2.8二次函数的应用(2)
二次函数的应用
二次函数的应用1. 引言二次函数是高中数学中的重要概念之一。
它具有很多应用，涉及到许多实际问题的建模与解决。
本文将介绍二次函数的应用，并以实际例子来说明。
2. 二次函数的定义二次函数是指形如f(f)=ff2+ff+f的函数，其中f、f、f是实数且f ff0。
这里，f控制着二次项的开口方向和大小，f控制着一次项的斜率和大小，f控制着常数项的f-坐标。
3. 二次函数的图像二次函数的图像通常是一个称为抛物线的曲线。
抛物线的开口方向由二次项的系数f决定。
当f>0时，抛物线向上开口；当f<0时，抛物线向下开口。
抛物线的顶点是其中最高或最低的点，其f-坐标由 $x = -\\frac{b}{2a}$ 给出。
当f>0时，顶点为最低点；当f<0时，顶点为最高点。
4. 二次函数的应用之一：物体的运动轨迹二次函数在描述物体的运动轨迹时经常被使用。
考虑一个以一定速度向上抛出的物体，忽略空气阻力的影响。
假设物体的高度f（以米为单位）关于时间f（以秒为单位）的关系可以由二次函数f(f)=−5f2+10f+15描述。
这里−5f2表示重力对物体高度的影响，10f表示物体的初速度和时间的乘积，15表示物体的初始高度。
通过观察二次函数的图像，我们可以得到以下信息： - 物体的运动轨迹是一个向下开口的抛物线； - 物体的最高高度（即抛物线的顶点）是f(1.0)=20米，此时经过了1秒； - 物体在f=0秒时位于f(0)=15米的高度； - 物体在f=3秒时落地，此时高度为f(3)=0米。
通过这个例子，我们可以看到二次函数在描述物体的运动轨迹时有着重要的应用。
5. 二次函数的应用之二：经济利润二次函数还可以用来描述经济活动中的利润。
假设某公司的利润f（以万元为单位）关于销售量f（以单位为单位）的关系可以由二次函数f(f)=−2f2+20f+50描述。
这里−2f2表示固定成本对利润的影响，20f表示每单位销售额对利润的影响，50表示初始利润。
二次函数的应用
二次函数的应用在数学中，二次函数是指形式为f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为常数且a不等于0。
二次函数是一种常见且重要的函数类型，在实际生活中有广泛的应用。
本文将介绍二次函数的应用，并通过具体的实例来说明其在不同领域中的作用。
一、二次函数在物理学中的应用二次函数在物理学中常常用于描述运动的轨迹、抛物线的形状以及力学的相关问题。
例如，当一个物体在空中自由落体时，其下落的高度与时间之间的关系可以用二次函数来描述。
假设物体从高度为h的位置自由落下，忽略空气阻力的影响，记时间为t，则物体的高度可以表示为h = -gt^2 + vt + h0，其中g是重力加速度，v是物体的初速度，h0是物体的初始位置。
该二次函数描述了物体下落的抛物线轨迹。
二、二次函数在经济学中的应用二次函数在经济学中的应用非常广泛，可以用于描述成本、收益、利润等与产量或销量之间的关系。
例如，对于某个企业而言，其生产的产品的总成本可以由二次函数表示。
假设该企业的总成本C与产量x之间的关系可以表示为C = a'x^2 + b'x + c'，其中a'、b'、c'为常数。
该二次函数描述了生产成本随着产量的增加而递增的曲线，对企业的经营决策具有重要的参考意义。
三、二次函数在工程学中的应用在工程学中，二次函数常常用于描述曲线的形状以及材料的弯曲变形。
例如，对于一座桥梁而言，其横截面的弯曲变形可以用二次函数来表示。
假设桥梁横截面的变形高度与距离之间的关系可以表示为y = ax^2 + bx + c，其中y表示高度，x表示距离。
该二次函数描述了桥梁横截面弯曲变形的形状，对于设计和构建安全的桥梁至关重要。
四、二次函数在生物学中的应用在生物学研究中，二次函数常常用于描述某些生物过程的增长或衰减。
例如，某种细菌的数量随着时间的推移而增长，其增长过程可以用二次函数来描述。
假设细菌数量与时间之间的关系可以表示为N = at^2 + bt + c，其中N表示细菌数量，t表示时间。
二次函数的应用
二次函数的应用二次函数是一种常见的数学函数类型，它在许多实际问题的建模与解决中具有广泛的应用。
本文将介绍二次函数的基本概念，以及其在现实生活中的几个具体应用。
一、二次函数的基本概念二次函数是指一个变量的平方项与该变量的一次项的和再加上一个常数项所构成的函数。
一般表示为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数。
二次函数的图像通常是一个抛物线，其开口的方向取决于a的正负。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
二次函数还具有一个特殊的点，称为顶点，它是抛物线的最高点或最低点。
二、1. 几何应用二次函数在几何中广泛应用，如平面几何中的抛物线问题、曲线的拐点问题等。
例如，在研究体育运动的抛体运动过程中，可以通过二次函数来描述运动物体的轨迹，进而计算出最高点、最远距离等重要参数。
2. 物理应用二次函数在物理学中具有重要的应用。
例如，在自由落体运动中，物体的下落距离与时间的关系可用二次函数来表示。
这种关系可以帮助我们计算出物体的速度、加速度等重要物理参数。
3. 经济应用经济学中也广泛使用二次函数进行经济模型的建立与分析。
例如，在市场供求关系的研究中，需求函数和供给函数通常采用二次函数形式，通过求解二次函数的交点可以确定市场均衡价格和数量。
4. 工程应用二次函数在工程中有着广泛的应用。
例如，在桥梁设计中，通过研究桥梁的受力情况，可以建立相应的二次函数模型，以确定桥梁的最佳设计参数，确保桥梁的结构安全可靠。
5. 金融应用金融领域中也经常使用二次函数进行金融模型的建立与分析。
例如，在股票市场中，通过研究股票价格的变化规律，可以建立相应的二次函数模型，以预测未来价格的走势，为投资者提供参考。
综上所述，二次函数在几何、物理、经济、工程和金融等领域中都有着广泛的应用。
通过建立并分析二次函数模型，我们可以更好地理解和解决实际问题，为实际应用提供科学的依据和方法。
二次函数应用的研究还有很大的发展空间，可以进一步拓展其在不同领域中的应用范围，为社会进步与发展做出更大的贡献。
26.2.8二次函数的应用
①
根柱子，上面的A处安装一个喷头向外喷水，连喷头在内，
柱高为0.8m。水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，
如图①所示。根据设计图纸知：如图②所示直角坐标系中，
水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式是
������ = −������������ + ������������ + ������.
第26章 二次函数
26.2.8----二次函数的应用
在现实生活中，我们 常常会遇到与二次函数及其 图象有关的问题，如拱桥跨 度、拱高计算等，利用二次 函数的有关知识研究和解决 这些问题，具有现实的意义。 本节课我们就来研究解决类 似的问题.
二次函数的应用
二次函数的应用
例:某公园要建造圆形喷水池,在水池中央垂直于水面竖一
������������
������× −������0
二次函数的应用
解：（2）如果是“降价销售”，设每星期销售利润为y元，每件商品降价x元， 则每星期可卖出（������������������ + 2������������）件，
可建立函数关系式：y=(60−40−x)(300+20x), 即：y=−20x2+100x+6000.
+
������������
+
������ ������
与x轴交点
点B坐标。
令������
=
������，得方程
−������������
+
������������
+
������ ������
=
������
解得：������������
≈
二次函数的应用
二次函数的应用二次函数是数学中非常重要的一个概念，它在各个领域中都有广泛的应用。
本文将介绍二次函数在几个常见领域的具体应用，包括物理学、经济学和工程学等。
一、物理学中的应用1. 自由落体运动在物理学中，二次函数被广泛应用于自由落体运动的描述中。
自由落体运动是指在只受重力作用下的物体运动。
根据质点在自由落体运动中的运动方程可知，物体的落地时间t与物体下落高度h之间存在二次函数的关系。
这种关系可以用二次函数公式f(t) = -gt^2 + h 来表示，其中g为重力加速度。
2. 弹性力学在弹性力学中，二次函数常被用来描述弹性体的变形情况。
例如，当一个弹簧受力拉伸或压缩时，其长度与施加在它上面的力之间存在二次函数的关系。
这种关系可以用二次函数公式f(x) = kx^2 来表示，其中k为弹簧的弹性系数。
二、经济学中的应用1. 成本和产量关系在经济学中，二次函数被广泛应用于成本和产量之间的关系模型中。
例如，在某产品的生产过程中，成本通常与产量呈二次函数的关系。
随着产量的增加，成本会逐渐增加，但增速逐渐减缓。
这种关系可以用二次函数公式f(x) = ax^2 + bx + c 来表示，其中a、b和c为常数。
2. 市场需求二次函数在经济学中还常被用来描述市场需求的变化情况。
例如，对于某个产品的需求量与其价格之间一般存在倒U型的关系，即需求量随着价格的升高或降低逐渐减少。
这种关系可以用二次函数公式f(x) = ax^2 + bx + c 来表示，其中a、b和c为常数。
三、工程学中的应用1. 抛物线型拱桥在工程学中，二次函数被广泛应用于抛物线型拱桥的设计与建造中。
抛物线型拱桥由一段段的抛物线组成，而抛物线正是二次函数的图像。
通过使用二次函数来描述拱桥的形状，工程师可以更好地控制拱桥的承重和稳定性。
2. 圆环轨道设计二次函数还可以用来设计圆环轨道。
例如，在某高速铁路项目中，为了确保列车的平稳运行和最佳速度分布，工程师使用了二次函数来设计轨道的曲率。
二次函数的应用
二次函数的应用二次函数是数学中的一种重要函数类型，其应用十分广泛。
本文将以实例的形式探讨二次函数在实际生活中的几个应用。
一、抛物线的模型二次函数的图像是抛物线，其常见模型有抛物线的顶点形式和描点形式。
以顶点形式为例，二次函数的一般形式为：f(x) = a(x-h)^2 + k其中a,h,k是常数，(h,k)表示抛物线的顶点。
我们以一道题目为例：某物体以初速度30m/s向上抛出，经过2s达到最高点，求其下落的高度。
解：设物体下落的高度为f(t)，t为时间。
根据物理学的运动规律，物体自由落体的公式为：f(t) = -5t^2 + v0*t + h0其中v0为初速度，h0为初始高度。
题目中给出了初速度为30m/s，代入公式得：f(t) = -5t^2 + 30t + h0根据题目要求，物体经过2s达到最高点，即f(2)=0。
代入公式求解得：0 = -5*2^2 + 30*2 + h0= -20 + 60 + h0= 40 + h0可得h0 = -40，即物体的初始高度为-40m。
因此，物体下落的高度可以表示为：f(t) = -5t^2 + 30t - 40我们可以通过二次函数模型得出物体在任意时间t下的高度。
二、最值问题二次函数也常用于求解最值问题。
例如，我们考虑以下问题：用2根长为L的铁丝围成一个矩形，求该矩形的最大面积。
解：设矩形的长度为x，宽度为L-2x（由于必须用2根铁丝围成，所以长度和宽度之和为L）。
矩形的面积可以表示为：S = x(L-2x)= Lx - 2x^2显然，S是一个关于x的二次函数。
要求最大面积，即求函数的最大值。
通过求导的方法，我们可以得到该函数的极值点。
首先，将函数求导得：S' = L - 4x令导数等于0，求解可得极值点：L - 4x = 04x = Lx = L/4将x代入原函数得到最大面积：S = (L/4)(L-2(L/4))= (L/4)(L/2)= L^2/8因此，该矩形的最大面积为L^2/8。
二次函数的应用
二次函数的应用二次函数是一类常见的数学函数，在数学和实际生活中有着广泛的应用。
它的一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，且a 不等于0。
本文将探讨二次函数的应用，包括图像特征、最值问题、实际问题模拟等方面。
一、二次函数的图像特征二次函数的图像是一条抛物线，其开口的方向由a的正负决定。
当a大于0时，抛物线向上开口，形状类似于字母U；当a小于0时，抛物线向下开口，形状类似于字母n。
而二次函数的顶点则是抛物线的最高点（a小于0）或最低点（a大于0）。
据此，我们可以利用这些特征来解决一些实际问题。
例如，在建筑设计中，我们希望设计一座拱桥，使得桥面的最高点位于两边桥墩之间。
这时，我们可以建立一个二次函数模型来描述桥面的形状，并利用顶点的位置确定拱桥的设计参数。
二、二次函数的最值问题对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，我们可以通过求导数的方法来确定其最值点。
当导数f'(x) = 0时，函数f(x)的最值点就存在于该点。
以一个具体的例子来说明，假设有一个猎人沿着一条小路寻找猎物。
猎人行走的距离与小路之间的距离可以由一个二次函数来表示。
现在猎人想要找到最短的路线，即猎人走的总距离最小。
通过建立二次函数模型，并求解导数为0的点，我们可以找到最短路线上猎人的位置。
三、实际问题的模拟二次函数的应用不仅仅局限于数学问题，它还可以用来模拟和解决实际生活中的一些问题。
例如，我们可以利用二次函数来模拟和预测物体的运动轨迹。
假设我们有一架火箭进行垂直发射，我们可以通过建立二次函数来描述火箭的高度随时间的变化规律。
在实际运算中，我们可以利用二次函数的图像特征来确定火箭达到最高点的时间和高度。
另外，二次函数还可以用来分析销售数据，预测销售量随时间的变化趋势。
例如，在一个销售季度中，我们可以利用二次函数来拟合销售量曲线，并通过求解极值点来确定最佳的销售策略。
四、总结二次函数的应用十分广泛，不仅存在于数学领域，还贯穿于日常生活的方方面面。
《二次函数》教案8篇(二次函数应用教案设计)
《二次函数》教案8篇(二次函数应用教案设计)下面是整理的《二次函数》教案8篇(二次函数应用教案设计)，欢迎参阅。
《二次函数》教案1教学目标掌握二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点个数与一元二次方程ax2+bx+c=0的解的情况之间的关系。
重点、难点：二次函数y=ax2+bx+c的图象与一元二次方程ax2+bx+c=0的根之间关系的探索。
教学过程：一、情境创设一次函数y=x+2的图象与x轴的交点坐标问题1.任意一次函数的图象与x轴有几个交点？问题2.猜想二次函数图象与x轴可能会有几个交点？可以借助什么来研究？二、探索活动活动一观察在直角坐标系中任意取三点A、B、C，测出它们的纵坐标，分别记作a、b、c，以a、b、c为系数绘制二次函数y=ax2+bx+c的图象，观察它与x轴交点数量的情况；任意改变a、b、c值后，观察交点数量变化情况。
活动二观察与探索如图1，观察二次函数y=x2-x-6的图象，回答问题:(1)图象与x轴的交点的坐标为A(，),B(，)(2)当x=时，函数值y=0。
(3)求方程x2-x-6=0的解。
(4)方程x2-x-6=0的解和交点坐标有何关系？活动三猜想和归纳(1)你能说出函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点个数的其它情况吗？猜想交点个数和方程ax2+bx+c=0的根的个数有何关系。
（2）一元二次方程ax2+bx+c=0的根的个数由什么来判断？这样我们可以把二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点、一元二次方程ax2+bx+c=0的实数根和根的判别式三者联系起来。
三、例题分析例1.不画图象，判断下列函数与x轴交点情况。
(1)y=x2-10x+25(2)y=3x2-4x+2(3)y=-2x2+3x-1例2.已知二次函数y=mx2+x-1(1)当m为何值时，图象与x轴有两个交点(2)当m为何值时，图象与x轴有一个交点？(3)当m为何值时，图象与x轴无交点？四、拓展练习1.如图2，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B。
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1.理解问题;
2.分析问题中的变量和常量,以及它们之 间的关系; 3.用数学的方式表示出它们之间的关系 4.做数学求解; 5.检验结果的合理性,拓展等.
例题解析
例 某小区要在一块一边靠墙（墙长15m）的空地上修 建一个矩形花园ABCD，花园的一边靠墙，另三边用总 长为40m的栅栏围成（如图所示）．若设花园的BC的 边长为x(cm)，花园的面积为y(m2）． （1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取 值范围； (2)满足条件的花园面积能达到200m2吗？若能，求出 此时x的值；若不能，说明理由； （3）根据(1)中求得的函数关系式,描述其图象的变化 趋势；并结合题意判断当x 取何值时，花园的面积最大？ 最大面积为多少?
“二次函数应用” 的思路
回顾上一节“最大利润”和本节“最大面积” 解决问题的过程，你能总结一下解决此类问 题的基本思路吗？与同伴交流. 1.理解问题; 2.分析问题中的变量和常量,以及它们之间的关 系; 3.用数学的方式表示出它们之间的关系; 4.做数学求解; 5.检验结果的合理性,拓展等.
“二次函数应用” 的思路
鲁教版九上·§2.8
2.8 二次函数的应 用（2）
何时面积最大
如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形 ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上. (1).设矩形的一边AB=xcm, 那么AD边的长度如何表示？
30cm
D
┐ A
C
(2).设矩形的面积为ym2,当x取 何值时,y的最大值是多少?
40cm
B
C
课堂练习
4.在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A 出发，沿AB边向点B以1cm/秒的速度移动，同时， 点Q从点B出发沿BC边向点C以2cm/秒的速度移动.如 果P、Q两点在分别到达B、C两点后就停止移动，回 答下列问题： D C （1）运动开始后第几秒时， △PBQ的面积等于8cm2 （2）设运动开始后第t秒时， Q 五边形APQCD的面积为Scm2， 写出S与t的函数关系式， 并指出自变量t的取值范围； t为何值时S最小？求出S的最小值. B A P
某建筑物的窗户如图所示,它的上半部是半圆,下半部 是矩形,制造窗框的材料总长(图中所有的黑线的长度 和)为15m.当x等于多少时,窗户通过的光线最多(结果 精确到0.01m)?此时,窗户的面积是多少? 15 7 x x 解 : 1. 4 y 7 x x 15. 由
得, y .
D
C
课堂练习
2、已知有一张边长为10cm的正三角 形纸板，若要从中剪一个面积最大的 矩形纸板，应怎样剪？最大面积为多 A 少？
B
C
课堂练习 3.用一块宽为1.2m的长方形铁板弯起两.要使水槽的横断面积最大，它的侧 面AB应该是多长？ A D
4 x x x 2 15 7 x x x 2 2.窗户面积S 2 xy 2 x 2 4 2 2 y 7 2 15 7 15 225 x x x . 2 2 2 14 56 b 15 4ac b 2 225 或用公式 : 当x 1.07时, y最大值 4.02. 2a 14 4a 56
B
演示
何时面积最大 如图,在一个直角三角形的内部作一个矩 形ABCD，其中点A和点D分别在两直角 M 边上,BC在斜边上. C (1).设矩形的一边BC=xcm, 那么AB边的长度如何表示？ (2).设矩形的面积为ym2,当x取 何值时,y的最大值是多少?
30cm
D
B ┐ A
40cm
P
N
演示
何时窗户通过的光线最多
课堂练习
1、如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成 中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x 米，面积为S平方米. (1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围； (2)当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？ (3)若墙的最大可用长度为8米，求围成花圃的最大面积.
A B