2013-2014学年高中数学 2.1 曲线与方程知能演练理(含解析)新人教A版选修2-1

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2013年高考数学总复习2-1课后演练知能检测北师大版

x
11．若函数
f
(
x)
＝
ax＋
( b
a≠0)
，
f (2)
＝ 1，又方程
f ( x) ＝ x 有唯一解，求
f ( x) 的解析式．
2 解析：由 f (2) ＝ 1 得 2a＋b＝ 1，即 2a＋b＝ 2；
x
1
由 f ( x) ＝ x 得 ax＋ b＝x，变形得 x ax＋ b－1 ＝ 0，
1－ b 解此方程得 x＝ 0 或 x＝ a ，
1－ b 又因方程有唯一解，∴ a ＝ 0，
1
2x
解得 b＝ 1，代入 2a＋b＝ 2 得 a＝ 2，∴ f ( x) ＝ x＋2.
12．动点 P从边长为 1 的正方形 ABCD的顶点 B 出发顺次经过 C、D再到 A停止．设 x 表
示 P 点的行程， y 表示 PA的长，求 y 关于 x 的函数．解析：如图，当 P在 BC边上运动时， PA＝ 1＋ x2，当 P在 CD边上运动时 PA＝ 1＋
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B．－ 2 D． 2
-1-
3
A．y＝
| 2
x－1|
(0 ≤ x≤2)
33 B．y＝ 2－ 2| x－ 1| (0 ≤ x≤2)
3 C．y＝ 2－ | x－ 1| (0 ≤ x≤2)
D．y＝ 1－ | x－ 1| (0 ≤ x≤2) 33
解析：当 x∈[0,1] 时， y＝ 2－2(1 － x) ；
-3-
10．已知 f (1 － cos x) ＝ sin 2x，求 f ( x) ．解析：∵ f (1 － cos x) ＝ sin 2x ＝1－ cos 2x，
令 1－ cos x＝ t ，则 cos x＝ 1－t .

高中数学 2.3.1 双曲线及其标准方程知能演练轻松闯关

【优化方案】2013-2014学年高中数学 2.3.1 双曲线及其标准方程知能演练轻松闯关理新人教A 版选修2-11．椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a －y 22＝1有相同的焦点，则a 的值是( ) A.12B ．1或－2C ．1或12D ．1 解析：选D.由于a ＞0,0＜a 2＜4，且4－a 2＝a ＋2，所以可解得a ＝1，故选D.2．若方程x 210－k ＋y 25－k＝1表示双曲线，则k 的取值范围是( ) A ．(5,10) B ．(－∞，5)C ．(10，＋∞)D ．(－∞，5)∪(10，＋∞)解析：选A.由题意得(10－k )(5－k )<0，解得5<k <10.3．已知A (0，－5)，B (0,5)，|P A |－|PB |＝2a ，当a ＝3或5时，P 点的轨迹为( )A ．双曲线和一条直线B ．双曲线和两条直线C ．双曲线的一支和一条直线D ．双曲线的一支和一条射线解析：选D.当a ＝3时，2a ＝6，此时|AB |＝10，∴P 的轨迹为双曲线的一支．当a ＝5时，2a ＝10，此时|AB |＝10，∴P 的轨迹为射线．4．以椭圆x 23＋y 24＝1的焦点为顶点，以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线的方程是( )A.x 23－y 2＝1 B ．y 2－x 23＝1C.x 23－y 24＝1D.y 23－x 24＝1 解析：选B.椭圆x 23＋y 24＝1的焦点为F 1(0,1)，F 2(0，－1)，长轴的端点A 1(0,2)，A 2(0，－2)，所以对于所求双曲线a ＝1，c ＝2，b 2＝3，焦点在y 轴上，双曲线的方程为y 2－x 23＝1.5．双曲线x 216－y 29＝1上一点P 到点(5,0)的距离为15，那么该点到(－5,0)的距离为( ) A ．7 B ．23C ．5或25D ．7或23解析：选D.由题知a 2＝16，b 2＝9，∴c 2＝25.又焦点在x 轴上，∴焦点为F 1(－5,0)，F 2(5,0)，||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝8，||PF 1|－15|＝8，∴|PF 1|－15＝8或|PF 1|－15＝－8，∴|PF 1|＝23或|PF 1|＝7.故选D.6．(2011·高考上海卷)设m 是常数，若点F (0,5)是双曲线y 2m －x 29＝1的一个焦点，则m ＝__________.解析：由已知条件知m ＋9＝52，所以m ＝16.答案：167．已知双曲线的焦点分别为(0，－2)、(0,2)，且经过点P (－3,2)，则双曲线的标准方程是________．解析：由题知c ＝2，又点P 到(0，－2)和(0,2)的距离之差的绝对值为2a ，2a ＝|(－3－0)2＋[2－(－2)]2－(－3－0)2＋(2－2)2|＝2，∴a ＝1，∴b 2＝c 2－a 2＝3，又焦点在y 轴上， ∴双曲线的方程为y 2－x 23＝1. 答案：y 2－x 23＝1 8．已知双曲线x 29－y 216＝1上一点M 的横坐标为5，则点M 到左焦点的距离是__________．解析：由于双曲线x 29－y 216＝1的右焦点为F (5,0)，将x M ＝5，代入双曲线方程可得|y M |＝163，即为点M 到右焦点的距离，由双曲线的定义知M 到左焦点的距离为163＋2×3＝343. 答案：3439．根据下列条件，求双曲线的标准方程：(1)c ＝6，经过点(－5,2)，且焦点在x 轴上；(2)已知双曲线两个焦点的坐标为F 1(0，－5)，F 2(0,5)，双曲线上一点P 到F 1，F 2的距离之差的绝对值等于6.解：(1)∵c ＝6，且焦点在x 轴上，故可设标准方程为x 2a 2－y 26－a 2＝1(a 2＜6)． ∵双曲线经过点(－5,2)，∴25a 2－46－a 2＝1，解得a 2＝5或a 2＝30(舍去)．∴所求双曲线的标准方程为x 25－y 24＝1. (2)∵双曲线的焦点在y 轴上，∴设它的标准方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)． ∵2a ＝6,2c ＝10，∴a ＝3，c ＝5.∴b 2＝52－32＝16.∴所求双曲线标准方程为y 29－x 216＝1. 10．已知圆C 方程为(x －3)2＋y 2＝4，定点A (－3,0)，求过定点A 且和圆C 外切的动圆圆心P 的轨迹方程．解：∵圆P 与圆C 外切，∴|PC |＝|P A |＋2，即|PC |－|P A |＝2，∵0<|PC |－|P A |<|AC |＝6，∴由双曲线定义，点P 的轨迹是以A ，C 为焦点的双曲线的左支，其中a ＝1，c ＝3，∴b 2＝c 2－a 2＝9－1＝8，故所求轨迹方程为x 2－y 28＝1(x <0)．1．已知双曲线x 26－y 23＝1的焦点为F 1，F 2，点M 在双曲线上，且MF 1⊥x 轴，则F 1到直线F 2M 的距离为( )A.365B.566C.65D.56解析：选C.不妨设点F 1(－3,0)，容易计算得出|MF 1|＝36＝62， |MF 2|－|MF 1|＝2 6.解得|MF 2|＝526. 而|F 1F 2|＝6，在直角三角形MF 1F 2中，由12|MF 1|·|F 1F 2|＝12|MF 2|·d ，求得F 1到直线F 2M 的距离d 为65. 2．已知双曲线C ：x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 为C 右支上的一点，且|PF 2|＝|F 1F 2|，则△PF 1F 2的面积等于__________．解析：依题意得|PF 2|＝|F 1F 2|＝10，由双曲线的定义得|PF 1|－|PF 2|＝6，|PF 1|＝16，因此△PF 1F 2的面积等于12×16× 102－⎝⎛⎭⎫1622＝48. 答案：483．焦点在x 轴上的双曲线过点P (42，－3)，且点Q (0,5)与两焦点的连线互相垂直，求此双曲线的标准方程．解：因为双曲线焦点在x 轴上，所以设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，F 1(－c,0)，F 2(c,0)．因为双曲线过点P (42，－3)，所以32a 2－9b2＝1.① 又因为点Q (0,5)与两焦点的连线互相垂直，所以QF 1→·QF 2→＝0，即－c 2＋25＝0.解得c 2＝25.②又c 2＝a 2＋b 2，③所以由①②③可解得a 2＝16或a 2＝50(舍去)．所以b 2＝9，所以所求的双曲线的标准方程是x 216－y 29＝1.4．已知双曲线x 216－y 24＝1的两焦点为F 1、F 2.(1)若点M 在双曲线上，且MF 1→·MF 2→＝0，求M 点到x 轴的距离；(2)若双曲线C 与已知双曲线有相同焦点，且过点(32，2)，求双曲线C 的方程．解：(1)如图所示，不妨设M 在双曲线的右支上，M 点到x 轴的距离为h ，MF 1→·MF 2→＝0，则MF 1⊥MF 2，设|MF 1|＝m ，|MF 2|＝n ，由双曲线定义知，m －n ＝2a ＝8，①又m 2＋n 2＝(2c )2＝80，②由①②得m ·n ＝8，∴12mn ＝4＝12|F 1F 2|·h ，∴h ＝255.(2)设所求双曲线C 的方程为x 216－λ－y 24＋λ＝1(－4＜λ＜16)，由于双曲线C 过点(32，2)，所以1816－λ－44＋λ＝1，解得λ＝4或λ＝－14(舍去)． ∴所求双曲线C 的方程为x 212－y 28＝1.。

人教新课标版数学高二选修2-1讲义 2.1曲线与方程

2.1 曲线与方程2.1.1 曲线与方程2.1.2 求曲线的方程1.结合已学过的曲线与方程的实例，了解曲线与方程的对应关系.(了解)2.理解“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念.(重点)3.通过具体的实例掌握求曲线方程的一般步骤，会求曲线的方程.(难点)[基础·初探]教材整理1曲线的方程与方程的曲线阅读教材P34～P35例1以上部分内容，完成下列问题.一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是____________；(2)以这个方程的解为坐标的点都是__________，那么，这个方程叫做________，这条曲线叫做方程的曲线.【答案】这个方程的解曲线上的点曲线的方程设方程f(x，y)＝0的解集非空，如果命题“坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上”是不正确的，则下列命题正确的是()A.坐标满足方程f(x，y)＝0的点都不在曲线C上B.曲线C上的点的坐标都不满足方程f(x，y)＝0C.坐标满足方程f(x，y)＝0的点有些在曲线C上，有些不在曲线C上D.一定有不在曲线C上的点，其坐标满足f(x，y)＝0【解析】本题考查命题形式的等价转换，所给命题不正确，即“坐标满足方程f(x，y)＝0的点不都在曲线C上”是正确的.“不都在”包括“都不在”和“有的在，有的不在”两种情况，故选项A、C错，选项B显然错.【答案】 D教材整理2求曲线方程的步骤阅读教材P36“例3”以上部分，完成下列问题.已知M(－2,0)，N(2,0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是____________.【解析】设P(x，y)，∵△MPN为直角三角形，∴MP2＋NP2＝MN2，∴(x＋2)2＋y2＋(x－2)2＋y2＝16，即x2＋y2＝4.∵M，N，P不共线，∴x≠±2，∴轨迹方程为x2＋y2＝4(x≠±2).【答案】x2＋y2＝4(x≠±2)[小组合作型]对曲线的方程和方程的曲线的定义的理解(1)过点A(2,0)平行于y轴的直线与方程|x|＝2之间的关系；(2)到两坐标轴的距离的积等于5的点与方程xy＝5之间的关系；(3)第二、四象限角平分线上的点与方程x＋y＝0之间的关系.【导学号：37792038】【精彩点拨】曲线上点的坐标都是方程的解吗？以方程的解为坐标的点是否都在曲线上？【自主解答】(1)过点A(2,0)平行于y轴的直线上的点的坐标都是方程|x|＝2的解，但以方程|x|＝2的解为坐标的点不一定都在过点A(2,0)且平行于y轴的直线上.因此|x|＝2不是过点A(2,0)平行于y轴的直线的方程.(2)到两坐标轴的距离的积等于5的点的坐标不一定满足方程xy＝5，但以方程xy＝5的解为坐标的点与两坐标轴的距离之积一定等于5.因此到两坐标轴的距离的积等于5的点的轨迹方程不是xy＝5.(3)第二、四象限角平分线上的点的坐标都满足x＋y＝0，反之，以方程x＋y ＝0的解为坐标的点都在第二、四象限角平分线上.因此第二、四象限角平分线上的点的轨迹方程是x＋y＝0.1.分析此类问题要严格按照曲线的方程与方程的曲线的定义.2.定义中有两个条件，这两个条件必须同时满足，缺一不可.条件(1)保证了曲线上所有的点都适合条件f (x ，y )＝0；条件(2)保证了适合条件的所有点都在曲线上，前者是说这样的轨迹具有纯粹性，后者是说轨迹具有完备性.两个条件同时成立说明曲线上符合条件的点既不多也不少，才能保证曲线与方程间的相互转化.[再练一题]1.已知方程x 2＋(y －1)2＝10.(1)判断点P (1，－2)，Q (2，3)是否在此方程表示的曲线上；(2)若点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2，－m 在此方程表示的曲线上，求实数m 的值. 【解】 (1)因为12＋(－2－1)2＝10，(2)2＋(3－1)2＝6≠10，所以点P (1，－2)在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上，点Q (2，3)不在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上.(2)因为点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2，－m 在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上，所以x ＝m 2，y ＝－m 适合方程x 2＋(y －1)2＝10，即⎝ ⎛⎭⎪⎫m 22＋(－m －1)2＝10. 解得m ＝2或m ＝－185.故实数m 的值为2或－185.由方程研究曲线(1)(x ＋y －1)x －1＝0；(2)2x 2＋y 2－4x ＋2y ＋3＝0；(3)(x －2)2＋y 2－4＝0.【精彩点拨】 (1)方程(x ＋y －1)x －1＝0中“x ＋y －1”与“x －1”两式相乘为0可作怎样的等价变形？(2)在研究形如Ax 2＋By 2＋Cx ＋Dy ＋E ＝0的方程时常采用什么方法？(3)由两个非负数的和为零，我们会想到什么？【自主解答】 (1)由方程(x ＋y －1)x －1＝0可得 ⎩⎪⎨⎪⎧ x －1≥0，x ＋y －1＝0或x －1＝0，即x ＋y －1＝0(x ≥1)或x ＝1.故方程表示一条射线x ＋y －1＝0(x ≥1)和一条直线x ＝1.(2)对方程左边配方得2(x －1)2＋(y ＋1)2＝0.∵2(x －1)2≥0，(y ＋1)2≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2(x －1)2＝0，(y ＋1)2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1. 从而方程表示的图形是一个点(1，－1).(3)由(x －2)2＋y 2－4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x －2＝0，y 2－4＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－2.因此，原方程表示两个点(2,2)和(2，－2).1.判断方程表示什么曲线，就要把方程进行同解变形，常用的方法有：配方法、因式分解或化为我们熟悉的曲线方程的形式，然后根据方程、等式的性质作出准确判定.2.方程变形前后应保持等价，否则，变形后的方程表示的曲线不是原方程代表的曲线，另外，当方程中含有绝对值时，常借助分类讨论的思想.[再练一题]2.方程xy2－x2y＝2x所表示的曲线()A.关于x轴对称B.关于y轴对称C.关于原点对称D.关于x－y＝0对称【解析】同时以－x代替x，以－y代替y，方程不变，所以方程xy2－x2y＝2x所表示的曲线关于原点对称.【答案】 C[探究共研型]求曲线的方程探究1【提示】建立坐标系的基本原则：(1)让尽量多的点落在坐标轴上；(2)尽可能地利用图形的对称性，使对称轴为坐标轴.建立适当的坐标系是求曲线方程的首要一步，应充分利用图形的几何性质，如中心对称图形，可利用对称中心为原点建系；轴对称图形以对称轴为坐标轴建系；条件中有直角，可将两直角边作为坐标轴建系等.探究2求曲线方程时，有些点的条件比较明显，也有些点的条件要通过变形或转化才能看清，有些点的运动依赖于另外的动点，请你归纳一下求曲线方程的常用方法？【提示】一般有三种方法：一直接法；二定义法；三相关点法，又称为代入法.在解题中，我们可以根据实际题目选择最合适的方法.求解曲线方程过程中，要特别注意题目内在的限制条件.在Rt△ABC中，斜边长是定长2a(a＞0)，求直角顶点C的轨迹方程.【导学号：37792039】【精彩点拨】(1)如何建立坐标系？(2)根据题意列出怎样的等量关系？(3)化简出的方程是否为所求轨迹方程？【自主解答】取AB边所在的直线为x轴，AB的中点O为坐标原点，过O与AB垂直的直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，则A(－a,0)，B(a,0)，设动点C为(x，y).由于|AC|2＋|BC|2＝|AB|2，所以((x＋a)2＋y2)2＋((x－a)2＋y2)2＝4a2，整理得x2＋y2＝a2.由于当x＝±a时，点C与A或B重合，故x≠±a.所以所求的点C的轨迹方程为x2＋y2＝a2(x≠±a).1.求曲线方程的一般步骤(1)建系设点；(2)写几何点集；(3)翻译列式；(4)化简方程；(5)查漏排杂：即证明以化简后方程的解为坐标的点都是曲线上的点.2.一般情况下，化简前后方程的解集是相同的，步骤(5)可以省略不写，如有特殊情况，可适当予以说明，另外，根据情况，也可以省略步骤(2)，直接列出曲线方程.3.没有确定的坐标系时，要求方程首先必须建立适当的坐标系，由于建立的坐标系不同，同一曲线在坐标系的位置不同，其对应的方程也不同，因此要建立适当的坐标系.[再练一题]3.已知一曲线在x轴上方，它上面的每一点到点A(0,2)的距离减去它到x轴的距离的差都是2，求这条曲线的方程.【解】设曲线上任一点的坐标为M(x，y)，作MB⊥x轴，B为垂足，则点M属于集合P＝{M||MA|－|MB|＝2}.由距离公式，点M适合的条件可表示为x2＋(y－2)2－y＝2.化简得x2＝8y.∵曲线在x轴上方，∴y>0.∴(0,0)是这个方程的解，但不属于已知曲线.∴所求曲线的方程为x2＝8y(y≠0).1.已知直线l：x＋y－3＝0及曲线C：(x－3)2＋(y－2)2＝2，则点M(2,1)()A.在直线l上，但不在曲线C上B.在直线l上，也在曲线C上C.不在直线l上，也不在曲线C上D.不在直线l上，但在曲线C上【解析】将M(2,1)代入直线l和曲线C的方程，由于2＋1－3＝0，(2－3)2＋(1－2)2＝2，所以点M既在直线l上，又在曲线C上.【答案】 B2.在直角坐标系中，方程|x|·y＝1的曲线是()【解析】当x ＞0时，方程为xy ＝1，∴y ＞0，故在第一象限有一支图象；当x ＜0时，方程为－xy ＝1，∴y ＞0，故在第二象限有一支图象.【答案】 C3.已知两点M (－2,0)，N (2,0)，点P 满足PM →·PN →＝4，则点P 的轨迹方程为________.【解析】设点P 的坐标为P (x ，y )，由PM →·PN →＝(－2－x ，－y )·(2－x ，－y )＝x 2－4＋y 2＝4，得x 2＋y 2＝8，则点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝8.【答案】 x 2＋y 2＝84.设圆C ：(x －1)2＋y 2＝1，过原点O 作圆的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程.【导学号：37792040】【解】法一：如图所示，设OQ 为过O 的一条弦，P (x ，y )为其中点，连接CP ，则CP ⊥OQ .OC 的中点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，连接MP ，则|MP |＝12|OC |＝12，得方程⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14. 由圆的范围，知0<x ≤1.即所求弦中点的轨迹方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14，0<x ≤1.法二：如图所示，由垂径定理，知∠OPC ＝90°，所以动点P 在以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0为圆心，OC 为直径的圆上. 由圆的方程，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14，由圆的范围，知0<x ≤1.即所求弦中点的轨迹方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14，0<x ≤1.。

高中数学人教A版选修2-1数学：2.1.1《曲线和方程》测试(新人教A版选修2-1).docx

曲线和方程学习目标：1、了解平面直角坐标中“曲线的方程”和“方程的曲线”含义.2、会判定一个点是否在已知曲线上.一、知识回顾并引题：二、自学课本7573-P 并记下重点，积极思考问题：三、自我检测：1、到两坐标轴距离相等的点组成的直线方程是0=-y x 吗？2、已知等腰三角形三个顶点的坐标是)3,0(A ，)0,2(-B ，)0,2(C 。

中线O AO (为原点）的方程是0=x 吗？为什么？3、已知方程2522=+by ax 的曲线经过点)35,0(A 和点)1,1(B ，求a 、b 的值。

四、提问、答疑，共同解决：五、例题分析：1、若曲线C 上的点的坐标满足方程(,)0f x y =，则下列说法正确的是（）A.曲线C 的方程是(,)0f x y =B.方程(,)0f x y =的曲线是CC.坐标不满足方程(,)0f x y =的点都不在曲线C 上D. 坐标满足方程(,)0f x y =的点都在曲线C 上2、已知00(,)P x y 在曲线(,)0f x y =上，P 也在曲线(,)0g x y =上，求证：点P 在曲线(,)(,)0f x y g x y λ+=上（R λ∈）六、课后作业：1、点)2,1(-A ，)3,2(-B ，)10,3(C 是否在方程0122=++-y xy x 的图形上？2、解答下列问题，并说明理由：（1）点12(3,4),(2,3)P P -是否在方程2225x y +=所表示的曲线上；（2）已知方程 2225x y +=表示的曲线F 经过点(2,)A m ，求m 的值。

3、（1）求方程c bx ax y ++=2的曲线经过原点的充要条件是。

（2）求方程222)()(r b y a x =-+-的曲线经过原点的充要条件。

4、（1）已知：[0,2)απ∈，点(c o s ,s i n )P αα在曲线22(2)3x y -+=上，则α的值是；（2）方程2222(4)(4)0x y -+-=表示的图形是。

高中数学选修2-1曲线与方程例题解析

曲线与方程例题解析【例1】求到两不同定点距离之比为一常数λ（λ≠0）的动点的轨迹方程．【分析】因题没有直角坐标系，故需按建系、设点、列式、代换、化简、证明直接来求轨迹方程．【解】以两不同定点A ，B 所在的直线为x 轴，ＡＢ的中垂线为y 轴，建立平面直角坐标系．设Ｐ（x ，y ）是轨迹上任一点，A(－a ，0)，B(a ，0)，（a ＞０）．由题设得PB PA λ=，即()()2222y a x y a x +-=++λ，∴()()()021122222=++++-ax a y x λλ当1=λ时，方程x=0表示一条直线．当1≠λ时，方程为2222221211⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++λλλλa y a x ，表示一个圆．所以当1=λ时，点的轨迹是一条直线；当1≠λ时，点的轨迹是一个圆．【点评】题中没有坐标系，因此要根据条件建立坐标系，一般要利用题中的有关定点、定直线、和图形的对称性来建立．【例2】已知△ABC 的两个顶点坐标分别是A （－2，0）、B （0，－2），第三个顶点C 在曲线132-=x y 上移动，求△ABC 的重心轨迹方程．【分析】可设重心坐标为（x ，y ），顶点C 的坐标为（0x ，0y ），根据已知条件将0x 、0y 用x ，y 表示，再代人曲线132-=x y 的方程，求轨迹方程．【解】设C 点坐标为（0x ，0y ），△ABC 重心坐标为（x ，y ），依题意有 3020x x ++-=3200y y +-=解得 230+=x x 230+=y y因点C （x ．，0y ）在132-=x y 上移动，13200-=x y 所以()1233232-+=+x y ，整理得()191322+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+y x 为所求△ABC 重心轨迹方程．【点评】本题是用转移代人法求轨迹方程．若动点M 随着已知曲线上的动点()11,y x P 作有规律的运动，又可将点P 的坐标表示为()()y x g y y x f x ,,,11==，则需要将()()y x g y y x f x ,,,11==代入已知曲线的方程，整理便得所要求的轨迹方程．【例3】已知动圆过点相外切，求动圆圆心的轨迹方程．【分析】根据已知条件动圆与定圆相外切则两圆心之间的距离等于两圆的半径之和，又动圆过定点．根据双曲线的定义，可直接判断动圆圆心的轨迹是双曲线的一支，从而求得动圆圆心的轨迹方程．【解】因为所以定圆圆心为，半径为6设动圆圆心为，半径为r由双曲线定义，的轨迹是双曲线的一个分支．故所求轨迹方程为：【点评】由条件及圆锥曲线的定义能判断所求轨迹是什么曲线，再利用圆锥曲线的标准方程来求轨迹方程是一个简化的过程．【例4】已知点P(－3，0)，点A 在y 轴上，点Q 在x 轴的正半轴上，点M 在直线AQ 上，满足MQ AM AM PA 23,0-==⋅ （1）当点A 在y 轴上移动时，求动点M 的轨迹C 的方程；（2）设轨迹C 的准线为l ，焦点为F ，过F 作直线m 交轨迹C 于G ，H 两点，过点G 作平行于轨迹C 的对称轴的直线n ，且n l=E ，试问点E ，O ，H （O 为坐标原点）是否在同一条直线上？并说明理由．【分析】动点M 的轨迹是由点A 在y 轴上移动而得，因而用动点M 的坐标来表示点A 的坐标，再根据点A 满足MQ AM AM PA 23,0-==⋅求点M 的轨迹C 的方程．【解】（1）设点M 的坐标为(x ，y)，则由MQ AM 23-=得A(0，－2y )0=⋅AM PA 得(3，2y-))23,(yx ⋅=0⇒y 2=4x ∴所求动点M 的轨迹C 的方程：y 2=4x(2) 轨迹C 的焦点为F （1，0），准线为l ：x=－1，对称轴为x 轴，设直线m 的方程为x=ty+1，代入y 2=4x ，得y 2－4ty －4=0．设H 、G 的坐标分别为(121,4y y )，(222,4y y )，则y 1y 2=－4．∴n l=E(－1，y 2)∴,1(-=OE y 2)，),4(121y y OH =∵（－1·y 1）－（421y ·y 2）=－y 1－（421y y ）y 1=－y 1＋y 2=0，∴E ，O ，H 三点共线．【点评】本题是用向量的知识方法来处理求动点M 的轨迹C 的方程，并用向量的知识来证明E ，O ，H 三点共线．所以要求具有较强分析问题和处理问题的综合能力．【例5】过定点()0,3-M 作直线与椭圆13422=+y x 相交于Ａ、Ｂ两点，Ｏ为原点，求△ＡＯＢ面积的最大值．【分析】设过定点()0,3-M 作直线方程后，与椭圆13422=+y x 联立，写出△ＡＯＢ面积关于直线的斜率的函数解析式，利用基本不等式求解．【解】设直线ＡＢ的方程为()3+=x k y ，则由方程组()⎪⎩⎪⎨⎧=++=134322y x x k y 消去y ，得()().011238432222=-+++k x k xk()()22224339141k kk x x k AB B A +++=-+=．又点Ｏ到直线ＡＢ的距离213kk d +=，则.343)]3(3[343)3(33221222222=+++≤++==∆k k k k k k AB d S AOB当且仅当2233k k +=即26±=k 时，△ＡＯＢ面积的最大值的最大，其最大值为3．若直线ＡＢ与y 轴平行时，可求△ＡＯＢ面积为23．故△ＡＯＢ面积的最大值为3．【点评】求圆锥曲线内接几何图形面积的最值中，点到直线的距离，弦长公式等常常用到．【例6】对称轴平行于y 轴的抛物线，其顶点在直线x ＋y=1上，焦点在直线x －y=2上，且抛物线在x 轴上所截得的线段长为４．求抛物线的方程．【分析】由题中条件可知，所求抛物线的方程不是标准方程，开口可以向上也可以向下，因此需设求顶点的坐标及p 的值．【解】设抛物线的对称轴方程为x=a ，由于顶点．焦点在对称轴上，因此设其顶点()a a A -1,，焦点()2,-a a F ，其方程为()()[]()0122≠--=-p a y p a x ，其中()()32122-=---=a a a p． ∴2p=4(2a －3)，因此抛物线的方程可化为()()()a y a a x +--=-13242① 又抛物线在x 轴上所截得的线段长为４．设线段的两端点为()()0,,0,21x D x C 则421=-=x x CD令①中y=0得()()()a a a x +--=-13242，整理得012207222=-+--a a ax x∴()()()12207424422212212212-+--=-+=-=a a a x x x x x x整理得02522=+-a a ，解得2,21==a a 当2=a 时，所要求的抛物线的方程为()()1422+=-y x ；当21=a 时，所要求的抛物线的方程为⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-218212y x ．【点评】题中p 的正负与抛物线的开口方向一致，p 与常说具有几何意义的p 仅相差一个正负号，这样设方程统一而较简单．其顶点．焦点的设法注意到尽量减少未知量的个数；对弦长通常采用“设而不求”．“整体代入”．【例7】中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆，它的离心率为23，与直线x ＋y －1=0相交于两点Ｍ、Ｎ，且ＯＭ⊥ＯＮ．求椭圆的方程．【分析】若设()()2211,,,y x N y x M ，则由ＯＭ⊥ＯＮ可知02121=+y y x x ．而点Ｍ、Ｎ的坐标是直线x ＋y －1=0与椭圆方程组成方程组的解．【解】设中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆方程为)0(12222>>=+b a by a x ．∵离心率e=23∴a=2b ∴椭圆的方程可化为22244b y x =+设()()2211,,,y x N y x M ，由于点Ｍ、Ｎ都在直线x ＋y －1=0上，因此22111,1x y x y -=-=，21y y ＝()2121211)1)(1(x x x x x x ++-=-- ∵ＯＭ⊥ＯＮ， ∴12211-=⋅x y x y 即02121=+y y x x 即()0212121=++-x x x x将直线x ＋y －1=0与椭圆的方程22244b y x =+联立消取y ，得0448522=-+-b x x∵Ｍ、Ｎ是直线与椭圆的两交点∴5821=+x x ，544221b x x -=代入()0212121=++-x x x x 得054425812=-+-b 解得852=b ，∴252=a ∴所要求的椭圆方程为1852522=+y x 【点评】由e=23得a=2b 将椭圆方程化成22244b y x =+，体现了“尽量减少未知量的个数”，使求解的目标非常明确．。

高中数学 2.1.1曲线与方程

曲线与方程(30分钟 50分)一、选择题(每题3分,共18分)(x 0,y 0)=0是点P(x 0,y 0)在曲线f(x,y)=0上的 ( )A.充分没必要要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也没必要要条件【解析】选C.由曲线与方程的概念可知,假设点P(x 0,y 0)在曲线f(x,y)=0上,那么必有f(x 0,y 0)=0;又当f(x 0,y 0)=0时,点P(x 0,y 0)也必然在方程f(x,y)=0对应的曲线上,应选C.2.下面四组方程表示同一条曲线的一组是 ( )=x 与y=√x =lgx 2与y=2lgxC.y +1x −2=1与lg(y+1)=lg(x-2) +y 2=1与|y|=√1−x 2【解析】选D.要紧考虑x,y 的取值范围,A 中y 2=x 中y ∈R,而y=√x 中y ≥0,B 中y=lgx 2中x ≠0,而y=2lgx 中x>0;C 中y +1x −2=1中y ∈R,x ≠2,而lg(y+1)=lg(x-2)中y>-1,x>2,故只有D 正确. 3.(2021·石家庄高二检测)方程x 2+y 2=1(xy<0)的曲线形状是 ( )【解析】选C.方程x 2+y 2=1(xy<0)表示以原点为圆心,1为半径的圆在第二、四象限的部份.4.(2021·安阳高二检测)曲线y=√1−x 2和y=-x+√2公共点的个数为 ( )B.2 【解析】选C.由{y =√1−x 2,y =−x +√2,得-x+√2=√1−x 2,两边平方并整理得(√2x-1)2=0,因此x=√22,这时y=√22,故公共点只有一个(√22,√22). 【误区警示】解题中易忽略y=√1−x 2中x 的取值范围,而写成x 2+y 2=1,从而解出两组解而致使出错.5.如果曲线C 上点的坐标知足方程F(x,y)=0,那么有( )A.方程F(x,y)=0表示的曲线是CB.曲线C 的方程是F(x,y)=0C.点集{P|P ∈C}⊆{(x,y)|F(x,y)=0}D.点集{P|P ∈C}{(x,y)|F(x,y)=0}【解析】选,B 错,因为以方程F(x,y)=0的解为坐标的点不必然在曲线C 上,假设以方程F(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C 上,那么点集{P|P ∈C}={(x,y)|F(x,y)=0},故D 错,选C.6.(2021·青岛高二检测)方程(x-y)2+(xy-1)2=0表示的是 ( )A.两条直线B.一条直线和一双曲线C.两个点D.圆【解析】选C.由题意,{x −y =0,xy =1,因此x=1,y=1或x=-1,y=-1,因此方程(x-y)2+(xy-1)2=0表示的是两个点(1,1)或(-1,-1).二、填空题(每题4分,共12分)7.(2021·天津高二检测)点P(2,-3)在曲线x 2-ay 2=1上,那么a= .【解析】将(2,-3)代入x 2-ay 2=1,得a=13. 答案:13【变式训练】已知点A(a,2)既是曲线y=mx 2上的点,也是直线x-y=0上的一点,那么m= .【解析】因为点A(a,2)在直线x-y=0上,得a=2,即A(2,2).又点A 在曲线y=mx 2上,因此2=m ·22,得m=12. 答案:12 8.(2021·重庆高二检测)若是直线l :x+y-b=0与曲线C:y=√1−x 2有公共点,那么b 的取值范围是 .【解题指南】此题考查曲线的交点问题,能够先作出曲线y=√1−x 2的图象,利用数形结合解题. 【解析】曲线C:y=√1−x 2表示以原点为圆心,以1为半径的单位圆的上半部份(包括(±1,0)),如图,当l 与l 1重合时,b=-1,当l 与l 2重合时,b=√2,因此直线l 与曲线C 有公共点时,-1≤b ≤√2.答案:[-1,√2]9.方程y=√x 2−4x +4所表示的曲线是 .【解析】原方程可化为:y=|x-2|={x −2,x ≥2,−x +2,x <2.因此方程表示的是射线x-y-2=0(x ≥2)及x+y-2=0(x<2).答案:两条射线【误区警示】此题易轻忽方程自身的条件对y 的约束,即y ≥0,而将方程变形为(x+y-2)(x-y-2)=0,从而得出方程表示的曲线是两条直线.三、解答题(每题10分,共20分)10.方程√1−|x |=√1−y 表示的曲线是什么图形?【解析】原方程可化为{1−y =1−|x |,1−|x |≥0,即{y =|x |,|x |≤1, 因此它表示的图形是两条线段y=-x(-1≤x ≤0)和y=x(0≤x ≤1).如图:11.曲线x 2+(y-1)2=4与直线y=k(x-2)+4有两个不同的交点,求k 的范围,假设有一个交点、无交点呢?【解析】由{y =k (x −2)+4,x 2+(y −1)2=4,得(1+k2)x2+2k(3-2k)x+(3-2k)2-4=0,Δ=4k 2(3-2k)2-4(1+k 2)[(3-2k)2-4]=48k-20.因此Δ>0,即k>512时,直线与曲线有两个不同的交点; Δ=0,即k=512时,直线与曲线有一个交点; Δ<0,即k<512时,直线与曲线没有交点. 【拓展延伸】曲线与直线交点个数的判别方式曲线与直线交点的个数确实是曲线方程与直线方程联立方程组解的组数,而方程组解的组数可利用根的判别式进行判定.此题是判定直线和圆的交点问题,用的是代数法.也可用几何法,即通过圆心到直线的距离与半径的关系求出k 的范围.有些题目,在判定交点个数时,也可用数形结合法.(30分钟 50分)一、选择题(每题4分,共16分)1.已知曲线ax 2+by 2=2通过点A(0,2)和B(1,1),那么a,b 的值别离为 ( )A.12,32B.32,12 32,32 D.12,-32【解析】选B.因为点A(0,2)和B(1,1)都在曲线ax 2+by 2=2上,因此{a ·0+4b =2,a +b =2,解得{a =32,b =12. 2.(2021·临沂高二检测)方程x 2|x |+y 2|y |=1表示的图形是 ( ) A.一条直线B.两条平行线段C.一个正方形D.一个正方形(除去四个极点)【解析】选D.由方程可知,方程表示的图形关于坐标轴和原点对称,且x ≠0,y ≠0,当x>0,y>0时,方程可化为x+y=1,表示第一象限内的一条线段(去掉两头点),因此原方程表示的图形是一个正方形(除去四个极点).3.已知圆C:(x-2)2+(y+1)2=4及直线l:x+2y-2=0,那么点M(4,-1) ( )A.不在圆C上,但在直线l上B.在圆C上,但不在直线l上C.既在圆C上,也在直线l上D.既不在圆C上,也不在直线l上【解析】选C.将点M(4,-1)的坐标别离代入圆C及直线l的方程,均知足.4.(2021·成都高二检测)已知方程y=a|x|和y=x+a(a>0)所确信的两条曲线有两个交点,那么a的取值范围是( )>1 <a<1<a<1或a>1 ∈【解题指南】别离作出y=a|x|和y=x+a所表示的曲线.再依照图象求a的取值范围.【解析】选A.因为a>0,因此方程y=a|x|和y=x+a(a>0)的图象大致如图,要使方程y=a|x|和y=x+a(a>0)所确信的两条曲线有两个交点,那么要求y=a|x|在y轴右边的斜率足够大,因此a>1.【变式训练】如下图,定圆半径为a,圆心为(b,c),那么直线ax+by+c=0与直线x-y+1=0的交点在( ) A.第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选C.由{ax+by+c=0,x−y+1=0,因此{x=−b+ca+b,y=a−ca+b.因为a+b<0,a-c>0,b+c<0,因此x<0,y<0,因此交点在第三象限,选C.二、填空题(每题5分,共10分)5.(2021·济宁高二检测)曲线y=|x-2|-2的图象与x轴所围成的三角形的面积是.【解析】当x-2<0时,原方程可化为y=-x;当x-2≥0时,原方程可化为y=x-4.故原方程表示两条共极点的射线,易患极点为B(2,-2),与x 轴的交点为O(0,0),A(4,0),因此曲线y=|x-2|-2与x 轴围成的三角形面积为S △AOB = 12|OA|·|y B |=4. 答案:46.(2021·石家庄高二检测)曲线y=-√1−x 2与曲线y+|ax|=0(a ∈R)的交点个数为 .【解析】由{y =−√1−x 2,y +|ax |=0,得-|ax|=-√1−x 2,即a 2x 2=1-x 2,因此(a 2+1)x 2=1,解得x=√1a 2+1和x=-√1a 2+1, 代入y=-|ax|,得y=-√a 21+a 2,因此它们有2个交点.答案:2【一题多解】由y=-√1−x 2,得x 2+y 2=1(y ≤0)表示半圆如图:由y+|ax|=0,得y=-|a||x|,表示过原点的两条射线,如图.因此由图象可知,它们有两个交点.答案:2三、解答题(每题12分,共24分)7.已知点P(x 0,y 0)是曲线f(x,y)=0和曲线g(x,y)=0的交点,求证:点P 在曲线f(x,y)+λg(x,y)=0(λ∈R)上.【证明】因为P 是曲线f(x,y)=0和曲线g(x,y)=0的交点,因此P 在曲线f(x,y)=0上,即f(x 0,y 0)=0,P 在曲线g(x,y)=0上,即g(x 0,y 0)=0,因此f(x 0,y 0)+λg(x 0,y 0)=0+λ0=0,故点P 在曲线f(x,y)+λg(x,y)=0(λ∈R)上.【拓展延伸】证明曲线与方程关系的技术解答本类问题的关键是正确明白得并运用曲线的方程与方程的曲线的概念,明确两条原那么,即假设点的坐标适合方程,那么该点必在方程的曲线上;假设点在曲线上,那么该点的坐标必适合曲线的方程.另外,要证明方程是曲线的方程,依照概念需完成两步:①曲线上任意一点的坐标都是方程的解;②以方程的解为坐标的点都在曲线上.二者缺一不可.8.当曲线y=1+√4−x 2与直线y=k(x-2)+4有两个相异交点时,求实数k 的取值范围.【解析】曲线y=1+√4−x 2是以(0,1)为圆心,2为半径的半圆,如图. 直线y=k(x-2)+4是过定点(2,4)的直线.设切线PC 的斜率为k 0,切线PC 的方程为y=k 0(x-2)+4.圆心(0,1)到直线PC 的距离等于半径2,即0√1+k 0=2, 因此k 0=512,直线PA 的斜率k 1=34, 因此实数k 的取值范围是512<k ≤34.。

人教版高中数学【选修 2-1】2.1曲线与方程课后习题

人教版高中数学精品资料【优化设计】高中数学 2.1曲线与方程课后习题新人教A版选修2-1课时演练·促提升A组1.“曲线C上的点的坐标都是方程f(x,y)=0的解”是“方程f(x,y)=0是曲线C的方程”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析:“曲线C上的点的坐标都是方程f(x,y)=0的解”时,不一定能得到“方程f(x,y)=0是曲线C的方程”,但反之,如果“方程f(x,y)=0是曲线C的方程”,必能得出“曲线C上的点的坐标都是f(x,y)=0的解”.答案:B2.方程y=3x-2(x≥1)表示的曲线为()A.一条直线B.一条射线C.一条线段D.不能确定解析:方程y=3x-2表示的曲线是一条直线,当x≥1时,它表示一条射线.答案:B3.曲线xy=2与直线y=x的交点是()A.()B.(-,-)C.()或(-,-)D.不存在解析:由解得即交点坐标为()或(-,-).答案:C4.如图所示的曲线方程是()A.|x|-y=0B.x-|y|=0C.-1=0D.-1=0解析:∵(0,0)点在曲线上,∴C,D不正确.∵x≥0,y∈R,∴B正确.答案:B5.一动点C在曲线x2+y2=1上移动时,它和定点B(3,0)连线的中点P的轨迹方程是()A.(x+3)2+y2=4B.(x-3)2+y2=1C.(2x-3)2+4y2=1D.+y2=1解析:设C(x0,y0),P(x,y).依题意有所以因为点C(x0,y0)在曲线x2+y2=1上,所以(2x-3)2+(2y)2=1,即点P的轨迹方程为(2x-3)2+4y2=1.答案:C6.如果方程ax2+by2=4的曲线过点A(0,-2),B,则a=,b=.解析:由已知解得答案:4 17.已知动点M到点A(9,0)的距离是M到点B(1,0)的距离的3倍,则动点M的轨迹方程是.解析:设M(x,y),则|MA|=,|MB|=.由|MA|=3|MB|,得=3,化简得x2+y2=9.答案:x2+y2=98.已知曲线C的方程是y2-xy+2x+k=0.(1)若点(1,-1)在曲线C上,求k的值;(2)当k=0时,判断曲线C是否关于x轴、y轴、原点对称?解:(1)因为点(1,-1)在曲线C上,所以(-1)2-1×(-1)+2×1+k=0,解得k=-4.(2)当k=0时,曲线C的方程为y2-xy+2x=0.以-x代替x,y不变,方程化为y2+xy-2x=0,所以曲线C不关于y轴对称;以-y代替y,x不变,方程化为y2+xy+2x=0,所以曲线C不关于x轴对称;同时以-x代替x,-y代替y,方程化为(-y)2-(-x)(-y)+2(-x)=0,即y2-xy-2x=0,所以曲线C不关于原点对称.9.已知两点A(,0),B(-,0),点P为平面内一动点,过点P作y轴的垂线,垂足为Q,且=2,求动点P的轨迹方程.解:设动点P的坐标为(x,y),则点Q的坐标为(0,y).于是=(-x,0),=(-x,-y),=(--x,-y),=x2-2+y2.由=2,得x2-2+y2=2x2,即y2-x2=2.故动点P的轨迹方程为y2-x2=2.B组1.方程x2+xy=x表示的曲线是()A.一个点B.一条直线C.两条直线D.一个点和一条直线解析:∵x2+xy=x可化为x(x+y-1)=0,即x=0或x+y-1=0,∴原方程表示两条直线.答案:C2.已知A(-1,0),B(2,4),△ABC的面积为10,则动点C的轨迹方程是()A.4x-3y-16=0或4x-3y+16=0B.4x-3y-16=0或4x-3y+24=0C.4x-3y+16=0或4x-3y+24=0D.4x-3y+16=0或4x-3y-24=0解析:|AB|==5.∵S△ABC=|AB|·h=10,∴h=4,即顶点C到AB所在直线的距离为4,易求AB所在直线的方程为4x-3y+4=0.设点C(x,y),则=h=4,∴4x-3y+4=±20.故选B.答案:B3.方程|x|+|y|=1所表示的曲线C围成的图形的面积为.解析:方程|x|+|y|=1所表示的曲线C围成的图形是正方形ABCD(如图),其边长为.故方程|x|+|y|=1所表示的曲线C围成的图形的面积为2.答案:24.已知Rt△ABC,|AB|=2a(a>0),求直角顶点C的轨迹方程.解法一:以AB所在直线为x轴,AB的中点为坐标原点,建立如图所示的直角坐标系,则有A(-a,0),B(a,0),设顶点C(x,y).由△ABC是直角三角形可知|AB|2=|AC|2+|BC|2,即(2a)2=(x+a)2+y2+(x-a)2+y2,化简得x2+y2=a2.依题意可知,x≠±a.故所求直角顶点C的轨迹方程为x2+y2=a2(x≠±a).解法二:以AB所在直线为x轴,AB的中点为坐标原点,建立如图所示的直角坐标系,则A(-a,0),B(a,0).∵∠ACB=90°,∴点C在以AB为直径的圆上.∵以AB为直径的圆的方程为x2+y2=a2,又∵C与A,B不重合,∴x≠±a.∴顶点C的轨迹方程为x2+y2=a2(x≠±a).5.若直线y=kx+1与曲线mx2+5y2-5m=0(m>0)恒有公共点,求m的取值范围.解:将y=kx+1代入mx2+5y2-5m=0,得(m+5k2)x2+10kx+5(1-m)=0.由题意得,该方程对k∈R总有实数解,∴Δ=20m(m-1+5k2)≥0对k∈R恒成立.∵m>0,∴m≥1-5k2恒成立.∵1-5k2≤1,∴m≥1.故m的取值范围是[1,+∞).6.已知A,B分别是直线y=x和y=-x上的两个动点,线段AB的长为2,P是AB的中点.求动点P的轨迹C的方程.解:设P(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2).∵P是线段AB的中点,∴∵A,B分别是直线y=x和y=-x上的点,∴y1=x1,y2=-x2,∴又∵|AB|=2,∴(x1-x2)2+(y1-y2)2=12.∴12y2+x2=12.∴动点P的轨迹方程为+y2=1.。

新人教版高中数学专题2.1曲线与方程1练习含解析新人教A版选修2_1

曲线与方程（1）一、选择题1．方程x2＋xy＝x所表示的图形是( )A．一个点B．一条直线C．两条直线D．一个点和一条直线[答案] C[解析] 原方程等价于x(x＋y－1)＝0⇔x＝0或x＋y－1＝0，故原方程所表示的图形是两条直线．2．设圆M的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝2，直线l的方程为x＋y－3＝0，点P的坐标为(2,1)，那么( ) A．点P在直线l上，但不在圆M上B．点P在圆M上，但不在直线l上C．点P既在圆M上，也在直线l上D．点P既不在圆M上，也不在直线l上[答案] C3．若曲线y＝x2－x＋2和y＝x＋m有两个交点，则( )A．m∈R B．m∈(－∞，1)C．m＝1 D．m∈(1，＋∞)[答案] D[解析] 两方程联立得x的二次方程，由Δ>0可得m>1.4．动点P到定点(1,0)和定直线x＝3的距离之和为4，则点P的轨迹方程为( )A．y2＝4xB．y2＝－12(x－4)C．若x≥3，则y2＝4x；若x<3，则y2＝－12(x－4)D．若x≤3，则y2＝4x；若x>3，则y2＝－12(x－4)[答案] D[解析] 设P(x，y)，由题意得－＋y2＋|x－3|＝4.若x≤3，则y2＝4x；若x>3，则y2＝－12(x －4)，故选D.二、填空题5．|x|＋|y|＝1表示的曲线围成的图形面积为________________．[答案] 2[解析] 当x ≥0，y ≥0时，有x ＋y ＝1；x ≥0，y ≤0时，x －y ＝1；x ≤0，y ≥0时，有－x ＋y ＝1；x ≤0，y ≤0时，－x －y ＝1，作出图形为一个正方形如图，其边长为2，面积为2.6．已知方程①x －y ＝0；②x －y ＝0；③x 2－y 2＝0；④x y＝1，其中能表示直角坐标系的第一、三象限的角平分线C 的方程的序号是________．【答案】①7．方程|x －1|＋|y －1|＝1所表示的图形是________．【答案】正方形【解析】当x ≥1，y ≥1时，原方程为x ＋y ＝3；当x ≥1，y ＜1时，原方程为x －y ＝1；当x ＜1，y ≥1时，原方程为－x ＋y ＝1；当x ＜1，y ＜1时，原方程为x ＋y ＝1.画出方程对应的图形，如图所示为正方形．三、解答题8．方程(x ＋y －1) x2＋y2－4＝0表示什么曲线？【解析】由(x ＋y －1)x2＋y2－4＝0可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1＝0，x2＋y2－4≥0，或x 2＋y 2－4＝0，。

高中数学 2.3.1 抛物线及其标准方程知能演练文(含解析)新人教A版选修2-1

2013-2014学年高中数学 2.3.1 抛物线及其标准方程知能演练文（含解析）新人教A 版选修2-11．(2011·高考陕西卷)设抛物线的顶点在原点，准线方程为x ＝－2，则抛物线的方程是( )A ．y 2＝－8xB ．y 2＝8xC ．y 2＝－4xD ．y 2＝4x解析：选B.由p2＝2得p ＝4，因为准线方程为x ＝－2，∴抛物线的方程为y 2＝8x .2．抛物线x 2＝－8y 的焦点坐标是( ) A ．(2,0) B ．(0，－2) C ．(4,0) D ．(－4,0)解析：选 B.由x 2＝－8y 得p ＝4，p2＝2，故抛物线的焦点为(0，－2)．3．设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是( ) A ．4 B ．6 C ．8 D ．12解析：选 B.由y 2＝8x 得准线方程为x ＝－2，点P 到y 轴的距离为4，则到准线的距离为6. 故点P 到该抛物线焦点的距离为6.4．设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝±4xB ．y 2＝±8xC ．y 2＝4xD ．y 2＝8x解析：选B.抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F 的坐标为(a4，0)，则直线l 的方程为y ＝2(x －a 4)，它与y 轴的交点为A (0，－a 2)，所以△OAF 的面积为12|a4|·|－a2|＝4，解得a ＝±8，所以抛物线的方程为y 2＝±8x ，故选 B.5．若椭圆x 23＋4y 2p2＝1(p >0)的左焦点在抛物线y 2＝2px 的准线上，则p 为( )A ．3 B. 3 C. 6D ．6解析：选C.x 23＋4y 2p 2＝1的左焦点为(－3－p 24，0)，其在y 2＝2px 的准线上，∴－ 3－p 24＝－p 2⇒p 2＝6，又p >0，∴p ＝ 6.6．抛物线y 2＝8x 的焦点到准线的距离是________．解析：由y 2＝2px (p >0)中p 的几何意义可知：p 是焦点到准线的距离．由y 2＝8x 得，p ＝4.答案：47．点P 到点F (4,0)的距离比它到直线l ：x ＝－6的距离小2，则点P 的轨迹方程为________．解析：将直线l ：x ＝－6向右平移2个单位长度，得l ′：x ＝－4.依题意知，点P 到F (4,0)的距离等于点P 到l ′：x ＝－4的距离，可见P 点的轨迹是以F (4,0)为焦点，x ＝－4为准线的抛物线，且p2＝4，焦点在x 轴的正半轴上，方程为y 2＝16x .答案：y 2＝16x8．以双曲线x 24－y 25＝1的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的抛物线方程为________．解析：由x 24－y 25＝1得双曲线的右焦点为(3,0)．故抛物线方程为y 2＝2px ，则p2＝3，p ＝6. ∴抛物线方程为y 2＝12x .答案：y 2＝12x9．根据下列条件写出抛物线的标准方程： (1)准线方程是y ＝3； (2)过点P (－22，4)； (3)焦点到准线的距离为 2.解：(1)由准线方程为y ＝3知抛物线的焦点在y 轴负半轴上，且p2＝3，则p ＝6，故所求抛物线的标准方程为x 2＝－12y . (2)∵点P (－22，4)在第二象限，∴设所求抛物线的标准方程为y 2＝－2px (p >0)或x 2＝2py (p >0)，将点P (－22，4)代入y 2＝－2px ，得p ＝22；代入x 2＝2py ，得p ＝1，∴所求抛物线的标准方程为y 2＝－42x 或x 2＝2y .(3)由焦点到准线的距离为2，得p ＝2，故所求抛物线的标准方程为y 2＝22x 或y2＝－22x 或x 2＝22y 或x 2＝－22y .10.某隧道横断面由抛物线和矩形的三边组成，尺寸如图所示，某卡车载一集装箱，箱宽3 m ，车与箱共高4 m ，此车能否通过此隧道？请说明理由．解：建立如图所示的平面直角坐标系．设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0) ，当x ＝3时，y ＝－3，即点(3，－3)在抛物线上．代入得2p ＝3，故抛物线方程为x 2＝－3y ，因为已知集装箱的宽为3 m ，所以当x ＝32时，y ＝－34，而桥高为5 m.所以5－34＝414>4.故卡车可以通过此隧道．1．已知定点A (1,0)和定直线l ：x ＝－1，在l 上有两个动点E ，F ，且满足AE →⊥AF →，另有动点P ，满足EP →∥OA →，FO →∥OP →(O 为坐标原点)，则动点P 的轨迹方程为( )A ．y 2＝4xB ．y 2＝4x (x ≠0)C ．y 2＝－4xD ．y 2＝－4x (x ≠0) 解析：选 B.设P (x ，y )，E (－1，y 1)，F (－1，y 2)，(y 1，y 2均不为0)，由EP →∥OA →得y 1＝y ，即E (－1，y )．由FO →∥OP →得y 2＝－y x.再由AE →⊥AF →得y 2＝4x (x ≠0)．故选B.2．设O 是坐标原点，F 是抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，A 是抛物线上一点，FA →与x 轴正向的夹角为60°，则|OA →|＝________.解析：抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点坐标为F (p2，0)．不妨取FA →所在的直线方程为y ＝3(x －p 2)，代入y 2＝2px ，解得A (32p ，3p )．故|OA →|＝ 32p 2＋3p2＝212p . 答案：212p 3．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，P 3(x 3，y 3)在抛物线上，且2x 2＝x 1＋x 3，试判断|FP 1|，|FP 2|，|FP 3|是否成等差数列．解：由抛物线的定义知，|FP 1|＝x 1＋p 2，|FP 2|＝x 2＋p 2，|FP 3|＝x 3＋p2，所以x 1＝|FP 1|－p 2，x 2＝|FP 2|－p 2，x 3＝|FP 3|－p2，因为2x 2＝x 1＋x 3，所以2|FP 2|＝|FP 1|＋|FP 3|.故|FP 1|，|FP 2|，|FP 3|成等差数列．4．设P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点．(1)求点P 到点A (－1,1)的距离与点P 到直线x ＝－1的距离之和的最小值； (2)若B (3,2)，求|PB |＋|PF |的最小值．解：(1)如图甲所示，易知抛物线的焦点为F (1,0)，准线是x ＝－1，由抛物线的定义知点P 到直线x ＝－1的距离等于点P 到焦点F 的距离．于是，问题转化为：在曲线上求一点P ，使点P 到点A (－1,1)的距离与点P 到F (1,0)的距离之和最小．显然，A ，P ，F 三点共线时所求的距离之和最小且最小值为|AF |，即为 5.(2)如图乙所示，BQ垂直准线于Q且交抛物线于点P1，则|P1Q|＝|P1F|，则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4，即|PB|＋|PF|的最小值为4.。

高中数学《求曲线(或直线)的方程》基础知识与复习题练习(含答案解析)

高中数学《求曲线（或直线）的方程》基础知识与复习题练习（含答案解析）一、基础知识：1、求曲线（或直线）方程的思考方向大体有两种，一个方向是题目中含几何意义的条件较多（例如斜率，焦距，半轴长，半径等），那么可以考虑利用几何意义求出曲线方程中的要素的值，从而按定义确定方程；另一个方向是若题目中没有明显的几何条件，主要依靠代数运算，那么就考虑先用待定系数法设出方程（未知的部分用字母代替），从而该方程便可参与题目中的运算，再利用题目条件求出参数的值，即可确定方程。

可以说两个方向各有侧重，一个倾向于几何意义，另一个倾向于代数运算，下面将对两个方向涉及到的知识进行详细梳理2、所学方程中字母的几何意义（1）直线：：斜率；()00,x y ：直线所过的定点（2）圆：(),a b :圆心的坐标； :r 圆的半径（3）椭圆：2a ：长轴长，焦半径的和；2:b 短轴长；2c ：焦距（4）双曲线：2a ：实轴长，焦半径差的绝对值；2:b 虚轴长；2c ：焦距注：在椭圆和双曲线中，很多几何性质也围绕着,,a b c 展开，通过这些条件也可以求出,,a b c 的值，从而确定曲线方程。

例如（椭圆与双曲线共有的）：离心率：ce a =；通径（焦点弦长的最小值）：22b a等（5）抛物线：:p 焦准距 3、待定系数法中方程的形式：（1）直线与曲线方程通式： ① 直线：y kx m =+，x my t =+ ② 圆：220x y Dx Ey F ++++= ③ 椭圆：标准方程：()222210x y a b a b +=>>（或()222210y x a b a b+=>>，视焦点所在轴来决定）椭圆方程通式：()2210,0mx ny m n +=>>④ 双曲线：标准方程：()222210,0x y a b a b −=>>（或()222210,0y x a b a b−=>>，视焦点所在轴决定）双曲线方程通式：()2210mx ny mn −=>⑤ 抛物线：标准方程：()220y px p =>等抛物线方程通式：2y mx =，2x my =（2）曲线系方程：具有一类特征的曲线的集合，通常曲线方程中含有参数。

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2013-2014学年高中数学 2.1 曲线与方程知能演练理（含解析）新
人教A 版选修2-1
1．已知直线l ：x ＋y －3＝0及曲线C ：(x －3)2
＋(y －2)2
＝2，则点M (2,1)( ) A ．在直线l 上，但不在曲线C 上 B ．在直线l 上，也在曲线C 上 C ．不在直线l 上，也不在曲线C 上 D ．不在直线l 上，但在曲线C 上
解析：选B.将M (2,1)代入直线l 和曲线C 的方程，由于2＋1－3＝0，(2－3)2＋(1－2)2
＝2，所以点M 既在直线l 上又在曲线C 上，故选B.
2．直线x －y ＝0与曲线xy ＝1的交点是( ) A ．(1,1) B ．(－1，－1) C ．(1,1)、(－1，－1) D ．(0,0)
解析：选C.由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ，xy ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1y ＝1或⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝－1，y ＝－1. 3．方程x ＋|y －1|＝0表示的曲线是( )
解析：选B.方程x ＋|y －1|＝0可化为|y －1|＝－x ≥0， ∴x ≤0，因此选B.
4．已知点O (0,0)，A (1，－2)，动点P 满足|PA |＝3|PO |，则点P 的轨迹方程是( )
A ．8x 2＋8y 2
＋2x －4y －5＝0
B ．8x 2＋8y 2
－2x －4y －5＝0
C ．8x 2＋8y 2
＋2x ＋4y －5＝0
D ．8x 2＋8y 2
－2x ＋4y －5＝0
解析：选A.设P (x ，y )，则|PA |＝3|PO |
可化为x －12＋y ＋22＝3x 2＋y 2
，
化简得8x 2＋2x ＋8y 2
－4y －5＝0，故选A.
5．“点M 在曲线y ＝|x |上”是“点M 到两坐标轴距离相等”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件
解析：选B.“点M 在曲线y ＝|x |上”⇒
⇐/“点M 到两坐标轴距离相等”．故选B. 6．若点P (2，－3)在曲线x 2
－ky 2
＝1上，则实数k ＝________.
解析：将P (2，－3)代入曲线方程得4－9k ＝1，∴k ＝1
3
.
答案：13
7．已知点A (0，－1)，当点B 在曲线y ＝2x 2
＋1上运动时，线段AB 的中点M 的轨迹方程是________．
解析：设M (x ，y )，B (x 0，y 0)，则y 0＝2x 2
0＋1.
又M 为AB 的中点，所以⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝0＋x 02，
y ＝y 0
－1
2，
即⎩⎪⎨
⎪
⎧
x 0＝2x ，y 0＝2y ＋1，
将其代入y 0＝2x 2
0＋1得，2y ＋1＝2(2x )2
＋1，
即y ＝4x 2
.
答案：y ＝4x 2
8．给出下列结论： ①方程
y
x －2
＝1表示斜率为1，在y 轴上的截距为－2的直线；
②到x 轴距离为2的点的直线的方程为y ＝2；
③方程(x 2－4)2＋(y 2－4)2
＝0表示四个点．其中正确的结论的序号是__________．
解析：①不正确．方程等价于y ＝x －2(x ≠2)，∴原方程表示斜率为1，在y 轴上的截距为－2的直线，但除去点(2,0)；到x 轴距离为2的点的直线的方程应是|y －0|＝2，即y
＝2或y ＝－2，故②不正确；对于③，原方程可化为⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－4＝0y 2－4＝0，即⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝±2y ＝±2， ∴方程表示四个点，所以③正确．答案：③
9．已知曲线C 的方程为x ＝4－y 2
，说明曲线C 是什么样的曲线，并求该曲线与y 轴围成的图形的面积．
解：由x ＝4－y 2，得x 2＋y 2
＝4.
又x ≥0，∴方程x ＝ 4－y 2
表示的曲线是以原点为圆心，2为半径的右半圆，从而该
曲线C 与y 轴围成的图形是半圆，其面积S ＝1
2
π·4＝2π，所以所求图形的面积为2π.
10．在平面直角坐标系中，已知动点P (x ，y )，PM ⊥y 轴，垂足为M ，点N 与点P 关于x
轴对称，且OP →·MN →
＝4，求动点P 的轨迹方程．
解：由已知得M (0，y )，N (x ，－y )，∴MN →
＝(x ，－2y )， ∴OP →·MN →＝(x ，y )·(x ，－2y )＝x 2－2y 2
，
依题意知，x 2－2y 2
＝4，
因此动点P 的轨迹方程为x 2－2y 2
＝4.
1．方程x 2|x |＋y 2
|y |
＝1表示的图形是( )
A ．一条直线
B ．两条平行线段
C ．一个正方形
D ．一个正方形(除去四个顶点)
解析：选D.由方程可知，方程表示的图形关于坐标轴和原点对称，且x ≠0，y ≠0.当x ＞0，y ＞0时，方程可化为x ＋y ＝1，表示第一象限内的一条线段(去掉两端点)，因此原方程表示的图形是一个正方形(除去四个顶点)，故选D.
2．已知点A (－1,0)，B (2,4)，△ABC 的面积为10，则动点C 的轨迹方程是__________．
解析：由两点式，得直线AB 的方程是y －04－0＝x ＋1
2＋1，即4x －3y ＋4＝0，线段AB 的长度
|AB |＝
2＋12
＋42
＝5.
设点C 的坐标为(x ，y )，则12×5×|4x －3y ＋4|
5
＝10，
即4x －3y －16＝0或4x －3y ＋24＝0. 答案：4x －3y －16＝0或4x －3y ＋24＝0.
3．已知A ，B 两点的坐标分别为A (0，－4)，B (0,4)，直线MA 与MB 的斜率之积为－1，求点M 的轨迹方程．
解：设点M 的坐标为(x ，y )．
由A (0，－4)，B (0,4)，得k MA ＝y ＋4x ，k MB ＝y －4
x
.
又∵k MA ·k MB ＝－1， ∴y ＋4x
·y －4x
＝－1，
化简，得x 2＋y 2
＝16.
∵MA ，MB 都存在斜率，∴x ≠0，
故点M 的轨迹方程为x 2＋y 2
＝16(x ≠0)．
4．若长为3的线段AB 的端点A ，B 分别在x 轴、y 轴上移动，动点C (x ，y )满足AC →＝2CB →
，求动点C 的轨迹方程．
解：设A ，B 两点的坐标分别为(a,0)，(0，b )，则AC →＝(x －a ，y )，CB →
＝(－x ，b －y )，
∵AC →＝2CB →，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
x －a ＝－2x ，y ＝2b －2y ，
即⎩⎪⎨⎪
⎧
a ＝3x ，
b ＝3
2
y .
又∵|AB |＝3，
∴a 2＋b 2
＝9，
即9x 2＋94y 2＝9，即x 2
＋y 24＝1.
故动点C 的轨迹方程为x 2
＋y 2
4＝1.。