1.3.1《二项式定理》
对(a+b)2展开式的分析
(a+b)2＝ (a+b) (a+b) 展开后其项的形式为：a2 ， ab ， b2
这三项的系数为各项在展开式中出现的次数。考虑b
每个都不取b的情况有1种，即C20 ,则a2前的系 数为C20 恰有1个取b的情况有C21种，则ab前的系数为C21 恰有2个取b的情况有C22 种，则b2前的系数为C22 (a+b)2 = a2 +2ab+b2 ＝C20 a2 + C21 ab+ C22 b2 (a+b)3=a3 + 3a2b+3ab2 + b3
2
+C b
n n
n
T
(6)
Ca b C
项的系数为 二项式系数与数字系数的积
二项式系数为Cn0，Cn1，Cn2 ，… Cnk , … , Cnn是一组与二项式次数n有关的组合数， 与a,b无关
在二项式定理中，令a=1，b=x，则有：
(1 + x) = 1 + C x + C x +
n
1 n
2 2 n
3)．你能分析说明各项前的系数吗？ a4 a3b a2b2 ab3 b4 每个都不取b的情况有1种，即C40 ,则a4前的 系数为C40
恰有1个取b的情况有C41种，则a3b前的系数为C41 恰有2个取b的情况有C42 种，则a2b2前的系数为C42 恰有3个取b的情况有C43 种，则ab3前的系数为C43 恰有4个取b的情况有C44种，则b4前的系数为C44
4 6 4 1 1 2 3 4 x x x x
典例剖析 例1.(1)求(1 1 ) 4的展开式；
x
解法一： (2 x （2）
2 6 4
1 6 (2)求(2 x ) 的展开式. x 1 6 1 0 6 1 5
x ) C6 ( 2 x ) C6 ( 2 x ) ( x
①项数： 展开式共有n＋1项. ②次数： 各项的次数均为n
字母a的次数按降幂排列，由n递减到0 ,
字母b的次数按升幂排列，由0递增到n .
k C ③二项式系数: n (k 0,1,2,, n)
④二项展开式的通项:
k nk k Tk 1 Cn a b
1、求(x+a)12的展开式中的倒数第4项。 2、(1)求(1+2x)7的展开式中第4项的系 数。
二项式定理： n ∈ N
n 0 n n
*
(a + b) = C a + C a b + C a b + +C a b +
(5) 展开式中的第 r + 1 项， 即通项
r n-r r n ； r+1 =__________ r 二项式系数为 ______ ； n
r n n-r r
1 n
n-1
2 n
n-2
6
3 1.解 : T4 C6 163 (3 x) 3
540 x 3
所以展开式中第4项的系数为 540
巩固练习
1.求(1 3 x) 的展开式中第4项的系数. 1 7 3 2.求( x ) 的展开式中x 的系数. x
6
2.解 : Tk 1 C x
k 7
7k
2 k ( ) x
2 k C7k x 7 2 k
依题意, 得 : 7 2k 3
k 2
所以展开式中x 3的系数是2 2 C72 84
二项式定理
(a b) C a C a
n 0 n n 1 n 1 n
b C a
k n
n k
b C b (n N )
k n n n *
1 9 (2)求(x－ ) 的展开式中x3的系数。 x
x 3 9 )的展开式常数项； 3.(1)求 ( 3 x
王新敞
奎屯 新疆
x 3 9 ) 的展开式的中间两项. (2)求 ( 3 x
0 n 1 n 1 2 n 2 2 ( a b )n C n a Cn a b Cn a b
C a
r n
n r
b
r
C b
n n
n
定理的证明
(a+b)n是n个(a+b)相乘， 每个（a+b）在相乘时有两种 选择，选a或b. 而且每个(a+b)中的a或b选定后才能 得到展开式的一项。 由分步计数原理可知展开式共有2n项 （包括同类项），
1 6 例1.(2)求(2 x ) 的展开式 x
1 2 ) ③ T3 C ( 2 x ) ( x 240 x 展开式的第3项是240 x
2 6 4
C 15
2 6
1 典例剖析 例1.(2)求(2 x ) 6的展开式 x
对于例1（2）中，请思考： ①展开式中的第3项的系数为多少？ ②展开式中的第3项的二项式系数为多少？ ③你能直接求展开式的第3项吗？ 2 ④你能直接求展开式中 x 的系数吗？
5 6
1 典例剖析 例1.(1)求(1 ) 4的展开式； x 1 6 (2)求(2 x ) 的展开式. x
1 6 2x 1 6 1 解法二（ : 2 x ) ( ) 3 (2 x 1) 6 x x x 1 0 6 1 5 2 4 3 3 3 [C6 (2 x) C6 (2 x) C6 (2 x) C6 (2 x) x
其中每一项都是akbn-k的形式，k=0，1，…，n；
对于每一项akbn-k，它是由k个(a+b)选了a，n-k个(a+b) 选了b得到的，它出现的次数相当于从n个(a+b)中取 k个a的组合数，将它们合并同类项，就得二项展开 式，这就是二项式定理。
二项式定理： n ∈ N
n 0 n n
*
(a + b) = C a + C a b + C a b + +C a b +
1 k ④ Tk 1 C ( 2 x ) ( ) 解： x k 6 k k 3 k (1) 2 C6 x
k 6 6 k
依题意, 得 : 3 k 2
k 1
x 的系数是(1) 2 C 192
2 1 5 1 6
巩固练习
1.求(1 3 x) 的展开式中第4项的系数. 1 7 3 2.求( x ) 的展开式中x 的系数. x
则 (a+b)4 ＝ C40 a4 ＋C41 a3b ＋C42 a2b2 ＋C43 ab3 ＋C44 b4
(a+b)n的展开式是：
(a+b ) n=
C a + C a b+C a b + +C a b
n-1 1 n n-1
0 n n
1 n-1 n
2 n-2 n
2
+C b
n n
n
二项定理
一般地，对于n N*有
+C x +
r r n
+C x
n n n
在上式中，令 x = 1，则有：
2 = C +C +C +
n
0 n
1 n
2 n
+C +
r n
+C
n n
典例剖析
1 4 例1.(1)求(1 ) 的展开式； x 1 6 (2)求(2 x ) 的展开式. x
4 2 3 4
1 1 1 2 1 3 1 4 1 解 : (1)1 1 C4 C4 C4 C4 x x x x x
C (2 x) C (2 x) C ]
4 6
3
2
5 6
6 6
60 12 1 64 x 192 x 240 x 160 2 3 x x x
2
典例剖析
对于例1（2）中，请思考： ①展开式中的第3项的系数为多少？ ②展开式中的第3项的二项式系数为多少？ ③你能直接求展开式的第3项吗？ 2 ④你能直接求展开式中 x的系数吗？ 解：①展开式中的第3项的系数为240 ②展开式中的第3项的二项式的系数为
复 习：
(a+b
(a+b
)2
)3
= a + 2ab + b
3 2
2
2
= a + 3a b + 3ab + b
2
3
思考:(a+b)4的展开式是什么?
复 习：
(a+b
(a+b
)2
)3
= a + 2ab + b
3 2
2
2
= a + 3a b + 3ab + b
2
3
次数:各项的次数等于二项式的次数
项数:次数+1
)
1 2 1 3 1 4 3 3 4 2 C (2 x ) ( ) C6 ( 2 x ) ( ) C6 ( 2 x ) ( ) x x x
1 5 1 6 6 C (2 x )( ) C6 ( ) x x 60 12 1 3 2 64 x 192 x 240 x 160 2 3 x x x
= C30a3 +C31a2b+C32ab2 +C33 b3
(a+b)4＝ (a+b) (a+b) (a+b) (a+b)＝？
问题：
1)．(a+b)4展开后各项形式分别是什么？ a4 a3b a2b2 ab3 b4 2)．各项前的系数代表着什么？
1.3.1 二项式定理 课件(人教A选修2-3)
(2)求展开式中的常数项．
解：(1)x2＋2
1
10
x
的展开式的第
5
项为
T5＝C410·(x2)6·21 x4＝C410·124·x12· 1x4＝1805x10.
(2)设第 k＋1 项为常数项，
则
Tk
＋
1
＝
C
k 10
2．相关概念
(1)公式右边的多项式叫做(a＋b)n 的二项展开式． (2)各项的系数 Ckn(k∈{0，1，2，…，n}) 叫做二项式系数． (3)展开式中的 Cknan－kbk 叫做二项展开式的通项，记作 Tk＋1 ， 它表示展开式的第 k＋1 项．
(4)在二项式定理中，如果设 a＝1，b＝x，则得到公式 (1＋x)n＝ C0n＋C1nx＋C2nx2＋…＋Cknxk＋…＋Cnnxn.
()
A．10
B．－10
C．40
D．－40
解析：二项式(2x2－1x)5 展开式的第 r＋1 项为 Tr＋1＝Cr5(2x2)5
－r(－1x)r＝Cr5·25－r×(－1)rx10－3r，当 r＝3 时，含有 x，其系数
为 C35·22×(－1)3＝－40. 答案：D
4．已知二项式x2＋21 x10. (1)求展开式中的第 5 项；
＋C44·( 1x)4 ＝81x2＋108x＋54＋1x2＋x12.
法二：(3 x＋ 1x)4＝3x＋ x2 14 ＝x12(81x4＋108x3＋54x2＋12x＋1) ＝81x2＋108x＋54＋1x2＋x12. (2)原式＝C05(x－1)5＋C15(x－1)4＋C25(x－1)3＋C35(x－1)2 ＋C45(x－1)＋C55(x－1)0－1 ＝[(x－1)＋1]5－1＝x5－1.
高二数学 第一章1.3.1 二项式定理
本
解析 依题意 C57a2＋C37a4＝2C74a3.
课
时 由于 a≠0，整理得 5a2－10a＋3＝0，
栏
目 开 关
解得
a＝1±
10 5.
练一练·当堂检测、目标达成落实处
1.3.1
4．求2
x－
1 6 x
的展开式．
解 先将原式化简，再展开，得
本
2 x－ 1x6＝2x－x 16＝x13(2x－1)6
开 关
(a＋b)在相乘时都有两种选择：选 a 或选 b，而且每个(a＋b)
中的 a 或 b 都选定后，才能得到展开式的一项．由分步乘法
计数原理，在合并同类项之前，(a＋b)2 展开式共有 2×2＝
22 项，而且 a2－kbk 相当于从 2 个(a＋b)中取 k 个 b 的组合数
Ck2，即 a2－kbk 的系数是 Ck2.
பைடு நூலகம்
当 9－2r＝5 时，解得 r＝2，所以系数为 36.
所以展开式中，不含 x6 项，含有 x5 项，系数为 36.
研一研·问题探究、课堂更高效
1.3.1
探究点三 综合应用
例3
已知
x－ 2
1 4
x
n
的展开式中，前三项系数的绝对值依次
成等差数列．
本
(1)证明：展开式中没有常数项；
课
时
(2)求展开式中所有的有理项．
栏 目 开 关
(即1)证n2－明9n＋由8题＝意0，得：2Cn1·12＝1＋Cn2·122，
∴n＝8 (n＝1 舍去)．
∴Tk＋1＝Ck8(
x)8－k·－241
xk＝－12k·Ck8x
8－k 2
·x－4k ＝
1.3.1二项式定理(三中李福禄)
课题：二项式定理昌邑三中 李福禄教学目标：理解二项式定理，能够应用通项公式求特殊项教学重点：二项式定理的理解及展开式的应用教学难点：1.理解用组合的知识推导二项式定理2．理解通项的定义并会灵活应用3.区分项的系数与二项式系数教学过程【课前准备】㈠知识链接1.（a + b ） 2=______________________________________2. (a + b )3=____________________________________________3.C mn =_________________________=________________________ ㈡问题导引1. (a + b )3展开式有几项？每项的次数和是几？系数有怎样的规律？2. ()4b a + 展开式有几项？每项的次数和是几？系数又有怎样的规律？【学习探究】问题探究：观察()4b a +=（a+b ）（a+b ）（a+b ）（a+b ）,则 ①()4b a +展开式中各项都是几次式？为什么？ ②()4b a +展开式中的项分别是4a ,43223,,,b ab b a b a 组成上述每一项需要几步完成？ ③从组合的观点看，4a 项可以这样产生：从四个因式（括号）中都不取b,而全部取a ，共有C 4404C 种方法， 故4a 的系数是04C ；b a 3项可以这样产生：从四个因式（括号）中任取一个因式（括号）中的b ，再从其余三个因式（括号）中全部取a ，共有C 3314C 种方法，故b a 3系数是14C ;依此类推，试确定4322,,b ab b a 项的系数？ 知识点梳理1. （a +b ）n=_____________________________________________________2. 二项式系数__________________________3. 通项公式T 1+r =________________________________ 思考与讨论1. 试判断(x-2y+z)5展开式中x 2y 2z 项的系数？2. 二项式系数与项的系数一样么？3. 二项展开式的通项是第几项？4. （1+X ）n =_______________________________________________________ ㈢典例分析例1：展开（2x -x 1）6解：（2x -x 1）6 =612⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x =()3612x x -=31x ()[]612-+x =()()()()()()[]6656246336426516632222221C x C x C x C x C x C x x+-+-+- =64x 3－192 x 2 +240 x －160+x 60－212x +31x 例2：求（1+2x ）7展开式的第4项的二项式系数及系数解：（1+2x ）7展开式的第4项是T 4=T 13+=C 37·14·(2x)3= C 37·23·x 3所以展开式的第4项的二项式系数是C 37=35，展开式的第4项的系数是C 37·23=280. ㈣变式拓展例3：求展开式(x-x 1)9中含x 3的项，并说明它是展开式的第几项？ 解：(x-x1)9展开式的通项是 T 1+r =C r 9x r -9(-x1)r =(-1)r r r x C 299- 依题意，有 9-2r=3，r=3所以，展开式中含x 3的项为T ()333934841x x C -=-= 它是展开式的第4项。
1.3.1二项式定理
§1.3.1 二项式定理【教学目标】1.理解二项式定理及推导方法，识记二项展开式的有关特征，能对二项式定理进行简单应用；2.通过对二项式定理内容的研究，体验特殊到一般的发现规律，一般到特殊指导实践的认识事物过程。
【教学重难点】教学重点：二项式定理的内容及归纳过程；教学难点：在二项式展开的过程中，发现各项及各项系数的规律。
【教学过程】一、设置情景，引入课题引入：二项式定理研究的是（a+b）n的展开式。
如（a+b）2=a2+2ab+b2, （a+b）3=？，（a+b）4=？，那么（a+b）n的展开式是什么呢？二、引导探究，发现规律1、多项式乘法的再认识问题1：（a1+ b1）(a2+b2) (a3+ b3)展开式中每一项是怎样构成的？展开式有几项？2、（a+b）3展开式的再认识问题2：将上式中，若令a1=a2=a3=a, b1=b2= b3=b,则展开式又是什么？合作探究1：合并同类项后，为什么a2b的系数是3？教师引导：可以发现a2b是从（a+b）（a+b）（a+b）这三个括号中的任意两个中选a，剩下的一个括号中选b；利用组合知识可以得到a2b应该出现了C23· C11=3次，所以a2b的系数是3。
问题3：（a+b）4的展开式又是什么呢？可以对（a+b）4按a或按b进行分类：（1）四个括号中全都取a，得：C44a4（2）四个括号中有3个取a，剩下的1个取b，得：C34a3· C11b（3）四个括号中有2个取a，剩下的2个取b，得：C24a2· C22b2（4）四个括号中有1个取a，剩下的3个取b，得：C14a· C33b3（5）四个括号中全都取b，得：C44b4小结：对于展开式，只要按一个字母分类就可以了，可以按a分类，也可以按b分类，再如：（1）不取b：C04a4；（2）取1个b：C14a3b；（3）取2个b：C24a2b2；（4）取3个b：C34a b3；（5）取4个b：C44b4，然后将上面各式相加得到展开式。
高中数学 第一章 计数原理 1.3 二项式定理 1.3.1 二项
1.3.1 二项式定理1．二项式定理(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋…＋C k n a n －k b k ＋…＋C n n b n (n ∈N *) (1)这个公式叫做二项式定理．(2)展开式：等号右边的多项式叫做(a ＋b )n的二项式的展开式，展开式中一共有____项．(3)二项式系数：各项的系数__(k ∈{0,1,2，…，n })叫做二项式系数． 2．二项展开式的通项(a ＋b )n展开式中第k ＋1项____________(k ∈{0,1,2，…，n })称为二项展开式的通项． 预习交流(1)二项展开式的特点有哪些？(2)(x ＋1)n的展开式共有11项，则n 等于( )． A ．9 B ．10 C ．11 D ．12(3)⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 7的展开式中第3项的二项式系数为__________，第6项的系数为__________，x 的次数为5的项为__________．答案：1．(2)n ＋1 (3)C kn2．T k ＋1＝C k n a n －k b k预习交流：(1)提示：①项数：n ＋1项；②指数：字母a ，b 的指数和为n ，字母a 的指数由n 递减到0，同时b 的指数由0递增到n ；③通项公式T r ＋1＝C r n a n －r b r指的是第r ＋1项，不是第r 项；④某项的二项式系数与该项的系数不是一个概念，C rn 叫做二项式系数，而某一项的系数是指此项中除字母外的部分，如(1＋2x )3的二项展开式中第3项的二项式系数为C 23＝3，而该项的系数为C 23·22＝12.(2)提示：B(3)提示：21 －84 －448x 5一、二项式定理的直接应用求⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 4的展开式．思路分析：直接利用二项式定理处理是基本的方法．但考虑到处理起来比较复杂，因此可以考虑将原式变形后再展开．化简：(x －1)5＋5(x －1)4＋10(x －1)3＋10(x －1)2＋5(x －1)．熟记二项式(a ＋b )n的展开式，是解决此类问题的关键，我们在解较复杂的二项式问题时，可根据二项式的结构特征进行适当变形，简化展开二项式的过程，使问题的解决更加简便．二、二项展开式中特定项(项的系数)的计算1．(2011山东高考，理14)若⎝⎛⎭⎪⎫x －a x 26展开式的常数项为60，则常数a 的值为__________．思路分析：利用二项式定理的通项公式求出不含x 的项即可．2．(2011天津高考，理5)在⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－2x 6的二项展开式中，x 2的系数为( )．A ．－154B ．154C ．－38D ．38思路分析：利用二项展开式的通项公式求．1．(2011陕西高考，理4)(4x －2－x )6(x ∈R )展开式中的常数项是( )． A ．－20 B ．－15 C ．15 D ．202．(2011广东高考，理10)x ⎝⎛⎭⎪⎫x －2x 7的展开式中，x 4的系数是________．(用数字作答)求二项展开式的特定项问题，实质是考查通项T k ＋1＝C k n an －k b k的特点，一般需要建立方程求k ，再将k 的值代回通项求解，注意k 的取值范围(k ＝0,1,2，…，n )．(1)第m 项：此时k ＋1＝m ，直接代入通项；(2)常数项：即这项中不含“变元”，令通项中“变元”的幂指数为0建立方程； (3)有理项：令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程．特定项的系数问题及相关参数值的求解等都可依据上述方法求解． 三、二项式定理的应用(整除问题)试判断7777－1能否被19整除．思路分析：由于76是19的倍数，可将7777转化为(76＋1)77用二项式定理展开．证明：32n ＋2－8n －9是64的倍数．用二项式定理解决a n＋b 整除(或余数)问题时，一般需要将底数a写成除数m 的整数倍加上或减去r (1≤r ＜m )的形式，利用二项展开式求解．答案：活动与探究1：解法1：⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 4＝C 04(3x )4⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 0＋C 14(3x )3·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋C 24(3x )2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋C 34(3x )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 3＋C 44(3x )0⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 4＝81x 2＋108x ＋54＋12x ＋1x 2.解法2：⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 4＝3x ＋14x 2＝1x 2(81x 4＋108x 3＋54x 2＋12x ＋1)＝81x 2＋108x ＋54＋12x ＋1x2.迁移与应用：解：原式＝C 05(x －1)5＋C 15(x －1)4＋C 25(x －1)3＋C 35(x －1)2＋C 45(x －1)＋C 55－1＝[(x －1)＋1]5－1＝x 5－1.活动与探究2：1.4 解析：由二项式定理可知T r ＋1＝C r 6x 6－r⎝ ⎛⎭⎪⎫－a x 2r ＝C r 6(－a )r x 6－3r， 令6－3r ＝0，得r ＝2，∴T 3＝C 26(－a )2＝60. ∴15a ＝60.∴a ＝4.2．C 解析：设含x 2的项是二项展开式中第r ＋1项，则T r ＋1＝C r 6⎝ ⎛⎭⎪⎫x 26－r·⎝⎛⎭⎪⎫－2x r＝C r 6⎝ ⎛⎭⎪⎫126－r (－2)r x 3－r.令3－r ＝2，得r ＝1.∴x 2的系数为C 16⎝ ⎛⎭⎪⎫125(－2)＝－38.迁移与应用：1.C 解析：设第r ＋1项为常数项，T r ＋1＝C r 622x (6－r )(－2－x )r ＝(－1)r ·C r 6212x －2rx －rx， ∴12x －3rx ＝0， ∴r ＝4.∴常数项为T 5＝(－1)4C 46＝15.2．84 解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x 7的通项T r ＋1＝C r 7x 7－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x r ＝(－2)r C r 7x 7－2r.令7－2r ＝3得r ＝2.因而⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x 7展开式中含x 3项的系数为(－2)2·C 27＝4×7×62＝84.故x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x 7的展开式中，x 4的系数为84.活动与探究3：解：7777－1＝(76＋1)77－1＝7677＋C 177·7676＋C 277·7675＋…＋C 7677·76＋C 7777－1＝76(7676＋C 1777675＋C 2777674＋…＋C 7677)．由于76能被19整除，因此7777－1能被19整除．迁移与应用：证明：∵32n ＋2－8n －9 ＝9n ＋1－8n －9＝(8＋1)n ＋1－8n －9 ＝8n ＋1＋C 1n ＋1·8n ＋…＋C n －1n ＋1·82＋C nn ＋1·8＋1－8n －9＝8n ＋1＋C 1n ＋1·8n ＋…＋C n －1n ＋1·82＋8(n ＋1)＋1－8n －9＝8n ＋1＋C 1n ＋1·8n ＋…＋C n －1n ＋1·82＝(8n －1＋C 1n ＋1·8n －2＋…＋C n －1n ＋1)·64，故32n ＋2－8n －9是64的倍数．1.⎝⎛⎭⎪⎫x －1x 16的二项展开式中第4项是( )． A ．C 216x 12B ．C 316x 10 C ．－C 316x 10D ．C 416x 82．(2012天津高考，理5)在⎝⎛⎭⎪⎫2x 2－1x 5的二项展开式中，x 的系数为( )．A ．10B ．－10C ．40D ．－403．(2012山东省实验中学诊断，理6)二项式⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋2x 10的展开式中的常数项是( )．A ．第10项B ．第9项C ．第8项D ．第7项4．(2012湖南高考，理13)⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 6的二项展开式中的常数项为________．(用数字作答)5．在(x ＋43y )20的展开式中，系数为有理数的项共有__________项． 6．(1－x )4·(1－x )3的展开式中x 2的系数是__________．答案：1．C 解析：展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 16·(x )16－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r ＝(－1)r ·C r 16·x 16－2r ， ∴第4项为T 4＝(－1)3C 316·x 10＝－C 316x 10. 2．D 解析：T r ＋1＝C r5(2x 2)5－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r ＝(－1)r 25－r C r 5x 10－3r ，∴当10－3r ＝1时，r ＝3.∴(－1)325－3C 35＝－40.3．B 解析：展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 10x 20－2r ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x r ＝2r C r 10·x 20－5r 2，令20－5r 2＝0，得r ＝8.∴常数项为第9项．4．－160 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 6的通项为T r ＋1＝C r 6(2x )6－r⎝⎛⎭⎪⎫－1x r＝(－1)r C r 626－r x 3－r .当3－r ＝0时，r ＝3.故(－1)3C 3626－3＝－C 3623＝－160.5．6 解析：∵T r ＋1＝3r4C r 20x20－r y r(r ＝0,1,2，…，20)的系数为有理数，∴r ＝0,4,8,12,16,20，共6项．6．－6 解析：展开式中的x 2项为C 14·(－x )1·C 23·(－x )2＋C 24(－x )2C 03＝－6x 2.。
1.3.1二项式定理1-人教A版高中数学选修2-3课件
a4
C
1 4
a
3b
C
2 4
a
2b2
C
3 4
ab3
C
4 4
b
4
猜想 (a b)n ?
探究3：请分析(a+b)n的展开过程，证明猜想.
(a b)n (a b)(ab )(ab)
n
①项： a n a n1b … ankbk … bn
②系数：
C
0 n
C
1 n
C
k n
C
n n
分析a nk b k
k个(a b)中选b n个(a b)相乘 n k个(a b)中选a
b
C
k n
a
nk
b
k
C
n n
b
n
(n
N*)
①项数： 共有n＋1项
②次数：各项的次数都等于n， 字母a按降幂排列，次数由n递减到0, 字母b按升幂排列，次数由0递增到n.
③二项式系数:
C
k n
(k {0,1,2,, n})
④二项展开式的通项:
Tk 1
C
k n
a
n
k
b
k
概念理解
(a
b)n
C
0 n
a
作业：P37 4
Cnk
③展开式：
(a b)n
C
0 n
a
n
C
1 n
a
n1
b
C
k n
a
n
k
b
k
C
n n
b
n
(n
N*)
定理的证明
(a+b)n是n个(a+b)相乘，每个(a+b)在相乘时有两种 选择，选a或b. 而且每个(a+b)中的a或b选定后才能 得到展开式的一项。
人教版高中数学《二项式定理》教学设计(全国一等奖)
人教版高中数学《二项式定理》教学设计(全国一等奖)课题：§1.3.1二项式定理（人教A 版高中课标教材数学选修2-3）《二项式定理》教学设计一、教学内容解析《二项式定理》是人教A 版选修2-3第一章第三节的知识内容，它是初中学习的多项式乘法的继续．在计数原理之后学习二项式定理，一方面是因为它的证明要用到计数原理，可以把它作为计数原理的一个应用，另一方面也是解决整除、近似计算、不等式证明的有力工具，同时也是后面的数学期望等内容的基础知识，二项式定理起着承上启下的作用．另外，由于二项式系数是一些特殊的组合数，利用二项式定理可进一步深化对组合数的认识．总之，二项式定理是综合性较强的、具有联系不同内容作用的知识．二、教学目标设置新课标指出教学目标应体现学生学会知识与技能的过程也同时成为学生学会学习，形成正确价值观的过程．新课标要求：用计数原理分析2()a b +，3()+a b ，4()+a b 的展开式，归纳类比得到二项式定理，并能用计数原理证明．掌握二项展开式的通项公式，解决简单问题；学会讨论二项式系数性质的方法．根据新课标的理念及本节课的教学要求，制定了如下教学目标：1.学生在二项式定理的发现推导过程中，掌握二项式定理及推导方法、二项展开式、通项公式的特点，并能运用二项式定理计算或证明一些简单的问题．2.学生经历二项式定理的探究过程，体验“从特殊到一般发现规律，从一般到特殊指导实践”的思想方法，获得观察、归纳、类比、猜想及证明的理性思维探究能力．3.通过二项展开式的探究，培养学生积极主动、勇于探索、不断创新的精神，感受合作探究的乐趣，感受数学内在的和谐、对称美及数学符号应用的简洁美．结合数学史，激发学生爱国热情和民族自豪感．三、学情分析１．有利因素授课对象是高二的学生，具有一般的归纳推理能力，思维较活跃，初步具备了用联系的观点分析问题的能力．学生刚刚学习了计数原理和排列组合的知识，对本节()+n a b 展开式中各项系数的研究会有很大帮助．２．不利因素本节内容思维量较大，对思维的严谨性和分类讨论、归纳推理等能力有较高要求，学生学习起来有一定难度．在数学学习过程中，大部分学生习惯于重视定理、公式的结论，而不重视其形成过程．四、教法策略分析遵循“以学生为主体、教师是数学课堂活动的组织者、引导者和参与者”的现代教育原则，采用“启发式教学法”，学生主要采用“探究式学习法”， 并利用多媒体辅助教学．本课以问题的提出、问题的解决为主线，始终在学生知识的“最近发展区”设置问题，倡导学生主动参与，通过不断探究、发现，在师生互动、生生互动中，完成二项式定理的探究，让学习过程成为学生心灵愉悦的主动认知过程．（一）创设情境 引入课题引入：通过“牛顿发现二项式定理”的历史引入课题．提出问题：2()+=a b ？3()+=a b ？ 4()+=a b ？那么9()?a b +=……n b a )(+的展开式是什么？【设计意图】学生的学习遵循“历史发生原理”，把二项式定理发现的历史融入新课导入，既能引起学生的兴趣，符合新课程理念，还能提升课堂品味．创设有效的数学情景能激发学生的学习兴趣，为学生提供良好的学习环境．数学的来源，一是来自数学外部现实社会的发展需要；二是来自数学内部的矛盾，即数学本身发展的需要．这个问题将“多项式展开有哪些项”包含其中，为后面的研究做好铺垫．（二）体验感知 探究归纳1生：n 次式展开有n +1项生：展开式中每一项都是n 次式生：系数对称相等，第一项系数是1，第二项的系数是n生：杨辉三角师：我们主要从展开式的哪些方面来发现的这些规律？生：项数，项，系数．【设计意图】由特殊到一般的归纳总结，离不开大量特殊实例的观察．只有将大量具体实例进行整体和局部多方面的分析，才能得到接近一般性规律的结论．也只有对得出各种结论进行整合，才能让学生顺畅的抓住展开过程的两个要点，即项的结构和项的系数，才能让学生有目的的进一步进行探讨和分析．2（学生叙述展开过程中各项是如何形成的．如果学生的叙述中没有说明从每个因式中取一个字母相乘得到展开式的项，老师提出预备问题：展开式的各项是由同一个因式中的字母相乘得到的吗？） 师：根据多项式乘法法则，()na b +的展开式就是从每个因式中任取一项相乘得到展开式的项． 【设计意图】多项式乘法法则是展开式的运算基础，同时也为用组合数表示系数创设情境．而学生对于多项式乘法法则的理论叙述不够顺畅．通过教师强调多项式乘法法则，让学生思维建立旧知识与新知识联系，为下面系数的确定做好铺垫．)()(*110N n b C b a C b a C a C b a nn n k k n k n n n n n n ∈+++++=+-- —— 二项式定理 证明：n b a )(+是n 个)(b a +相乘，每个)(b a +在相乘时，有两种选择，选a 或选b ，由分步计数原理可知展开式共有n 2项（包括同类项），其中每一项都是k k n b a -),1,0(n k =的形式，对于每一项k k n b a -，它是由k 个)(b a +选了b ，n －k 个)(b a +选了a 得到的，它出现的次数相当于从n 个)(b a +中取k 个b 的组合数kn C ，将它们合并同类项，就得二项展开式，这就是二项式定理．二项式定理的公式特征：①展开式中每一项的次数都是n ；②展开式共1n +项；③按照字母a 降幂排列，次数由n 递减到0，字母b 升幂排列，次数由0递增到n ；④k n k k n C a b -是展开式的第1k +项； k n k k n C a b -叫二项展开式的通项，用1k T +表示． ⑤各项的系数(0,1,)k n C k n =叫二项式系数．【设计意图】先由学生独立完成，然后组织讨论．完成有特殊到一般的归纳过程，训练学生的类比、联想、归纳的探究能力．在讨论过程中要明确每一项的形式及相应的个数．【设计意图】通过例题让学生熟悉二项展开式及其通项，区分二项式系数和系数，培养学生的运算能力．设计题目考察学生的学习情况,各个题目设计的比较有梯度，逐渐加大难度，符合学生的认知水平．（五）回顾反思 归纳总结知识方面：二项式定理，通项，二项式系数；思想方法：从特殊到一般；观察——归纳——类比——猜想——证明．【设计意图】小结可以锻炼学生的概括能力、语言表达能力，可以使学生加深对本节课的认识，掌握基本数学思维方法． （六）课下作业 思维延伸一、P 36: 1~3二、1.求x x-12()3的展开式的中间一项； 2.求x -101(1)2展开式中含x51的项的系数． 思维延伸： 探究()5a b c ++的展开式中22a b c 的系数． 【设计意图】通过课下作业使学生深入理解知识，培养学生的创新精神、增强主动探究的意识和能力．六、板书设计教学设计说明高中数学的学科价值在于以下三个方面：传递初等数学知识；进行逻辑推理训练；培养学科精神．数学学习的关键在于理解，重视知识的形成过程，而不是死板的公式应用．新课标指出：学生的学习活动不应只限于对概念、结论和技能的记忆、模仿和接受，独立思考、自主探究、动手实践、合作交流、阅读自学等都是学习数学的重要方式．因此，课堂教学中应该是“用教材”，而不是“教教材”，教师要敢于放手，营造宽松的教学氛围，关注学生的主体参与、师生互动、生生互动，着重培养学生研究数学的意识和发展数学的能力，提升学生提出问题、研究问题的能力，竭尽全力培养学生探索创新的意识．在这过程中，要努力把表现的机会让给学生，让学生在直接体验中构建自己的知识体系．本节课堂教学中，遵循“以学生为主体、教师是数学课堂活动的组织者、引导者和参与者”的现代教育原则，采用“启发式教学法”，分为：创设情境、探究归纳、知识建构、巩固新知、归纳总结五个阶段．努力使学生有足够的思维活动体验，教师根据学生的思维特征和认知规律，在学生数学学习经验的基础上去设置问题．例如本节中，由特殊到一般的数学思维方法，需要对特殊情形进行观察归纳．要想提高归纳的准确性，就需要较多的实例进行观察．特别是“组合知识的运用”，当n 较小时，学生意识不到用组合的知识解释项的系数．只有当n 较大时，各项系数的确定才能凸显出组合知识的优势．因此，在题目设置时，准备了2()+a b ，3()+a b ，4()+a b 三个展开式让学生观察归纳，否则关于“组合知识的运用”就成了教师的告知．问题解决是数学教育的核心，课堂教学中，在学生原有认知的基础上，设置“好”的问题串是非常重要的，因为教师对问题设置如何，直接决定了学生的思维方向和思维深度，教学中以问题为主线，由问题驱动，激发学生探究结论的欲望，使学生的思维始终处于“提出问题、解决问题”的状态中．本节课在“多项式乘法法则”“组合知识的运用”两个方面，学生无法自主完成思维方法的提升，教师通过设置恰当的问题引导学生分析思维过程，为学生在理论层面总结提升．在探究的环节，教师的作用是“激活”而不是“告知”，要把隐藏在学生思想深处的思维方法引导出来．教师作为学生数学探究活动的设计者、活动实施的调控者，直接影响和决定了学生的学习热情及课堂效果．本节课中，课遵循学生的认识规律，由特殊到一般，由感性到理性．重视学生的参与过程，问题引导，师生互动．重在培养学生观察问题，发现问题，归纳推理问题的能力．学生能学到很多数学经验：在二项展开式探究过程中，运用组合理解算理、利用数列知识理解通项、运用赋值法得到相关结论等，渗透数学学习的策略与方法，在组织学生数学探究中，积极动手、动脑，实现思维建构、不断积累数学经验，从而形成自主探究的学习习惯，达到理想的教育教学效果．点评《二项式定理》作为一节命题课，更应该重视学生数学素养的培养，良好思维品质的生成．何磊老师深读课标和教材，清晰制定了具体可测的教学目标，深刻挖掘了二项式定理的数学本质；结合学生的认知基础和心理特点，设计了层层递进数学问题；以学生为主体，给学生足够的思考空间和辨析研讨的机会，激发了学生深层次的思考；何老师数学功底扎实，教学功底雄厚，教学有张有弛，当学生需要帮助时，给学生隐性的帮助，在关键时刻又有恰当和明确的概括提升．其教学特色主要体现在：1.突出核心内容，深挖数学本质作为计数原理的应用，提示我们这是挖掘二项式定理数学本质的根源．但在大量的课堂观察中发现，很多老师规避这一教学难点，仅从外在形式上分析和记忆．导致学生在用二项式定理解决问题时，难以有效的迁移．何老师则是充分理解教材和学生的基础上，充分地运用计数原理分步、分类的教学思想，有效的化解了这一重点和难点．2.目标明确具体，问题层层递进高效率的课堂，必须有具体可测的教学目标和具体可操作的数学问题．何老师的这节课主要围绕a b展开式中项的形式和项的系数，展开问题驱动，使学生始终围绕这一核心展开思考，使学生的()n思维始终处于不断的“提出问题、解决问题”的状态中，认知结构和解决问题的能力在潜移默化中得以提升．3.关注学生主体，激发深层思考学生探究意识强烈，学习积极性高．何老师在这节课所设计的问题以及围绕这些问题所进行的铺垫，为学生的数学探究活动营造了浓郁的学习环境和气氛，通过让学生口述、板书、交流讨论等形式使学生成为课堂学习的主人，激发了学生深层次的思考，从而深化对知识的理解．4.高效驾驭课堂，适时概括引领作为课堂的设计者和组织者，既要重视学生的主体，也不能忽视教师的概括引领．何老师的教学设计高观点，教学展开低起点，教学概括明确适时．尤其是数学思想方法渗透到位．何老师十分重视数学思想方法的渗透，以问题为载体，通过观察、归纳、类比、猜想、证明，教给学生运用数学思想方法分析、解决问题的思维策略，使数学思想方法的运用植入学生数学思维体系．思维的升华从有价值的思考开始，学生良好的思维品质的培养，需要教师高水平的预设和高水平的驾驭生成．我觉得何老师很好的诠释了二项式定理，并带学生较好的领悟了二项式定理的本质，是一节好课．。
1.3.1二项式定理课件-高二数学人教A版选修2-3
2 x
6
的展开式的常数项是
240
2.
1
1 x
10的展开式中含
1 x3 项的系数是
120
五、课堂小结
思想共鸣 经验共享
你
1.二项式定理
学
到
了
a b n Cn0an Cn1an1b Cnk ankbk Cnnbn n N *
什
么
2.二项展开式的通项
Tk1 Cnk ankbk，k 0,1, 2,…, n
C
0 3
a
3
C
1a
3
2b
C 32ab 2
C
3 3
b
3
思想共鸣 经验共享
请同学们类比 (a+b)2 ，(a+b)3的展开式的特
征及方法，你能直接写出 (a+b)4 的展开式
吗？
第 二
（ （ a a+ b ) b4 ） = 2( a + Cb ) 20( a a+ 2 b ) ( Ca + 21ab （ b) a + Cb 2) 2b2
恰有1个括号取b的情况有C21种，则ab前的系数为C21
恰有2个括号取b的情况有C22 种，则b2前的系数为C22
(a+b)2 = C20 a2 + C21 ab+ C22 b2 = a2 +2ab+b2
对(a+b)3展开式的分析：
(a b)3 (a b)(a b)(a b)
项的形式： a 3 a 2b ab2 b3
探
（a b）3= C 4 0 Ca 4 30+ aC 3 4 1 a 3 Cb + 31aC 24 2 ba 2 b 2 C+ 3C 2a4 3 a bb 23 + C C4 4 3b 3b4 3
高中数学 1.3.1《二项式定理》课件 新人教A版选修2-3
1 5 1、求(2 x − ) 的展开式 x 2、求（ + 2 x) 7的展开式第4项的系数 1 1 7 3、求（x − ) 的展开式中x 3的系数 x
破解疑惑： 破解疑惑： 今天是星期五,再过2 天后是星期几, 今天是星期五,再过22007 天后是星期几, 你知道吗？ 你知道吗？
解： = 8670 × 2 22011 = 2(7 +1)670
0 1 669 670 = 2(C670767010 + C670766911 + ...+ C670 711669 + C670 701670)
发现被7整除余 ，故相当过2天后是星期几是一样的 天后是星期几是一样的。 发现被 整除余2，故相当过 天后是星期几是一样的。 整除余 故是周日
拓 展 提 高 (x2+3x+2)5展开式中 的系数为 展开式中x的系数为 _____. 方法1 方法 (x2+3x+2)5=[(x2+2)+3x]5
在展开式中只有 C 1 (x 2 + 2)4 ⋅ 3x才存在 x的项 , 5 其系数为 5C 4 2 4 ⋅ 3 = 240 4
方法2 方法 (x2+3x+2)5=[x(x+3)+2]5
在展开式中只有 C 1 x(x + 3) ⋅ 2 4 才存在 x的项 , 5 其系数为 C 1 ⋅ 3 ⋅ 2 4 = 240 5
1 x
)10 的展开式中是否包含常数项? 的展开式中是否包含常数项?
分析:取通项来分析, 分析:取通项来分析, 常数项即 x 项.
0
Tr +1 = C ⋅ ( 3 x
r 10
2
)
人教版高中数学选修2-3教案：1.3.1二项式定理
§1.3.1 二项式定理【教学目标】1.理解二项式定理及推导方法，识记二项展开式的有关特征，能对二项式定理进行简单应用；2.通过对二项式定理内容的研究，体验特殊到一般的发现规律，一般到特殊指导实践的认识事物过程。
【教学重难点】教学重点：二项式定理的内容及归纳过程；教学难点：在二项式展开的过程中，发现各项及各项系数的规律。
【教学过程】一、设置情景，引入课题引入：二项式定理研究的是（a+b）n的展开式。
如（a+b）2=a2+2ab+b2, （a+b）3=？，（a+b）4=？，那么（a+b）n的展开式是什么呢？二、引导探究，发现规律1、多项式乘法的再认识问题1：（a1+ b1）(a2+b2) (a3+ b3)展开式中每一项是怎样构成的？展开式有几项？2、（a+b）3展开式的再认识问题2：将上式中，若令a1=a2=a3=a, b1=b2= b3=b,则展开式又是什么？合作探究1：合并同类项后，为什么a2b的系数是3？教师引导：可以发现a2b是从（a+b）（a+b）（a+b）这三个括号中的任意两个中选a，剩下的一个括号中选b；利用组合知识可以得到a2b应该出现了C23· C11=3次，所以a2b的系数是3。
问题3：（a+b）4的展开式又是什么呢？可以对（a+b）4按a或按b进行分类：（1）四个括号中全都取a，得：C44a4（2）四个括号中有3个取a，剩下的1个取b，得：C34a3· C11b（3）四个括号中有2个取a，剩下的2个取b，得：C24a2· C22b2（4）四个括号中有1个取a，剩下的3个取b，得：C14a· C33b3（5）四个括号中全都取b，得：C44b4小结：对于展开式，只要按一个字母分类就可以了，可以按a分类，也可以按b分类，再如：（1）不取b：C04a4；（2）取1个b：C14a3b；（3）取2个b：C24a2b2；（4）取3个b：C34a b3；（5）取4个b：C44b4，然后将上面各式相加得到展开式。