent sin( pdt )
Mechanical and Structural Vibration
2.4 有阻尼系统的衰减振动
cc 2nm 2 pnm 2 km
cc只取决于系统本身的质量与弹性常量。由
c 2nm n z
cc 2 pnm pn
z 阻尼系数与临界阻尼系数的比值，是z 称为阻尼比的原因。
Mechanical and Structural Vibration
2.4 有阻尼系统的衰减振动
具有临界阻尼的系统与大阻尼系统比较，它为最小阻尼系 统。因此质量m将以最短的时间回到静平衡位置，并不作 振动运动，临界阻尼的这种性质有实际意义，例如大炮发 射炮弹时要出现反弹，通常要求发射后以最短时间回到原 来的静平衡位置，而且不产生振动，这样才能既快又准确 地发射第二发炮弹。显然，只有临界阻尼器才能满足这种 要求。
mx 4cx 4kx 0
Mechanical and Structural Vibration
2.4 有阻尼系统的衰减振动
mx 4cx 4kx 0
由已知条件和定义，得： A1 e2nTd
A3
取对数得，
ln
A1 A3
2nTd
＝2d
d 1 ln A1 1 ln 10 1.151, A1 ed 3.162
在振幅衰减曲线的包络线上，已测
得相隔N个周期的两点P、R的幅值
之比xP/xR=r，如图所示，试确定此 振动系统的阻尼比z。
Mechanical and Structural Vibration
2.4 有阻尼系统的衰减振动
解：振动衰减曲线的包络线 方程为 x Aent
设P、R两点在包络线上的幅值
为xP、xR ，则有
Mechanical and Structural Vibration
2.4 有阻尼系统的衰减振动
阻尼对自由振动的影响
d2 x dt2
2n
dx dt
pn2 x
0
运动微分方程
r1 n r2 n
n2 pn2 n2 pn2
特征根
特征根与运动微分方程的通解的形式与阻尼有关
强阻尼（n>pn）情形
2 A2 2
A2
n
g,
d st
z
2
1 1 2π
2
,
Td
n
2π
1z 2
0.790s
d
d
n 1.456 Td
1/ s,
cc 2mn 39.63 kN s/m
Mechanical and Structural Vibration
2.4 有阻尼系统的衰减振动
例题
一长度为l、质量为m的均质刚性杆铰接于O点并以弹 簧和粘性阻尼器支承，如图所示。写出运动微分方程， 并求临界阻尼系数和阻尼固有频率的表达式。
工程振动与测试
第2章 单自由度系统的振动 主讲 贾启芬
Mechanical and Structural Vibration
第2章单自由度系统的振动
目录
2.1 无阻尼系统的自由振动 2.2 计算固有频率的能量法 2.3 瑞利法 2.4 有阻尼系统的衰减振动 2.5 简谐激励作用下的受迫振动 2.6 周期激励作用下的受迫振动 2.7 任意激励作用下的受迫振动 2.8 响应谱
xP e nNTd r
xR
2π Nz ln r 1z 2
当z 2<<1时
2π Nz ln r
z
ln 2π
r
N
此式对估算小阻尼系统的z值是很方便的。例如，经过10个周
期测得P、R两点的幅值比r=2，将N=10、r=2代入上式，得
到该系统的阻尼比
z
ln 2 20π
0.011
Mechanical and Structural Vibration
其中C1和C2为积分常数，由物块运动的起始条件确定。
设t = 0时， x x0，v v0 可解
C1=x0
C2
nx0 pd
v0
其中 j 1，pd pn2 n2。
Mechanical and Structural Vibration
2.4 有阻尼系统的衰减振动
另一种形式 x Aent sin( pd t )
2.4 有阻尼系统的衰减振动
质量为m = 2450kg的汽车，压在4个车轮弹簧上，可使每个
弹簧压缩dst = 150mm，当每个弹簧都并联上一个粘性阻尼器 后，振幅衰减为A1/A3 = 10；求1）振幅减缩率 和对数减缩率 d ；2）衰减系数n = c/2m和衰减振动的周期Td；3）临界阻尼
系数cc。 解：画车身铅垂振动的受力图， 坐标x的原点为车身的静平衡位置 ，车身的运动微分方程为
解：图为系统的静平衡位置，画受力图。由动量矩定理，列系统的运动
微分方程为：
I0 cl 2 ka 2 0
YO
XO
O
FK FCBiblioteka QI01 3
ml 2
&& c & 3ka2 0 m ml 2
pn2
3ka2 ml 2
, 2n
3c m
mg
当n＝pn时，c＝cC
cC
2nm 3
2 pnm 3
2a l
mk 3
认为有阻尼自由振动的周期与无阻尼自由振动的周期相等。
Mechanical and Structural Vibration
2.4 有阻尼系统的衰减振动
阻尼对振幅的影响
设衰减振动经过一周期Td，在同方向的相邻两个振 幅分别为Ai和Ai+1，即
Ai Aenti sin( pdti ) Ai1 Aen(ti Td ) sin[ pd (ti Td ) ]
Mechanical and Structural Vibration
2.4 有阻尼系统的衰减振动
引入阻尼比 z n
x
pn
强阻尼(z>1)情形
r －zpn pn z－1
z＝1 z>1
x C1e-n1t C2e-n2t
O
t
临界阻尼(z＝1)情形
r1 r2 n
x e nt (C1 C2t)
物体运动沿润滑表面的阻力与速度的关系
dx Fc c d t
c－粘性阻尼系数或粘阻系数。它与物体的形状、尺寸
及介质的性质有关，单位是牛顿·米/秒(N·s/m)。
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2.4 有阻尼系统的衰减振动
运动微分方程
图示为一有阻尼的弹簧-质量系统的简化模
r n n2 pn2
x ent (C1e
C e n2 pn2t
2
) n2 pn2t
临界阻尼(n = pn )情形
r1 r2 n
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x e nt (C1 C2t)
2.4 有阻尼系统的衰减振动
临界情形是从衰减振动过渡到非周期运动的临界状 态。这时系统的阻尼系数是表征运动规律在性质上 发生变化的重要临界值。 设cc为临界阻尼系数，由于z =n/pn =1，即
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第2章单自由度系统的振动
2.4 有阻尼系统的衰减振动
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2.4 有阻尼系统的衰减振动
阻尼－系统中存在的各种阻力：干摩擦力，润滑 表面阻力，液体或气体等介质的阻力、材料内部的 阻力。
阻尼对周期的影响
欠阻尼自由振动的周期Td ：物体由最大偏离位置起经过一次 振动循环又到达另一最大偏离位置所经过的时间。
Td
2π pd
2π pn
1 1 ( n )2
pn
T=2p/pn为无阻尼自由振动的周期。
T
1z 2
由于阻尼的存在，使衰减振动的周期加大。通常z 很小，阻
尼对周期的影响不大。例如，当z=0.05时，Td=1.00125T，周 期 Td 仅增加了 0.125%。当材料的阻尼比 z<<1时，可近似
振幅
初 相
A
x02
(v0
nx0 pd2
)2
位 角
tan x0 pd
v0 nx0
Ae－n t－ 阻尼振动振幅；
这种情形下，自由振动不是等幅简谐振动，是按负指数衰减的
衰减运动。衰减运动的频率为 p d，衰减速度取决于 zp n，二者分
别为本征值的虚部和实部。
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