【精准解析】黑龙江省哈尔滨第三中学2020届高三第五次模拟考试数学(理)试题
哈尔滨市第三中学2020届高三数学综合题三理含解析
即OE与FD1所成的角的余弦值为 。
10. 若函数 在其定义域的一个子区间 内不是单调函数，则实数 的取值范围是（ ）
A. B。 C。 D.
【答案】D
【解析】
因 ，故由题设 在区间 内有零点，即 ，所以 且 ，即 ，应选答案D．
11。 已知两正数 ， ，满足 ，则 的最小值为（ ）
【详解】解：∵ ，
复数 的虚部是 ．
故选:C
【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础的计算题。
2. 已知 ，函数 ,若 满足关于 的方程 ，则下列选项的命题中为假命题的是
A. B。
C. D。
【答案】C
【解析】
试题分析:因为, 满足关于 的方程 ，所以， ，使 取得最小值，因此， 是假命题，选C．
15。 中, ， ， ， 为 边上一动点，则 的最小值为______.
【答案】
【解析】
【分析】
根据三边长得出直角三角形,以 作为基底,表示出 ，即可求得模长，利用函数单调性求出最值。
【详解】 中， ， , ， ，
根据勾股定理
为 边上一动点，设 ,
，
，
则
，根据二次函数性质，当 时，取得最小值，
最小值为 。
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案填在答题卡相应的位置上.）
13。 展开式中 的系数是______。（用数字作答）
【答案】
【解析】
【分析】
利用二项式定理得到 展开式通项,进而得到 展开式通项，令 幂指数等于 可求得 ，代入求得结果。
【详解】 展开式通项公式为 ,
展开式通项公式为 ,
考点:方程的根，二次函数的图象和性质，全称命题、存在性命题．
黑龙江省哈三中2020届高三数学第五次模拟考试试题理【含答案】
式 (x 1) f (x) 0 的解集为
．
三、解答题：共 70 分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．第 17～21 题为
必考题，每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共 60 分． 17．(本小题满分 12 分)
ABC 的内角 A, B,C 的对边分别
形．现将 ADE 沿 AD 折起，连接 EB ， EC 得如图②的几何体．
D C
E
M
E
D
C
B A
图①
B A
图②
（1）若点 M 是 ED 的中点，求证： CM //平面 ABE ； （2）若 EC 3 ，在棱 EB 上是否存在点 F ，使得二面角 E AD F 的余弦值为
22
EF
？若存在，求 的值；若不存在，请说明理由．
则 2sin( A B) sin A 2sin B cos A ，则
2sin Acos B sin A ,在 ABC 中, sin A 0 ,所以 cos B 1 ,…………………………4 分 2
则 B ……………………………………………………………………………..………6 分 3
（2）由余弦定理得 b2 a2 c2 2ac cos B ,
坐标方程；
（2） 若 ，设直线 l 与曲线 C 交于不同的两点 A, B ，点 P(1,1) ，求 1 1 的
3
PA PB
值．
23．[选修 4-5：不等式选讲] (本小题满分 10 分)
已知函数 f (x) x a x b，(a 0,b 0) ． （1） 当 a 1,b 3 时，求不等式 f (x) 6 的解集； （2） 若 f (x) 的最小值为 2 ，求证： 1 1 1．
2024届黑龙江省哈尔滨市第三中学校高三下学期第五次模拟预测物理试题(含答案)
2024年哈三中高三学年第五次模拟考试物理试卷一、选择题（本题共10小题，共46分。
在每小题给出的四个选项中，1-7小题只有一个选项正确，每小题4分；8-10小题有多个选项正确，全部选对的得6分，选不全的得3分，有选错或不答的不得分）1.2025年第九届亚洲冬季运动会将在哈尔滨举行，短道速滑是我国传统优势项目，有关短道速滑的相关表述正确的是（）A.赛道一圈总长度为111.12m ，长度是国际单位制中的基本单位B.短道速滑男子500m 的世界记录为39.505s ，秒是国际单位制中的基本单位C.短道速滑运动员最快滑行速度可以达到近14m/s ，米每秒是国际单位制中的导出单位D.短道速滑运动员蹬地的爆发力能够达到4000N ，力是国际单位制中的基本物理量2.19世纪末至20世纪初是近代物理学发展的黄金时代。
杰出物理学家们的研究成果直接推动了“近代物理学”的建立和发展。
以下关于物理知识的描述哪一个是正确的（）A.贝克勒尔发现了天然放射现象，图1为产生的三种射线在电场中偏转情况，其中③线代表的射线穿透能力最强B.一群处于能级的氢原子向低能级跃迁，最多可以放出3种不同频率的光子C.图3为康普顿效应的示意图，入射光子与静止的电子发生碰撞，碰后散射光的波长变短D.图4展示了粒子散射实验的现象，据此现象，卢瑟福发现了质子和中子3.如图所示为一个单摆在地面上做受迫振动的共振曲线（振幅与驱动力频率的关系），则下列说法正确的是（）3n =αA fA.此单摆的固有周期约为0.5sB.若摆长变小，共振曲线的峰将左移C.若保持摆长不变，将该单摆移至月球表面上做受迫振动，则共振曲线的峰将左移D.此单摆的摆长约为3m4.LC 振荡电路如图所示，已知、，开关S 断开时电容器极板间有一带负电油滴恰好处于静止状态，时将开关S 闭合，已知油滴始终没有碰到两板，则（）A.时，电容器上极板带负电荷B.在的时间内电路电流减小C.在的时间内磁场能不断增大D.在的时间内电场能不断增大5.一列横波在某介质中沿轴传播，如图甲所示为时的波形图，如图乙所示为处的质点的振动图像，已知图甲中、、两质点的平衡位置分别位于、、，则下列说法正确的是（）A.该波应沿轴负方向传播B.时质点的加速度为零C.在时刻，质点的位移为20cmD.从时刻到时刻，质点通过的路程为60cm2C F =2L H =0t =0s t =0s π-s 2s ππ-3s 4s ππ-x 1s t =4m x =N L M N 2m L x =3m M x =4m N x =x 1.5s t =L 0.5s t =L 0s t = 1.5s t =M6.太空望远镜观测到银河系中某行星赤道上空存在环状物质带，环状物质带绕行星中心运动的角速度与到行星中心的距离的关系如下图所示（图中两坐标点对应的物理量均为已知值）。
【精准解析】黑龙江省哈尔滨市第三中学2020届高三第五次模拟考试数学(理)试题
所以 log2 2 log2 3 ，即1 log2 3 ，所以 a 1，
因为函数 y log1 x 在 (0, ) 上单调递减，且 2 1， 3
所以 log1 2 log1 1 0 ，即 b 0 ，
3
3
因为函数 y 0.4x 在 R 上单调递减，且 2 0 ，
所以 0 0.42 0.40 1 ，即 0 c 1，
3
B.
2
C. 3
D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】
复数的乘法运算，根据纯虚数的定义，即可得出结果.
【详解】 z1z2 (a 3i)(2 i) (2a 3) (a 6)i 是纯虚数， 所以 (2a 3) 0 且 a 6 0 ，可得 a 3
2
故选：A 【点睛】本题考查复数的乘法运算、纯虚数的定义，考查了数学运算能力和理解辨析能力， 属于容易题目.
【详解】解：公比
q
3 ，S3
a1
a2
a3
1 3
，所以 a5
a6
a7
a1q4
a2q4
a3q4
S3q4 ，
即
a5
a6
a7
1 3
34
27 .
故选:C.
【点睛】本题考查了等比数列的通项公式，属于基础题.
8.某几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都是上底为 1，下底为 2，高为 1 的直角
梯形，俯视图为四分之一个圆，则该几何体的体积为（ ）
∴ A B 1, 2,3 ，∴集合 A B 的子集个数为 8 个，
故选：D.
【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法，交集的运算以及子集的个数，属于基础题.
3.已知向量
a
2,
黑龙江省哈尔滨市第三中学校2023届高三三模数学试题(高频考点版)
一、单选题二、多选题1. 《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”，在长方体中，鳖臑的个数为（ ）A．B．C．D．2. 现从3名男医生和4名女医生中抽取两人加入“援鄂医疗队”，用表示事件“抽到的两名医生性别相同”，表示事件“抽到的两名医生都是女医生”，则A．B．C．D．3. 已知复数，若的共轭复数为，则（ ）A．B ．5C．D ．104. 已知集合,，则A．B．C．D．5. 设函数，不等式对恒成立，则实数a 的最大值为（ ）A．B ．1C．D ．06. 某新晋网红一线城市鹅城人口模型近似为，其中表示2020年的人口数量，则鹅城人口数量达到320000的年份大约是（ ）(，，)A ．2040年B ．2045年C ．2030年D ．2050年7. 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如将一定数目的点在等距离的排列下可以形成一个等边三角形，这样的数被称为三角形数．如图所示，三角形数，，，……在这个自然数中三角形数的个数是（）A．B．C．D．8.（ ）A．B．C．D．9. 1990年9月，Craig F·Whitaker 给《Parade 》杂志“Ask Marilyn”专栏提了一个问题（著名的蒙提霍尔问题，也称三门问题），在蒙提霍尔游戏节目中，事先在三扇关着的门背后放置好奖品，然后让游戏参与者在三扇关着的门中选择一扇门并赢得所选门后的奖品，游戏参与者知道其中一扇门背后是豪车，其余两扇门背后是山羊，作为游戏参与者当然希望选中并赢得豪车，主持人知道豪车在哪扇门后面.假定你初次选择的是1号门，接着主持人会从号门中打开一道后面是山羊的门.则以下说法正确的是（ ）A．你获得豪车的概率为B ．主持人打开3号门的概率为C ．在主持人打开3号门的条件下，2号门有豪车的概率为D ．在主持人打开3号门的条件下，若主持人询问你是否改选号码，则改选2号门比保持原选择获得豪车的概率更大10. 如图，在边长为1的正方体中，是的中点，是线段上的一点，则下列说法正确的是（ ）黑龙江省哈尔滨市第三中学校2023届高三三模数学试题(高频考点版)黑龙江省哈尔滨市第三中学校2023届高三三模数学试题(高频考点版)三、填空题四、解答题A．当点与点重合时，直线平面B．当点移动时，点到平面的距离为定值C．当点与点重合时，平面与平面夹角的正弦值为D．当点为线段中点时，平面截正方体所得截面面积为11. 已知的面积是1，点分别是的中点，点是平面内一动点，则下列结论正确的是（ ）A．若是线段的中点，则B ．若，则的面积是C ．若点满足，则点的轨迹是一条直线D．若在直线上，则最小值是12. 设函数，已知在，有且仅有4个零点．则下列说法正确的是（ ）A ．在必有有2个极大值点B ．在有且仅有2个极小值点C ．在上单调递增D ．的取值范围是13. 函数的单调递减区间为__________．14. 已知向量，满足，，，则与的夹角为______．15. 已知单位向量，，且，则___________.16. 如图，已知椭圆的短轴长为，焦点与双曲线的焦点重合.点，斜率为的直线与椭圆交于两点.(1)求常数的取值范围，并求椭圆的方程.(2)(本题可以使用解析几何的方法，也可以利用下面材料所给的结论进行解答)极点与极线是法国数学家吉拉德·迪沙格于1639年在射影几何学的奠基之作《圆锥曲线论稿》中正式阐述的.对于椭圆，极点（不是原点）对应的极线为，且若极点在轴上，则过点作椭圆的割线交于点，则对于上任意一点，均有（当斜率均存在时）.已知点是直线上的一点，且点的横坐标为2.连接交轴于点.连接分别交椭圆于两点.①设直线、分别交轴于点、点，证明：点为、的中点；②证明直线：恒过定点，并求出定点的坐标.17.已知数列的前项和，记.(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和.18. 联合国新闻部将我国农历二十四节气中的“谷雨”定为联合国中文日，以纪念“中华文字始祖”仓颉的贡献.某大学拟在2024年的联合国中文日举行中文知识竞赛决赛，决赛分为必答､抢答两个环节依次进行.必答环节，共2道题，答对分别记30分､40分，否则记0分；抢答环节，包括多道题，设定比赛中每道题必须进行抢答，抢到并答对者得15分，抢到后未答对，对方得15分；两个环节总分先达到或超过100分者获胜，比赛结束.已知甲､乙两人参加决赛，且在必答环节，甲答对两道题的概率分别，乙答对两道题的概率分别为，在抢答环节，任意一题甲､乙两人抢到的概率都为，甲答对任意一题的概率为，乙答对任意一题的概率为，假定甲､乙两人在各环节､各道题中答题相互独立.(1)在必答环节中，求甲､乙两人得分之和大于100分的概率；(2)在抢答环节中，求任意一题甲获得15分的概率；(3)若在必答环节甲得分为70分，乙得分为40分，设抢答环节经过X道题抢答后比赛结束，求随机变量X的分布列及数学期望.19. “双十一”期间，某淘宝店主对其商品的上架时间（分钟）和销售量（件）的关系作了统计，得到如下数据：上架时间x i94100114120124127133136138142147销售量y i335352376393400404418420422436444经计算：，，，.(1)从满足的数据中任取两个，求所得两个数据都满足的概率；(2)该店主通过作散点图，发现上架时间与销售量线性相关，请你帮助店主求出上架时间与销售量的线性回归方程（保留三位小数），并预测商品上架1000分钟时的销售量.20. 将2024表示成5个正整数，，，，之和，得到方程①，称五元有序数组为方程①的解，对于上述的五元有序数组，当时，若，则称是密集的一组解.(1)方程①是否存在一组解，使得等于同一常数?若存在，请求出该常数；若不存在，请说明理由；(2)方程①的解中共有多少组是密集的?(3)记，问是否存在最小值?若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由.21. 如图所示，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点．(1)若平面ABCD⊥平面DCEF，求直线MN与平面DCEF所成角的正弦值；(2)用反证法证明：直线ME与BN是两条异面直线．。
2020届黑龙江省哈三中高三第五次模拟考试理科数学试题
2020届黑龙江省哈三中高三第五次模拟考试理科数学试题考试说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚．2．选择题必须使用2B 铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，字迹清楚．3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效．4．保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．第I 卷 （选择题，共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1． 已知复数i i z i a z (2,321+=-=为虚数单位)，若21z z 是纯虚数，则实数=aA ．23-B ．23C ．3-D ．3 2． 已知集合2{|230,}A x x x x Z =--≤∈，集合{|0}B x x =>，则集合A B I 的子集个数为A ．2B ．4C ．6D ．8 3． 已知向量(2,3)=-a ，b (3,)x =，若a //b ，则实数=xA ．2-B ．2C ．29-D ．294． 设2log 3a =，13log 2b =，20.4c =，则,,a b c 的大小关系是A ．a b c >>B ．b a c >>C ．a c b >>D ．c a b >> 5． 将函数x y 2sin =的图象向左平移6π个单位长度后得到曲线1C ，再将1C 上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到曲线2C ，则2C 的解析式为 A ．)3sin(π+=x y B ．)6sin(π+=x y C ．)3sin(π-=x y D ．)34sin(π+=x y6． 远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，就是现在我们熟悉的“进位制”，右图所示的是一位母 亲记录的孩子自出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示可知，孩子已经出生的天 数是A ．27B ．42C ．55D ．210 7． 设公比为3的等比数列}{n a 前n 项和为n S ，且313S =，则567a a a ++= A ．3 B ．9 C ．27 D ．81 8． 某几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都是上底为1，下底为2，高为1的直角梯形，俯视图为四 分之一个圆，则该几何体的体积为A ．3π B ．23πC ．πD ．43π9．已知函数())4f x x π=+，1()'()f x f x =，21()'()f x f x =，32()'()f x f x =，…，依此类推，2020()4f π=AB． C ．0 D．10．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E 是棱11B C 的中点，则平面1AD E 截该正方体所得的截面面积为A． B． C ．4 D ．9211．给出下列命题，其中真命题为① 用数学归纳法证明不等式111112...(2,)23422n n n n N --++++>≥∈时，当1(2,)n k k k N =+≥∈时，不等式左边应在(2,)n k k k N =≥∈的基础上加上12k ；② 若命题p ：2000,220x R x x ∃∈-+<，则2:,220p x R x x ⌝∀∈-+≥；③ 若0,0,4a b a b >>+=，则112ab ≥； ④ 随机变量2~(,)X N μσ，若(2)(0)P X P X >=<，则1μ=． A ．①②④ B ．①④ C ．②④ D ．②③12．已知R b a ∈,，则222)21()(b a b a --+-的最小值为正视图 侧视图A ．42B ．81C ．22D ．41第Ⅱ卷 （非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的离心率为2，则双曲线的渐近线方程为 ．14．已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，2,3211=+=++a n a a n n ，则11S = ．15．2020年初，我国突发新冠肺炎疫情．面对突发灾难，举国上下一心，继解放军医疗队于除夕夜飞抵武汉，各省医疗队也陆续增援，纷纷投身疫情防控与病人救治之中．为分担“逆行者”的后顾之忧，某大学生志愿者团队开展“爱心辅导”活动，为抗疫前线工作者子女在线辅导功课．现安排甲、乙、丙三名志愿者为某学生辅导数学、物理、化学、生物四门学科，每名志愿者至少辅导一门学科，每门学科由一名志愿者辅导，共有 种辅导方案．16．设'()f x 是奇函数()()f x x R ∈的导数，当0x >时，()'()ln 0f x f x x x +⋅<，则不等式(1)()0x f x ->的解集为 ．三、解答题：共70分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17．(本小题满分12分)ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,．满足A b a c cos 22+=．（1）求B ；（2）若3,5==+b c a ，求ABC ∆的面积．18．(本小题满分12分)为抑制房价过快上涨和过度炒作，各地政府响应中央号召，因地制宜出台了系列房价调控政策．某市拟定出台“房产限购的年龄政策”．为了解人们对“房岁的人群产限购年龄政策”的态度，在年龄为2060:中随机调查100人，调查数据的频率分布直方图和支持“房产限购”的人数与年龄的统计结果如图所示：（1）由以上统计数据填22⨯列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为以44岁为分界点的不同人群对“房产限购年龄政策”的支持度有差异？（2）若以44岁为分界点，从不支持“房产限购”的人中按分层抽样的方法抽取8人参加政策听证会，现从这8人中随机抽2人．记抽到44岁以上的人数为X ，求随机变量X 的分布列及数学期望．参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++．19．(本小题满分12分)如图①，在平面五边形ABCDE 中，ABCD 是梯形，AD //BC ，AD =BC 2=22，3=AB ，90∠=︒ABC ，ADE ∆是等边三角形．现将ADE ∆沿AD 折起，连接EB ，EC 得如图②的几何体．（1）若点M 是ED 的中点，求证：CM //平面ABE ；（2）若3=EC ，在棱EB 上是否存在点F ，使得二面角F AD E --的余弦值为322？若存在，求EBEF的值；若不存在，请说明理由．20．(本小题满分12分)已知抛物线:C 22(0)y px p =>的焦点F 是椭圆13422=+y x 的一个焦点． （1） 求抛物线C 的方程；（2） 设,,P M N 为抛物线C 上的不同三点，点(1,2)P ，且PM PN ⊥．求证：直线MN 过定点．21．(本小题满分12分)已知函数()2ln f x x ax =-()a R ∈．（1） 当1a =时，求证：当1x ≥时，()1f x ≤-； （2） 若函数()f x 有两个零点，求a 的值．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22．[选修4-4：坐标系与参数方程] (本小题满分10分)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=ααsin 1cos 1t y t x （t 为参数，0απ≤<），以O 为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为θθρcos 8)2cos 1(=-．（1） 求曲线C 的直角坐标方程及直线l 在x 轴正半轴及y 轴正半轴截距相等时的直角坐标方程； （2） 若3πα=，设直线l 与曲线C 交于不同的两点B A ,，点)1,1(P ，求PB PA 11-的值．23．[选修4-5：不等式选讲] (本小题满分10分)已知函数)0,0()(>>++-=b a b x a x x f ，． （1） 当3,1==b a 时，求不等式6)(<x f 的解集； （2） 若)(x f 的最小值为2，求证：11111≥+++b a ．数学试卷（理工类）答案及评分标准一、选择题：二、填空题：13.y = 14.77 15.36 16.(0,1)三、解答题：17. （1）由题知A B A C cos sin 2sin sin 2+=，………………………………….……2分 则A B A B A cos sin 2sin )sin(2+=+，则A B A sin cos sin 2=,在ABC ∆中,0sin ≠A ,所以21cos =B ,…………………………4分则3π=B ……………………………………………………………………………..………6分（2）由余弦定理得B ac c a b cos 2222-+=,从而得ac c a ac c a 3)(9222-+=-+=，…………………………….…………………9分又5=+c a ，所以316=ac ，所以ABC ∆的面积为334.……………….……………12分18.（1）由统计数据填22⨯列联表如下:计算观测值20100(3554515)256.25 3.841505080204k ⨯⨯-⨯===>⨯⨯⨯，..................................4分所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为以44岁为分界点的不同人群对“房产限购年龄政策”的支持度有差异； ..............................................................................................5分（2）由题意可知抽取的这8人中，44岁以下的有6人，44岁以上的有2人，..........6分 根据题意，X 的可能取值是0，1，2,..................................................................................7分计算()262815028C P X C ===，()116228317C C P X C ⋅===，()22281228C P X C ===，.....................................................................................................10分可得随机变量X 的分布列为：故数学期望为012287282EX =⨯+⨯+⨯=（）．......................................................12分19.（1）取EA 中点N ,连接MN ,BN ,则MN 是EAD ∆的中位线,1//,.21//,,//.2,,//.MN AD MN AD BC AD BC AD BCMN CM BN CM ABE BN ABE CM ABE ∴==∴∴⊄⊂∴Q 且且四边形是平行四边形，又平面平面平面.................................................................................................................................................5分 （2）取AD 中点O ,连接OE OC ,,易得AD OE ⊥,AD OC ⊥. 在COE ∆中，由已知62223,3,3=⨯====OE AB OC CE . .,222OE OC CE OE OC ⊥∴=+Θ以O 为原点，分别以射线OE OA OC ,,为z y x ,,轴正半轴建立如图所示空间直角坐标系， 则).6,0,0(),0,2,0(),0,2,3(),0,2,0(E D B A -...................................................7分 则).0,22,0(),6,2,0(),6,2,3(-=-=-= 假设在棱EB 上存在点F 满足题意，设)10(≤≤=λλ,则EF λ=u u u r，)66,2,2,3(λλλ--=+=. 设平面ADF 的一个法向量为(,,)m x y z =u r，则0,0,m AF m AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r u u u r u r u u u r 即⎩⎨⎧=-=-+-+,022,0)66()22(3λλλλz y x 令1=z ，得平面ADF 的一个法向量).1,0,)1(2(λλ--=m .......................................9分又平面EAD 的一个法向量)0,0,1(=n ，.........................................................................10分由已知322,cos =n m ，3221)1(2)1(22=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡----∴λλλλ， 整理得01232=-+λλ，解得)1(31舍去-==λλ， ∴在棱EB 上存在点F ，使得二面角F AD E --的余弦值为322，且31=EB EF ...12分 20.（1）依题意，2,12==p p，所以x y C 4:2=………………………..……………4分 （2）设直线MN 的方程为n my x +=，与抛物线联立得0442=--n my y ， 设),(),,(2211y x N y x M ，由PN PM ⊥得0)2,1()2,1(2211=--⋅--y x y x ………6分 化简得0584622=+---m m n n ，………………………………………….…………8分解得52+=m n 或12+-=m n （舍）…………………………………….……………10分 所以直线MN 过定点)2,5(-………………………………………………..……………12分 21.（1）当1a =时，()()2ln 2ln 1h x x x x f x x x x-'=-==………..………….…….1分 则()221x h x x x-+'=-=，由于2y x =-+在()1,+∞上单调递减，存在唯一零点2x = 知()h x ：..................................................................................................................................................3分 知()1,x ∈+∞时，()()()22ln 210h x h ≤=-<，即()0f x '<恒成立知()f x 为()1,+∞上的减函数，即()()11f x f ≤=-，证毕；....................................5分（2）等价于2ln x a x =有两个零点，设函数()2ln xg x x =..............................................6分 ()()22ln ln 0x x g x x-'=≥，解得()ln 2ln 0x x -≤，即0ln 2x ≤≤知()g x ：..................................................................................................................................................9分 当0x →时，()g x →+∞；极小值为()10g =；极大值为()224g ee=；()g x 在()2,e +∞上单调递减，由于()0g x >，当x →+∞时，()0g x →，故()g x 在()2,e +∞上的值域为240,e ⎛⎫⎪⎝⎭综上，()g x a =有两个零点，有24a e =，即当24a e=时，()f x 有两个零点…….12分 22.（1）由θθρcos 8)2cos 1(=-得θθρcos 4sin 2=，所以θρθρcos 4sin 22=，由y x ==θρθρsin ,cos ，得曲线C 的直角坐标方程为x y 42=…………….…….3分当直线l 在x 轴正半轴及y 轴正半轴截距相等时,1tan -=α,由,sin 1cos 1⎩⎨⎧+=+=ααt y t x 得1tan 11-==--αx y ，所以2x y +=， 即此时直线l 的直角坐标方程为02=-+y x …………………………………..………5分（2）当3πα=时，直线l的参数方程为112,12x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数） 将直线l 的参数方程带入x y 42=，得211412t ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，232)304t t +-=，12124(243t t t t +=-=-，………..……………...…….8分故12121211112||||3t t PA PB t t t t +--=-==…………………………………...…..10分 23.（1）依题意631<++-x x ，解集为)2,4(-……………………………...………5分 （2）b a b a b x a x b x a x x f +=--=+--≥++-=)()()(，所以2=+b a …7分1)11112(41)1111)(11(411111≥++++++=++++++=+++b a a b b a b a b a ……….……10分。
数学丨黑龙江省哈尔滨市第三中学2025届高三10月月考数学试卷及答案
哈三中2024—2025学年度上学期高三学年十月月考数学试卷考试说明：本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分.考试时间为120分钟.1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚.2.选择题必须使用2B铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹签字笔书写，字体工整，字迹清楚.3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效.4.保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀.第I卷（选择题，共58分）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则（）A. B.C. D.2.已知是关于的方程的一个根，则（）A.20B.22C.30D.323.已知，，，则的最小值为（）A.2B.C.D.44.数列中，若，，，则数列的前项和（）A. B. C. D.5.在中，为中点，，，若，则（）A. B. C. D.6.在三棱柱中，点在棱上，且，点为中点，点在棱上，若平面，则（）A.2B.3C.4D.57.已知偶函数定义域为，且，当时，，则函数在区间上所有零点的和为（）A.B. C.D.8.已知平面向量，，，满足，且，，则的最小值为（）A.B.0C.1D.2二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.对于函数，下列说法正确的是（）A.函数最大值为B.是函数图象的一个对称中心C.是函数图象的一个对称轴D.将函数的图象向右平移个单位，即可得到函数的图象10.在正方形中，，为中点，将沿直线翻折至位置，使得二面角为直二面角，若为线段的中点，则下列结论中正确的是（）A.若点在线段上，则的最小值为B.三棱锥的体积为C.异面直线、所成的角为D.三棱锥外接球的表面积为11.已知函数，则下列结论中正确的是（）A.函数有两个零点B.恒成立C.若方程有两个不等实根，则的范围是D.直线与函数图象有两个交点第II卷（非选择题，共92分）三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.将答案填在答题卡相应的位置上.12.等差数列中，是其前项和.若，，则______.13.在中，，的平分线与交于点，且，，则的面积为______.14.已知三棱锥中，平面，，，，，、分别为该三棱锥内切球和外接球上的动点，则线段的长度的最小值为______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.在三棱柱中，，，，，为中点.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.16.已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）设函数，若在恒成立，求实数的取值范围.17.已知在锐角中，，，分别为内角，，的对边，.（1）求；（2）若，为中点，，求；（3）若，求内切圆半径的取值范围.18.某汽车销售公司为了提升公司的业绩，将最近一段时间内每日的汽车销售情况进行了统计，如图所示.（1）求的值，并求该公司这段时间内每日汽车销售量的第60百分位数；（2）以频率估计概率，若在这段时间内随机选择4天，设每日汽车销售量在内的天数为，在恰有1天的汽车销售量不超过150辆的条件下，求的分布列及数学期望；（3）为增加销售量，公司规定顾客每购买一辆汽车可以进行一次抽奖活动，规则如下：在三棱锥中，、均是边长为2的正三角形，，现从写有数字1~8的八个标签中随机选择两个分别贴在、两个顶点，记顶点、上的数字分别为和，若为侧棱上一个动点，满足，当“二面角大于”即为中奖，求中奖的概率.19.如图，在四棱锥中，底面为正方形，，是中点，平面，.（1）求四棱锥体积最大值；（2）设，为线段上的动点.①求平面与平面的夹角余弦值的取值范围；②四棱锥外接球记为球，当为线段中点时，求平面截球所得的截面面积.数学试卷考试说明：本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分.考试时间为120分钟.1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚.2.选择题必须使用2B铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹签字笔书写，字体工整，字迹清楚.3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效.4.保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀.第I卷（选择题，共58分）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】分别求出集合，，再根据交集的定义求.【详解】对集合：因为，所以，即；对集合：因为恒成立，所以.所以.故选：B2.已知是关于的方程的一个根，则（）A.20B.22C.30D.32【答案】D【解析】【分析】根据虚根成对原理可知方程的另一个虚根为，再由韦达定理计算可得.【详解】因为是关于的方程的一个根，所以方程的另一个虚根为，所以，解得，所以.故选：D.3.已知，，，则的最小值为（）A.2B.C.D.4【答案】D【解析】【分析】由已知可得，利用，结合基本不等式可求最小值.【详解】因为，所以，所以，所以，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为.故选：D.4.数列中，若，，，则数列的前项和（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】结合递推关系利用分组求和法求.【详解】因为，，所以，，，，，又，，，所以.故选：C.5.在中，为中点，，，若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】选择为平面向量的一组基底，表示出，再根据表示的唯一性，可求的值.【详解】选择为平面向量的一组基底.因为为中点，所以；又.由.故选：C6.在三棱柱中，点在棱上，且，点为中点，点在棱上，若平面，则（）A.2B.3C.4D.5【答案】B【解析】【分析】根据已知条件及线面平行的判定定理，利用面面平行的判定定理和性质定理，结合平行四边形的性质即可得结论.【详解】依题意，作出图形如图所示设为的中点，因为为的中点，所以，又平面，平面，所以平面，连接，又因为平面，，平面，所以平面平面，又平面平面，平面，所以，又，所以四边形是平行四边形，所以，所以，又，所以，所以，所以.故选：B.7.已知偶函数定义域为，且，当时，，则函数在区间上所有零点的和为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】函数在区间上的零点的集合等于函数和函数在区间内的交点横坐标的集合，分析函数的图象特征，作出两函数的图象，观察图象可得结论.【详解】因为函数，的零点的集合与方程在区间上的解集相等，又方程可化为，所以函数，的零点的集合与函数和函数在区间内的交点横坐标的集合相等，因为函数为定义域为的偶函数，所以，函数的图象关于轴对称，因为，取可得，，所以函数为偶函数，所以函数的图象关于对称，又当时，，作出函数，的区间上的图象如下：观察图象可得函数，的图象在区间上有个交点，将这个交点的横坐标按从小到大依次记为，则，，，，所以函数在区间上所有零点的和为.故选：A.8.已知平面向量，，，满足，且，，则的最小值为（）A. B.0 C.1 D.2【答案】B【解析】【分析】可设，，，由得到满足的关系，再求的最小值.【详解】可设，，，则.可设：，则.故选：B【点睛】方法点睛：由题意可知：，都是单位向量，且夹角确定，所以可先固定，，这样就只有发生变化，求最值就简单了一些.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.对于函数，下列说法正确的是（）A.函数的最大值为B.是函数图象的一个对称中心C.是函数图象的一个对称轴D.将函数的图象向右平移个单位，即可得到函数的图象【答案】ACD【解析】【分析】先利用两角和与差的三角函数公式和二倍角公式，把函数化成的形式，再对函数的性质进行分析，判断各选项是否正确.【详解】因为.所以，故A正确；函数对称中心的纵坐标必为，故B错误；由，得函数的对称轴方程为：，.令，得是函数的一条对称轴.故C正确；将函数的图象向右平移个单位，得，即将函数的图象向右平移个单位，可得到函数的图象.故D正确.故选：ACD10.在正方形中，，为中点，将沿直线翻折至位置，使得二面角为直二面角，若为线段的中点，则下列结论中正确的是（）A.若点在线段上，则的最小值为B.三棱锥的体积为C.异面直线、所成角为D.三棱锥外接球的表面积为【答案】AC【解析】【分析】对于A，的最小值为可判断A；对于B，过作于，求得，可求三棱锥的体积判断B；对于C；取的中点，则，取的中点，连接，求得，由余弦定理可求异面直线、所成的角判断C；对于D，取的中点，过点在平面内作的垂线交于，求得外接球的半径，进而可求表面积判断D.【详解】对于A，将沿直线翻折至，可得的最小值为，故A正确；对于B，过作于，因为二面角为直二面角，所以平面平面，又平面平面，所以平面，由题意可得，由勾股定理可得，由，即，解得，因为为线段的中点，所以到平面的距离为，又，所以，故B错误；对于C，取的中点，则，且，，所以，因为，所以是异面直线、所成的角，取的中点，连接，可得，所以，在中，可得，由余弦定理可得，所以，在中，由余弦定理可得，所以，所以异面直线、所成的角为，故C正确；对于D，取的中点，过点在平面内作的垂线交于，易得是的垂直平分线，所以是的外心，又平面平面，又平面平面，所以平面，又因为直角三角形的外心，所以是三棱锥的外球的球心，又，所以，所以三棱锥外接球的表面积为，故D错误.故选：AC.11.已知函数，则下列结论中正确的是（）A.函数有两个零点B.恒成立C.若方程有两个不等实根，则的范围是D.直线与函数图象有两个交点【答案】BCD【解析】【分析】分和两种情况探讨的符号，判断A的真假；转化为研究函数的最小值问题，判断B的真假；把方程有两个不等实根，为有两个根的问题，构造函数，分析函数的图象和性质，可得的取值范围，判断C的真假；直线与函数图象有两个交点转化为有两解，分析函数的零点个数，可判断D的真假.【详解】对A：当时，；当时，；时，，所以函数只有1个零点.A错误；对B：欲证，须证在上恒成立.设，则，由；由.所以在上单调递减，在上单调递增.所以的最小值为，因为，所以.故B正确；对C：.设，则，.由；由.所以在上单调递增，在单调递减.所以的最大值为：，又当时，.如图所示：所以有两个解时，.故C正确；对D：问题转化为方程：有两解，即有两解.设，，所以.由；由.所以在上单调递增，在上单调递减.所以的最大值为.因为，，所以所以.且当且时，；时，.所以函数的图象如下：所以有两解成立，所以D 正确.故选：BCD【点睛】方法点睛：导数问题中，求参数的取值范围问题，通常有如下方法：（1）分离参数，转化为不含参数的函数的值域问题求解.（2）转化为含参数的函数的极值问题求解.第II 卷（非选择题，共92分）三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.将答案填在答题卡相应的位置上.12.等差数列中，是其前项和.若，，则______.【答案】【解析】【分析】设数列的公差为，将条件关系转化为的方程，解方程求，由此可求结论.【详解】设等差数列的公差为，因为，，所以，，所以，，所以，故答案为：.13.在中，，的平分线与交于点，且，，则的面积为______.【答案】【解析】【分析】根据三角形面积公式，余弦定理列方程求，再由三角形面积公式求结论.【详解】因为，为的平分线，所以，又，所以，由余弦定理可得，又，所以所以，所以的面积.故答案为：.14.已知三棱锥中，平面，，，，，、分别为该三棱锥的内切球和外接球上的动点，则线段的长度的最小值为______.【答案】【解析】【分析】根据已知可得的中点外接球的球心，求得外接球的半径与内切球的半径，进而求得两球心之间的距离，可求得线段的长度的最小值.【详解】因为平面，所以是直角三角形，所以，，在中，由余弦定理得，所以，所以，所以是直角三角形，所以，因为平面，平面，所以，又，平面，结合已知可得平面，所以是直角三角形，从而可得的中点外接球的球心，故外接球的半径为，设内切球的球心为，半径为，由，根据已知可得，所以，所以，解得，内切球在平面的投影为内切球的截面大圆，且此圆与的两边相切（记与的切点为），球心在平面的投影为在的角平分线上，所以，由上易知，所以，过作于，，从而，所以，所以两球心之间的距离，因为、分别为该三棱锥的内切球和外接球上的动点，所以线段的长度的最小值为.故答案为：.【点睛】关键点点睛：首先确定内外切球球心位置，进而求两球半径和球心距离，再利用空间想象判断两球心与位置关系求最小值.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.在三棱柱中，，，，，为中点.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）由题意可得，利用勾股定理的逆定理可得，可证结论；（2）以为坐标原点，所在直线为，过作的平行线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法可求得直线与平面所成角的正弦值.【小问1详解】连接，因为，为中点，所以，因为，所以，所以，又，所以，所以，又，平面，所以平面；【小问2详解】以为坐标原点，所在直线为，过作平行线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，因为，所以，则，则，设平面的一个法向量为，则，令，则，所以平面的一个法向量为，又，所以，设直线与平面所成的角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为.16.已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）设函数，若在恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）答案见解析（2）的取值范围为.【解析】【分析】（1）求函数的定义域及导函数，分别在，，，条件下研究导数的取值情况，判断函数的单调性；（2）由条件可得，设，利用导数求其最小值，由此可得结论.【小问1详解】函数的定义域为，导函数，当时，，函数在上单调递增，当且时，即时，，函数在上单调递增，当时，，当且仅当时，函数在上单调递增，当时，方程有两个不等实数根，设其根为，，则，，由，知，，，所以当时，，函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递减，当时，，函数在上单调递增，所以当时，函数在上单调递增，当时，函数在上单调递增，函数在上单调递减，函数在上单调递增，【小问2详解】因为，，所以，不等式可化为，因为在恒成立，所以设，则，当时，，函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递减，所以当时，函数取最小值，最小值为，故，所以的取值范围为.17.已知在锐角中，，，分别为内角，，的对边，.（1）求；（2）若，为中点，，求；（3）若，求内切圆半径的取值范围.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）利用正弦定理进行边化角，再结合三角形内角和定理及两角和与差的三角函数公式，可求，进而得到角.（2）利用向量表示，借助向量的数量积求边.（3）利用与正弦定理表示出，借助三角函数求的取值范围.【小问1详解】因为，根据正弦定理，得，所以，因为，所以，所以.【小问2详解】因为为中点，所以，所以，所以，解得或（舍去），故.【小问3详解】由正弦定理：，所以，，因为，所以，所以，，设内切圆半径为，则.因为为锐角三角形，所以，，所以，所以，即，即内切圆半径的取值范围是：.18.某汽车销售公司为了提升公司的业绩，将最近一段时间内每日的汽车销售情况进行了统计，如图所示.（1）求的值，并求该公司这段时间内每日汽车销售量的第60百分位数；（2）以频率估计概率，若在这段时间内随机选择4天，设每日汽车销售量在内的天数为，在恰有1天的汽车销售量不超过150辆的条件下，求的分布列及数学期望；（3）为增加销售量，公司规定顾客每购买一辆汽车可以进行一次抽奖活动，规则如下：在三棱锥中，、均是边长为2的正三角形，，现从写有数字1~8的八个标签中随机选择两个分别贴在、两个顶点，记顶点、上的数字分别为和，若为侧棱上一个动点，满足，当“二面角大于”即为中奖，求中奖的概率.【答案】（1），175（2）分布列见解析，（3）【解析】【分析】（1）根据频率之和为1可求的值，再根据百分位数的概念求第60百分位数.（2）根据条件概率计算，求的分布列和期望.（3）根据二面角大于，求出可对应的情况，再求中奖的概率.【小问1详解】由.因为：，，所以每日汽车销售量的第60百分位数在，且为.【小问2详解】因为抽取的1天汽车销售量不超过150辆的概率为，抽取的1天汽车销售量在内的概率为.所以：在恰有1天的汽车销售量不超过150辆的条件下，抽取的1天汽车销售量在内的概率为.由题意，的值可以为：0，1，2，3.且，，，.所以的分布列为：0123所以.【小问3详解】如图：取中点，链接，，，，.因为，都是边长为2的等边三角形，所以，，，平面，所以平面.平面，所以.所以为二面角DE平面角.在中，，所以.若，在中，由正弦定理：.此时：，.所以，要想中奖，须有.由是从写有数字1~8的八个标签中随机选择的两个，所以基本事件有个，满足的基本事件有：，，，，，，，，共9个，所以中奖的概率为：.【点睛】关键点点睛：在第（2）问中，首先要根据条件概率的概念求出事件“在恰有1天的汽车销售量不超过150辆的条件下，抽取的1天汽车销售量在内的概率”.19.如图，在四棱锥中，底面为正方形，，是中点，平面，.（1）求四棱锥体积的最大值；（2）设，为线段上的动点.①求平面与平面的夹角余弦值的取值范围；②四棱锥的外接球记为球，当为线段中点时，求平面截球所得的截面面积.【答案】（1）（2）①；②【解析】【分析】（1）设，用表示四棱锥体积，分析函数的单调性，可求四棱锥体积的最大值.（2）①建立空间直角坐标系，设点坐标，用空间向量求二面角的余弦，结合二次函数的值域，可得二面角余弦的取值范围.②先确定球心，求出球心到截面的距离，利用勾股定理可求截面圆的半径，进而得截面圆的面积.【小问1详解】设则，所以四棱锥体积，.所以：.由；由.所以在上单调递增，在上单调递减.所以四棱锥体积的最大值为.【小问2详解】①以为原点，建立如图空间直角坐标系.则，，，所以，，.设平面的法向量为，则.令，则.取平面的法向量.因为平面与平面所成的二面角为锐角，设为.所以.因为，，所以.②易得，则，此时平面的法向量，所以点到平面的距离为：，设四棱锥的外接球半径为，则,所以平面截球所得的截面圆半径.所以平面截球所得的截面面积为：.【点睛】关键点点睛：平面截球的截面面积问题，要搞清球心的位置，球的半径，球心到截面的距离，再利用勾股定理，求出截面圆的半径.。
【精品解析】2020年黑龙江省哈尔滨市第三中学高三第五次模拟考试数学试题
2020年黑龙江省哈尔滨市第三中学高三第五次模拟考试数学试题一、单选题1．设集合P ＝{(x ，y)|x ＋y<4，x ，y ∈N *}，则集合P 的非空子集个数是( )A ．2B ．3C ．7D ．82．设复数z 1=1−3i ，z 2=3−2i ，则在复平面内对应的点在A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是（ ）A ．B ．C ．D ．4．若将函数y=2sin2x 的图像向左平移12个单位长度，则平移后图像的对称轴为A ．x=26k ππ-（k ∈Z ） B ．x=26k ππ+（k ∈Z ） C ．x=212k ππ-（k ∈Z ） D ．x=212k ππ+（k ∈Z ） 5．已知()1,3a =-，()2,1b =-，且()()2//a b ka b +-，则实数k =（ ）A ．2-B ．2C ．12D ．12- 6．已知0.4 1.90.41.9,1 1.9,0.4a b og c ==＝，则（ ） A ．a b c >> B ．b c a >> C ．a c b >> D ．c a b >>7．下列说法正确的是 （ ）A ．命题“若x =y ，则sinx =siny ”的否命题为真命题B ．“直线与直线互相垂直”的充分条件是“”C ．命题“∃x ∈R,x 2+x +1<0”的否定是“∀x ∈R,x 2+x +1>0”D ．命题：若，则或的逆否命题为：若或，则x 2≠18．下列说法正确的是（ ）A ．若()sin f x θ=，则()'cos f x θ=B ．合情推理得到的结论不一定是正确的C ．双曲线上的点到两焦点的距离之差等于2aD ．若原命题为真命题，则否命题一定为假命题9．下列四个数中，数值最小的是（ ）A ．()1025B ．()454C ．()210110D ．()21011110．一个透明密闭的正方体容器中，恰好盛有该容器一半容积的水，任意转动这个正方体，则水面在容器中的形状可以是：(1)三角形；(2)四边形；(3)五边形；(4)六边形．其中正确的结论是（ ） A ．(1)(3) B ．(2)(4) C ．(2)(3)(4) D ．(1)(2)(3)(4)11．已知等比数列{}n a 中，51a =，916a =，则7a =A ．4B ．－4C ．4±D ．1612．著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题(),M x y 与点(),N a b 的距离．结合上述观点，可得()f x =( )A ．B ．CD ．3二、填空题 13．双曲线22149x y -=的渐近线方程是__________． 14．5个大学生分配到三个不同的村庄当村官，每个村庄至少有一名大学生，其中甲村庄恰有一名大学生的分法种数为__________．15．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，123n n a a n ++=+，12a =，则11S ＝_____．16．某同学在研究函数2()()||1x f x x R x =∈+时，给出下列结论：①()()0f x f x -+=对任意x ∈R 成立；②函数()f x 的值域是()2,2-；③若12x x ≠，则一定有()()12f x f x ≠；④函数()()2g x f x x =-在R 上有三个零点．则正确结论的序号是_______.三、解答题17．为了丰富学生的课外文化生活，某中学积极探索开展课外文体活动的新途径及新形式，取得了良好的效果.为了调查学生的学习积极性与参加文体活动是否有关，学校对200名学生做了问卷调查，列联表如下：已知在全部200人中随机抽取1人，抽到学习积极性不高的学生的概率为25. （1）请将上面的列联表补充完整；（2）是否有99.9%的把握认为学习积极性高与参加文体活动有关？请说明你的理由；（3）若从不参加文体活动的同学中按照分层抽样的方法选取5人，再从所选出的5人中随机选取2人，求至少有1人学习积极性不高的概率.附： 2.072 22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++. 18．设离心率为3，实轴长为1的双曲线2222:1x y E a b-=（0a b >>）的左焦点为F ，顶点在原点的抛物线C 的准线经过点F ，且抛物线C 的焦点在x 轴上.（1）求抛物线C 的方程；（2）若直线l 与抛物线C 交于不同的两点,M N ，且满足OM ON ⊥，求MN 的最小值. 19．如图，DA ⊥平面ABC ，//DA PC ，E 为PB 的中点，2PC =，AC BC ⊥，ACB ∆和DAC △是等腰三角形，AB =.（1）求证：//DE 平面ABC ；（2）求三棱锥E BCD -体积.20．已知函数()||f x x a =-（1）当1a =-时，求不等式()|21|1f x x ≤+-的解集；（2）若函数()()|3|g x f x x =-+的值域为A ，且[2,1]A -⊆，求a 的取值范围.21．已知函数21()(1)2x f x ax x e =--（a R ∈）．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若[1,]a e ∈，对任意的12,[0,1]x x ∈，证明：12|()()|1f x f x -<.22．在平面直角坐标系xOy 中，以直角坐标系原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的参数方程为1122x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为22cos sin θρθ=． （1）求直线l 的普通方程和线C 的直角坐标方程；（2）已知定点1,02P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设直线l 与曲线C 相交于A B ，两点，求PA PB +的值． 23．如图，在平面四边形ABCD 中，,1,AB AD AB ⊥=2,33AC ABC ACD ππ=∠=∠= （1）求sin BAC ∠；（2）求DC 的长.【答案与解析】1．C当x ＝1时，y<3，又y ∈N *，因此y ＝1或y ＝2；当x ＝2时，y<2，又y ∈N *，因此y ＝1；当x ＝3时，y<1，又y ∈N *，因此这样的y 不存在．综上所述，集合P 中的元素有(1,1)、(1,2)、(2,1)，集合P 的非空子集的个数是23－1＝7 2．D试题解析：z 1z 2=1−3i 3−2i =(1−3i)(3+2i)(3−2i)(3+2i)=3+2i−9i+613=9−7i 13=913−713i z 1z 2在复平面内对应的点(913,−713)，故在第四象限 考点：本题考查复数几何意义点评：解决本题的关键是理解复数的几何意义3．D对四个选项中几何体的正视图、侧视图、俯视图是否符合要求进行判断，可得出合适的选项. 选项A 的正视图、俯视图不符合要求，选项B 的正视图、侧视图不符合要求，选项C 俯视图不符合要求，故选：D.本题考查三视图还原为实物图，考查空间想象能力，属于基础题.4．B试题分析：由题意得，将函数2sin 2y x =的图象向左平移12π个单位长度，得到2sin(2)6y x π=+，由2,62x k k Z πππ+=+∈，得,26k x k Z ππ=+∈，即平移后的函数的对称轴方程为,26k x k Z ππ=+∈，故选B ． 考点：三角函数的图象与性质．【方法点晴】本题主要考查了三角函数()sin()f x A wx ϕ=+的图象与性质，着重考查了三角函数的图象变换及三角函数的对称轴方程的求解，通过将函数2sin 2y x =的图象向左平移12π个单位长度，得到函数的解析式2sin(2)6y x π=+，即可求解三角函数的性质，同时考查了学生分析问题和解答问题的能力以及推理与运算能力．。
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a
b
，
a
(2, 3)
，
b
(3, m)
，
C. 9 2
9
D.
2
2m 9 0 ，解得 m 9 ， 2
故选：C.
r
【点睛】本题考查向量平行的坐标公式，属于基础题.一般地，如果 a = (x1, y1)，b x2 , y2 ，
若
a
b
，则
x1
y2
x2
y1
0
.
4.设 a log2 3 ， b log1 2 ， c 0.42 ，则 a ， b ， c 的大小关系是（ 3
)
，再将
C1
上所有点的横坐标伸长到原来的
2
倍得到曲线
C2
，
则
C2
的解析式为
y
sin(
1 2
2
x
3
)
sin(
x
3
)
故选：A
【点睛】此题考查三角函数解析式的求解，结合三角函数图像变换是解此题的关键，属于基
础题.
6.远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，就是现在我们熟悉的“进
-3-
第Ⅰ卷（选择题，共 60 分） 一、选择题：本题共 12 小题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知复数 z1 a 3i ， z2 2 i （ i 为虚数单位），若 z1z2 是纯
C. 3
D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】
∴ A B 1, 2,3 ，∴集合 A B 的子集个数为 8 个，
故选：D.
【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法，交集的运算以及子集的个数，属于基础题.
3.已知向量
a
2,
3
，
b
3,
m
且
a
b
，则
m
（
）
A. 2
B. 2
【答案】C
【解析】
【分析】
由向量平行的坐标公式，即可求得.
【详解】
2.已知集合 A x x2 2x 3 0, x Z ，集合 B x x 0 ，则集合 A B 的子集个数为
（）
A. 2
B. 4
C. 6
D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】
-1-
解一元二次不等式求集合 A，求出 A B ，即可得结果.
【详解】∵ A x x2 2x 3 0, x Z 1, 0,1, 2,3 ， B x x 0 ，
-2-
所以 log2 2 log2 3 ，即1 log2 3 ，所以 a 1，
因为函数 y log1 x 在 (0, ) 上单调递减，且 2 1， 3
所以 log1 2 log1 1 0 ，即 b 0 ，
3
3
因为函数 y 0.4x 在 R 上单调递减，且 2 0 ，
所以 0 0.42 0.40 1 ，即 0 c 1，
π
A.
3
【答案】A
2π
B.
3
C. π
4π
D.
3
【解析】
【分析】
1
1
由三视图可知，该几何体为组合体，由圆柱的 和圆锥的 组成，通过圆柱和圆锥的体积公
4
4
式，即可得结果.
位制”，下图所示的是一位母亲记录的孩子自出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳 子上打结，满五进一，根据图示可知，孩子已经出生的天数是（ ）
A. 27
【答案】B
B. 42
C. 55
D. 210
【解析】
【分析】
根据题意可得孩子已经出生天数的五进制数为1325 ，化为十进制数即可得出结果.
【 详 解 】 由 题 意 可 知 ， 孩 子 已 经 出 生 的 天 数 的 五 进 制 数 为 1325 ， 化 为 十 进 制 数 为
【详解】解：公比
q
3 ，S3
a1
a2
a3
1 3
，所以 a5
a6
a7
a1q4
a2q4
a3q4
S3q4 ，
即
a5
a6
a7
1 3
34
27 .
故选:C.
【点睛】本题考查了等比数列的通项公式，属于基础题.
-4-
8.某几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都是上底为 1，下底为 2，高为 1 的直角 梯形，俯视图为四分之一个圆，则该几何体的体积为（ ）
A.
y
sin
x
π 3
B.
y
sin
x
π 6
C.
y
sin
x
π 3
D.
y
sin
4x
π 3
【答案】A
【解析】
【分析】
根据三角函数图像平移变换和伸缩变换进行求解即可.
【详解】解：将函数
y
sin
2x
的图像向左平移
π 6
个单位长度后得到曲线
C1
，则
C1
的解析式
为
y
sin
2(
x
6
)
sin(2x
3
数学试卷（理工类） 考试说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分 150 分，考试时 间 120 分钟. 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚. 2.选择题必须使用 2B 铅笔填涂，非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工 整，字迹清楚. 3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、 试题卷上答题无效. 4.保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀.
所以 a c b ，
故选：C
【点睛】此题考查的是对数式和指数式比较大小，通常利用对数函数和指数函数的单调性找
中间量 0 或 1 比较大小，属于基础题.
5.将函数
y
sin
2x
的图象向左平移
π 6
个单位长度后得到曲线
C1
，再将
C1
上所有点的横坐标
伸长到原来的 2 倍得到曲线 C2 ，则 C2 的解析式为（ ）
A. a b c
B. b a c
C. a c b
） D.
cab
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意结合对数函数的单调性和指数函数的单调性与中间量 0 和 1 比较大小，即可确定 a ，b ， c 的大小关系.
【详解】解：因为函数 y log2 x 在 (0, ) 上单调递增，且 2 3 ，
复数的乘法运算，根据纯虚数的定义，即可得出结果.
【详解】 z1z2 (a 3i)(2 i) (2a 3) (a 6)i 是纯虚数， 所以 (2a 3) 0 且 a 6 0 ，可得 a 3
2
故选：A 【点睛】本题考查复数的乘法运算、纯虚数的定义，考查了数学运算能力和理解辨析能力， 属于容易题目.
1325 152 35 2 42 .
故选：B.
【点睛】本题考查五进制数化为十进制数，考查计算能力，属于基础题.
7.设公比为
3
的等比数列an 前 n 项和为
Sn
，且
S3
1 3
，则
a5
a6
a7
（
）
A. 3
B. 9
C. 27
D. 81
【答案】C
【解析】
【分析】
由等比数列的通项公式可求出 a5 a6 a7 S3q4 ，代入已知条件即可选出正确答案.