不确定性原理的前世今生

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不确定性原理与波函数

不确定性原理与波函数

不确定性原理与波函数引言:量子力学是描述微观粒子行为的一种理论。

在量子力学中,无法精确地同时确定粒子的位置和动量,这就是著名的不确定性原理。

不确定性原理的提出,深刻地影响了我们对物质世界的理解,而波函数则是描述量子体系的关键工具。

本文将介绍不确定性原理的基本概念和物理意义,并讨论波函数的基本性质及其在不确定性原理中的应用。

一、不确定性原理的概念与物理意义1.1 不确定性原理的提出不确定性原理最早由维尔纳·海森堡于1927年提出。

他认为,对于微观粒子,无论是位置还是动量的测量都不可能完全精确。

具体而言,在测量位置时,粒子的动量将变得不确定;而在测量动量时,粒子的位置也将变得模糊。

这种不确定性是存在于自然界的基本定律,与我们对宏观世界的感觉不同。

1.2 不确定性原理的物理意义不确定性原理揭示了粒子在微观尺度下的行为本质。

传统物理学中,我们习惯于认为粒子具有确定的位置和动量,但在量子力学中,这种观念不再适用。

不确定性原理告诉我们,粒子的属性在测量前是不确定的,只有在进行测量时,才能得到确定的结果。

这与我们对宏观物体的认知有了本质的不同。

二、波函数的基本性质2.1 波函数的定义波函数是量子力学中用来描述粒子状态的函数。

波函数的平方表示了在某个时刻,粒子处于不同位置的概率分布。

具体而言,波函数是一个关于空间坐标和时间的函数,记作Ψ(x,t)。

其中,x表示位置,t表示时间。

2.2 波函数的归一化波函数必须满足归一化条件,即波函数在所有可能位置上的概率积分为1。

归一化条件可以表示为∫|Ψ(x,t)|^2dx = 1。

这意味着,粒子一定处于某个位置上,概率为1。

2.3 波函数的解释根据波粒二象性,波函数既可以被解释为波,也可以被解释为粒子。

当我们对波函数进行测量时,它会坍缩成一个确定的位置。

在位置空间,波函数表示了粒子的位置概率分布;而在动量空间,波函数表示了粒子的动量分布。

三、不确定性原理与波函数的关系在波函数的基础上,我们可以更好地理解不确定性原理。

【教育资料】不确定性原理的前世今生 · 数学篇(三)学习专用

【教育资料】不确定性原理的前世今生 · 数学篇(三)学习专用

不确定性原理的前世今生· 数学篇(三)不确定性原理事实上不是一个单独的定理,而是一组定理的统称。

基本上,凡是刻划一个信号不能在时空域和频域上同时过于集中的命题都可以称为不确定性原理,由于这里「集中」这一性质可以有不同的数学描述,也就对应着不同的数学定理。

但是在所有冠以「不确定性原理」之名的定理中,最著名的当然是海森堡(W.Heisenberg)在1927年所提出的影响物理学发展至深的那个版本。

它精确的数学描述是:假定一个信号的总能量为1,则这个信号和它的傅立叶变换的能量的方差之积不小于1/16π2。

换言之,两者各自的能量都可能很集中,但是不能同时很集中。

如果时空域中能量的方差很小(亦即集中在一起),那么频域上能量的方差就不会太小(亦即必然会弥散开),反之亦然。

对这个定理在量子物理中的意义的详细讨论超出了本文的话题范围,坊间相关的著作已有不少。

不过,下面简单胪列了一些相关的历史事实:海森堡在1927年的那篇文章标题为UeberdenanschaulichenInhaltderquantentheoretischenK inematikundMechanik(《量子理论运动学和力学的直观内容》)。

这篇文章很大程度上是对薛定谔(E.Schrdinger)在1926年所提出的薛定谔波动方程的回应。

相较于海森堡的矩阵力学而言,薛定谔的方程很快由于它物理上的直观明晰而吸引了越来越多物理学家的赞赏。

海森堡对此极为失落。

在1926年6月8日海森堡写给泡利(W.Pauli)的信中他说:「我对薛定谔的理论想得越多我就越觉得恶心。

」因此,他迫切需要给他自己的理论配上一幅更直观的图象。

海森堡的这篇文章提出了后来被人们所熟悉的关于为什么无法同时测量一个电子的位置和动量的解释,但是并未给出任何严格的数学证明。

他把他的结论笼统地表达为ΔxΔp≥,其中x是位置,p是动量,是普朗克常数。

但他并没有详细说明Δx和Δp的严格意思,只针对若干具体情形做了一些直观的讨论。

不确定性原理和测不准性

不确定性原理和测不准性

不确定性原理和测不准性不确定性原理和测不准性是量子物理学中的两个基本概念。

不确定性原理指的是,在某些情况下,我们无法同时准确地测量一个粒子的位置和动量。

测不准性是指,无论我们如何精密地测量一个粒子的位置或速度,我们都会存在一定的测量误差。

这些概念为量子力学的基本思想提供了重要的支持。

不确定性原理最初是由德国著名物理学家海森堡在1927年提出的。

他认为,在对一个粒子的位置和动量进行测量时,它们之间存在固有的不确定性。

具体来说,如果我们精确地测量了一个粒子的位置,那么它的动量就会变得不确定,反之亦然。

其背后的原因是,在量子力学中,测量本身会对待测系统产生干扰,这个干扰的大小与测量的精度成正比。

因此,在测量的过程中,测量设备和待测系统之间无可避免地会发生相互作用,导致求解粒子位置和动量的过程变得复杂。

实际上,不确定性原理已经被实验证实。

例如,我们可以通过强制粒子到一个非常小的区域内,并观察它的位置和速度的变化。

这个过程中,我们就会发现,当我们测量位置时,速度变得不确定,否则测量速度,位置就变得不确定。

因此,不确定性原理无疑是量子力学中最基础的原理之一。

它告诉我们,世界上并不存在完全可预测的物体。

这就是说,即使我们了解了粒子的所有属性,我们仍旧无法完全预测它在某一时刻的状态。

不确定性原理的含义是什么?我们可以从物理意义上解读这个原理。

首先,不确定性原理阐述了量子物理学中物理量的局部性质,这意味着测量一个粒子的属性并不能反映出整个系统的性质。

其次,不确定性原理还告诉我们,粒子的位置和动量测量值不是独立的。

这是因为,在测量位置时,我们使系统的状态发生了变化,从而影响了测量动量的程序。

因此,如果我们任何一个物理量变得越精确,它就会对其他物理量的测量产生更大的影响。

不确定性原理是量子力学的基础之一,它揭示了自然界中的局限性。

但是,实验界越来越关注的是测不准性问题,即我们是否可以准确地测量一个量子系统的位置或动量。

海森堡的不确定性原理是怎么样得出来?

海森堡的不确定性原理是怎么样得出来?

海森堡的不确定性原理是怎么样得出来?海森堡的父亲是一位古典学家(研究古希腊/罗马时期的经典著作),从这个角度海森堡在古典哲学方面是颇有家传的。

海森堡(右)与其兄送他们的父亲上一战战场。

那么海森堡提出量子力学和他的哲学素养有什么关系吗?读海森堡的早期著作以及他后来的回忆,我们发现海森堡提出量子力学还真和他的哲学倾向有关。

据海森堡自己回忆,他在德国一战后“内战”期间“从军”的空闲时间,曾阅读柏拉图的蒂迈欧篇,他发现自己极其厌恶柏拉图的那种把原子想象为具体的几何实体的思路,他认为这些都是不切实际的空想。

柏拉图的原子:五种正多面体,海森堡对这种具象原子模型的反感代表着他对机械原子模型的否定。

海森堡自己后来构建量子力学的思路就是不从粒子的位置和动量出发,转而从原子光谱实验里的跃迁法则及跃迁强度出发,由实验可以观测到的量出发构建量子力学。

这就是后来的矩阵力学。

类似地,海森堡也习惯用一种操作主义的语言来描述自己发现的海森堡不确定原理(或测不准关系)。

测不准关系论证示意图。

海森堡的原始论证是这样的:考虑电子双缝干涉,两个缝之间的距离是l,为了测量电子的位置(或电子是从哪个缝出射),光源P发出的测量光子必须具备至少l的分辨本领,即光波波长要小于等于l。

这意味着光子的动量大于等于h/l。

光子在测量电子位置的同时,会把动量转移给电子,这样电子动量测量的不确定度就是大于等于h/l。

小结一下:电子位置测量的不确定度是l,而电子动量测量的不确定度是大于等于h/l,因此位置测量不确定度乘以动量测量不确定度的乘积就必须大于等于h。

这里h是普朗克常数,需要说明的是以上给出的是海森堡初始的证明思路,现在我们讲解(论证)不确定原理时并不强调测量,换句话说不确定原理是量子力学本身的内在属性,和是否测量、怎么测量没有关系。

这(不确定原理)很客观。

《时间简史》第四章不确定性原理

《时间简史》第四章不确定性原理

《时间简史》第四章不确定性原理第四章不确定性原理科学理论,特别是⽜顿引⼒论的成功,使得法国科学家拉普拉斯侯爵在19世纪初论断,宇宙是完全被决定的。

他认为存在⼀组科学定律,只要我们完全知道宇宙在某⼀时刻的状态,我们便能依此预⾔宇宙中将会发⽣的任⼀事件。

例如,假定我们知道某⼀个时刻的太阳和⾏星的位置和速度,则可⽤⽜顿定律计算出在任何其他时刻的太阳系的状态。

这种情形下的宿命论是显⽽易见的,但拉普拉斯进⼀步假定存在着某些定律,它们类似地制约其他每⼀件东西,包括⼈类的⾏为。

很多⼈强烈地抵制这种科学宿命论的教义,他们感到这侵犯了上帝⼲涉世界的⾃由。

但直到本世纪初,这种观念仍被认为是科学的标准假定。

这种信念必须被抛弃的⼀个最初的征兆,是由英国科学家瑞利勋爵和詹姆斯·⾦斯爵⼠所做的计算,他们指出⼀个热的物体——例如恒星——必须以⽆限⼤的速率辐射出能量。

按照当时我们所相信的定律,⼀个热体必须在所有的频段同等地发出电磁波(诸如⽆线电波、可见光或X射线)。

例如,⼀个热体在1万亿赫兹到2万亿赫兹频率之间发出和在2万亿赫兹到3万亿赫兹频率之间同样能量的波。

⽽既然波的频谱是⽆限的,这意味着辐射出的总能量必须是⽆限的。

为了避免这显然荒谬的结果,德国科学家马克斯·普郎克在1900年提出,光波、X射线和其他波不能以任意的速率辐射,⽽必须以某种称为量⼦的形式发射。

并且,每个量⼦具有确定的能量,波的频率越⾼,其能量越⼤。

这样,在⾜够⾼的频率下,辐射单独量⼦所需要的能量⽐所能得到的还要多。

因此,在⾼频下辐射被减少了,物体丧失能量的速率变成有限的了。

量⼦假设可以⾮常好地解释所观测到的热体的发射率,但直到1926年另⼀个德国科学家威纳·海森堡提出著名的不确定性原理之后,它对宿命论的含义才被意识到。

为了预⾔⼀个粒⼦未来的位置和速度,⼈们必须能准确地测量它现在的位置和速度。

显⽽易见的办法是将光照到这粒⼦上,⼀部分光波被此粒⼦散射开来,由此指明它的位置。

量子力学中的不确定性原理

量子力学中的不确定性原理

量子力学中的不确定性原理量子力学是描述微观领域中粒子行为的物理学理论,它主要研究微观粒子在微观尺度上的运动和相互作用。

在量子力学中,存在着一种基本的原理,即不确定性原理。

本文将详细介绍量子力学中的不确定性原理以及其对物理学和科学哲学的影响。

一、不确定性原理的提出不确定性原理最早由德国物理学家海森堡在1927年提出,并被称为“海森堡不确定性原理”。

不确定性原理表明,在粒子的位置和动量之间存在一种不可避免的不确定性关系,即无法同时精确地测量一个粒子的位置和动量。

具体而言,如果我们想要精确地测量一个粒子的位置,那么我们必须使用较小的探测器,但这样做会导致对粒子的动量测量结果的不确定性增大。

反之亦然,如果我们试图精确地测量粒子的动量,那么我们必须使用较大的动量传感器,这又会导致对粒子位置的测量结果不确定性增大。

二、海森堡不确定性原理的数学表达海森堡不确定性原理可以通过下面的数学表达式来描述:ΔX · ΔP ≥ ℏ/2其中,ΔX表示位置的不确定度,ΔP表示动量的不确定度,ℏ为普朗克常数。

这个表达式说明了位置的不确定度和动量的不确定度的乘积不小于普朗克常数的一半。

也就是说,我们无法将位置和动量的不确定度同时减小到任意小的值。

三、不确定性原理的解释和意义不确定性原理的提出打破了传统物理观念中关于物理量确定性的认识。

在经典物理学中,我们可以同时准确地确定一个粒子的位置和动量,而在量子力学中却不再成立。

不确定性原理的解释可以借助波粒二象性来理解。

根据量子力学的波粒二象性,粒子既可以表现出波动性质,又可以表现出粒子性质。

位置和动量就是波动性质和粒子性质的对应关系,因此无法同时准确确定。

不确定性原理对于科学哲学也有重要的意义。

它揭示了人类对于微观世界认识的局限性,展示了自然界中的一些基本限制。

在量子力学的视野下,我们必须接受一种不完全确定性的观念,摒弃了绝对可知的观点,这对于哲学的发展和科学方法论的建设有深远的影响。

不确定性原理的推导

不确定性原理的推导

不确定性原理的推导一、(普遍的)不确定性原理推导:对于任意一个可观测量A ,有(见(12)式):2ˆˆ()()A AA ΨA A Ψf f σ=--= (1) 式中:ˆ()f AA ψ≡- 同样地,对于另外一个可观测量B ,有:2B g g σ=式中:ˆ(g BB ψ≡- 由施瓦茨不等式(见(16)式),有:222A B f fg g f gσσ=≥ (2)对于一个复数z (见(17)式):222221[Re()][Im()][Im()][()]2z z z z z z i*=+≥=- (3)令z f g =,(2)式:2221[]2ABf g g f i σσ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭(4)又ˆˆ()()f g AA B B ψψ=-- ˆˆ()(ΨAA B B ψ=-- ˆˆˆˆ()ΨABA B B A A B ψ=--+ ˆˆˆˆΨABΨB ΨA ΨA ΨB ΨA B ΨΨ=-++ ˆˆABB A A B A B =--+ ˆˆABA B =- 类似有:ˆˆf g BAA B =-所以ˆˆˆˆˆˆ,f g g f AB BA A B ⎡⎤-=-=⎣⎦(5)式中对易式:ˆˆˆˆˆˆ,AB AB BA ⎡⎤≡-⎣⎦把(5)代入(4),得(普遍的)不确定性原理:2221ˆˆ,2A B A B i σσ⎛⎫⎡⎤≥ ⎪⎣⎦⎝⎭(6)二、位置与动量的不确定性设测试函数f (x ),有(见(23)式):[]d d ,()()()d d x p f x xf xf i x i x ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦d d d d d d f x f x i i x i x i x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭()i f x = (7)去掉测试函数,则:[],=x p i(8)令ˆˆ,A x B p ==,把(8)代入(6):2222x p σσ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭由于标准差是正值,所以位置与动量的不确定性:2x p σσ≥(9)三、时间与能量的不确定性由(见(24)式):j σ (10)可得:x p σσ===t E σσ=所以时间与能量的不确定性:2t E σσ≥(11)附:1、数学符号及常量x : x 的平均值αβ: 矢量(函数)α和β的点积(内积)j σ: j 的不确定程度,即j 的标准差:2hπ=,其中h =6.6260693(11)×10-34 J·s 为普朗克常量 i : 21i =-2、有关公式推导(1)式:()22ˆQQQ σ=-()2ˆΨQQ Ψ=-()()ˆˆQ Q ΨQ Q Ψ=-- (12)(2)式: 对于2αβ和ααββ设123(,,,)n x x x x α=…,,123(,,,)n y y y y β=…, 则22112233()n n x y x y x y x y αβ=++++ (13)2222123=n x x x x αα++++(…) (14) 2222123=n y y y y ββ++++(…)(15)2222112233()()()()0n n tx y tx y tx y tx y -+-+-++-=…其中t 为未知数显然,该方程最多仅有一个对t 的解 该方程可写为:222222222123112233123()2()(n n n n x x x x t x y x y x y x y t y y y y ++++⋅-++++⋅+++++………)=0因为其解只有0或1个,所以0∆≤:2222222221122331231234()4()0n n n n x y x y x y x y x x x x y y y y ++++-++++++++≤……)(…把(12)、(13)、(14)式代入,得:2αβααββ≤ (16)(3)式: 设z a ib =+ 则2222111[()][()()](2)244z z a ib a ib ib b i *+=-+--=-= 22[Im()]=z b所以221[Im()][()]2z z z i*=+ (17)(6)式: 薛定谔方程:2222ΨΨi V Ψt m x ∂∂=-+∂∂ (18) 可以写做:222Ψi Ψi V Ψt m x ∂∂=-∂∂222Ψi Ψi V Ψt m x***∂∂=-+∂∂ 所以2()ΨΨΨt t*∂∂=∂∂ 22222i ΨΨΨΨm x x **⎛⎫∂∂=- ⎪∂∂⎝⎭2i ΨΨΨΨx m x x **⎡⎤⎛⎫∂∂∂=-⎢⎥ ⎪∂∂∂⎝⎭⎣⎦(19) 又2d x x Ψx +∞-∞=⎰(20)由(13)、(14)式,有:2d d d x x Ψx t t∂=∂⎰ d 2i ΨΨx ΨΨx m t x x **⎛⎫∂∂∂=- ⎪∂∂∂⎝⎭⎰ (21) 利用分部积分公式:d d d d d d bb ba aa g f fx g x fg xx =-+⎰⎰ (22)(15)式可以写为d d d 2xiΨΨΨΨx t m x x **⎛⎫∂∂=-- ⎪∂∂⎝⎭⎰ 对第二项再分部积分,消去边界项(在±∞处Ψ趋于0),得:d d d x i Ψv Ψx t m x*∂==-∂⎰ 所以:dd xp m v mt== d ΨΨx i x *∂⎛⎫= ⎪∂⎝⎭⎰又()d x Ψx Ψx *=⎰则有(6)式中的(x 、p 为算符):x xp i x =⎧⎪∂⎨=⎪∂⎩(23)(9)式:()()2222()()()j j j P j j j P j σ=∆=∆=-∑∑()222()j j j j P j =-+∑22()2()()j P j j jP j jP j =-+∑∑∑222j j j j =--22j j =-所以,标准差:σ=(24)参考文献:《Introduction to quantum mechanics 》——David J Griffiths。

海森伯不确定原理及其它的数学推导

海森伯不确定原理及其它的数学推导

海森堡的不确定原理及其它的数学推导 今年12日5日是德国著名物理学家沃纳·海森伯(W.Heisenbery1901--1976)诞辰100周年纪念日;1901年12月5日, 海森伯出生于维尔茨堡古希腊语教师的家庭,19岁时成为慕尼里大学著名理论物理学家索末菲(Sommerfeld) 的弟子,1924年取得博士学位.1925年率先从修改经典分析力学的途径为创立量子力学矩阵形式作出了开拓性的工作,1927年提出了著名的“不确定原理”;这便成为20世纪物理学发展的一个重要里程碑。

同时,他对原子核、铁磁性、宇宙射线、基本粒子等概念的理解作出了重大的改进,并于1932年获得诺贝尔物理学奖金,他被公认为20世纪最具创新能力的思想家之一;本文重在对海森伯在量子力学的矩阵形式和“不确定原理”这两项重要贡献作简单的历史性回顾,以示对这位伟人最真挚的纪念。

不确定原理海森伯非常注重量子力学的物理图象和原理,他早就认识到,把经典的电子坐标换成量子的跃迁振幅,相当于要从量子理论来重新解释运动学,亦即要从量子论的图象来重新描述电子的运动.1926年薛定谔(Schrodinger )创立了波动力学,随后又证明了波动力学与量子力学完全等价.实际上,海森伯的量子力学选择了力学量随时间改变而态不随时间改变的物理图象,薛定谔的波动力学则选择了态随时间改变而力学量不随时间改变的物理图象.电子运动的量子特征在海森伯图象中表现得很突出,而电子运动的波动特征在薛定谔图象中表现得十分清楚,电子运动的量子性和波动性已经被纳入了一个自洽和完整的理论体系.紧接着薛定谔的工作,玻恩用薛定谔波动方程研究量子力学的散射过程,提出了波函数的统计诠释,指出薛定谔波函数是一种几率振幅,它的绝对值的平方对应于测量到电子的几率分布.认识到了量子力学规律的统计性质,这就为海森伯提出量子力学的不确定原理在观念上奠定了基础.使海森伯疑惑不解的是:既然在量子力学中不需要电子轨道的概念,那又怎么解释威尔逊(C.Wilson )云室里观察到的粒子径迹呢?经过几个月的思索,1927年初海森伯忽然想起,年前在一次讨论中,当他向爱因斯坦(Einstein )表示“一个完善的理论必须以直接可观测量作依据”时,爱因斯坦说道:“在原则上,试图单靠可观测量去建立理论那是完全错误的.实际上正好相反,是理论决定我们能够观测到什么东西”[7].在这一回忆的启发下,海森伯仿效爱因斯坦在狭义相对论里对同时性的定义方法,马上领悟到:云室里的径迹不可能精确地表示出经典意义下的电子路径或轨道,它原则上至多给出电子坐标和动量的一种近似的、模糊的描写.在这种想法指导下,他用高斯型波函数来研究量子力学对于经典图象的限制,立即导出了同时测量粒子的坐标和动量所受到的限制:海森伯引用狄拉克—约尔丹变换理论如下.对于位置坐标q 的一个高斯型波函数(或海森堡所称的“几率振幅”)由下式给出:[8]⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⨯=22)(2exp )(q q q δψ常数 (11) 其中δq 是高斯凸包的半宽度,根据玻恩的几率诠释,它表示一个距离的范围.粒子几乎肯定处于此范围中,因而表示位置的测不准量(δq =q q ∆∆,2为标准偏差)。

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不确定性原理的前世今生 · 数学篇(一)在现代数学中有一个很容易被外行误解的词汇:信号 (signal)。

当数学家们说起「一个信号」的时候,他们脑海中想到的并不是交通指示灯所发出的闪烁光芒或者手机屏幕顶部的天线图案,而是一段可以具体数字化的信息,可以是声音,可以是图像,也可是遥感测量数据。

简单地说,它是一个函数,定义在通常的一维或者多维空间之上。

譬如一段声音就是一个定义在一维空间上的函数,自变量是时间,因变量是声音的强度,一幅图像是定义在二维空间上的函数,自变量是横轴和纵轴坐标,因变量是图像像素的色彩和明暗,如此等等。

在数学上,关于一个信号最基本的问题在于如何将它表示和描述出来。

按照上面所说的办法,把一个信号理解成一个定义在时间或空间上的函数是一种自然而然的表示方式,但是它对理解这一信号的内容来说常常不够。

例如一段声音,如果单纯按照定义在时间上的函数来表示,它画出来是这个样子的:这通常被称为波形图。

毫无疑问,它包含了关于这段声音的全部信息。

但是同样毫无疑问的是,这些信息几乎没法从上面这个「函数」中直接看出来,事实上,它只不过是巴赫的小提琴无伴奏 Partita No.3 的序曲开头几个小节。

下面是巴赫的手稿,从某种意义上说来,它也构成了对上面那段声音的一个「描述」:这两种描述之间的关系是怎样的呢?第一种描述刻划的是具体的信号数值,第二种描述刻划的是声音的高低(即声音震动的频率)。

人们直到十九世纪才渐渐意识到,在这两种描述之间,事实上存在着一种对偶的关系,而这一点并不显然。

1807 年,法国数学家傅立叶 (J. Fourier) 在一篇向巴黎科学院递交的革命性的论文 Mémoire sur la propagation de la chaleur dans les corps solides (《固体中的热传播》)中,提出了一个崭新的观念:任何一个函数都可以表达为一系列不同频率的简谐振动(即简单的三角函数)的叠加。

有趣的是,这结论是他研究热传导问题的一个副产品。

这篇论文经拉格朗日 (J. Lagrange)、拉普拉斯 (P-S. Laplace) 和勒让德 (A-M. Legendre) 等人审阅后被拒绝了,原因是他的思想过于粗糙且极不严密。

1811 年傅立叶递交了修改后的论文,这一次论文获得了科学院的奖金,但是仍然因为缺乏严密性而被拒绝刊载在科学院的《报告》中。

傅立叶对此耿耿于怀,直到 1824 年他本人成为了科学院的秘书,才得以把他 1811 年的论文原封不动地发表在《报告》里。

用今天的语言来描述,傅立叶的发现实际上是在说:任何一个信号都可以用两种方式来表达,一种就是通常意义上的表达,自变量是时间或者空间的坐标,因变量是信号在该处的强度,另一种则是把一个信号「展开」成不同频率的简单三角函数(简谐振动)的叠加,于是这就相当于把它看作是定义在所有频率所组成的空间(称为频域空间)上的另一个函数,自变量是不同的频率,因变量是该频率所对应的简谐振动的幅度。

这两个函数一个定义在时域(或空域)上,一个定义在频域上,看起来的样子通常截然不同,但是它们是在以完全不同的方式殊途同归地描述着同一个信号。

它们就象是两种不同的语言,乍一听完全不相干,但是其实可以精确地互相翻译。

在数学上,这种翻译的过程被称为「傅立叶变换」。

傅立叶变换是一个数学上极为精美的对象:•它是完全可逆的,任何能量有限的时域或空域信号都存在唯一的频域表达,反之亦然。

•它完全不损伤信号的内在结构:任何两个信号之间有多少相关程度(即内积),它们的频域表达之间也一定有同样多的相关程度。

•它不改变信号之间的关联性:一组信号收敛到一个特定的极限,它们的频域表达也一定收敛到那个极限函数的频域表达。

傅立叶变换就象是把信号彻底打乱之后以最面目全非的方式复述出来,而一切信息都还原封不动的存在着。

要是科幻小说作家了解这一点,他们本来可以多出多少有趣的素材啊。

在傅立叶变换的所有这些数学性质中,最不寻常的是这样一种特性:一个在时域或空域上看起来很复杂的信号(譬如一段声音或者一幅图像)通常在频域上的表达会很简单。

这里「简单」的意思是说作为频域上的函数,它只集中在很小一块区域内,而很大一部分数值都接近于零。

例如下图是一张人脸和它对应的傅立叶变换,可以看出,所有的频域信号差不多都分布在中心周围,而大部分周边区域都是黑色的(即零)。

这是一个意味深长的事实,它说明一个在空域中看起来占满全空间的信号,从频域中看起来很可能只不过占用了极小一块区域,而大部分频率是被浪费了的。

这就导出了一个极为有用的结论:一个看起来信息量很大的信号,其实可以只用少得多的数据来加以描述。

只要对它先做傅立叶变换,然后只记录那些不接近零的频域信息就可以了,这样数据量就可以大大减少。

基本上,这正是今天大多数数据压缩方法的基础思想。

在互联网时代,大量的多媒体信息需要在尽量节省带宽和时间的前提下被传输,所以数据压缩从来都是最核心的问题之一。

而今天几乎所有流行的数据压缩格式,无论是声音的 mp3 格式还是图像的 jpg 格式,都是利用傅立叶变换才得以发明的。

从这个意义上说来,几乎全部现代信息社会都建立在傅立叶的理论的基础之上。

这当然是傅立叶本人也始料未及的。

不确定性原理的前世今生 · 数学篇(二)傅立叶变换这种对偶关系的本质,是把一块信息用彻底打乱的方式重新叙述一遍。

正如前面所提到的那样,一个信号可能在空域上显得内容丰富,但是当它在频域上被重新表达出来的时候,往往就在大多数区域接近于零。

反过来这个关系也是对称的:一个空域上大多数区域接近于零的信号,在频域上通常都会占据绝大多数频率。

有没有一种信号在空域和频域上的分布都很广泛呢?有的,最简单的例子就是噪声信号。

一段纯粹的白噪声,其傅立叶变换也仍然是噪声,所以它在空域和频域上的分布都是广泛的。

如果用信号处理的语言来说,这就说明「噪声本身是不可压缩的」。

这并不违反直觉,因为信号压缩的本质就是通过挖掘信息的结构和规律来对它进行更简洁的描述,而噪声,顾名思义,就是没有结构和规律的信号,自然也就无从得以压缩。

另一方面,有没有一种信号在空域和频域上的分布都很简单呢?换句话说,存不存在一个函数,它在空间上只分布在很少的几个区域内,并且在频域上也只占用了很少的几个频率呢?(零函数当然满足这个条件,所以下面讨论的都是非零函数。

)答案是不存在。

这就是所谓的 uncertainty principle(不确定性原理)。

这一事实有极为重要的内涵,但是其重要性并不容易被立刻注意到。

它甚至都不是很直观:大自然一定要限制一个信号在空间分布和频率分布上都不能都集中在一起,看起来并没有什么道理啊。

这个原理可以被尽量直观地解释如下:所谓的频率,本质上反应的是一种长期的全局的趋势,所以任何一个单一的频率,一定对应于一个在时空中大范围存在的信号。

反过来,任何只在很少一块时空的局部里存在的信号,都存在很多种不同的长期发展的可能性,从而无法精确推断其频率。

让我们仍然用音乐来作例子。

声音可以在时间上被限制在一个很小的区间内,譬如一个声音只延续了一刹那。

声音也可以只具有极单一的频率,譬如一个音叉发出的声音(如果你拿起手边的固定电话,里面的拨号音就是一个 440Hz 的纯音加上一个 350Hz 的纯音,相当于音乐中的 A-F 和弦)。

但是不确定性原理告诉我们,这两件事情不能同时成立,一段声音不可能既只占据极短的时间又具有极纯的音频。

当声音区间短促到一定程度的时候,频率就变得不确定了,而频率纯粹的声音,在时间上延续的区间就不能太短。

因此,说「某时某刻那一刹那的一个具有某音高的音」是没有意义的。

这看起来像是一个技术性的困难,而它实际上反映出却是大自然的某种本质规律:任何信息的时空分辨率和频率分辨率是不能同时被无限提高的。

一种波动在频率上被我们辨认得越精确,在空间中的位置就显得越模糊,反之亦然。

这一规律对于任何熟悉现代多媒体技术的人来说都是熟知的,因为它为信号处理建立了牢不可破的边界,也在某种程度上指明了它发展的方向。

既然时空分辨率和频率分辨率不能同时无限小,那人们总可以去研究那些在时空分布和频率分布都尽量集中的信号,它们在某种意义上构成了信号的「原子」,它们本身有不确定性原理所允许的最好的分辨率,而一切其他信号都可以在时空和频率上分解为这些原子的叠加。

这一思路在四十年代被 D. Gabor (他后来因为发明全息摄影而获得了 1971 年的诺贝尔物理奖)所提出,成为整个现代数字信号处理的奠基性思想,一直影响到今天。

但是众所周知,不确定性原理本身并不是数学家的发明,而是来自于量子物理学家的洞察力。

同样一条数学结论可以在两个截然不相干的学科分支中都产生历史性的影响,这大概是相当罕见的例子了。

不确定性原理的前世今生 · 数学篇(三)不确定性原理事实上不是一个单独的定理,而是一组定理的统称。

基本上,凡是刻划一个信号不能在时空域和频域上同时过于集中的命题都可以称为不确定性原理,由于这里「集中」这一性质可以有不同的数学描述,也就对应着不同的数学定理。

但是在所有冠以「不确定性原理」之名的定理中,最著名的当然是海森堡 (W. Heisenberg) 在 1927 年所提出的影响物理学发展至深的那个版本。

它精确的数学描述是:假定一个信号的总能量为 1,则这个信号和它的傅立叶变换的能量的方差之积不小于 。

换言之,两者各自的能量都可能很集中,但是不能同时很集中。

如果时空域中能量的方差很小(亦即集中在一起),那么频域上能量的方差就不会太小(亦即必然会弥散开),反之亦然。

对这个定理在量子物理中的意义的详细讨论超出了本文的话题范围,坊间相关的著作已有不少。

不过,下面简单胪列了一些相关的历史事实:1.海森堡在 1927 年的那篇文章标题为Ueber den anschaulichen Inhalt derquantentheoretischen Kinematik und Mechanik(《量子理论运动学和力学的直观内容》)。

这篇文章很大程度上是对薛定谔 (E. Schrödinger) 在 1926 年所提出的薛定谔波动方程的回应。

相较于海森堡的矩阵力学而言,薛定谔的方程很快由于它物理上的直观明晰而吸引了越来越多物理学家的赞赏。

海森堡对此极为失落。

在 1926 年6 月 8 日海森堡写给泡利 (W. Pauli) 的信中他说:「我对薛定谔的理论想得越多我就越觉得恶心。

」因此,他迫切需要给他自己的理论配上一幅更直观的图象。

2.海森堡的这篇文章提出了后来被人们所熟悉的关于为什么无法同时测量一个电子的位置和动量的解释,但是并未给出任何严格的数学证明。

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