物体的重心
物理重心的知识点总结
物理重心的知识点总结一、重心的概念。
1. 定义。
- 一个物体的各部分都受到重力的作用，从效果上看，我们可以认为各部分受到的重力作用集中于一点，这一点叫做物体的重心。
重心是物体所受重力的等效作用点。
2. 与质心的关系（对于质量分布均匀、形状规则的物体）- 在地球表面附近，当物体的线度远小于地球半径时，物体可视为质点系，质心与重心的位置重合。
质心是从质量分布角度定义的一个点，而重心是从重力作用角度定义的点。
二、重心的位置确定。
1. 质量分布均匀、形状规则物体的重心。
- 形状规则且质量分布均匀的物体，它的重心就在其几何中心上。
- 例如：- 均匀直棒的重心在棒的中点；- 均匀球体的重心在球心；- 均匀圆柱体的重心在轴线的中点。
2. 薄板状物体重心的实验测定 - 悬挂法。
- 原理：薄板静止时，受重力和绳子的拉力，根据二力平衡，重心一定在绳子的延长线上。
- 操作步骤：- 用细线将薄板状物体悬挂起来，画出细线的延长线；- 再换一个位置将薄板悬挂起来，画出另一条细线的延长线；- 两条细线延长线的交点就是薄板的重心。
3. 不规则物体重心的计算（高中阶段较少涉及复杂计算，简单了解）- 对于由多个质点组成的物体系统，可以根据重心坐标公式x_c=frac{∑_i =1^nm_ix_i}{∑_i = 1^nm_i}，y_c=frac{∑_i = 1^nm_iy_i}{∑_i = 1^nm_i}，z_c=frac{∑_i = 1^nm_iz_i}{∑_i = 1^nm_i}（m_i是第i个质点的质量，x_i,y_i,z_i是第i个质点的坐标）来计算重心位置，但在高中阶段主要以理解概念和简单确定特殊物体重心为主。
三、重心与物体平衡的关系。
1. 重心与稳度。
- 稳度是指物体的稳定程度。
- 物体的重心越低，底面积越大，物体的稳度就越高。
- 例如：- 不倒翁的底部较重，重心很低，所以它不容易倾倒；- 而一些高大的建筑物，底部面积大，也是为了增加稳度，防止倾倒。
高中物体的重心知识点总结
高中物体的重心知识点总结重心的定义重心是指物体所受的地球引力作用线的交点，也就是物体的重心位置。
它是物体平衡时的位置，也是物体受到地面支撑力的作用线所经过的点。
通俗地讲，重心就是物体整体所受重力的集中作用点。
重心的性质重心具有以下性质：1. 重心是关于物体整体的性质，而不是某一部分的性质。
2. 重心的位置与物体形状、大小无关，只与物体的质量分布有关。
3. 重心所在的位置是物体平衡时的位置，也是支撑力作用线的交点。
4. 对于均匀的密度分布物体来说，重心的位置与几何中心（质心）重合。
重心的计算对于不规则形状的物体，重心的位置可以通过计算来确定。
一般而言，可以使用以下几种方法来计算重心的位置：1. 数学方法：通过对不规则形状物体的质量分布进行数学积分，可以计算出物体的重心位置。
2. 实验方法：通过实验测量物体平衡时的支撑点位置，可以确定物体的重心位置。
3. 近似计算方法：对于一些简单的形状如长方形、圆形等，可以通过简单的几何方法估算出重心位置。
重心在物理学中的应用重心在物理学中有着广泛的应用，主要包括以下几个方面：1. 稳定性分析：重心的位置直接决定了物体的稳定性。
如果物体的重心位置处于支撑点上方，物体会处于稳定状态；如果重心位置处于支撑点下方，物体会处于不稳定状态。
2. 运动分析：在物体运动的分析中，重心位置的变化会直接影响到物体的运动状态。
例如，刚体的平移运动时，重心的运动轨迹与整体物体的运动轨迹一致。
3. 结构设计：在建筑工程、机械设计等领域，重心的位置对于设计稳定、安全的结构具有重要意义。
合理地确定重心位置可以提高结构的稳定性和安全性。
总结重心是物理学中一个非常重要的概念，它对于理解物体的平衡、稳定性和运动起着至关重要的作用。
了解重心的定义、性质、计算方法和应用对于学习物理具有重要意义。
通过对重心的深入研究，可以更好地理解物体的运动规律和结构设计原理，为进一步深入物理学的学习打下坚实的基础。
(完整版)第四章物体的重心与形心
制作 郭智勇
第四章 物体的重心与形心
第一节 重心的概念及其坐标
一、重心的概念
重力的作用点称为物体的重心。 无论物体怎样放置，重心相对于物体的位置都是固定不变的。 二、重心的坐标公式 确定重心的方法有两种：1、为实验法，2、为微分法 对于对称的物体其重心在其对称轴上。 实验法确定物体重心的方法为悬挂法。
制作：郭智勇
z
O
x
yi
yc
对于均质物体
Mi △Vi
Pi
C
zi
P
zc
xi xc
物体重心的坐标为
xc
Pi xi P
yc
Pi yi P
y
zc
Pi zi P
对于连续物体
xc
Vi xi V
yc
Vi yi V
zc
Vi zi V
xc
xdV
V
yc
ydV V
zc
zdV
V
重心的坐标公式
5
例3 求图示T形截面形心位置。
解：取参考坐标轴y、z,由对称图形, z c=0。
分解图形为１、２两个矩形，则
A1 0.072 m2, y1 2.46m;
A2 0.48m2 , y2 1.2m;
yc
A1 y1 A2 y2 A1 A2
0.072 2.46 0.481.2 1.36m; 0.072 0.48
例1 试确定下图的形心坐标。解 ： 1.用分割法求解，图形分割
10
及坐标如图(a)
120 10
y
C2
C1 80
C1(0,0) C2(-35,60)
x
xi Ai
x 1
重心
三者定义1、重心：物体的重力的合力作用点称为物体的重心。
(与组成该物体的物质有关)重心只在重力场中才有意义，一旦物体离开重力场，重心就没有任何意义；而质心是反映质点系质量分布情况的一个几何点，它与作用力无关，无论质点系是否在重力场中，质心总是存在的。
在重力场中，物体的重心和质心的位置是重合的。
2、质心：指物质系统上被认为质量集中于此的一个假想点。
与重心不同的是，质心不一定要在有重力场的系统中。
值得注意的是，除非重力场是均匀的，否则同一物质系统的质心与重心不通常在同一假想点上。
说明白一点,质心就是物体质量集中的假想点(对于规则形状物体就是它的几何中心),重心就是重力的作用点,通常情况下,由于普通物体的体积比之于地球十分微小,所以物体所处的重力场可看作是均匀的,此时质心与重心重合;如果该物体的体积比之于地球不可忽略(例如一个放在地面上半径为3000km的球体),则该球体所处的重力场就不均匀了,具体说是由下自上重力场逐渐减小,此时重力的作用点靠下,也就是重心低于质心. 如果物体所处的位置不存在重力场(如外太空),则物体就无所谓重心了,但由于质量仍然存在,所以质心仍然存在。
质心和重心的关系就好象质量与重量的关系3、形心：物体的几何中心。
(只与物体的几何形状和尺寸有关，与组成该物体的物质无关)。
一般情况下重心和形心是不重合的，只有物体是由同一种均质材料构成时，重心和形心才重合。
当截面具有两个对称轴时，二者的交点就是该截面的形心。
据此，可以很方便的确定圆形、圆环形、正方形的形心；只有一个对称轴的截面，其形心一定在其对称轴上，具体在对称轴上的哪一点，则需计算才能确定。
对于一些常见的简单图形，如圆形、矩形、三角形、正方形等，其形心都是熟知的，利用这些简单图形的形心，由叠加法即可确定由这些简单图形组成的组合图形的形心。
重心重心在工程中具有重要的意义。
例如，水坝的重心位置关系到坝体在水压力作用下能否维持平衡；飞机的重心位置设计不当就不能安全稳定地飞行；构件截面的重心（形心）位置将影响构件在载荷作用下的内力分布规律，与构件受力后能否安全工作有着紧密的联系。
工程力学第5节 物体的重心
M A (Fi ) 0
i 1
n
FBl Gxc 0
FB xC l G
1 2 A1 R 7200 2 4 R 160 y1 mm 3
查表4-1
r1 小半圆
r2 小半圆
n
2 1 A2 r1 612.5 2 4r1 46.67 y2 mm 3 2 A3 r2 225
y3 0
yC
Ai yi
一、物体的重心
物体的重力就是地 球对它的吸引力。若把 物体视为由许多质点组 成，由于地球比所研究 的物体大得多，作用在 这些质点上的重力形成 的力系可以认为是一个 铅垂的平行力系。这个 空间平行力系的中心称 为物体的重心。
将物体分割成许多微单 元，每一微单元的重力方向 均指向地心，近似地看成一 平行力系，大小分别为G1﹑ G2﹑﹑Gn，作用点分别为 C1 ( x1 , y1 , z1 )﹑C2 ( x2 , y2 , z2 ) ﹑ …﹑Cn ( xn , yn , zn ) 。物体重 心C的坐标的近似公式为
Ai yi
A
4、负面积法
形体组合法的推广
如果在规则形体上切去一部分，例如钻孔或开槽 等。当求这类形体的形心时，首先认为原形体是完整 的形体，然后把切去的部分视为负面积，运用公式求 出形心。 例2-12 已知振动器上用 的偏心块为等厚度的匀质形 体，如图所示。其上有半径 为 r2 的圆孔。偏心块的几何 尺寸R=120mm，r1=35mm， r2=15mm。试求偏心块形心 的位置。
xC
Gi xi
i 1 n
n
Gi
i 1
; yC
Gi yi
i 1 n
n
Gi
重心与重心位置的名词解释
重心与重心位置的名词解释在物理学和力学中，重心是一个重要的概念，用来描述物体的平衡与稳定性。
简单来说，重心是指一个物体的质量分布的中心位置。
为了更好地理解重心与重心位置的含义，让我们深入探讨以下几个方面。
1. 重心的概念重心是物体的质量中心，也可以称为重心点或质心。
它表示物体在重力作用下的平衡点。
在一个均匀的物体中，重心位于几何中心。
然而，在不规则的物体或多个物体构成的系统中，重心的位置可能会有所偏移。
2. 重心的计算方法计算一个物体的重心位置可以通过以下公式进行求解：X = (m1x1 + m2x2 + ... + mnxn) / (m1 + m2 + ... + mn)，Y = (m1y1 + m2y2 + ... + mnyn) / (m1 + m2 + ... + mn)，Z = (m1z1 + m2z2 + ... + mnzn) / (m1 + m2 + ... + mn)。
其中，X、Y和Z分别表示物体的重心在三个坐标轴上的位置；x1、x2、...和xn表示各个质点在X轴上的位置；m1、m2、...和mn表示各个质点的质量。
3. 重心的作用重心在物体的平衡和稳定性中起到关键作用。
当一个物体处于平衡状态时，重心位于支点或支撑面的正上方。
这是因为重心是物体所有质点合力的统计平均点，只有当作用在重心上的合力为零时，物体才能保持平衡。
4. 重心位置的影响因素重心位置的确定取决于物体的形状和质量分布。
对于均匀的物体，重心位于几何中心；对于一些不规则的物体，重心会相应地偏移。
比如，一个铁铲的重心位于铲面附近，而铲柄的存在使得重心相对于铲面下方。
此外，重心位置还受到物体的形状和密度分布的影响。
例如，一个具有空洞或凹陷的物体，其重心位置可能会发生变化。
因此，在物体的设计和工程中，重心位置的控制非常重要，以确保物体的稳定性和可操作性。
5. 重心位置的应用领域重心与重心位置对于许多实际应用具有重要意义。
确定重心的四种方法
确定重心位置的常用方法有以下四种，一、几何法形状规则、质量分布均匀的物体的重心在它的几何中心．如质量分布均匀的球体的重心就在球心，质量分布均匀的直棒的重心就在棒的中点．二、支撑法用手指支持一个勺子，总可以找到一个位置，使勺子水平地支持在手指上．手指上方勺子上的0点就是勺子的重心．这时勺子受到两个力：竖直向上的手指的支持力F N、竖直向下的重力G．由二力平衡知识可知，这时勺子保持平衡，如果重心0不在手指的正上方，支持力FN和重力G将不在同一直线上，勺子就不能保持平衡了，三、悬挂法先在A点把薄板悬挂起来，物体静止时，据二力平衡，物体所受的重力与悬绳的拉力在同一竖直线上，所以物体的重心一定在通过A点的竖直线AB上．然后在C点把物体再悬挂一次，同理可知，物体的重心一定在通过C点的竖直线C D上，AB和CD的交点0，就是薄板重心的位置，四、理论计算法物体的重心，可以依据杠杆平衡条件和支撑法原理，平衡时支点处即为重心位置．即学即练1．（单选）有一个质量分布均匀的圆形薄板，若将其中央挖掉一个小圆，则薄板的余下部分( )A．重力减小，重心随挖下的小圆板移走了B．重力和重心都没改变C．重力减小，重心位置没有改变D．重力减小，重心不存在了2．如图3-1-11所示，矩形均匀薄木板，长AB=60 cm、宽BC= 10 cm，在AB边上的E点用细线悬挂，板处于平衡状态，AE=35 cm．则AB边与竖直悬线的夹角α.A．自由下落的石块的速度越来越大，说明石块所受重力越来越大B．在空中飞行的物体不受重力作用C．-抛出的石块轨迹是曲线，说明石块所受的重力方向始终在改变D．将一石块竖直向上抛出，在先上升后下降的整个过程中，石块所受重力的大小与方向都不变2．（单选）以下关于重心及重力的说法中，正确的是( )A．-个物体浸没于水中称量时弹簧测力计的示数小于物体在空气中时弹簧测力计的示数，因此，物体在水中时的重力小于在空气中的重力B．据G=mg可知，两个物体相比较，质量较大的物体的重力一定较大C．物体放在水平面上时，重力方向垂直于水平面向下，当物体静止于斜面上时，其重力方向垂直于斜面向下D．物体的形状改变后，其重心位置往往会改变确定物体重心的四种方法。
物体的重心的概念
物体的重心的概念物体的重心是指物体的整体重量所集中的地方。
重心通常被定义为物体绕任一轴的旋转所产生的合力作用点，也可以看作是物体平衡的中心。
重心是物体平衡和稳定的关键因素，对于理解物体的运动和力学性质非常重要。
物体的重心位置可以通过几何方法和力学方法来确定。
首先，通过几何方法，可以通过物体的对称性和形状来推测重心的位置。
例如，对于一个规则几何形状的物体，如正方形或圆形，重心通常位于几何中心。
而对于不规则形状的物体，可以通过将物体进行分割，计算各个分割部分的重心位置，进而确定整个物体的重心位置。
其次，通过力学方法，可以利用物体的质量和位置来计算重心的位置。
根据力学初级定理，物体的重力合力可以看作是作用在重心位置上的，这个合力与物体的质量成正比，与地球的引力加速度成正比。
因此，可以通过物体的质量分布情况，以及各个质点相对于参考点的位置来计算重心的位置。
对于均匀分布质量的物体，重心位于物体的几何中心。
例如，对于一个矩形或圆盘状的物体，重心位于几何中心，即重心位于物体的中心点。
对于不均匀质量分布的物体，重心将被影响，通常会偏向质量更大的部分。
例如，对于一个L形物体，由于下方水平部分的质量较大，重心会偏向下方水平部分。
重心的位置对物体的平衡和稳定性起着关键作用。
当一个物体的重心位于支撑物体的基座上时，物体将保持平衡。
如果重心偏离了基座，物体将失去平衡，产生倾斜或翻倒的趋势。
在物体进行运动时，重心的位置对物体的稳定性和运动方式也具有重要影响。
当物体受到外力作用时，重心的位置影响着物体的加速度和角加速度。
如果重心位于支撑点上方，物体将更容易翻倒或打翻。
反之，如果重心位于支撑点下方，物体将更稳定，不易翻倒。
这就解释了为什么高跷、平衡车等具有较低重心的物体更容易保持平衡。
除了静态的重心概念，动态的重心也在研究物体的运动方向和稳定性时具有重要意义。
当一个物体进行旋转时，动态的重心随着旋转而改变。
例如，在体操运动中，体操选手在空中完成各种动作时，通过控制身体的重心变化，可以实现旋转和平衡的完美结合。
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(4-17) 和形式
对于连续匀质物体
ΔVi
0
Σ
∫
xc
VxdV
V
yc
V
ydV V
zc
VzdV
V
(4-18) 积分形式
物体的几何形体中心又 称为形心。
因此，匀质物体的重心与形心重合 3
(1)匀质等厚薄壳
A z
ΔA i
t
t
o
y
x
厚度t=常量, ΔVi=ΔAit V=ΣΔVi =ΣΔAit =At
（1）分割法
10cm A1
20cm y
10cm A2
30cm
y1
A3 y3
y2
10cm
o
x
例：试求匀质槽形钢板的 重心。
解：由对称性可知 xc=0
A1 A2 10 30 300cm2 y1 y2 15cm
A3 10 20 200cm2 y3 5cm
3
Ai yi
yc
i 1 3
Ai
27mm
14
例4-8 已知：等厚均质偏心块的 R 100mm, r 17mm,b 13mm 求：其重心坐标。
解：用负面积法，为三部分组成，设大半圆面积为A1， 小半圆（半径为r+b）面积为A2 , 小圆（半径为r）面积为A3，为负值。 由对称性，有
而
由
得
yC
A1 y1 A2 y2 A3 y3 A1 A2 A3
n
n
V i xi
Ait xi
xc i1 V
i1 At
n
Ai xi xc i1 A
n
同理:
Ai yi
y i1
c
A
(4-19a)
n
Ai zi zc i1 A
或
xc
AxdA
A
yc
A ydA
A
(4-19b)
zc
AzdA
A
4
(2)匀质等截面细长杆
z A
ΔLi
L
o
y
x
横截面面积A=常量 ΔVi=AΔLi V=ΣΔVi =AΣΔLi =AL
2）图示弓形面积可看成由扇形OAMB去掉三角形OAB得 到，由负面积法可求得弓形的重心。扇形和三角形的面积， 重心位置查表可得；故所求弓形体物块的重心的坐标为
10
扇形OAx1
2 3
R sin
三角形OAB的面积
A2
1 (2R sin)(R cos)
2
R2
s in
其面积与坐标分别为 x1 15mm y1 45mm A1 300mm 2
x2 5mm y2 30mm A2 400mm 2 则 x3 15mm y3 5mm A3 300mm 2
xC
Ai xi A
A1x1 A2 x2 A3x3 A1 A2 A3
2mm
yC
Ai yi A
A1 y1 A2 y2 A3 y3 A1 A2 A3
c
c
c
c
c
c
c
c
c
6
2.积分法 适用于形状规则的物体。
y
dL
A R
B θ dθ
y
αα
o
x
例：已知圆弧AB半径R，圆 心角2α。求：AB圆弧段的 重心。
解： 由对称性可知
xc=0 dL=Rdθ y=Rcosθ
ydL
R cos Rd
y L c dL L
Rd
R sin
7
3.组合法 适用于形状较复杂的物体
6－3 重心
一. 重力的概念
重力可视为与地平面垂直 的空间平行力系
二 . 重心 1.定义： 重力合力作用点称为重心 2.特点 无论刚体如何放置，重力 作用线总是通过该刚体的 重心 3.重心在工程上的重要意义
北
离心力
引力 重力
西
地心 α
东
地轴 南 G
C
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三. 重心坐标公式 1. 任意物体的重心公式
cos
其重心位置：
x2
2 (R cos )
3
xc
A1 x1 A2 x2 A1 A2
2 R3 sin 2 R3 sin cos2
3
3
R 2 R 2 sin cos
2R sin (1 cos2 ) 4R sin 3 3( sin cos ) 3(2 sin 2 )
11
y
解:(1)分割法
40.01mm
15
4.实验法 （1）悬挂法
A
B
A
c
适用于体积小、质量 小的物体
（2）称重法
c
A
B
G
NA
NB
xc
L
适用于体积大、质量 大的物体
16
由上面三式得：
n
Gixi
xc
i 1
G
n
Gi yi y i1
cG
n
Gizi
zc
i 1
G
（4-16）
2
2. 匀质物体的重心坐标公式
容重γ=常量
Gi= γΔVi G= γV
n
n
Gi xi
V i xi
xc
i 1
G
i1
V
同理:
n
V i xi xc i1 V
n
V i yi
y i1
c
V
n
yc
i 1 2
Ai
i 1
120015 400 20 1200 400
12.5cm
9
2. 图示均质等厚物块，其横截面积由半径为R的圆弧AMB与弦 AB所围成的弓形，试求其重心在其对称面中的位置。
解 1）在物块的对称面上建立图示 直角坐标系oxy，由对称性知，弓形 体物块的重心必在x轴上，故yc=0。
5m
取坐标如图且把平
面图形分为 A和 B两 部分.
C1
15m
5m
C1(2.5,7.5) C2(12.5,2.5)
A
o
C2
B
x
20m
xc
515 2.5 15 512.5 515 15 5
7.5
yc
515 7.5 15 5 2.5 515 15 5
5
12
(2)负面积法
y 5m
取坐标如图.使平面 图形组合成矩形A.
n
n
V i xi
ALi xi
xc i1 V
i1 AL
n
Li xi xc i1 L
n
Li yi
同理: yc i1 L (4-20a)
n
Li zi zc i1 L
或
xc
LxdL
L
yc
L
ydL L
(4-20b)
zc
LzdL
L
5
四. 确定匀质物体重心的几种方法 1.对称性法 匀质物体的重心一定在其对称面、对称轴或对称中心上
z
ΔV i
Mi
M2 c
M1
o
x
yi
Gi
zi
G G2 G1
xi
zc xc
y
yc
n
G Gi i 1
根据合力矩定理，得
n
G yc Gi yi i 1
n
G xc Gi xi i 1
(a) (b)
M1
y
M2
G2
G1 c
Mi ΔVi G
Gi y c z yi xi xc o
zi zc x
n
G zc Gi zi (c) i 1
C1(10,7.5) 以及负面积的矩形B.
C2
A
C1
C2(12.5,10)
o
20m
xc
201510 151012.5 2015 1510
7.5
yc
2015 7.5 151010 2015 1510
5
5m
B
x
13
例4-7 已知：均质等厚Z字型薄板尺寸如图所示。
求：其重心坐标
解:厚度方向重心坐标已确定，只求重心的x,y坐标即可。 用虚线分割如图， 为三个小矩形，
i 1
30015 2 200 5 300 2 200
12.5cm
8
（2）负面积法
10cm A1
20cm y A2
10cm
y2 y1
o
30cm
10cm x
解：由对称性可知
xc=0
A1 40 30 1200cm2 y1 15cm
A2 20 20 400cm2 y2 20cm
2
Ai yi