2018年秋高中数学第三章不等式3.1不等关系与不等式学案新人教A版必修

3.1 不等关系与不等式学习目标：1.了解不等式的性质(重点).2.能用不等式(组)表示实际问题中的不等关系(难点)．[自主预习·探新知]1．不等符号与不等关系的表示：(1)不等符号有＜，≤，＞，≥，≠；(2)不等关系用不等式来表示．2．不等式中的文字语言与符号语言之间的转换[提示]①不等式a≥b应读作：“a大于或等于b”，其含义是a>b或a＝b，等价于“a不小于b”，即若a>b或a＝b中有一个正确，则a≥b正确．②不等式a≤b应读作：“a小于或等于b”，其含义是a<b或a＝b，等价于“a不大于b”，即若a<b或a＝b中有一个正确，则a≤b正确．3．比较两实数a，b大小的依据思考：x2＋1与2x两式都随x的变化而变化，其大小关系并不显而易见．你能想个办法，比较x2＋1与2x的大小，而且具有说服力吗？[提示]作差：x2＋1－2x＝(x－1)2≥0，所以x2＋1≥2x.4．不等式的性质(1)a >b 且c >d 则a －c >b －d . (2)a >b 则ac >bc . (3)a >b >0且c >d >0则a c >b d. (4)a >b >0则a n >b n. (5)a >b 则a c 2>b c2.[提示] 对于不等式的性质，有可加性但没有作差与作商的性质， (1)中例如5>3且4>1时，则5－4>3－1是错的，故(1)错． (2)中当c ≤0时，不成立．(3)中例如5>3且4>1，则54>31是错的，故(3)错．(4)中对n ≤0均不成立，例如a ＝3，b ＝2，n ＝－1，则3－1>2－1显然错，故(4)错． (5)因为1c 2>0，所以a ·1c 2>b ·1c2，故(5)正确．因此正确的结论有(5)．[基础自测]1．思考辨析(1)不等式x ≥2的含义是指x 不小于2.( )(2)若a <b 或a ＝b 之中有一个正确，则a ≤b 正确．( ) (3)若a >b ，则ac >bc 一定成立．( ) (4)若a ＋c >b ＋d ，则a >b ，c >d .( ) [答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)×提示：(1)正确．不等式x ≥2表示x >2或x ＝2，即x 不小于2.(2)正确．不等式a ≤b 表示a <b 或a ＝b .故若a <b 或a ＝b 中有一个正确，则a ≤b 一定正确． (3)错误．由不等式的可乘性知，当不等式两端同乘以一个正数时，不等号方向不变，因此若a >b ，则ac >bc 不一定成立．(4)错误．取a ＝4，c ＝5，b ＝6，d ＝2.满足a ＋c >b ＋d ，但不满足a >b .2．大桥头竖立的“限重40吨”的警示牌，是指示司机要安全通过该桥，应使车货总重量T 不超过40吨，用不等式表示为( )A ．T <40B ．T >40C ．T ≤40D ．T ≥40C [限重就是不超过，可以直接建立不等式T ≤40.] 3．已知a >b ，c >d ，且cd ≠0，则( )【导学号：91432263】A ．ad >bcB ．ac >bcC ．a －c >b －dD ．a ＋c >b ＋dD [a ，b ，c ，d 的符号未确定，排除A 、B 两项；同向不等式相减，结果未必是同向不等式，排除C 项，故选D 项．]4．设m ＝2a 2＋2a ＋1，n ＝(a ＋1)2，则m ，n 的大小关系是________．m ≥n [m －n ＝2a 2＋2a ＋1－(a ＋1)2＝a 2≥0.][合 作 探 究·攻 重 难]用不等式表示不等关系用一段长为30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m ，要求菜园的面积不小于110 m 2，靠墙的一边长为x m ．试用不等式表示其中的不等关系.【导学号：91432264】[解] 由于矩形菜园靠墙的一边长为x m ，而墙长为18 m ，所以0<x ≤18，这时菜园的另一条边长为30－x 2＝⎝⎛⎭⎪⎫15－x 2(m)．因此菜园面积S ＝x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫15－x 2，依题意有S ≥110，即x ⎝ ⎛⎭⎪⎫15－x 2≥110，故该题中的不等关系可用不等式表示为⎩⎨⎧0<x ≤18，x ⎝ ⎛⎭⎪⎫15－x 2≥110.1．某矿山车队有4辆载重为10 t 的甲型卡车和7辆载重为6 t 的乙型卡车，有9名驾驶员．此车队每天至少要运360 t 矿石至冶炼厂．已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次，写出满足上述所有不等关系的不等式．[解] 设每天派出甲型卡车x 辆，乙型卡车y 辆，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≤9，10×6x ＋6×8y ≥360，0≤x ≤4，x ∈N ，0≤y ≤7，y ∈N ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤9，5x ＋4y ≥30，0≤x ≤4，x ∈N ，0≤y ≤7，y ∈N .比较两数(式)的大小已知a ，b 为正实数，试比较a b ＋ba与a ＋b 的大小. 【导学号：91432265】思路探究：注意结构特征，尝试用作差法或者作商法比较大小． [解]法一：(作差法)⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋b a －(a ＋b )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a b －b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a －a ＝a －b b ＋b －aa＝a －ba －bab ＝a －b2a ＋bab.∵a ，b 为正实数，∴a ＋b >0，ab >0，(a －b )2≥0， ∴a －b2a ＋bab≥0，当且仅当a ＝b 时等号成立．∴a b ＋ba≥a ＋b (当且仅当a ＝b 时取等号)． 法二：(作商法)b a ＋ab a ＋b＝b3＋a 3aba ＋b＝a ＋b a ＋b －ab ab a ＋b ＝a ＋b －abab＝a －b 2＋abab＝1＋a －b 2ab≥1，当且仅当a ＝b 时取等号．∵b a ＋ab>0，a ＋b >0， ∴b a ＋ab≥a ＋b (当且仅当a ＝b 时取等号)． 法三：(平方后作差)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫a b＋b a 2＝a 2b ＋b 2a ＋2ab ，(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a b＋b a 2－(a ＋b )2＝a ＋b a －b 2ab .∵a >0，b >0， ∴a ＋ba －b2ab≥0，又a b ＋b a >0，a ＋b >0，故a b ＋ba≥a ＋b (当且仅当a ＝b 时取等号)．2．已知x <1，比较x 3－1与2x 2－2x 的大小． [解] (x 3－1)－(2x 2－2x ) ＝(x －1)(x 2＋x ＋1)－2x (x －1)＝(x －1)(x 2－x ＋1)＝(x －1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34.因为x <1，所以x －1<0.又⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34>0， 所以(x －1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34<0. 所以x 3－1<2x 2－2x.不等式性质的应用[探究问题]1．小明同学做题时进行如下变形： ∵2<b <3， ∴13<1b <12， 又∵－6<a <8， ∴－2<a b<4.你认为正确吗？为什么？提示：不正确．因为不等式两边同乘以一个正数，不等号的方向不变，但同乘以一个负数，不等号方向改变，在本题中只知道－6<a <8.不明确a 值的正负．故不能将13<1b <12与－6<a <8两边分别相乘，只有两边都是正数的同向不等式才能分别相乘．2．由－6<a <8，－4<b <2，两边分别相减得－2<a －b <6，你认为正确吗？提示：不正确．因为同向不等式具有可加性与可乘性．但不能相减或相除，解题时要充分利用条件，运用不等式的性质进行等价变形，而不可随意“创造”性质．3．你知道下面的推理、变形错在哪儿吗？ ∵－2<a －b <4， ∴－4<b －a <－2. 又∵－2<a ＋b <2， ∴0<a <3，－3<b <0， ∴－3<a ＋b <3.这怎么与－2<a ＋b <2矛盾了呢？提示：利用几个不等式的范围来确定某不等式的范围要注意：同向不等式两边可以相加(相乘)，这种转化不是等价变形．本题中将2<a －b <4与－2<a ＋b <2两边相加得0<a <3，又将－4<b －a <－2与－2<a ＋b <4两边相加得出－3<b <2，又将该式与0<a <3两边相加得出－3<a ＋b <3，多次使用了这种转化，导致了a ＋b 范围的扩大．已知c >a >b >0，求证：ac －a >bc －b.【导学号：91432266】思路探究：①如何证明c a <c b ？②由c a <c b 怎样得到c －a a <c －bb？ [解] ∵c >a >b >0，∴c －a >0，c －b >0.由⎭⎬⎫a >b >0⇒1a <1b c >0⇒c a <c b，⎭⎬⎫⇒c －a a <c －b bc －a c －b a b >0⇒ac －a >bc －b.母题探究：1.(变条件，变结论)将例题中的条件“c >a >b >0”变为“a >b >0，c <0”证明：c a >c b. [证明] 因为a >b >0，所以ab >0，1ab>0.于是a ×1ab >b ×1ab ，即1b >1a .由c <0，得c a >cb.2．(变条件，变结论)将例题中的条件“c >a >b >0”变为“已知－6<a <8,2<b <3”如何求出2a ＋b ，a －b 及a b的取值范围．[解] 因为－6<a <8,2<b <3，所以－12<2a <16，所以－10<2a ＋b <19.又因为－3<－b <－2，所以－9<a －b <6.又13<1b <12，(1)当0≤a <8时，0≤a b<4； (2)当－6<a <0时，－3<a b<0. 由(1)(2)得－3<a b<4.1．某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩x 不低于95分，文化课总分y 高于380分，体育成绩z 超过45分，用不等式组表示为________．{ xyz >45 [“不低于”即“≥”，“高于”即“>”，“超过”即“>”，所以{ x ≥95，y >380，z >45.]2．若1a <1b<0，则下列不等式：①a ＋b <ab ；②|a |>|b |；③a <b 中，正确的不等式有________个.【导学号：91432267】1 [由1a <1b <0，得a <0，b <0，故a ＋b <0且ab >0，所以a ＋b <ab ，即①正确；由1a <1b<0，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪1a >⎪⎪⎪⎪⎪⎪1b ，两边同乘|ab |，得|b |>|a |，故②错误；由①②知|b |>|a |，a <0，b <0，那么a >b ，故③错误．]3．已知a ，b 均为实数，则(a ＋3)(a －5)________(a ＋2)(a －4)(填“>”“<”或“＝”)． < [因为(a ＋3)(a －5)－(a ＋2)(a －4)＝(a 2－2a －15)－(a 2－2a －8)＝－7<0，所以(a ＋3)(a －5)<(a ＋2)(a －4)．]4．若8<x <10,2<y <4，则x y的取值范围是________． (2,5) [∵2<y <4，∴14<1y <12.∵8<x <10，∴2<x y<5.] 5．若bc －ad ≥0，bd >0.求证：a ＋b b ≤c ＋dd. 【导学号：91432268】[证明] 因为bc －ad ≥0，所以ad ≤bc ， 因为bd >0，所以a b ≤cd ，所以a b ＋1≤c d ＋1，所以a ＋b b ≤c ＋dd.。