韦达定理培优
《一元二次方程根与系数的关系》专练
基础部分：
1若关于x 的二次方程(m +1)x 2-3x +2=0有两个相等的实数根，则m =______. 2设方程0432
=-+x x 的两根分别为1x ，2x ，则=+2
22
1x x _______,
()
2
21x x -=________,1212
13x x x x ++=_________
3 若方程x 2-5x +m =0的一个根是1，则m =________
4 两根之和等于－3，两根之积等于－7的最简系数的一元二次方程是________
6若关于x 的一元二次方程mx 2+3x -4=0有实数根，则m 的值为______ 7方程k x 2+1=x -x 2无实根，则k
8如果x 2-2(m +1)+m 2+5是一个完全平方公式，则m = 。
9若方程x 2+mx -15=0的两根之差的绝对值是8，则m = 。
10若方程x 2
-x +p =0的两根之比为3，则p = 。
11在实数范围内分解因式：x 2-2x -1=
15方程()031222=+--m x m x 的两个根是互为相反数，则m 的值是 （A ）1±=m （B ）1-=m （C ）1=m （D ）0=m 16若方程2x （kx －4）－x 2
+6=0没有实数根，则k 的最小整数值是 A 、1
B 、2
C 、3
D 、4
17一元二次方程一根比另一根大8，且两根之和为6，那么这个方程是 A 、x 2－6x －7=0 B 、x 2－6x +7=0 C 、x 2+6x －7=0 D 、x 2+6x +7=0 18若方程x 2
+px +q =0的两根之比为3∶2，则p ,q 满足的关系式是 （A ）3p 2=25q （B ）6p 2=25q （C ）25p 2=3q (D) 25p 2=6q
19方程a x 2+b x +c=0（a≠0）的两根之和为m ，两根平方和为n ，则
c bm an ++2
1
21 的值为 A 、0 B 、m 2+n 2 C 、m 2 D 、n 2 20
若一元二次方程的两根
x 1、x 2满足下列关系：
x 1x 2+x 1+x 2+2=0,x 1x 2-2x 1-2x 2+5=0. 则这个一元二次方程是（ ） A 、x 2+x +3=0 B 、x 2-x -3=0 C 、x 2-x +3=0 D 、x 2+x -3=0 综合部分:
1.方程0132=--x x 的两个根是x 1,x 2，求代数式1
11221+++x x
x x 的值。
2.已知21,x x 是一元二次方程01322=-+x x 的两根，求以2121,x x x x ⋅+为根的方程。
3、一元二次方程()02122=++--k x k kx ,当k 为何值时,方程有两个不相等的实数根？
4.已知关于x 的方程0122=-++m x x (1)若1是方程的一个根，求m 的值(2)若方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围
6. 关于x 的方程0)2()(2=--++a c bx x c a 的两根之和为-1，两根之差为1 (1) 这个方程的两个根 (2) 求a :b :c
7. 已知α，β是方程4
1
x 2+(m -1)x +3=0的两根,且(α-β)2=16,m ＜0.求证:m =-1
8. 已知x 1,x 2是关于x 的方程x 2-(2m +3)x +m 2=0的两个实数根, 求证:2
111x x +=1时m =3
9. 一元二次方程8x 2-(m -1)x +m -7=0, ⑴m 为何实数时，方程的两个根互为相反数？⑵ m 为何实数时，方程的一个根为零？⑶ 是否存在实数m ，使方程的两个根互为倒数？
拓展部分:
1已知方程x 2-4x -2m +8=0的两根一个大于1,另一个小于1,求m 的取值范围.
2.一元二次方程(m +1)x 2+2mx +m -3=0有两个不相等的实数根,并且这两个根又不互为相反数,(1)求m 的取值范围;(2)当m 在取值范围内取得最小偶数时,方程的两根为x 1,x 2,求(3x 12)(1-4x 2)的值.
3.关于x 的方程x 2-mx -4
3
m -1=0①与2x 2-(m +6)x -m 2+4=0②,若方程①的两个实数根的平方和等于方程②的一个整数根,求m 的值.
4.若方程m 2x 2-(2m -3)x +1=0的两个实数根的倒数和是s,求s 的取值范围.
5.已知:△ABC 的两边AB,AC 是关于x 的一元二次方程x 2-(2k+3)x +k 2+3k+2=0的两个实数根,第三边BC 的长为5,(1)k 为何值时, △ABC 是以BC 为斜边的直角三角形;(2) k 为何值时, △ABC 是等腰三角形,并求出此时△ABC 的周长.
6.关于x 的方程()22210x k x k --+=有两个实数根x 1，x 2 . （1）求k 的取值范围；
（2）若12121x x x x +=-，求k 的值。
7.关于的一元二次方程x 2＋2x ＋k ＋1＝0的实数解是x 1和x 2. （1）求k 的取值范围；
（2）如果x 1＋x 2－x 1x 2＜－1且k 为整数，求k 的值。
8.已知关于x 的方程222(1)740x a x a a +-+--=的两根为1x 、2x ，且满足
12123320x x x x ---=.求2
42(1)4
a a a
++
⋅
-的值。
9.若一元二次方程式(1)(1)(2)(2)2ax x x x bx x ＋＋＋＋＋＋＝的两根为0、2，则
34a b ＋之值为何？（ ） (A) 2 (B) 5 (C) 7 (D) 8
10.关于x 的方程2(21)10kx k x k +-+-=只有整数根，关于y 的一元二次方程
2
(1)30k y y m --+=的两个实数根为1y 、2y 。
（1）当k 为整数时，确定k 的值。
（2）在（1）的条件下，若m ＝2，求2
2
1
2
y y +的值。
9年级培优：韦达定理在求极值方面的应用
9年级培优：韦达定理在求极值方面的应用【韦达定理】（一元二次方程根与系数的关系）：
【例1】设a，b是方程：
的两个实数根，当m为何值时，
有最小值？最小值为多少？
【解析】根据韦达定理：
【例2】关于x的一元二次方程：
的两根分别是：
【提示】通过韦达定理将代数式用k来表示，再配方求得最小值。
【例3】已知实数a，b满足：
求t的取值范围。
【解析】由已知，可解得：
【例4】已知实数a，b，c满足：a+b+c=2，abc=4.
（1）求max﹛a，b，c﹜的最小值；
（2）求｜a｜+｜b｜+｜c｜的最小值。
【解析】(1)不妨设a≥b≥c，即a= max﹛a，b，c﹜，则a＞0，b＜0，c＜0；
由已知，得：
根据韦达定理，a，b为方程：
故a≥4，∴max﹛a，b，c﹜的最小值为4，此时，a=4，b=c= -1；
（2）｜a｜+｜b｜+｜c｜=a-b-c=2a-2，由（1）可知，a的最小值为4，故｜a｜+｜b｜+｜c｜的最小值为6.
【练习2】已知a，b，c均为实数，且：a+b+c=0，abc=2，求｜a｜+｜b｜+｜c｜
的最小值。
【提示】最小值为4.。
韦达定理经典例题
一元二次方程根与系数的关系培优训练例1．已知1x 、2x 是关于x 的一元二次方程0)1(4422=+-+m x m x 的两个非零实数根，问：1x 与2x 能否同号？若能同号请求出相应的m 的取值范围；若不能同号，请说明理由。
例2．已知1x 、2x 是一元二次方程01442=++-k kx kx 的两个实数根。
（1）是否存在实数k ，使23)2)(2(2121-=--x x x x 成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由。
（2）求使21221-+x x x x 的值为整数的实数k 的整数值。
例3.已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根。
求证：（1）方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个实数根为，若，则 .例4.在等腰三角形ABC 中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，已知a=3，b和c是关于x的方程的两个实数根，求△ABC的周长．例5．在解方程x2+px+q=0时，小张看错了p，解得方程的根为1与－3；小王看错了q，解得方程的根为4与－2。
这个方程的根应该是什么?例6．已知x1,x2是关于x的方程x2+px+q=0的两根，x1+1、x2+1是关于x的方程x2+qx+p=0的两根，求常数p、q的值。
练习：1.先阅读下列第(1)题的解法，再解答第(2)题．(1)若α、β是方程x2-3x-5=0的两个实数根，求α2+2β2-3β的值；解：∵α、β是方程x2-3x-5=0的两个实根，∴α2-3α-5=0，β2-3β-5=0，且α+β=3．∴α2=3α+5，β2=3β+5∴α2+2β2-3β=3α+5+2(3β+5)-3β=3α+3β+15=3(α+β)+15=24．(2)已知x1、x2是方程x2+x-7=0的两个实数根，不解方程求的值．2.已知关于X的一元二次方程ｍ2ｘ2＋2（3－ｍ）ｘ＋1＝0的两实数根为α,β，若ｓ＝1α＋1β，求ｓ的取值范围。
3．如果关于x的实系数一元二次方程x2+2(m+3)x+m2+3=0有两个实数根α、β，那么(α－1)2+(β－1)2的最小值是多少?2－(2a－1)x+4(a－1)=0的两个根是斜边长为5的直角三角形4．已知关于x的方程x的两条直角边的长，求这个直角三角形的面积。
一元二次方程根与系数的关系(韦达定理) 浙教版八年级下册培优讲义(含解析)
第2讲 韦达定理命题点一：利用判别式求值例1若关于x 的方程ax 2＋2(a ＋2)x ＋a ＝0有实数解，则实数a 的取值范围是 a ≥－1 .例2(1)如果关于x 的一元二次方程kx 2－2k ＋1x ＋1＝0有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是( D ) A ．k ＜12 B ．k ＜12且k ≠0 C ．－12≤k ＜12 D ．－12≤k ＜12且k ≠0 (2)若关于x 的一元二次方程12x 2－2mx －4m ＋1＝0有两个相等的实数根，则(m －2)2－2m (m －1)的值为 72． 命题点二：巧用韦达定理妙解代数式例3若m ，n 是方程x 2＋x －1＝0的两个实数根，则m 2＋2m ＋n 的值为 0 .例4(1)已知α，β是方程x 2－x －1＝0的两个实数根，则代数式α2＋α(β2－2)的值为 0 ．(2)若关于x 的一元二次方程2x 2－2x ＋3m －1＝0的两个实数根为x 1，x 2，且x 1x 2>x 1＋x 2－4，则实数m 的取值范围是( D )A ．m >－53B ．m ≤12C ．m ＜－53D ．－53＜m ≤12命题点三：根据根的范围求值例5已知关于x 的方程ax 2＋(a ＋1)x ＋6a ＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2(x 1＜1＜x 2)，则实数a 的取值范围是( C )A ．－1＜a ＜0B ．a ＜－1C ．－18＜a ＜0D ．a ＜－18例6已知关于x 的方程x 2＋2px ＋1＝0的两个实数根一个大于1，另一个小于1，则实数p 的取值范围是 p ＜－1 ．命题点四：解绝对值方程例7设方程||x 2＋ax ＝4只有3个不相等的实数根，求a 的值和相应的3个根．解：方程等价于如下两个方程：x 2＋ax －4＝0，① x 2＋ax ＋4＝0. ②∵原方程只有3个不相等的实根，又∵两个方程不可能有公共根，∴必有且只有方程①或②有重根，Δ1＝a 2＋16≥0，Δ2＝a 2－16≥0.由于Δ1>Δ2，故只可能是Δ2＝0，即a ＝±4.∴当a ＝4时，相应的根为－2，－2±22；∴当a ＝－4时，相应的根为2，2±2 2.例8若关于x 的方程x 2－(m ＋5)||x ＋4＝m 恰好有3个实数解，则实数m ＝ 4 .命题点五：构造方程求值例9已知m 2－2m －1＝0，n 2＋2n －1＝0且mn ≠1，则mn ＋n ＋1n 的值为 3 ． 例10已知mn ≠1，且5m 2＋2 018m ＋9＝0，9n 2＋2 018n ＋5＝0，则m n值为( B ) A.59 B.95 C.6703D ．－402 命题点六：三角形边的问题例11如果方程(x －1)(x 2－2x ＋m )＝0的三个根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数m 的取值范围是( C ) A ．0≤m ≤1 B ．m ≥34 C.34＜m ≤1 D.34≤m ≤1 例12△ABC 的一边长为5，另外两边长恰为方程2x 2－12x ＋m ＝0的两个根，则m 的取值范围是112<m ≤18 ． 命题点七：整数根问题例13已知整数p ，q 满足p ＋q ＝2 010，且关于x 的一元二次方程67x 2＋px ＋q ＝0的两个根均为正整数，则p ＝ －2278 ．例14求满足如下条件的所有k 的值：使关于x 的方程kx 2＋(k ＋1)x ＋(k －1)＝0的根都是整数．解：分k ＝0和k ≠0两种情况讨论．当k ＝0时，所给方程为x －1＝0，有整数根x ＝1.当k ≠0时，所给方程为二次方程．设两个整数根为x 1和x 2，则x 1＋x 2＝－k ＋1k ＝－1－1k ，① x 1·x 2＝k －1k ＝1－1k .② 由①－②，得x 1＋x 2－x 1·x 2＝－2，整理，得(x 1－1)(x 2－1)＝3.∵方程的根都是整数，∴(x 1－1)(x 2－1)＝3＝1×3＝(－1)×(－3)．有x 1－1＝1，x 2－1＝3或x 1－1＝－1，x 2－1＝－3.故x 1＋x 2＝6或x 1＋x 2＝－2，即－1－1k＝6或－1－1k ＝－2，解得k ＝－17或k ＝1. 又∵Δ＝(k ＋1)2－4k (k －1)＝－3k 2＋6k ＋1，当k ＝－17或k ＝1时，都有Δ＞0.∴满足要求的k 值为0，－17，1. 课后练习1．已知关于x 的一元二次方程mx 2－(m ＋2)x ＋m 4＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2，若1x 1＋1x 2＝4m ，则m 的值为( A )A ．2B ．－1C ．2或－1D ．不存在2．已知关于x 的方程x 2－(a 2－2a －15)x ＋a －1＝0的两个根互为相反数，则a 的值是( B )A ．5B ．－3C ．5或－3D ．13．已知四个互不相等的正实数a ，b ，c ，d 满足(a 2012－c 2012)(a 2012－d 2012)＝2 012，(b 2012－c 2012)(b 2012－d 2012)＝2 012，则(ab )2012－(cd )2012的值为( A )A ．－2 012B ．－2 011C ．2 012D ．2 0114．若实数a ，b 满足12a －ab ＋b 2＋2＝0，则实数a 的取值范围是( C ) A ．a ≤－2 B ．a ≥4 C ．a ≤－2或a ≥4 D ．－2≤a ≤45．已知关于x 的方程x 2＋(k －2)x ＋5－k ＝0有两个大于2的实数根，则k 的取值范围是( A )A ．－5＜k ≤－4B ．k >－5C ．k ≤－4D ．－4≤k ＜－26．关于x 的一元二次方程x 2－2kx ＋k 2－k ＝0的两个实数根分别是x 1，x 2，且x 21＋x 22＝4，则x 21－x 1x 2＋x 22的值为 4 ．7．如果m ，n 是两个不相等的实数，且满足m 2－m ＝3，n 2－n ＝3，那么代数式2n 2－mn ＋2m ＋2 015＝ 2026 .8．设a ，b 是一元二次方程x 2－x －1＝0的两个根，则3a 3＋4b ＋2a 2的值为 11 ． 9．若方程||x 2－5x ＝a 有且只有相异的两个实数根，则a 的取值范围是 a ＝0或a >254． 10．若p ＋q ＝198，则方程x 2＋px ＋q ＝0的最大整数解为 200 ．11．关于x 的一元二次方程x 2－mx ＋2m －1＝0的两个实数根分别是x 1，x 2，且x 21＋x 22＝7，求下列代数式的值：(1)(x 1－x 2)2. (2)x 2x 1＋2＋x 1x 2. 解：由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝m ，x 1·x 2＝2m －1.∵x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝m 2－2×(2m －1)＝7， ∴m 2－4m －5＝0.∴m 1＝5，m 2＝－1.当m 1＝5时，Δ＝m 2－4(2m －1)＝25－36＝－9＜0(不合题意，舍去)；当m 2＝－1时，Δ＝1－(－12)＝13>0.∴m ＝－1.∴x 1＋x 2＝－1，x 1x 2＝－3.∴(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝13，x 2x 1＋2＋x 1x 2＝(x 1＋x 2)2x 1·x 2＝－13.12．已知方程x 2＋px ＋q ＝0的两个根是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝－p ，x 1x 2＝q .请根据以上结论，解决下列问题：(1)已知a ，b 满足a 2－15a －5＝0，b 2－15b －5＝0，求a b ＋b a的值． (2)已知a ，b ，c 均为实数，且a ＋b ＋c ＝0，abc ＝16，求正数c 的最小值．解：(1)当a ≠b 时，则a ，b 为方程x 2－15x －5＝0的两个根，∴a ＋b ＝15，ab ＝－5.∴原式＝a 2＋b 2ab ＝(a ＋b )2－2ab ab ＝152－2×(－5)－5＝－47. 当a ＝b 时，原式＝2.综上所述，a b ＋b a的值为－47或2. (2)由条件，得a ＋b ＝－c ，ab ＝16c ，则a ，b 为方程x 2＋cx ＋16c＝0的两个实数根， ∴Δ＝c 2－4×16c≥0，c 3≥64，即c ≥4. 故正数c 的最小值为4.13．(自主招生模拟题)已知x 1，x 2，x 3(x 1＜x 2＜x 3)为关于x 的方程x 3－3x 2＋(a ＋2)x －a ＝0的三个实数根，则4x 1－x 21＋x 22＋x 23的值为( A )A ．5B ．6C ．7 D.814．(自主招生模拟题)设a ，b ，c ，d 为四个不同的实数，若a ，b 为方程x 2－10cx －11d ＝0的根，c ，d 为方程x 2－10ax －11b ＝0的根，则a ＋b ＋c ＋d ＝ 1210 ．15．(自主招生真题)设x 为正数，求分式x (x ＋1)2的最大值． 解：设k ＝x (x ＋1)2. 整理，得kx 2＋(2k －1)x ＋k ＝0.由Δ＝(2k －1)2－4k 2≥0，得k ≤14， 即分式x (x ＋1)2的最大值为14.。
数学培优竞赛新方法(九年级)-第3讲-充满活力的韦达定理
A.不大于 1
B.大于 1
C.小于 1
D.不小于 1
（2011 年《数学周报杯》全国初中数学竞赛题）
7.若 ab 1 ，且有 5a 2 2001a 9 0及9b2 2001b 5 0,则 a 的值为（ ） b
9
A．
5
5
B．
9
C． 2001 5
D ． 2001 9
（全国初中数学联赛题）
1
九年级数学培优竞赛辅导讲座
[充满活力的韦达定理] 学历训练
1．已知方程 x 2 px q 0 的两根均为正整数，且 p q 28 ，那么这个方程两根为
．
（“祖冲之杯”邀请赛）
2．已知整数 p,q 满足 p q 2010, 且关于 x 的一元二次方程 67x 2 px q 0 的两个根均为正整数，
值范围是( )
A． 0 m 1
B． m 3 4
（全国初中数学联赛题）
C． 3 m 1 D． 3 m 1
4
4
思路点拨 设方程的根分别为 1、 x1, x2 ，由三角形三边关系定理、韦达定理建立 m 的不等式组。
例 3.设 x1 、 x2 是方程 2x 2 4mx 2m 2 3m 2 0 的两个实数根，当 m 为何值时， x12 x2 2 有最小值?
九年级数学培优竞赛辅导讲座
第 3 讲 充满活力的韦达定理
知识纵横
一元二次方程的根与系数的关系，通常也称 为韦达定理，这是因为该定理是由 16 世纪法国最杰出 的数学家韦达发现的．
韦达定理简单的形式中包含了丰富的数学内容，应用广泛，主要体现在： 运用韦达定理，求方程中参数的值； 运用韦达定理，求代数式的值； 利用韦达定理并结合根的判别式，讨论根的符号特征 ； 利用韦达定理逆定理，构造一元二次方程辅助解题等． 韦达定理具有对称性，设而不求、整体代入是利用韦达定理解题的基本思路． 韦达定理，充满活力，它与代数、几何中许多知识可有机结合，生成丰富多彩的数学问题，而解 这类问题常用到对称分析、构造等数学思想方法．
中考数学解题方法及提分突破训练韦达定理及应用专题含解析
解题方法及提分突破训练：韦达定理及应用专题韦达;1540年出生于法国的波亚图;早年学习法律;但他对数学有浓厚的兴趣;常利用业余时间钻研数学..韦达是第一个有意识地、系统地使用字母的人;他把符号系统引入代数学对数学的发展发挥了巨大的作用;使人类的认识产生了飞跃..人们为了纪念他在代数学上的功绩;称他为“代数学之父”..历史上流传着一个有关韦达的趣事：有一次;荷兰派到法国的一位使者告诉法国国王;比利时的数学家罗门提出了一个45次的方程向各国数学家挑战..国王于是把这个问题交给韦达;韦达当即得出一正数解;回去后很快又得出了另外的22个正数解他舍弃了另外的22个负数解..消息传开;数学界为之震惊..同时;韦达也回敬了罗门一个问题;罗门一时不得其解;冥思苦想了好多天才把它解出来..韦达研究了方程根与系数的关系;在一元二次方程中就有一个根与系数之间关系的韦达定理..你能利用韦达定理解决下面的问题吗一 真题链接1.2012 兰州若x1、x2是关于一元二次方程ax2+bx+ca≠0的两个根;则方程的两个根x1、x2和系数a 、b 、c 有如下关系：x1+x2=-a b x1 x2=a c把它称为一元二次方程根与系数关系定理．如果设二次函数y=ax2+bx+ca≠0的图象与x 轴的两个交点为Ax1;0;Bx2;0．利用根与系数关系定理可以得到A 、B 连个交点间的距离为： 参考以上定理和结论;解答下列问题：设二次函数y=ax2+bx+ca ＞0的图象与x 轴的两个交点Ax1;0;Bx2;0;抛物线的顶点为C;显然△ABC 为等腰三角形．1当△ABC 为直角三角形时;求b2-4ac 的值； 2当△ABC 为等边三角形时;求b2-4ac 的值． 2.2010 娄底阅读材料：若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实数根为x1;x2;则两根与方程系数之间有如下关系： 根据上述材料填空：已知x1;x2是方程x2+4x+2=0的两个实数根;则3.已知关于x 的方程x2+2a-1x+a2-7a-b+12=0有两个相等的实数根;且满足2a-b=0．①利用根与系数的关系判断这两根的正负情况．②若将y=x2+2a-1x+a2-7a-b+12图象沿对称轴向下移动3个单位;写出顶点坐标和对称轴方程． 4.设一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1;x2;则两根与方程系数之间有如下关系：根据该材料填空：若关于x 的一元二次方程x2+kx+4k2-3=0的两个实数根分别是x1;x2;且满足x1+x2=x1 x2．则k 的值为二 名词释义一元二次方程ax2+bx+c=0a 、b 、c 属于R;a≠0根的判别;△=b2-4ac;不仅用来判定根的性质;而且作为一种解题方法;在代数式变形;解方程组;解不等式;研究函数乃至几何、三角运算中都有非常广泛的应用..求代数式的值 求待定系数 一元二次 韦达定理 应用 构造方程方程的求 解特殊的二元二次方程组 根公式 二次三项式的因式分解 根系关系的三大用处 1计算对称式的值例 若12,x x 是方程2220070x x +-=的两个根;试求下列各式的值：1 2212x x +；21211x x +； 3 12(5)(5)x x --； 4 12||x x -．解：由题意;根据根与系数的关系得：12122,2007x x x x +=-=-1 2222121212()2(2)2(2007)4018x x x x x x +=+-=---=2121212112220072007x x x x x x +-+===- 3 121212(5)(5)5()2520075(2)251972x x x x x x --=-++=---+=- 4 22212121212||()()4(2)4(2007)22008x x x x x x x x -=-=+-=---=说明：利用根与系数的关系求值;要熟练掌握以下等式变形：222121212()2x x x x x x +=+-;12121211x x x x x x ++=;22121212()()4x x x x x x -=+-; 2121212||()4x x x x x x -=+-;2212121212()x x x x x x x x +=+;33312121212()3()x x x x x x x x +=+-+等等．韦达定理体现了整体思想．2构造新方程 理论：以两个数为根的一元二次方程是..例 解方程组 x+y=5 Xy=6解：显然;x;y 是方程z 2-5z+6＝0 ① 的两根由方程①解得 z 1=2;z 2=3 ∴原方程组的解为 x 1=2;y 1=3 x 2=3;y 2=2 显然;此法比代入法要简单得多.. 3定性判断字母系数的取值范围例 一个三角形的两边长是方程的两根;第三边长为2;求k 的取值范围..解：设此三角形的三边长分别为a 、b 、c;且a 、b 为的两根;则c=2由题意知△＝k 2-4×2×2≥0;k ≥4或k ≤-4∴ 为所求..三 典题示例例1 已知关于x 的方程221(1)104x k x k -+++=;根据下列条件;分别求出k 的值． 1 方程两实根的积为5； 2 方程的两实根12,x x 满足12||x x =．分析：1 由韦达定理即可求之；2 有两种可能;一是120x x =>;二是12x x -=;所以要分类讨论．解：1 ∵方程两实根的积为5∴ 222121[(1)]4(1)034,412154k k k k x x k ⎧∆=-+-+≥⎪⎪⇒≥=±⎨⎪=+=⎪⎩所以;当4k =时;方程两实根的积为5． 2 由12||x x =得知：①当10x ≥时;12x x =;所以方程有两相等实数根;故302k ∆=⇒=；②当10x <时;12120101x x x x k k -=⇒+=⇒+=⇒=-;由于302k ∆>⇒>;故1k =-不合题意;舍去．综上可得;32k =时;方程的两实根12,x x 满足12||x x =． 说明：根据一元二次方程两实根满足的条件;求待定字母的值;务必要注意方程有两实根的条件;即所求的字母应满足0∆≥．例2 已知12,x x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根． 1 是否存在实数k ;使12123(2)(2)2x x x x --=-成立若存在;求出k 的值；若不存在;请您说明理由． 2 求使12212x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值． 解：1 假设存在实数k ;使12123(2)(2)2x x x x --=-成立． ∵ 一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根∴ 2400(4)44(1)160k k k k k k ≠⎧⇒<⎨∆=--⋅+=-≥⎩;又12,x x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根∴ 1212114x x k x x k +=⎧⎪⎨+=⎪⎩∴ 222121212121212(2)(2)2()52()9x x x x x x x x x x x x --=+-=+-939425k k k +=-=-⇒=;但0k <．∴不存在实数k ;使12123(2)(2)2x x x x --=-成立．2 ∵ 222121212211212()44224411x x x x x x k x x x x x x k k +++-=-=-=-=-++∴ 要使其值是整数;只需1k +能被4整除;故11,2,4k +=±±±;注意到0k <;要使12212x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值为2,3,5---． 说明：1 存在性问题的题型;通常是先假设存在;然后推导其值;若能求出;则说明存在;否则即不存在．2 本题综合性较强;要学会对41k +为整数的分析方法． 四 巩固强化1. 2011湖北潜江;17;6分若关于x 的一元二次方程x 2—4x ＋k —3＝0的两个实数根为x 1、x 2;且满足x 1＝3x 2;试求出方程的两个实数根及k 的值．2. 2011 南充;18;8分关于的一元二次方程x 2+2x+k+1=0的实数解是x 1和x 2． 1求k 的取值范围；2如果x 1+x 2﹣x 1x 2＜﹣1且k 为整数;求k 的值． 3. 2011 湖南张家界;23;8阅读材料：如果x 1、x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0a≠0的两根;那么; 12b x x a +=-;12cx x a⋅=．这就是着名的韦达定理．现在我们利用韦达定理解决问题： 已知m 与n 是方程2x 2﹣6x+3=0的两根 1填空：m+n= ;m n= ； 2计算nm 11+的值． 4. 2011湖北孝感;22;10分已知关于x 的方程x 2﹣2k ﹣1x +k 2=0有两个实数根x 1;x 2． 1求k 的取值范围；2若|x 1+x 2|=x 1x 2﹣1;求k 的值．5. 2011 玉林;20;6分已知：x 1、x 2是一元二次方程x 2﹣4x+1的两个实数根． 求：x 1+x 22÷2111x x +的值． 6. 2011贵州遵义;24;10分有四张卡片背面完全相同;分别写有数字1、2、－1、－2;把它们背面朝上洗匀后;甲同学抽取一张记下这个数字后放回洗匀;乙同学再从中抽出一张;记下这个数字;用字母b 、c 分别表示甲、乙两同学抽出的数字.. 1用列表法求关于x 的方程02=++c bx x 有实数解的概率； 2求1中方程有两个相等实数解的概率..7.2011广西防城港 20;6分已知：x1、x2是一元二次方程x2－4x ＋1＝0的两个实数根．求x1＋x22÷)11(21x x +的值．8. 2011湖北潜江、天门、仙桃、江汉油田;17;6分若关于x 的一元二次方程0342=-+-k x x的两个实数根为1x 、2x ;且满足213x x ;试求出方程的两个实数根及k 的值.9. 2011江苏苏州;15;3分巳知a 、b 是一元二次方程x2－2x －1=0的两个实数根;则代数式a －ba+b －2+ab 的值等于____．10. 2011江苏镇江常州;12;3分已知关于x 的方程x2+mx ﹣6=0的一个根为2;则m= ;另一个根是 ．11. 2011山东日照;14;4分如图;在以AB 为直径的半圆中;有一个边长为1的内接正方形CDEF;则以AC 和BC 的长为两根的一元二次方程是 如：x2﹣5x+1=0 ．12. 2011 德州;14;4分若x1;x2是方程x2+x ﹣1=0的两个根;则x12+x22= ．13.2011四川眉山;17;3分已知一元二次方程y2﹣3y+1=0的两个实数根分别为y1、y2;则y1﹣1y2﹣1的值为 ﹣1 ．14. 2011四川泸州;16;3分已知关于x 的方程x2+2k+1x+k2－2=0的两实根的平方和等于11;则k 的值为 ．15. 2011四川遂宁;12;4分若x1、x2是方程x2﹣2x ﹣5=0的两根;则x12+x1x2+x22= ．五 参考答案真题链接答案： 1. 2.3.①解：由△=4a2-32-4a2-7a-b+12=0得：a+b-3=0; 又2a-b=0; ∴a=1;b=2．设这个方程的解为x1、x2; 则x1+x2=-2a-3=4＞0; x1 x2=a2-7a-b+12=4＞0; ∴x1、x2均为正根；②∵a=1;b=2;∴y=x2+2a-1x+a2-7a-b+12可化为：y=x2-4x+4=x-22; 将此图象向下移动3个单位;得：y=x-22-3; 顶点2;-3;对称轴为x=2． 4.巩固强化答案1.考点：根与系数的关系.. 专题：方程思想..分析：根据根与系数的关系x 1＋x 2＝—a b;x 1 x 2＝ac 列出等式;再由已知条件“x 1＝3x 2”联立组成三元一次方程组;然后解方程组即可． 解答：解：由根与系数的关系;得 x 1＋x 2＝4 ①; x 1 x 2＝k —3 ②2分又∵x 1＝3x 2 ③; 联立①、③;解方程组得⎩⎨⎧==1321x x 4分∴k ＝x 1·x 2＋3＝3×1＋3＝65分答：方程两根为x 1＝3;x 2＝1；k ＝6．6分点评：此题主要考查了根与系数的关系：x 1＋x 2＝—a b ;x 1 x 2＝ac．解答此题时;一定要弄清楚韦达定理中的a 、b 、c 的意义．2.考点：根与系数的关系；根的判别式；解一元一次不等式组.. 专题：代数综合题..分析：1方程有两个实数根;必须满足△=b 2﹣4ac≥0;从而求出实数k 的取值范围；2先由一元二次方程根与系数的关系;得x 1+x 2=﹣2;x 1x 2=k+1．再代入不等式x 1+x 2﹣x 1x 2＜﹣1;即可求得k 的取值范围;然后根据k 为整数;求出k 的值．解答：解：1∵方程有实数根;∴△=22﹣4k+1≥0; 解得k≤0．故K 的取值范围是k≤0．2根据一元二次方程根与系数的关系;得x 1+x 2=﹣2;x 1x 2=k+1x 1+x 2﹣x 1x 2=﹣2﹣k+1．由已知;得﹣2﹣k+1＜﹣1;解得k ＞﹣2． 又由1k≤0; ∴﹣2＜k≤0． ∵k 为整数;∴k 的值为﹣1和0．点评：本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系．在运用一元二次方程根与系数的关系解题时;一定要注意其前提是此方程的判别式△≥0． 3.考点：根与系数的关系.. 专题：计算题..分析：1直接根据韦达定理计算即可得到m+n 和mn ；2先把变形;用m+n 和mn 表示;然后把1的值整体代入进行计算即可．解答：解：1答案为3;32． 2mn n m n m +=+11==233=2． 点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的根与系数的关系：若方程的两根分别为x 1;x 2;则12b x x a +=-;12cx x a⋅=． 4.考点：根与系数的关系；根的判别式.. 专题：计算题..分析：1方程有两个实数根;可得△=b 2﹣4ac ≥0;代入可解出k 的取值范围；2结合1中k 的取值范围;由题意可知;x 1+x 2=2k ﹣1＜0;去绝对值号结合等式关系;可得出k 的值．解答：解：1由方程有两个实数根;可得 △=b 2﹣4ac =4k ﹣12﹣4k 2≥0; 解得;k ≤12； 2依据题意可得;x 1+x 2=2k ﹣1; 由1可知k ≤12; ∴2k ﹣1＜0; ∴﹣2k ﹣1=k 2﹣1; 解得k 1=1舍去;k 2=﹣3; ∴k 的值是﹣3． 答：1k 的取值范围是k ≤12；2k 的值是﹣3． 点评：本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系;将根与系数的关系与代数式相结合解题是一种经常使用的解题方法；注意k 的取值范围是正确解答的关键． 5.考点：根与系数的关系.. 专题：计算题..分析：先根据一元二次方程根与系数的关系确定出x 1与x 2的两根之积与两根之和的值;再根据2111x x +=2121x x x x +即可解答．解答：解：∵一元二次方程x 2﹣4x+1=0的两个实数根是x 1、x 2;∴x 1+x 2=4;x 1 x 2=1; ∴x 1+x 22÷2111x x + =42÷2121x x x x + =42÷4 =4．点评：本题考查的是一元二次方程根与系数的关系;是一道基础题型．点评此题考查了列表法求概率与一元二次方程根的情况的判定．注意△＞0;有两个不相等的实数根;△=0;有两个相等的实数根;△＜0;没有实数根． 7.考点：一元二次方程的根与系数的关系专题：一元二次方程分析：先根据一元二次方程根与系数的关系;确定出x 1与x 2的两根之积与两根之和的值;再根据21212111x x x x x x +=+即可解答． 解答：∵一元二次方程x 2－4x ＋1＝0的两个实数根是x 1、x 2∴x 1＋x 2＝4;x 1 x 2＝1 ∴x 1＋x 22÷)11(21x x +＝42÷2121x x x x +＝42÷14＝16÷4＝4． 点评：本题考查的是一元二次方程根与系数的关系;是一道基础题型． 8.考点：根与系数的关系．分析：根据根与系数的关系x 1+x 2=－ ;x 1 x 2= 列出等式;再由已知条件“x 1=3x 2”联立组成三元一次方程组;然后解方程组即可．答案：.解:由根与系数的关系得:421=+x x ① ;=⋅21x x 3-k ②又∵213x x =③;联立①、③;解方程组得⎩⎨⎧==1321x x ∴6313321=+⨯=+=x x k 答：方程两根为12=3,=1;=6x x k .点评：此题主要考查了根与系数的关系：x 1+x 2=－ ;x 1 x 2= ．解答此题时;一定要弄清楚韦达定理中的a 、b 、c 的意义．9.考点：根与系数的关系．专题：计算题．分析：欲求a －ba+b －2+ab 的值;先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式;代入数值计算即可．解答：解：∵a 、b 是一元二次方程x2－2x －1=0的两个实数根; ∴ab=－1;a+b=2;∴a －ba+b －2+ab=a －b2－2+ab=0+ab=－1; 故答案为：－1．点评：此题主要考查了根与系数的关系;将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．10．考点：一元二次方程的解；根与系数的关系． 专题：方程思想．分析：根据一元二次方程的解定义;将x =2代入关于x 的方程x 2+mx ﹣6=0;然后解关于m 的一元一次方程；再根据根与系数的关系x 1+x 2=﹣ba解出方程的另一个根．解答：解：根据题意;得4+2m ﹣6=0;即2m ﹣2=0;解得;m =1；由韦达定理;知x 1+x 2=﹣m ；∴2+x 2=﹣1;解得;x 2=﹣3．故答案是：1．﹣3．点评：本题主要考查了一元二次方程的解．根与系数的关系．在利用根与系数的关系x 1+x 2=﹣b a ．x 1 x 2=c a来计算时;要弄清楚a ．b ．c 的意义． 11.考点：根与系数的关系；勾股定理；正方形的性质；圆周角定理；相似三角形的判定与性质..专题：开放型；数形结合..分析：连接AD;BD;OD;由AB 为直径与四边形DCFE 是正方形;即可证得△ACD ∽△DCB;则可求得AC BC=DC 2=1;又由勾股定理求得AB 的值;即可得AC+BC=AB;根据根与系数的关系即可求得答案．注意此题答案不唯一．解答：解：连接AD;BD;OD;∵AB 为直径;∴∠ADB=90°;∵四边形DCFE 是正方形;∴DC ⊥AB;∴∠ACD=∠DCB=90°;∴∠ADC+∠CDB=∠A+∠ADC=90°;∴∠A=∠CDB;∴△ACD ∽△DCB; ∴BCDC DC AC ; 又∵正方形CDEF 的边长为1;∵AC BC=DC 2=1;∵AC+BC=AB;在Rt △OCD 中;OC 2+CD 2=OD 2;∴OD=25; ∴AC+BC=AB=5;以AC 和BC 的长为两根的一元二次方程是x 2﹣5x+1=0．故答案为：此题答案不唯一;如：x 2﹣5x+1=0．点评：此题考查了正方形的性质;相似三角形的判定与性质以及根与系数的关系．此题属于开放题;注意数形结合与方程思想的应用．12.考点：根与系数的关系..专题：计算题..分析：先根据根与系数的关系求出x 1+x 2和x 1 x 2的值;再利用完全平方公式对所求代数式变形;然后把x 1+x 2和x 1 x 2的值整体代入计算即可．解答：解：∵x 1;x 2是方程x 2+x ﹣1=0的两个根;∴x 1+x 2=﹣b a =﹣1;x 1 x 2=c a=﹣1; ∴x 12+x 22=x 1+x 22﹣2x 1 x 2=﹣12﹣2×﹣1=1+2=3．故答案是：3．点评：本题考查了根与系数的关系、完全平方公式．解题的关键是先求出x 1+x 2和x 1 x 2的值．13.考点：根与系数的关系..专题：探究型..分析：先根据一元二次方程y 2﹣3y +1=0的两个实数根分别为y 1、y 2;求出y 1+y 2及y 1 y 2的值;再代入y 1﹣1y 2﹣1进行计算即可．解答：解：∵一元二次方程y 2﹣3y +1=0的两个实数根分别为y 1．y 2;∴y 1+y 2=3;y 1 y 2=1;∴y 1﹣1y 2﹣1;=y 1y 2﹣y 1﹣y 2+1;=y 1y 2﹣y 1+y 2+1;=1﹣3+1;=﹣1．故答案为：﹣1．点评：本题考查的是一元二次方程根与系数的关系及代数式求值;若x 1;x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0a≠0的两根时;x 1+x 2=﹣a b ;x 1x 2=ac ． 14.考点：根与系数的关系；解一元二次方程;因式分解法；根的判别式．分析：由题意设方程x 2+2k +1x +k 2－2=0两根为x 1;x 2;得x 1+x 2=－2k +1;x 1 x 2=k 2－2;然后再根据两实根的平方和等于11;从而解出k 值．解答：解：设方程方程x 2+2k +1x +k 2－2=0设其两根为x 1;x 2;得x 1+x 2=－2k+1;x 1 x 2=k 2－2; △=2k+12－4×k 2－2=4k+9＞0;∴k ＞－49; ∵x 12+x 22=11;∴x 1+x 22－2 x 1 x 2=11;∴2k+12－2k 2－2=11;解得k =1或－3；∵k ＞－49;故答案为k =1． 点评：此题应用一元二次方程根与系数的关系解题;利用两根的和与两根的积表示两根的平方和;把求未知系数的问题转化为解方程的问题．15.考点：根与系数的关系..分析：由于方程x 2﹣2x ﹣5=0的两个实数根为x 1;x 2;所以直接利用根与系数的关系即可得到两根之和和两根之积;然后利用完全平方公式就可以求出x 12+x 1x 2+x 22的值．解答：解：∵x 1、x 2是方程x 2﹣2x ﹣5=0的两根;∴x 1+x 2=2;x 1 x 2=﹣5; x 12+x 1x 2+x 22=x 1+x 22﹣x 1x 2=4+5=9．故答案为9．点评：此题主要考查了根与系数的关系;将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．。
中考数学根与系数关系培优练习含答案
中考数学根与系数关系培优练习阅读与思考根与系数的关系称为韦达定理，其逆定理也成立，是由16世纪的法国数学家韦达所发现的．韦达定 理形式简单而内涵丰富，在数学解题中有着广泛的应用，主要体现在： 1．求方程中字母系数的值或取值范围； 2．求代数式的值；3．结合根的判别式，判断根的符号特征； 4．构造一元二次方程； 5．证明代数等式、不等式．当所要求的或所要证明的代数式中的字母是某个一元二次方程的根时，可先利用根与系数的关系找 到这些字母间的关系，然后再结合已知条件进行求解或求证，这是利用根与系数的关系解题的基本思路，需要注意的是，应用根与系数的关系的前提条件是一元二次方程有两个实数根，所以，应用根与系数的关系解题时，必须满足判别式△≥0．例题与求解【例1】设关于x 的二次方程22(4)(21)10m x m x -+-+=(其中m 为实数)的两个实数根的倒数和为s ，则s 的取值范围是_________.【例2】 如果方程2(1)(2)0x x x m --+=的三个根可以作为一个三角形的三边长，那么，实数m 的取值范围是_________.A ．01m ≤≤B ．34m ≥C ．314m <≤D ．314m ≤≤【例3】已知α，β是方程2780x x -+=的两根，且αβ>．不解方程，求223βα+的值．【例4】 设实数,s t 分别满足22199910,99190s s t t ++=++=并且1st ≠，求41st s t++的值．【例5】（1）若实数,a b 满足258a a +=，258b b +=，求代数式1111b a a b --+--的值； （2）关于,,x y z 的方程组32236x y z axy yz zx ++=⎧⎨++=⎩有实数解(,,)x y z ，求正实数a 的最小值；（3）已知,x y 均为实数，且满足17xy x y ++=，2266x y xy +=，求432234x x y x y xy y ++++的值．【例6】 ,,a b c 为实数，0ac <，且2350a b c ++=，证明一元二次方程20ax bx c ++=有大于35而小于1的根．能力训练A 级1．已知m ，n 为有理数，且方程20x mx n ++=有一个根是52-，那么m n += ． 2．已知关于x 的方程230x x m -+=的一个根是另一个根的2倍，则m 的值为 ． 3．当m = 时，关于x 的方程228(26)210x m m x m -+-+-=的两根互为相反数； 当 时，关于x 的方程22240x mx m -+-=的两根都是正数；当 时，关于m的方程23280x x m ++-=有两个大于2-的根．4．对于一切不小于2的自然数n ．关于x 的一元二次方程22(2)20x n x n -+-=的两根记为,n n a b (2)n ≥则223320072007111(2)(2)(2)(2)(2)(2)a b a b a b +++=------ ．5．设12,x x 是方程222(1)(2)0x k x k -+++=的两个实根，且12(1)(1)8x x ++=，则k 的值为（ ）A ．31-或B ．3-C ．1D ．12k ≥的一切实数 6．设12,x x 是关于x 的一元二次方程22x x n mx ++-=的两个实数根，且1210,30x x x <-<，则 （ ）A ．12m n >⎧⎨>⎩B ．12m n >⎧⎨<⎩C ．12m n <⎧⎨>⎩D ．12m n <⎧⎨<⎩7．设12,x x 是方程220x x k +-=的两个不等的实数根，则22122x x +-是（ ） A ．正数 B ．零 C ．负数 D ．不大于零的数8．如图，菱形ABCD 的边长是5，两对角线交于O 点，且AO ，BO 的长分别是关于x 的方程22(21)30x m x m +-++=的根，那么m 的值是（ ）A ．3-B ．5C ．53-或D ．53-或9．已知关于x 的方程：22(2)04m x m x --=． （1）求证：无论m 取什么实数值，方程总有两个不相等的实数根；（2）若这个方程的两个根是12,x x ，且满足212,x x =+求m 的值及相应的12,x x ．10．已知12,x x 是关于x 的一元二次方程2430kx x +-=的两个不相等的实数根． （1）求k 的取值范围；（2）是否存在这样的实数k ，使12123222x x x x +-=成立？若存在，求k 的值；若不存在，说明理由．11．如图，已知在△ABC 中，∠ACB ＝90°，过C 点作CD ⊥AB 于D ，设AD ＝m ，BD ＝n ，且AC 2：BC 2＝2：1；又关于x 的方程012)1(24122=-+--m x n x 两实数根的差的平方小于192，求整数m 、n 的值．DBAC12．已知,m n 是正整数，关于x 的方程2()0x mnx m n -++=有正整数解，求,m n 的值．B 级1．设1x ，2x 是二次方程032=-+x x 的两根，则3212419x x -+= ．2．已知1ab ≠，且有25199580a a ++=及28199550b b ++=则ab= ． 3．已知关于x 的一元二次方程2610x x k -++=的两个实数根是12,x x ，且221224x x +=，则k = ．4．已知12,x x 是关于x 的一元二次方程22x ax a ++=的两个实数根，则1221(2)(2)x x x x --的最大值为 ．5．如果方程210x px ++=（p ＞0）的两根之差为1，那么p 等于（ ）A ．2B ．4C ．3D ．56．已知关于x 的一元二次方程2210x mx m -+-=的两个实数根分别是12,x x ，且22127x x +=，则212()x x -的值是 ( )A ．1B ．12C ．13D ．257．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，a 、b 是关于x 的方程0772=++-c x x 的两根，那么AB 边上的中线长是 ( ) A ．23 B ．25C ．5D ．2 8．设213a a +=，213b b +=且a b ≠，则代数式2211a b+的值为（ ） A ．5 B ．7 C ．9 D ．119．已知,a b 为整数，a b >，且方程233()40x a b x ab +++=的两个根,αβ满足关系式(1)(1)(1)(1)ααββαβ+++=++．试求所有整数点对(,)a b ．10．若方程2310x x ++=的两根,αβ也是方程620x px q -+=的两根，其中,p q 均为整数，求,p q 的值．11.设,a b 是方程2310x x -+=的两根，c ，d 是方程2420x x -+=的两根，已知a b c dM b c d c d a d a b a b c+++=++++++++．求证：（1）222277a b c d M b c d c d a d a b a b c +++=-++++++++； （2）33334968a b c d M b c d c d a d a b a b c+++=-++++++++．12．设m 是不小于1-的实数，使得关于x 的一元二次方程222(2)310x m x m m +-+-+=有两个不相等实数根12,x x ．（1）若22126x x +=，求m 的值；（2）求22121211mx mx x x +--的最大值．13．已知关于x 的一元二次方程20x cx a ++=的两个整数根恰好比方程20x ax b ++=的两个根都大1，求a b c ++的值．根与系数的关系例1. 152s ≥-且3,5s s ≠-≠ 例2. C 提示: 设三根为121,,x x ,则121x x -< 例 3. 设223,A βα=+223,B αβ=+ 31004A B += ① 85174A B -=- ② 解由① ②联立的 方程组得 1(4038517)8A =-例 4. 0,s ≠故第一个等式可变形为211()99()190,s s ++= 又11,,st t s≠∴是一元二次方程299190x x ++=的两个不同实根, 则1199,19,t t s s+=-=即199,19.st s t s +=-=故41994519st s s st s++-+==- 例5. (1) 当a b =时, 原式=2; 当a b ≠时, 原式=-20, 故原式的值为2或-20 (2) 由方程组得232,326(6),x y a z x y z az +=-=-+易知3,2x y 是一元二次方程22()6(6)0t a z t z az --+-+=的两个实数根,0∴∆≥, 即2223221440z az a -+-≤,由z 为实数知,22'(22)423(144)0,a a ∆=--⨯⨯-≥ 解得23,a ≥故正实数a 的最小值为23(3) xy 与x y +是方程217660m m -+=的两个实根,解得11,6x y xy +=⎧⎨=⎩或6,()xy 11.x y +=⎧⎨=⎩舍原式=()()222222212499x y x y xy x y +-++=．例6 解法一：∵ac ＜0，2=40b ac ∆-＞，∴原方程有两个异号实根，不妨设两个根为x 1，x 2，且x 1<0<x 2，由韦达定理得x 1+ x 2=b a -，12c x x a =，由2350b b c ++=，得2+350b ca a ⨯+⨯=，即()12122350x x x x -++=，解得1213253x x x -=-，假设235x ≤，则11323553x x --≤，由10x ＜推得103--≥不成立，故235x ＞；假设21x ≥，则1132153x x --≥，由10x ＜推得132053x --≥＞，矛盾．故21x ＜，综上所述2315x ＜＜．解法二：设()2f x ax bx c =++，由条件得()1253b ac =-+，得()3333131025555555f a b c a a c c a ⎛⎫-=++=-++=⎪ ⎪⎝⎭， ()()()1132533f a b c a a c ⎡⎤=++=----⎣⎦．若a ＞0，0c ＜，则305f ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭＜，()10f ＞；若a ＜0，0c ＞，则305f ⎛⎫⎪⎪⎝⎭＞，()10f ＜．∴0ac ＜时，总有()3105f f ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.＜，故原方程必有一根介于35与1之间．A 级 1．3 2．2 3．-2 m ＞2 0＜m ≤183提示：12x -＞，22x -＞与124x x +-＞，124x x ⋅＞不等价．4．100134016- 提示：由条件得2n n a b n +=+，22n n a b n ⋅=-，则()()()2221n n a b n n --=-+，则()()211112221n a b n n ⎛⎫=-- ⎪--+⎝⎭．5．C 6．C 7．A 8．A 9．提示：（1）()2=2120m ∆-+＞ （2）2124m x x =-≤0，m =4或m =0． 10．（1）43k -＞且0k ≠ （2）存在k =4 11．由题意得2m n =，224840n m n --+＜．当n =1时，m =2；当n =2时，m =4． 12．设方程两根为1x ，2x ，则1212,.x x mn x x m n +=⎧⎨=+⎩∵m ，n ，1x ，2x 均为正整数，设121x x ≥≥，1m n ≥≥，则()1212x x x x mn m n +-=-+，即有()()()()1211112x x m n --+--=，则()()()()12112,1,0,110,1,2.x x m n ⎧--=⎪⎨--=⎪⎩∴123,2,5,2,2,1,5,2,3,1,2,2.x x m n =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩故5,2,3,1;2; 2.m m m n n n ===⎧⎧⎧⎨⎨⎨===⎩⎩⎩ B 级 1．0 提示：由条件得21130x x +-=，22230x x +-=，∴2113x x =-，2223x x =-，∴()3211111111333343x x x x x x x x =-=-+=-+=-，∴原式=()()121212434319431241944x x x x x x ---+=--++=++．又∵121x x +=-,∴原式=0． 2．853．5 4．638- 提示：()2=240a ∆-+＞，原式=2963632488a ⎛⎫----⎪⎝⎭≤． 5．D 6．C 7．B 8．B 9．()231αβαβ+-=，由根与系数关系得()241a b ab +-=，即()21a b -=，a -b =1．又由0∆≥得()2316a b ab +≥，从而()24a b +≤．由a -b =1，()24a b +≤，得满足条件的整数点对（a ，b ）是（1,0）或（0，-1）． 104447αβ+=，662248p αβαβ-==-，()2244227q αβαβαβ-==-． 11．a +b =3,c +d =4,ab =1,cd =2,a +b +c +d =7,222219a b c d +++=．(1)原式=()()()()7a a b c d a b c d d a b c d d a b c aa b c d a b c b c d +++-+++++-+++=-++++++…+ 77777.b c db c d M c d a d a b a b c+-+-+-=-++++++（2）原式=()()()()2222a a b c d a b c d d a b c d d a b c b c da b c+++-+++++-+++=++++…+()()22227774968M a b c d M --+++=-．12．（1）5172m -=． （2）原式=()()()22212121221212352312122m x x x x x x m m m x x x x ⎡⎤+-+⎛⎫⎣⎦=-+=-- ⎪-++⎝⎭．∵11m -≤≤,∴当m =-1时，22121211mx mx x x +--的最大值为10． 13．设20x ax b ++=的两根分别为,αβ（其中,αβ为整数且αβ≤），则方程20x cx a ++=的两根分别为1,1αβ++，又∵,(1)(1)a a αβαβ+=-++=，两式相加，得2210αβαβ+++=，即(2)(2)3αβ++=，从而2123αβ+=⎧⎨+=⎩，或2321αβ+=-⎧⎨+=-⎩，解得12αβ=-⎧⎨=⎩，或53αβ=-⎧⎨=-⎩，∴012a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，或8156a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴3a b c ++=-或29．。
韦达定理公式介绍及典型例题-
韦达定理公式介绍及典型例题<韦达定理公式介绍及典型例题韦达定理说明了一元n次方程中根和系数之间的关系。
法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理。
这里讲一元二次方程两根之间的关系。
一元二次方程aX²+bX+C=0﹙a≠0﹚中，两根X1,X2有如下关系：X1+X2=-b/a，X1▪X2=c/a【定理内容】一元二次方程ax +bx+c=0 (a≠0 且△=b -4ac>0)中，设两个根为x1，x2 则X1+X2= -b/aX1▪X2=c/a1/X1+1/X2=X1+X2/X1▪X2用韦达定理判断方程的根一元二次方程ax²+bx+c=0 (a≠0)中，若b²-4ac<0 则方程没有实数根若b²-4ac=0 则方程有两个相等的实数根若b²-4ac>0 则方程有两个不相等的实数根【定理拓展】(1)若两根互为相反数，则b=0(2)若两根互为倒数，则a=c(3)若一根为0，则c=0(4)若一根为1，则a+b+c=0(5)若一根为-1，则a-b+c=0(6)若a、c异号，方程一定有两个实数根【例题】已知p+q=198，求方程x +px+q=0的整数根. (94祖冲之杯数学邀请赛试题)解：设方程的两整数根为x1、x2，不妨设x1≤x2.由韦达定理，得x1+x2=-p，x1x2=q.于是x1▪x2-(x1+x2)=p+q=198，即x1▪x2-x1-x2+1=199.∴运用提取公因式法(x1-1)▪(x2-1)=199. 注意到(x1-1)、(x2-1)均为整数，解得x1=2，x2=200;x1=-198，x2=0.。
《一元二次方程根的判别式、根与系数的关系》培优
一元二次方程根的判别式及根与系数的关系【一元二次方程根的判别式】对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的求根公式x =242b b ac a -±-，我们称24b ac -叫根的判别式，通常用字母 “△” 表示，即△=ac b 42-。
（1） 当240b ac ->时，方程 根；（2） 当240b ac -=时，方程 根；（3） 当240b ac -<时，方程 根。
特别提醒：若一元二次方程02=++c bx ax 有实数根，则ac b 42- 0。
在使用根的判别式解决问题时，如果二次项系数中含有字母，别忘了要加上二次项系数不为零这个限制条件.练习：1、已知方程230x x k -+=有两个不相等的实数根，则k 。
2、 关于x 的一元二次方程2210kx x +-=两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 。
3、在下列方程中，有实数根 的是（ ）（A ）2310x x ++= （B ）411x +=- （C ）2230x x ++= （D ）111x x x =-- 4、当m 满足何条件时，方程()01122=-+--m x m mx 有两个不相等实根？有两个相等实根？有实根？5、关于x 的方程()05222=+++-m x m mx 无实根，试解关于x 的方程()()02252=++--m x m x m 。
6、已知关于x 的一元二次方程()241210x m x m +++-=，求证：不论m 为任何实数，方程总有两个不相等的实数根。
【一元二次方程根与系数的关系】如果一元二次方程()200ax bx c a ++=≠存在实数根，由求根公式得x 1=a ac b b 242-+-，x 2=aac b b 242---，因此有两根之和=+21x x _________，两根之积=⋅21x x __________.这就是一元二次方程的根与系数的关系，又称为韦达定理。
2021年九年级数学培优竞赛拔高专题：韦达定理及其应用学案(附训练试题及答案)
九年级数学培优专训第三讲 韦达定理及其应用【趣题引路】韦达，1540年出生于法国的波亚图，早年学习法律，但他对数学有浓厚的兴趣；常利用业余时间钻研数学.韦达是第一个有意识地、系统地使用字母的人，他把符号系统引入代数学对数学的发展发挥了巨大的作用，使人类的认识产生了飞跃。
人们为了纪念他在代数学上的功绩，称他为“代生之父”历史上流传着一个有关韦达的趣事：有一次，荷兰派到法国的一位使者告诉法国国王，比利时的数学家罗门提出了一个45次的方程向各国数学家挑战.国王于是把这个问题交给韦达，韦达当即得出一正数解，回去后很快又得出了另外的22个正数解（他舍弃了另外的22个负数解）.消息传开，数学界为之震惊.同时，韦达也回敬了罗门一个问题，罗门一时不得其解，冥思苦想了好多天才把它解出来。
韦达研究了方程根与系数的关系，在一元二次方程中就有一个根与系数之间关系的韦达定理，你能利用韦达定理解决下面的问题吗？已知：①a 2＋2a －1＝0，②b 4－2b 2－1＝0日1－ab 2≠0.求的值。
解析 由①知211120a a+-= . 即211()210a a+-=，③ 由②知（b 2）2－2b 2－1＝0，④ 由韦达定理，得22112,1b b a a+=⋅=- , ∴()200422220042004211()21ab b b b a a a ⎡⎤++⎛⎫=++=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦62为一元二次方程²－2x －1＝0的两根。
点评 本题的关键是构造一元二次方程x 2－2x －1＝0，利用韦达定理求解，难点是将①变形成③，易错点是忽视条件1－ab ²≠0，而把a ，－b 2看作方程x 2＋2x －1＝0的两根来求解.【知识延伸】 例1 已知关于x 的二次方程2x 2＋ax －2a ＋1＝0的两个实根的平方和为174，求a 的值. 解析 设方程的两实根为x 1，x 2，根据韦达定理，有12122212a x x a x x ⎧+=-⎪⎪⎨-+⎪⋅=⎪⎩ 于是，x 12＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2 ＝221222a a -+⎛⎫--⋅ ⎪⎝⎭＝14(a 2＋8a －4) 依题设，得14 (a 2＋8a －4)＝174,解得a ＝－11或3.注意到x 1，x 2，为方程的两个实数根，则△≥0，但a ＝－11时，△＝（－11）2＋16×（－11）－8＝－63＜0；a ＝3时，△＝32－4×2×（－6＋1）＝49＞0，故a ＝3.点评 韦达定理应用的前提是方程有解，即判别式△＝0，本题容易忽视的就是求出a 的值后，没有考虑a 的值满足△≥0这一前提条件。
初中数学培优：韦达定理与根的判别式
初中数学培优：韦达定理与根的判别式一、利用根的判别式求字母的取值范围【典例】已知方程x2﹣2|x|﹣15＝0，则此方程的所有实数根的和为（）A．0B．﹣2C．2D．8【解答】解：①当x＞0时，方程化为：x2﹣2x﹣15＝0，即（x+3）（x﹣5）＝0，∴x+3＝0，x﹣5＝0，解得x1＝﹣3（舍去），x2＝5，②当x＜0时，方程化为：x2+2x﹣15＝0，即（x﹣3）（x+5）＝0，∴x﹣3＝0，x+5＝0，解得x3＝3（舍去），x4＝﹣5，③当x＝0时，方程不成立．∴此方程的所有实数根的和为：5+（﹣5）＝0．或原方程可化为：（|x|﹣5）（|x|+3）＝0，即|x|﹣5＝0，|x|+3＝0，∴|x|＝5，|x|＝﹣3（舍去），解得x＝5或﹣5，∴此方程的所有实数根的和为：5+（﹣5）＝0．故选：A．【巩固】关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1＝0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）若m为不大于1的整数，且方程的根为整数，求满足条件的m的值及对应的方程的根．【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1＝0有两个不相等的实数根，∴b2﹣4ac＝（2m+1）2﹣4（m2﹣1）＝4m+5＞0，解得：m＞−54，即m的取值范围是m＞−54；（2）由（1）知：当m＞−54时，方程有两个不相等的实数根，∵m为不大于1的整数，∴m＝0，﹣1，1，又m＝0时，方程x2+x﹣1＝0的根不是整数，当m＝﹣1时，则方程为x2﹣x＝0，解得：x1＝1，x2＝0，即当m＝﹣1时，方程的解是x1＝1，x2＝0．当m＝1时，则方程为x2+3x＝0，解得：x1＝﹣3，x2＝0，即当m＝1时，方程的解是x1＝﹣3，x2＝0．二、利用根的判别式求最值【典例】满足（x﹣3）2+（y﹣3）2＝6的所有实数对（x，y）中，的最大值是多少？【解答】解：设y＝kx，则直线y＝kx与圆（x﹣3）2+（y﹣3）2＝6相切时k有最大值和最小值，把y＝kx代入（x﹣3）2+（y﹣3）2＝6，得（1+k2）x2﹣6（k+1）x+12＝0，∴Δ＝36（k+1）2﹣4×12×（1+k2）＝0，即k2﹣6k+1＝0，解此方程得，k＝3+22或3﹣22．所以=k的最大值是3+22．【巩固】阅读下面的材料，并解答问题：分式2r8r2(≥0)的最大值是多少？解：2r8r2=2r4+4r2=2(r2)+4r2=2+4r2，因为x≥0，所以x+2的最小值是2，所以4r2的最大值是2，所以2+4r2的最大值是4，即2r8r2(≥0)的最大值是4．根据上述方法，试求分式22+102+2的最大值是．【解答】解：22+102+2=22+4+62+2=2(2+2)+62+2=2+62+2，∵x2≥0，∴x2+2的最小值为2，∴62+2的最大值为3，∴2+62+2的最大值为5，∴分式22+102+2的最大值是5，故答案为：5．三、韦达定理与根的判别式综合【典例】若关于x的一元二次方程（m﹣4）x2+（2m﹣1）x+1＝0的两个实数根的倒数和为s，则s的取值范围是．【解答】解：根据题意得m﹣4≠0且Δ＝（2m﹣1）2﹣4（m﹣4）≥0，解得m≠4，x1+x2=−2K1K4，x1x2=1K4，s=11+12=1+212=−2m+1，由于m≠4，所以s≠﹣7．故答案为s≠﹣7．【巩固】已知关于x的一元二次方程2x2﹣4mx+2m2+3m﹣2＝0有两个实数根．（1）求实数m的取值范围；（2）设x1，x2是原方程的两个实数根，当m为何值时，x12+x22有最小值？并求这个最小值．【解答】解：（1）∵一元二次方程2x2﹣4mx+2m2+3m﹣2＝0有两个实数根，∴b2﹣4ac＝（﹣4m）2﹣4×2（2m2+3m﹣2）≥0，∴﹣24m+16≥0，∴m≤23，∴实数m的取值范围为≤23；（2）∵x1+x2＝2m，x1•x2=12（2m2+3m﹣2），∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝（2m）2﹣2×12（2m2+3m﹣2）＝2m2﹣3m+2＝2（m−34）2+78，∵m≤23，23＜34，∴当m=23时，x12+x22＝2（23−34）2+78=89，∴当m=23时，x12+x22有最小值，最小值是89．巩固练习1．如果方程（x﹣1）（x2﹣2x+m）＝0的三根可作为一个三角形的三边之长，则实数m的取值范围是（）A．0≤m≤1B．34≤m C．34≤m≤1D．34＜m≤1【解答】解：∵方程（x﹣1）（x2﹣2x+m）＝0有三根，∴x1＝1，x2﹣2x+m＝0有根，方程x2﹣2x+m＝0的Δ＝4﹣4m≥0，得m≤1．又∵原方程有三根，且为三角形的三边和长．∴有x2+x3＞x1＝1，|x2﹣x3|＜x1＝1，而x2+x3＝2＞1已成立；当|x2﹣x3|＜1时，两边平方得：（x2+x3）2﹣4x2x3＜1．即：4﹣4m＜1．解得m＞34．∴34＜m≤1．故选：D．2．关于x的方程（k﹣1）2x2+（2k+1）x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（）A．k＞14且k≠1B．k≥14且k≠1C．k＞14D．k≥14【解答】解：当k﹣1≠0，即k≠1时，此方程为一元二次方程．∵关于x的方程（k﹣1）2x2+（2k+1）x+1＝0有实数根，∴Δ＝（2k+1）2﹣4×（k﹣1）2×1＝12k﹣3≥0，解得k≥14；当k﹣1＝0，即k＝1时，方程为3x+1＝0，显然有解；综上，k的取值范围是k≥14，故选：D．3．已知m，n是方程x2−5x+1＝0的两个根．记S1=11++11+，S2=11+2+11+2，…，S t=11++ 11+（t为正整数）．若S1+S2+…S t＝t2﹣56，则t的值为（）A．7B．8C．9D．10【解答】解：∵m，n是方程x2−5x+1＝0的两个根，∴m+n=5，mn＝1，∴S1=11++11+=1+r1+(1+p(1+p=2+(rp=＝1，S2=11+2+11+2=1+2+1+2(1+2)(1+2)=2+(rp2−2B1+(rp2−2B+(B)2=2+5−21+5−2+1＝1，…，∴S t=11++11+=1，∴S1+S2+…S t＝t2﹣56，1+1+…+1＝t2﹣56，t＝t2﹣56，t 2﹣t ﹣56＝0，（t ﹣8）（t +7）＝0，解得：t ＝8或t ＝﹣7（舍去）．故选：B ．4．若关于x 的一元二次方程12x 2﹣2mx ﹣4m +1＝0有两个相等的实数根，则（m ﹣2）2﹣2m （m ﹣1）的值为．【解答】解：由题意可知：Δ＝4m 2﹣2（1﹣4m ）＝4m 2+8m ﹣2＝0，∴m 2+2m =12，∴（m ﹣2）2﹣2m （m ﹣1）＝﹣m 2﹣2m +4=−12+4=72，故答案为：725．设下列三个一元二次方程：x 2+4ax ﹣4a +3＝0；x 2+（a ﹣1）x +1+a 2＝0；x 2+2ax ﹣2a +3＝0，至少有一个方程有实根，则实数a 的取值范围是．【解答】解：不妨假设三个方程都没有实数根，则有162+16−12＜0(−1)2−4(2+1)＜042−4(3−2p ＜0，解得−32＜a ＜12．故答案为：a ≤−32或a ≥12．6．已知关于x 的一元二次方程（1﹣2k ）x 2﹣2+3x ﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围．【解答】解：∵关于x 的一元二次方程（1﹣2k ）x 2﹣2+3x ﹣1＝0有两个不相等的实数根，∴1−2≠0+3≥0△=(−2+3)2−4(1−2p ×(−1)＞0，解得：﹣3≤k ＜4且k ≠12．故答案为：﹣3≤k ＜4且k ≠12．7．关于x 的一元二次方程x 2+ax ﹣1＝0的两个根分别为m 、n ，则（x +1）2+a （x +1）﹣1＝0的根为．【解答】解：∵关于x 的一元二次方程x 2+ax ﹣1＝0的两个根分别为m 、n ，∴m 2+am ﹣1＝0，n 2+an ﹣1＝0，设x+1＝m或n，则（x+1）2+a（x+1）﹣1＝0，∴（x+1）2+a（x+1）﹣1＝0的根为x＝m﹣1或n﹣1，故答案为：x＝m﹣1或n﹣1．8．已知实数x，y满足（2x+1）2+y2+（y﹣2x）2=13，求x+y的值．【解答】解：由（2x+1）2+y2+（y﹣2x）2=13，得（3x+1）2+3（x﹣y）2＝0，则3+1=0−=0，解得=−13=−13，故x+y=−13−13=−23．9．已知关于x的一元二次方程（a+b）x2+2cx+（b﹣a）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．（1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．【解答】解：（1）△ABC是等腰三角形，理由：当x＝﹣1时，（a+b）﹣2c+（b﹣a）＝0，∴b＝c，∴△ABC是等腰三角形，（2）△ABC是直角三角形，理由：∵方程有两个相等的实数根，∴Δ＝（2c）2﹣4（a+b）（b﹣a）＝0，∴a2+c2＝b2，∴△ABC是直角三角形；（3）∵△ABC是等边三角形，∴a＝b＝c，∴原方程可化为：2ax2+2ax＝0，即：x2+x＝0，∴x（x+1）＝0，∴x1＝0，x2＝﹣1，即：这个一元二次方程的根为x1＝0，x2＝﹣1．10．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，研究发现了此类方程的一般性结论：设其中一根为t，则另一个根为2t，因此ax2+bx+c＝a（x﹣t）（x﹣2t）＝ax2﹣3atx+2t2a，所以有b2−92ac＝0；我们记“K＝b2−92ac”即K＝0时，方程ax2+bx+c＝0为倍根方程；下面我们根据此结论来解决问题：（1）方程①x2﹣x﹣2＝0；方程②x2﹣6x+8＝0这两个方程中，是倍根方程的是（填序号即可）；（2）若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程，求4m2+5mn+n2的值；（3）关于x的一元二次方程x2−B+23n＝0（m≥0）是倍根方程，且点A（m，n）在一次函数y＝3x﹣8的图象上，求此倍根方程的表达式．【解答】解：（1）在方程①x2﹣x﹣2＝0中，K＝（﹣1）2−92×1×（﹣2）＝10≠0；在方程②x2﹣6x+8＝0中，K＝（﹣6）2−92×1×8＝0．∴是倍根方程的是②x2﹣6x+8＝0．故答案为：②．（2）整理（x﹣2）（mx+n）＝0得：mx2+（n﹣2m）x﹣2n＝0，∵（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程，∴K＝（n﹣2m）2−92m•（﹣2n）＝0，∴4m2+5mn+n2＝0．（3）∵2−B+23=0是倍根方程，∴=(−p2−92×23=0，整理得：m＝3n．∵A（m，n）在一次函数y＝3x﹣8的图象上，∴n＝3m﹣8，∴n＝1，m＝3，∴此方程的表达式为2−3+23=0．11．设m是不小于﹣1的实数，关于x的方程x2+2（m﹣2）x+m2﹣3m+3＝0有两个不相等的实数根x1、x2，（1）若x12+x22＝6，求m值；（2）求B121−1+B221−2的最大值．【解答】解：∵方程有两个不相等的实数根，∴Δ＝b2﹣4ac＝4（m﹣2）2﹣4（m2﹣3m+3）＝﹣4m+4＞0，∴m＜1，结合题意知：﹣1≤m ＜1．（1）∵x 12+x 22＝（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2＝4（m ﹣2）2﹣2（m 2﹣3m +3）＝2m 2﹣10m +10＝6∴=∵﹣1≤m ＜1，∴=（2）B 121−1+B 221−2=n 12+22−12(1+2)](1−1)(1−2)=o23−82+8K2)2−=2oK1)(2−3r1)oK1)=2(2−3+1)=2(−32)2−52（﹣1≤m ＜1）．∵对称轴m =32，2＞0，∴当m ＝﹣1时，式子取最大值为10．12．如果方程x 2+px +q ＝0的两个根是x 1，x 2，那么x 1+x 2＝﹣p ，x 1•x 2＝q ，请根据以上结论，解决下列问题：（1）若p ＝﹣4，q ＝3，求方程x 2+px +q ＝0的两根．（2）已知实数a 、b 满足a 2﹣15a ﹣5＝0，b 2﹣15b ﹣5＝0，求+的值；（3）已知关于x 的方程x 2+mx +n ＝0，（n ≠0），求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两根的倒数．【解答】解：（1）当p ＝﹣4，q ＝3，则方程为x 2﹣4x +3＝0，解得：x 1＝3，x 2＝1．（2）∵a 、b 满足a 2﹣15a ﹣5＝0，b 2﹣15b ﹣5＝0，∴a 、b 是x 2﹣15x ﹣5＝0的解，当a ≠b 时，a +b ＝15，ab ＝﹣5，+=2+2B=(rp 2−2BB=152−2×(−5)−5=−47；当a ＝b 时，原式＝2．（3）设方程x 2+mx +n ＝0，（n ≠0），的两个根分别是x 1，x 2，则11+12=1+212=−，11•12=112=1，则方程x 2+x +1=0的两个根分别是已知方程两根的倒数．。