第21讲 几何概型及随机模拟
几何概型与随机数学习教育课件PPT
若a为区间[0，4]内的均匀随机数，b为 区间[0，3] 内的均匀随机数，求函数 f(x)在R上是增函数的概率.
1 3 2 2 例6 已知函数 f ( x) x (a 1) x b x 3
【解题要点】 由随机数范围确定事件总个数或区域→ 整数随机数问题用古典概型→均匀随机 数用几何概型.
试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）
4.整数随机数： 对于某个指定范围内的整数，每次从中 有放回随机取出的一个数. 5.均匀随机数： X在区间[a，b]上等可能取任意一个值， 且X的取值是连续的.
6.随机模拟方法： 用手工、计算机或计算器模拟试验的 方法.
拓展延伸
1.几何概型与古典概型的共同点是随 机试验中每个结果发生的可能性相等， 不同点是随机试验中可能出现的结果分 别有无限多个和有限多个.
12.2
几何概型与随机数
知识梳理
1 5730 p 2t1.几何概型的概念： 每个事件发生的概率只与构成该事件区 域的长度（面积或体积）成比例的概率 模型. 2.几何概型的特点： （1）可能出现的结果有无限多个； （2）每个结果发生的可能性相等. 3.几何概型的概率：
P(A)＝
构成事件A的区域长度（面积或体积）
考点2
与随机数有关的概率问题
例4 设事件A表示“关于x的一元二次 方程x2＋2ax＋b2＝0”有实根，求在下 列条件下事件A发生的概率. （1）a是区间[0，3]内的整数值随机数， b是区间[0，2]内的整数值随机数； （2）a是区间[0，3]内的均匀随机数， b是区间[0，2]内的均匀随机数.
例5 已知三个正数a，b，c满足 1 2 9 a＜b＜c，且a，b，c是集合 { , , , } 10 10 10 中的随机数，求a，b，c能构成三角形三 边长的概率.
第21讲几何概型及随机模拟doc高中数学
第21讲几何概型及随机模拟doc 高中数学 高三新数学第一轮复习教案〔讲座21〕—几何概型及随机模拟一．课标要求：1．了解随机数的意义，能运用模拟方法〔包括运算器产生随机数来进行模拟〕估量概率，初步体会几何概型的意义；2．通过阅读材料，了解人类认识随机现象的过程。
二．命题走向本讲内容在高考中所占比较轻，纵贯近几年的高考对概率要求降低，但本讲内容使新加内容，考试涉及的可能性较大。
推测07年高考：〔1〕题目类型多以选择题、填空题形式显现，；〔2〕本建考试的重点内容几何概型的求值咨询题，我们要善于将实际咨询题转化为概率模型处理。
三．要点精讲1．随机数的概念随机数是在一定范畴内随机产生的数，同时得到那个范畴内任何一个数的机会是均等的。
2．随机数的产生方法〔1〕利用函数运算器能够得到0~1之间的随机数；〔2〕在Scilab 语言中，应用不同的函数可产生0~1或a~b 之间的随机数。
3．几何概型的概念假如每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度〔面积或体积〕成比例，那么称如此的概率模型为几何概率模型；4．几何概型的概率公式：P 〔A 〕=积）的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积）的区域长度（面积或体构成事件A 。
5．几种常见的几何概型〔1〕设线段l 是线段L 的一部分,向线段L 上任投一点.假设落在线段l 上的点数与线段L 的长度成正比,而与线段l 在线段l 上的相对位置无关,那么点落在线段l 上的概率为：P=l 的长度/L 的长度〔2〕设平面区域g 是平面区域G 的一部分,向区域G 上任投一点,假设落在区域g 上的点数与区域g 的面积成正比,而与区域g 在区域G 上的相对位置无关,那么点落在区域g 上概率为：P=g 的面积/G 的面积〔3〕设空间区域上v 是空间区域V 的一部分,向区域V 上任投一点.假设落在区域v 上的点数与区域v 的体积成正比,而与区域v 在区域v 上的相对位置无关,那么点落在区域V 上的概率为： P=v 的体积/V 的体积 四．典例解析 题型1：线长咨询题 例1．一个实验是如此做的，将一条5米长的绳子随机地切断成两条，事件T 表示所切两段绳子都不短于1米的事件，考虑事件T 发生的概率。
几何概型 课件
.
（2）求解与体积有关的几何概型问题，关键是准确计算
出所求事件构成的区域体积，确定出所有基本事件构成的
区域体积，利用公式计算即可.
题型四 与角度有关的几何概型的求法
例4. 如图，在平面直角坐标系中，射线OT为
60°角的终边，在任意角集合中任取一个角，
则该角终边落在∠xOT内的概率是 （ ）
A. 1
构成事件A 的区域角度
P（A）＝ 试验的全部结果所构成的区域角度 . 生活中的几何概型度量区域的构造方法 （1）审题：通过阅读题目，获取相关信息.（2）建模：利用相 关信息的特征，建立概率模型.（3）解模：求解建立的数学模型. （4）结论：将解出的数学模型的解转化为题目要求的结论.
题型五 用随机模拟法估计几何概型
几何概型
一 几何概型的定义
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度 （面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概 率模型（geometric models of probability），简 称为几何概型.
二 几何概型的概率计算公式
在几何概型中，事件A的概率的计算公式如下：
构成事件A的区域长度(面积或体积)
各面的距离均大于1，则满足题意的点的区域为位于该正方体中心
的一个棱长为1的小正方体.由几何概型的概率公式，可得蜜蜂
13
1
“安全飞行”的概率为P＝ 33 ＝ 27 .
与体积有关的几何概型问题的解决思路
（1）如果试验的全部结果所构成的区域可用体积来度量，
则其概率的计算公式为
P（A）＝
构成事件A 的体积 试验的全部结果构成的体积
P（A）＝ 试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)
三 均匀随机数的产生
高中数学3.3应用随机模拟法解决几何概型问题论文新人教A版必修
应用随机模拟法解决几何概型问题在新课标教材中我们学习了几何概型, 用随机模拟法可以对几何概型类问题进行估计.其应用比较广泛.下面举例说明.一、用随机模拟法估计与长度有关的几何概型例1 在长为12 cm 的线段AB 上任取一点M ，并以线段AM 为边作正方形．试求这个正方形的面积介于36 cm 2与81 cm 2之间的概率．分析：正方形的面积只与边长有关，此题可以转化为12 cm 长的线段上取一点M ，求使得AM 的长度介于6 cm 与9 cm 之间的概率．解：(1)用计算机产生一组[0,1]内均匀随机数a 1=RAND. (2)经过伸缩变换,a=a 1*12得到[0,12]内均匀随机数．(3)统计试验总数N 和［6,9］内随机数个数N 1．(4)计算频率N N 1.记事件A={面积介于36 cm 2与81 cm 2之间}={边长介于6 cm 与9 cm 之间}，则P(A)的近似值为NN 1． 点评：用随机模拟的方法解决与长度有关的几何概型关键在于将对应的区域长度转化为随机数的范围[a,b],进行在[a,b]上产生随机数.二、用随机模拟法估计与面积有关的几何概型例2 利用随机模拟方法计算图中阴影部分（曲线y=2x 与x 轴、x=±1和y=2围成的部分）的面积．分析：用随机模拟的方法可以求出阴影部分与正方形面积之比，从而求得阴影部分面积的近似值．解：(1) 利用计算机产生两组[0, 1]上的均匀随机数，a 1=RAND, b 1=RAND. (2)进行平移和伸缩变换，a ＝(a 10.5)*2,b=b l *2得到一组[1,1]上的均匀随机数和一组［0,2］上的均匀随机数．(3)统计试验总次数N 和落在阴影内的点数N 1(满足条件b< 2a 的点(a, b)数）．(4)计算频率N N 14S P =，所以41S N N ≈．所以NN S 14≈即为阴影部分面积的近似值． 点评：解决本题的关键是利用随机模拟法和几何概型的概率公式分别求的几何概率,然后通过解方程求得阴影部分面积的近似值．三、用随机模拟法估计图形的面积例3 利用随机模拟的方法近似计算如图所示阴影部分（函数y=22xx 2与x 轴围成的图形）的面积．分析：先计算与之相应的规则多边形的面积，然后由几何概率进行面积估计． 解：(1)利用计算机产生两组[0,1]上的均匀随机数，a 1=RAND,b 1=RAND. (2)经过平移和伸缩变换a ＝a 1*43,b=b l *3得到一组[3,1]和一组[0,3]上的均匀随机数．(3)统计试验总数N 和落在阴影部分的点数N 1(满足条件b< 2-2aa 2的点(a, b)数）.(4)计算频率N N 112S ，所以≈12S N N 1．所以NN S 112=即为阴影部分面积的近似值． 点评：利用随机模拟实验估计图形的面积时,一要选取合适的对应图形,二要由几何概型正确计算概率.四、随机模拟法的应用例4（探究题）如图所示，利用随机模拟的方法近似计算长为2的正方形内切圆面积，并估计π的近似值．分析：用随机模拟的方法可以估算点落在圈内的概率，由几何概型的概率公式可得点落在圆内的概率为4圆S ．这样就可以计算圆的面积，应用圆面积公式可得ππ==2r S 圆．所以上面求得的圆S 的近似值即为π的近似值．解：(1)利用计算机产生两组[0,1]上的均匀随机数，a 1=RAND, b 1= RAND.（2）经过平移和伸缩变换，a ＝(a 10.5)*2,b= (b 10.5)*2，得到两组[1,1]上的均匀随机数．(3)统计试验总次数N 和点落在圆内的次数N 1(满足a 2+b 2≤1的点(a,b)数). (4) 计算频率NN 1即为点落在圆内的概率. (5)设圆面积为S,则由几何概型的概率公式得4S P =．所以NN S 14≈，即N N S 14=即为圆面积的近似值．又因为ππ==2r S 圆,所以N N S 14==π即为圆周率π的近似值.点评：如果我们能设计一个圆形使其面积与某个常数有关,我们就以设计一个概率模型,然后设计适当的试验,并通过这个结果来确定该量的近似值.。
几何概型 课件
③P(B)=1⇐B 为必然事
件
因此判断一个概率模型属于古典概型还是属于几何概型的步骤
是:
(1)确定一次试验中每个结果(基本事件)的可能性(概率)是否相
等,如果不相等,那么既不属于古典概型也不属于几何概型;
(2)如果试验中每个结果出现的可能性是相等的,再判断试验结果
的有限性.当试验结果有有限个时,这个概率模型属于古典概型;当
4
4
设“△PBC 的面积小于 ”为事件M,则 M 表示的范围是 0,
所以由几何概型求概率的公式得P(M)=
1
4
4
所以△PBC 的面积小于 的概率是 .
4
1
= .
4
,
错因分析:如图②,P 为矩形 ABCD 内的任意一点,△PBC 的边 BC
上的高 PF 为矩形 ABCD 内的任意线段,但应满足△PBC 的面积小
4
的面积小于 ”的点P 应落在矩形区域 GBCH 内,设“△PBC 的面积小
4
于 ”为事件M,则 M 表示的范围是 0,
4
公式,得 P(M)=
2
1
= .
2
2
. 所以由几何概型求概率的
+ + 3 + 2 + 1 1
顶点的距离均超过1为事件H,则P(H) = + + = 12 = 2.
答案:
1
2
面积型的几何概型
【例2】 取一个边长为4a的正方形及其内切圆,如图,随机向正方
形内丢一粒因此可认为豆子落入正方形内的
几何概型
几何概型
几何概型课件
角度型的几何概型的概率计算
总结词：基于角度
详细描述：角度型的几何概型是以角度作为概率测度的概率 模型。例如，在等可能的角度分布情况下，某事件发生的角 度越大，其发生的概率就越大。
03
几何概型的应用
在日常生活中的应用
交通信号灯
天气预报
几何概型可以用于计算不同方向的车 流等待时间。
几何概型可以用于预测降雨、降雪等 天气事件。
随机过程
几何概型可以用于研究随 机过程的变化和趋势。
统计学
几何概型可以用于统计分 析，如回归分析和方差分 析等。
04
几何概型的实际案例
掷骰子问题
总结词
等可能性和有限性
详细描述
掷一颗骰子，观察出现的点数，因为骰子有六个面，每个面上的点数都是等可 能的，所以这是一个几何概型问题。
转盘游戏问题
总结词
详细描述
数形结合思想在几何概型中主要体现在将概 率问题转化为几何图形问题，通过图形的性 质和变化来研究概率的变化规律。例如，在 几何概型中，等可能事件可以通过几何图形 来表示，概率的大小可以通过图形的面积或
体积来度量。
等可能性的思想方法
总结词
等可能性是几何概型中的一个基本思想，它认为在相 同的条件下，各个事件发生的可能性是相等的。
总结词：基于Байду номын сангаас积
详细描述：面积型的几何概型是以面积作为概率测度的概率模型。例如，在等可能的点分布情况下，某事件发生的区域面积 越大，其发生的概率就越大。
体积型的几何概型的概率计算
总结词：基于体积
详细描述：体积型的几何概型是以空间体积作为概率测度的概率模型。例如，在等可能的点分布情况 下，某事件发生的空间体积越大，其发生的概率就越大。
高中学业水平测试数学复习教案__第21课时_古典概型及几何概型
学业水平测试数学复习学案第21课时 古典概型及几何概型一．知识梳理1．随机事件的概率事件A 的概率：在大量重复进行同一试验时,事件A 发生的频率m/n 总接近于某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A 的概率,记作P （A ）。
由定义可知0≤P （A ）≤1，显然必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0。
2．事件间的关系（1）互斥事件：不能同时发生的两个事件叫做互斥事件；（2）对立事件：不能同时发生，但必有一个发生的两个事件叫做互斥事件；3．事件间的运算（1）事件A +B （和事件）当A 和B 互斥时，事件A +B 的概率满足加法公式：P （A +B ）=P （A ）+P （B ）（A 、B 互斥）；且有P （A +A ）=P （A ）+P （A ）=1。
4．古典概型（1）古典概型的两大特点：1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；2）每个基本事件出现的可能性相等；（2）古典概型的概率计算公式：P （A ）=总的基本事件个数包含的基本事件个数A ； 5．几何概型的概率公式： P （A ）=积）的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积）的区域长度（面积或体构成事件A 。
二．课前自测 1 A 、B 、C 、D 、E 排成一排，A 在B 的右边（A 、B 可以不相邻）的概率是 21 2.把三枚硬币一起抛出，出现2枚正面向上，一枚反面向上的概率是 83 3．矩形ABCD 中，点E 为边CD 的中点，若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ，则点Q 取自△ABE 内部的概率等于（ C ）（A ）．1/4 （B ）. 1/3 （C ）. 1/2 （D ）. 2/34. 从分别写有A 、B 、C 、D 、E 的5张卡片中，任取2张，这2张卡片上的字母恰好是按字母顺序相邻的概率为 52 5．先后抛掷两枚均匀的正方体骰子，记骰子落地后朝上的点数分别为x 、y ，则1log 2 y x 的概率为（ C ）A ．61B ．365C ．121D ．21三．典例解析【例1】从含有两件正品a 1，a 2和一件次品b 1的三件产品中，每次任取一件，每次取出后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率。
随机模拟
随机模拟随机模拟又称为Monte Carlo 方法，是一种采用统计抽样理论近似地求解数学问题或物理问题的方法。
它既可以用来研究概率问题，也可以用来研究非概率问题。
基本想法： 首先建立与描述该问题有相似性的概率模型。
利用这种相似性把概率模型的某些特征（如随机事件的概率或随机变量的平均值等）与数学分析问题的解答（如积分值，微分方程的解等）联系起来，然后对模型进行随机模拟统计抽样，再利用所得的结果求出这些特征的统计估计值作为原来的分析问题的近似解。
基本理论依据：大数定律。
一 引入随机模拟方法用于近似数值计算领域已有近百年的历史。
可追溯到历史上著名的蒲丰（Buffon ）投针问题。
（1） 蒲丰（Buffon ）投针问题平面上，画有等距离的平行线，平行线之间的距离为a ，（a>0），向平面上任意投一枚长为l （a l <）的针，试求针与平行线之间相交的概率。
又以φ表示针与此直线的夹角。
则：πφ≤≤≤≤02/0a x令A ：“针与平行线相交”，显然有“针与平行线相交”⇔“φsin 2lx ≤”。
则由几何概型有al d lS SA P a A ππϕϕπ2sin 2)(20=⋅==⎰Ω（*）若在（*）中以Nn 替代(估计))(A P ，⇒an lN2=π。
历史上有几位科学家做过此实验。
下表列出了其中的一部分实验结果： 人名 年份 N n 针长πWolf 1850 5000 2532 0.8 3.1596 Smith 1855 3204 1218 0.6 3.1514 Laggerini 1901 3408 1808 0.83 3.1415929 （2） 用Monte Carlo 方法计算面积考虑积分dx x f I ⎰=1)(，设],1,0[∈x 1)(0≤≤x f 。
这时积分I 等于由曲线)(x f y =，ox 轴和oy 轴以及x ＝1所围成的区域G 的面积。
现在向单位正方形区域（010,1≤≤≤≤y x ）中，随机地投掷一点，即它的两个坐标),(y x d i i ..～]1,0[U 。
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普通高中课程标准实验教科书—数学 [人教版]高三新数学第一轮复习教案（讲座21）—几何概型及随机模拟一．课标要求：1．了解随机数的意义，能运用模拟方法（包括计算器产生随机数来进行模拟）估计概率，初步体会几何概型的意义；2．通过阅读材料，了解人类认识随机现象的过程。
二．命题走向本讲内容在高考中所占比较轻，纵贯近几年的高考对概率要求降低，但本讲内容使新加内容，考试涉及的可能性较大。
预测07年高考：（1）题目类型多以选择题、填空题形式出现，；（2）本建考试的重点内容几何概型的求值问题，我们要善于将实际问题转化为概率模型处理。
三．要点精讲1．随机数的概念随机数是在一定范围内随机产生的数，并且得到这个范围内任何一个数的机会是均等的。
2．随机数的产生方法（1）利用函数计算器可以得到0~1之间的随机数；（2）在Scilab 语言中，应用不同的函数可产生0~1或a~b 之间的随机数。
3．几何概型的概念如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型；4．几何概型的概率公式：P （A ）=积）的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积）的区域长度（面积或体构成事件A 。
5．几种常见的几何概型（1）设线段l 是线段L 的一部分,向线段L 上任投一点.若落在线段l 上的点数与线段L 的长度成正比,而与线段l 在线段l 上的相对位置无关,则点落在线段l 上的概率为：P=l 的长度/L 的长度（2）设平面区域g 是平面区域G 的一部分,向区域G 上任投一点,若落在区域g 上的点数与区域g 的面积成正比,而与区域g 在区域G 上的相对位置无关,则点落在区域g 上概率为：P=g 的面积/G 的面积（3）设空间区域上v 是空间区域V 的一部分,向区域V 上任投一点.若落在区域v 上的点数与区域v 的体积成正比,而与区域v 在区域v 上的相对位置无关,则点落在区域V 上的概率为：P=v 的体积/V 的体积四．典例解析题型1：线长问题例1．一个实验是这样做的，将一条5米长的绳子随机地切断成两条，事件T 表示所切两段绳子都不短于1米的事件，考虑事件T 发生的概率。
分析：类似于古典概型，我们希望先找到基本事件组，既找到其中每一个基本事件。
注意到每一个基本事件都与唯一一个断点一一对应，故引例中的实验所对应的基本事件组中的基本事件就与线段AB 上的点一一对应，若把离绳AB 首尾两端1的点记作M 、N ，则显然事件T 所对应的基本事件所对应的点在线段MN 上。
由于在古典概型中事件T 的概率为T 包含的基本事件个数/总的基本事件个数，但这两个数字（T 包含的基本事件个数、总的基本事件个数）在引例1中是无法找到的，不过用线段MN 的长除以线段AB 的长表示事件T 的概率似乎也是合理的。
解：P （T ）=3/5。
例2．（磁带问题）乔和摩进行了一次关于他们前一天夜里进行的活动的谈话。
然而谈话却被监听录音机记录了下来，联邦调查局拿到磁带并发现其中有10秒钟长的一段内容包含有他们俩犯罪的信息 然而后来发现，这段谈话的一部分被联邦调查局的一名工作人员擦掉了，该工作人员声称她完全是无意中按错了键，并从即刻起往后的所有内容都被榛掉了试问如果这10秒钟长的谈话记录开始于磁带记录后的半分钟处，那么含有犯罪内容的谈话被部分或全部偶然擦掉的概率将是多大？解析：将3O 分钟的磁带表示为长度为3O的线段R ，则代表10秒钟与犯罪活动有关的谈话的区间为 r,如右图所示，10秒钟的谈话被偶然擦掉部分或全部的事件仅在擦掉开始的时间位于该区间内或始于该区间左边的任何点。
因此事件r 是始于R 线段的左端点且长度为326121=+的事件。
因此,02.09023032)(====的面积的面积R r r p 。
例3．假设车站每隔 10 分钟发一班车，随机到达车站，问等车时间不超过 3 分钟的概率 ？解：以两班车出发间隔 ( 0，10 ) 区间作为样本空间 S ，乘客随机地到达，即在这个长度是 10 的区间里任何一个点都是等可能地发生，因此是几何概率问题。
要使得等车的时间不超过 3 分钟，即到达的时刻应该是图中 A 包含的样本点，0← S →10p=的长度的长度S a =103= 0.3 。
题型2：面积问题例4．投镖游戏中的靶子由边长为1米的四方板构成，并将此板分成四个边长为1/2米的小方块。
实验是向板中投镖，事件A表示投中阴影部分为成功，考虑事件A 发生的概率。
分析与解答：类似于引例1的解释，完全可以把此引例中的实验所对应的基本事件组与大的正方形区域联系在一起，既事件组中的每一个基本事件与大正方形区域中的每一个点一一对应，则事件A 所包含的基本事件就与阴影正方形中的点一一对应，这样我们用阴影正方形的面积除以大正方形的面积表示事件A 的概率是合理的。
这一点我们完全可以用引例1的方法验证其正确性。
解析：P （A ）=（1/2）2/12=1/4。
例5．（CB 对讲机问题）（CB 即CitizenBand 市民波段的英文缩写）两个CB 对讲机持有者，莉莉和霍伊都为卡尔货运公司工作，他们的对讲机的接收范围为25公里，在下午3:0O 时莉莉正在基地正东距基地30公里以内的某处向基地行驶，而霍伊在下午3：00时正在基地正北距基地40公里以内的某地向基地行驶，试问在下午3：0O 时他们能够通过对讲机交谈的概率有多大？解：设x 和y 分别代表莉莉和霍伊距某地的距离，于是400,300≤≤≤≤y x则他俩所有可能的距离的数据构成有序点对(x,y),这里x ，y 都在它们各自的限制范围内，则所有这样的有序数对构成的集合即为基本事件组对应的几何区域，每一个几何区域中的点都代表莉莉和霍伊的一个特定的位置，他们可以通过对讲机交谈的事件仅当他们之间的距离不超过25公里时发生（如右图）因此构成该事件的点由满足不等式2522≤+y x的数对组成，此不等式等价于62522≤+y x右图中的方形区域代表基本事件组，阴影部分代表所求事件，方形区域的面积为1200平方米公里，而事件的面积为()462525412ππ=⎪⎭⎫ ⎝⎛， 于是有41.0902480062512004/625====ππp 。
例6．(意大利馅饼问题)山姆的意大利馅饼屋中设有一个投镖靶 该靶为正方形板．边长为18厘米，挂于前门附近的墙上，顾客花两角伍分的硬币便可投一镖并可有机会赢得一种意大利馅饼中的一个，投镖靶中画有三个同心圆，圆心在靶的中心，当投镖击中半径为1厘米的最内层圆域时．可得到一个大馅饼；当击中半径为1厘米到2厘米之间的环域时，可得到一个中馅饼；如果击中半径为2厘米到3厘米之间的环域时，可得到一个小馅饼，如果击中靶上的其他部分，则得不到谄饼，我们假设每一个顾客都能投镖中靶，并假设每个圆的周边线没有宽度，即每个投镖不会击中线上，试求一顾客将嬴得： （a ）一张大馅饼，（b ）一张中馅饼，（c ）一张小馅饼，（d ）没得到馅饼的概率解析：我们实验的样本空间可由一个边长为18的正方形表示。
右图表明R 和子区域r 1、r 2、r 3和r,它们分别表示得大馅饼、中馅饼、小馅饼或没得到馅饼的事件。
01.032418)1()()(2211====ππ的面积的面积R r r p a ； 03.0324318)1()2()()(22222==-==πππ的面积的面积R r r p b ； 05.0324518)2()3()()(22233==-==πππ的面积的面积R r r p c ； 91.0324318)3(324)()(2244==-==ππ的面积的面积R r r p d 。
题型3：体积问题例7．（1）在400毫升自来水中有一个大肠杆菌,今从中随机取出2毫升水样放到显微镜下观察,求发现大肠杆菌的概率。
解析：由于取水样的随机性,所求事件的概率等于水样的体积与总体积之比，即2/400=0.005。
（2）如果在一个5万平方公里的海域里有表面积达40平方公里的大陆架贮藏着石油,假如在这海领域里随意选定一点钻探,问钻到石油的概率是多少?解析：由于选点的随机性,可以认为该海域中各点被选中的可能性是一样的,因而所求概率自然认为等于贮油海域的面积与整个海域面积之比,即等于40/50000=0.0008。
例8．在线段[0，1]上任意投三个点，问由0至三点的三线段，能构成三角形与不能构成三角形这两个事件中哪一个事件的概率大。
解析：设0到三点的三线段长分别为x,y,z右端点坐标为x,y,z ，显然1,,0≤≤z yx 。
段构成三角形的充要条件是： x z y y z x z y x >+>+>+,,。
在线段[0，1]上任意投三点x,y,z 。
与立方体10≤≤x ，10≤≤y ，10≤≤z 中的点),,(z y x 边长为1的立方体T 中均匀地掷点，而点落在x z y y z x z y x >+>+>+,,区域中的概率；这也就是落在图中由ΔADC ，ΔADB ，ΔBDC ，ΔAOC ，ΔAOB ，ΔBOC 所围成的区域G 中的概率。
由于,1)(=T V211213131)(33=⨯⨯⨯-=G V ， 21)(/)(==∴T V G V p 由此得，能与不能构成三角形两事件的概率一样大。
题型4：随机模拟例9．随机地向半圆0y <<（a 为正常数）内掷一点，点落在园内任何区域的概率与区域的面积成正比，求原点与该点的连线与x 轴的夹角小于/4π的概率. 解析：半圆域如图设A =‘原点与该点连线与x 轴夹角小于/4π’ 由几何概率的定义 2221142()12a a A P A a ππ+==的面积半园的面积112π=+。
例10．随机地取两个正数x 和y ，这两个数中的每一个都不超过1，试求x 与y 之和不超过1，积不小于0.09的概率.解析：01,01x y ≤≤≤≤，不等式确定平面域S 。
A =‘1,0.09x y xy +≤≥’则A 发生的充要条件为01,10.09x y xy ≤+≤≥≥不等式确定了S 的子域A ， 故：0.90.10.9()(1)A P A x dx x==--⎰的面积S 的面积 0.40.18ln30.2=-=例11. 曲线y=-x 2+1与x 轴、y 轴围成一个区域A ，直线x=1、直线y=1、x 轴围成一个正方形，向正方形中随机地撒一把芝麻，利用计算机来模拟这个试验，并统计出落在区域A 内的芝麻数与落在正方形中的芝麻数。
答案：如下表，由计算机产生两例0~1之间的随机数，它们分别表示随机点（x,y ）的坐标。
如果一个点（x,y ）满足y ≤-x 2+1，就表示这个点落在区域A 内，在下表中最后1．几何概率是考研大纲上要求的基本内容，也是近年来新增考察内容之一；2．有关几何概率的题目难度不大，但需要准确理解题意，利用图形分析问题。