基尔霍夫衍射公式推导
基尔霍夫公式
（4）
3． 基尔霍夫衍射积分公式的证明 ． ⑴ 应用基尔霍夫边界条件 为了简化亥姆霍兹－基尔霍夫公式，使其成为更便于计算衍射问题的形式，可按图 x 的方式选 取闭合面 S = Σ + Σ1 + Σ 2 ，其中
图3
Σ1 －位于 ( ξ ,η ) 平面上一个无穷大的不透明屏；
Σ －不透明屏上一个开孔（衍射孔径） ；
r
P
∂E 来表示（图 1） 。下面介 ∂n
r
n
ε
P1
Sε
S
V
图1
图2
3． 应用格林定理 ． 格林定理表示为：
∫∫∫ ( G∇ E − E∇ G )dv = ∫∫ G ∂n − E ∂n dσ
2 2 v S
∂E
∂G
（5）
式中 E 为包围 P 点的任意封闭面 S 上的电场， 格林函数 G =
（17）
上式中， Ω 是 Σ 2 对 P 点所张的立体角， d ω 是立体角元。由于
GR = exp ( jkR ) 在 Σ 2 上一致有界，只要满足下述的索末菲辐射条件：
∂E lim R + jkE = 0 R →∞ ∂n
（18）
对 Σ 2 的积分就会随着 R → ∞ 而消失。
exp ( jkR ) R
∂G ( P ) 1 e jkR 1 = cos ( n , R ) jk − ≈ − jkG ∂n R R 因为:R → ∞, con ( n , R ) = −1
（16）
于是，对 Σ 2 的积分化简为：
1 4π ∂E ∂E + E ( jkG ) dσ = ∫∫ R + ( jkE ) ( GR ) dω G ∫∫ ∂n ∂n Σ1 Ω
02-31.2 基尔霍夫衍射公式
(n, r)
并设 Σ 的线度δ 满足
n (n, l)
< <<Min(r, l)
l S
2 1
Q
R r
P
围绕 P 点作一闭合曲面。该闭合曲面由三部分组成：
①开孔 Σ； ②不透明屏的部分背照面 Σ1； ③以 P 点为中心、R 为半径的大球的部分球而 Σ2。
在这种情况下，P 点的光场复振幅为
2
1
(n, r) Q
(1)
r
E (P) i
eikr E (l)
cos(n,r)
cos(n, l) d (14)
r
2
① P 点的光场是Σ 上无穷多次波源产生的，次波源的复振幅与入射波在 该点的复振幅 成正比，与波长 成反比；
② 因子(- i) 表明，次波源的振动相位超前 于入射波 / 2；
E(Q) E(l) A eikl l
n (n, l)
R
E(P) 1 4π
E eikr 1 2n rd
eikr E
nr
(11)
S
r
l
P
下面确定这三个面上的 和 / 。
①在上Σ， 和 / 的值由入射波决
定，与不存在屏时的值完全相同。因此
E A eikl l
E cos(n, l) ik 1 A eikl (12)
n
ll
(n, r) n (n, l)
eik ik
4πnEe
n
0时
4π eik E
0
n
4π ikeik
0
eik
0
ik
ik E=4π e ik
4π ikeik
V
nn P
故有
基尔霍夫衍射理论
a
a
（3）双缝光栅，如图
y
aa
x
d
0
d
2
2
t
x,
y
rect
x
d a
/
2
rect
x
d a
/
2
1
常用衍射屏的透过率函数表示（2）：
（4）圆孔衍射物，直径为d。
d
tx, y circ
x2 d
y2
circ
r d
1 0
r d/2 r d /2
说明：上面举例都是衍射屏的振幅变化分布，至于 相位变化型的衍射屏，最典型的是 透镜 。
对r进行二项式展开并化简，有
脉冲响应：
hx, x0; y, y0
1 jz
exp
jk
x
x0
2
y
y0
2
z2
hx x0 , y y0
显然，脉冲响应具有空间不变的函数形式。
无论孔径平面上子波源的位置如何，它所 产生的球面子波的形式是一样的。
hx x0 , y y0
1 jz
exp
jk
x
（2） 外， U 0 P 0
衍射公式的积分限可以被扩展到无穷，即：
UQ
U0
P
F
0
,
e jkr r
dS
衍射公式的适用范围：任意单色光波照明孔径的情况。
因为任意复杂的光波都可以看成是简单球面波的线性组
合。因此，上式中的 U0P 可以理解为在任意单色光照
明下对孔径平面产生的光场分布。
对教材80页一段话的理解。
与惠更斯—菲涅耳衍射积分公式比较：
UQ
1
j
基尔霍夫定律公式
基尔霍夫定律公式基尔霍夫定律（Kirchhoff's laws）是电路分析中最基本的定律之一、它是由德国物理学家叶夫·基尔霍夫（Gustav Kirchhoff）在19世纪提出的，用来描述电路中电流和电压的关系。
基尔霍夫定律包括基尔霍夫第一定律和基尔霍夫第二定律。
基尔霍夫第一定律，也称为节点定律，表明在任何一个电路节点中，进入该节点的电流总和等于离开该节点的电流总和。
换句话说，电流在一个节点中守恒。
这个定律是基于电流的连续性原理得出的。
如果一个节点是一个电流的分裂点，进入该节点的电流之和将等于离开该节点的电流之和。
数学上可以表示为：∑I_in = ∑I_out其中，∑I_in表示进入节点的电流之和，∑I_out表示离开节点的电流之和。
节点电流的方向可以根据约定定为正或负。
基尔霍夫第二定律，也称为回路定律，表明在一个电路回路中，环绕回路的电压之和等于零。
这个定律是基于电压的闭合性原理推导得出的。
在一个电路中，沿着一个回路的电压的总和必须为零。
这个定律适用于任何电路中的任何封闭回路，包括简单电路和复杂电路。
数学上可以表示为：∑V=0其中，∑V表示回路中的电压之和。
电压的符号取决于电流的方向。
基尔霍夫定律是电路分析的基础，可以用来解决复杂电路中的电流和电压分布的问题。
通过将电路划分为不同的节点和回路，可以使用基尔霍夫定律来建立一系列的方程来求解电路中未知的电流和电压。
一旦这些方程被解算出来，就可以得到完整的电路分析结果。
为了更好地理解基尔霍夫定律的应用，以下是一个简单的电路分析的示例：假设有一个由两个电源和三个电阻组成的串联电路。
电源1的电动势为E1，电源2的电动势为E2，电阻1的阻值为R1，电阻2的阻值为R2，电阻3的阻值为R3、我们需要求解电阻1、电阻2和电阻3上的电压。
首先，将电路进行标记，选择适当的节点和回路。
在本电路中，我们可以选择两个节点（节点A和节点B）和一个回路（环绕电阻1、电阻2和电压源E2）。
菲涅尔基尔霍夫衍射公式
菲涅尔基尔霍夫衍射公式
《菲涅尔基尔霍夫衍射公式》
菲涅尔基尔霍夫衍射公式是一种适用于电磁波传播的衍射公式。
它是根据德国物理学家维克多·菲涅尔基尔和克劳斯·霍夫在20世纪20年代提出的定律而开发出的。
基本原理
菲涅尔基尔霍夫衍射公式的基本原理是，电磁波传播的路径是由电磁波与物体边界的相互作用来决定的，这种相互作用会导致电磁波衍射或反射，从而产生发射物体上的衍射现象，即电磁波绕着物体向外扩散。
衍射公式本身
菲涅尔基尔霍夫衍射公式是描述一个衍射电波的幅度的一种数
学公式，可以用来计算电磁波通过特定几何形状后的幅度：
E=E0*sin2(m*π*d/λ)*|cos(φ)|
其中，E0是电磁波路径的发射频率，m是一个正整数，d是物体边界的间距，λ是波长，φ是物体边界处的相位。
应用
菲涅尔基尔霍夫衍射公式在电磁学上被广泛应用，能够用来研究电磁波在几何空间中的传播，用于计算电磁场在衍射图形区域所受到的幅度，电磁波的 < > ，以及电磁波通过可变衍射几何形状的传播。
它还可以模拟不规则接收体的模型，以及有限接收体的传播行为。
它还可以计算实际中的电磁波散射。
另外，它也被用于技术解决重要的应用问题，如反射荧光细胞研究，电磁学技术设计，激光技术等。
黑体辐射公式及基尔霍夫公式重新推导论证
黑体辐射公式及基尔霍夫公式重新推导论证黑体是一个理想化的物体，能够完全吸收、辐射所有波长的电磁波，且不进行任何反射和透射。
黑体辐射的能量分布与其温度有关，即黑体辐射的频谱强度与黑体温度成正比。
设黑体内处于热平衡状态，其内部每个模式满足玻尔兹曼分布。
我们每单位体积内的模式数目为g(ω)dω，其中g(ω)是频率为ω的模的数目。
根据统计力学理论，每个模式的能量E等于kT(h为普朗克常数)乘以相应的玻尔兹曼因子。
于是我们可以写出单位体积下的总能量分布为：u(ω)dω = g(ω)E(ω)exp(-E(ω)/kT)其中u(ω)是单位体积内频率处在(ω,ω+dω)的能量。
假设我们要求单位面积、单位时间辐射出的能量，以频率在(ω,ω+dω)之间的光子数为n(ω)。
则辐射出的能量为每个光子的能量乘以光子数之和，即为：dE=n(ω)hω=u(ω)dω×V其中V是体积。
利用维恩位移定律，我们可以得到，单位能量辐射出的光子数为：n(ω) = g(ω)exp(-E(ω)/kT)代入前式可得：dE = u(ω)dω × V = g(ω)E(ω)exp(-E(ω)/kT) × dω × V于是，总能量可以通过积分得到：E(T) = ∫[0,+∞] u(ω)dω = ∫[0,+∞]g(ω)E(ω)exp(-E(ω)/kT) × dω × V进一步简化可得:E(T) = ∫[0,+∞] g(ω) × (hω/ [exp(hω/kT) - 1])dω × V这就是黑体辐射公式（普朗克公式），它给出了黑体辐射的频率分布与温度之间的关系。
基尔霍夫电流定律（基尔霍夫第一定律）的推导：基尔霍夫电流定律是基尔霍夫电路定律的一部分，用于描述电流在一个电路中的守恒性。
假设我们有一个电路，其中有n个节点和m个分支，假设节点i的电流为Ii（i=1,2,...,n），分支j的电流为Ij（j=1,2,...,m）。
菲涅尔衍射公式与基尔霍夫衍射公式的推导与比较
菲涅尔衍射公式与基尔霍夫衍射公式的推导
与比较
菲涅尔衍射公式和基尔霍夫衍射公式都描述了光波通过一个狭缝或孔径时的衍射现象，但它们的推导和适用条件有所不同。
菲涅尔衍射公式是根据菲涅尔衍射理论推导出来的，适用于衍射角比较大的情况。
菲涅尔衍射公式表达为：
I = (A/λ) * sin(θ)^2
其中，I表示在角度θ处的衍射强度，A是狭缝或孔径的宽度，λ是光波的波长。
基尔霍夫衍射公式则是根据基尔霍夫衍射理论推导得到的，适用于衍射角比较小的情况。
基尔霍夫衍射公式表达为：
I = (A^2 * sin(πa sin(θ) / (πa sin(θ))^2) * (sin(πb sin(θ)) / (πb sin(θ))^2))^2
其中，A是狭缝或孔径的宽度，a和b分别表示狭缝或孔径在x和y方向的宽度，θ是衍射角。
总体来说，菲涅尔衍射公式适用于衍射角比较大的情况，而基尔霍夫衍射公式适用于衍射角比较小的情况。
在实际应用中，需要根据具体情况选择合适的衍射公式来进行计算。
另外，需要注意的是，菲涅尔衍射公式和基尔霍夫衍射公式都是近似公式，在某些情况下可能会存在误差，需要谨慎使用。
常月娥+基尔霍夫衍射公式模型
算的难度。实际上，积分面也可以选取为衍射孔径平面Σ，
这时，对不同位置的子波源来说，由于入射波的复振
• 幅不同，因而有不同的源强度和初位相。设S发出的球面 波在衍射孔径平面Σ上的复振幅分布为 B(,)，由菲涅耳公 式又可以推广为：
•
E(P)
K
D(
)
B(
,
)
exp( r
jk
'
r'
)d
（2）
• 特别是，当用平面波正入射照明时，B(,) A ，Σ平面上 各子波源具有相同的源强度和初位相，菲涅耳公式简化为：
• 于是亥姆霍茨-基尔霍夫公式可表示为：
E(P) 1
{E [exp( jkr)] E [exp( jkr)]}d
4 12 n
r
n r
• 应用基ห้องสมุดไป่ตู้霍夫边界条件和索末菲辐射条件，上式可简化为：
E(P) 1 Aexp( jkr0 ) exp( jkr)(cos1 cos 2 )d
j
r0
r
处理模型时忽略的因素
• 基尔霍夫在处理上述问题时，没有考虑电 磁场的其他直角坐标分量，只考虑了电场 分量 E ，并且把 E 作为标量处理，所以这 样得出的理论称为标量衍射理论。显然这 个理论可以作为严格求解衍射问题的基础。
菲涅耳公式模型的具体描述
• 图中S为单色点光源，源强度为A’，在通过衍射孔 径中心点θ的球面波波前Ω上划分子波源，令 S r0
• ，则Ω上入射波的复振幅可表示为：
E0
A'
exp( jkr0 ) r0
• 设衍射屏Σ上有一开孔，开孔上未受阻挡的 部分波前为Ω’，将Ω’划为一系列小面元，位 于任意点M处的面元为dσ，P为观察屏Π上 任一点，M到P点距离为r’。按照惠更斯-菲 涅耳原理，P点的光振动是Ω’上所有小面元
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基尔霍夫衍射公式推导
基尔霍夫衍射公式推导
引言：基尔霍夫衍射公式是现代光学学科的重要组成部分之一，而作为学术领域中的高深理论，公式的具体推导过程也十分的繁琐，需要阅读者具有一定的专业知识和数学功底。
本文旨在为读者介绍基尔霍夫衍射公式的具体推导过程，帮助读者更好地掌握该重要理论。
一、基尔霍夫衍射公式的定义
基尔霍夫衍射公式是描述光在遇到三维于多维不规则物体时的衍射特性的一种数学模型。
其一般形式为：
U(P) = (1 / (2π)) ∫∫ U(Q) (k² - k´²) exp[-i(k - k´) · r] dq
其中，U(P) 为入射光波到达光屏时，光波在位置 P 上的复振幅；U(Q) 为光源面元 Q 在某个方向上发出的光波复振幅；k 和 k´分别为反射或者折射光波的波矢量；r 表示观察点 P 到源点 Q 的矢量差。
二、基尔霍夫衍射公式的推导
1. 洛仑兹方程推导
在光电物理学中，洛仑兹方程是描述光在一个光学介质中传播的一般
方程。
在推导基尔霍夫衍射公式时，洛仑兹方程的三维形式可以写成：
∇²E + k²E = 0
其中 E 表示光场复振幅，k 为光波波数。
这个方程是表征波动性的基
本方程，可以用来研究平面波、球面波、柱面波等不同形式的波。
2. 泊松方程推导
由于洛仑兹方程中的E 是一个向量场，因此可以对其进行分量化处理。
一般地，将 E 表示为 E = (E_x, E_y, E_z)，从而得到泊松方程的三维形式：
∇²E_x + k²E_x = 0
∇²E_y + k²E_y = 0
∇²E_z + k²E_z = 0
其中，k² = n²k²₀，k₀是真空中的波矢量，n 是介质的折射率。
这个方
程是推导基尔霍夫衍射公式的基础。
3. 基尔霍夫-菲涅耳原理推导
基尔霍夫-菲涅耳原理是描述波动的干涉与衍射现象的重要定理之一。
该原理可以理解为：光在通过物体的时候，会受到物体表面的影响，
从而导致光波发生干涉和衍射。
根据该原理，可以推导得到基尔霍夫
衍射公式的具体表达式。
4. 基尔霍夫公式推导
在基尔霍夫-菲涅耳原理的基础上，可以得到基尔霍夫衍射公式。
通过
对每个波前上的点的贡献进行积分，可以得到：
U(P) = (1 / (2π)) ∫∫ U(Q) exp[ik · r] cos(θ/2) (k² - k´²) exp(-ik´n · r´) dq
其中，θ 是入射光线和反射或折射光线之间的夹角，r´表示被积分波前
上各个点到照射点 P 的矢量，U(Q) 表示源面上各个元的振幅。
综上可知，基尔霍夫衍射公式是现代光学学科中不可或缺的理论之一，其具体推导过程需要通过对光学物理学的深入理解和数学功底的扎实
掌握才能达到优秀的研究水平。