换面法

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工程制图换面法课件

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零件图
通过换面法,可以将复杂的零件 图进行简化,使得绘图更加方便 快捷。
装配图
在绘制装配图时,换面法可以帮 助确定各个零部件的位置关系, 提高绘图效率。
在建筑工程制图中的应用
平面图
在绘制建筑平面图时,利用换面法可 以将复杂的建筑结构进行简化,便于 绘图。
立面图
在绘制建筑立面图时,通过换面法可 以更好地表现建筑的外观和结构。
在水利工程制图中的应用
流域图
在绘制水利工程流域图时,利用换面法可以 将复杂的流域地形进行简化,便于绘图。
水工建筑物图
在绘制水工建筑物图时,换面法可以帮助确 定水工建筑物的位置和结构,提高绘图效率 。
THANKS
感谢观看
它是一种有效的解决复杂工程问题的 手段,通过换面法可以简化复杂结构 的分析、设计和绘图过程。
原理
换面法的原理基于投影几何和三维几何的基本原理,通过改 变观察者和物体的相对位置,使得新的投影面上的投影更加 简单,易于分析和处理。
在实际应用中,换面法的原理可以通过各种计算和绘图软件 来实现,这些软件可以根据用户的需求自动进行换面操作, 并生成相应的工程图纸。
的三维空间关系。
灵活性
换面法可以根据需要选择不同 的投影面,以便更好地展示物 体的某些特征。
易于掌握
换面法的操作相对简单,不需 要复杂的数学计算,易于学习 和掌握。
广泛应用
换面法在工程、机械、建筑等 领域都有广泛应用,是工程技 术人员必须掌握的基本技能之
一。
缺点
计算量大
在某些情况下,换面法需要进行大量的计算 和作图,增加了工作量。
02
换面法的分类
平行投影面的换面法
01
02

画法几何换面法ppt课件

画法几何换面法ppt课件
例:求出上一例题中的 △ABC平面的实形。
前一例的作图已将平面变 换为投影面垂直面,现只需 接着作后一次变换。
3、将一般位置平面变换为投影面平行面
作图步骤如下: 前一例的作图已将 平面变换为投影面 垂直面,现只需接 着作后一次变换。
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的原则和变换的规律与一次变换方法完全相同。 不过在作二次变换时要正确判断出不变投影、被替换的
投影、新轴和旧轴,准确定出点的新投影的位置。
图中先变换的是V1面,接着作第 二次变换。此时的H1面与V1面垂直, 被 替 换 是 H 面 , 而 V1 面 为 不 变 投 影 面。O2X2为新的投影轴,O1X1则成 了旧投影轴。
作图分析:由于△ABC平面为一 铅垂面 ,则O1X1轴应平行于平面的 积聚性投影。
作 图 过 程 如 图 所 示:
2、将一般位置平面变换为投影面垂直面 作图分析:
在作图时首先要考虑的是如何确定新投影面的位置。
将一般位置平面变换为投影面垂直面的作图步骤如下:
在空间平面内作一投影面平行线(下图中作了一条水
作图步骤:
1、点的一次变换 例:已知A点的两面投影a'、a,试作出给定位置的A点新 投影。又:作出A点在H1面上的投影。 作图分析: 变换H1面与变换V1面的作图分析和作图步骤相同。
本题的投影变换作图为 点A的两个一次变换。
2、点的二次变换 在用投影变换的方法求解一些实际问题时,需要变换两
次投影面,这样的变换方法称为二次变换。 二次变换实际上就是连续作出的两个一次变换。其变换
1、将一般位置直线变换为投影面平行线 通过一次变换可将一般位置直线变换为投影面平行线, 求得直线的实际长度以及直线对投影面的夹角。 为求得AB线的实长,所设置的新投影面V1应与AB平行。 从直观图上可看出,体现新面位置的新轴就应平行于AB 线的水平投影 ab。

§2-6换面法

§2-6换面法

X一、换面法的基本概念•从前面已经知道:投影面的平行线在该投影面上的投影能直接反映真长和对另一投影面的倾角;投影面的平行面在该投影面上的投影反映真形。

•由此可以得到启示:当几何形体在两个互相垂直的投影面体系中对某一投影面处于特殊位置时,可直接利用一些投影特性求解画法几何的图示和图解问题,使作图简化。

•当几何形体在两投影面体系中不处于这样的特殊位置,则可以创造新投影面体系使之处于这样的特殊位置。

投影变换的基本作图法•方法是:保留一个投影面,用垂直于被保留的投影面的新投影面更换另一投影面,组成一个新的两投影面体系,使几何形体在新投影面体系中对新投影面处于便利解题的特殊位置,在新投影面体系中作图求解,这种方法称为变换投影面法。

简称换面法。

新投影面的选择原则1.新投影面必须对空间物体处于最有利的解题位置。

2. 新投影面必须垂直于某一保留的原投影面,以构成一个相互垂直的两投影面的新体系。

二、直线在换面法中的基本情况•投影变换的基本作图法X1。

变换为新投影面的平行线XX2。

投影面的平行线变换为新投影面的垂直线•投影变换的基本作图法3。

两次换面可将一般位置直线变换成投影面垂直线再将投影面平行线变换成投影面垂直线[例2-9]如图所示,过A点作直线BC的垂线AD及其垂足D,并求作点A与直线BC之间的真实距离.Array•从前面已经知道:一边平行于某一投影面的直角,在该投影面上的投影仍是直角。

先将直线BC变换成投影面平行线再将直线BC变换成投影面垂直线亦是垂线AD变换成投影面平行线三、平面在换面法中的基本情况•1。

将一般位置平面变换为新投影面的垂直平面X先在△ABC上作出投影面H的平行线AD1垂直于AD2。

将投影面垂直平面变换为新投影面的平行平面3。

两次换面可将一般位置平面变换为新投影面的平行平面。

X[例2-29]如图所示.过点A作△BCD的垂线AK、垂足K以及点A与CD之间的真实距离.。

换面法

换面法

实形
保持空间几何元素位置不动,通过变换投影面,使几何元素 在新投影面体系中处于对解题有利的位置,这种方法叫做变换投影 面方法,简称换面法。
二、点的换面投影规律

1.点的新投影与不变投影之间的连线垂直于新投影轴;
不变投影 新投影
原投影
2.点的新投影到新投影轴之间的距离等于原投影到原投影轴之间的
距离。
解题步骤:
1.将交线AB 变换为新投 影面的垂直线 2.两平面 随之变换 3.角 即为所求
例7 求直线AB 与平面DEF 之间的夹角θ
—— 应用换面法解题:
例8 平行四边形ABCD 给定一平面,试求点S 至该平面的距离 空间分析:
—— 应用换面法解题:
. 距离
解题步骤:
1.将平面ABCD 变换为新投 影面的垂直面 2.点S 随之变换 3.过S 作ABCD 的垂线,s1’k1’ 即为所求
.
Hale Waihona Puke 例5 求两交叉直线AB 和CD 的公垂线,并求两者之间的最短距离
—— 应用换面法解题:
解题步骤:
1.将两已知直线之一CD 变 换为投影面垂直线,直线 AB 随之变换 2.在投影面H2 中作公垂线 ST 的投影s2t2 3.将s2t2返回原体系
距离实长
例6 求△ABC 与△ABD 之间的夹角
—— 应用换面法解题:
.
.
例2 试过定点A 作直线与已知直线EF 正交
—— 应用换面法解题
解题步骤:
1.将直线EF 变换 为新投影面的 平行线 2.点A 随之变换 3.过a1’作e1’f1’的 垂线,得k1’
4.将k1’a1’返回原 体系
例3 过点K 作直线与平面△CDE 平行,并与直线AB 相交

换面法

换面法
7
先把V面换成平面P1, P1H,得到中间投影体系 再把H面换成平面P2, P2P1,得到新投影体系
《机械制图》 第4讲 换面法
2 点的二次换面作图
a’

X
V H a2
a


H X 1 P1

a1
P2 P1 X 2
作图规则:
a2a1 X2 轴,a2ax2 = aax1
《机械制图》 第4讲 换面法
3 求新投影的作图方法
由点的不变投影向新投 影轴作垂线,并在垂线上量 取一段距离,使这段距离等 于被代替的投影到原投影轴 的距离。
《机械制图》 第4讲 换面法

X
V H


H
P1 X1
6
4.1.4 点的二次换面 1 新投影体系的建立
V P2
a2
X2
ax2
P1
A

a’ ax


a1
X
a
ax1
H
X1 P1 — H P1 — P2
思维训练 如何确定换面目标:空间分析!
如何 求?
•点到点的距离 •点到线的距离
•点到面的距离 •线到线的距离 •线与线的夹角 •线与面的夹角 •面与面的夹角
《机械制图》 第4讲 换面法
17
建立解题的空间模型
要点小结
• 四个基本问题--熟练掌握
• 确定换面目标--解题关键
方法:空间分析投影作图
《机械制图》 第4讲 换面法

V
a’

A


a1
P1
X
ax ax1
V
H


X

a

换面法

换面法
应用换面法在V1/H2体系中解题:
解题步骤: 1.将两已知平行 直线构成的平面 经两次变换,变 变换,变成投影 面平行面 2.求作EF 的实长
实长
例: 平行四边形ABCD 给定一平面,试求点S 至该平面的距离 空间分析:
. 距离
解题步骤:
1.将平面ABCD 变换为新投 影面的垂直面 2.点S 随之变换 3.过S 作ABCD 的垂线,s1’k1’ 即为所求
解题步骤:
1.将直线EF 变换 为新投影面的 平行线 2.点A 随之变换 3.过a1’作e1’f1’的 垂线,得k1’ 4.将k1’a1’返回原 体系
例:试求某炼油厂的球罐A到输油管BC的最短净距离(5-9)
a2
b’
b’ c’
L
c2 (b2)
a’
X
b a
V O H
a’ c’ a1’ b a
b1 ’
保留投影面
保留投影
.
v1
新投影
作图步骤: 1)画X1 轴; 2)过a’ 作X1 轴的垂线; 3)在垂线上截取 新投影面
a1aX1 = aaX 。
2)点在V/H1体系中的投影 (用H1面代替H面,求点的新投影)
H1ห้องสมุดไป่ตู้
保留投影 新投影
旧投影
新投影面的设立原则:
1.新投影面必须设立在使空间元素处在有利于解题的位置 . 2.新投影面必须垂直于原有投影面体系中的一个投影面.



二、例题
例:求图中所示下料漏斗两相邻斗壁的夹角θ(例5-8)
(a’) f’ (d’)
(b’) (c’) e’
a b e f d
d1 a1 f1 c1 e1 b1 d’2 (c’2 ) θ a’2

换面法

换面法

一、换面法的基本概念如图所示:直线AB在V/H体系中是一般位置直线,在V和H投影面上均不反映实长,为使直线反映实长,取一个平行于直线且垂直于H的平面V1来代替V面,则新的V1 面和不变的H构成一个新的两面体系V1/H。

直线在新的体系中反映实长。

再以V1面和H面的交线X1为轴,使V1面旋转至和H面重合,就得出新体系的投影图。

这样的方法就称为换面法。

显然,新投影面是不能任意选择的,首先要使空间几何元素在新的投影面上的投影能够帮助我们更方便地解决问题。

而且新投影面必须要和不变的H面构成一个直角两面体系,这样才能应用过去所研究的正投影原理作出新的投影图来。

因而新投影面的选择必须符合以下两个基本条件:1.新投影面必须和空间几何元素处于有利于解题的位置;2.新投影面必须垂直于一个不变的投影面。

二、点的投影变换规律(一)点的一次变换点是一切几何形体的基本元素,因此,必须首先在更换投影面时了解点的投影的变换规律。

如下图,表示点A在V/H体系中,正面投影为a',水平投影为a。

现令H面不变,取一铅垂面V 1 (V 1 ⊥ H) 来代替正立面 V ,使形成新投影面体系 V 1 /H 。

需要注意,投影面更换时,投影线的方向也要随之变化,本来投影线是垂直于 V 面的,现在则使他们垂直于 V 1 面。

过点 A 向 V 1 作垂线,得到新投影面上的投影 a 1 ' ,这样,点 A 在新,旧体系中的投影 (a,a 1 ') 和 (a,a') 都为已知。

其中 a 1 ' 为新投影, a' 为旧投影,而 a 为新旧体系中共有的不变投影。

他们之间有下列关系:1.由于这两个体系具有公共的水平面 H ,因此点 A 到 H 面的距离(即 Z 坐标),在新旧体系中都是相同的,即 a'a x =Aa=a 1 'a x1 。

2.当 V 1 面绕 X 1 轴重合到 H 面上时,根据点的投影规律可知 aa 1 ' 必定垂直于 X 1 轴。

4换面法

4换面法

X2
真实距离
3、将一般位置平面变换成V1面垂直面 b′ V1 V a′ A c′ b′B
D
a′ X a1′ a
b1′
d′ c′
b c d
V H
C c
b
d
c1 ′
b1′ C1′ a1′
a
H
X2
V1 V1 X1 H2
H
b2
C2
4、将一般位置平面变换成投影面平行面 (两次换面)
a2
上一页
例过点A作三角形BCD的垂线AK、垂足K以及点A与三角形BCD 之间的真实距离。 a′ c′
b′ X b
k′
a
e′ d′ d V H d1′ b1′
k
e
c
H
a1′
真实距离
k1′
X1 V1
C1′
例已知等边三角形ABC为正垂面,点C在AB的前方,补全 三角形ABC的两面投影。 c1 X1 H a1 V
a′
c′ b1
X a
b′
V H
b
c
例正方形ABCD的顶点A在直线EF上,顶点C在直线BG上, d′ 补全该正方形的两面投影。
a′ f′ e′ b′ b a f c′ g′
X X1 H e V1 过b1′作b1′g1′连 e1′ 线的垂线
c g
V H 作X1∥bg
a1′
b1′ d
f1′
c1′ g1′
V1 X2 H2
a2 b2
作X2⊥直线 b1′g1′
V1 b′ V a′ X b A a1″ H X1 X a H a′ b V H B b1″
a
b′
X1 V1
a1′
b1′
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换面法一、 换面法概述当直线或平面相对于投影面处于特殊位置(平行、垂直)时,它们的投影反映线段的实长、平面的实形及其与头面的倾角。

当直线或平面和投影面处于一般位置时,则它们的投影不具备上述特性。

换面法的目的,就在于将直线或平面从一般位置变换为和投影面平行或垂直的位置,以便于解决它们的度量和定位问题。

1.换面法的基本概念换面法就是保持空间几何元素不动,用一个新的投影面替换其中一个原来的投影面,使新投影面对于空间几何元素处于有利于解题的位置。

然后找出其在新投影面上的投影。

2.新投影面的选择原则(1)新投影面必须和空间的几何元素处于有利于解题的位置;(2)新投影面必须垂直于一个原有的投影面;(3)在新建立的投影体系中仍然采用正投影法。

二、 点的换面点是一切几何元素的基本元素。

因此在研究换面时,首先从点的投影变换来研究换面法的投影规律。

1.点的一次换面(1)换V 面图2-25(a )表示点A 在原投影体系V/H 中,其投影为a 和a '现令H 面不动,用新投影面V 1来代替V 面,V 1面必须垂直于不动的H 面,这样便形成新的投影体系V 1/H ,O 1X 1是新投影轴。

过点A 向V 1面作垂线,得到V 1面上的新投影1a ',点1a '是新投影,点a '是旧投影,点a 是新、旧投影体系中的共有的不变投影。

a 和1a '是新的投影体系中的两个投影,将V 1面绕O 1X 1轴旋转到与H 面重合的位置时,就得到图2-25(b )所示的投影图。

由于在(a)(b)(c)图2-25点的一次变换(换V面)新投影体系中,仍采用正投影方法,又在V/H投影体系和V1/H体系中,具有公共的H面,所以点a到H面的距离(Z坐标)在两个题词体系中是相等的。

所以有如下关系:1a'a⊥O1X1轴;1a'1xa=a'xa=A a,即:换V面时Z坐标不变。

由此得出点的投影变换规律是:①点的新投影和不便投影的连线,必垂直于新投影轴;②点的新投影到新投影轴(O1X1)的距离等于被替换的点的旧投影到旧投影轴(OX)的距离,也即换V面时高度坐标不变。

换V面的作图方法和步骤如图2-25(c)所示:①在被保留的H投影a附近(适当的位置)作O1X1轴;②由H投影a向新投影轴O1X1作垂线,在此垂线上量取1a'1x a=a'x a,点1a'即为所求。

(2)换H面换H面时,新就投影之间的关系与换V面类似,也存在如下关系:a'a⊥O1X1轴;1a1xa=axa=A a',换H面是Y坐标不变。

其作图方法和步骤与换V面类似2-25(c),可依此类推,此略。

2.点的二次换面由于应用换面法解决实际问题时,有时一次换面还不便于解题,有时还需要二次或多次变换投影面。

如图3-27表示点的二次换面,其求点的新投影的作图方法和原理与一次换面相同。

但要注意:在更换投影面时,不能一次更换两个投影面,为在换面过程中二投影面保持垂直,必须在更换一个之后,在新的投影体系中交替地再更换另一个。

如2-26(a)所示,先由H1代替H面,构成新的投影体系V/H1,O1X1为新坐标轴;再以这个新投影体系为基础,以V2面代替V面,又构成新的投影体系V2/H1,O2X2为新坐标轴。

二次换面的作图步骤如图2-26(b)所示:(1)先换H面,以H1面替换H面,建立V/H1新投影体系,得新投影1a,而1a1xa=axa=A a',作图方法与点的一次换面完全相同;(2)再换V面,以V2面替换V面,建立V2/H1新投影体系,得新投影2a',而2a'2xa=a '1x a =A 1a ,作图方法与点的一次换面类似。

(1) (2)图2-26点的二次换面注:根据实际需要也可以先换V 面,后换H 面,但两次或多次换面应该是V 面和H 面交替更换,如:H V →HV 1→21H V →23H V ……。

三、几个基本作图问题1.将一般位置直线变换为投影面的平行线如图2-27(a )为把一般位置直线AB 变换为投影面平行线的情况。

用V 1面代替V 面,使V 1面∥AB 并垂直于H 面。

此时,AB 在新投影体系V 1/H 中为正平线。

图2-27(b )为投影图。

作图时,先在适当位置画出与不变投影ab 平行的新投影轴O 1X 1(O 1X 1∥ab ),然后根据点的投影变换规律和作图方法,求出A 、B 两点在新投影面V 1上的新投影1a '、1b ',再连接直线1a '1b '。

则1a '1b '反应线段AB 的实长,即1a '1b '=AB ,并且新投影11b a ''和新投影轴(O 1X 1轴)的夹角即为直线AB 对H 面的倾角α,如图2-27(b )。

如图2-27(c )所示若求线段AB 的实长和与V 面的倾角β,应将直线AB 变换成水平线(AB ∥H 1面)也即应该换H 面,建立V/H 1新投影体系,,基本原理和作图方法同上。

(a ) (b ) (c )图2-27将一般位置直线变换为投影面平行线2.将投影面的平行线变换为投影面垂直线将投影面平行线变换为投影面的垂直线,是为了使直线积聚成一个点,从而解决与直线有关部门的度量问题(如求两直线间的距离)和空间文质彬彬问题(如求线段面交点)。

应该选择哪一个投影面进行变换,要根据给出的直线的位置而定。

即选择一个与已知平行线垂直的新投影面进行变换,使该直线在新投影体系中成为垂直线。

如图2-28(a)表示将水平线AB变换为新投影面的垂直线的情况。

图2-28(b)表示投影图的作法:因所选的新投影面垂直于AB,而AB为水平线,所以新投影面一定垂直于H 面,故应换V面,用新投影体系V1/H更换旧投影体系V/H,其中O1X1⊥ab。

(a)(b)图2-28将投影面的平行线变换为投影面垂直线3.将一般位置直线变换为投影面垂直线(需要二次换面)如果要将一般位置直线变换为投影面垂直线,必须变换两次投影面。

先将一般位置直线变换为投影面的平行线,然后再将该投影面平行线变换为投影面垂直线。

如图2-29所示,先换V面,使直线AB在新投影体系V1/H中成为正平线,然后再换H 面,使直线AB在新投影体系V1/H2中成为铅垂线。

其作图方法详见图2-29(b),其中O1X1a''。

∥ab,O2X2⊥11b(a)(b)图2-29直线的二次换面4.将一般位置平面变换为投影面垂直面(求倾角问题)将一般位置平面变换为投影面垂直面,只需使平面内的任一条直线垂直于新的投影面。

我们知道要将一般位置直线变换为投影面的垂直线,必须经过两次变换,而将投影面平行线变换为投影面垂直线只需要一次变换。

因此,在平面内不取一般位置直线,而是取一条投影面的平行线为辅助线,再取与辅助线垂直的平面为新投影面,则平面也就和新投影面垂直了。

如图2-30表示将一般位置平面△ABC 变换为新投影体系中的正平线段的情况。

由于新投影面V 1既要垂直于△ABC 平面,又要垂直于原有投影面H 面,因此,它必须垂直于△ABC 平面内的水平线。

作图步骤(如图2-30(b )):(1)在△ABC 平面内作一条水平线AD 线作为辅助线及其投影ad 、d a '';(2)作O 1X 1⊥ad ;(3)求出△ABC 在新投影面V 1面上的投影1a '、1b '、1c ',1a '、1b '、1c ' 三点连线必积聚为一条直线,即为所求。

而该直线与新投影轴的夹角即为该一般位置平面△ABC 与H 面的倾角α。

同理,也可以将△ABC 平面变换为新投影体系V/H 1中的铅垂面,并同时求出一般位置平面△ABC 与V 面的倾角β。

(a ) (b )(c )图2-30平面的一次换面(求倾角)5.将投影面的垂直面变换为投影面平行面(求实形问题)如图表示将铅垂面△ABC 变为投影面平行面(求实形)的情况。

由于新投影面平行于△ABC ,因此它必定垂直于投影面H ,并与H 面组成V 1/H 新投影体系。

△ABC 在新投影体系中是正平面。

图2-30(b )为它的投影图。

作图步骤(如图2-31(b )):(1)在适当位置作O 1X 1∥1a '1b '1c '; (2)求出△ABC 在H 1面的投影1a 、1b 、1c ,连接此三点,得△1a 1b 1c 即为△ABC 的实形。

(a ) (b )图2-31将投影面的垂直面变换为投影面平行面6.将一般位置平面变换为投影面平行面(二次换面)要将一般位置平面变换为投影面平行面,必须经过两次换面。

因为如果取新投影面平行于一般位置平面,则这个投影面也一定是一般位置平面,它和原体系V/H 中的哪个投影面都不垂直而无法构成新投影体系。

因此,一般位置平面变换为投影面平行面,必须经过两次换面。

如图2-32(a )所示,先换V 面,其变换顺序为X H V →X 1HV 1→X 221H V ,在H 2面上得到△222c b a =△ABC ,即△222c b a 是△ABC 的实形;如图2-32(b )所示,先换H 面,其变换顺序为X H V →X 11H V →X 212H V ,在V 2面上得到△222c b a '''=△ABC ,即△222c b a '''是△ABC 的实形。

(a ) (b )图2-32平面的二次换面 四、 应用举例1. 点到平面的距离确定点到平面的距离,只要把已知的平面变换成垂直面,点到平面的实际距离就可反映在投影图上了。

图2-33,用变换V 面的方法,确定点D 到△ABC 的距离,作图步骤如下:(1)由于△ABC 中的AC 为水平线,故直接取新轴O 1X 1⊥ac ;(2)再作出D 面和△ABC 的新投影1d '和1a '1b '1c '(为一直线);(3)过点1d '向直线1a '1b '1c '作垂线,得垂足的新投影1k ',投影1d '1k '之长即为所求的距离。

图2-33点到平面的距离2. 点到直线的距离及其投影例 如图2-34(a )所示:已知线段AB 和线外一点C 的两个投影,求点C 到直线AB 的距离,并作出C 点对AB 的垂线的投影。

分析:要使新投影直接反映C 点到直线AB 的距离,过C 点对直线AB 的垂线必须平行于新投影面。

即直线AB 或垂直于新的投影面,或与点C 所决定的平面平行于新投影面。

要将一般位置直线变为投影面的垂直线,必须经过二次换面,因为垂直一般位置直线的平面不可能又垂直于投影面。

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