初三奥数之一元二次方程的整数根

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一元二次方程的整数根于莹一元二次方程的整数根问题难度较大，是中考特别是竞赛中的爬坡题型。

本文举例说明与一元二次方程整数根有关问题的解法。

例1. 已知方程的两根都是整数，试求整数a的值。

思路分析：当a取值不同时，方程的系数就随之不同，方程的根的情况也就发生变化。

究意什么情况下，方程的两根都是整数呢？还是从根与系数的关系入手比较好。

解：设方程的两整数根为、，根据根与系数关系得：（1）＋（2）得：所以或或或所以或或或因为，所以只有或符合题意，代入（2）得：例2. 已知方程有两个不等的负整数根，则a的值是______。

思路分析：本题的条件在“整数根”的基础上更进一步，变为“负整数根”，这对系数a有了更多的限制。

另外，本题的a没有说它是整数，难度更大了。

应当抓住“负整数根”做文章。

解：所以依题意有：、均为负整数，符合此条件的仅有。

例3. 设m为自然数，且，若方程的两根均为整数，则m＝______。

思路分析：题目已给出m的范围，再加上判别式应满足的条件，可进一步对m加以限制，就不难求出符合条件的m值了。

解：∆=---+=+ 4234414842122()()()m m m m因为原方程的两根均为整数，所以必为完全平方数，且必为奇数的平方。

于是由得，在此范围内的奇完全平方数只有25和49。

所以或所以或经检验，、24均符合题意。

误区点拨：本题解法的最后一步检验虽一语带过，但却是一个必不可少的步骤。

因为整系数一元二次方程的判别式是完全平方数只是该方程有整数根的必要条件，但不是充分条件。

也就是说，为完全平方数，并不能保证方程一定有整数根，所以说，必须进行检验。

一元二次方程整数根问题的解法技巧

7 7
时,
1 2
7 ( 舍去). 故所有正数 a 的和是: 1 +
①
+
2 (x + 6) ≥ 1, 解得 - 4 ≤ x ≤ 2. 取 x 的整数 (x + 2) 2 值为 x = - 4, - 3, - 1, 0, 1, 2, 分别代入 ①, 得 a 的整
26;
= [ a (a + 2) ] 2 是完全平方式, 则原方程可用十字相乘
当 2m + 1 = 49 时, m = 24, 方程两根分别为 38,
52.
法因式分解为: [ ax -
《数学教学通讯》 2005 年 9 月 ( 下半月) ( 总第 238 期) ③ 令 ∃ = p t + q = n 2 ( 或 ( 2n + 1) 2 ) , 由此求出 t 后代入原方程, 先求出两根, 再求参数. 例 5 ( 1991 年南昌市初中数学竞赛题) 已知 a 为整数, 方程 x + ( 2a + 1) x + a = 0 有整数根 x 1、 x 2,
6 (k + 1) = 1.
解得 k = 8, 或 k = 46. 分别代入
41 130 ,2或 , - 17. 9 9
原方程可解得方程的有理根为 -
∴ x 1 = - n2, x 2 = ∴
4 4
(n + 1) 2 ,
4
x2 1
-
x2 2
=
4
(- n2) 2
-
三、利用一元二次方程根与系数的关系求解
= k (k + 2) ,
2
k- 1 = 1k
1
k
( 因 k 为实数, 此时不能推出 k = 1, - 1) ・・ ② - ① 消去参数 k , 得 x 1 x 2 - x 1 - x 2 = 2,

中考复习讲义一元二次方程的整数根问题及应用(含答案)

有_______个．
9 6 ， x2 ， 6k 9k 5 3 15， 3；当 6 k 1，这时 k 7 ，，，当 9 k 1 3， 9 时，x1 是整数，，2 ， 3 ， 6 时，x2 是 6 7 ，， 9 15 时原方程的解为整数．整数这时 k 10 ，， 8 11， 7， 12 ， 15 ， 3 综上所述， k 3，， k 3，， 6 7 ，， 9 15 【答案】
1 3 1 m2 4 [(k 1)m k 2 k ] 4 4 4 3 1 m2 (k 1)m k 2 k 4 4 k 1 2 3 1 ) k 2 k ，整理得 3k 2 k 0 所以为完全平方式，因此 ( 2 4 4
解得 k 0 或 k
1 3
【例2】 m 为给定的有理数， k 为何值时，方程 x2 4 1 m x 3m2 2m 4k 0 的根为有理数？
【答案】 5 4
【解析】∵ [4 1 m ]2 4 3m2 2m 4k
22 m2 6m 4k 4
m 6 n 16 m 6 n 8 因此或 m 6 n 2 m 6 n 4 m 15 m 14 解得或 n 7 n 4 m 15 当时，方程 x2 (m 2) x 4m 0 为 x2 17 x 60 0 ，解得 x 5 或 x 12 n 7
m 24 【答案】
2(m 1) 50 14 ，不妨设 x1 x2 ，则 x1 32 ， x2 18 2 2
故 m 24 ．满足为完全平方数只是条件之一，另外一个条件也必须同时满足，要引起注意．

一元二次方程整数根

23．（本小题满分7分）已知：关于x的一元二次方程2(32)220
--+-=．
m x m x m （1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；
（2）在（1）的条件下，求证：无论m取何值，抛物线y=2(32)22
mx m x m
--+-
总过x轴上的一个固定点；
（3）若m为正整数，且关于x的一元二次方程2(32)220
--+-=有
m x m x m
两个不相等的整数根，把抛物线y=2(32)22
--+-向右平移4个单位长
mx m x m
度，求平移后的抛物线的解析式．（11房山一模）
23．已知：关于x的一元二次方程23(1)230
m为实数
m x m x m
--+-=()
(1) 若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；
（2）求证：无论m为何值，方程总有一个固定的根；
（3）若m为整数，且方程的两个根均为正整数，求m的值.（11顺义一模）
23. 已知关于x 的方程(m -1)x 2-(2m-1)x +2=0有两个正整数根.
(1) 确定整数m 值；
(2) 在（1）的条件下，利用图象写出方程
(m -1)x 2-(2m -1)x +2+
x m =0的实数根的个数. （11东城一模）
23. 已知关于x 的方程k x 2+2x +2-k=0 (k 大于等于1)
（1）求证：方程总有两个是实数根；
（2）当k 取哪些整数时，方程的两个实数根均为整数?(10东城二模)。

初中数学一元二次方程整数根问题

一元二次方程整数根问题形如02=++c bx ax 的一元二次方程的整数根是一元二次方程的性质中较为复杂的问题，它不仅涉及到二次方程的相关知识，而且还经常用到因式分解、整除和不定方程的解法等有着知识，具有较强的综合性和技巧性。

因此成为近年来各种自招考试的热点。

下面就以试题为例，谈谈这类题的几种解题常用方法。

一、根与系数之间的关系设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根为12,x x ，则1212,,b c x x x x a a+=-=反之，若两数12,x x 满足1212,b cx x x x a a+=-=，则这两数是方程20ax bx c ++=的两根。

利用根与系数的关系（韦达定理），可以不直接求方程20(0)ax bx c a ++=≠而知其根的正负性质：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠在240b ac ∆=-≥的条件下：(1)0ca <时，方程的两根必然一正一负； (2)0ba -≥时，方程的正根不小于负根的绝对值；(3)0ba -<时，方程的正根小于负根的绝对值；(4)0ca>时，方程的两根同正或同负.1、当含有某个参数k 的一元二次方程的左边比较容易分解成两个一次因式的积时，我们可以先利用因式分解直接求方程的解，通常它们是关于k 的分式形式的解。

然后利用其根是整数的要求来解不定方程。

2、一元二次方程02=++c bx ax 在042≥-=∆ac b 时有实数根ab x 2∆±-=，所以要使整系数的一元二次方程有整数根，必须ac b 42-=∆为完全平方数，并且∆±-b 为a 2的整数倍。

故处理此类问题，常可用判别式来解决，又可细分为两类：（1）先求参数范围。

可由不等式0≥∆求出参数的范围，再求解。

（2）再设参数法，即设2k =∆（k 是整数）。

当2k =∆为关于原参数的一次式时，用代入法来解；当2k =∆为关于原参数的二次式时，用分解因式法来解。

初中数学拔高九年级专题05 一元二次方程的整数根(含答案)

专题05 一元二次方程的整数根阅读与思考解一元二次方程问题时，我们不但需熟练地解方程，准确判断根的个数、符号特征、存在范围，而且要能深入地探讨根的其他性质，这便是大量出现于各级数学竞赛中的一元二次方程的整数根问题。

九年级奥数培优一元二次方程的整数根

A 卷1. 28210xx （填：“有”或“没有”）有理根。

2. 关于x 的方程2120xmx 至少有一个整数根，则整数m 可取值的个数是个。

3. 已知n 为正整数，方程2(31)360xx n 有一个整数根，则n。

4. 满足1aba b的整数对(,)a b 共有对。

5. 关于x 的方程22(2)10x a x a有两个整数根，则整数a 的值是。

6. 关于x 的方程2(11)50xa x a 有两个整数根，则实数a 的值是。

7. 若关于x 的一元二次方程2530xxa 有两个正整数根，则a 的值是，方程的解是。

8. 设p 为质数，且方程25800xpx p 两个根都是整数，则p 的值为。

9. 方程2223298xxy y 的正整数解的组数是。

10. 求使关于x 的二次方程222170a xax a的两根都是整数的所有正数a 的和是。

二、解答题11. 已知方程2340x x m 有两个整数根，求证：（1）两个根中，一个是奇数而另一个是偶数；（2）m 是负的偶数。

12. 若关于x 的二次方程20ax bx c有实根，且a b c 、、都是奇数，求证：此方程必有两个无理根。

B 卷一、填空题1. 关于x 的方程22(21)430axa x a 至少有一个整数根，则整数a 的值为。

2. 要使方程2(1)(1)0kxk x k 的根都是整数，k 的值应等于。

3. 关于x 的方程2222(2)(26)40kk xkk x k有两个不相等的整数根，则整数k 的值为。

4. 关于x 的方程22(23)3100x m x mm 至少有一个正整数根，正整数m 的值为。

5. 若p q 、都是正整数，方程2111993022pxqx 的两根都为质数，则2pq。

6.设m 为正整数，且440m ，若方程222(23)41480x m x m m 的两根均为整数，则m 。

7. 关于x 的方程2310,4xmxm ①与222(6)40,xm x m ②若方程①的两个实数根的平方和等于方程②的一个整数根，则m。

一元二次方程的整数根

一元二次方程的整数根
一元二次方程是形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c是实数且a ≠ 0。

这种方程的解可以用求根公式来求得，即x = (-b ± √(b^2 4ac)) / (2a)。

在这个公式中，如果(b^2 4ac)的值大于等于0，那么方程就有实数根；如果(b^2 4ac)的值小于0，那么方程就有复数根。

当一元二次方程有整数根时，即求根公式中的(b^2 4ac)的值为一个完全平方数。

这样的方程在数学中具有重要的意义，因为它们的解是整数，可以直接用于实际问题的求解。

举个例子，假设我们有一个一元二次方程x^2 5x + 6 = 0。

我们可以用求根公式来求解这个方程的根，x = (5 ± √(5^2 416)) / 21。

计算得到(b^2 4ac)的值为1，这是一个完全平方数。

因此，这个方程的两个根分别为2和3，都是整数根。

一元二次方程的整数根在数学和实际问题中都有重要的应用。

它们可以帮助我们解决各种与平方关系有关的问题，比如物体的抛射运动、建筑结构的稳定性等。

因此，对于一元二次方程的整数根的研究和应用具有重要的意义。

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初三奥数之一元二次方程的整数根专题05 一元二次方程的整数根阅读与思考解一元二次方程问题时，我们不但需熟练地解方程，准确判断根的个数、符号特征、存在范围，而且要能深入地探讨根的其他性质，这便是大量出现于各级数学竞赛中的一元二次方程的整数根问题。

这类问题因涵盖了整数的性质、一元二次方程的相关理论，融合了丰富的数学思想方法而备受命题者的青睐.. 解整系数（即系数为整数）一元二次方程的整数根问题的基本方法有： 1．直接求解若根可用有理式表示，则求出根，结合整除性求解. 2．利用判别式在二次方程有根的前提下，通过判别式确定字母或根的范围，运用枚举讨论、不等分析求解 3．运用根与系数的关系由根与系数的关系得到待定字母表示的两根和、积式，从中消去待定字母，再通过因式分解和整数性质求解.4．巧选主元若运用相关方法直接求解困难，可选取字母为主元，结合整除知识求解.例题与求解【例1】已知关于x 的方程032)1280()8)(4(2=+----x k x k k 的解都是整数，求整数k 的值. （绍兴市竞赛试题）解题思路：用因式分解法可得到根的表达式，因方程类型未指明，故须按一次方程、二次方程两种情形讨论，这样确定k 的值才能全面而准确.【例2】 q p ,为质数且是方程0132=+-m x x 的根，那么qpp q +的值是（）A ．22121B ．22123C ．22125D ．22127（黄冈市竞赛试题）解题思路：设法求出q p ,的值，由题设条件自然想到根与系数的关系【例3】关于y x ,的方程29222=++y xy x 的整数解),(y x 的组数为（）A ．2组B ．3组C ．4组D ．无穷多组解题思路：把29222=++y xy x 看作关于x 的二次方程，由x 为整数得出关于x 的二次方程的根的判别式是完全平方数，从而确定y 的取值范围，进而求出x 的值.【例4】试确定一切有理数r ，使得关于x 的方程01)2(2=-+++r x r rx 有根且只有整数根.（全国初中数学联赛试题）解题思路：因方程的类型未确定，故应分类讨论. 当0≠r 时，由根与系数的关系得到关于r 的两个不等式，消去r ，先求出两个整数根.【例5】试求出这样的四位数，它的前两位数字与后两位数字分别组成的两位数之和的平方，恰好等于这个四位数.（全国初中数学联赛试题）解题思路：设前后两个两位数分别为y x ,，99,10≤≥y x ，则y x y x +=+100)(2，即0)()50(222=-+-+y y x y x ，于是将问题转化为求一元二次方程有理根、整数根的问题.【例6】试求出所有这样的正整数解a ，使得二次方程0)3(4)12(22=-+-+a x a ax 至少有一个整数根. （“祖冲之杯”竞赛试题）解题思路：本题有两种解法. 由于a 的次数较低，可考虑“反客为主”，以a 为元，以x 为已知数整理成一个关于a 的一元一次方程来解答；或考虑因方程根为整数，故其判别式为平方式.能力训练A 级1．已知方程019992=+-a x x 有两个质数根，则._______=a (江苏省竞赛题) 2．已知一元二次方程012=+-+m mx x （m 是整数）有两个不相等的整数根，则._________=m(四川省竞赛题)3．若关于x 的一元二次方程0442=+-x mx 和0544422=--+-m m mx x 的根都是整数，则整数m 的值为__________4．若k 正整数，且一元二次方程0)1(2=+--k px x k 的两个根都是正整数，则)(k p pkk p k +的值等于______________.5．两个质数b a ,恰是x 的整系数方程0212=+-t x x 的两个根，则baa b +等于（） A ．2213 B ．2158 C ．492402 D ．383656．若062=-+mx x 的两个根都是整数，则m 可取值的个数是（） A ．2个 B ．4个 C ．6个 D ．以上结论都不对 7．方程019972=++px x 恰有两个整数根21,x x ，则)1)(1(21++x x p的值是（）A ．1B ．1-C ．21-D ．21 （北京市竞赛试题）8．若b a ,都是整数，方程020082=-+bx ax 的相异两根都是质数，则b a +3的值为（）（太原市竞赛试题）A ．100B ．400C ．700D ．10009．求所有的实数k ，使得方程0)1()1(2=-+++k x k kx 的根都是整数. （“祖冲之”邀请赛试题）10．已知关于x 的方程23842=--n nx x 和022)3(22=+-+-n x n x ，是否存在这样的n 值，使第一个方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一整数根？若存在，求出这样的n 值；若不存在，请说明理由. （湖北省选拔赛试题）11．若关于x 的方程0)2()3(22=-+-+a x a ax 至少有一个整数根，求整数a 的值.（上海市竞赛试题）12．已知q p ,为整数，且是关于x 的方程016)(41591122=++++-q p x p x 的两个根，求q p ,的值. （全国初中数学联赛试题）B 级1．已知96=+q p ，并且二次方程02=++q px x 的根都是整数，则其最大根是___________.2．若关于x 的二次方程062=++a ax x 只有整数根，则_________=a . （美国数学邀请赛试题） 3．若关于x 的方程054)15117()9)(6(2=+----x k x k k 的解都是整数，则符合条件的整数k 的值有_________个.4．使方程071222=-++a ax x a 的两根都是整数的所有正数a 的和是______________.（上海市竞赛题）5．已知方程015132)83(2222=+-+--a a x a a x a （其中a 为非零实数）至少有一个整数根，那么_________=a . （全国初中数学联赛试题）6．设方程03)6(2=-+++m x m x 有两个不同的奇数根，则整数m 的值为____________（《学习报》公开赛试题）7．若1≠ab ，且有09200152=++a a 及05200192=++b b ，则ba的值为（） A ．59 B ．95 C ．52001- D ．92001-8．若方程0232=+++m x x 有一个正跟1x ，和一个负根2x ，由以21,x x 为根的二次方程为（） A ．0232=---m x x B ．0232=--+m x x C ．02412=----m x m x D ．02412=++--m x m x9．设关于x 的二次方程4)462()86(2222=+--++-k x k k x k k 的两根都是整数，求满足条件的所有实数k 的值.（全国初中数学联赛试题）10．当x 为何有理数时，22392-+x x 恰为两个连续的正偶数的乘积？（山东省竞赛题）11．是否存在质数q p ,使得关于x 的一元二次方程02=+-p qx px 有有理数根？（全国初中数学竞赛试题）12．已知关于y x ,的方程组⎩⎨⎧++-==-++bcx a k y a k y kx )(0)(2只有一组解且为整数解，其中c b a k ,,,均为整数且0>a ，c b a ,,满足12-=--bc a a ，.2=+c b（1）求a 的值；（2）求k 的值及它对的y x ,的值.专题05 一元二次方程的整数根例1 当k =4时，x =1；当k =8时，x =-2；当k ≠4且k ≠8时，148x k =-，284x k=-，可得k =6或k =4,6,8或12．例2 C例3 C 提示：方程变形为关于x 的二次方程()222290x yx y ++-=，2=71160y ∆-+≥且是完全平方数，得,162=y ∴4±=y ,∴⎩⎨⎧=-=4111y x ,⎩⎨⎧=-=4322y x ,⎩⎨⎧-==4133y x ,⎩⎨⎧-==4344y x .例4 ①若0=r ，则21=x 不是整数；②0≠r ，设方程的两根为)(,2121x x x x <，则r r x x 221+-=+，r r x x 121-=，于是,3212)(22121=++⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-r r r r x x x x 有7)12)(12(21=--x x ，解得⎩⎨⎧==4121x x 或⎩⎨⎧=-=0321x x 则31-=r 或1=r .例5由0)()50(2-22=-+-y y x y x 得0)992500(4)(4)50(422≥-=---=∆y y y y ,即0)992500(≥-y ,25≤y 时,方程有实数解y y x 99250050-±-=.由于)992500(y -必须是完全平方数,而完全平方数的末位数字可能为0,1,4,5,6,9,故仅可取25,此时30=x 或, 20=x ,故所求的四位数为2025或3025. 例6解法一:因a 的次数较低,故将方程整理为关a 于的一次方程,得)6(2)2(2+=+x a x ,显然02≠+x ,于是2)2()6(2++=x x a ,∵a 是正整数,1≥a ,即1)2()6(22=++x x ,化简得0822≤-+x x ,解得)2(24-≠≤≤-x x .当2,1,0,1,3,4---=x 时,.1,914,3,10,6,1=a ∵a 是正整数,故a 的值为1,3,6,10.解法二:()[])18(4)3(41242+=---=∆a a a a 为完全平方数,故)18(4+a 为奇数的平方.令2)12()18(+=+m a ,m 是正整数,则22mm a +=,于是,原方程可化为0)3)(2(4)1(4)1(22=+-+-+++m m x m m x m m ,即[][]0)3(2)1(2)-m 2=++++m x m mx （,解得mx 421+-=,1422+--=m x ,∴4m 或41）（+m 得4,2,1=m 或3,1=m ,故a 的值位1,3,6,10.A 级1. 3 9942. 13. 14. 1 9845. D6. B7. C8.D9.①当0=k 时，则1=x ，即0=k 为所求；②0≠k 时,则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=+k x x k x x 11112121,得3)1)(1(21=--x x ,由此可得1,71=-=k k 或.10. 0=n 提示:方程①()2342221++=-n n x x ,方程②根为n n -+1,22,注意讨论.11.4,10,2--=a12.由韦达定理，得9112+=+p q p ①，16)(415++=q p pq ②，0>+q p ，0>pq ，为q p ,正整数.由②得216)(6016++=q p pq ,即4811516)154)(154(22=+=+-q p ,故⎩⎨⎧=-=-13,37,1,48115437,13,481,1154q p ,得13,7,124,4=p ，7,13,4,124=q ，代入①，即只有7,13==q p 满足条件.B 级1. 982. 49,32,27,25,24,-25,8,-3,-1,0.3. 5 提示:当6=k 时,解得2=x .当9=k 时,解得3-=x .当96≠≠k k 且时,解得kx k x -=-=96,9921.当9,3,16±±±=-k 时,1x 是整数，这时3,15,3,5,7-=k ；当6,3,2,19±±±±=-k 时，2x 是整数，这时3,15,7,11,8,10=k .综上所述, 15,9,7,6,3=k 时,原方程的解为整数.4.611提示:将原方程整理为关于a 的二次方程(),01722=++-xa a x 03282≥-=∆x ,)7(232822--±-=x x x a ,讨论枚举.5. 1,3,5 提示:a x 321-=,ax 512-=. 6. -2,或-6 7. A 提示:a 与a1时方程09200152=++x x 的两个不相等的实数根. 8. C9. 解得4211---=k x ，2412---=k x ，故1241+-=-x k ，1422+-=-x k )1,1(21-≠-≠x x ，消去k 得，02312=++x x x x ，即()2321-=+x x ，求得310,3,6=k .10.设两连续正偶数为2,+k k ,则有)2(22392+=-+k k x x ,即0)22(23922=++-+k k x x ,x 为有理数,则[]2)1(6565++=∆k 为完全平方数,令)0(2≥=∆p p ,[]156********)1(622⨯=⨯-=+-k p也即[][]15655115)1(6)1(6⨯=⨯=--++k p k p , 于是得⎩⎨⎧=+-=++5)1(6113)1(6k p k p ,或⎩⎨⎧=+-=++1)1(6565)1(6k p k p 解得8=k 或46=k ,相应的方程的解为2=x 或941-=x 与17-=x 或9130=x .总之,当2=x 或 17-=x 时, 22392-+x x 恰为两个整数8或10,或者46或48的乘积.11. 令2224n p q =-=∆(n 为非负数),即24))(p n q n q =+-（.∵n q n q +≤-≤1且n q n q +-与奇偶性相同,则⎩⎨⎧=+=-222p n q n q ①, ⎩⎨⎧=+=-24p n q n q ②, ⎩⎨⎧=+=-p n q p n q 4③, ⎩⎨⎧=+=-p n q pn q 22④, ⎩⎨⎧=+=-42n q p n q ⑤；消去n 分别得：12+=p q ，222+=p q ，25p q =，p q 2=，222p q +=，对于第1、3种情形，5,2==q p 对于第2、5种情形，4,2==q p （不合题意，舍去）；对于第四种情形，p 为合数（舍去）.又当5,2==q p 时，方程为2,21,0252212===+-x x x x . 12. (1)2,12=++-=c b a a bc ,则c b ,是一元二次方程01222=+-+-a a t t 的两根, 故0)(4)1(4422≥--=+--=∆a a a a , 即0)1(≤-a a , 又 ∵ 0≥a 且a 为整数, 则1≥a ,∴1===c b a .(2)由条件得0)1(2=++-k x k kx ,又 ∵原方程只有一组解,当0=k 时,1,0==y x , ∴⎩⎨⎧==10y x 符合条件,此时0=k ；当0≠k 时，01234)1(222=++-=-+=∆k k k k ，解得1,(3121=-=k k 舍），∴12=k ，即0122=+-x x ， ∴1,1-==y x ，∴⎩⎨⎧-==11y x ，符合条件，此时k =1。