第3章 费米能级

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立方光学谐振腔
光学腔内产生稳定振荡的条件是：光子在腔 内来回一次的光程应等于所传播的平面波 波长的整数倍(驻波边界条件) 。在K空间， 驻波条件对选取K值的限制为
式中，m，n，q为正整数。每一组(m，n， q)值确定一个k值，给出谐振腔内电磁场的 一个振动模式。同时根据电子能量E与k的 关系：
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又，热平衡条件下 Efc=Efv,具有统一的费米 能级：
这就是联系三个跃迁几率系数的爱因斯坦关系：在相同条件下，受激发射和 受激吸收具有相同的几率。即一个光子碰到共振的高能级电子而引起受激发射的可 能性正好相当于它碰到低能级电子而被吸收的可能性。爱因斯坦关系对任何材料系 统都成立。各材料之间的差别包含在必须. 用量子力学计算的跃迁几率之中。
一个允许的K值决定了光子的一个能量，一 个动量，即决定了光子的一个状态。所以 要得到光子密度，可以先求k～k+△k之间 的球壳体积内的k态数。每个k在k空间中占 据的体积为(π／L)3。因为m，p，q只取正 整数，所以只需要考虑1／8个球壳即可。 同时考虑到光场有TE模和TM模两个偏振状 态，应乘以因子2。因此单位体积内， k～ k+△k间的光子状态数为：
要计算M就必须知道H’，即必须考虑辐射场与一个电子相互作用时体系的哈密顿 量，即系统中的总能量。在电磁场内，必须考虑作用在电子上的非保守力，所以 作用在以速度v运动的电子上的力是洛仑兹力：
这时F与v有关，F不能由标量场的梯度给出。对非保守力系统，用矢量场描述电磁 场最方便。引入电磁场的矢量势A，则这时的哈密顿量可表示为：
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光子密度与能量分布函数
在讨论跃迁速率与爱因斯坦关系之前弄清楚辐射 场中光子密度随能量的分布对分析辐射场与半导 体中电子的相互作用非常重要。在半导体物理学 中，我们利用电子的状态密度和占据几率来得出 电子密度随能量的分布。类似地，现在要推导的 物理量是单位体积、单位频率间隔内的光子数— —光子密度按能量的分布。需要两个物理量来表 示光子密度分布。一个是由电磁场方程组求解边 界条件得到的光子状态密度；另一个是这些状态 被光子占据的几率，即玻色—爱因斯坦分布律。
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含时间的微绕理论
Hop是系统的哈密顿算符，它可以分成与时间无关的部分比和含 时间的微扰部分，Ho的本征函数Φn和能量本征值En满足定态薛 定楞方程。 对于与辐射相作用的系统，为求含时间的薛定楞方程 的解，波函数 ψ(r，t)可以按基态H0的本征函数展开．且展开 系数与时间有关：
ω21对应越迁光子能量。展开系数。a2(t)与电子在t＝0时，吸收能量为E2— E1的光子后由基态(1)激励到状态(2)的几率有关。即a2(t) 模的平方被t除
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半导体异质结激光器中粒子数反转
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光子与载流子的相互作用
光子与半导体内部载流子相互作用表现为 以下几个物理过程：
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半导体内量子跃迁的特点
由于半导体能带中电子(空穴)的态密度很高，因此在光子作用下产生的 跃迁不是在分立的、固定的两个能级之间，而是发生在非局部能级的导带与 价带之间。在分析半导体中的跃迁过程时不仅要考虑电子的跃迁几率，还必 须考虑参与跃迁的电子态密度分布，而这又与掺杂浓度和激励水平有关。因 此，半导体中的跃迁过程具有明显不同于双能级系统的特点： (a)半导体能带中电子的态密度很高，用来产生粒子数反转分布的电子数很大， 因而可能具有很高的量子跃迁速率，获得很大的光增益系数。 (b)半导体中同一能带内的载流子相互作用很强。这种互作用过程的碰撞时间比 辐射过程的时间常数要小，所以发生电子跃迁后留下来的空态能够很快被带 内电子所补充，使能带内仍保持激励态的准平衡分布，可以用准费米能级描 述载流子的分布特性。 (c)半导体中被激发的电子态可以通过扩散或传导在晶体中传播，因此有可能用 比较简单的办法(如p—n结注入)使半导体内很快达到并维持其粒子数分布反 转状态，可以实现很高的能量转换效率。这是半导体激光器的突出优点。 (d)半导体中跃迁发生在占据一定能量范围的大量的导带电子和价带空穴之间， 因此辐射谱线较宽，单色性较差。
在分析光与半导体中电子相互作用的量子力学系统时，要利用与时间 有关的微扰理论。
在进行计算时，把无辐射场时的系统状态作为起始的基本状态函数， 把随时间周期变化的光场的影响作为微扰来处理。如果对微扰影响能 采用收敛的方法，则可以得到实际问题的解。
首先要确定有微扰时描述量子力学系统能量的哈密顿量和描述该系统 信息的波函数，再利用与时间有关的薛定销方程求解，从而得到跃迁 动量矩阵元和跃迁几率。
受激发射场与激励场具有相同的频率、位 相、偏振及方向，属同一模式，相干光。
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受激吸收越迁
电子在能量为hv的光子作用下吸收其能量ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ并由价带中的E1能级跃迁到导带的E2能级， 它是受激发射的逆过程。其越迁速率可写 为：
B12位受激吸收越迁几率系数，具有与B21 相同的量纲。
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爱因斯坦关系
A21，B12，B21都是特征参数，相互之间存 在一定关系。热平衡条件下，总发射速率 与吸收速率相等：
(2) r12 net(st)——净受激发射速率，它是受 激发射速率r21(st)与受激吸收速率r12a(st) 之差。
(5) r st(E21) ——称为受激发射率，它乘以 每一个态的光子数之后就是r12 net(st)
受激发射率
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吸收系数
净受激吸收速率等于：
吸收系数a（E21）等于净吸收速率被光子通量除。 而光子通量等于光子密度分布S（E21）和群速 vg的乘积，而：
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③由于激励光子总有一定能量范围（频谱具有一定 宽度），则越迁速率应正比于单位体积、单位能 量间隔中的光子密度。
④半导体中的电子跃迁不是发生在孤立的两个能级 之间，因此对于某一特定能量的光子可以使半导 体能带中一定能量范围内的电子跃迁。即使对单 色光，若光子与电子互作用时间越短，则按量子 力学测不准原理，跃迁所涉及的能量范围就越宽。 必需考虑单位能量间隔中参与跃迁的电子态密度。
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量子阱激光器的优点
发射波长向短波方向可选择范围更宽； 高的温度稳定性； 光谱变窄； 输出光具有偏振特性； 以较小的电流获得更大的输出。
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应变量子阱激光器
利用量子阱层和垒层晶格常数的差异 在量子阱内部引入应变：
调节波长； 输出光偏振度更高； 以较小的电流
获得更大的输出
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非平衡状态下半导体中的载流子
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ng半导体材料的群折射率，它反映了折射 率的色散关系，一般半导体中的折射率色 散是不能忽略的。 .
如果认为色散等于零，则ng＝nR，上式可 写为：
热平衡状态下，每个状态被光子所占据的 几率服从玻色—爱因斯坦分布
可以得到单位体积内，频率V与v十dv之间 光子数
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按频率的光子密度分布改为以光子能量分 布形式
忽略色散影响，则vg ＝c／n.R，再利用B12＝B21，可得：
受激发射率
吸收系数a(E21)与 受激发射速. 率rst(E21)只相差一个常数因子
自发发射速率与吸收系数的关系
同样的方法可得到：
结合：
表 导体明激了光a(器E)的，理r论21基(s础p。)。rst(. sp)的相互关系。它构成了半
净受激发射速率
为了找到自发发射、受激发射和受微吸收 的关系。这里引入净受激发射速率r21net(st) 的概念，它是r21(st)和 r12a(st)之差，即：
利用 S(E21)的表达式和爱因斯坦关系，上式可改写为：
受激发射率
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几个符号的意义
(1) r21(st) ——在光子作用下电子由导带向 价带跃迁并受激发射相同光子的速率。
自大发量发处射 于复 高合 能系状数态的A2电1[子其而量言纲，为它1／们时各间自]独.对立于发 射能量相同但彼此无关的光子，对应光波之间没 有固定的相位关系偏振方向，且传播方向也不相 同。
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受激光发射跃迁
电子在能量为hv的外界光子作用下由导带 能级E2跃迁到价带能级E1＝E2-hv上，同时 放出能量为hv的光子，这称为受激光发射。 单位体积、单位能量间隔内受激光发射的 跃迁速率为：
获得半导体激光内部参数的途径
通过实验测量得到半导体的吸收谱曲线 a(E) ，用它来换算成自发发射或受激发射 谱。
通过计算导带和价带的态密度分布、量子 跃迁矩阵元和跃迁几率B12或A21，然后代 人方程以确定a(E) ，r21(sp) ，rst(sp)
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半经典理论求解B12
求 要利解用跃量迁子几率力学B1原2的理严来格处理理论物属质量体子系电，动仍力然学用范经围典。的为电简磁单被起理见论，来主描 述光的特征—半经典理论。这种处理方法所得结果不能解释自发发 射．但可以通过爱因斯坦关系将吸收、自发发射和受激发射之间建立 起联系。
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式中， V(r)是束缚电子的晶格周期势，P为动量算符，相应 为 展开上式，对一级微扰计算可以忽略非线性项，经整理后可 得：
对于电流密度和电荷密度均为零的自由电磁场，A与ε罗的关系为
对行波场
kap在为x辐方射向场的的分波量矢，，εω0为为电辐场射强场. 度的的角振频幅率。。ax为单位矢量
为了计算电场强度ε0 ，可以把由坡印廷矢量的实部给出的电磁 通量与光子能量hv联系起来。坡印廷矢量为：
以单位体积内，能量E～E+dE之间的光子 数表示：
单位体积、单位能量间隔内的光子态密度， 即光子按能量的分布密度
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跃迁速率与爱因斯坦关系
受激吸收、受激发射和自发发射过程的跃迁速率以及 联系它们的爱因斯坦关系是各种激光器理论的分析基础。 半导体激光器中影响以上三种越迁速率的因素： ①电子在半导体能带之间的跃迁只能始于电子的占有态而 终止于电子的空态，因此跃迁速率应该正比于与跃迁有关 的初态占据几率和终态被空着的几率。可以认为发生跃迁 的量子系统仍处于热平衡状态，描写电子占据几率的函数 仍可使用导带和价带中各自的准费米能级。 ②迁界跃光几迁场率几作B2率用1，，时自包发发括生发：电射受子跃激态迁吸跃几收迁率跃的A迁几2几1率，率大决B小定1，2半，是导受决体激定受发半到射导外跃体 材料吸收系数和增益的一个基本参量。
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以后就表示从状态(1)跃迁到状态(2)的几率。
上式表示电子从E1态跃迁到E2态的微扰矩阵元，又叫跃迁动量矩阵元。 它是电子的终态(2)波函数的共扼复数ψ 2*与对始态(1)波函数ψ 1进行 H’运算得到结果的标量积。
要计算跃迁几率(即求a2(t))必须知道微扰算符H’的具体形式。如果假定微扰是 简谐函数，则按照费米黄金准则，跃迁几率可以表示为：
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约化态密度
约化态密度表示单位能量间隔中，两个自旋方向之一的电 子参与光跃迁的密度。满足K选择定则
具有约化(折合)态密度的含义，与跃迁速率成正比。Pc 和Pv分别为导带和价带的有效态密度分布函数。基于以上讨 论，就可以直接写出三种跃迁过程的跃迁速率并确定它们之 间的关系。
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自发光发射跃迁
导带内能量为E2的电子向价带内一个能量为E1＝ (E2-hv)状态之间的跃迁过程。单位体积、单位 能级积成量E2的正间占比隔据，内几也的率自与f发ρc和发re能d射成级速正E率比1，空，着r可21的写(s几为P率：)与[1电—子f在v]之能
半导体偏离热力学平衡状态时，由于载流子寿命比它们的驰豫时间长很多， 即导带电子或价带空穴与晶格发生能量交换的几率比起电子与空穴相互作用 的几率大得多，因此可以认为电子与晶格或空穴与晶格相互独立地处于热平 衡状态。这时对电子和空穴可以分别用准费米能级EFc和EFv代替热平衡状态 下的单一费米能级Ef来描述系统。这时可以认为，电子和空定在各自的导带 和价带内仍处于平衡状态，尽管电子和空穴总的分布是不平衡的。这种情况 下的电子和空穴浓度可以用类似前面的方法来计算。不过费米—狄拉克函数 要分别用下面的式子：
上节课回顾：
n0
2
2mn*kT
h2
3/ 2
exp
Ec kT
EF
Nc
exp
Ec
kT
EF
其中Nc为导带的有效状态密度（数量级一般在 1019):
Nc
2
2mn*kT
h2
3/2
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量子尺寸效应
在量子半导体井材料中，原本体材料中准 连续的能带变成了量子化的能级或被子禁 带隔开的一些子能带。另一方面，由于电 子波函数形式的改变，态密度出现不连续 性。