模拟方法(几何概型)、概率的应用
模拟方法
2009------2010学年高一数学必修3导学案 使用时间2010.4. 编制人：阮雪剑 张春鑫 审核人： 领导签字： 班级： 小组 ： 姓名： 组内评价：§3 模拟方法——概率的应用【使用说明】1.课前认真完成预习学案的问题导学及例题、深化提高；2.认真限时完成，规范书写，课上小组合作探讨，答疑解惑。
【重点】几何概型的概念及其概率的求法 【难点】求一些几何概型中事件的概率一、学习目标：1、了解随机数的意义，能用模拟方法估计事件的概率2、了解几何概型的意义3、会求一些简单的与长度，面积，体积相关的几何概型的概率问题 二、问题导学：（阅读课本，回答以下问题） 1、几何概型的概念：向平面上______区域G 内随机地投掷点M ，若点M 落在子区域G G 1⊆的概率与的1G 面积________，而与1G 的_____,______无关，即：P （点M 落在子区域1G ）=________________ 则称这种模型为____________说明：几何概型中的G 也可以是空间中或直线上的有限区域，相应的概率是体积之比或长度之比2、几何概型试验的两个基本特征：（1）无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无数个 （2）等可能性：每个结果出现的可能性相等3、几何概型与古典概型的异同点：相同点：(1)____________________________(2)求解思路相同，同属于“比例解法” 不同点：_______________________________________________4、几何概型的主要应用： 它主要用来计算基本事件可“连续”发生的有关概率问题，如与时间，温度变化有关的物理问题，与长度，面积，体积有关的实际生产生活问题三.合作探究：例1（A 级）.如图所示：边长为2的正方形中随机撒一把大豆，计算落在正方形的内切圆中的豆子数与落在正方形的豆子数之比，并以此估计圆周率π的值.例2、小明家的晚报在下午5：30—6：30之间的任何一个时间随机地被送到，小明一家人在下午6：00—7：00之间的任何一个时间随机地开始晚餐。
用几何概型解决隐性点分布概率问题
【 考文献】 参
［］ １ 陈家 鼎 ， 婉 如 ， 仁 宫 ． 率 统 计 讲 义 ． 京 ： 等 刘 汪 概 北 高
教 育 出版 社 ，９ ２（ ） １８ ３ ．
分析
设 Ｍ 表 示 针 的 中点 ， 表
示 针 的 中 点 与 最 近 的 平 行 线 的距
问题 ３ （ 会 问 题 ） 人 约 定 于 约 两
之比： ）：
』 ！： 兰：！型 ！
．
’ 竹
本 例 提 供 了一 个 求 竹 值 的 方 法 ： 果 能 求 出 Ｐ（ ， 如 Ａ） 那
么 南上 式 可 求 得 盯．
１ 至 １ ２点 ３点 在某 地 会 合 ， 到 者 等 ２ 先 Ｏ
ｉ ｌ ＝
Ｐ，＝ （ ＝∑ ＰＡ ＝∑ 专＝． （ Ｐ ∑Ａ ） ） （） １
ｉ＝ Ｉ ｚ： 】
２ ．与 面 积 有 关 的 几 何 慨 型 问 题
有 些 复 杂 的 实 际 问 题 ， 决 的关 键 是 建 立 模 型 ， 出 随 解 找 机 事件 与 基 本 事 件 所 对 应 的 几 何 区 域 ， 所 要 求 解 的 问 题 把 转 化 为 几何 概 率 问平 线 一 （ ） ≤ 号 一 点 与 行 之 相 ｌ ０ ≤ 针 交 是 投 区 ｇ｛ ，０ ≤， ≤ ｓ ）， ， 点 在 域 ＝（ ） 叮≤ ÷ｉ 上 就 【 ｒ ｎ ≤ ｏ
所 求事 件 Ａ＝｛ 与平 行 线 之 一相 交 ｝ 针 的概 率 为 ｇ与 Ｇ的面 积
上 对应 某 直 角 坐 标 系 （ 已分 为 度 量 单 位 ） 点 ． 有 可 能 结 的 所 果 都 被 一个 边 长 ６ ０的 正 方 形 里 的点 所 表 示 出 ： 表 能 够 会 代 面 的点 都 布列 在用 细 线 表 示 出 的 阴 影 区 域 内 ． 以事 件 Ａ＝ 所
3.3模拟方法--概率的应用课件ppt(北师大版必修三)
提示
关．
无关．从概率公式上看，事件A的概率只与它的几
何度量(长度、面积或体积)成正比，与其位置和形状无
课前探究学习
课堂讲练互动
名师点睛
对几何概型的理解 1． (1)理解几何概型的概念要注意事件A的概率只与其几何度 量(长度、面积或体积)有关，而与A的位置和形状无关． (2)并不是所有的与几何度量有关的概率都是几何概型， 几何概型有如下两个特点： ①无限性：在一次试验中，基本事件的个数必须是无数 个； ②等可能性：在每次试验中，每一个基本事件发生的可能 性是均等的． (3)古典概型与几何概型的主要区别与联系：它们都是比 较特殊的概率模型，其共同的特点是试验中的基本事件发 生的可能性都是均等的；它们的区别是古典概型中的基本 事件数是有限的，而几何概型中的基本事件数是无限的．
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自学导引
几何概型 1． (1)向平面上有限区域(集合)G 内随机地投掷点 M， 若点 M 落
子区域G1 G 面积 在_______________的概率与 G1 的_____成正比．而与 G 的 形状 位置 _____、_____无关．即 P(点 M 落在 G1)＝
种概型为几何概型． G1的面积 ，则称这 G的面积
概率； 1 3 (3)求使四棱锥 M－ABCD 的体积小于 a 的概率． 6 审题指导 解决几何概型问题的关键是要寻找几何量之间
的关系，利用相关公式求出其概率． 本题中对几何概型问题的处理要以立体几何的相关知识为
基础，空Байду номын сангаас想象能力为依托．
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[解题流程] 分析概率模型 → 得其为几何概型 → 利用公式求得概率
步转化，为确定区域的测定问题． 解 由已知|p|≤3，|q|≤3，所以(p，q)
第1部分 第三章 § 3 模拟方法——概率的应用
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解析：此题考查几何概型，正方形面积为 a2，阴影部分面积 a a a2－π22，所以概率为
2
为
a －π22
a2
π ＝1－ . 4
答案：A
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4．欧阳修《卖油翁》中写到：“(翁)乃取一葫芦置于地，
以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不 湿．”可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观 止．若铜钱是直径为3 cm的圆，中间有边长为1 cm的 正方形孔，若你随机向铜钱上滴一滴油，求油正好落 入孔中的概率(油滴的大小忽略不计)．
2 答案： 5
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8.如图，在等腰直角三角形ABC中，过
直角顶点C在∠ACB内部作一条射线CM，
与线段AB交于点M.
求AM<AC的概率．
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解：在 AB 上取 AC′＝AC， 180° －45° 则∠ACC′＝ ＝67.5° . 2 设事件 A＝{在∠ACB 内作一条射线 CM，与线段 AB 交于点 M，AM<AC}，则所有可能结果的区域角度为 90° ，事件 A 的 区域角度为 67.5° ， 67.5 3 ∴P(A)＝ ＝ . 90 4
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3.如图所示， 墙上挂有一边长为 a 的正方形木板， 它的四个角的空白部分是以正方形的顶点为 a 圆心，半径为 的圆弧．某人向此板投镖，假 2 设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一 样，则击中阴影部分的概率是 π A．1－ 4 π C．1－ 8 π B. 4 D．与 a 的取值有关 ( )
知识点一 §3 模 拟 方 法 — 概 率 的 应 用 理解教材新知 知识点二
第 三
考点一
考点二 把握热点考向
章
考点三
考点四
概 率
54高考数学总复习经典测试题解析版12.3-模拟方法---概率的应用54
模拟方法---概率的应用 (附参考答案)一、选择题1．取一根长度为4 m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得的两段都不少于1 m 的概率是( )．A.14B.13C.12D.23解析 把绳子4等分，当剪断点位于中间两部分时，两段绳子都不少于1 m ，故所求概率为P ＝24＝12. 答案 C2．在长为12 cm 的线段AB 上任取一点M ，并以线段AM 为边作正方形，则这个正方形的面积介于36 cm 2与81 cm 2之间的概率为( )．A.14B.13C.427D.415解析 面积为36 cm 2时，边长AM ＝6，面积为81 cm 2时，边长AM ＝9，∴P ＝9－612＝312＝14. 答案 A3、如图，在边长为25cm 的正方形中挖去边长为23cm 的两个等腰直角三角形，现有均匀的粒子散落在正方形中，问粒子落在中间带形区域的概率是多少？ A. 62596B.98625C. 529625D. 68625解析 因为均匀的粒子落在正方形内任何一点是等可能的所以符合几何概型的条件。
设A ＝“粒子落在中间带形区域”则依题意得正方形面积为：25×两个等腰直角三角形的面积为：2×21×23×23＝529带形区域的面积为：625－529＝96∴ P （A ）＝ 62596答案 A4.一只蚂蚁在如图所示的地板砖(除颜色不同外，其余全部相同)上爬来爬去，它最后随意停留在黑色地板砖上的概率是( )A.14B.13C.15D. 12 解析 每个小方块的面积相等，而黑色地板砖占总体的41123 ，故蚂蚁停留在黑色地板砖上的概率是13答案 B5．在面积为S 的△ABC 的边上AB 上任取一点P ，则△PBC 的面积大于S 4的概率是( )．A.14B.12C.34D.23解析 由△ABC ，△PBC 有公共底边BC ，所以只需P 位于线段BA 靠近B 的四分之一分点E 与A 之间，这是一个几何概型，∴P ＝AE AB ＝34. 答案 C6．ABCD 为长方形，AB ＝2，BC ＝1，O 为AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的距离大于1的概率为( )． A.π4 B ．1－π4 C.π8 D ．1－π8解析 如图，要使图中点到O 的距离大于1，则该点需取在图中阴影部分，故概率为P ＝2－π22＝1－π4. 答案 B7．分别以正方形ABCD 的四条边为直径画半圆，重叠部分如图中阴影区域所示，若向该正方形内随机投一点，则该点落在阴影区域的概率为( )．A.4－π2B.π－22C.4－π4D.π－24解析 设正方形边长为2，阴影区域的面积的一半等于半径为1的圆减去圆内接正方形的面积，即为π－2，则阴影区域的面积为2π－4，所以所求概率为P ＝2π－44＝π－22. 答案 B二、填空题8.如图，四边形ABCD 为矩形，， BC=1，以A 为圆心，1为半径作四分之一个圆弧DE ，在圆弧DE 上任取一点P ，则直线AP 与线段BC 有公共点的概率是 ．解析 连接AC 交弧DE 于P ，则tan ∠=所以∠CAB=30°，当直线AP 在∠CAB 内时AP 与BC 相交，所以概率P=301903︒=︒ 答案 139．小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于12，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于14，则去打篮球；否则，在家看书．则小波周末不在家看书的概率为________． 解析 设A ＝{小波周末去看电影}，B ＝{小波周末去打篮球}，C ＝{小波周末在家看书}，D ＝{小波周末不在家看书}，如图所示，则P(D)＝1－122π－142ππ＝1316.答案13 1610．已知平面区域U＝{(x，y)|x＋y≤6，x≥0，y≥0}，A＝{(x，y)|x≤4，y≥0，x－2y≥0}，若向区域U内随机投一点P，则点P落入区域A的概率为________．解析依题意可在平面直角坐标系中作出集合U与A所表示的平面区域(如图)，由图可知S U＝18，S A＝4，则点P落入区域A的概率为P＝SASU＝29.[来源:学#科#网] 答案2911．在区间[0,1]上任取两个数a，b，则关于x的方程x2＋2ax＋b2＝0有实数根的概率为________．解析由题意得Δ＝4a2－4b2≥0，∵a，b∈ [0,1]，∴a≥b.∴⎩⎨⎧0≤a≤1，0≤b≤1，a≥b，画出该不等式组表示的可行域(如图中阴影部分所示)．故所求概率等于三角形面积与正方形面积之比，即所求概率为12.答案1212．如图所示，在直角坐标系内，射线OT落在30°角的终边上，任作一条射线OA，则射线OA落在∠yOT内的概率为________．解析如题图，因为射线OA在坐标系内是等可能分布的，则OA落在∠yOT内的概率为60360＝16. 答案 16三、解答题13. 在1升高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病种子，从中随机取出10毫升，则取出的种子中含有麦锈病的种子的概率是多少？解析 病种子在这1升中的分布可以看作是随机的，取得的10毫升种子可视作构成事件的区域，1升种子可视作试验的所有结果构成的区域，可用“体积比”公式计算其概率．取出10毫升种子，其中“含有病种子”这一事件记为A ，则 P(A) ==取出的种子体积所有种子的体积100.011000= 所以取出的种子中含有麦锈病种子的概率是0.01.14．已知关于x 的一次函数y ＝mx ＋n .(1)设集合P ＝{－2，－1,1,2,3}和Q ＝{－2,3}，分别从集合P 和Q 中随机取一个数作为m 和n ，求函数y ＝mx ＋n 是增函数的概率；(2)实数m ，n 满足条件⎩⎨⎧ m ＋n －1≤0，－1≤m ≤1，－1≤n ≤1，求函数y ＝mx ＋n 的图象经过一、二、三象限的概率．解析 (1)抽取的全部结果的基本事件有：(－2，－2)，(－2,3)，(－1，－2)，(－1,3)，(1，－2)，(1,3)，(2，－2)，(2,3)，(3，－2)，(3,3)，共10个基本事件，设使函数为增函数的事件为A ，则A 包含的基本事件有：(1，－2)，(1,3)，(2，－2)，(2,3)，(3，－2)，(3,3)，共6个基本事件，所以，P (A )＝610＝35.(2)m 、n 满足条件⎩⎨⎧ m ＋n －1≤0，－1≤m ≤1，－1≤n ≤1的区域如图所示：要使函数的图象过一、二、三象限，则m ＞0，n ＞0，故使函数图象过一、二、三象限的(m ，n )的区域为第一象限的阴影部分，∴所求事件的概率为P ＝1272＝17. 15．已知|x |≤2，|y |≤2，点P 的坐标为(x ，y )，求当x ，y ∈R 时，P 满足(x －2)2＋(y －2)2≤4的概率．思路分析 由题意画出图象可求面积之比．解析 如图，点P 所在的区域为正方形ABCD 的内部(含边界)，满足(x －2)2＋(y －2)2≤4的点的区域为以(2,2)为圆心，2为半径的圆面(含边界)．∴所求的概率P 1＝14π×224×4＝π16. 【点评】 解决几何概型的概率问题一般利用图形辅助解题，分析题目，找到区域，对照定义可求得结果，较好地体现了数形结合思想的重要性.16．已知集合A ＝{－2,0,2}，B ＝{－1,1}，设M ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈B }，在集合M 内随机取出一个元素(x ，y )．(1)求以(x ，y )为坐标的点落在圆x 2＋y 2＝1上的概率； (2)求以(x ，y )为坐标的点位于区域D ：⎩⎨⎧ x －y ＋2≥0，x ＋y －2≤0，y ≥－1内(含边界)的概率．解析 (1)记“以(x ，y )为坐标的点落在圆x 2＋y 2＝1上”为事件A ，则基本事件总数为6.因落在圆x 2＋y 2＝1上的点有(0，－1)，(0,1)2个，即A 包含的基本事件数为2，所以P (A )＝26＝13. (2)记“以(x ，y )为坐标的点位于区域内”为事件B ，则基本事件总数为6，由图知位于区域D 内(含边界)的点有：(－2，－1)，(2，－1)，(0，－1)，(0,1)，共4个，即B 包含的基本事件数为4，故P (B )＝46＝23.。
简述概率的四种确定方法
简述概率的四种确定方法
概率是数学中的一个重要分支，它研究的是随机事件发生的可能性大小。
在实际应用中，我们需要确定概率的大小，这就需要使用概率的
四种确定方法。
第一种方法是古典概型法。
这种方法适用于随机事件的样本空间是有
限的情况。
例如，掷一枚硬币的样本空间为{正面，反面}，掷一颗骰子的样本空间为{1，2，3，4，5，6}。
在古典概型法中，我们可以通过
样本空间中有利事件的个数除以样本空间中总事件的个数来确定概率。
第二种方法是几何概型法。
这种方法适用于随机事件的样本空间是连
续的情况。
例如，一个圆形的面积为πr²，那么一个随机点落在圆形内的概率就是圆形面积与总面积的比值。
第三种方法是频率概率法。
这种方法适用于随机事件的样本空间是无
限的情况。
例如，我们可以通过大量的实验来确定一个事件发生的概率。
在频率概率法中，我们可以通过事件发生的次数除以实验总次数
来确定概率。
第四种方法是主观概率法。
这种方法适用于随机事件的概率无法通过
实验或计算得到的情况。
例如，一个人对于某个事件发生的可能性的
主观判断。
在主观概率法中，我们可以通过个人的主观判断来确定概率。
总之，概率的四种确定方法分别是古典概型法、几何概型法、频率概率法和主观概率法。
在实际应用中，我们需要根据具体情况选择合适的方法来确定概率的大小。
3.模拟方法-概率应用
一种方法就是概率的方法，向图中的长方形中随机地撒 一粒芝麻，这个试验具有以下特点： （1）长方形有有限的面积，一次试验是向长方形内随机 投一点，试验的所有可能结果就是长方形内的所有点， 因此有无限个 （2） 长方形内任何一点被投到的可能性是相同的．所 投的点落在正方形中某个区域A内的可能性与A的面积成 正比，而与A在正方形中的位置、形状无关
30 60 2 87.5%. P ( A) 602
2 2
y
y>x
x
小结：对于复杂的实际问题, 解题的关键是要建立概率模型, 找出随机事件与所有基本事件 相对应的几何区域,把问题转化 为几何问题,利用几何模型概率 公式求解.
我们可以大量重复进行向长方形中随机撒一粒芝麻的试 验，撒一把芝麻，数出落在A内的芝麻数和落在长方形内的 芝麻数，用落在A内的芝麻的频率来估计P(芝麻落在A内)， 从而求出区域A的面积的近似值．
P(芝麻落在A内)=区域A的面积/长方形的面积.
说明： 1.这种模拟是利用古典概型的思想，用几何的方式 来估计概率。 2.概率计算抽象出数学模型——几何概型
子洲中学高一数学备课组
模拟方法
模拟的方法被广泛应用在现实中，下面我们来通过实 例来看看模拟的基本思想
面积估计：
如何估计不规则土地的面积？
试验1： 求规则图形的面积
如图1所示，向该图形撒100粒芝麻，这些芝麻 均匀地落在长方体内，如果落在区域B中的芝麻 数为20粒，那么B的面积约是整个长方形面积的 20%．
P ( A) 构成事件A的区域长度（面积或体积） 全部结果所构成的区域长度（面积或体积）
1.几何概型中事件A的概率是否与构成事件A的区域形状有关？ 提示：无关.从概率公式上看，事件A的概率只与 它的几何度量（长度、面积或体积）成正比，与 其位置和形状无关. 2.在几何概型中，如果A为随机事件，若P(A)=0，则A一定为不可能事件吗？ 提示：不一定.如果随机事件A所在的区域是一个 单点，由于单点的长度、面积、体积均为0，则 它出现的概率为0，显然它不是不可能事件.源自试验2：求不规则图形的面积
3.3模拟方法-概率的应用 课件(北师大版必修3)
1.下列概率模型中，是几何概型的有（
）
①从区间［-10，10］内任取出一个数，求取到1的概率；②
从区间［-10，10］内任取出一个数，求取到绝对值不大于1
的数的概率；③从区间［-10，10］内任取出一个整数，求取 到大于1而小于2的数的概率；④向一个边长为4 cm的正方形 内投一点P，求点P离正方形中心不超过1 cm的概率. （A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个
2.某人午觉醒来发现自己的表停了，他打开收音机想听电台的 整点报时，则他等待的时间不超过10分钟的概率是（ ）
1 1 1 1 (A) (B) (C) (D) 12 72 60 6 【解析】选A.在1小时内，等待的时间不超过10分钟，应在距
整点10分钟内打开收音机.∴ P 10 1 60 6
在区域为∠BAD内部任一位置，易得
∠BAC=75°,∠BAD=30°,故“BM<1”的概率为
2 答案： 5
30 2 . 75 5
3.（5分）在给定区域内任取一点， 规则如算法框图所示，则能输出数 对（x,y）的概率是_______.
【解析】由题意知输出数对（x,y）的概率为满足 x 2 y 2 1 2 的区域与 - 1 x 1 表示的区域的面积之比，如图所示，则 - 1 y 1
线OC分布在阴影区域内，由几何概型的概率
计算公式得P= 30 1 . 90 3 1 答案： 3
5.设有一个正方形网格，其边长为6 cm，现用直径等于2 cm
的硬币掷到此网格上，则硬币落下后与格线有交点的概率是
_________.
【解析】在一个小正方形内作一边长为4 cm的正方形（中心同
小正方形中心），则当硬币中心落在这个边长为4 cm
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【解析】如图，区域F表示边长为4的 正方形ABCD的内部(含边界)，区域E 表示单位圆及其内部，因此 P＝12 ＝ .
4 4 16
答案：
16
5.有一根长为1米的细绳子，随机从中间将细绳剪断，则使两
截的长度都大于 1 米的概率为________.
无关，即P(点M落在G1)=
G1的面积 G的面积
,则称这种模型为几何概型.
（2）几何概型中的G也可以是_空__间__中__或_直__线__上__的有限区域,
相应的概率是_体__积__之__比__或_长__度__之__比__.
判断下面结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）. (1)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率.( ) (2)相同环境下两次随机模拟得到的概率的估计值是相等 的.( ) (3)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域 内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等.( )
两种不同的度量手段.
【提醒】有时与长度或角度有关的几何概型,题干并不直接给出, 而是将条件隐藏,与其他知识综合考查.
【变式备选】设f(x)＝x2-2x-3(x∈R)，则在区间［-π，π］
上随机取一个数x，使f(x)＜0的概率为_______.
【解析】本题属于几何概型.由x2-2x-3＜0得：
-1＜x＜3.又∵x∈［-π，π］,
AB的长度 2 2
【拓展提升】
1.与长度有关的几何概型
如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，则其概
率的计算公式为 P（A）
构成事件A的区域长度
.
试验的全部结果所构成的区域长度
2.与角度有关的几何概型
当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域问题时，应以角的大
小作为区域度量来计算概率，且不可用线段的长度代替，这是
1．在区间［20,80］内随机取一实数a，则实数a属于区间
［50,75］的概率是( )
(A) 1
4
(B) 3
4
(C) 5
12
(D) 7
12
【解析】选C.由几何概型概率计算公式可知
P＝ 构成事件的区间长 ＝75－50＝ 5 . 试验全部结果的区间长 80－20 12
2．有一杯2升的水，其中含有一个细菌，用一个小水杯从水中 取0.1升水，则此小水杯中含有这个细菌的概率是( ) (A)0.01 (B)0.02 (C)0.05 (D)0.1 【解析】选C.试验的全部结果构成的区域体积为2升，所求事 件的区域体积为0.1升，故所求概率为 P＝0.1＝ 1 ＝0.05.
取一点C.现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该
矩形面积小于32 cm2的概率为( )
(A) 1
6
(B) 1
3
(C) 2
3
(D) 4
5
（2）在等腰Rt△ABC中，过直角顶点C在∠ACB内作一条射线CD
与线段AB交于点D，则AD<AC的概率为______.
【思路点拨】(1)本题与长度有关，利用几何概型求概率. (2)过点C在∠ACB内作射线CD与角度有关，利用几何概型的 概率公式求解.
(4)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图 形.( ) （5）在区间［-1，1］内任取一个数，求取到的数是正数的概 率，该问题中的概率模型为几何概型.( )
【解析】(1)正确.由随机模拟方法及几何概型可知，该说法正 确. (2)错误.虽然环境相同，但是因为随机模拟得到的是某一次的 频率，所以结果不一定相等. (3)正确.由几何概型的定义知，该说法正确. (4)正确.由几何概型的定义知，该说法正确. (5)正确.由几何概型的定义知，该说法正确. 答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)√ （5）√
2 20
3.在区间［-1,2］上随机取一个数x，则|x|≤1的概率为_____.
【解析】∵在区间［-1,2］上随机取一个数x，则|x|≤1的区间
长度为2，∴|x|≤1的概率为 2 .
3
答案：2
3
4.在平面直角坐标系xOy中，设F是横坐标与纵坐标的绝对值均
不大于2的点构成的区域，E是到原点的距离不大于1的点构成
第六节 模拟方法（几何概型）、 概率的应用
1.模拟方法 对于某些无法确切知道概率的问题,常借助_模__拟__方__法__来估计某 些随机事件发生的概率.用_模__拟__方__法__可以在短时间内完成大量 的重复试验.
2.几何概型
（1）向平面上有限区域(集合)G内随机地投掷点M,若点M落在
子__区__域__G_1___G_的概率与G1的_面__积__成正比，而与G的_形__状__、_位__置__
【规范解答】(1)选C.设其中一段AC长为x cm，则另一段长为
(12-x)cm，其中0＜x<12，由题意x(12-x)＜32得，0＜x＜4
或
8 ＝2.
12 3
8＜x<12，则可选取的长度为4+4＝8(cm)，故概率为
（2）射线CD在∠ACB内是均匀分布的，
故∠ACB＝90°可看成试验的所有结果
构成的区域，在线AC段E＝A1B8上0－取4一5点＝6E7，.5
2
使AE＝AC，则
67.5＝可3 .看成事件构成的区域，
90 4
所以满3足条件的概率为
4
【互动探究】在例题(2)中“过直角顶点C在∠ACB内作一条射 线CD与线段AB交于点D”改为“在线段AB上找一点D”，则结果 如何？ 【解析】由于本题是在线段AB上找一点D，使得AD＜AC，可 先找到AD＝AC时AD的长度，则所求P概＝率AD的长度＝ 1 ＝ 2 .
8
【解析】如图，将细绳八等分，C,D分别是第一个和最后一个
等分点，则在线段CD的任意位置剪断得到的两截细绳长度都大
于 1米.由几何概型的计算公式，两截的长度都大于 米1的概
86
8
率为 P＝ 8 ＝3 .
14
答案：3
4
考向 1 与长度、角度有关的几何概型
【典例1】(1)（2012·辽宁高考）在长为12 cm的线段AB上任
∴所求概率 答案：2
P＝ 4 ＝2 . 2
考向 2 与面积、体积有关的几何概型
【典例2】(1)（2012·北京高考）设不等式组
0 0
x y Nhomakorabea2, 2
表示平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原
点的距离大于2的概率是( )
(A)