高考数学 考点04 分段函数试题解读与变式

考点4 分段函数以及应用一、 知识储备汇总与命题规律展望1.知识储备汇总:（1）分段函数概念：若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.（2）分段函数定义域与值域：分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.（3）分段函数的图像：分段函数有几段它的图像就由几条曲线组成,作图的关键就是根据每段函数的定义区间和表达式在同一坐标系中作出其图像，作图时要注意每段曲线端点的虚实，而且横坐标相同之处不可有两个以上的点。

（4）分段函数的求值：先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后按该段的表达式去求值，直到求出值为止.（5）分段函数的奇偶性：先看定义域是否关于原点对称，不对称就不是奇（偶）函数，再由x >0,x -<0 ,分别代入各段函数式计算)(x f 与)(x f -的值，若有)(x f =)(x f --,当x =0有定义时0)0(=f ，则)(x f 是奇函数；若有f(x)=)(x f -，则)(x f 是偶函数.（6）分段函数的单调性：分别判断出各段函数在其定义区间的单调性结合图象处理分段函数的问题.（7）分段函数的周期性：对分段函数的周期性问题，利用周期函数定义、性质或图像进行判定或解决.（8）分段函数求值：先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后按该段的表达式去求值，直到求出值为止.（9）分段函数的最值：先求出每段函数的最值，再求这几个最值的最值，或利用图像求最值.（10）求分段函数某条件下自变量的范围：先假设所求的解在分段函数定义域的各段上，然后相应求出在各段定义域上的范围，再求它们并集即可.（11）分段函数的不等式问题：利用分类整合思想，化为若干个不等式组问题，解出各个不等式组的解集，其并集就是所求不等式的解集.（12）分段函数的解析式：利用待定系数法，求出各段对应函数的解析式，写成分段函数形式，每个解析式后边标上对应的范围.2.命题规律展望：分段函数是高考考查的重点和热点，主要考查分段函数求值、分段函数值域与最值、分段函数的图像与性质、分段函数方程、分段函数不等式等，考查分类整合、转化与化归、函数与方程、数形结合等数学思想与方法，考题多为选择填空题，难度为容易或中档题.将本考点近五年内的命题规律从题型、考题类型、难度、分值等方面作以总结，对今后考题规律作以展望.二、题型与相关高考题解读1.分段函数求值1.1考题展示与解读例1 【2017山东，文9】设()()121,1x f x x x <<=-≥⎪⎩,若()()1f a f a =+,则1f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭A. 2B. 4C. 6D. 8【命题意图探究】本题考查了分段函数求值及分类整合思想是中档试题.【答案】C【解题能力要求】分析问题能力、分类整合思想【方法技巧归纳】求分段函数的函数值,首先要确定自变量的范围,然后选定相应关系式代入求解；当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时,应根据每一段解析式分别求解,但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围．1.2【典型考题变式】1.【变式1：改编条件】已知函数)(x f =⎩⎨⎧≥+-<<+2,8220,2x x x x x ，若)2()(+=a f a f ，则)1(a f =（ ） A.165 B. 2 C.6 D.217 【答案】B【解析】由2x ≥时()28f x x =-+是减函数可知,若2a ≥,则()()2f a f a ≠+,所以02a <<,由()(+2)f a f a =得22(2)8a a a +=-++,解得1a =,则21(1)112f f a ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭,故选B.2. 【变式2：改编结论】设()()121,1x f x x x <<=-≥⎪⎩,若()12f a =,则a = （ ）B. 41 B. 45C. 41或45D. 2 【答案】C 【解析】由题意知，⎪⎩⎪⎨⎧=<<2110a a 或⎪⎩⎪⎨⎧=-≥21)1(21a a ，解得14a =或45=a ，故选C 3.【变式3：改编问法】已知)(x f 是定义域为R 的奇函数，⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤2)4(2120,sin x x x x ，π，则)431(f =（ ）A 44 .B.82 C.44- D.82- 【答案】D【解析】由题意知)41(41)41(41)415(21)431(f f f f -=-===4sin 41π-=82-，故选D. 2.分段函数的最值与值域2.1考题展示与解读例2【2016年高考北京理数】设函数33,()2,x x x a f x x x a⎧-≤=⎨->⎩.①若0a =，则()f x 的最大值为______________；②若()f x 无最大值，则实数a 的取值范围是________.【命题意图探究】本题主要考查分段函数的最值及分类整合思想、数形结合思想.【答案】2，(,1)-∞-.【解题能力要求】分类整合思想、数形结合思想、运算求解能力.【方法技巧归纳】先根据各段函数的图象与性质求出各段函数在相应区段上的值域，这些值域的并集就是函数的值域.2.2【典型考题变式】【变式1：改编条件】已知函数)(x f =⎩⎨⎧>+-≤-+ax ax a x x x ,4,242.（1）当1-=a 时，求)(x f 的最小值.（2）若函数)(x f 无最小值，求实数a 的取值范围.【答案】（1）-6；（2）),0()3,(+∞⋃-∞.【解析】（1）当1-=a 时，)(x f =⎩⎨⎧->+-≤-+1,41,242x x x x x ，当1-≤x 时，)(in x f m =)2(-f =-6，当1->x 时，3)1()(=->f x f ，所以)(x f 的最小值为-6.（2）当2-≤a 时，要使)(x f 无最小值，由)(x f 的图象知，42422+->-+a a a ，解得3-<a ；当02<<-a 时，要使)(x f 无最小值，由)(x f 的图象知，462+->-a ，无解； 当0=a 时，由)(x f 的图象知，min )(x f =-6；当0>a 时，由)(x f 的图象知，)(x f 无最小值；综上所述，实数a 的取值范围为),0()3,(+∞⋃-∞. 【变式2：改编结论】设函数33,()2,x x x a f x x x a⎧-≤=⎨->⎩，b x f x g -=)()(，若存在实数b ，使得函数)(x g 恰有3个零点，则实数a 的取值范围为______________.【答案】(0,1).【变式3：改编问法】设函数33,()2,x x x a f x x x a⎧-≤=⎨->⎩，讨论)(x f 的值域.【答案】当1-<a 时，函数)(x f 的值域为)2,(a --∞；当21≤≤-a 时，所以函数)(x f 的值域为]2,(-∞；当2>a 时，所以函数)(x f 的值域为]3,(3a a --∞.【解析】如图作出函数3()3h x x x =-与直线2y x =-的图象，它们的交点是(1,2)A -，(0,0)O ，(1,2)B -，由2'()33h x x =-，知1x =-是函数()h x 的极大值点，1=x 是函数()h x 的极小值点，当1-<a 时，函数x x y 33-=在],(a -∞上的值域为]3,(3a a --∞，函数x y 2-=在),(∞a 上的值域为)2,(a --∞，因为)2(33a a a ---=0)1)(1(<-+a a a ，所以a a a 233-<-，所以函数)(x f 的值域为)2,(a --∞；当21≤≤-a 时，函数x x y 33-=在],(a -∞上的值域为]2,(-∞，函数x y 2-=在),(∞a 上的值域为)2,(a --∞，因为22≤-a ，所以函数)(x f 的值域为]2,(-∞；当2>a 时，函数x x y 33-=在],(a -∞上的值域为]3,(3a a --∞，函数x y 2-=在),(∞a 上的值域为)2,(a --∞，因为a a a 323-<-，所以函数)(x f 的值域为]3,(3a a --∞； 综上所述，当1-<a 时，函数)(x f 的值域为)2,(a --∞；当21≤≤-a 时，所以函数)(x f 的值域为]2,(-∞；当2>a 时，所以函数)(x f 的值域为]3,(3a a --∞.3.分段函数的解析式3.1考题展示与解读例3【2015高考天津，理8】已知函数()()22,2,2,2,x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩ 函数()()2g x b fx =-- ，其中b R ∈，若函数()()y f x g x =- 恰有4个零点，则b 的取值范围是( )（A ）7,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ （B ）7,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ （C ）70,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ （D ）7,24⎛⎫ ⎪⎝⎭【解题能力要求】本题主要考查分段函数、函数零点、数形结合思想、转化与化归思想，是难题.【答案】D【解析】由()()22,2,2,2,x x f x x x -≤⎧⎪=⎨->⎪⎩得222,0(2),0x x f x x x --≥⎧⎪-=⎨<⎪⎩，所以222,0()(2)42,0222(2),2x x x y f x f x x x x x x x ⎧-+<⎪=+-=---≤≤⎨⎪--+->⎩，即222,0()(2)2,0258,2x x x y f x f x x x x x ⎧-+<⎪=+-=≤≤⎨⎪-+>⎩()()()(2)y f x g x f x f x b =-=+--,所以()()y f x g x =-恰有4个零点等价于方程()(2)0f x f x b +--=有4个不同的解，即函数y b =与函数()(2)y f x f x =+-的图象的4个公共点，由图象可知724b <<.【方法技巧归纳】较复杂的函数零点个数问题，常转化为对应方程解得个数问题，再通过移项、局部分离等方法转化为两边都是熟悉函数的方程解得个数问题，再转化为这两个函数的交点个数问题，画出对应函数的函数的图象，利用数形结合思想求解.3.2【典型考题变式】【变式1：改编条件】已知)(x f =⎩⎨⎧<-+≥-0,1|1|0,22x x x x x ，函数)(x g =)1(+-x f b ，若函数)()(x g x f y -=恰有2个零点，则实数b 的取值范围为（ ）A ),1(+∞- .B.)1,23(-- C.),1(}23{+∞-⋃- D.]23,(--∞ 【答案】C 【解析】由题知，)1(+x f =⎩⎨⎧-<-+-≥-1,1|2|1,12x x x x ，所以)1()(++=x f x f y =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-<---<≤--<≤--+≥--2,5212,101,10,12222x x x x x x x x x ，函数)()(x g x f y -=恰有2个零点，即方程b x f x f -++)1()(=0恰有两个不同的解，即函数)1()(++=x f x f y 与b y =恰有两个交点，)1()(++=x f x f y 的图象如图所示，由图知，1->b 或23-=b ，故选C.【变式2：改编结论】已知函数()()22,2,2,2,x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩ 函数()()2g x b f x =-- ，其中b R ∈，若方程()()=0f x g x - 恰有2个不同的解，则b 的取值范围是( )（A ）()72,{}4+∞⋃ （B ）()2,+∞ （C ）70,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ （D ）7,24⎛⎫⎪⎝⎭【答案】A 【解析】由()()22,2,2,2,x x f x x x -≤⎧⎪=⎨->⎪⎩得222,0(2),0x x f x x x --≥⎧⎪-=⎨<⎪⎩， 所以222,0()(2)42,0222(2),2x x x y f x f x x x x x x x ⎧-+<⎪=+-=---≤≤⎨⎪--+->⎩，即222,0()(2)2,0258,2x x x y f x f x x x x x ⎧-+<⎪=+-=≤≤⎨⎪-+>⎩()(2)0f x f x b +--=有2个不同的解，即函数y b =与函数()(2)y f x f x =+-的图象的4个公共点，由图象可知2b >或47=b ，故选.A.【变式3：改编问法】已知)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0≥x 时，)(x f =x x 42-，则方程2)(-=x x f 解的个数为 .【答案】3【解析】当0<x 时，0>-x ，所以x x x f 4)()(2+-=-，因为)(x f 是定义在R 上的奇函数，所以)()(x f x f -=-=x x 42+，所以x x x f 4)(2--=，所以⎪⎩⎪⎨⎧≥-<--=0,404)(22x x x x x x x f ，， 所以2)()(+-=x x f x g =⎪⎩⎪⎨⎧≥+-<+--0,250,2522x x x x x x ， 由)(x g y =的图象知，)(x g y =有3个零点，所以方程2)(-=x x f 解的个数为3.4.分段函数图像4.1考题展示与解读例4【2017天津，文8】已知函数||2,1,()2, 1.x x f x x x x +<⎧⎪=⎨+≥⎪⎩，设a ∈R ，若关于x 的不等式()||2x f x a ≥+在R 上恒成立，则a 的取值范围是（ ） （A ）[2,2]-（B）[-（C）[-（D）[-【命题意图探究】本题主要考查利用分段函数图像解含参数不等式恒成立问题，是难题.【答案】A【解题能力要求】数形结合思想、转化思想、分类整合思想、运算求解能力【方法技巧归纳】一般不等式恒成立求参数1.可以选择参变分离的方法，转化为求函数最值的问题；2.也可以画出两边的函数图象，根据临界值求参数取值范围；3.也可转化为()0F x >的问题，转化讨论求函数的最值求参数的取值范围.4.2【典型考题变式】【变式1：改编条件】已知函数()22,0,{,0x x f x x x ≤=>，若函数()()()1g x f x k x =--恰有两个零点，则实数k 的取值范围是A. ()(),14,-∞-⋃+∞B. ][(),14,-∞-⋃+∞C. [)()1,04,-⋃+∞D. [)[)1,04,-⋃+∞【答案】C【解析】()()()1g x f x k x =--恰有两个零点，等价于()y f x =与()1y k x =-有两个交点，同一坐标系，画出()y f x =与()1y k x =-的图象，直线过()0,1时， 1k =-，直线与()20y xx =≥，相切时4k =，由图知， [)()1,04,k ∈-⋃+∞时，两图象有两交点，即k 的取值范围是[)()1,04,-⋃+∞，故选C.【变式2：改编结论】已知函数||2,1,()2, 1.x x f x x x x +<⎧⎪=⎨+≥⎪⎩，则函数||)(x x f y -=零点个数为 （ ）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 【答案】A【解析】函数||)(x x f y -=零点个数，即为方程||)(x x f =解得个数，即为函数)(x f y =与函数||x y =交点个数，画出函数()f x 的图象与函数||x y =，由图像知，函数)(x f y =与函数||x y =交点个数0， 所以函数||)(x x f y -=零点个数为0，故选A.【变式3：改编问法】定义在1,ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的函数()f x ，满足()1f x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且当1,1x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时， ()ln f x x =，若函数()()g x f x ax =-在1,ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有零点，则实数a 的取值范围是（ ）A. ln ,0ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B. []ln ,0ππ- C. 1ln ,e ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D. 1,2e π⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【答案】B【解析】设[]1,x π∈，则11,1x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 因为()1f x f x ⎛⎫=⎪⎝⎭且当1,1x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()ln f x x =， 所以()1ln f x f x x ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，则()[]1ln ,,1ln ,1,{x x x x f x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦-∈= ，在坐标系中画出函数()f x 的图象如图： 因为函数()()g x f x ax =- 与x 轴有交点， 所以直线y ax = 与函数()f x 的图象有交点， 由图得,直线y ax =与()f x 的图象相交于点1,ln ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 即有ln ln aa ππππ-=⇒=- ，由图象可得,实数a 的取值范围是： []ln ,0ππ- 故选：B.5.分段函数性质 5.1考题展示与解读例5【2016高考天津理数】已知函数f （x ）=2(4,0,log (1)13,03)a x a x a x x x ⎧+<⎨++≥-+⎩（a >0,且a ≠1）在R 上单调递减，且关于x 的方程|()|2f x x =-恰好有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是（ ） （A ）（0，23] （B ）[23，34] （C ）[13，23]{34}（D ）[13，23）{34}【命题意图探究】本题主要考查分段函数的性质及函数方程解的个数问题，考查数形结合思想、运算求解能力，是中档题. 【答案】C【解题能力要求】数形结合思想、分类整合思想、运算求解能力. 【方法技巧归纳】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．5.2【典型考题变式】【变式1：改编条件】已知函数()()21(1)21ax x f x xx x x ⎧++>⎪=⎨⎪-+≤⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是A. []0,1B. (]0,1C. []1,1-D. (]1,1- 【答案】C【解析】当x ⩽1时,f (x )=−(x −1)2+1⩽1，当x >1时, ()()21,'10a af x x f x x x=++=-…在(1,+∞)恒成立，故a ⩽x 2在(1,+∞)恒成立，故a ⩽1，而1+a +1⩾1，即a ⩾−1，综上,a ∈，故选C.【变式2：改编结论】已知()2243,0,23,0,x x x f x x x x ⎧-+≤=⎨--+>⎩不等式()()2f x a f a x +>-在上恒成立，则实数的取值范围是（ ）A. B.C.D.【答案】A【变式3：改编问法】已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则函数的零点个数为（ ）个A. 6B. 2C. 4D. 8 【答案】A【解析】∵函数)(x f 是定义在上的偶函数，当 时，，函数的零点就是函数)(x f 的图象与直线的交点的横坐标，作出函数在的图象，如图，由图可得：函数)(x f 图象与直线 有6个交点，故答案为：6．6.分段函数的综合应用 6.1考题展示与解读例6 【2017课标3，理15】设函数10()20x x x f x x +≤⎧=⎨>⎩，，，，则满足1()()12f x f x +->的x 的取值范围是_________.【命题意图探究】本题主要考查分段函数不等式及分类整合思想，是中档题. 【答案】1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【解题能力要求】分类整合思想、运算求解能力.【方法技巧归纳】分段函数的不等式问题：利用分类整合思想，化为若干个不等式组问题，解出各个不等式组的解集，其并集就是所求不等式的解集. 6.2【典型考题变式】【变式1：改编条件】已知函数()21,0,{1,0,x x f x x +≥=<则满足不等式()()212f x f x ->的x的范围是（ ）A. ()1B. ()1-C. (D. ()1- 【答案】D 【解析】()210{10x x f x x +≥=<，，，的图象如下图所示，不等式()()212f x f x ->等价于210{20x x ->≤，或2210{2012x x x x ->>->，，，解得11x -<<，故选D ．【变式2：改编结论】．已知函数(),0{2,lnx x ef x lnx x e<≤=->，若正实数,,a b c 互不相等，且()()()f a f b f c ==，则abc 的取值范围为（ ）A. ()2,e e B. ()21,e C. 1,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ D. 21,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】作出)(x f 的图像，不妨设c b a <<，由图知，201a b e c e <<<<<<,由题知，|ln ||ln |b a =，即b a ln ln =-，所以0)l n (ln ln ==+ab b a ，所以ab =1,则c abc =),(2e e ∈,故选A.【变式3：改编问法】已知定义在R 上的函数()f x 满足()()22f x f x +=，且当[]2,4x ∈时， ()224,232,34x x x f x x x x-+≤≤=+<≤⎧⎪⎨⎪⎩，()1g x ax =+，对[][]122,0,2,1x x ∀∈-∃∈-，使得()()21g x f x =，则实数a 的取值范围为（ ）A. 11,,88⎛⎫⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭B. 11,00,48⎡⎫⎛⎤-⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦ C.(]0,8 D.][11,,48⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】因为[]()224,232,4,2,34x x x x f x x x x-+≤≤∈=+<≤⎧⎪⎨⎪⎩ ， 23x ≤≤ 时， ()34f x ≤≤ ，34x <≤时，()11932f x <≤ ，所以[]()92,4,32x f x ∈≤≤()()22f x f x +=,20x ∴-≤≤ 时， ()[]39,2,148f x x ≤≤∈-- 时，若0a > ，则()211ag x a -+≤≤+ ，因为对 [][]122,0,2,1x x ∀∈-∃∈-，使得()()21g x f x =， ，()()2g x f x = ，3214918a a ⎧-+≤⎪⎪∴⎨⎪+≥⎪⎩，解得18a ≥，若0a < ，则()121a g x a +≤≤-+ ，[]12,0x ∀∈- ，[]22,1x ∃∈-，使得()()21g x f x =， ∴9218918a a ⎧-+≥⎪⎪⎨⎪+≤⎪⎩，解得14a ≤-，所以a 取值范围是][11,,48⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭. 三、课本试题探源必修1 P39页习题1.3 A 第6题：已知函数)(x f 是定义域在R 上的奇函数，当0≥x 时，)(x f =)1(x x +.画出函数)(x f 的图象，并求出函数的解析式.【解析】当0<x 时，0>-x ，所以)1()(x x x f --=-， 因为函数)(x f 是定义域在R 上的奇函数， 所以)1()()(x x x f x f --=-=-， 所以)1()(x x x f -=， 所以函数的解析式⎩⎨⎧≥+<-=0),1(0),1()(x x x x x x x f ，函数图象如下图所示：四．典例高考试题演练1.【2017届湖北枣阳市3模】设函数()()121{ 1(1)x x f x lnx x -≤=->,则满足()2f x ≤的x 的取值范围是（ ） A.,2] B. C.【答案】B9.【2017届江西省赣中南五校下学期期中联考】已知函数关于的方程，有不同的实数解，则的取值范围是A. B. C. D.【答案】C【解析】设，，解得，当时，，函数单调递增，，，函数单调递减，当时函数取得最大值，方程化简为，解得：或，如图画出函数的图象，当时，方程有5个实根，故选C.10.【2017届湖南省岳阳市三模】已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则函数的零点个数为（）个A. 6B. 2C. 4D. 8【答案】A【解析】∵函数是定义在上的偶函数，当时，，函数的零点就是函数的图象与直线的交点的横坐标，作出函数在的图象，如图，由图可得：函数图象与直线有6个交点，故答案为：6．11.【2017届天津市十二重点中学二联考】已知函数()()()2101,{1(1)x x f x f x m x -≤≤=-+>在定义域[)0,+∞上单调递增，且对于任意0a ≥，方程()f x a =有且只有一个实数解，则函数()()g x f x x =-在区间0,2n ⎡⎤⎣⎦（*n N ∈）上的所有零点的和为（ ）A.()12n n + B. 21122n n +-+ C.()2122n+ D. 21n-【答案】B【解析】函数()()()2101,{1(1)x x f x f x m x -≤≤=-+>在定义域[)0,+∞上单调递增，且对于任意0a ≥，方程()f x a =有且只有一个实数解，则()f x 是连续函数,可得1m = ,画出()y f x = 与y x = 的图象,图象交点横坐标就是函数()()g x f x x =-的零点,由图知,在区间0,2n ⎡⎤⎣⎦（*n N ∈）上的所有零点的和为()2111+2+3...21222n n n n +-+-+=+ ,故选B.12.【2017届四川外语学院重庆第二外国语学校3月考】已知函数()()1,0{11,02ln x x f x x x +>=+≤，若m n <，且()()f m f n =，则n m -的取值范围是（ ） A. [)32ln2,2- B. []32ln2,2- C. []1,2e - D. [)1,2e - 【答案】A【解析】作出函数f (x )的图象如图， 若m <n ,且f (m )=f (n )，则当ln (x +1)=1时，得x +1=e ，即x =e −1， 则满足0<n ⩽e −1，−2<m ⩽0，则ln (n +1)=12m +1,即m =2ln (n +1)−2， 则n −m =n +2−2ln (n +1)，设h (n )=n +2−2ln (n +1)，0<n ⩽e −1 则()2121'1111n n h n n n n +--=-==+++ ， 当h ′(x )>0得1<n ⩽e −1， 当h ′(x )<0得0<n <1，即当n =1时,函数h (n )取得最小值h (1)=1+2−2ln 2=3−2ln 2， 当n =0时,h (0)=2−2ln 1=2，当n =e −1时,h (e −1)=e −1+2−2ln (e −1+1)=1+e −2=e −1<2， 则3−2ln 2⩽h (n )<2，即n −m 的取值范围是，值域为，则实数a 的取值范围是_____． 【答案】a ≥1【解析】仅考虑函数f (x )在x >0时的情况，可知()3312,{12,x x x f x x x x -<=-≥函数f (x )在x ＝2时，取得极大值16.令x 3－12x ＝16，解得，x ＝4.作出函数的图象(如右图所示)．函数f (x )的定义域为，值域为，分为以下情况考虑： ①当0<m <2时，函数的值域为，有m (12－m 2)＝am 2，所以a ＝12m－m ，因为0<m <2，所以a >4； ②当2≤m ≤4时，函数的值域为，有am 2＝16，所以a ＝216m，因为2≤m ≤4，所以1≤a ≤4； ③当m >4时，函数的值域为，有m (m 2－12)＝am 2，所以a ＝m －12m，因为m >4，所以a >1. 综上所述，实数a 的取值范围是a ≥1.。