三阶系统的综合分析与设计

三阶系统的综合分析与设计摘要：真对三阶系统综合分析与设计问题，试绘制根轨迹，通过分离点的求解，理论分析单位阶跃响应，2tt=单位阶跃信号、斜坡信号及单位加速度信号时的稳态误差，tr++3(t))(1并求取当-6为闭环系统的一个极点时的K值，求取主导极点阻尼比为0.7时的K值，绘制Bode图和Nyquist曲线，求取幅值裕度和相角裕度，并验证了其正确性和有效性。

主题词：三阶系统，根轨迹，单位阶跃响应，传递函数关键词 Third-order system's generalized analysis Abstract：Analyzes and designs the question really to the third-order systems synthesis. Draw root locus.Through solving separation point. Theoretical analysis unit order step response2tt=. Unit Laplace domain signals. Ramp+r+t3)(1)(tsignals and unit of the steady-state error acceleration signal. And when calculating the 6 - for the closed-loop system when a pole of K value. Calculating the dominant pole damping ratio is 0.7 of K value. Draw Bode diagram and the Nyquist curve. Calculating the amplitude margins, and phase Angle tolerance. And to verify its validity and availability. And to verify its validity and availability.Key words：Third-order system.Root locus.Unit order step-response.Transfer function0引言：在控制工程中，三阶系统非常普遍，但是三阶系统属于高阶系统,其动态性能指标的确定是比较复杂，不能像二阶系统那样可以用特定的公式计算。

因此，我们可以借助于MATLAB 软件对高阶系统进行分析。

要掌握用MATLAB绘制闭环系统根轨迹和和系统响应曲线，还要掌握BODE图和Nyquist曲线的绘制。

以及在比较点与开环传递函数之间加一个非线性环节后用负倒描述函数和Nyquist曲线判断系统的稳定性。

1．理论基础1.1根轨迹：根轨迹是开环系统某一参数从零变化到无穷大时，闭环系统特征根在s平面上变化的轨迹。

根轨迹由180度、0度和参量根轨迹。

1.2闭环系统：输出量直接或间接地反馈到输入端，形成闭环参与控制的系统成为闭环控制系统。

也叫反馈控制系统。

为了实现闭环控制，必须对输出量进行测量，并将测量的结果反馈到输入端与输入量进行相减得到偏差，再由偏差产生直接控制作用去消除偏差。

整个系统形成一个闭环。

对于自动控制系统而言，闭环系统，在方框图中，任何一个环节的输入都可以受到输出的反馈作用。

控制装置的输入受到输出的反馈作用时，该系统就称为全闭环系统，或简称为闭环系统。

1.3MATLAB 绘制根轨迹 1.4单位阶跃响应 1.5绘制BODE 图 2．方法提出初始条件：某单位反馈系统结构图如图1、2所示：)图1 图2要求绘制根轨迹，k 值的求取，稳态误差，单位阶跃响应，BODE 图和Nyquist 曲线判断稳定性。

3．实验验证3.1理论绘制根轨迹根据绘制根轨迹的规则，可知该系统的根轨迹绘制步骤如下： 开环传递函数为：7.13()(2)(5)G s s s s =++3.3.1根轨迹的起点、终点和根轨迹条数根轨迹起于开环极点（包括无限极点），终于开环零点（包括开环零点）。

系统有三个极点（n=3）,没有零点（m=0）,即有三条根轨迹分支，它们的起始点为开环极点(0，-2，-5)；因为没有开环零点，所以三条根轨迹分支均沿着渐近线趋向无限远处。

3.1.2实轴上的根轨迹根轨迹在实轴上的分布，实轴上的某一区域，若是右边开环实数零、极点个数之和为奇数，则该区域必是根轨迹可知,实轴上的[-∞,-5] 和 [-2, 0]区域为根轨迹。

3.1.3根轨迹的确定本系统根轨迹的渐近线有三条，据其与实轴的夹角公式:(21)180,0,1,2,a k k n mφ+=︒=- 把n=3,m=0代入求得：(21)(21)18060,180,300(0,1,2)3a k k k n m φ︒︒︒++=︒===- 渐近线与实轴的交点为：0257303n m jijip zn mασ---===---∑∑3.1.4分离点的求解系统中没有有限零点，由法则五得：111025d d d ++=++ 解得：72d =-和76d =-由于根轨迹区域为[-2, 0]，所以取76d =- 3.1.5根轨迹与虚轴的交点 闭环特征方程式为327100s s s k +++= 对上式应用劳斯判据，有：3s1 102s 7 k1s7*107k- 0s k令劳斯表中1s 行的首项为零，得k= 70,根据2s 行的系数，得辅助方程： 72s +k=0将k=70代入上式并令s j ω=,解得交点坐标 3.16/rad s ω=图2-1 闭环根轨迹图理论上绘制的根轨迹应如图3-1所示。

所以，理论分析验证MATLAB 绘制的根轨迹正确。

3.2理论分析单位阶跃响应开环传递函数为：7.13()(2)(5)G s s s s =++当输入信号为单位阶跃函数()1()r t t =时，输出稳态误差为11ess kp =+，0lim ()p s k G s →=→∞，所以稳态误差ess =0。

由图3-1可以看出单位阶跃响应的的稳定值为1，与输入()1()r t t =相等，所以稳态误差为零。

上面的理论分析稳态误差ess =0。

与用MATLAB 绘制的曲线的趋势相符，所以MATLAB 绘制的图形正确。

图3-2 单位阶跃响应3.3理论分析BODE 图开环传递函数为7.13()(2)(5)G s s s s =++=0.713(1)(1)25s s s ++，交接频率为12/rad s ω=，25/rad s ω=。

2/rad s ω<时，斜率为：20/dB dec -；当2/5/rad s rad s ω<<时，斜率为：40/dB dec -；当5/rad s ω>时，斜率为：60/dB dec -。

所以MATLAB 绘制的BODE 图（如图3-2所示）正确。

图3-3 BODE 图分析相角裕度和幅值裕度：()1c A ω==（c ω为截止频率）求得c ω=0.67/rad s相角裕度18090arctan arctan25ccωωγ=---=63.85deg.()90arctanarctan(21)25xxx k ωωϕωπ=---=+ k 取0,1,2…（x ω为穿越频率）求得x ω=3.16/rad s .幅值裕度：h =-20log ︱()x A ω︱=19.83dB.将相角裕度和幅值裕度与图3-2中的实际值相比，几乎没有误差。

所以说，用MATLAB绘制的BODE 图和求出的相角裕度和幅值裕度均正确，恰好与理论相符。

3.4分析Nyquist 曲线绘制Nyquist 曲线有三点重要因素：1.开环幅相曲线的起点（ω=0）和终点（ω→∞）开环传递函数为7.13()(2)(5)G s s s s =++，所以222222249.917.13(10)()(10)49[(10)49]jG j ωωωωωωω-=---+-+，令实部P=22249.91(10)49ωω--+，虚部Q=22227.13(10)[(10)49]jωωωω---+，当0ω→时，P=-0.04991，Q →-∞；当ω→∞时，P=0，Q=0。

这是一个I 型系统，根据绘制原则，开环幅相曲线起于-90的无穷远处。

2.开环幅相曲线与实轴的交点：令Q=0，得到3.16/rad s ω==，此时，P=-0.1。

所以开环幅相曲线经过点（-0.1，0）。

3.开环幅相曲线的变化范围：上面的计算中可以看到开环幅相曲线经过负实轴，最终回到零，所以可以推测出曲线经过第三和第四象限。

绘制出的Nyquist 曲线如图3-4所示：根据分析当 3.16/rad s ω<时，Q>0,但是由于Q 值很小,所以开环幅相曲线看起来几乎是和实轴重合的,但实际上是Q>0的。

图3-4 Nyquist 曲线图2-4和图2-6中绘制的Nyquist 曲线都包含了ω从0--∞→和0+→∞的部分，所以图形是关于实轴对称的，而图3-4绘制出ω从0+→∞的部分。

理论分析的Nyquist 曲线和用MATLAB 绘制的曲线是相符的。

4．结论MATLAB 它有着强大的数据处理能力，处理速度快，精度高，它不仅可以用来绘制曲线，而且可以用来帮助解方程，以及做仿真处理，帮助验证理论分析的真确性。

这次我做的是一个三阶系统的综合分析和设计，主要完成的任务是绘制根轨迹﹑绘制单位阶跃响应﹑求稳态误差﹑绘制BODE 图和Nyquist 曲线﹑求幅值裕度和相角裕度以及加入非线性死区利用负倒描述函数和Nyquist 曲线来判断系统的稳定性。

并解决了加入非线性死区利用负倒描述函数和Nyquist 曲线来判断系统的稳定性。

<参考文献>[1]胡寿松.自动控制原理（第四版）[M].科学出版社，2001.9[2]刘慧英.自动控制原理 导教·导学·导教（第四版）[M].西北工业大学出版社，2003.11 [3]袁冬莉.自动控制原理（解题题典）[M].西北工业大学出版社，2003.3 [4]张 静.MATLAB 在控制系统中的应用[M].电子工业出版社，2007。