§3 模拟方法—概率的应用
2017-2018学年高中数学北师大版必修三教学案：第三章§3 模拟方法——概率的应用
[核心必知]1．模拟方法在大量重复试验的前提下，可以用随机事件发生的频率来估计其发生的概率，但确定随机事件发生的频率常常需要人工做大量的重复试验，既费时又费力，并且有时很难实现．因此，我们可以借助于模拟方法来估计某些随机事件发生的概率．2．几何概型(1)定义：向平面上有限区域(集合)G 内随机地投掷点M ，若点M 落在子区域G 1G 的概率与G 1的面积成正比，而与G 的形状、位置无关，即P (点M 落在G 1)＝G 1的面积G 的面积，则称这种模型为几何概型．(2)说明：几何概型中的G 也可以是空间中或直线上的有限区域，相应的概率是体积之比或长度之比．[问题思考]1．几何概型的概率计算与构成事件的区域形状有关吗？提示：几何概型的概率只与它的长度(面积或体积)有关，而与构成事件的区域形状无关． 2．在几何概型中，如果A 为随机事件，若P (A )＝0，则A 一定为不可能事件；若P (A )＝1，则A 一定为必然事件，这种说法正确吗？提示：这种说法不正确．如果随机事件所在的区域是一个单点，由于单点的长度、面积、体积均为0，则它出现的概率为0，显然它不是不可能事件；如果一个随机事件所在的区域是全部区域扣除一个单点，则它出现的概率为1，但它不是必然事件．讲一讲1.取一根长为3 m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长度都不小于1 m 的概率有多大？[尝试解答] 如图所示，记事件A ＝{剪得两段绳子长都不小于1 m}，把绳子三等分，于是当剪断位置处在中间一段上时，事件A 发生．全部试验结果构成的区域长度是绳子的长度3 m ，事件A 包含的结果构成的区域长度是中间一段的长度为3×13＝1(m)，故事件A 发生的概率P (A )＝13.在求解与长度有关的几何概型时，首先找到几何区域D ，这时区域D 可能是一条线段或几条线段或曲线段，然后找到事件A 发生对应的区域d ，在找d 的过程中，确定边界点是问题的关键，但边界点是否取到却不影响事件A 的概率． 练一练1．在区间[－1,2]上随机取一个数x ，则|x |≤1的概率为________． 解析：由|x |≤1得，－1≤x ≤1， 故易知所求概率为1－－2－－＝23. 答案：23讲一讲2.假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6：30～7：30把报纸送到你家，你父亲离开家去工作的时间是7：00～8：00，问你父亲在离开家前能拿到报纸(称为事件A )的概率是多少？[尝试解答] 如图，送报人到达的时间是6：30～7：30的任一时刻，父亲离开家去工作的时间是7：00～8：00的任一时刻，如果在直角坐标系内以x 轴表示报纸送到的时间，y 轴表示父亲离开家的时间，因为报纸送到的时间和父亲离开家的时间都是随机的，所以随机试验的所有结果(x ，y )是图中所示正方形中等可能的任意一点．事件A (父亲离开家前能拿到报纸)发生须x ≤y ，即正方形内阴影部分，事件A 发生的概率只与阴影部分的面积大小有关，这符合几何概型的条件．μA ＝12－12×12×12＝78，μΩ＝1，所以P (A )＝μA μΩ＝78.在研究射击、射箭、投中、射门等实际问题时，常借助于区域的面积来计算概率的值．此时，只需分清各自区域特征，分别计算其面积，以公式P (A )＝构成事件A 的区域面积试验的全部结果构成的区域面积 计算事件的概率即可．练一练2．在平面直角坐标系xOy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D 中随机投一点，则落入E 中的概率为________．解析：如图所示，区域D 表示边长为4的正方形的内部(含边界)，区域E 表示单位圆及其内部，因此P ＝π×124×4＝π16.答案：π16讲一讲3.有一杯2升的水，其中含有一个细菌，用一个小杯从这杯水中取出0.1升水，求小杯水中含有这个细菌的概率．[尝试解答] 把判断这个细菌所在的位置看成一次试验，设所取的0.1升水中含有这个细菌为事件A ，则事件A 构成的区域体积是0.1升，全部试验结果构成的区域体积是2升，所以P (A )＝0.12＝0.05.如果试验的结果所成的区域可用体积来度量，我们要结合问题的背景，选择好观察角度，准确找出基本事件所占的总体积及事件A 所分布的体积．其概率的计算P (A )＝构成事件A 的区域体积试验的全部结果构成的区域体积.练一练3．在棱长为3的正方体内任意取一个点，求这个点到各面的距离均大于1的概率． 解：记事件A 为“点到各面的距离均大于1”，则满足题意的点构成的区域为：位于该正方体中心的一个棱长为1的小正方体的内部．由几何概型的计算公式，可得满足题意的概率为P (A )＝1333＝127.讲一讲4.设A 为圆周上一定点，在圆周上等可能的任取一点与A 连接，求弦长超过半径的2倍的概率．[尝试解答] 如图所示，在⊙O 上有一定点A ，任取一点B 与A 连结，则弦长超过半径的2倍，即为∠AOB 的度数大于90°，而小于270°.记“弦长超过半径的2倍”为事件C ， 则C 表示的范围是∠AOB ∈(π2，3π2)．则由几何概型概率的公式，得P (C )＝270°－90°360°＝12.如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用角度来表示，则其概率的计算公式为P (A )＝事件A 构成的区域角度试验的全部结果构成的区域角度.练一练4．在转盘游戏中，假设转盘有三种颜色：红、绿、蓝．当转盘停止时，如果指针指向红色为赢，绿色为平，蓝色为输．若每种颜色被平均分成四块，不同颜色相间排列，要使赢的概率为15，输的概率为13，求每个绿色扇形的圆心角为多少度(假设转盘停止位置都是等可能的)． 解：由于转盘停止旋转时，指针指向每个位置都是等可能的，并且位置是无限多的，所以符合几何概型的特点，问题转化为求圆盘角度或周期问题．因为赢的概率为15，故红色所占角度为周角的15，即P 1＝360°5＝72°.同理，蓝色占周角的13，即P 2＝360°3＝120°，所以绿色的角度P 3＝360°－120°－72°＝168°.再将P 3分成四等份，得P 3÷4＝168°÷4＝42°， 即每个绿色扇形的圆心角为42°. 【解题高手】【易错题】如图，在等腰直角三角形ABC 中，过直角顶点C 在∠ACB 内部作一条射线CM ，与线段AB 交于点M ，求AM <AC 的概率．[错解] 在AB 上截取线段AC ′，使AC ′＝AC .则P (AM <AC )＝P (AM <AC ′)＝AC ′AB ＝22. [错因] 因为该题所涉及的基本事件是与角度有关的，而不是在线段AB 上取点，即该题是与角度有关的几何概型，而不是与长度有关的几何概型．[正解] 在AB 上取AC ′＝AC ，则∠ACC ′＝180°－45°2＝67.5°.∴P (AM <AC )＝67.5°90°＝34.1．在500 mL 的水中有一个草履虫，现从中随机取出2 mL 水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率为( )A ．0B ．0.002C ．0.004D ．1 解析：选C 由几何概型公式得：P ＝2500＝0.004.2．(辽宁高考)在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C .现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积大于20 cm 2的概率为( )A.16B.13C.23D.45解析：选C 设|AC |＝x cm,0<x <12，则|CB |＝(12－x ) cm ，要使矩形面积大于20 cm 2，只要x (12－x )>20，则x 2－12x ＋20<0,2<x <10，所以所求概率为P ＝10－212＝23. 3．(湖南高考)已知事件“在矩形ABCD 的边CD 上随机取一点P ，使△APB 的最大边是AB ”发生的概率为12，则ADAB＝( )A.12B.14C.32D.74解析：选D 由已知，点P 的分界点恰好是边CD 的四等分点，由勾股定理可得AB 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34AB 2＋AD 2，解得⎝ ⎛⎭⎪⎫AD AB2＝716，即AD AB ＝74.4．如图所示，在平面直角坐标系内，射线OT 落在60°的终边上，任作一条射线OA ，射线OA 落在∠xOT 内的概率为________．解析：记B ＝{射线OA 落在∠xOT 内}， ∵∠xOT ＝60°， ∴P (B )＝60°360°＝16.答案：165．两根相距6 m 的木杆系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于2 m 的概率是________．解析：由题意P ＝26＝13.答案：136．国家安全机关监听录音机记录了两个间谍的谈话，发现30 min 长的磁带上，从开始30 s 处起，有10 s 长的一段内容包含两间谍犯罪的信息．后来发现，这段谈话的一部分被某工作人员擦掉了，该工作人员声称他完全是无意中按错了键，使从此处起往后的所有内容都被擦掉了．那么由于按错了键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉的概率有多大？解：记A ＝{按错键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉}，A 的发生就是在0到23 min 时间段内按错键．P (A )＝2330＝145.一、选择题1．在区间[0,3]上任取一点，则此点落在区间[2,3]上的概率是( ) A.13 B.12 C.23 D.34解析：选A 区间[2,3]长度为1，总区间[0,3]的长度为3，∴P ＝13.2．如图，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为23，则阴影区域的面积为( )A.43B.83C.23D ．无法计算 解析：选B 由几何概型的公式知：S 阴影S 正方形＝23，又：S 正方形＝4，∴S 阴影＝83. 3．有四个游戏盘，如果撒一粒黄豆落在阴影部分，则可中奖．小明希望中奖，他应当选择的游戏盘为( )解析：选 A A 游戏盘的中奖概率为38，B 游戏盘的中奖概率为13，C 游戏盘的中奖概率为r2－πr22r2＝4－π4，D 游戏盘的中奖概率为r 2πr 2＝1π，A 游戏盘的中奖概率最大．4．A 是圆上的一定点，在圆上其他位置任取一点B ，连接A 、B 两点，它是一条弦，则它的长度大于等于半径长度的概率为( )A.12B.23C.32D.14解析：选B 如图，当取点落在B 、C两点时，弦长等于半径；当取点落在劣弧上时，弦长小于半径；当取点落在优弧上时，弦长大于半径．所以弦长超过半径的概率P ＝360°－120°360°＝23.5．在区间[0,1]内任取两个数，则这两个数的平方和也在[0,1]内的概率是( ) A.π4 B.π10 C.π20 D.π40解析：选A 设在[0,1]内取出的数为a ，b ，若a 2＋b 2也在[0,1]内，则有0≤a 2＋b 2≤1.如图，试验的全部结果所构成的区域为边长为1的正方形，满足a 2＋b 2在[0,1]内的点在14单位圆内(如阴影部分所示)，故所求概率为14π1＝π4.二、填空题6．函数f (x )＝x －2，x ∈[－5,5]，那么任取一点x 0∈[－5,5]，使f (x 0)≤0的概率是________． 解析：由f (x 0)≤0得x 0－2≤0，x 0≤2，又x 0∈[－5,5]，∴x 0∈[－5,2]．设使f (x 0)≤0为事件A ，则事件A 构成的区域长度是2－(－5)＝7，全部结果构成的区域长度是5－(－5)＝10，则P (A )＝710.答案：7107．圆上的任意两点间的距离大于圆的内接正三角形边长的概率是________．解析：如图所示，从点A 出发的弦中，当弦的另一个端点落在劣弧B C 上的时候，满足已知条件，当弦的另一个端点在劣弧A B 或劣弧A C 上的时候不能满足已知条件．又因为△ABC 是正三角形，所以弦长大于正三角形边长的概率是13.答案：138．已知点P 是边长为4的正方形内任一点，则P 到四个顶点的距离均大于2的概率是________． 解析：如图所示，边长为4的正方形ABCD ，分别以A 、B 、C 、D 为圆心，并以2为半径画圆截正方形ABCD 后剩余部分是阴影部分．则阴影部分的面积是42－4×14×π×22＝16－4π，所以所求概率是16－4π16＝1－π4.答案：1－π4三、解答题9．在△ABC 内任取一点P ，求△ABP 与△ABC 的面积之比大于23的概率． 解：设P 点、C 点到AB 的距离分别为d P 、d C ，则S △ABP ＝12AB ·d P ，S △ABC ＝12AB ·d C ， 所以S △ABP S △ABC ＝d P d C ，要使d P d C >23， 只需使P 点落在某条与AB 平行的直线的上方，当然P 点应在△ABC 之内，而这条与AB 平行的直线EF 与AB 的距离要大于d C 的23. 由几何概率公式，得P ＝S △CEF S △ABC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3－232＝19. 10．甲、乙两人约定晚6点到晚7点之间在某处见面，并约定甲若早到应等乙半小时，而乙还有其他安排，若他早到则不需等待．求甲、乙两人能见面的概率．解：用x 轴、y 轴分别表示甲、乙两人到达约定地点的时间．若甲早到，当y －x ≤30时，两人仍可见面；若乙早到，则两人不可能见面，因此，必须有x ≤y . 如图，事件A “两人可以见面”的可能结果是阴影部分的区域．故P (A )＝12×602－12×302602＝38.。
北师大版高中数学必修3《三章 概率 3 模拟方法——概率的应用 模拟方法——概率的应用》优质课教案_20
§3.3模拟方法——概率的应用教学设计一、教材内容分析《模拟方法——概率的应用》是北师大版高中教材必修三第3章第3节的内容,安排在《随机事件的概率》和《古典概型》两节之后。
本小节共安排2课时,本节课是第1课时，注重概念的建构和公式的应用，为第二课时的几何概型的应用以及体会随机模拟中的统计思想打下基础。
“几何概型”是继“古典概型”之后的第二类等可能概率模型，在概率论中占有相当重要的地位，是等可能事件的概念从有限向无限的延伸。
另外，本节内容的学习，可以帮助学生全面系统地掌握概率知识，体会抽象概括建立模型的思想方法和数形结合的思想方法，为应用数学解决实际问题提供了新的思想和方法。
二、学生情况分析学生之前已经学习了一般性随机事件，概率统计定义以及古典概型.而且有了一定的观察和归纳能力，几何概型的内容可以和古典概型的内容进行类比学习.但是，古典概型研究有限的事件，而几何概型研究无限事件，如何实现两者的过渡以及如何将问题实际背景转化为相应的长度，面积，体积等几何模型是有困难的，需要教师创设好的问题情境，选择好例题，帮助学生形成几何概型的概念，掌握计算方法。
三、教学目标1、过程与方法：通过自主探究、讨论交流，参与概念产生与发展的过程；经历观察、分析、类比等方法，养成逻辑推理能力；感知用图形解决概率问题的方法，渗透化归、数形结合等思想方法。
2、知识与技能：（1）了解模拟方法的基本思想，会用这种思想解决某些具体问题:如求某些不规则图形的近似面积；（2）记住几何概型的概念和特征，了解古典概型和几何概型的区别与联系；（3）掌握几何概型的计算方法和步骤，用几何概型来解决一些纯数学问题和实际生活问题。
3、情感态度与价值观：感受生活中处处有数学，体会数学对自然与社会所产生的作用；充分认识数学的价值，习惯用数学的眼光解决生活中的问题；形成从有限向无限探究的意识，养成合作交流的习惯。
四、教学重点与难点重点：几何概型概念的建构和建立合理的几何概型进行简单的几何概率计算。
北师大版必修三 模拟方法——概率的应用 课件(37张)
解析： [－1,2]的长度为 3，[0,1]的长度为 1，所以概率是13.
答案：
1 3
4．方程 x2＋x＋n＝0(n∈(0,1))有实根的概率为________． 解析： 由于方程 x2＋x＋n＝0(n∈(0,1))有实根，
所以 Δ≥0，即 1－4n≥0，
所以 n≤14， 又 n∈(0,1)，
所以有实根的概率为
§3 模拟方法——概率的应用
记住几何概型的概念和特点.
重点
掌握几何概型的计算方法和步骤，准确地把实际问题转化为 重点、
目标导航
几何概型问题.
难点
了解模拟方法的基本思想，会利用这种思想解决某些具体问 难点
题，如求某些不规则图形的近似面积等.
学案自主学习
[入门答疑] 在如图所示的正方形中随机地拋一个小球，小球落在区域 A 中的概率是多 少？此事件为古典概型吗？
解析： (1)根据题意可建立如图的模型：
AB＝100 m，AC＝BD＝10 m，
从而可知遭受雷击在 AC 内或在 DB 内时，输电设备受损．故所求概率为12000
＝15＝0.2. (2)因为在任意角集合中任取一个角，则该角终边落在∠xOT 内对应的角度为
60°，而整个角集合对应的角度为圆周角，所以该角终边落在∠xOT 内的概率 P
2．在问题(1)中，由于|x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z，故其基本事件的个数是有限 的，且是等可能的，显然属于古典概型；正确求解基本事件总数及点 P 满足(x－ 2)2＋(y－2)2≤4，基本事件个数是求解本题的关键．
3．在问题(2)中，由于|x|≤2，|y|≤2，x，y∈R，基本事件的个数是无限的， 且是等可能的，故其属于几何概型，正确将其转化为面积之比是解决本题的关键.
北师大版高中数学必修3《三章 概率 3 模拟方法——概率的应用 模拟方法——概率的应用》优质课教案_2
模拟方法——概率的应用一．教学目标：1．通过试验初步体会几何概型及其基本特征；2．会把一些简单的实际问题转化为几何概型，会运用几何概型的概率计算公式求简单的几何概型的概率问题；3．通过亲身试验，感受数学不仅仅是抽象的符号，还和我们的生活密切相关。
通过试验体会辩证的唯物主义思想，和实事求是的科学作风。
二．教学重点、难点：重点: 将实际问题转化为几何概型求概率的问题难点:如何实际问题转化为几何概型求概率的问题三．教学方法与教学手段：自主探究、数学试验四．教学过程：（一、）复习巩固1．请同学们回忆下求随机事件的概率的方法有哪些呢?2．古典概型的基本特点是什么呢？（二、）创设情景，引入新课：问题1：取一根长度为3m的绳子，如果拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1m的概率有多大？问题2：取一个边长为2a的正方形及其内图1切圆（如图1）随机地向正方形内射箭,假设射箭都能中靶,求射中圆内的概率为多少？问题3: 有一杯1 L的水,其中有1个微生物,用一个容器从这杯水中取出10ml,求容器中的水含有这个微生物的概率.归纳上述三个问题的特点，引入几何概型。
同时让学生思考古典概型的方法还能用吗？如何几何概率计算呢？进一步分析上述三个概率问题的求法。
问题1分析：剪刀落在中点的时候，显然能够得到符合要求的两段绳子，我继续剪可以么？到什么时候为止？落在中间的点有无穷多，我把这些点全取出。
总基本事件也有无穷多，古典概型的方法还能用吗？怎么处理？练习:取一根长度为3m的绳子，如果拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于2m的概率有多大？问题2分析:由于靶点随机的落在正方形内,而靶点落在圆内时,事件A发生解：记“射中圆内”为事件A，正方形的面积圆的面积=)(A P =4π 答：射中圆内的概率为4π由于问题2的可操作性，下面通过试验“用频率估计概率的方法”来研究它的概率问题。
两人一组合作试验，用扎针来模拟射箭，用针孔代替射箭的靶点。
北师大版高中数学必修3《三章 概率 3 模拟方法——概率的应用 模拟方法——概率的应用》优质课教案_6
《模拟方法---概率的应用》教学设计三维目标：知识与技能：使学生了解模拟方法估计概率的实际应用，初步体会几何概型的意义；并能够运用模拟方法估计概率。
过程与方法：培养学生实践能力、协调能力、创新意识和处理数据能力以及应用数学意识。
情感、态度与价值观：鼓励学生动手试验，探索、发现规律并解决实际问题，激发学生学习的兴趣。
教学重难点：重点：借助模拟方法来估计某些事件发生的概率难点：设计和操作一些模拟试验，对从试验中得出的数据进行统计、分析；应用随机数解决各种实际问题．教学过程：创设情境、导入新课：我们做这样一个试验：图1，我们往正方形中随机地撒一把芝麻，假设每一粒芝麻落在正方形内的每一个位置的可能性都是相同的（随机撒100粒芝麻，学生统计落在阴影区域A的芝麻数目）。
1.活动：观察落在区域A的芝麻数目与落在正方形内的芝麻数目的比值；计算区域A的面积与正方形的面积的比值；你能发现二者有什么关系？2．假如我们去200粒芝麻、300粒芝麻等你能猜想什么样的结论？3．假设图形换成图2，反复做如上实验，还能得出类似结论吗？动手实践、探究新知：学生动手实践，小组研究，形成结论并展示。
图1 提问1.回顾古典概型的特点和计算公式？答：特点：<1>有限性；<2>等可能性图2 提问2.大家能猜想出来什么样的结论？落在区域内的芝麻数落在正方形内的芝麻数区域的面积正方形的面积提问3.如图, 曲线y=-x2+1与x轴、y轴围成一个区域A, 直线x=1, 直线y=1, x轴、y轴围成一个正方形, 你能否设计一个方法求出区域A的近似面积?（小组讨论，教师指导）教师指导：借助如上结论我们可以计算区域A的面积！抽象概括、深入研究：几何概型：向平面上有限区域（集合）G 内随机地投掷点M , 若点M 落在子区域G 1⊂G 的概率与G 1的面积成正比, 而与G 的形状、位置无关, 即 则称这种模型为几何概型.问题1.几何概型与古典概型有何区别？答：<1>无限性 <2>等可能性问题2.几何概型中的这种正比关系与G 的形状、位置有关系吗？答：无关。
第1部分第三章§3模拟方法——概率的应用
答案：A
2．某人欲从某车站乘车出差，已知该人能乘坐的车均为每 小时一班，且车会在站内停留5 min等待旅客上车．求 此人等待时间不多于10 min即可上车的概率．
答案：A
4．欧阳修《卖油翁》中写到：“(翁)乃取一葫芦置于地， 以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿 ．”可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止． 若铜钱是直径为3 cm的圆，中间有边长为1 cm的正方 形孔，若你随机向铜钱上滴一滴油，求油正好落入孔 中的概率(油滴的大小忽略不计)．
问题1：此概率是古典概型吗？ 提示：不是．因为蚊子与纱窗的接触点有无限多个 ，即试验的结果有无限多个． 问题2：蚊子接触纱窗上每个点的机会均等吗？ 提示：均等．
正比
体积
长度
几何概型与古典概型的比较：
类型 比较
几何概型
古典概型
试验中所有可能出 试验的所有可能结果只
区别 现的结果(基本事件) 有有限个，每次试验只
[例3] 正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为a，在正方体 内随机取一点M.求点M落在三棱锥B′－A′BC内的概率．
[思路点拨] 本题中事件的全部结果对应的区域就是 棱长为a的正方体，而所求概率的事件应满足点M落个草履虫，现从中随机取出2 Ml
第1部分第三章§3模拟 方法——概率的应用
2020/8/15
在大量重复试验的前提下，可以用随机事件发生的频 率来估计其发生的 概率 ，但确定随机事件发生的频率常 常需要人工做大量的重复试验，既费时又费力，并且有时 很难实现．因此我们可以借助于模拟方法来估计某些随机 事件发生的概率.
房间的纱窗破了一个小洞，假设一只蚊子随机飞向 纱窗，估计蚊子从这个小洞中穿过的概率．
水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率为 ( )
4 §3 模拟方法——概率的应用
结果(基本事件)有有限个
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第三章 概 率
3.几何概型的问题解决的关键是构造出事件对应的几何图形， 利用几何图形的几何度量来求随机事件的概率．
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)几何概型中基本事件有无限个，而古典概型中基本事件有有 限个．( ) (2)几何概型中每个基本事件出现的可能性不相等，而古典概型 中每个基本事件出现的可能性相等．( ) (3)几何概型的概率计算与构成事件的区域形状有关．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)×
影部分所示)，当点 P 落在阴影部分时符合
要求．因为正三角形的三个角均为 60°，故
三个扇形的面积之和恰好是半个圆的面积，可得所求概率为
12×π×12 1
＝
63π.故选
D.
2×2× 3
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第三章 概 率
与体积有关的几何概型
一只蜜蜂在一个棱长为 3 的正方体内自由飞行，若蜜蜂
在飞行过程中始终保持与正方体 6 个表面的距离均大于 1，称
G1的面积 P(点 M 落在 G1)＝__G__的__面__积____，
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第三章 概 率
则称这种模型为几何概型． 几何概型中的 G 也可以是__空__间__中__或__直__线__上__的有限区域，相 应的概率是___体__积___之比或__长__度____之比．即几何概型概率的 计算公式． 在几何概型中，事件 A 的概率的计算公式如下： P(A)＝试验的构全成部事结件果A所的构区成域的长区度域（长面度积（或面体积积或）体积）.
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第三章 概 率
解析：选 C.①是．因为在区间[－10，10]上有无限多个点，且 在这个区间上每个数取到的可能性相同． ②是．因为在[－10，10]和[－1，1]上有无限多个点可取，且在 这两个区间上每个数取到的可能性相同． ③不是．因为[－10，10]上的整数有 21 个，不满足无限性． ④是．因为在边长为 4 cm 的正方形和半径为 1 cm 的圆内均有 无数多个点，且每个点被投中的可能性相同．
《3.3随机模拟方法-概率的应用》 课件.PPT
Y
y x2 1
y6
O X
解 : (1)用计算机产生两组0 ~ 1之间的 均匀随机数,a1 RAND, b1 RAND;
(2)进行平移和伸缩变换,a (a 1 0.5) 2 5, b (b1 0.2) 5;
(3)数出落在所求图形内的样本点数m 及试验的总次数n; 10 5m (4)计算S . n
解:(1)用计算产生0~9之间取整数值的随机数;
(2)用0,1,2,3,表示下雨,4,5,6,7,8,9表示不下雨, 这样可以体现下雨的概率为0.4; (3)每3个数作为一组,数出其中恰有2个数在 0,1,2,3中的组数m及试验总次数n; (4)求得概率的近似值m/n.
例2.假设每个人在任何一个月出生是等可能 的,用随机模拟方法,估计在一个有10个人的集 体中至少有两个人的生日在同一个月的概率. 解:(1)用计算产生1~12之间取整数值的随机 数;
随机模拟方法
概率的应用
小知识
用计算机或计算器模拟试验的方法称为 随机模拟方法,也称为蒙特卡罗方法.该方法 是在第二次世界大战期间兴起和发展起来的, 它的奠基人是冯.诺伊曼.
例1.天气预报说,在今后的3天中,每一天下雨 的概率均为0.4.求这3天中恰有2天下雨的概率. 分析:试验的结果有有限个,但每个结果出现 的可能性不同,因此不能用古典概率计算.
小结
了解随机数和均匀随机数的产生,体会用 随机模拟方法近似计算概率及不规则图形的 面积.
2、区域是平面图形的几何概型问题
设有一个正方形网格,其中每个最小正方形的 4 边长都是6.现用直径为2的硬币投掷到此网格 上,求硬币落下后与格线没有公共点的概率. 9 变形1:求硬币落下后与格线有公共点的概率. 变形2: 设有一个正方形网格,现用直径为2的 硬币投掷到此网格上,方格边长要多少才能 使硬币与格线没有公共点的概率大于0.04. 提示: 边长大于2.5
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A
B M C′
AC AC′ AC 2 P( A) = = = = AB AB 2 2AC
答：AM＜AC的概率为 2 . AM＜AC的概率为
2
结论
P ( A) = 构成事件A 构成事件A的区域长度 试验的所有可能出现的结果所构成的区域长度
例3、小明家的晚报在下午5：330之间的任何一个时 间随机地被送到，小明一家人在下午6 00～ 间随机地被送到，小明一家人在下午6：00～7：00之间的 00之间的 任何一个时间随机地开始晚餐. 任何一个时间随机地开始晚餐. （1）你认为晚报在晚餐开始之前被送到和在晚餐开始之后 被送到哪一种可能性更大？ 被送到哪一种可能性更大？ （2）求晚报在晚餐开始之前被送到的概率是多少? 求晚报在晚餐开始之前被送到的概率是多少?
例2．在等腰直角三角形ABC中，在斜边AB上任取一点M， 在等腰直角三角形ABC中 在斜边AB上任取一点M ABC AB上任取一点 求AM小于AC的概率． AM小于AC的概率． 小于AC的概率
C
解：在AB上截取AC′＝AC， AB上截取AC′ AC， 上截取AC 故AM＜AC的概率等于 AM＜AC的概率等于 AM＜AC′的概率． AM＜AC′的概率． 记事件A为“AM小于AC”， 记事件A AM小于AC” 小于AC
（1）试验中的基本事件是什么？ 试验中的基本事件是什么？ 射中靶面上每一点都是一个基本事件, 射中靶面上每一点都是一个基本事件, 这一点可以是靶面直径为122cm 122cm的大圆内 这一点可以是靶面直径为122cm的大圆内 的任意一点. 的任意一点. （2）每个基本事件的发生是等可能的吗？ 每个基本事件的发生是等可能的吗？ （3）符合古典概型的特点吗？ 符合古典概型的特点吗？
问题：如果正方形面积不变，但形状改变， 问题：如果正方形面积不变，但形状改变，所得的 比例发生变化吗？ 比例发生变化吗？ 每个事件发生的概率只与该事件区域的长度（ 每个事件发生的概率只与该事件区域的长度（面积或 体积）有关，与图形的形状无关. 体积）有关，与图形的形状无关.
例题讲解： 例题讲解： 某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机， 例1 某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电 台报时，求他等待的时间不多于10分钟的概率. 台报时，求他等待的时间不多于10分钟的概率. 10分钟的概率
试验1 取一个矩形，在面积为四分之一的部分画上阴影， 试验1：取一个矩形，在面积为四分之一的部分画上阴影， 随机地向矩形中撒一把芝麻（以数100粒为例），假设每一 随机地向矩形中撒一把芝麻（以数100粒为例），假设每一 100粒为例）， 粒芝麻落在正方形内的每一个位置的可能性大小相等. 粒芝麻落在正方形内的每一个位置的可能性大小相等.统计 落在阴影内的芝麻数与落在矩形内的总芝麻数， 落在阴影内的芝麻数与落在矩形内的总芝麻数，观察它们 有怎样的比例关系？ 有怎样的比例关系？ 分析:由于区域A 分析:由于区域A的面积是正方形 面积的1 4,因此大约有1 面积的1／4,因此大约有1／4的芝 因此大约有 麻(25个)落在阴影部分A内 (25个 落在阴影部分A
问题3: 有一杯1升的水，其中漂浮有1个微生物， 问题3: 有一杯1升的水，其中漂浮有1个微生物，用一个 小杯从这杯水中取出0.1升 小杯从这杯水中取出0.1升，求小杯水中含有这个微生物 0.1 的概率. 的概率. （1）试验中的基本事件是什么？ 试验中的基本事件是什么？ 微生物出现的每一个位置都是一个基本事 件,微生物出现位置可以是1升水中的任意 微生物出现位置可以是1 一点. 一点. （2）每个基本事件的发生是等可能的吗？ 每个基本事件的发生是等可能的吗？ （3）符合古典概型的特点吗？ 符合古典概型的特点吗？
A
通过计算机做模拟试验,不难得出下面的结论: 通过计算机做模拟试验,不难得出下面的结论: 区域A 区域A的面积 正方形的面积 一般地,在向几何区域D中随机地投一点,记事件A 一般地,在向几何区域D中随机地投一点,记事件A为“该 点落在其内部一个区域d 则事件A发生的概率为: 点落在其内部一个区域d内”,则事件A发生的概率为: 落在区域A 落在区域A内的芝麻数 落在正方形内的芝麻数
解：设A={等待的时间不多于10分钟}，事件A恰好是打开 A={等待的时间不多于10分钟} 事件A 等待的时间不多于10分钟 收音机的时刻位于[50，60]分钟时间段内， 收音机的时刻位于[50，60]分钟时间段内，因此由几何概 [50 分钟时间段内 型的概率公式得 P（A）=（60-50）/60=1/6 60-50） “等待报时的时间不超过10分钟”的概率为1/6. 等待报时的时间不超过10分钟”的概率为1/6. 10分钟
模拟方法—概率的应用 §3 模拟方法 概率的应用
会用模拟方法估计概率,近似计算不规则图形的面积, 1. 会用模拟方法估计概率,近似计算不规则图形的面积, 求π的近似值; 的近似值; 通过解决具体问题的实例感受, 2. 通过解决具体问题的实例感受,体会模拟方法的基本思 想,学会依据随机试验的试验结果设计合理的模拟方法,通 学会依据随机试验的试验结果设计合理的模拟方法, 过模拟试验加深对随机事件频率的随机性和概率的稳定性 的认识以及用频率去估计概率的方法; 的认识以及用频率去估计概率的方法;
3.通过模拟方法的设计体验数学的重要性和信息技术带 3.通过模拟方法的设计体验数学的重要性和信息技术带 给数学的帮助;通过动手模拟,动脑思考, 给数学的帮助;通过动手模拟,动脑思考,体会做数学题的 乐趣,提高学习兴趣;通过合作试验, 乐趣,提高学习兴趣;通过合作试验,培养学生愿意合作与 交流的团队精神，情感态度与价值观增强.本节课的主要 交流的团队精神，情感态度与价值观增强. 特点是随机试验多，学习时养成勤学严谨的学习习惯. 特点是随机试验多，学习时养成勤学严谨的学习习惯. 重点与难点：几何概型的概念、公式及应用. 重点与难点：几何概型的概念、公式及应用.
≈
区域d的面积(长度或体积) 区域d的面积(长度或体积) P(A)= 区域D的面积(长度或体积) 区域D的面积(长度或体积) 注:利用这个定理可以 求出不规则图形的面 积、体积. 体积.
D d
用模拟方法估计圆周率的值 我国古代数学家祖冲之早在1500多年前就算出圆周率π的值 我国古代数学家祖冲之早在1500多年前就算出圆周率π 1500多年前就算出圆周率 在3.1415926和3.1415927之间，这是我国古代数学家的一大 3.1415926和3.1415927之间， 之间 成就，请问你知道祖冲之是怎样算出π的近似值的吗？ 成就，请问你知道祖冲之是怎样算出π的近似值的吗？
古典概型的本质特征： 古典概型的本质特征： 基本事件的个数有限. 1、基本事件的个数有限. 2、每一个基本事件都是等可能发生的． 每一个基本事件都是等可能发生的． 几何概型的特点： 几何概型的特点： （1）试验的所有可能出现的结果有无限多个, 试验的所有可能出现的结果有无限多个, （2）每个试验结果的发生是等可能的. 每个试验结果的发生是等可能的. 古典概型与几何概型之间的联系: 古典概型与几何概型之间的联系: 将古典概型中的基本事件的有限性推广到无限性， 将古典概型中的基本事件的有限性推广到无限性， 而保留等可能性，就得到几何概型． 而保留等可能性，就得到几何概型．
在概率论发展的早期， 在概率论发展的早期，人们就已经注意到只考虑那种 仅有有限个等可能结果的随机试验是不够的， 仅有有限个等可能结果的随机试验是不够的，还必须考虑 有无限多个试验结果的情况. 有无限多个试验结果的情况.常常会遇到试验的所有可能 结果(即基本事件)为无穷多的情况,且这无穷多个基本事件 结果(即基本事件)为无穷多的情况, 保持这古典概型的“等可能性” 保持这古典概型的“等可能性”.这时用大量试验的方法很 难获得一个符合要求的概率, 难获得一个符合要求的概率,也不能用古典概型的方法求 解.例如一个人到单位的时间可能是8：00至9：00之间的任 例如一个人到单位的时间可能是8 00至 00之间的任 何一个时刻；往一个方格中投一个石子， 何一个时刻；往一个方格中投一个石子，石子可能落在方 格中的任何一点……这些试验可能出现的结果都是无限多 格中的任何一点……这些试验可能出现的结果都是无限多 …… 个.那怎么办呢? 请观察下列问题并思考如何确定其概率? 那怎么办呢? 请观察下列问题并思考如何确定其概率?
上面三个随机试验有什么共同特点？ 上面三个随机试验有什么共同特点？ (1)一次试验的所有可能出现的结果有无限多个； (1)一次试验的所有可能出现的结果有无限多个； 一次试验的所有可能出现的结果有无限多个 每个结果发生的可能性大小相等． (2) 每个结果发生的可能性大小相等．
向 平面上有限区域（ 集合）G内随机的 投掷点 ⊂ M，若点M落在子区域G 1 ≠ G的概念与G 1的面积成 正比。 而与G的形状、位 置无关，即 P（点M落在G 1） = 则称这 种模型为几何概 型 G 1的面积 ， G的面积
知识回顾： 1、 知识回顾：我们已经学习了两种计算事件发生的概率 的方法: 的方法: （1）通过试验方法得到事件发生的频率,来估计概率.(一 通过试验方法得到事件发生的频率,来估计概率.(一 .( 种近似估计,需通过大量重复试验) 种近似估计,需通过大量重复试验) （2）用古典概型的公式来计算概率.(仅适用于基本事件为 用古典概型的公式来计算概率.(仅适用于基本事件为 .( 有限个的情况) 有限个的情况)
问题1 射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环， 问题1：射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环，从外向内 为黑色、白色、蓝色、红色，靶心为黄色, 为黑色、白色、蓝色、红色，靶心为黄色,靶面直径为 122cm，靶心直径为12.2cm 运动员在70m外射击． 12.2cm， 70m外射击 122cm，靶心直径为12.2cm，运动员在70m外射击．假设射箭 都能中靶，且射中靶面内任意一点都是等可能的， 都能中靶，且射中靶面内任意一点都是等可能的，那么射 中黄心的概率有多大？ 中黄心的概率有多大？
问题1 如图所示在边长为a 问题1：如图所示在边长为a的正方 形内有一个不规则的阴影部分， 形内有一个不规则的阴影部分，那 么怎样求这阴影部分的面积呢？ 么怎样求这阴影部分的面积呢？ 问题2:一个人上班的时间可以是8:00 2:一个人上班的时间可以是 问题2:一个人上班的时间可以是8:00 ～9:00之间的任一时刻，那么他在 9:00之间的任一时刻， 之间的任一时刻 8:30之前到达的概率是多大呢 之前到达的概率是多大呢？ 8:30之前到达的概率是多大呢？ 问题3:已知在边长为a 3:已知在边长为 问题3:已知在边长为a的正方形内有 一个半径为0.5的圆.向正方形内随机 一个半径为0.5的圆. 0.5的圆 地投石头， 地投石头，那么石头落在圆内的概率 是多大呢？ 是多大呢？ 带着上述的问题， 带着上述的问题，我们开始学习新的 内容——模拟方法与概率的应用. 内容——模拟方法与概率的应用. ——模拟方法与概率的应用