第21讲 几何概型及随机模拟(1)

普通高中课程标准实验教科书—数学 [人教版]

高三新数学第一轮复习教案（讲座21）—几何概型及随机模拟

一．课标要求：

1．了解随机数的意义，能运用模拟方法（包括计算器产生随机数来进行模拟）估计概率，初步体会几何概型的意义；

2．通过阅读材料，了解人类认识随机现象的过程。

二．命题走向

本讲内容在高考中所占比较轻，纵贯近几年的高考对概率要求降低，但本讲内容使新加内容，考试涉及的可能性较大。

预测07年高考：

（1）题目类型多以选择题、填空题形式出现，；

（2）本建考试的重点内容几何概型的求值问题，我们要善于将实际问题转化为概率模型处理。

三．要点精讲

1．随机数的概念

随机数是在一定范围内随机产生的数，并且得到这个范围内任何一个数的机会是均等的。

2．随机数的产生方法

（1）利用函数计算器可以得到0~1之间的随机数；

（2）在Scilab 语言中，应用不同的函数可产生0~1或a~b 之间的随机数。

3．几何概型的概念

如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型；

4．几何概型的概率公式：

P （A ）=积）

的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积）的区域长度（面积或体构成事件A 。 5．几种常见的几何概型

（1）设线段l 是线段L 的一部分,向线段L 上任投一点.若落在线段l 上的点数与线段L 的长度成正比,而与线段l 在线段l 上的相对位置无关,则点落在线段l 上的概率为：

P=l 的长度/L 的长度

（2）设平面区域g 是平面区域G 的一部分,向区域G 上任投一点,若落在区域g 上的点数与区域g 的面积成正比,而与区域g 在区域G 上的相对位置无关,则点落在区域g 上概率为：

P=g 的面积/G 的面积

（3）设空间区域上v 是空间区域V 的一部分,向区域V 上任投一点.若落在区域v 上的点数与区域v 的体积成正比,而与区域v 在区域v 上的相对位置无关,则点落在区域V 上的概率为：

P=v 的体积/V 的体积

四．典例解析

题型1：线长问题

例1．一个实验是这样做的，将一条5米长的绳子随机地切断成两条，事件T 表示所切两段绳子都不短于1米的事件，考虑事件T 发生的概率。

分析：类似于古典概型，我们希望先找到基本事件组，既找到其中每一个基本事件。注意到每一个基本事件都与唯一一个断点一一对应，故引例中的实验所对应的基本事件组中的基本事件就与线段AB 上的点一一对应，若把离绳AB 首尾两端1的点记作M 、N ，则显然事件T 所对应的基本事件所对应的点在线段MN 上。由于在古典概型中事件T 的概率为T 包含的基本事件个数/总的基本事件个数，但这两个数字（T 包含的基本事件个数、总的基本事件个数）在引例1中是无法找到的，不过用线段MN 的长除以线段AB 的长表示事件T 的概率似乎也是合理的。

解：P （T ）=3/5。

例2．（磁带问题）乔和摩进行了一次关于他们前一天夜里进行的活

动的谈话。然而谈话却被监听录音机记录了下来，联邦调查局拿到磁带

并发现其中有10秒钟长的一段内容包含有他们俩犯罪的信息 然而后来

发现，这段谈话的一部分被联邦调查局的一名工作人员擦掉了，该工作

人员声称她完全是无意中按错了键，并从即刻起往后的所有内容都被榛

掉了试问如果这10秒钟长的谈话记录开始于磁带记录后的半分钟处，那

么含有犯罪内容的谈话被部分或全部偶然擦掉的概率将是多大？

解析：将3O 分钟的磁带表示为长度为3O

的线段R ，则代表10秒钟与犯罪活动有关的谈

话的区间为 r,如右图所示，10秒钟的谈话被

偶然擦掉部分或全部的事件仅在擦掉开始的

时间位于该区间内或始于该区间左边的任何

点。 因此事件r 是始于R 线段的左端点且长度为3

26121=+的事件。因此,02.090

23032

)(====的面积的面积R r r p 。 例3．假设车站每隔 10 分钟发一班车，随机到达车站，问等车时间不超过 3 分钟的概率 ？

解：以两班车出发间隔 ( 0，

10 ) 区间作为样本空间 S ，乘客随机地到达，即在这个长

度是 10 的区间里任何一个

点都是等可能地发生，因此是几何概率问题。

0← S →10

要使得等车的时间不超过 3 分钟，即到达的时刻应该是图中 A 包含的样本点， p=的长度的长度S a =10

3= 0.3 。 题型2：面积问题

例4．投镖游戏中的靶子由边长为1米的四方板构成，并将

此板分成四个边长为1/2米的小方块。实验是向板中投镖，事件A

表示投中阴影部分为成功，考虑事件A 发生的概率。

分析与解答：类似于引例1的解释，完全可以把此引例中的

实验所对应的基本事件组与大的正方形区域联系在一起，既事件

组中的每一个基本事件与大正方形区域中的每一个点一一对应，

则事件A 所包含的基本事件就与阴影正方形中的点一一对应，这

样我们用阴影正方形的面积除以大正方形的面积表示事件A 的概率是合理的。这一点我们完全可以用引例1的方法验证其正确性。

解析：P （A ）=（1/2）2/12=1/4。

例5．（CB 对讲机问题）（CB 即CitizenBand 市民波段的英文缩写）两个CB 对讲机持有者，莉莉和霍伊都为卡尔货运公司工作，他们的对讲机的接收范围为25公里，在下午3:0O 时莉莉正在基地正东距基地30公里以内的某处向基地行驶，而霍伊在下午3：00时正在基地正北距基地40公里以内的某地向基地行驶，试问在下午3：0O 时他们能够通过对讲机交谈的概率有多大？

解：设x 和y 分别代表莉莉和霍伊距某地的距离，

于是400,300≤≤≤≤y x

则他俩所有可能的距离的数据构成有序点对(x,y),这里

x ，y 都在它们各自的限制范围内，则所有这样的有序数

对构成的集合即为基本事件组对应的几何区域，每一个

几何区域中的点都代表莉莉和霍伊的一个特定的位置，

他们可以通过对讲机交谈的事件仅当他们之间的距离不

超过25公里时发生（如右图）因此构成该事件的点由满

足不等式

2522≤+y x

的数对组成，此不等式等价于62522≤+y x

右图中的方形区域代表基本事件组，阴影部分代

表所求事件，方形区域的面积为1200平方米公

里，而事件的面积为