模拟方法概率的应用
几种常见的概率模型及应用
几种常见的概率模型及应用Common Probability Models and Their Applications.Probability models are mathematical representations of random phenomena that allow us to make predictions and inferences about future events. They are widely used in various fields, including statistics, machine learning, finance, and biology. Here are some of the most commonly used probability models and their applications:1. Binomial Model.The binomial model describes the probability of success in a sequence of independent trials, each of which has a constant probability of success. It is commonly used in situations where we are interested in the number of successes in a fixed number of trials, such as:Counting the number of defective items in a batch of production.Predicting the number of customers visiting a store in a particular day.Estimating the probability of winning a lottery.2. Poisson Model.The Poisson model describes the probability of observing a random number of events occurring over a fixed period of time or distance. It is often used in situations where the occurrence of events is rare and independent of each other, such as:Modeling the number of phone calls received by a call center in an hour.Estimating the number of accidents on a particular highway per week.Predicting the number of mutations in a DNA sequence.3. Normal Distribution.The normal distribution, also known as the Gaussian distribution, is a continuous probability distribution that describes the distribution of continuous variables that are normally distributed, such as:Heights of individuals.Weights of products.Test scores of students.It is widely used in statistical inference, hypothesis testing, and estimation of population parameters.4. Exponential Distribution.The exponential distribution is a continuousprobability distribution that describes the waiting time between events that occur randomly and independently at a constant rate. It is commonly used in situations where thetime between events is of interest, such as:Modeling the time between arrivals of customers in a queue.Estimating the time to failure of a machine.Predicting the lifespan of a light bulb.5. Markov Models.Markov models are a class of stochastic processes that describe the evolution of a system over time. They are defined by the current state of the system and the probability of transitioning to each possible next state. Markov models are widely used in various applications, such as:Modeling speech and language recognition.Simulating financial markets.Predicting customer behavior.中文回答：常见的概率模型及其应用。
3.3模拟方法--概率的应用课件ppt(北师大版必修三)
提示
关．
无关．从概率公式上看，事件A的概率只与它的几
何度量(长度、面积或体积)成正比，与其位置和形状无
课前探究学习
课堂讲练互动
名师点睛
对几何概型的理解 1． (1)理解几何概型的概念要注意事件A的概率只与其几何度 量(长度、面积或体积)有关，而与A的位置和形状无关． (2)并不是所有的与几何度量有关的概率都是几何概型， 几何概型有如下两个特点： ①无限性：在一次试验中，基本事件的个数必须是无数 个； ②等可能性：在每次试验中，每一个基本事件发生的可能 性是均等的． (3)古典概型与几何概型的主要区别与联系：它们都是比 较特殊的概率模型，其共同的特点是试验中的基本事件发 生的可能性都是均等的；它们的区别是古典概型中的基本 事件数是有限的，而几何概型中的基本事件数是无限的．
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自学导引
几何概型 1． (1)向平面上有限区域(集合)G 内随机地投掷点 M， 若点 M 落
子区域G1 G 面积 在_______________的概率与 G1 的_____成正比．而与 G 的 形状 位置 _____、_____无关．即 P(点 M 落在 G1)＝
种概型为几何概型． G1的面积 ，则称这 G的面积
概率； 1 3 (3)求使四棱锥 M－ABCD 的体积小于 a 的概率． 6 审题指导 解决几何概型问题的关键是要寻找几何量之间
的关系，利用相关公式求出其概率． 本题中对几何概型问题的处理要以立体几何的相关知识为
基础，空Байду номын сангаас想象能力为依托．
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[解题流程] 分析概率模型 → 得其为几何概型 → 利用公式求得概率
步转化，为确定区域的测定问题． 解 由已知|p|≤3，|q|≤3，所以(p，q)
基于蒙特卡罗模拟的概率潮流计算
基于蒙特卡罗模拟的概率潮流计算概率潮流计算是电力系统分析中重要的一环，它可以评估电力系统的稳定性和可靠性。
其中，蒙特卡罗模拟是一种常用的概率潮流计算方法。
本文将介绍蒙特卡罗模拟在概率潮流计算中的应用。
蒙特卡罗模拟是一种基于随机数生成的计算方法，它通过多次模拟试验来估计系统的性能指标。
在概率潮流计算中，蒙特卡罗模拟可以用来计算电力系统的概率分布、可靠性和稳定性等指标。
使用蒙特卡罗模拟进行概率潮流计算的方法包括以下步骤：根据电力系统的实际运行情况，建立相应的数学模型。
利用随机数生成器生成各种随机变量，如负荷波动、新能源出力等。
将随机变量输入到电力系统的数学模型中进行模拟计算，得到系统的运行状态，如电压、电流等。
对大量的模拟结果进行统计分析，得到电力系统的概率分布、可靠性和稳定性等指标。
蒙特卡罗模拟在概率潮流计算中有广泛的应用，例如：在电力系统的可靠性评估中，蒙特卡罗模拟可以用来计算系统的平均故障率和故障时的负荷损失。
在电力系统的稳定性评估中，蒙特卡罗模拟可以用来计算系统的稳定性概率，为系统的规划和设计提供依据。
可以处理复杂的系统模型和随机变量，适用范围广泛。
可以给出系统性能指标的概率分布，为决策提供更多信息。
可以进行事后验证和敏感性分析，帮助优化系统的规划和设计。
模拟次数与计算成本成正比，需要权衡精度和成本之间的关系。
容易出现收敛困难和误差累积等问题，需要改进计算方法和增加模拟次数。
对于某些复杂系统和高维随机变量，蒙特卡罗模拟的效果可能不够理想。
蒙特卡罗模拟是一种有效的概率潮流计算方法，它在电力系统的可靠性评估和稳定性评估中有着广泛的应用。
然而，也存在一些不足之处需要改进和完善，以更好地适应复杂系统和更高维度的计算需求。
今后，随着计算机技术和数值计算方法的不断发展，蒙特卡罗模拟在概率潮流计算中的应用前景将更加广阔。
蒙特卡罗模拟技术是一种以概率论和数理统计为基础，通过随机模拟计算来解决复杂问题的数值方法。
第1部分 第三章 § 3 模拟方法——概率的应用
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解析：此题考查几何概型，正方形面积为 a2，阴影部分面积 a a a2－π22，所以概率为
2
为
a －π22
a2
π ＝1－ . 4
答案：A
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4．欧阳修《卖油翁》中写到：“(翁)乃取一葫芦置于地，
以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不 湿．”可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观 止．若铜钱是直径为3 cm的圆，中间有边长为1 cm的 正方形孔，若你随机向铜钱上滴一滴油，求油正好落 入孔中的概率(油滴的大小忽略不计)．
2 答案： 5
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8.如图，在等腰直角三角形ABC中，过
直角顶点C在∠ACB内部作一条射线CM，
与线段AB交于点M.
求AM<AC的概率．
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解：在 AB 上取 AC′＝AC， 180° －45° 则∠ACC′＝ ＝67.5° . 2 设事件 A＝{在∠ACB 内作一条射线 CM，与线段 AB 交于点 M，AM<AC}，则所有可能结果的区域角度为 90° ，事件 A 的 区域角度为 67.5° ， 67.5 3 ∴P(A)＝ ＝ . 90 4
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3.如图所示， 墙上挂有一边长为 a 的正方形木板， 它的四个角的空白部分是以正方形的顶点为 a 圆心，半径为 的圆弧．某人向此板投镖，假 2 设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一 样，则击中阴影部分的概率是 π A．1－ 4 π C．1－ 8 π B. 4 D．与 a 的取值有关 ( )
知识点一 §3 模 拟 方 法 — 概 率 的 应 用 理解教材新知 知识点二
第 三
考点一
考点二 把握热点考向
章
考点三
考点四
概 率
3.模拟方法-概率应用
一种方法就是概率的方法，向图中的长方形中随机地撒 一粒芝麻，这个试验具有以下特点： （1）长方形有有限的面积，一次试验是向长方形内随机 投一点，试验的所有可能结果就是长方形内的所有点， 因此有无限个 （2） 长方形内任何一点被投到的可能性是相同的．所 投的点落在正方形中某个区域A内的可能性与A的面积成 正比，而与A在正方形中的位置、形状无关
30 60 2 87.5%. P ( A) 602
2 2
y
y>x
x
小结：对于复杂的实际问题, 解题的关键是要建立概率模型, 找出随机事件与所有基本事件 相对应的几何区域,把问题转化 为几何问题,利用几何模型概率 公式求解.
我们可以大量重复进行向长方形中随机撒一粒芝麻的试 验，撒一把芝麻，数出落在A内的芝麻数和落在长方形内的 芝麻数，用落在A内的芝麻的频率来估计P(芝麻落在A内)， 从而求出区域A的面积的近似值．
P(芝麻落在A内)=区域A的面积/长方形的面积.
说明： 1.这种模拟是利用古典概型的思想，用几何的方式 来估计概率。 2.概率计算抽象出数学模型——几何概型
子洲中学高一数学备课组
模拟方法
模拟的方法被广泛应用在现实中，下面我们来通过实 例来看看模拟的基本思想
面积估计：
如何估计不规则土地的面积？
试验1： 求规则图形的面积
如图1所示，向该图形撒100粒芝麻，这些芝麻 均匀地落在长方体内，如果落在区域B中的芝麻 数为20粒，那么B的面积约是整个长方形面积的 20%．
P ( A) 构成事件A的区域长度（面积或体积） 全部结果所构成的区域长度（面积或体积）
1.几何概型中事件A的概率是否与构成事件A的区域形状有关？ 提示：无关.从概率公式上看，事件A的概率只与 它的几何度量（长度、面积或体积）成正比，与 其位置和形状无关. 2.在几何概型中，如果A为随机事件，若P(A)=0，则A一定为不可能事件吗？ 提示：不一定.如果随机事件A所在的区域是一个 单点，由于单点的长度、面积、体积均为0，则 它出现的概率为0，显然它不是不可能事件.源自试验2：求不规则图形的面积
3.3模拟方法-概率的应用 课件(北师大版必修3)
1.下列概率模型中，是几何概型的有（
）
①从区间［-10，10］内任取出一个数，求取到1的概率；②
从区间［-10，10］内任取出一个数，求取到绝对值不大于1
的数的概率；③从区间［-10，10］内任取出一个整数，求取 到大于1而小于2的数的概率；④向一个边长为4 cm的正方形 内投一点P，求点P离正方形中心不超过1 cm的概率. （A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个
2.某人午觉醒来发现自己的表停了，他打开收音机想听电台的 整点报时，则他等待的时间不超过10分钟的概率是（ ）
1 1 1 1 (A) (B) (C) (D) 12 72 60 6 【解析】选A.在1小时内，等待的时间不超过10分钟，应在距
整点10分钟内打开收音机.∴ P 10 1 60 6
在区域为∠BAD内部任一位置，易得
∠BAC=75°,∠BAD=30°,故“BM<1”的概率为
2 答案： 5
30 2 . 75 5
3.（5分）在给定区域内任取一点， 规则如算法框图所示，则能输出数 对（x,y）的概率是_______.
【解析】由题意知输出数对（x,y）的概率为满足 x 2 y 2 1 2 的区域与 - 1 x 1 表示的区域的面积之比，如图所示，则 - 1 y 1
线OC分布在阴影区域内，由几何概型的概率
计算公式得P= 30 1 . 90 3 1 答案： 3
5.设有一个正方形网格，其边长为6 cm，现用直径等于2 cm
的硬币掷到此网格上，则硬币落下后与格线有交点的概率是
_________.
【解析】在一个小正方形内作一边长为4 cm的正方形（中心同
小正方形中心），则当硬币中心落在这个边长为4 cm
数学教案：模拟方法——概率的应用
§3模拟方法-—概率的应用错误!教学分析这部分是新增加的内容．介绍几何概型主要是为了更广泛地满足随机模拟的需要,但是对几何概型的要求仅限于初步体会几何概型的意义，所以教科书中选的例题都是比较简单的．随机模拟部分是本节的重点内容．几何概型是另一类等可能概型，它与古典概型的区别在于试验的结果不是有限个，利用几何概型可以很容易举出概率为0的事件不是不可能事件的例子,概率为1的事件不是必然事件的例子．本节的教学需要一些实物模型为教具，教学中应当注意让学生实际动手操作,以使学生相信模拟结果的真实性，然后再通过计算机或计算器产生均匀随机数进行模拟试验，得到模拟的结果．在这个过程中，要让学生体会结果的随机性与规律性，体会随着试验次数的增加，结果的精度会越来越高．几何概型也是一种概率模型，它与古典概型的区别是试验的可能结果不是有限个．它的特点是在一个区域内均匀分布，所以随机事件的概率大小与随机事件所在区域的形状、位置无关，只与该区域的大小有关．如果随机事件所在区域是一个单点，由于单点的长度、面积、体积均为0，则它出现的概率为0，但它不是不可能事件；如果一个随机事件所在区域是全部区域扣除一个单点,则它出现的概率为1，但它不是必然事件．三维目标1．通过师生共同探究，体会数学知识的形成，正确理解几何概型的概念；掌握几何概型的概率公式：P（A）＝错误!，学会应用数学知识来解决问题，体会数学知识与现实世界的联系，培养逻辑推理能力．2．本节课的主要特点是随机试验多，学习时养成勤学严谨的学习习惯，会根据古典概型与几何概型的区别与联系来判别某种概型是古典概型还是几何概型，会进行简单的几何概率计算,培养学生从有限向无限探究的意识．重点难点教学重点:理解几何概型的定义、特点，会用公式计算几何概率．教学难点:等可能性的判断与几何概型和古典概型的区别．课时安排1课时错误!导入新课思路1。
复习古典概型的两个基本特点：(1)所有的基本事件只有有限个;(2)每个基本事件发生都是等可能的．那么对于有无限多个试验结果的情况相应的概率应如何求呢?为此我们学习几何概型．思路2。
概率的应用题【范本模板】
概率的应用专题1。
已知甲同学手中藏有三张分别标有数字12,14,1的卡片，乙同学手中藏有三张分别标有1，3,2的卡片，卡片外形相同．现从甲乙两人手中各任取一张卡片，并将它们的数字分别记为a ，b ．(1）请你用树形图或列表法列出所有可能的结果．（2）现制定这样一个游戏规则：若所选出的a ，b 能使得210ax bx ++=有两个不相等的实数根，则称甲获胜；否则称乙获胜．请问这样的游戏规则公平吗？请你用概率知识解释．2。
现在初中课本里所学习的概率计算问题只有以下类型：第一类是可以列举有限个等可能发生的结果的概率计算问题（一步试验直接列举，两步以上的试验可以借助树状图或表格列举），比如掷一枚均匀硬币的试验;第二类是用试验或者模拟试验的数据计算频率，并用频率估计概率的概率计算问题，比如掷图钉的试验；解决概率计算问题，可以直接利用模型,也可以转化后再利用模型；请解决以下问题：(1）如图，类似课本的一个寻宝游戏，若宝物随机藏在某一块砖下（图中每一块砖除颜色外完全相同)，则宝物藏在阴影砖下的概率是多少？（2）在1-9中随机选取3个整数，若以这3个整数为边长构成三角形的情况如下表： 第1组实验第2组试验 第3组试验 第4组试验 第5组实验 构成锐角三角形次数 86158 250 337 420 构成直角三角形次数 25 8 10 12 构成钝角三角形次数 73155 191 258 331 不能构成三角形次数 139282 451 595 737 小计300 600 900 1200 1500 请你根据表中数据，估计构成钝角三角形的概率是多少？（精确到百分位)3.一只袋中装有6个大小完全一样的球，球上分别标有数字0、1、2、3、4、5，小明和小春轮流从袋中摸一个球（摸后放回），每人各摸10次.①若小明摸到的球的号码是奇数,则小明得1分；②若小春摸到的球号加1后大于3，则小春得1分；问：(1）小明与小春,哪一个获胜的可能性较大？（2）请你制定出一种新规则，使小明获胜的可能性较大。
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构成事件A 的区域长度（面积或体积） P(A) = 全部结果所构成的区域长度（面积或体积）
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为什么要学习几何概型? 为什么要学习几何概型?
计算一些不规则的区域的面积（几何概型） 计算一些不规则的区域的面积（几何概型） 思想方法：向一个正方形内的随机地撒一把芝麻， 思想方法：向一个正方形内的随机地撒一把芝麻， 假设每一粒芝麻落在正方形内的每一个位置 的可能性相同，则有： 的可能性相同，则有：
302 602 − 2 = 87.5%. P( A) = 602
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课堂小结
• 1.几何概型的特点. • 2.几何概型的概率公式.
构成事件A的区域长度（面积或体积） P( A) = 全部结果所构成的区域长度（面积或体积）
• 3.公式的运用.
作业:
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构成事件A 的区域长度（面积或体积） P(A) = 全部结果所构成的区域长度（面积或体积）
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ห้องสมุดไป่ตู้ 古典概型: 古典概型
特点: 特点 (1)试验中所有可能出现的基本 试验中所有可能出现的基本 事件只有有限个 有限个. 事件只有有限个 (2)每个基本事件出现的可能性 每个基本事件出现的可能性 每个基本事件出现的 相等. 相等
区域A内的芝麻数 区域A 区域A 区域A的面积 ＝ 正方形内的芝麻数 正方形的面积
A
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的正方形内随机地撒1000 例：如图，向面积为10的正方形内随机地撒 如图，向面积为 的正方形内随机地撒 颗芝麻，落在区域A内的芝麻数为 内的芝麻数为320，试估计 颗芝麻，落在区域 内的芝麻数为 ， 区域A的面积大小 的面积大小. 区域 的面积大小
A
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例 某人午觉醒来,发现表停了,他 打开收音机,想听电台报时,求他等待 的时间不多于10分钟的概率.（假设电台 只会整点报时）
解:设A={等待的时间不多于10分钟}.我们所 关心的事件A恰好是打开收音机的时刻位于 [50,60]时间段内,因此由几何概型的求概率 的公式得 60 − 50 1
P( A) =
几何概型的定义
• 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长 度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何 概率模型,简称为几何概型. • 几何概型的特点: (1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个. (2)每个基本事件出现的可能性相等.(试验结果在一个 区域内均匀分布）
在几何概型中,事件A的概率的计算公式如下: 在几何概型中,事件A的概率的计算公式如下:
60
= , 6
1 即“等待的时间不超过10分钟”的概率为 6
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假设你家订了一份报纸, 例 假设你家订了一份报纸,送报人可能在早 上6:30—7:30之间把报纸送到你家,你父亲 6:30—7:30之间把报纸送到你家, 之间把报纸送到你家 离开家去工作的时间在早上7:00 8:00之间 7:00— 之间, 离开家去工作的时间在早上7:00—8:00之间, 问你父亲在离开家前能得到报纸(称为事件A) 问你父亲在离开家前能得到报纸(称为事件A) 的概率是多少? 的概率是多少?
几何概型的定义
• 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长 度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何 概率模型,简称为几何概型. • 几何概型的特点: (1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个. (2)每个基本事件出现的可能性相等.(试验结果在一个 区域内均匀分布）
在几何概型中,事件A的概率的计算公式如下: 在几何概型中,事件A的概率的计算公式如下:
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古典概型: 古典概型
特点: 特点 (1)试验中所有可能出现的基本 试验中所有可能出现的基本 事件只有有限个 有限个. 事件只有有限个 (2)每个基本事件出现的可能性 每个基本事件出现的可能性 每个基本事件出现的 相等. 相等
A包含基本事件的个数 公式：P( A) = 基本事件的总数
3
问题一
• 假设小明家订了一份报纸,送报人可能在 早上6:30—7:30之间把报纸送到小明家,他 父亲离开家去上班的时间在早上7:00—8:00 之间,小明的父亲在离开家前能拿到报纸(称 为事件A)的概率是多少? 能否用古典概型的公式来求解? 事件A包含的基本事件有多少?
A包含基本事件的个数 公式：P( A) = 基本事件的总数
7
问题一
• 假设小明家订了一份报纸,送报人可能在 早上6:30—7:30之间把报纸送到小明家,他 父亲离开家去上班的时间在早上7:00—8:00 之间,小明的父亲在离开家前能拿到报纸(称 为事件A)的概率是多少? 能否用古典概型的公式来求解? 事件A包含的基本事件有多少?
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问题二: 问题二
图中有两个转盘.甲乙两人玩转盘游戏,规定 当指针指向B区域时,甲获胜,否则乙获胜.在两种 B , , . 情况下分别求甲获胜的概率是多少?
事实上,甲获胜的概率与字母B所在扇形区域的圆 弧的长度有关,而与字母B所在区域的位置无关.因 为转转盘时,指针指向圆弧上哪一点都是等可能的. 不管这些区域是相邻,还是不相邻,甲获胜的概率是 9 不变的
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问题二: 问题二
图中有两个转盘.甲乙两人玩转盘游戏,规定 当指针指向B区域时,甲获胜,否则乙获胜.在两种 B , , . 情况下分别求甲获胜的概率是多少?
事实上,甲获胜的概率与字母B所在扇形区域的圆 弧的长度有关,而与字母B所在区域的位置无关.因 为转转盘时,指针指向圆弧上哪一点都是等可能的. 不管这些区域是相邻,还是不相邻,甲获胜的概率是 5 不变的
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解: 以横坐标X表示报纸送到时间 表示报纸送到时间,以纵坐标 以横坐标 表示报纸送到时间 以纵坐标 Y表示父亲离家时间建立平面直角坐标 表示父亲离家时间建立平面直角坐标 系,假设随机试验落在方形区域内任何一 假设随机试验落在方形区域内任何一 点是等可能的,所以符合几何概型的条件 所以符合几何概型的条件. 点是等可能的 所以符合几何概型的条件 根据题意,只要点落到阴影部 根据题意 只要点落到阴影部 分,就表示父亲在离开家前能 就表示父亲在离开家前能 得到报纸,即时间 发生,所以 即时间A发生 得到报纸 即时间 发生 所以
模拟方法——概率的应用 模拟方法——概率的应用
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古典概型: 古典概型
特点: 特点 (1)试验中所有可能出现的基本 试验中所有可能出现的基本 事件只有有限个 有限个. 事件只有有限个 (2)每个基本事件出现的可能性 每个基本事件出现的可能性 每个基本事件出现的 相等. 相等
A包含基本事件的个数 公式：P( A) = 基本事件的总数