K(三章5讲)不确定性原理
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技经第五章 不确定性分析
2、线性盈亏平衡点的确定 （1）以产量表示的盈亏平衡点BEP(Q) 固定成本：与产品产量大小关系不很密切的费用 可变成本：直接与产品产量大小基本上成正比例变化的费用 已知固定成本为F，单位产品可变成本为V，单位产品销售 税金为T，产品单位售价为P。 销售收入S=单位售价×销量=PQ 总成本C=固定成本+可变成本= F +VQ T= + 单位产品销售税金T=单位产品销售税金+单位产品增值税 盈亏平衡时：S=C+TQ PQ= F +VQ+ TQ BEP(Q)= F /(P-V-T) （2）生产能力利用率表示的盈亏平衡点 BEP(R) BEP(R)%= BEP(Q)/Q 或 BEP(R)%= F /Q(P-V-T) BEP(Q)%=盈亏平衡点销售量/正常销售量
第五章 不确定性分析
广义的所谓不确定性分析就是考查项目投资、经营成 本、产品售价、销售量、项目寿命等因素变化时，对 项目经济评价指标所产生的影响。 狭义来说，不用概率表示的对不确定性问题的分析， 称为不确定性分析；而当这些不确定性结果可以用发 生的概率来加以表述和分析时，称为风险分析。 不确定性与风险产生的原因 主观上：信息的不对称性；人的有限理性。 客观上：市场变化的影响；技术变化的影响; 经济环境变化的影响；自然条件和资源的影响。
计算变动因素的临界点。临界点是指项目允许不确定因素向 不利方向变化的极限值。超过极限，项目的效益指标将不可 行。 （5）绘制敏感性分析图，作出分析。 例：设某项目基本方案的基本数据估算值如下表所示，试就年 销售收入B、年经营成本C和建设投资I对内部收益率进行单 因素敏感性分析（基准收益率ic=8%）。 基本方案的基本数据估算表
−1 t =2 5 5
31.08 (9% − 8%) = 8.79% 31.08 + 7.92
05第五章 风险与不确定性分析
确定敏感因素
▪绝对测定法
设定各因素均向对方案不利的方向变动，并取 其有可能出现的对方案最不利的数值，据此计 算方案的经济效果指标，看其是否可达到使方 案无法被接受的程度。如果某因素可能出现的 最不利数值能使方案变得不可接受，则表明该 因素是方案的敏感因素。
综合评价，比选方案
根据敏感因素对技术项目方案的经济效果评价 指标的影响程度，结合确定性分析的结果作出 进一步的综合评价，寻求对主要不确定性因素 不太敏感的比选方案。
要求：分析各方案适用的生产规模和经济性。
三、互斥方案的盈亏平衡分析
TC
C
B
A LN
M
0
Qm Qn
Q
如右图所示
Qm与Qn是临界点 当Q Qm时 方案C总成本最低 当Qm Q Qn时 方案B总成本最低 当Q Qn时 方案A总成本最低
其中：Qm 20万件 Qn 30万件
三、互斥方案的盈亏平衡分析
在工程项目的经济分析中，为便于计算和分析，可将总成 本费用中的原材料费用及燃料和动力费用视为变动成本， 其余各项均视为固定成本。这样划分为盈亏平衡分析提供 前提条件。
一、线性盈亏平衡分析
线性盈亏平衡分析的目的是通过分析独立方案 的产品产量、成本与方案盈利能力之间的关系，找 出投资方案盈利与亏损在产量、产品价格、单位产 品成本等方面的临界值，以判断在各种不确定因素 作用下方案的风险情况。亦称量本利分析法。
不确定型决策：决策者有多个方案可供选择，每个方案有 多种后果且不知道各种后果发生的概率。
概述
不确定性分析是对决策方案受到各种事前无法控 制的外因变化与影响所进行的研究与估计，是研 究技术方案中不确定性因素对经济效果影响的一 种方法。简单地说就是以不确定因素对项目经济 效益影响为内容的计算和分析。
中级微观经济学 第3讲不确定性
第三讲第讲不确定性下的选择教材第⏹5章⏹不确定性和风险⏹风险偏好⏹存在风险时的需求不确定性y和风险Uncertainty Risk什么是不确定性？在许多情况下我们不能确⏹什么是不确定性？在许多情况下，我们不能确定哪个结果会实现。
也就是说，有若干结果发生的概率都是正的。
我们用不确定性来描述这生的概率都是正的我们用不确定性来描述这类情况⏹有时我们不知道每种结果发生的概率(可能性)，但有时知道每种结果发生的客观概率。
后一种类型的不确定性通常称为风险在本章中我们始终只分析风险在术语中通⏹在本章中，我们始终只分析风险，在术语中通常不区分风险和不确定性如何描风险如何描述风险？⏹为了描述某个事件的风险，我们需要知道：❑该事件所有可能的结果❑每个结果发生的客观概率，或概率密度⏹为了简化起见，我们把每个具有风险的事件都看作一个彩票(lottery)，每个可能的结果都用每个可能的结果都用收入(货币) 来表示即使是没有不确定性的事件也可以被认为是一张退❑化的彩票期望值和方差⏹给定一个彩票，可能的结果是，相应给定个彩票可能的结果是相应的概率分别是，或概率密度expected value ⏹期望值(expected value ):⏹方差(variance ):标准差(standard deviation ): 方差的平方根⏹直观上，期望值表示彩票的平均回报，而方差刻画彩票的风险(是对风险的客观度量)一些性质性质E X+bY E⏹(aX+bY)= aE(X)+bE(Y)⏹D(aX+b)= a2D(X)⏹D(X+Y)= D(X)+D(Y)+2cov(X,Y)cov X Y)❑(X,Y)=E(X-EX)(Y-EY)=E(XY)-EX·EY❑如果X和Y相互独立，则D(X+Y)=D(X)+D(Y)存在风险时的决策⏹如果一个人面临两个选择：彩票A B 如果个人面临两个选择：彩票和彩票，他会选择哪一个？⏹这取决于他在有风险情况下的偏好❑期望效用(Expected utility )❑风险态度(Risk attitude )彩票空间和偏好彩票间和偏好为简便起见，如果一个彩票⏹为简便起见，如果个彩票A只有两种结果，我们用表示。
17.5不确定性关系(教师版)2021-2021学年高二物理人教选修3-5
17.5不确定性关系（教师版）2021-2021学年高二物理人教选修3-5第十七章波粒二象性第5节不确定性关系1．下列说法中正确的是A．宏观物体的动量和位置可准确测定 B．微观粒子的动量和位置可准确测定 C．微观粒子的动量和位置不可同时准确测定 D．宏观物体的动量和位置不可同时准确测定【答案】AC【解析】由不确定性关系知，宏观物体的不确定量较小，一般认为其动量和位置确定。
而微观粒子的动量和位置是不能同时确定的，A、C正确。
2．在单缝衍射实验中，从微观粒子运动的不确定关系可知 A．缝越窄，粒子位置的不确定性越大 B．缝越宽，粒子位置的不确定性越大 C．缝越窄，粒子动量的不确定性越大 D．缝越宽，粒子动量的不确定性越大【答案】BC【解析】由不确定性关系ΔxΔp≥因此选项BC正确。
3．下列关于不确定关系说法正确的是 A．只对微观粒子适用 B．只对宏观粒子适用 C．对微观和宏观粒子都适用 D．对微观和宏观粒子都不适用【答案】A【解析】微观世界的属性，人类缺少直接感知，在这种情况下，我们要建立一些模型，用来分析他们的规律。
不确定关系只是用来解释微观粒子的，故A正确。
h知缝宽时，位置不确定性越大，则动量的不确定性越小，反之亦然，4π4．由不确定性关系可以得出的结论是A．如果动量的不确定范围越小，则与它对应位置坐标的不确定范围就越大 B．如果位置坐标的不确定范围越小，则动量的不确定范围就越大 C．动量和位置坐标的不确定范围之间的关系不是反比例函数 D．动量和位置坐标的不确定范围之间有唯一的确定关系【答案】C【解析】由不确定性关系可知，不能同时确定动量和坐标，二者没有唯一关系，其他三个选项只说明了其中的某个方面，而没有对不确定关系作进一步的认识，C正确。
5．根据不确定性关系ΔxΔp≥h，判断下列说法正确的是4πA．采取办法提高测量Δx精度时，Δp的精度下降B．采取办法提高测量Δx精度时，Δp的精度上升 C．Δx与Δp测量精度与测量仪器及测量方法是否完备有关 D．Δx与Δp测量精度与测量仪器及测量方法是否完备无关【答案】AD【解析】不确定关系表明，无论采用什么方法试图确定位置坐标和相应动量中的一个，必然引起另一个较大的不确定性，这样的结果与测量仪器及测量方法是否完备无关，无论怎样改善测量仪器和测量方法，都不可能逾越不确定关系所给出的限度。
第3章：多属性决策及不确定性多属性决策方法
a L aU ，则 a 退化为一个实数。
1, a b 定义 3.2.1 当 a, b 均为实数时，称 p(a b) 0, a b
为 a b 的可能度。
3.2.1
p(b a) 1, b a 相应地， b a 的可能度定义为 0, b a
3.2.2
3.2.3
为 a b 的可能度。 类似地，称
p(b a ) m ax 1 aU b L max l (a ) l b( ) , 0 , 0
3.2.4
为 b a 的可能度。
对于给定的一组区间数 a [a L , aU ], i 1, 2,, n. 用区间数比较的可能度公式对 其进行两两比较，得到相应的可能度 p(ai a j ), i, j 1, 2,, n, ，简记为 pij ,i, j 1, 2,, n,
L n b L w' , d i ij ji j 1
U n bU w'' , d i ij ji j 1
i 1, 2,, m
三、区间数多属性决策的目标规划方法
设属性权重向量为 w w1 , w2 ,, wn T , 这里 w j j 1,2,, m可被视为变量。设方案
n
w L w j wU , j 1,2,, n j j
这个模型的基本含义是要确定每个方案的综合评价值所在的区间并使用同一个 属性权重向量 w w , w 2 ,, w
1 T n
, ，使得所有方案的排序（或评价）具有可比性。
1i i
为了方便求解上述多目标最优化模型，可将式 3.2.11 —— 3.2.14 转化为下列线性 目标规划问题：
工程经济学不确定性分析
解：依题意知销售收入函数为： S=（55-0.0035 Q）Q =55 Q -0.0035 Q2 成本函数为： C=66000+（28-0.001Q）Q=66000+28Q-0.001 Q2 令 S= C ,整理得: 0.0025 Q2-27 Q+66000=0 解方程得：Q1=3740(件)，Q2=7060(件) 由此可知，该项目的生产经济规模为 3740 件到 7060 件之间。 将题中数据代入利润函数 P=S-C 可得： P= -0.0025 Q2+27 Q-66000 将上式对 Q 求导，并令其等于 0，得： -0.005 Q+27=0
第五章 不确定性分
不确定性因素：建设投资、经营成本、产品售价、销 售数量、项目寿命等。 不确定性因素一般可以分为两种类型：一种是完全不 确定型的，也就是不可测定的不确定性；一种是风险 型的，也就是可测定的不确定性。完全不确定型，是 指不但方案实施可能出现的结果是不确定的，而且对 结果出现的概率分布也全然不知；风险型是指虽然方 案实施后出现的结果是不确定的，但这些结果出现的 可能性即概率分布状况是已知或是可估计的。 不确定性分析通常包括盈亏平衡分析(收支平衡分析)、 敏感性分析(灵敏度分析)和概率分析(风险分析)。其中 盈亏平衡分析只适用于财务评价，敏感性分析和风险 分析可同时适用于财务评价和国民经济评价。
盈亏平衡点的求解除借助盈亏平衡分析图图解外，还可以用前述 函数式表示的平衡方程式进行求解。盈亏平衡点通常有以下四种 表示方式：
产(4能)以力达时到的设销计售生单产能价力的时盈的亏销平售衡单点价。表由示P=。(p设-v-pt)0Q表-示F=达0可到得设：计生
p0= F／Q +v +t（5-4） 产品销售价格是由市场决定的。企业的价格盈亏平衡点越低，在 市场中的竞争能力就越强。
第五章 不确定性分
不确定性因素：建设投资、经营成本、产品售价、销 售数量、项目寿命等。 不确定性因素一般可以分为两种类型：一种是完全不 确定型的，也就是不可测定的不确定性；一种是风险 型的，也就是可测定的不确定性。完全不确定型，是 指不但方案实施可能出现的结果是不确定的，而且对 结果出现的概率分布也全然不知；风险型是指虽然方 案实施后出现的结果是不确定的，但这些结果出现的 可能性即概率分布状况是已知或是可估计的。 不确定性分析通常包括盈亏平衡分析(收支平衡分析)、 敏感性分析(灵敏度分析)和概率分析(风险分析)。其中 盈亏平衡分析只适用于财务评价，敏感性分析和风险 分析可同时适用于财务评价和国民经济评价。
盈亏平衡点的求解除借助盈亏平衡分析图图解外，还可以用前述 函数式表示的平衡方程式进行求解。盈亏平衡点通常有以下四种 表示方式：
产(4能)以力达时到的设销计售生单产能价力的时盈的亏销平售衡单点价。表由示P=。(p设-v-pt)0Q表-示F=达0可到得设：计生
p0= F／Q +v +t（5-4） 产品销售价格是由市场决定的。企业的价格盈亏平衡点越低，在 市场中的竞争能力就越强。
半导体物理与器件1.1——第二、三章
第三章 固体量子理论初步 29
半导体物理与器件
定性理论（物理概念）：晶体中原子之间的相互作用 （泡利不相容原理），使能级分裂形成能带。 定量理论（量子力学计算）：电子在周期场中运动， 其能量不连续成能带。
自由电子的运动 晶体中电子的运动与孤立原子的电子、自由电子的运动不同： 孤立原子中的电子是在该原子的核和其它电子的势场中运动 自由电子是在恒定为零的势场中运动 晶体中的电子是在严格周期性重复排列的原子间运动， 单电子近似认为，晶体中的某一个电子是在周期性排列且 固定不动的原子核的势场以及其它大量电子的平均势场中 运动，这个势场也是周期性变化的，而且它的周期与晶格 周期相同。
27
半导体物理与器件
大量硅原子形成硅晶体的电子能级分裂示意图
第三章
固体量子理论初步
28
半导体物理与器件
以Si 为例:
每个Si原子最外层有2个S能级和6个p能级，N 个Si原子构成单晶体后，每个能级都分裂成N 个能级，因而总共有8N个能级。但由于形成晶 体时，SP3杂化使得在平衡状态时，3s和3p态 相互作用并交叠，最终每个原子具有4个成键 态（能量低）和4个反键态（能量高）；每个 原子核外的4个电子都填充其中的4个低能状态， 因而低能带被填满（价带），高能带被空臵 （导带）。
半导体物理与器件
第三章
固体量子理论初步
§3.1 固体的能带理论
能带理论是研究固体中电子运动的一个主要理论基础 为什么需要能带理论： 怎么样来描述电子
电子-全同性粒子
电子的状态：波失k，能量E；
第三章
固体量子理论初步
19
半导体物理与器件
§3.1 固体的能带理论
能带理论是单电子近似的理论 把每个电子的运动看成是独立的在一个等效势场中 的运动。（哈特里-福克自洽场方法） 通过能带理论理解 K空间能带图 电子、空穴 金属、绝缘体、半导体 重在理解能带形成的机理，E-k能带图的作用及意义。
半导体物理与器件
定性理论（物理概念）：晶体中原子之间的相互作用 （泡利不相容原理），使能级分裂形成能带。 定量理论（量子力学计算）：电子在周期场中运动， 其能量不连续成能带。
自由电子的运动 晶体中电子的运动与孤立原子的电子、自由电子的运动不同： 孤立原子中的电子是在该原子的核和其它电子的势场中运动 自由电子是在恒定为零的势场中运动 晶体中的电子是在严格周期性重复排列的原子间运动， 单电子近似认为，晶体中的某一个电子是在周期性排列且 固定不动的原子核的势场以及其它大量电子的平均势场中 运动，这个势场也是周期性变化的，而且它的周期与晶格 周期相同。
27
半导体物理与器件
大量硅原子形成硅晶体的电子能级分裂示意图
第三章
固体量子理论初步
28
半导体物理与器件
以Si 为例:
每个Si原子最外层有2个S能级和6个p能级，N 个Si原子构成单晶体后，每个能级都分裂成N 个能级，因而总共有8N个能级。但由于形成晶 体时，SP3杂化使得在平衡状态时，3s和3p态 相互作用并交叠，最终每个原子具有4个成键 态（能量低）和4个反键态（能量高）；每个 原子核外的4个电子都填充其中的4个低能状态， 因而低能带被填满（价带），高能带被空臵 （导带）。
半导体物理与器件
第三章
固体量子理论初步
§3.1 固体的能带理论
能带理论是研究固体中电子运动的一个主要理论基础 为什么需要能带理论： 怎么样来描述电子
电子-全同性粒子
电子的状态：波失k，能量E；
第三章
固体量子理论初步
19
半导体物理与器件
§3.1 固体的能带理论
能带理论是单电子近似的理论 把每个电子的运动看成是独立的在一个等效势场中 的运动。（哈特里-福克自洽场方法） 通过能带理论理解 K空间能带图 电子、空穴 金属、绝缘体、半导体 重在理解能带形成的机理，E-k能带图的作用及意义。
J(三章4讲)算符对易关系
x
ˆ , xp ˆ , yp ˆ , zp ˆ ˆ ˆz ] [l ] [ l ] [ l x x x y x ˆ,p ˆ , y] p ˆ,p ˆ , z] p ˆ ˆ ˆ ˆz 0 0 y[l ] [ l z [ l ] [ l x y x y x z x ˆ z izp ˆ y izp ˆ y iyp ˆz 0 iyp
ˆ y , xp ˆ z ] zx[ p ˆy, p ˆ z ] z[ p ˆ y , x] p ˆz z[ p
ˆ z , z] p ˆ x x[ z, p ˆz ]p ˆy y[ p
ˆ z ][ xp ˆ y yp ˆx] [ z, p
ˆ iL z
角动量与角动量平方的对易关系
ˆ , p ˆ p 0 , 1, 2, 3
ˆ1 p ˆ x, p ˆ 2 p ˆ y, p ˆ 3 p ˆz ) (p
ˆ x i x, p ˆy y, p i ˆ z i z, p
ˆy ˆz 0 x, p x, p ˆ x y, p ˆz 0 y, p ˆx ˆy z, p z, p 0
实例：
1. 若一组力学量彼此相互对易，则它们具有共同 本征函数系；当体系处于某一共同本征态时，它们 同时具有确定值。
2. 能完全确定一个量子态所需要的一组彼此对易的 力学量算符的最小（数目）集合称为一组力学量完 全集，这组集所含力学量的数目与体系的自由度数 目相同
矢量空间的自由度为3,用3个彼此对易的矢量构成的集，比如
ˆ z , zp ˆ x ] [ zp ˆ y , xp ˆz] [ yp
ˆ z , zp ˆ x ] [ y , zp ˆ x ]p ˆ z z[ p ˆ y , xp ˆ z ] [ z , xp ˆ z ]p ˆy y[ p
ˆ , xp ˆ , yp ˆ , zp ˆ ˆ ˆz ] [l ] [ l ] [ l x x x y x ˆ,p ˆ , y] p ˆ,p ˆ , z] p ˆ ˆ ˆ ˆz 0 0 y[l ] [ l z [ l ] [ l x y x y x z x ˆ z izp ˆ y izp ˆ y iyp ˆz 0 iyp
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角动量与角动量平方的对易关系
ˆ , p ˆ p 0 , 1, 2, 3
ˆ1 p ˆ x, p ˆ 2 p ˆ y, p ˆ 3 p ˆz ) (p
ˆ x i x, p ˆy y, p i ˆ z i z, p
ˆy ˆz 0 x, p x, p ˆ x y, p ˆz 0 y, p ˆx ˆy z, p z, p 0
实例：
1. 若一组力学量彼此相互对易，则它们具有共同 本征函数系；当体系处于某一共同本征态时，它们 同时具有确定值。
2. 能完全确定一个量子态所需要的一组彼此对易的 力学量算符的最小（数目）集合称为一组力学量完 全集，这组集所含力学量的数目与体系的自由度数 目相同
矢量空间的自由度为3,用3个彼此对易的矢量构成的集，比如
ˆ z , zp ˆ x ] [ zp ˆ y , xp ˆz] [ yp
ˆ z , zp ˆ x ] [ y , zp ˆ x ]p ˆ z z[ p ˆ y , xp ˆ z ] [ z , xp ˆ z ]p ˆy y[ p
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3）量子测量在本质上是“随机”的，因此原则上会对被观测 对象带来不可预测的影响 。当我们说“测得电子出现在某处”时， 只描述了这个事件，并不知道它为什么会在这里，因为它并不必然 出现在这里。因此，因果率不适用，应被统计率所取代。
第五届索尔维会议，不确定性原理和互补原理；宣告量子革命完成！
德拜
狄拉克
Nature 527 290 (2015)
不确定性关系的哲学意义：
宇宙和时空都可以“无中生有”，作为第一推
动力的“上帝”再也没有存在的必要
上帝已死
－－尼采
唯心唯物论争论的根没有了，哲学扫地出门！
哲学已死
－－霍金《大设计》
观测不到等于不存在！
你身边站着一只“鬼”
但你用尽一切仪器都观测不到，说明它是不存在的！
D2 M1
BS1
实验结论：
I1
BS2
I2 D1
M２
（1）观测不仅对被观测物现在的状态有不可避免的扰动，
对过去的行为也是一样的。
（2）主体测量影响客体，主客体是不可分割的整体。
（3）物体所呈现出的形态，很大程度上取决于我们的观 测方法和手段。
（4）传统意义上的因果论在量子力学中不存在。
（5）物体从一个位置运动到另一位置，没有确定的轨迹， 而是所有可能路径的总和。（费曼建立“路径积分”，是 描述量子力学的第三种方法）
[Fˆ iGˆ ][ (Fˆ ) * i(Gˆ )*]d
[Fˆ iGˆ ][ (Fˆ )*i(Gˆ )*]d
2 (Fˆ )(Fˆ )* d i (Gˆ )(Fˆ )* d i (Fˆ )(Gˆ )*d (Gˆ )(Gˆ )*d
小坐，标则测与量它愈共准轭，的动动量量就愈px测的不均准方。偏所差以越也大称，测亦不就准是原说， 理
分析:(1) “不确定”名副其实！
x
px
h 2
1034
我们假设△x 和△p 的量级差不多，它们都在10-17量级。
我们知道电子的大小约在10-23 米，现在，我们想测 电子在哪里，测量的误差是10-17 米，这是很严重的事！ 因为位置误差是其实际大小的100 万倍！
Fˆ F F Fˆ F
2.不确定度: 偏差的大小（绝对值） Fˆ Fˆ F F F
３.均方差: 偏差平方的平均值
(F )2
F2
2
F
推导：
(F )2 (F - F )2 F 2 2FF F 2
F 2 2FF F 2
F 2 2F F F 2 F 2 2F 2 F 2
（2）若在光子到达I2前的某一时刻（此时光子正在某一条“路径” 上），在I2处放置半透镜BS2，使其产生干涉。调整光程差，使D1方向相 干相消，D2方向相干相长，光子总被D2接收。说明光子总是走两条路径。
实验事实：光子走一条还是两条路径；由I2处是否放置有半透镜决定
观察者现在的测量决定了光子过去对路径的选择！
时空源于量子纠缠
Physicists believe that entanglement is the essence of quantum weirdness — and some now
suspect that it may also be the essence of space-time geometry.
哥本哈根会晤之谜！ 说谎者得不了诺贝尔奖！
例题：一粒子处于如下波函数所描述的状态
(
x)
Axe
x
,
0
解：归一化
( 0)
当x 0 当x 0
,
求(x)2 (px )2 ?
1
( x) 2 dx
A2 x 2e 2x dx
0
1
43
地球“本来”是方的，但所有观测显现圆形
方型的地球它观测不到，说明是不存在的！
电子是“粒子和波的混合体”，但观测时要么显现 出粒子性要么显现出波动性
这种 ”混合体”观测不到，说明它是不存在的！
维尔纳·海森堡
维尔纳·海森堡（Werner Heisenberg，1901
年12月5日－1976年2月1日），德国物理学家， 量子力学的创始人之一，“哥本哈根学派”代 表性人物。1932年，海森堡因“创立量子力学 以及由此导致的氢的同素异形体的发现”而荣 获诺贝尔物理学奖。
或许，宇宙本身就是通过这种机制产生的，宇宙在“没有 时空的某奇点”突然出现。然后由于各基本力的相互作用，它 指数级地膨胀，形成以恒星为主宰的世界----“大爆炸”理论！
大质量的恒星由于能量消耗最后会向内坍缩:“恒星”“白矮星” -“中子星” -“黑洞” ----“黑洞”理论！
量子真空（狄拉克海）被黑洞的引力场极化，导致正负 粒子对不断产生。正粒子留在黑洞外面，即黑洞可辐射可发 光。反粒子被黑洞捕获而消耗黑洞质量，黑洞在蒸发----“霍 金蒸发”理论！
主要贡献：（1） 创立矩阵力学（量子力学的 矩阵形式）；（2）提出“测不准原理”（又 称“海森堡不确定性关系”）；（3）散射（S） 矩阵。
1922年夏，玻尔去哥廷根大学讲学，最大的收获是遇到当时还是学生的泡 利和海森堡…..
1939年，铀俱乐部，德，海森堡
54厘米？
1941年，曼哈顿计划，美，奥本海默， 爱因斯坦, 玻尔，费米，康普顿, 古德施密特, ……
薛定谔 康普顿
泡利 海森堡
布里渊
普朗克
居里
洛伦兹 爱因斯坦 朗之万
德布罗意 玻恩
玻尔
因果论的困境：延迟选择实验 （1979） D2
M1
BS2
I2 D1
BS1
实验发现：I1
M２
（1）一个光子从光源I1发出，经半透镜BS后，各以50% 的概率由 BS１或 BS2到达I2。若在I2处不放置半透镜BS2，则要么只有D1响起， 要么只有D2响，说明光子只走一条路径。
量子力学与统计物理
Quantum mechanics and statistical physics
李小飞
光电信息学院
第三章：量子力学中的力学量
第五讲： 不确定性原理
引入：
FˆGˆ GˆFˆ ?
问题：1. 哪些算符之间是对易，哪些不是？
常用算符对易关系：
[x , x ] 0 [ pˆ , pˆ ] 0 [Lˆi , Lˆ2 ] 0
[x , pˆ ] ih
L
,
x
ihx
L
,
p
ih
p
[Lˆ , Lˆ ] ihLˆ
算符不对易的物理含义
两不对易力学量算符，一般不同时具有确定值 --海森堡
一：不确定度的定量描述
定义: 1.偏 差: 测量值与平均值之差
2 F 2 i[F , G] G2
2 F 2 i[F , G] G2
2 (F )2 k (G)2
注：[ Fˆ，Gˆ ] Fˆ Gˆ Gˆ Fˆ
(Fˆ F )(Gˆ G) (Gˆ G)(Fˆ F ) FˆGˆ Gˆ Fˆ [Fˆ，Gˆ ] ikˆ
(Fˆ )2 • (Gˆ )2 1 [Fˆ , Gˆ ] 2 4
由不确定性关系看出：若两个力学量算符 Fˆ 和 Gˆ 不对易，则一般说来F 与 G 不能同时为零，即 Fˆ
和 Gˆ 一般不能同时测定（但 [F,G] 0 的特殊态是可
能存在的）。反之，若两个厄米算符对易，则可以找 出这样的态，使 ΔF=0 和 ΔG=0 同时满足，这就 是它们的共同本征态。
宇 宙 的起 源
实验事实：(1)彭齐亚斯和威尔逊发现宇宙的微波背景辐射与3.5K的黑体 相当，表明宇宙温度在下降（1978年诺奖）。(2)哈勃发现远星系颜色比 近的要稍红些！宇宙空间在膨胀
黑洞吃恒星
Gorgeous destruction when a black hole shreds a star 2015 Science Flows of X-ray gas reveal the disruption of a star by massive black hole, 2015 Nature
哥本哈根诠释三大核心原理：
海森堡的“不确定性原理” 玻尔的“互补原理” 波恩的“统计解释”
1）不确定性原理源于波粒二象性，体现对微观事物认识的极限， 而这个极限也就是具有物理意义的一切。
2）物体所呈现出的形态，很大程度上取决于我们的观测方法 和手段。同一对象在不同观测中呈现出不同形态，就算它们是互相 排斥的，按互补原理也必须要同时被采纳，因为它们互补性地呈现 了物体的不同方面。
三、海森堡不确定性关系（1927)
1932年诺贝尔物理学奖
坐标和动量的不确定性关系
Q [x，pˆ x ] ih
（x)2
•（px )2
1 4
[x,
px ]
2
h2 4
或 （x)2
•（px )2
h, 2
即：x
•
px
h 2
海森堡，德，1901~1976
说明： px 和 x 不能同时为零，坐标 x 的均方差越
电子大小为10-23 米，测量电子位置的误差是其大小的 1023倍；相当于那个1.5m的小孩，他可能在整个银河 系（直径为10亿光年）的任何位置。这种不确定性是 “原理”性的！
（３）能量－时间不确定性关系 E t h
2
E ~ vp Et ~ vtp ~ xp
根据能量-时间不确定性原理，激发态没有明确的能量，其能
量不确定度△E也称为能级宽度 . 能级宽度越大，粒子处于这
第五届索尔维会议，不确定性原理和互补原理；宣告量子革命完成！
德拜
狄拉克
Nature 527 290 (2015)
不确定性关系的哲学意义：
宇宙和时空都可以“无中生有”，作为第一推
动力的“上帝”再也没有存在的必要
上帝已死
－－尼采
唯心唯物论争论的根没有了，哲学扫地出门！
哲学已死
－－霍金《大设计》
观测不到等于不存在！
你身边站着一只“鬼”
但你用尽一切仪器都观测不到，说明它是不存在的！
D2 M1
BS1
实验结论：
I1
BS2
I2 D1
M２
（1）观测不仅对被观测物现在的状态有不可避免的扰动，
对过去的行为也是一样的。
（2）主体测量影响客体，主客体是不可分割的整体。
（3）物体所呈现出的形态，很大程度上取决于我们的观 测方法和手段。
（4）传统意义上的因果论在量子力学中不存在。
（5）物体从一个位置运动到另一位置，没有确定的轨迹， 而是所有可能路径的总和。（费曼建立“路径积分”，是 描述量子力学的第三种方法）
[Fˆ iGˆ ][ (Fˆ ) * i(Gˆ )*]d
[Fˆ iGˆ ][ (Fˆ )*i(Gˆ )*]d
2 (Fˆ )(Fˆ )* d i (Gˆ )(Fˆ )* d i (Fˆ )(Gˆ )*d (Gˆ )(Gˆ )*d
小坐，标则测与量它愈共准轭，的动动量量就愈px测的不均准方。偏所差以越也大称，测亦不就准是原说， 理
分析:(1) “不确定”名副其实！
x
px
h 2
1034
我们假设△x 和△p 的量级差不多，它们都在10-17量级。
我们知道电子的大小约在10-23 米，现在，我们想测 电子在哪里，测量的误差是10-17 米，这是很严重的事！ 因为位置误差是其实际大小的100 万倍！
Fˆ F F Fˆ F
2.不确定度: 偏差的大小（绝对值） Fˆ Fˆ F F F
３.均方差: 偏差平方的平均值
(F )2
F2
2
F
推导：
(F )2 (F - F )2 F 2 2FF F 2
F 2 2FF F 2
F 2 2F F F 2 F 2 2F 2 F 2
（2）若在光子到达I2前的某一时刻（此时光子正在某一条“路径” 上），在I2处放置半透镜BS2，使其产生干涉。调整光程差，使D1方向相 干相消，D2方向相干相长，光子总被D2接收。说明光子总是走两条路径。
实验事实：光子走一条还是两条路径；由I2处是否放置有半透镜决定
观察者现在的测量决定了光子过去对路径的选择！
时空源于量子纠缠
Physicists believe that entanglement is the essence of quantum weirdness — and some now
suspect that it may also be the essence of space-time geometry.
哥本哈根会晤之谜！ 说谎者得不了诺贝尔奖！
例题：一粒子处于如下波函数所描述的状态
(
x)
Axe
x
,
0
解：归一化
( 0)
当x 0 当x 0
,
求(x)2 (px )2 ?
1
( x) 2 dx
A2 x 2e 2x dx
0
1
43
地球“本来”是方的，但所有观测显现圆形
方型的地球它观测不到，说明是不存在的！
电子是“粒子和波的混合体”，但观测时要么显现 出粒子性要么显现出波动性
这种 ”混合体”观测不到，说明它是不存在的！
维尔纳·海森堡
维尔纳·海森堡（Werner Heisenberg，1901
年12月5日－1976年2月1日），德国物理学家， 量子力学的创始人之一，“哥本哈根学派”代 表性人物。1932年，海森堡因“创立量子力学 以及由此导致的氢的同素异形体的发现”而荣 获诺贝尔物理学奖。
或许，宇宙本身就是通过这种机制产生的，宇宙在“没有 时空的某奇点”突然出现。然后由于各基本力的相互作用，它 指数级地膨胀，形成以恒星为主宰的世界----“大爆炸”理论！
大质量的恒星由于能量消耗最后会向内坍缩:“恒星”“白矮星” -“中子星” -“黑洞” ----“黑洞”理论！
量子真空（狄拉克海）被黑洞的引力场极化，导致正负 粒子对不断产生。正粒子留在黑洞外面，即黑洞可辐射可发 光。反粒子被黑洞捕获而消耗黑洞质量，黑洞在蒸发----“霍 金蒸发”理论！
主要贡献：（1） 创立矩阵力学（量子力学的 矩阵形式）；（2）提出“测不准原理”（又 称“海森堡不确定性关系”）；（3）散射（S） 矩阵。
1922年夏，玻尔去哥廷根大学讲学，最大的收获是遇到当时还是学生的泡 利和海森堡…..
1939年，铀俱乐部，德，海森堡
54厘米？
1941年，曼哈顿计划，美，奥本海默， 爱因斯坦, 玻尔，费米，康普顿, 古德施密特, ……
薛定谔 康普顿
泡利 海森堡
布里渊
普朗克
居里
洛伦兹 爱因斯坦 朗之万
德布罗意 玻恩
玻尔
因果论的困境：延迟选择实验 （1979） D2
M1
BS2
I2 D1
BS1
实验发现：I1
M２
（1）一个光子从光源I1发出，经半透镜BS后，各以50% 的概率由 BS１或 BS2到达I2。若在I2处不放置半透镜BS2，则要么只有D1响起， 要么只有D2响，说明光子只走一条路径。
量子力学与统计物理
Quantum mechanics and statistical physics
李小飞
光电信息学院
第三章：量子力学中的力学量
第五讲： 不确定性原理
引入：
FˆGˆ GˆFˆ ?
问题：1. 哪些算符之间是对易，哪些不是？
常用算符对易关系：
[x , x ] 0 [ pˆ , pˆ ] 0 [Lˆi , Lˆ2 ] 0
[x , pˆ ] ih
L
,
x
ihx
L
,
p
ih
p
[Lˆ , Lˆ ] ihLˆ
算符不对易的物理含义
两不对易力学量算符，一般不同时具有确定值 --海森堡
一：不确定度的定量描述
定义: 1.偏 差: 测量值与平均值之差
2 F 2 i[F , G] G2
2 F 2 i[F , G] G2
2 (F )2 k (G)2
注：[ Fˆ，Gˆ ] Fˆ Gˆ Gˆ Fˆ
(Fˆ F )(Gˆ G) (Gˆ G)(Fˆ F ) FˆGˆ Gˆ Fˆ [Fˆ，Gˆ ] ikˆ
(Fˆ )2 • (Gˆ )2 1 [Fˆ , Gˆ ] 2 4
由不确定性关系看出：若两个力学量算符 Fˆ 和 Gˆ 不对易，则一般说来F 与 G 不能同时为零，即 Fˆ
和 Gˆ 一般不能同时测定（但 [F,G] 0 的特殊态是可
能存在的）。反之，若两个厄米算符对易，则可以找 出这样的态，使 ΔF=0 和 ΔG=0 同时满足，这就 是它们的共同本征态。
宇 宙 的起 源
实验事实：(1)彭齐亚斯和威尔逊发现宇宙的微波背景辐射与3.5K的黑体 相当，表明宇宙温度在下降（1978年诺奖）。(2)哈勃发现远星系颜色比 近的要稍红些！宇宙空间在膨胀
黑洞吃恒星
Gorgeous destruction when a black hole shreds a star 2015 Science Flows of X-ray gas reveal the disruption of a star by massive black hole, 2015 Nature
哥本哈根诠释三大核心原理：
海森堡的“不确定性原理” 玻尔的“互补原理” 波恩的“统计解释”
1）不确定性原理源于波粒二象性，体现对微观事物认识的极限， 而这个极限也就是具有物理意义的一切。
2）物体所呈现出的形态，很大程度上取决于我们的观测方法 和手段。同一对象在不同观测中呈现出不同形态，就算它们是互相 排斥的，按互补原理也必须要同时被采纳，因为它们互补性地呈现 了物体的不同方面。
三、海森堡不确定性关系（1927)
1932年诺贝尔物理学奖
坐标和动量的不确定性关系
Q [x，pˆ x ] ih
（x)2
•（px )2
1 4
[x,
px ]
2
h2 4
或 （x)2
•（px )2
h, 2
即：x
•
px
h 2
海森堡，德，1901~1976
说明： px 和 x 不能同时为零，坐标 x 的均方差越
电子大小为10-23 米，测量电子位置的误差是其大小的 1023倍；相当于那个1.5m的小孩，他可能在整个银河 系（直径为10亿光年）的任何位置。这种不确定性是 “原理”性的！
（３）能量－时间不确定性关系 E t h
2
E ~ vp Et ~ vtp ~ xp
根据能量-时间不确定性原理，激发态没有明确的能量，其能
量不确定度△E也称为能级宽度 . 能级宽度越大，粒子处于这