高数多元函数微分学教案 第五讲 隐函数的求导公式
隐函数求导方法
隐函数求导方法
隐函数求导方法是一种用于求解非显式函数的导数的技巧。
与显式函数不同，隐函数没有直接的形式来表示其自变量和因变量之间的关系。
因此，为了求解其导数，我们需要使用一种特殊的方法。
隐函数求导的基本思路是通过对该隐函数进行微分，然后利用链式法则来进行推导。
下面是具体的步骤：
1. 首先，将隐函数表示为一个等式，例如：
F(x, y) = 0
2. 对上述等式两边关于x进行求导，得到：
∂F/∂x + ∂F/∂y * dy/dx = 0
3. 根据求导法则，我们知道∂F/∂x 表示 F 关于x的偏导数，而∂F/∂y 表示 F 关于y的偏导数。
4. 我们希望求得 dy/dx，可以通过移项得到：
dy/dx = - (∂F/∂x) / (∂F/∂y)
通过上述步骤，我们可以得到隐函数的导数。
需要注意的是，这种方法只适用于能够将隐函数表示为一个等式的情况，并且可以通过求导来解出 dy/dx。
在一些复杂的情况下，可能需要更多的推导和技巧来求解。
大学高数课件 6.5第五节 隐函数的求导公式
xy y . 说明: 此题中的y还可表示为：y xy x
定理可推广到三元及三元以上方程的情形.
2. F (x, y, z) = 0
隐函数存在定理2 设C(1)类函数F(x,y,z)在点P(x0,y0,z0)
的某一邻域内满足: ① F(x0, y0, z0)=0, ② Fz(x0, y0,z0)0,
则方程F(x, y, z) =0在点P(x0, y0, z0 )的某一邻域内能唯一
( F , G ) Fy 由 F、G 的偏导数组成的行列式 J ( y, z ) G y 称为F、G 的雅可比( Jacobi )行列式.
Fz Gz
(1) 隐函数存在定理3 设C(1)类函数F(x,y,z) 、G(x,y,z)
在点P (x0,y0,z0)的某一邻域内满足: ① F(x0,y0,z0)=0, G(x0, y0,z0)=0,
隐函数的求导公式
设 y=y(x) 为F (x,y) =0所确定的隐函数, 则有 F (x, y(x)) 0,
F
x y
dy 上式两边对 x 求导, 得 Fx Fy 0, dx dy Fx 在 (x0 , y0 ) 的某邻域内 Fy 0 , . dx Fy
x
例 1 验证sin y e x y 1 0 在点(0,0)某邻域可唯一确
F ( x, y, z ) 0 则方程组 在点(x0,y0,z0)的某一邻域内唯一 G ( x , y , z ) 0 y0 y( x0 ) y y ( x ) , 且满足 , 确定一对C(1)类一元函数 z z( x ) z 0 z ( x0 ) 并有: Fy Fx Fx Fz (F ,G ) (F ,G )
《高等数学》课件5第五节 隐函数的求导公式 ppt
① 在点
的某邻域内具有连续偏导数,
② F( x0 , y0 , z0 ) 0,
③ Fz ( x0 , y0 , z0 ) 0
则方程 F( x, y, z) 0在点
某一邻域内可唯一确定
一个连续且具有连续偏导数的函数 z = f (x , y) ,
满足
并有
z Fx , x Fz
定理证明从略.
它满足条件 y(0) 1, 且
dy Fx x .
dx Fy y y = y (x)
d2 y dx 2
d dx
(
x) y
y
x
y2
y
y
x( y2
x) y
1 y3
,
dy 0,
dx x0
y1
d2 y dx2 x0 1.
y1
II. F( x, y, z) 0
定理2. 若函数 F ( x, y, z) 满足:
zz
zz
fu du fv dv 0
x fu d( z )
fv
d( y ) z
0
f1
(
z
d
x z2
x
dz
)
f2
(
zd
y
z2
y
dz
)
0
x f1 y f2 z2
dz
f1d x f2 d y z
dz z f1 d x z f2 d y
x f1 y f2
x f1 y f
z z F1 , x x F1 y F2
F ( x, G( x,
y, u, v) y, u, v)
0 0
有隐函数组
则
GF
对 x 求导
Fx
《高等数学B》第八章 多元函数微分学 第五节 隐函数的求导公式
dy Fx x+ y =− . =− y− x dx Fy
2. F ( x , y , z ) = 0
隐函数存在定理2 隐函数存在定理 设函数 F(x , y , z) 在点 P ( x0 , y0 , z0 ) 的某一邻域内有连续的偏导数， 的某一邻域内有连续的偏导数，且 F ( x0 , y0 , z0 ) = 0 , Fz ( x0 , y0 , z0 ) ≠ 0 则方程 F(x , y , z) = 0 在点 P ( x0 , y0 , z0 )的某一邻域内恒 能唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数 z = f (x , y) , 它满足条件 z0 = f ( x0 , y0 ) , 并有
第五节 隐函数的求导公式
一、一个方程的情形
1. F ( x , y ) = 0
隐函数存在定理1 隐函数存在定理1 设函数 F(x , y) 在点 P ( x0 , y0 ) 的 某一邻域内具有连续的偏导数， 某一邻域内具有连续的偏导数，且 F ( x0 , y0 ) = 0 , Fy ( x0 , y0 ) ≠ 0 , 则方程 F(x , y) = 0 在点 P ( x0 , y0 ) 的某一邻域内恒能唯 一确定一个单值连续且具有连续导数的函数 y = f (x) , 它满足条件 y0 = f ( x0 ) , 并有 dy Fx . =− dx Fy 隐函数的求导公式
Fx ∂z , =− Fz ∂x
Fy ∂z . =− Fz ∂y
∂ 2z 例2 设 x 2 + y 2 + z 2 − 4 z = 0 , 求 2 . ∂x 解 令 F ( x , y , z) = x 2 + y 2 + z 2 − 4z ,
则
Fx = 2x , Fz = 2 z − 4 ,
第五节隐函数的求导公式
第五节隐函数的求导公式隐函数是指在一些方程中以一个变量表示另一个变量的函数，其中一个变量通常被称为自变量，另一个变量被称为因变量。
求解隐函数的导数是微积分中的重要内容，因为它可以帮助我们找到函数的变化率和切线方程等信息。
本文将介绍隐函数的求导公式。
隐函数求导的关键在于使用链式法则。
链式法则是微积分中的一个基本原理，它描述了复合函数的导数与原函数导数的关系。
在隐函数的情况下，我们可以将因变量视为自变量的函数，并运用链式法则进行导数的计算。
设有一个隐函数方程F(x, y) = 0，其中y是x的函数。
我们希望求解dy/dx，即隐函数的导数。
首先我们将隐函数方程两边对x求导，得到：dF/dx + dF/dy * dy/dx = 0由于我们求解的是dy/dx，我们可以将这个方程改写为：dy/dx = -dF/dx / dF/dy这就是隐函数的求导公式，它告诉我们如何通过对隐函数方程进行求导来获得隐函数的导数。
这个求导公式的推导并不复杂，但需要注意一些细节。
首先，我们要确保F(x, y)在求导过程中对x和y都是可导的。
换句话说，F(x, y)的偏导数存在且连续。
其次，我们要注意分母dF/dy不能为零，否则求导公式将无法成立。
以下是几个例子，以帮助理解隐函数的求导公式：例子1：设有一个隐函数方程x^2 + y^2 = 1，我们希望求解dy/dx。
首先对这个方程两边求导，得到：2x + 2y * dy/dx = 0于是，dy/dx = -2x / (2y) = -x / y这个例子告诉我们，对于圆的方程，求得的导数是-x/y。
例子2：设有一个隐函数方程e^x + ln(y) = 1，我们希望求解dy/dx。
e^x + 1/y * dy/dx = 0于是，dy/dx = -e^x / (1/y) = -y * e^x这个例子告诉我们，对于指数和对数的方程，求得的导数是-y*e^x。
例子3：设有一个隐函数方程x^3 + 2y^2 = 5，我们希望求解dy/dx。
第五节隐函数求导法则
x 0 y 1
0,
x d( ) 2 d y y xy y 2 dx dx y2
y x 2 y
x y
1 3, y
d2y dx2
x 0 y 1
1.
隐函数的求导方法可推 广到多个变量的情形 .
设 方 程 F ( x1 , x2 , , xn , z ) 0 确 定 了 z是x1 , x2 , , xn 的可微隐函数 z z( x1 , x2 , , xn ),
则有 Fxn Fx1 Fx2 z z z , , , x1 Fz x2 Fz xn Fz
2 z 2 2 2 例 2 设 x y z 4 z 0 ，求 2 . x 解1 利用公式
令 F ( x , y , z ) x 2 y 2 z 2 4 z , 则 Fx 2 x , Fz 2 z 4,
(F , G ) v ( u, y ) . (F , G ) y ( u, v )
特别地，方程组
F ( x, y, z ) 0 G ( x , y , z ) 0
可以确定函数 y y( x ), z z( x ), 且
(F ,G ) dy ( x, z ) dx (F ,G ) ( y, z )
x x 0 f1 ( 1) f 2 ( xz yz ), y y
整理得
x f1 xzf 2 , f1 yzf 2 y
把 y 看成 x , z 的函数对方程两边关于 z 求偏导数得
y y 1 f1 ( 1) f 2 ( xy xz ), z z
F u Gu
u F v F v x x x u G v G u x x x
(完整)第五节 隐函数的求导公式
第五节 隐函数的求导公式要求：会求隐函数（包括方程组确定的隐函数）的偏导数。
重点：隐函数（组）的求导公式与求导法。
难点：理解隐函数（组）的存在定理，隐函数组的求导法. 作业：习题8－5（43P ）**1)3)2,4,7,8,10,11一．一个方程的情形在一元函数微分中，曾引进了隐函数的概念，并介绍了不经过显化直接由确定隐函数的方程0),(=y x F ，求它所确定y 是x 的隐函数的导数的方法．下面可利用多元复合函数的求导法则来推出隐函数的求导数公式．例如，方程y e xy e +=确定隐函数的偏导数为y Fdy yx F dx e xy∂∂=-=-∂+∂．如果0≠∂∂yF，则方程0))(,(=x f x F 两边对x 求导，有0=∂∂+∂∂=dx dyy F x F dx dF ，从中解出 yF x F dxdy ∂∂∂∂-=． 1．隐函数存在定理1 设函数),(y x F 满足条件(1）在点000(,)P x y 的某一邻域内具有连续的偏导数； （2）0),(00=y x F ； (3）0),(00≠y x F y ,则方程0),(=y x F 在点),(00y x 的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续，且具有连续导数的函数)(x f y =，它满足条件)(00x f y =，并有导数公式yx F F dx dy-=． 说明：求偏导数x F 时，将函数),(y x F 中y 视为常数，对x 求偏导数； 求偏导数y F 时，将函数),(y x F 中x 视为常数,对y 求偏导数．例1．验证方程1+=yxe y 在点)1,0(的某一邻域内能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的隐函数)(x f y =，当0=x 时1=y ，并求这函数的一阶与二阶导数在0=x 的导数值．解 设函数1),(+-=y xe y x F y,则 yx e F =，1-=yy xe F ，显然偏导数连续，且0)1,0(=F ，又01)1,0(≠-=y F ,因此由定理1可知方程1+=yxe y 在点)1,0(的邻域内能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的隐函数)(x f y =，当0=x 时，1=y ．有导数12y yx yy F dy e e dx F xe y =-==--，e dxdy x ==0| 二阶导数为 222223(2)'(3)(3)'(2)(2)(2)y y y y d y e y y e y e y e y y dx y y y '-+--===--- 222023(31)|2(21)x d y e e dx =-==-． 如果函数),(y x F 的二阶偏导数连续，可求出二阶导数公式dx dy F F y F F x dxy d y x y x )()(22-∂∂+-∂∂=)(22yxyxyy y xy yxyx y xx F F F F F F F F F F F F -----= 3222yxyy y x xy y xx F F F F F F F F +--=．2．隐函数存在定理2 设函数),,(z y x F 满足条件（1）在点0000(,,)P x y z 的某一邻域内具有连续的偏导数； (2）0),,(000=z y x F ； （3）0),,(000≠z y x F z ，则方程0),,(=z y x F 在点),,(000z y x 的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续,且具有连续偏导数的函数),(y x f z =，它满足条件),(000y x f z =，并有偏导数公式z x F F x z -=∂∂，zy F F y z-=∂∂． 公式的推导：由于0),,(=z y x F 确定二元函数),(y x f z =，将其代入方程0),,(=z y x F 中,得0)),(,,(=y x f y x F ,方程两边分别对x 和y 求偏导数得0=∂∂+xzF F zx ，0=∂∂+y z F F zy ， 由上面两式分别解出偏导数z x F F x z -=∂∂，zy F F y z-=∂∂． 说明：求偏导数x F 时，将函数(,,)F x y z 中,y z 视为常数，对x 求偏导数; 求偏导数y F 时，将函数(,,)F x y z 中,x z 视为常数，对y 求偏导数;求偏导数z F 时，将函数(,,)F x y z 中,x y 视为常数,对z 求偏导数．例2．设方程04222=-++z z y x ，求,z zx y ∂∂∂∂，yx z ∂∂∂2．解 方法1：设函数z z y x z y x F 4),,(222-++=．则x F x 2= ，42-=z F z ,y F y 2= 于是 z xz x x z -=--=∂∂2422，z y z y yz -=--=∂∂2422． 上式2z xx z∂=∂-再对y 求偏导数，得 2223()2(2)(2)(2)z yxx z xy y x x y z z z ∂∂∂-===∂∂---． 方法2：方程04222=-++z z y x 两边对x 求偏导，得 2240z z x z x x ∂∂+-=∂∂,解得zxz x x z -=--=∂∂2422， 通理得zy z y y z -=--=∂∂2422练习：设方程ln xz y z=+，求y x z ∂∂∂2．(用两种方法求一阶导(1)z z x x z ∂=∂+，1z z y z ∂=∂+）例3．设方程0),(=zyz x G 确定函数),(y x z z =，且),(v u G 偏导数存在,求y z x z ∂∂∂∂,．解 令(,,)(,)(,)x y F x y z G G u v z z ==，其中,x yu v z z==，z G F x 11⋅=，z G F y 12⋅= ，)()(2221z y G z x G F z -+-=)(1212yG xG z+-=，则2112121)(11yG xG zG yG xG z G z F F x z z x +=+=-=∂∂． 2122122)(11yG xG zG yG xG z G z F F y z z y +=+=-=∂∂． 也可以用方法2求偏导数．练习题 设方程(,,)0G xy y z xz +=确定函数),(y x z z =，而(,,)G u v w 偏导数存在,且230G xG +≠,求yz x z ∂∂∂∂,． 二．方程组的情况1．方程组⎩⎨⎧==0),,,(0),,,(v u y x G v u y x F ⑴这是两个方程四个变量的方程组，一般只能有两个变量独立变化，所以方程组⑴可确定两个二元函数),(),,(y x v v y x u u ==,将其代入⑴中，得(,,(,),(,))0(,,(,),(,))0F x y u x y v x y G x y u x y v x y ==，将上式两边分别对x 求偏导数，得00x u v x uv u v F F F x xu v G G G x x ∂∂⎧++=⎪⎪∂∂⎨∂∂⎪++=⎪∂∂⎩,这是关于x v x u ∂∂∂∂,的线性方程组，可以从中解出x vx u ∂∂∂∂,，也可用行列式求解．见下面定理3． 隐含数存在定理3设函数),,,(v u y x F ，),,,(v u y x G 满足下列条件（1）在点00000(,,,)P x y u v 的某邻域内具有对各个变量的连续偏导数； （2）0),,,(0000=v u y x F ,0),,,(0000=v u y x G ；（3）函数v u G F ,,对的偏导数所组成的函数行列式（或雅可比行列式)0),(),(≠=∂∂=vu vuG G F F v u G F J ,在点00000(,,,)P x y u v 则方程组0),,,(=v u y x F ,0),,,(=v u y x G 在点0P 的某一邻域内恒能唯一确定一组单值连续且具有连续偏导数的函数),(),,(y x v v y x u u ==,满足条件),(000y x u u =，),(000y x v v = 并有偏导数公式),(),(1v x G F J x u ∂∂-=∂∂ ,),(),(1x u G F J x v ∂∂-=∂∂),(),(1v y G F J y u ∂∂-=∂∂ ， ),(),(1y u G F J x v ∂∂-=∂∂．例4．设方程0=-yv xu ，1=+xv yu ，求偏导数yvx v y u x u ∂∂∂∂∂∂∂∂,,,． 解 将所给方程的两边对x 求偏导数并移项,得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=∂∂+∂∂-=∂∂-∂∂v x u x x u y u xu y x ux在022≠+=-=y x xyy x F 条件下，2222y x yv xu y x x v yu x u ++-=+---=∂∂;2222y x xvyu y x v y ux x v +--=+--=∂∂． 同理,方程的两边对y 求偏导数，解方程组得22y x yu xv y u +-=∂∂， 22yx yvxu y v ++-=∂∂． 2．由方程组0),,(=z y x F ,0),,(=z y x G 可确定两个一元函数)(),(x z z x y y ==， 的导数公式．方程 0))(),(,(=x z x y x F ，0))(),(,(=x z x y x G 两边对x 求导,得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-=+⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++x z y x z y z y x z y x G dx dz G dxdy G F dxdz F dx dyF dx dzG dx dy G G dx dz F dx dy F F 00，从中解出zyz y z xz xG G F F G G F F dxdy-= ，zyz y x y x y G G F F G G F F dxdz -=．例5．设0=++z y x ,1222=++z y x ,求dxdz dx dy ,． 解 方程0=++z y x ，1222=++z y x 两边对x 求导,得102220dy dz dx dx dy dz x y z dx dx ⎧++=⎪⎪⇒⎨⎪++=⎪⎩ 1dy dz dx dxdy dz y z xdxdx ⎧+=-⎪⎪⎨⎪+=-⎪⎩， 因为011≠-==y z zy J ， 于是z y x z y z zx dx dy --=---=11 ， zy yx y z xy dx dz --=---=11． 例6．若函数)(u F z =可微，又12sin ()x yu u t dt ϕ+=+⎰，ϕ为连续函数,求xz∂∂． 解 因为x u u F x z ∂∂'=∂∂)(, 又)(cos 2y x x u u x u ++∂∂=∂∂ϕ， 所以 u y x x u cos 2)(-+=∂∂ϕ, 于是 uy x u F x z cos 2)()(-+'=∂∂ϕ，（2cos 0u -≠）． 例7．设),(t x f y =，而t 是由方程0),,(=t y x F 所确定的y x ,函数，其中F f ,都具有一阶连续偏导数，试证明tF y F t f x Ft f t F x f dxdy ∂∂+∂∂∂∂∂∂∂∂-∂∂∂∂=．(完整)第五节 隐函数的求导公式解 因为))((dxdy y t x f t f x f dx dy ∂∂+∂∂∂∂+∂∂=,从中解出yt t f x t t f x f dxdy ∂∂∂∂-∂∂∂∂+∂∂=1 ，又因为),(y x t t =由方程0),,(=t y x F 确定,所以tF x F xt ∂∂∂∂-=∂∂,t F y F y t ∂∂∂∂-=∂∂于是 y F t f t F x F t f t F x f tFy F t f t F x Ftfx f dxdy ∂∂∂∂+∂∂∂∂∂∂-∂∂∂∂=∂∂∂∂∂∂+∂∂∂∂-∂∂+∂∂=)(1)(． 例8．设函数),(y x z z =由方程组v u e x +=,v u e y -=，uv z =确定,求,z zx y∂∂∂∂． 解 函数uv z =对x 求偏导数，得x v u x u v x z ∂∂+∂∂=∂∂, 方程v u e x +=对x 求偏导数得)(1xv x u e v u ∂∂+∂∂=+， 方程v u e y -=对x 求偏导数得)(0xv x u e v u ∂∂-∂∂=-, 解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂-∂∂=∂∂+∂∂--0x v x u e xv x u vu ,得 v u e x v x u --=∂∂=∂∂21，于是)(21v u e x z v u +=∂∂--．(完整)第五节 隐函数的求导公式同理 )(21u v e y z vu -=∂∂--．思考题1．若方程0),,(=z y x F 确定了z 为y x ,的函数，那么如何求二阶偏导数yx z∂∂∂2?。
高数隐函数求导公式
高数隐函数求导公式好嘞，以下是为您生成的关于“高数隐函数求导公式”的文章：在咱们学习高等数学的这个大“战场”上，隐函数求导公式就像是一把神秘又厉害的武器。
我记得有一次给学生们讲这部分内容的时候，有个学生瞪着大眼睛问我：“老师，这隐函数求导咋就这么难理解呢？”当时我就笑了，跟他说：“别着急，咱们一步步来，你会发现它其实也没那么可怕。
”咱们先来说说啥是隐函数。
比如说，方程$x^2 + y^2 = 1$，你没法直接把$y$写成关于$x$的显式表达式，但它确实确定了$x$和$y$之间的关系，这就是隐函数。
那隐函数求导公式到底是啥呢？假设我们有一个隐函数$F(x, y) = 0$，对$x$求导的时候，要记住$y$是$x$的函数。
就拿方程$x^2 + y^2 - 1 = 0$来说吧。
对$x$求导，左边就是$2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0$，然后就能解出$\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$。
在实际做题的时候，大家可别被那些复杂的式子给吓住。
比如说有个题是这样的：$e^{xy} + \sin(xy) = 0$，要求对$x$求导。
这看起来是不是有点让人头疼？但别慌，咱们一步步来。
先对左边求导，$e^{xy}$的导数要用链式法则，先对整体求导是$e^{xy}$，再乘以$y + x\frac{dy}{dx}$；$\sin(xy)$的导数是$\cos(xy)\times (y + x\frac{dy}{dx})$。
整理一下，就能得出$\frac{dy}{dx}$的表达式。
学习隐函数求导公式的时候，大家一定要多动手练。
就像学骑自行车，刚开始可能会摇摇晃晃，但练得多了，自然就熟练了。
我曾经有个学生，一开始做隐函数求导的题目总是出错，但是他不气馁，每天都找我要几道题回去练，没过多久，他就掌握得特别好了，考试的时候这部分的题目几乎都没丢分。
总之，隐函数求导公式虽然有点复杂，但只要咱们掌握了方法，多做练习，就一定能把它拿下。
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第五讲 隐函数的求导公式
授课题目：
§8.4 隐函数的求导公式
教学目的与要求：
会求隐函数(包括由两个方程组成的方程组确定的隐函数)的偏导数。
教学重点与难点：
重点：求由一个方程确定的隐函数的偏导数。
难点：求隐函数(包括由两个方程组成的方程组确定的隐函数)的偏导数。
讲授内容：
一、一个方程的情形
隐函数存在定理1 设函数F (x , y )在点P (x 0, y 0)的某一邻域内具有连续偏导数, F (x 0, y 0)=0, F y (x 0, y 0)≠0, 则方程F (x , y )=0在点(x 0, y 0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数y =f (x ), 它满足条件y 0=f (x 0), 并有
y
x F F dx dy -=. （2） 公式（2）的推导：将y =f (x )代入F (x , y )=0, 得恒等式
F 【x , f (x )】≡0,
等式两边对x 求导得
0=⋅∂∂+∂∂dx
dy y F x F , 由于F y 连续, 且F y (x 0, y 0)≠0, 所以存在(x 0, y 0)的一个邻域, 在这个邻域同F y ≠0, 于是得
y
x F F dx dy -= 例1 验证方程x 2+y 2-1=0在点(0, 1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x =0时y =1的隐函数y =f (x ), 并求这函数的一阶与二阶导数在x =0的值.
解 设F (x , y )=x 2+y 2-1, 则F x =2x , F y =2y , F (0, 1)=0, F y (0, 1)=2≠0. 因此由
定理1可知, 方程x 2+y 2-1=0在点(0, 1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x =0时y =1的隐函数y =f (x ).
y x F F dx dy y x -=-=，00
==x dx dy ; 332222221)(y y x y y y x x y y y x y dx y d -=+-=---='--=, 10
22-==x dx y d . 隐函数存在定理还可以推广到多元函数，一个二元方程F (x , y )=0可以确定一个一元隐函数, 一个三元方程F (x , y , z )=0可以确定一个二元隐函数. 隐函数存在定理2 设函数F (x , y , z )在点P (x 0, y 0, z 0)的某一邻域内具有连续的偏导数, 且F (x 0, y 0, z 0)=0, F z (x 0, y 0, z 0)≠0 , 则方程F (x , y , z )=0在点(x 0, y 0, z 0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数z =f (x , y ), 它满足条件z 0=f (x 0, y 0), 并有
z x F F x z -=∂∂, z y F F y
z -=∂∂ （4） 公式（4）的推导：将z =f (x , y )代入F (x , y , z )=0, 得F 【x , y , f (x , y )】≡0, 将它的两端分别对x 和y 求导, 得
0=∂∂⋅+x
z F F z x , 0=∂∂⋅+y z F F z y . 因为F z 连续且F z (x 0, y 0, z 0)≠0, 所以存在点(x 0, y 0, z 0)的一个邻域, 使F z ≠0, 于是得
z x F F x z -=∂∂, z y F F y
z -=∂∂. 例2. 设函数由方程3.
=+-xy z e z 所确定, 求22x z ∂∂． 解 设F (x , y , z )= 3.
-+-xy z e z , 则F x =y , F z =1-z e , z
z z x e y e y F F x z -=--=-=∂∂11,
3
22222
2)1()1(1)1()(z z z z z z e e y e e y ye e x z e y x z -=--⋅=-∂∂--=∂∂ 二、方程组的情形 在一定条件下, 由个方程组F (x , y , u , v )=0, G (x , y , u , v )=0可以确定一对二元函数u =u (x , y ), v =v (x , y ), 例如方程xu -yv =0和yu +xv =1可以确定两个二元函数22y x y u +=, 2
2y x x v +=．一般地，方程组 ⎩⎨⎧==0
),,,(0),,,(v u y x G v u y x F （5） 如何根据原方程组求u , v 对x 和,y 的偏导数？
介绍二阶行列式、简要介绍解线性方程的克莱姆法则。
隐函数存在定理3 设F (x , y , u , v )、G (x , y , u , v )在点P (x 0, y 0, u 0, v 0)的某一邻域内具有对各个变量的连续偏导数，又F (x 0, y 0, u 0, v 0)=0, G (x 0, y 0, u 0, v 0)=0，且偏导数所组成的函数行列式：
v
G u G
v F u F v u G F J ∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂=),(),( 在点P (x 0, y 0, u 0, v 0)不等于零，则方程组F (x , y , u , v )=0, G (x , y , u , v )=0在点P (x 0, y 0, u 0, v 0)的某一邻域内恒能唯一确定一组连续且具有连续偏导数的函数u =u (x , y )，v =v (x , y )，它们满足条件u 0=u (x 0, y 0)，v 0=v (x 0, y 0)，并有
v u
v u v x
v x
G G F F G G F F v x G F J x u -=∂∂-=∂∂),(),(1, v
u v u x u x u
G G F F G G F F x u G F J x v -=∂∂-=∂∂),(),(1, （6）
v
u v u v y v y G G F F G G F F v y G F J y u -=∂∂-=∂∂),(),(1, v
u v u y u y u G G F F G G F F y u G F J y v -=∂∂-=∂∂),(),(1. 公式（6）的推导：设方程组F (x , y , u , v )=0, G (x , y , u , v )=0确定一对具有连续偏导数的二元函数u =u (x , y ), v =v (x , y ), 则
⎩⎨⎧≡≡0
)],(),,(,,[0)],(),,(,,[y x v y x u y x G y x v y x u y x F 由0≠=v
u v
u
G G F F J ，从而偏导数x u ∂∂, x v ∂∂由方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂+∂∂+=∂∂+∂∂+.0,0x v G x u G G x v F x u F F v u x v u x 确定，偏导数y u ∂∂, y
v ∂∂由方程组 ⎪⎩
⎪⎨⎧=∂∂+∂∂+=∂∂+∂∂+.0,0y v G y u G G y v F y u F F v u y v u y 确定．
例3 设x +y +z =0，222z y x ++=1, 求dx dy , dx
dz 解 这两个方程确定了两个隐函数:y =ϕ(x )，z =ψ(x )，两个方程两边分别对x 求导, 得关于dx dy 和dx
dz 的方程组
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-=+x dx dz z dx
dy y dx dz dx dy 1, 当=z y 1
1z-y ≠0时，解之得
y
z z x y z z x dx dy --=---=1
1 y
z x y y z x y dx dz --=---=11 例4 设函数x =x (u , v ), y =y (u , v )在点(u , v )的某一领域内连续且有连续偏导数, 又0)
,(),(≠∂∂v u y x (1)证明方程组
⎩
⎨⎧==),(),(v u y y v u x x 在点(x , y , u , v )的某一领域内唯一确定一组单值连续且有连续偏导数的反函数u =u (x , y ), v =v (x , y ).
(2)求反函数u =u (x , y ), v =v (x , y )对x , y 的偏导数.
解 (1)将方程组改写成下面的形式
⎩
⎨⎧=-≡=-≡0),(),,,(0),(),,,(v u y y v u y x G v u x x v u y x F , 则按假设 .0)
,(),(),(),(≠∂∂=∂∂=v u y x v u G F J 由隐函数存在定理3，即得所要证的结论.
(2)将方程组(7)所确定的反函数u =u (x , y ),v =v (x , y )代入(7)，即得
⎩
⎨⎧≡≡)],(),,([)],(),,([y x v y x u y y y x v y x u x x , 将上述恒等式两边分别对x 求偏导数，得
⎪⎩⎪⎨⎧∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=x
v v y x u u y x v v x x u u x 01.
由于J ≠0，故可解得
v y J x u ∂∂=∂∂1, u y J x
v ∂∂-=∂∂1. 同理，可得
v x J y u ∂∂-=∂∂1, u
x J y v ∂∂=∂∂1. 课外作业：习题8－5：P 37-2、8、10(3)。