第5章 换面法
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土木工程制图第五章,投影变换-换面法
H
3、一般位置直线变成投影面垂直线
• 先将一般位置直线变成 投影面平行线； • 再将投影面平行线变成 X 投影面垂直线。 1 X 2 X • 注意：什么是二次变换？
b a'
2 2
土木工程制图
a' b'
a
b a'
1
b'
1
土木工程制图 4、一般位置平面变成投影面垂直面 • 在一般面上作一投影面平行线，例作一水 平线；
第5章 投影变换—换面法
土木工程制图
教学提示：画法几何中有关点、直线和平面的问 题，一般可以归纳为定位和度量问题。 当几何元素处于一般位置时，为了求 解方便，常采用换面法改变其中的某 些元素与投影面的相对位置，成为有 利于解题的特殊位置。 学习要求：通过本章学习，学生应掌握换面法的 一般概念及特点，能够使用换面法解 决有关点、直线和平面等几何元素之 间的定位和度量问题。
分析：在投影图中直接反映两平面夹角的特殊 情况，只要将这两个相邻平面用换面法变成同 时垂直于同一投影面，也就是将这两个平面的 交线变换成投影面垂直线，即可求得夹角θ。
土木工程制图
a' f'c' e'd' 1.在适当的位置作O1X1∥cd1，将CD变换为H、 V1新投影面体系中的V1面平行线。
X
V H
土木工程制图
3）求平面的实形： 将平面变成投影面平行面。 4）求平面的倾角、点到平面的距离、两平行面距离、直线 与平面交点和两平面交线等： 将一般面变成投影面垂直面。
二、换面法基本方法
土木工程制图
1、基本原则： 1）新投影面必须设立在使空间元素处 在有利于解题的位置； 2）新投影面必须垂直于原有投影体系 中的一个投影面。 2、基本概念：
画法几何换面法ppt课件
例：求出上一例题中的 △ABC平面的实形。
前一例的作图已将平面变 换为投影面垂直面，现只需 接着作后一次变换。
3、将一般位置平面变换为投影面平行面
作图步骤如下： 前一例的作图已将 平面变换为投影面 垂直面，现只需接 着作后一次变换。
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的原则和变换的规律与一次变换方法完全相同。 不过在作二次变换时要正确判断出不变投影、被替换的
投影、新轴和旧轴，准确定出点的新投影的位置。
图中先变换的是V1面，接着作第 二次变换。此时的H1面与V1面垂直， 被 替 换 是 H 面 ， 而 V1 面 为 不 变 投 影 面。O2X2为新的投影轴，O1X1则成 了旧投影轴。
作图分析：由于△ABC平面为一 铅垂面 ，则O1X1轴应平行于平面的 积聚性投影。
作 图 过 程 如 图 所 示：
2、将一般位置平面变换为投影面垂直面 作图分析：
在作图时首先要考虑的是如何确定新投影面的位置。
将一般位置平面变换为投影面垂直面的作图步骤如下：
在空间平面内作一投影面平行线（下图中作了一条水
作图步骤：
1、点的一次变换 例：已知A点的两面投影a'、a，试作出给定位置的A点新 投影。又：作出A点在H1面上的投影。 作图分析： 变换H1面与变换V1面的作图分析和作图步骤相同。
本题的投影变换作图为 点A的两个一次变换。
2、点的二次变换 在用投影变换的方法求解一些实际问题时，需要变换两
次投影面，这样的变换方法称为二次变换。 二次变换实际上就是连续作出的两个一次变换。其变换
1、将一般位置直线变换为投影面平行线 通过一次变换可将一般位置直线变换为投影面平行线， 求得直线的实际长度以及直线对投影面的夹角。 为求得AB线的实长，所设置的新投影面V1应与AB平行。 从直观图上可看出，体现新面位置的新轴就应平行于AB 线的水平投影 ab。
前一例的作图已将平面变 换为投影面垂直面，现只需 接着作后一次变换。
3、将一般位置平面变换为投影面平行面
作图步骤如下： 前一例的作图已将 平面变换为投影面 垂直面，现只需接 着作后一次变换。
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的原则和变换的规律与一次变换方法完全相同。 不过在作二次变换时要正确判断出不变投影、被替换的
投影、新轴和旧轴，准确定出点的新投影的位置。
图中先变换的是V1面，接着作第 二次变换。此时的H1面与V1面垂直， 被 替 换 是 H 面 ， 而 V1 面 为 不 变 投 影 面。O2X2为新的投影轴，O1X1则成 了旧投影轴。
作图分析：由于△ABC平面为一 铅垂面 ，则O1X1轴应平行于平面的 积聚性投影。
作 图 过 程 如 图 所 示：
2、将一般位置平面变换为投影面垂直面 作图分析：
在作图时首先要考虑的是如何确定新投影面的位置。
将一般位置平面变换为投影面垂直面的作图步骤如下：
在空间平面内作一投影面平行线（下图中作了一条水
作图步骤：
1、点的一次变换 例：已知A点的两面投影a'、a，试作出给定位置的A点新 投影。又：作出A点在H1面上的投影。 作图分析： 变换H1面与变换V1面的作图分析和作图步骤相同。
本题的投影变换作图为 点A的两个一次变换。
2、点的二次变换 在用投影变换的方法求解一些实际问题时，需要变换两
次投影面，这样的变换方法称为二次变换。 二次变换实际上就是连续作出的两个一次变换。其变换
1、将一般位置直线变换为投影面平行线 通过一次变换可将一般位置直线变换为投影面平行线， 求得直线的实际长度以及直线对投影面的夹角。 为求得AB线的实长，所设置的新投影面V1应与AB平行。 从直观图上可看出，体现新面位置的新轴就应平行于AB 线的水平投影 ab。
土木工程制图第5章投影变换换面法
5.2
图5-9 一般位置直线变换成垂直线
5.2
4.将一般位置平面变换成垂直面
如图5-10所示，△ABC为一个一般位置平面，如果要将其 变换为正垂面，
(1)在△ABC上作水平线AD，其投影为a′d′和ad (2)作X1轴⊥ad (3)作△ABC在V1面的投影a1′b1′c1′，a1′b1′c1′ 积聚为一条直线，它与X1轴的夹角即反映△ABC对H面的 倾角α
5.2
图5-6 一般位置直线变换成平行线(求α角)
5.2
2.
如图5-8所示，AB为 一条正平线，要变换成垂 直线。根据垂直线的投影 特性，反映实长的投影必 定为不变投影，只要变换 水平投影，即作新投影面 H1垂直于直线AB，作图时 作X1⊥a′b′，则直线AB 在H1面上的投影积聚为一 a1(b1)
(2)过a点作新投影轴X1的垂线，得交点aX1 (3)在垂线aaX1上截取a1′aX1= a′aX，即得A点在V1面 上的新投影a1′。
5.2
图5-3 点的一次变换(变换V面)
5.2
(1)不论在新的或原来的(被代替的)投影面体 系中，点的两面投影的连线垂直于相应的投影轴。
(2)点的新投影到新投影轴的距离等于原来的 投影到原来投影轴的距离。
5.2
图5-16 求侧平线与倾斜面的交点
5.2
【例5-3】
求两条交叉直线AB、CD间的距离，如图5-17(a)
【解】分析：两条交叉直线间的距离即为它们之间公垂线的
长度。如图5-17(a)所示，若将两条交叉直线中的一条(
AB )
MK
并在该投影面上的投影反映实长，而且与另一条直线在新投
影面上的投影互相垂直。
5.2
图5-18 求两平面间的夹角
画法几何及机械制图第5章答案
习 题
集
习 题
集
方法一： 1.过BD中点作平面与BD垂直 2.求直线EF与平面的交点，即为A点 3.利用平行关系可得C点。
方法二：换面法 1.一次换面将线BD换成实形 2.过中点作 BD的垂线，与EF交点即为A 3.利用平行关系可得C点。
习 题
集
方法一： 1.过B点(或A点)作平面与AB垂直 2.利用平行可得C点，C在平面内 3.利用平行关系可得D点。
习 题
集
习 题
集
习 题
集
习 题
集
方法一： 1.过A点作平面与DEF平行 2.求直线BC与平面的交点K 3.连接AK，即为所求。
方法二： 1.求平面ABC与DEF交线 2.过A点作交线的平行线AK 3. AK即为所求。
方法三：换面线 1.一次换面将平面DEF变成线 2.过A点作积聚线的平行线，与BC交于K点 3. AK即为所求。
方法二：换面法 1.对AB或AD一次换面成实形 2.利用垂直可求出D点 3.利用平行关系可得C点。
习 题
集
方法二：换面法 1.一次换面将LMN平面换成积聚线 2.过A作积聚线平行线，与FG交点即为B点 3.其它同法一
习 题
集
Hale Waihona Puke 习 题集方法一： 1.求AB与平面CDE交点K 2.对AB一次换面，过K点作AB垂线FG 3. FG即为所求。
积聚点投影作回去即得cd投投影影习题集专业资料习题集专业资料习题集专业资料画法几何及机械制图第5章答案
习 题
集
解题过程： 1.利用ab//ef，求得b 2.连接a’d’,在EFG面内作其平行线 3.H面内，利用平行求得d点 4.利用平行求得c点。
解题完毕
换面法
§5.2 换面法1．基本概念在V/H 投影体系中，三角形ABC是铅垂面，若欲得出三角形ABC的实际形状可以建立一个新的投影体系V1/H。
在建立新的体系V1/H时，使V1∥△ABC。
换面法：在上述实例中，原投影体系中的V为旧投影面，H为保留（不变）投影面。
V1为新建投影面。
新投影面的选择应符合如下条件：1) 新建投影面与保留投影面垂直,形成一个新的两面体系。
2) 新建投影面在处于有利解题的位置，使问题简化。
图5-12．点的换面旧的两面体系V/H，保留H面，新建V1垂直H，形成新的二面体系V1/H。
点A向V1做投影a1'。
在图5-2中，a1'到ox1轴的距离反映了空间点A到H面的距离，在投影变换中，A到H 的距离没有发生变化。
而在旧的体系V/H中，A点的V面投影a'到ox轴的距离=A到H面距离。
因此,投影图 5-3中，a1'a x1=a'a x图5-2 图5-3换H面（图5-4）-（图5-5）体现做图过程：无论变换点的正面投影还是水平投影，点在新，旧两投影体系中的投影之间，如下投影规律:1)新投影与不变投影之间的连线垂直于新投影轴2)新投影到新轴的距离等于旧投影到旧轴的距离图5-4 图5-5点的换面规律（1）点的新图影和保留图影的连线垂直于新的图影轴；（2）点的新图影到保留图影的距离等于被替换的图影到旧图影轴的距离。
3．直线的换面3.1将一般位置直线变换为投影面平行线例5-1如图5-6，在V/H体系中有一般位置直线AB，求AB的实长和α角。
图5-6 图5-7分析：我们知道，当直线平行于某个投影面时，直线在该投影面的投影反映直线的实长并且投影与投影轴的夹角反映直线对相应投影面的倾角，所以，欲求AB的实长和α角，可以①建立一个新的投影面V1，使AB与之平行；②保留H面，去掉V面，即使新的投影轴OX1‖ab（使图中红色部分出现）做图步骤：1）做OX1‖ab2) 按点的换面规律，求出a1',b1'3) 连接a1'b'其即为AB的实长，且a1'b'与OX1夹角=α（在H/V1 二面体系中，AB 是V1面的平行线）若欲求AB的实长和AB对V面的倾角β则可以保留V面，去掉H面，建立一个新的投影面H1，使AB平行于H1，如图5-7,a1b1=AB实长，a1b1与OX1夹角=β3.2 将投影面平行线变换为新投影面的垂直线例5-2如图5-8,在V/H体系中有一正平线AB。
第5章 换面法
X V H
a
●
d● c
b
b2●
. .
d2
●
60° °
●
D点的投影 如何返回？ 如何返回？ c2 如何解？ 如何解？
a'1≡b'1
●
解法相同！ 解法相同！ 思考： 思考： 已知点C是等边三角形的顶点，另两个顶点在直线AB AB上 已知点C是等边三角形的顶点，另两个顶点在直线AB上， 求等边三角形的投影。 用基本法和换面法分别求解） 求等边三角形的投影。（用基本法和换面法分别求解）
X1
d′ ′ bΧ Χ
A B D
c d
a
正平线！ 正平线！
b H
例1：把三角形ABC变换成投影面垂直面。 三角形ABC变 成投影面垂直面。 ABC
a′ ′
V X H
b′ ′
d′
c′ ′ b c
H X 1 P1
a d
.
作 图 过 程： ★ 在平面内取一条水平 AD。 线AD。 AD变换成新投影 ★ 将AD变换成新投影 面的垂直线。 面的垂直线。
⑵ 新旧投影之间的关系
a′ ′ ax
X
a′ ′
V
V
A
a1'
P1
X
ax
.
a1' ax1
P1 H X1
H
ax1 a
H X1
a
一般规律： 一般规律： 点的新投影和与它有关的原投影的连线， 点的新投影和与它有关的原投影的连线，必垂直 于新投影轴。 于新投影轴。 点的新投影到新投影轴的距离等于被代替的投影 到原投影轴的距离。 到原投影轴的距离。
⒉
更换两次投影面
⑴ 新投影体系的建立
X2
a
●
d● c
b
b2●
. .
d2
●
60° °
●
D点的投影 如何返回？ 如何返回？ c2 如何解？ 如何解？
a'1≡b'1
●
解法相同！ 解法相同！ 思考： 思考： 已知点C是等边三角形的顶点，另两个顶点在直线AB AB上 已知点C是等边三角形的顶点，另两个顶点在直线AB上， 求等边三角形的投影。 用基本法和换面法分别求解） 求等边三角形的投影。（用基本法和换面法分别求解）
X1
d′ ′ bΧ Χ
A B D
c d
a
正平线！ 正平线！
b H
例1：把三角形ABC变换成投影面垂直面。 三角形ABC变 成投影面垂直面。 ABC
a′ ′
V X H
b′ ′
d′
c′ ′ b c
H X 1 P1
a d
.
作 图 过 程： ★ 在平面内取一条水平 AD。 线AD。 AD变换成新投影 ★ 将AD变换成新投影 面的垂直线。 面的垂直线。
⑵ 新旧投影之间的关系
a′ ′ ax
X
a′ ′
V
V
A
a1'
P1
X
ax
.
a1' ax1
P1 H X1
H
ax1 a
H X1
a
一般规律： 一般规律： 点的新投影和与它有关的原投影的连线， 点的新投影和与它有关的原投影的连线，必垂直 于新投影轴。 于新投影轴。 点的新投影到新投影轴的距离等于被代替的投影 到原投影轴的距离。 到原投影轴的距离。
⒉
更换两次投影面
⑴ 新投影体系的建立
X2
5章-换面法
对平面：若求角，则将平面上的水平线换成垂直线 （即换V面，新轴垂直于水平线的H投影）； 若求β角，则将平面上的正平线换成垂直线 （即换H面，新轴垂直于正平线的V投影）。
[例1] 求点A到直线BC的距离和垂足的投影。 §6-3 十换二面五法规的划应教用材 例 1 ： 求 点 到 一 般 线 距 离
a'
O
X
a
绕铅垂轴旋转
b 轴线通过A点 d1
d' 绕正垂轴旋转
轴线通过C点
c' O
c
d
例
旋转法 (绕投影面垂直线旋转）
[例] 求铅垂面ABC的实形。
b1'
b'
十二五规划教材
垂 直 面 转 为 平 行 面
c1'
实形
c'
X
c1
b1
a' a
b
O
绕铅垂轴旋转 轴线通过A点
c
旋转法 (绕投影面垂直线旋转）
[例] 求一般面ABC的实形。
c f (h) n
点）、棱面CDHG的
V投影不可见；
e
m
b h1 (d) (d1)
§6-3 十换二面五法规的划应教用材例 7 ： 作 四 棱 柱 及 表 面 上 的 点 的 V 投 影
g1 (c1)
a
e1
f1 (b1)
(a1)
小结
十二五规划教材
小 结 — 求 线 面 与 投 影 面 的 倾 角
具体解题时,应将某个一般位置的直线或平面变换为特殊状态:
[例] 求线段的实长及倾角 。 （设立平面V1平行于线段AB，则新轴O1X1∥ab）
b1'
V
V1
第五章换面法机械制图
第五章 投影变换
5.1 概 述 5.2 换面法
1
5.1 概 述
当直线或平面相对于投影面处于特殊位置（ 平行或垂直）时，它们的投影反映线段的实长、 平面的实形及其与投影面的倾角，当它们处于垂 直位置时，其中有一投影具有积聚性。
当直线或平面和投影面处于一般位置时，则 它们的投影就不具备上述的特性。
投影变换就是将直线或平面从一般位置变换 为和投影面平行或垂直的位置，以简便地解决它 们的定位和度量问题。
b
V
a
X
b d B
c
A b
b1
D C
a
V
X
d1H1 H
a1
a
c1
c
b d c
d
a
c
H
20
例3 求点S到平面ABC的距离
a
s'
s a
b d c
b d c
k1 s1
21
例4 已知E到平面ABC的距离为N，求E点的正面投影e。
b
k
d
a
e
c
b
a
k
d
c
n
n
22
2. 将投影面垂直面变为投影面平行面
V
c
c1
V1
a1 b1
A
C a
b
X B
X1
H
23
c1 b1
a1
c
a b
X bc
a
V
c
a b
X
bc
a
H
24
3. 将一般位置平面变为投影面平行面
a2
b2
a
V X
H a
b d
c
b d c
5.1 概 述 5.2 换面法
1
5.1 概 述
当直线或平面相对于投影面处于特殊位置（ 平行或垂直）时，它们的投影反映线段的实长、 平面的实形及其与投影面的倾角，当它们处于垂 直位置时，其中有一投影具有积聚性。
当直线或平面和投影面处于一般位置时，则 它们的投影就不具备上述的特性。
投影变换就是将直线或平面从一般位置变换 为和投影面平行或垂直的位置，以简便地解决它 们的定位和度量问题。
b
V
a
X
b d B
c
A b
b1
D C
a
V
X
d1H1 H
a1
a
c1
c
b d c
d
a
c
H
20
例3 求点S到平面ABC的距离
a
s'
s a
b d c
b d c
k1 s1
21
例4 已知E到平面ABC的距离为N，求E点的正面投影e。
b
k
d
a
e
c
b
a
k
d
c
n
n
22
2. 将投影面垂直面变为投影面平行面
V
c
c1
V1
a1 b1
A
C a
b
X B
X1
H
23
c1 b1
a1
c
a b
X bc
a
V
c
a b
X
bc
a
H
24
3. 将一般位置平面变为投影面平行面
a2
b2
a
V X
H a
b d
c
b d c
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c● a
V XH
●
d
n●
●
由直角投影定理，把AB变为投影面 垂直线时，公垂线MN平行于V1 ， 它的投影反映实长,且m1n1⊥c1d1。
A C N M
m
b
a c
●m ●
n
d b
B
D
d1
.
●
′
c1
a1(b1m1)
n1 d1
a′1（b ′1m ′1）
● ●
V1
.
n′ 1
H V 1
#
X1
c′ 1
（5）两交叉直线之间 →将一直线变换成投影面垂直线。
29
距离:
1.点到直线的距离； 4.线、面平行间的距离； 2.平行两直线的距离； 5.点到平面的距离； 3.两直线的公垂线； 6.平行两平面的距离。
30
5 、求夹角
（1）两直线之间 →将两直线组成的平面变换成投影面平行 面。 （2） 两平面之间 →将两平面变换成投影面的垂直面，即应将 两平面的交线变换成投影面的垂直线。
b
a b a
.
B A
a1
X
a H
H1 ● X1 V1 a1
//
●
X1
b1 a 2(b2)
X2轴的位置？
与a1b1垂直
14
例3：求两平行直线的距离.
作图： c● a
V H
●
d b
分析：转换为点到点 的距离问题。把AB、 CD换成投影面垂直线， 两点的距离即为所求。 （逆推法）
a1
V
A
X
V
ax
H
a
ax1 H V1 X1
X
ax1
H X1
a
1. a1a X1 2. a1ax1= aax
点的换面规律（一个垂直，一个相等） 1. 点的新投影与保留投影的连线，必垂直
于新投影轴。
2. 点的新投影到新投影轴的距离等于被“换”去投影
到被“换”去投影轴的距离。
6
⑶ 求新投影的作图方法 更换H面
a1’
中： H是旧投影面，H2 是新投影面， V1 是保留投影面； X1是旧轴， X2是 新轴。
a
H
ax1 X1 V1 X1 — H
1.先把V面换成V1面， V1H，得到中间新投影体系: H面没动，空间点A到H面的距离没变。
V1 X — 2 2.再把H面换成H2面， H2 V1，得到新投影体系: H2
a
XV H ax
X1 H 1 V
.
a1
ax1
a
作图规律： 首先确定好新投影轴，由点的保留投影 向新投影轴作垂线，并使垂线上的距离等于 被换投影到被换投影轴的距离。
7
⒉
两次换面
X2 a2
V H2
⑴ 新投影体系的建立
V1 在 X2 — 投影体系 H2 V1
ax2
a
ax
X
A
（3）一直线和平面之间 →将平面变换成投影面平行面，再将直线换 成投影面平行线。
31
角度：
1.相交两直线的夹角； 2.交叉两直线的夹角；
3.两平面的夹角；
32
解题时一般要注意下面几个问题： ⒈ 分析已给条件的空间情况，弄清原始条件 中物体与原投影面的相对位置，并把这些条件 抽象成几何元素（点、线、面等）。 ⒉ 根据要求得到的结果，确定出有关几何元 素对新投影面应处于什么样的特殊位置（垂 直或平行），据此选择正确的解题思路与方 法。 ⒊ 在具体作图过程中，要注意新投影与原投影 在变换前后的关系， 既要在新投影体系中正 确无误地求得结果，又能将结果返回到原投 影体系中去。
a
b
b2●
. .
60°
●
a1b1
● ●
c2
如何解？
解法相同！
思考： 已知点C是等边三角形的顶点，另两个顶点在直线AB上， 求等边三角形的投影。 35
H V 1 X1
H2 c1 V 1 X 1
例8*：已知两交叉直线AB和CD，且AB为水平线，求其 公垂线的长度MN及其投影。 空间及投影分析：
作图：
V1面没动，空间点A到V1面的距离没变。
8
⑵ 求新投影的作图方法
a V X H
ax
a2
a
ax1. H X1 V1
作图规律 aa1 X1轴
ax2
.
a 1
H2 V1 X 2
第二次新投影关 键：隔面量距
9
a1ax1 = a’ax
作图规律 a 1 a2 X 2 轴 a2ax2 = aax1
c a
k
f f b d
●
f 1
.
e
c c1
● ●
k 1 a 1 d 1
d 1
e1
13
3.
把一般位置直线变换成投影面垂直线
空间分析： 一次换面把直线变成投影面平行线； 二次换面把投影面平行线变成投影面垂直线。
X2
V
b H2
a2(b2)
ax2 b1
作图：
X
V H
b
V1
a
4
三、点的投影变换规律
⒈ 一次换面 ⑴建立新的投影体系
a A a’1
V
V1
ax
X
ax1
H X1
a
V1 V 新投影体系: X1 — 旧投影体系: X — H H A点的投影：a(V), a(H)，a1(V1)-标注规定.
5
⑵
新旧投影之间的关系
a ax a 1 V1
a
a1d1
● ●
c
H
d
.
c 1 V 1 X1
●
b1
反映平面对哪个投 影面的夹角？
16
求α，H面不动；求β，V面不动。
c V a
X C
V1 c 1
b
A B
a1
c α
b1
X1
a
b H
17
5 . 将投影面的垂直面变成投影面的平行面
一次换面后可 求解平面实形 a'
V
a'1
V1
实形
问题的关键： 新投影轴必须 平行于该平面 的积聚性投影。
新投影轴的位置？ 与ab平行
10
1.5.用换面法在直线AB上取一点C,使AC=25。 用换面法在直线AB上取一点C，使AC=25。
c′
分析：找AB实长
一次换面，将AB投影 变换为新投影面的平 行线，则在新投影面 中的投影反应实长。
c a′1
c′1
b ′1
11
2. 将投影面的平行线变换为投影面的垂直线
25
点的换面规律
点的新投影与保留投影的连线，必垂直于新 投影轴。
点的新投影到新投影轴的距离等于旧投影到 旧投影轴的距离。
a ax
. a1
X
V H
ax1
H P1 X1
26
a
换面法的六个基本作图问题：
1. 把一般位置直线变成投影面平行线一次换面
2. 把投影面平行线变成投影面垂直线一次换面
C A
a● c d
H V 1
●b ●
B
D
a'1(b'1)
a'1 b'1 c'1 d'1
●
V1
c'1(d'1)
实长
X1
15
4. 把一般位置平面变换成投影面垂直面 （可求解平面与投影面的倾角）
例：把△ABC变换成投影面垂直面。
a
V H
b
d
c
a b
X
空间分析： 如果把平面内的一 条直线变换成新投影面的垂直 线，那么该平面则变换成新投 影面的垂直面。 作图过程：在平面内取一条 水平线AD，将AD变换成新投 影面的垂直线。 α
换面法
一、问题的提出
如何求一般位置直线的实长？ 解决方法：更换投影面V为V1//AB。
反映实长
V1
a
V
A B a
a1 b1
b
H
H
b
1
换 面 法：
物体本身在空间的位置不动，而用某一 新投影面（辅助投影面）代替原有投影面， 使物体相对新的投影面处于解题所需要的特 殊位置，然后将物体向新投影面进行投射。
1. 把一般位置直线变成投影面平行线一次换面
2. 把投影面平行线变成投影面垂直线一次换面
3. 把一般位置直线变成投影面垂直线两次换面 4. 把一般位置平面变成投影面垂直面一次换面 需先在平面内找一条投影面平行线变成垂直线 5. 把投影面垂直面变成投影面平行面一次换面 6. 把一般位置平面变成投影面平行面两次换面
3. 把一般位置直线变成投影面垂直线两次换面 4. 把一般位置平面变成投影面垂直面一次换面 需先在平面内找一条投影面平行线变成垂直线 5. 把投影面垂直面变成投影面平行面一次换面 6. 把一般位置平面变成投影面平行面两次换面
27
五、换面法的应用
1 、求直线实长和与投影面的倾角 →将直线变换成投影面的平行线。 2 、求平面实形和重心 →将平面变换成投影面的平行面。
c' b'1 b'
A
c' 1
C B
X
X1
b
H
a
c
18
6. 把一般位置平面变换成投影面平行面
空间分析： 一般平面
c b b2●
.
V XH
●
d
n●
●
由直角投影定理，把AB变为投影面 垂直线时，公垂线MN平行于V1 ， 它的投影反映实长,且m1n1⊥c1d1。
A C N M
m
b
a c
●m ●
n
d b
B
D
d1
.
●
′
c1
a1(b1m1)
n1 d1
a′1（b ′1m ′1）
● ●
V1
.
n′ 1
H V 1
#
X1
c′ 1
（5）两交叉直线之间 →将一直线变换成投影面垂直线。
29
距离:
1.点到直线的距离； 4.线、面平行间的距离； 2.平行两直线的距离； 5.点到平面的距离； 3.两直线的公垂线； 6.平行两平面的距离。
30
5 、求夹角
（1）两直线之间 →将两直线组成的平面变换成投影面平行 面。 （2） 两平面之间 →将两平面变换成投影面的垂直面，即应将 两平面的交线变换成投影面的垂直线。
b
a b a
.
B A
a1
X
a H
H1 ● X1 V1 a1
//
●
X1
b1 a 2(b2)
X2轴的位置？
与a1b1垂直
14
例3：求两平行直线的距离.
作图： c● a
V H
●
d b
分析：转换为点到点 的距离问题。把AB、 CD换成投影面垂直线， 两点的距离即为所求。 （逆推法）
a1
V
A
X
V
ax
H
a
ax1 H V1 X1
X
ax1
H X1
a
1. a1a X1 2. a1ax1= aax
点的换面规律（一个垂直，一个相等） 1. 点的新投影与保留投影的连线，必垂直
于新投影轴。
2. 点的新投影到新投影轴的距离等于被“换”去投影
到被“换”去投影轴的距离。
6
⑶ 求新投影的作图方法 更换H面
a1’
中： H是旧投影面，H2 是新投影面， V1 是保留投影面； X1是旧轴， X2是 新轴。
a
H
ax1 X1 V1 X1 — H
1.先把V面换成V1面， V1H，得到中间新投影体系: H面没动，空间点A到H面的距离没变。
V1 X — 2 2.再把H面换成H2面， H2 V1，得到新投影体系: H2
a
XV H ax
X1 H 1 V
.
a1
ax1
a
作图规律： 首先确定好新投影轴，由点的保留投影 向新投影轴作垂线，并使垂线上的距离等于 被换投影到被换投影轴的距离。
7
⒉
两次换面
X2 a2
V H2
⑴ 新投影体系的建立
V1 在 X2 — 投影体系 H2 V1
ax2
a
ax
X
A
（3）一直线和平面之间 →将平面变换成投影面平行面，再将直线换 成投影面平行线。
31
角度：
1.相交两直线的夹角； 2.交叉两直线的夹角；
3.两平面的夹角；
32
解题时一般要注意下面几个问题： ⒈ 分析已给条件的空间情况，弄清原始条件 中物体与原投影面的相对位置，并把这些条件 抽象成几何元素（点、线、面等）。 ⒉ 根据要求得到的结果，确定出有关几何元 素对新投影面应处于什么样的特殊位置（垂 直或平行），据此选择正确的解题思路与方 法。 ⒊ 在具体作图过程中，要注意新投影与原投影 在变换前后的关系， 既要在新投影体系中正 确无误地求得结果，又能将结果返回到原投 影体系中去。
a
b
b2●
. .
60°
●
a1b1
● ●
c2
如何解？
解法相同！
思考： 已知点C是等边三角形的顶点，另两个顶点在直线AB上， 求等边三角形的投影。 35
H V 1 X1
H2 c1 V 1 X 1
例8*：已知两交叉直线AB和CD，且AB为水平线，求其 公垂线的长度MN及其投影。 空间及投影分析：
作图：
V1面没动，空间点A到V1面的距离没变。
8
⑵ 求新投影的作图方法
a V X H
ax
a2
a
ax1. H X1 V1
作图规律 aa1 X1轴
ax2
.
a 1
H2 V1 X 2
第二次新投影关 键：隔面量距
9
a1ax1 = a’ax
作图规律 a 1 a2 X 2 轴 a2ax2 = aax1
c a
k
f f b d
●
f 1
.
e
c c1
● ●
k 1 a 1 d 1
d 1
e1
13
3.
把一般位置直线变换成投影面垂直线
空间分析： 一次换面把直线变成投影面平行线； 二次换面把投影面平行线变成投影面垂直线。
X2
V
b H2
a2(b2)
ax2 b1
作图：
X
V H
b
V1
a
4
三、点的投影变换规律
⒈ 一次换面 ⑴建立新的投影体系
a A a’1
V
V1
ax
X
ax1
H X1
a
V1 V 新投影体系: X1 — 旧投影体系: X — H H A点的投影：a(V), a(H)，a1(V1)-标注规定.
5
⑵
新旧投影之间的关系
a ax a 1 V1
a
a1d1
● ●
c
H
d
.
c 1 V 1 X1
●
b1
反映平面对哪个投 影面的夹角？
16
求α，H面不动；求β，V面不动。
c V a
X C
V1 c 1
b
A B
a1
c α
b1
X1
a
b H
17
5 . 将投影面的垂直面变成投影面的平行面
一次换面后可 求解平面实形 a'
V
a'1
V1
实形
问题的关键： 新投影轴必须 平行于该平面 的积聚性投影。
新投影轴的位置？ 与ab平行
10
1.5.用换面法在直线AB上取一点C,使AC=25。 用换面法在直线AB上取一点C，使AC=25。
c′
分析：找AB实长
一次换面，将AB投影 变换为新投影面的平 行线，则在新投影面 中的投影反应实长。
c a′1
c′1
b ′1
11
2. 将投影面的平行线变换为投影面的垂直线
25
点的换面规律
点的新投影与保留投影的连线，必垂直于新 投影轴。
点的新投影到新投影轴的距离等于旧投影到 旧投影轴的距离。
a ax
. a1
X
V H
ax1
H P1 X1
26
a
换面法的六个基本作图问题：
1. 把一般位置直线变成投影面平行线一次换面
2. 把投影面平行线变成投影面垂直线一次换面
C A
a● c d
H V 1
●b ●
B
D
a'1(b'1)
a'1 b'1 c'1 d'1
●
V1
c'1(d'1)
实长
X1
15
4. 把一般位置平面变换成投影面垂直面 （可求解平面与投影面的倾角）
例：把△ABC变换成投影面垂直面。
a
V H
b
d
c
a b
X
空间分析： 如果把平面内的一 条直线变换成新投影面的垂直 线，那么该平面则变换成新投 影面的垂直面。 作图过程：在平面内取一条 水平线AD，将AD变换成新投 影面的垂直线。 α
换面法
一、问题的提出
如何求一般位置直线的实长？ 解决方法：更换投影面V为V1//AB。
反映实长
V1
a
V
A B a
a1 b1
b
H
H
b
1
换 面 法：
物体本身在空间的位置不动，而用某一 新投影面（辅助投影面）代替原有投影面， 使物体相对新的投影面处于解题所需要的特 殊位置，然后将物体向新投影面进行投射。
1. 把一般位置直线变成投影面平行线一次换面
2. 把投影面平行线变成投影面垂直线一次换面
3. 把一般位置直线变成投影面垂直线两次换面 4. 把一般位置平面变成投影面垂直面一次换面 需先在平面内找一条投影面平行线变成垂直线 5. 把投影面垂直面变成投影面平行面一次换面 6. 把一般位置平面变成投影面平行面两次换面
3. 把一般位置直线变成投影面垂直线两次换面 4. 把一般位置平面变成投影面垂直面一次换面 需先在平面内找一条投影面平行线变成垂直线 5. 把投影面垂直面变成投影面平行面一次换面 6. 把一般位置平面变成投影面平行面两次换面
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五、换面法的应用
1 、求直线实长和与投影面的倾角 →将直线变换成投影面的平行线。 2 、求平面实形和重心 →将平面变换成投影面的平行面。
c' b'1 b'
A
c' 1
C B
X
X1
b
H
a
c
18
6. 把一般位置平面变换成投影面平行面
空间分析： 一般平面
c b b2●
.