精品解析：2020届湖南省长沙市明达中学高三(高复部)第二次模拟考试理科数学试题(原卷版)
长沙市明达中学高复部2020届高考备考第二次模拟考试
理科数学试卷
一．选择题（每小题5分，满分60分）
1.“4n =”是1n
x x ⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭的二项展开式中存在常数项”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
2.关于函数()23
2
f x x =
-的下列判断，其中正确的是（ ） A. 函数的图像是轴对称图形 B. 函数的图像是中心对称图形 C. 函数有最大值
D. 当0x >时，()y f x =是减函数
3.已知向量a v 和b v 的夹角为3
π，且2,3a b ==v v ，则(2)(2)a b a b -+=v v v v
（ ）
A. 10-
B. 7-
C. 4-
D. 1-
4.魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”，刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为π：4.若正方体的棱长为2，则“牟合方盖”的体积为( ) A. 16
B. C.
16
3
D.
128
3
5.关于三个不同平面,,αβγ与直线l ，下列命题中的假命题是（ ） A. 若αβ⊥，则α内一定存在直线平行于β
B. 若α与β不垂直，则α内一定不存在直线垂直于β
C. 若αγ⊥，βγ⊥，l αβ=I ，则l γ⊥
D. 若αβ⊥，则α内所有直线垂直于β
6.已知函数2
()1f x ax x =-+，1,? 1(),? 11?1,?
1x g x x x x -≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩，若函数()()y f x g x =-恰有两个零点，则实数a
取值范围为（ ）
A. (0,)+∞
B. (,0)(0,1)-∞U
C. 1(,)(1,)2
-∞-⋃+∞
D. (,0)(0,2)-∞U
7.对于函数()y f x =，如果其图象上的任意一点都在平面区域()()(){x,y |y x y x 0}+-≤内，则称函数
()f x 为“蝶型函数”，已知函数：y sinx =①；2y x 1=-②，下列结论正确的是( )
A. ①、②均不是“蝶型函数”
B. ①、②均是“蝶型函数”
C. ①是“蝶型函数”；②不是“蝶型函数”
D. ①不是
“蝶型函数”：②是“蝶型函数”
8.如图，在正方体1111ABCD A B C D -的八个顶点中任取两个点作直线，与直线1A B 异面且夹角成60︒的直线的条数为（ ）．
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
9.如图，平面直角坐标系中，曲线(实线部分)的方程可以是（ ）
．
A. ()()
2
2110x y x
y --⋅-+=
B. ()
22110x y x y ---+=
C.
()22110x y x y ---+=
D.
22110x y x y ---+=
10.设△ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，(a ＋b ＋c )(a －b ＋c )＝ac ，sinAsinC 3-1
，则角C =（ ）
A. C ＝15°或C ＝45°
B. C ＝15°
或C ＝30°
C. C ＝60°或C ＝45°
D. C ＝30°
或C ＝60° 11.设点M 、N 均在双曲线22
:143
x y C -
=上运动，1F 、2F 是双曲线C 的左、右焦点，则122MF MF MN +-u u u u v u u u u v u u u u v 的最小值为（ ）
A. B. 4
C.
D. 以上都不对
12.已知点E 是抛物线2
:2(0)C y px p =>的对称轴与准线的交点，点F 为抛物线C 的焦点，点P 在抛物
线C 上.在EFP ∆中，若sin sin EFP FEP μ∠=⋅∠，则μ的最大值为（ ）
A.
2
B.
2
二．填空题（每小题分，满分20分）
13.设函数()sin f x x ω=（02ω<<），将()f x 图像向左平移23
π
单位后所得函数图像对称轴与原函数图像对称轴重合，则ω= ．
14.天干地支纪年法，源于中国，中国自古便有十天干与十二地支.十天干：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸.十二地支：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，以此类推，已知2016年为丙申年，那么到改革开放100年时，即2078年为________年
15.已知平面向量a v 、b v 、c v 满足1a =v ，2b c ==v v ，且0b c ⋅=v v ，则当01λ≤≤时，(1)a b c λλ---v v v
的
取值范围是_______
16.已知函数2
()2ln 3f x x ax =-+，若存在实数,[1,5]m n ∈满足2n m -≥时，()()f m f n =成立，则实数a 的
最大值为_____
三:解答题（满分70分）
17.如图，有一块边长为1(hm )的正方形区域ABCD ，在点A 处装有一个可转动的小摄像头，其能够捕捉到图象的角PAQ ∠始终为45°（其中点P 、Q 分别在边BC 、CD 上），设PAB θ∠=，记tan t θ=.
∆的周长l是否为定值？
（1）用t表示PQ的长度，并研究CPQ
（2）问摄像头能捕捉到正方形ABCD内部区域的面积S至多为多少？
18.如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的多面体中，四边形ACDF是菱形，
60,
∠=//,//,3,23,15
FAC
====
AB DE BC EF AB BC AF BF
（1）求证：平面ABC⊥平面ACDF
（2）求平面AEF与平面ACE所成的锐二面角的余弦值
19.某快递公司收取快递费用的标准是：重量不超过1kg的包裹收费10元；重量超过1kg的包裹，除1kg
收费10元之外，超过1kg的部分，每超出1kg（不足1kg，按1kg计算）需再收5元．该公司将最近承揽的100件包裹的重量统计如表：
包裹重量（单位：kg） 1 2 3 4 5
包裹件数43 30 15 8 4
公司对近60天，每天揽件数量统计如表：
包裹件数范围0～100 101～200 201～300 301～400 401～500
包裹件数（近似处理）50 150 250 350 450
天数 6 6 30 12 6
以上数据已做近似处理，并将频率视概率．
（1）计算该公司未来3天内恰有2天揽件数在101～400之间的概率；
（2）①估计该公司对每件包裹收取的快递费的平均值；
②公司将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润，剩余的用作其他费用．目前前台有工作人员3人，每人每天揽件不超过150件，工资100元．公司正在考虑是否将前台工作人员裁减1人，试计算裁员前后公司每日利润的数学期望，并判断裁员是否对提高公司利润更有利？
20.已知椭圆Γ：22
221(0)x y a b a b
+=>>，1B ，2B 分别是椭圆短轴的上下两个端点，1F 是椭圆的左焦点，
P 是椭圆上异于点1B ，2B 的点，若112B F B V 的边长为4的等边三角形．
()1写出椭圆的标准方程；
()2当直线1PB 的一个方向向量是()1,1时，求以1PB 为直径的圆的标准方程；
()3设点R 满足：11RB PB ⊥，22RB PB ⊥，求证：12PB B V 与12RB B V 的面积之比为定值．
21.已知数列{}n a ，{}n b 均为各项都不相等的数列，n S 为{}n a 的前n 项和，(
)*
11n n n a b S n N
+=+∈．
()1若11,2
n n a b ==，求4a 的值；
()2若{}n a 是公比为()1q q ≠的等比数列，求证：数列11n b q ⎧
⎫
+
⎨⎬-⎩
⎭
为等比数列； ()3若{}n a 的各项都不为零，{}n b 是公差为d 的等差数列，求证：2a ，3a ，⋯，n a ，⋯成等差数列的充
要条件是12
d =
． 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.在直角坐标系
xoy 中，曲线1C 的参数方程为222x cos y sin α
α
=+⎧⎨=⎩，其中α为参数，曲线222:20C x y y +-=，以原点o 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线():0l a θρ=≥与曲线
12,C C 分别交于点,A B (均异于原点O )
（1）求曲线12,C C 的极坐标方程； （2）当02
a π
<<
时，求22
OA OB +的取值范围.
23.已知函数()12f x x x =-+-，记()f x 最小值为k .
（1）解不等式()1f x x ≤+；
（2）是否存在正数,a b ,同时满足：12
2,
4a b k a b
+=+=？并说明理由。
高三第二次模拟考试数学试题(理).doc
高三第二次模拟考试数学试题（理）时间120分钟 总分150分 命题人：曹干铁 审校人：王立象等第Ⅰ卷（选择题共50分）参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么)()()(B P A P B A P +=+ 如果事件A 、B 相互独立，那么A P (·)()A P B =·)(B P如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么它在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率k n kk n n P P C k P --=)1()(球的表面积公式24R S π=球，其中R 表示球的半径． 球的体积公式343V R π=球，其中R 表示球的半径．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知函数2log (1)()1(1)xx f x x x ≥⎧=⎨-<⎩，它的反函数为1()y f x -=，则1(2)f --A ．3-B ．1-C ．14D ．2 2．公差不为零的等差数列{}n a 中，12513a a a ++=，且1a 、2a 、5a 成等比数列，则数列{}n a 的公差等于A . 4 B. 3 C. 2 D. 1 3．已知平面γβα,,，直线m l ,，点A ，有下面四个命题： ①若A m l =⊂αα ,，则l 与m 必为异面直线； ②若//,//l l m α，则//m α；③若,,//,//l m l m αββα⊂⊂，则//αβ； ④若,,,m l l m αγγαγβ⊥==⊥，则l α⊥。
其中正确命题的个数是( )。
A ．0B ．1C ．2D ．3 4．设2:f x x →是集合A 到B 的映射，如果{}1,2B =,则AB 等于A . {}1 B. ∅ C. ∅或{}2 D.∅或{}15．若条件p ：14x +≤，条件q ：2<x <3，则q ⌝是p ⌝的A ．必要不充分条件；B ．充分不必要条件；C ．充要条件；D ．既非充分也非必要条件6.在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是角A,B,C 所对的边，60A ∠=︒,1b =,ABC ∆的面积ABC S ∆=,则sin sin sin a b cA B C++++的值等于AB ．CD． 7．从6人中选出4人分别到莽山、韶山、衡山、张家界4个旅游景点游览，要求每个景点 有一人游览，每人只游览一个景点，且这6人中甲、乙两人不去莽山景点游览，则不同的选 择方案共有 A ．300种 B ．240种 C ．144种 D ．96种 8．如图：在△ABC 中，1tan22C =，0AH BC ⋅=，则过点C ，以A 、H 为两焦点的双曲线的离心率为（ ）A ．2B ． 3C ．2D ．39．平面上有相异的11个点，每两点连成一条直线，共得48条直线，则任取其中的三个点，构成三角形的概率是 A ．1433 B ．2633 C ． 2733 D ． 323310．一次研究性课堂上，老师给出一个函数()()1xf x x R x=∈+,四位同学甲、乙、丙、丁在研究此函数时各给出了一个命题： （1）甲：函数()f x 的值域为()1,1-（2）乙：若12x x ≠,则有()()()12120f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦ （3）丙：关于x 的方程()()2213120f x a f x a ---+=（a 为常数且102a <<）的所有实数解的和与a 有关（4）丁：若规定()()1f x f x =，()()()1n n f x ff x -=，则()1n x f x n x=+对任意*n N∈恒成立上述四个命题正确的有A. 1 个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上. 11．已知圆22670x y x +--=与抛物线y 2=2px (p >0)的准线相切，则p =12．若61x ⎛⎫ ⎪⎝⎭的展开式中的第五项等于152 , 则231111lim nn x x x x →∞⎛⎫++++⎪⎝⎭= A BCH13．某学校对学生身高进行统计. 所有学生的身高数近似服从正态分布(160,25)N ，已知所有学生中身高在153cm 以下的人数为202人，则该校学生总人数约为 人（用整数作答）.14．正四面体的四个顶点都在同一个球面上,若过该球球心的一个截面如图,若图中三角形(正四面体的截面)的面积是，则该球球面面积为15.设O 为坐标原点，()1,2A ,若(),P x y 的坐标满足11010y x y x y ≤⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩,则cos OP AOP ∠的最大值是三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分12分）已知向量)1),3(cos(π+=x ，)21),3(cos(-+=πx ，)0),3(sin(π+=x ，函数 b a x f ⋅=)(， c a x g ⋅=)(.（1）要得到)(x f y =的图象，只需把)(x g y =的图象经过怎样的平移或伸缩变换？（2）求)()()(x g x f x h -=的最大值及相应的x ．17．（本小题满分12分）10个实习小组在显微镜下试测一块矩形芯片，测得其长为m m m μμμ31,30,29的小组分别有3个，5个，2个，测得其宽为m μ19m μ20m μ21的小组分别有3个，4个，3个，设测量中矩形芯片的长与宽分别为随机变量ξ和η，周长为μ。
2020年湖南高三二模数学试卷(理科)
当
时， 有两个零点；
当
时， 无零点．
（2）
．
解析:
（ 1 ）方法一：
，
，
若
，则
，在
上单调递增，且
，
此时 存在唯一零点；
若
，令
，得
；
当
，
， 单调递增；当
时，
，
时，
， 单调递减，
∴
，且当
时，
，当
，
，
所以当
，即
时， 无零点；
当
，即
时， 有一个零点；
当
，即
时， 有两个零点．
综上：当
或
时， 有一个零点；
当
时， 有两个零点；
，且当
时，
，则函数
9. 设 ， 满足约束条件
A. B. C. D.
，则
的取值范围是（ ）．
10.
2
若函数 A. B. C. D.
在 上单调递减，则实数 的取值范围是（ ）．
11.
的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 ， ， 为
的外心，则
（ ）．
A.
B.
C.
D.
12. 已知函数 取值范围是（ ） A. B. C. D.
．
故选： ．
6
7. A 解析:
所以当
时，
又因为
，
∴
，
所以 的最小正周期为 ，
当
时，
，
所以 在
上为减函数．
故选 ．
，其图象关于直线
对称，
，
，
，
8. C
解析:
偶函数 满足
，故函数的周期为 ．
湖南省2020届高三数学上学期第二次模拟考试试题 理(含解析)
湖南省2020届高三数学上学期第二次模拟考试试题 理（含解析）注意事项：1．全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效． 2．考试结束后，只交答题卡．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.设复数z 满足21iz =+，则z 的共轭复数为（ ） A. 1i - B. 1i +C. 1i -+D. 1i --【答案】B 【解析】 【分析】先利用复数除法的公式化简z ,再求共轭复数即可. 【详解】()()()2121111i z i i i i -===-++-,故z 的共轭复数为1i +. 故选：B【点睛】本题主要考查了复数的基本运算以及共轭复数的概念,属于基础题型. 2.已知集合{}3A x x =<，{}2log 0B x x =>，则（ ） A. {}13A B x x ⋂=<< B. A B φ⋂= C. {|3}AB x x =<D. {}1A B x x ⋃=>【答案】A 【解析】 【分析】根据对数不等式的解法求集合B ,再分析交集并集即可.【详解】{}{}2log 01B x x x x =>=>.故{}13A B x x ⋂=<<,A B R =.故选：A【点睛】本题主要考查了集合的基本运算与对数不等式的求解,属于基础题型. 3.执行图中所示程序框图，若输入14p =，则输出结果为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B【解析】【分析】根据程序框图逐步运行求解即可.【详解】由框图知：输入14p=,1,1n S==,1.14S>判定为是, 11122S=-=,2n=.2.14S>判定为是, 111244S=-=,3n=3.14S>判定为否,输出3n=.故选：B【点睛】本题主要考查了程序框图输入数据输出结果的问题,属于基础题型.4.为了解运动健身减肥的效果，某健身房调查了20名肥胖者，健身之前他们的体重情况如三维饼图（1）所示，经过四个月的健身后，他们的体重情况如三维饼图（2）所示．对比健身前后，关于这20名肥胖者，下面结论不正确的是（）A. 他们健身后，体重在区间[90kg，100kg）内的人数不变B. 他们健身后，体重在区间[100kg，110kg）内的人数减少了4人C. 他们健身后，这20位健身者体重的中位数位于[90kg ，100kg ）D. 他们健身后，原来体重在[110kg ，120kg]内的肥胖者体重都至少减轻了10kg 【答案】D 【解析】 【分析】根据饼图逐个选项计算分析即可.【详解】对A,易得们健身后,体重在区间[90kg ,100kg ）内的人数占比均为0040,故A 正确. 对B,体重在区间[100kg,110kg ）内的人数减少了000000503020-=,即0020204⨯=人. 故B 正确.对C,因为健身后[80kg ,90kg ）内的人数占0030,[90kg ,100kg ）内的人数占0040,故中位数位于[90kg ,100kg ）.故C 正确.对D,易举出反例若原体重在[110kg,120kg]内的肥胖者重量为110kg ,减肥后为109kg 依然满足.故D 错误. 故选：D【点睛】本题主要考查了对饼图的理解,属于基础题型. 5.已知数列321121,,,,n n a a a a a a a -是首项为8，公比为12的等比数列，则4a 等于（ ） A. 8 B. 32C. 64D. 128【答案】C 【解析】 【分析】 由题可列出3241123,,,a a a a a a a 的值再累乘计算即可. 【详解】由题, 32411238,4,2,1a a aa a a a ====,故32441123842164a a a a a a a a =⋅⋅⋅=⨯⨯⨯=.故选：C【点睛】本题主要考查了根据递推公式求解某一项的问题,属于基础题型.6.某校高三年级有男生220人，编号为1，2，…，220；女生380人，编号为221，222，…，600．为了解学生的学习状态，按编号采用系统抽样的方法从这600名学生中抽取10人进行问卷调查，第一组抽到的号码为10，现从这10名学生中随机抽取2人进行座谈，则这2人中既有男生又有女生的概率是（ ） A.15B.715C.815D.45【答案】C 【解析】 【分析】根据系统抽样的方法分析抽取出来的学生编号,再分析其中男女生的个数,再利用排列组合的方法求解概率即可.【详解】由题意知,抽取的学生编号成等差数列,首项为10,公差为6006010=. 故抽取的10人中男生有10,70,130,190,这4个号码,其余的6人为女生. 即抽到的10人中,有男生4人,女生6人, 再从这10位学生中随机抽取2人座谈, 基本事件总数21045n C ==,2人中既有男生又有女生包含的基本事件个数114624m C C =⋅=, 故2人中既有男生又有女生的概率2484515m p n ===. 故选：C【点睛】本题主要考查了系统抽样的方法与排列组合解决概率的问题,属于中等题型. 7.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(1)(3)0f x f x ++-=，若(1)2f =，则(1)(2)(3)(2019)f f f f ++++=（ ）A. 2-B. 0C. 2D. 2020【答案】B 【解析】 【分析】根据奇偶性与(1)(3)0f x f x ++-=可得函数()f x 的周期为4,再根据性质计算(1),(2),(3),(4)f f f f 即可.【详解】因为奇函数()f x 满足(1)(3)0f x f x ++-=,即(1)(3)(3)f x f x f x +=--=-.故()f x 周期为4.故(1)(2)(3)(2019)f f f f ++++,因为20194504......3÷=.故原式[]504(1)(2)(3)(4)(1)(2)(3)f f f f f f f =⨯++++++.令0x =,则(01)(30)0(1)(3)0(3)2f f f f f ++-=⇒+=⇒=-. 令1x =,则(11)(31)02(2)0(2)0f f f f ++-=⇒=⇒=. 又奇函数()f x 故()(4)00f f ==.故[]()504(1)(2)(3)(4)(1)(2)(3)50420202020f f f f f f f ⨯++++++=⨯+-+++-=. 故选：B【点睛】本题主要考查了函数奇偶性与周期性的应用,需要根据题意分析函数的周期,再代入特殊值求对应的函数值.属于中等题型.8.已知函数()2sin()(0,||)f x x ωϕωϕπ=+><的部分图像如图所示，且(,1),(,1)2A B π-π，则ϕ的值为（ ）A. 56π-B.56π C. 6π-D.6π 【答案】D 【解析】 【分析】根据图像判断函数的周期,从而确定ω的值,再代入对应的点求得ϕ即可. 【详解】由图像可知,周期22T ππωω==⇒=.即()2sin(2)f x x ϕ=+,代入()0,1可知,12sin ϕ=.因为||ϕπ<,故6π=ϕ或56πϕ=.又由图可得,0x =在最高点的左侧,所以6π=ϕ. 故选：D【点睛】本题主要考查了根据三角函数图像求解三角函数中参数的值,需要根据题意求得周期,代入点进行分析,同时结合图像可知ϕ的范围.属于中等题型.9.北方的冬天户外冰天雪地，若水管裸露在外，则管内的水就会结冰从而冻裂水管，给用户生活带来不便．每年冬天来临前，工作人员就会给裸露在外的水管“保暖”：在水管外面包裹保温带，用一条保温带盘旋而上一次包裹到位．某工作人员采用四层包裹法（除水管两端外包裹水管的保温带都是四层）：如图1所示是相邻四层保温带的下边缘轮廓线，相邻两条轮廓线的间距是带宽的四分之一．设水管的直径与保温带的宽度都为4cm ．在图2水管的侧面展开图中，此保温带的轮廓线与水管母线所成的角的余弦值是（ ）（保温带厚度忽略不计）A. 14B. 14πC.21414ππ++ D.2116116ππ++【答案】D 【解析】 【分析】根据题意,因为相邻两条轮廓线的间距是带宽的四分之一,每隔四分之一的带宽就绕一层保温带,则一共可以盖四层.故画出所求角度所在的直角三角形,再分别分析临边与斜边即可. 【详解】由题,作''AP B D ⊥于P .根据题意可知'B P 宽为带宽四分之一即1414⨯=,又水管直径为4 cm.故4AP π=.故轮廓线与水管母线所成的角的余弦值是()2222'116cos''11614B PAB PB Aπππ+∠===++.故选：D【点睛】本题主要考查了三角函数的实际运用,需要根据题意找到对应的边角关系进行求解,属于基础题型.10.某三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球的表面积为（）A. 8πB. 6πC. 4πD.823π【答案】A【解析】【分析】2的等腰直角三角形,高为2.再分析外接球的直径求解即可.2的等腰直角三角形,高为2.222+2=22故外接球表面积2224482S Rπππ⎛===⎝⎭.故选：A【点睛】本题主要考查了根据三视图求外接球的表面积方法,属于基础题型.11.如图，已知双曲线22221(0)x yb aa b-=>>的左、右焦点分别为1F、2F，过右焦点作平行于一条渐近线的直线交双曲线于点A，若12AF F△的内切圆半径为4b，则双曲线的离心率为（）23B.54C.53D.322【答案】C 【解析】 【分析】设双曲线的左、右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，设双曲线的一条渐近线方程为b y x a=，可得直线2AF 的方程为()by x c a=-，联立双曲线的方程可得A 的坐标，设1||AF m =，2||AF n =，运用三角形的等积法，以及双曲线的定义，结合锐角三角函数的定义，化简变形可得a ，c 的方程，结合离心率公式可得所求值．【详解】设双曲线的左、右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ， 设双曲线的一条渐近线方程为by x a=， 可得直线2AF 的方程为()b y x c a =-，与双曲线22221(0)x y b a a b-=>>联立，可得22(2c a A c +，22())2b a c ac-，设1||AF m =，2||AF n =，由三角形的面积的等积法可得2211()(2)22422b b c a m n c c ac -⋅++=⋅⋅，化简可得2442c m n a c a+=--①由双曲线的定义可得2m n a -=②在三角形12AF F 中22()sin 2b c a n acθ-=，(θ为直线2AF 的倾斜角），由tan b a θ=，22sin cos 1θθ+=，可得sin b cθ==，可得222c a n a-=，③由①②③化简可得223250c ac a --=， 即为(35)()0c a c a -+=， 可得35c a =，则53c e a ==． 故选：C.【点睛】本题考查直线与双曲线的位置关系、双曲线的定义、坐标求解、离心率求解，考查方程思想的运用及三角形等积法，考查运算求解能力，属于难题．12.数列{}n a 满足()1111nn n a a n ++=-+-,且601a <<．记数列{}n a 的前n 项和为n S ,则当n S 取最大值时n 为（ ） A. 11 B. 12 C. 11或13 D. 12或13【答案】C 【解析】 【分析】分n 的奇偶讨论数列{}n a 的奇偶性分别满足的条件,再分析n S 的最大值即可.【详解】由题,当n 为奇数时, ()1111nn n a a n ++=-+-,()()1211111n n n a a n ++++=-++-.故()()()()1211111111211n n n n n a a n n ++⎡⎤⎡⎤-=-++---+-=--⋅-=⎣⎦⎣⎦.故奇数项为公差为1的等差数列.同理当n 为偶数时, ()21213nn n a a +-=--⋅-=-. 故偶数项为公差为-3的等差数列.又601a <<即2206167a a <-<⇒<<.又()12111119a a +=-+-=.所以123a <<. 综上可知,奇数项均为正数,偶数项随着n 的增大由正变负.故当n S 取最大值时n 为奇数.故n 为奇数且此时有()()()()11121111100011110n n n n n n n a a a a n --+++⎧--+-≥+≥⎧⎪⇒⎨⎨+≤-++-≤⎩⎪⎩ ,解得1113n ≤≤.故11n =或13n =. 故选：C【点睛】本题主要考查了奇偶数列的应用,需要根据题意推导奇偶项数列的递推公式,再根据题意分析相邻两项之和与0的大小关系列不等式求解.属于难题. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13.曲线ln y x =过点(0,1)-的切线方程为_________． 【答案】10x y --= 【解析】 【分析】根据导数的几何意义设切点列式求解即可. 【详解】由题, 1'y x =,设切点为()00,ln x x ,则在切点处的切线斜率为01x ,又切线过点(0,1)-,故0000ln (1)11x x x x --=⇒=.故切点为()1,0. 故切线方程为()101101x y y x -=---=⇒. 故答案为：10x y --=【点睛】本题主要考查了导数几何意义的运用,根据切点到定点的斜率等于在该点处的导函数的值列式求解即可.属于基础题型.14.已知AB 为圆O 的弦，若||=2AB ，则OA AB ⋅=_________． 【答案】2- 【解析】 【分析】根据数量积的几何意义求解即可. 【详解】由题,作OC AB ⊥于C.则()cos ACOA AB OA AB OAB OA AB AOπ⋅=⋅⋅-∠=-⋅⋅2AB AC =-⋅=-故答案为：2-【点睛】本题主要考查了向量的数量积运算的直接公式法,属于基础题型.15.已知以F 为焦点的抛物线C ：24y x =上的两点A 、B 满足3AF FB =，则|AB|=________．【答案】163【解析】 【分析】根据3AF FB =可求得直线AB 的倾斜角,再联立方程根据抛物线的焦半径公式求解即可. 【详解】由题,不妨设A 在第一象限.作11,AA BB 分别垂直于准线, 1BC AA ⊥于C 如图. 设FB m =,由3AF FB =,可得：3AF m =,由抛物线的定义知13AA m =,1BB m =,∴ABC 中, 32AC m m m =-=,34AB m m m =+=,故1cos 2AFx ∠=,所以直线AB 的倾斜角为3π,3∴直线AB 方程为()31y x =-,与抛物线方程联立消y 得231030x x -+= 所以121623AB x x =++=, 故答案为：163. 【点睛】本题主要考查了抛物线几何意义的运用,需要根据题中给的比例关系求出直线的倾斜角,再联立方程利用焦半径公式求解即可.属于中等题型.16.已知函数22,1,()11,.x x x t f x x t x a ⎧+-≤<⎪=⎨--≤≤⎪⎩（1）若1t =,且()f x 值域为[)1,3-,则实数a 的取值范围为_________． （2）若存在实数a ,使()f x 值域为[]1,1-,则实数t 的取值范围为_________． 【答案】 (1). [1,3] (2). (1,21]-- 【解析】 【分析】(1)根据题意有22,11,()11,1.x x x f x x x a ⎧+-≤<⎪=⎨--≤≤⎪⎩画出图像再分析即可.(2)先分析临界条件,再分析随着t 的改变图像的变化情况判断即可.【详解】(1)画出图像易得,当111x --=-时3x =（舍去负值）.故实数a 的取值范围为[1,3].(2)用虚线画出22,11y x x y x =+=--的整体图像,再分析随着t 的改变图像的变化情况. 由图,当221y x x =+=时,()21221x x +=⇒=（舍去负值）.由图可知,(1,21]t ∈--时, 存在实数3a =满足()f x 值域为[]1,1-.故答案为：(1). [1,3] (2). (21]-【点睛】本题主要考查了数形结合求解函数值域的问题,需要根据题意画出对应的图像,分析当参数变化时整个函数变化的情况,从而找到临界条件求得取值范围.属于中等题型. 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题第21题为必考题，考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必做题：60分． 17.在ABC ∆中，3ABC π∠=，点D 在边AB 上，2BD =．（1）若BCD ∆的面积为23CD ；（2）若5cos 5BCA ∠=，310cos 10DCA ∠=，求CD ．【答案】（1）CD 23=（26 【解析】 【分析】(1)根据三角形面积公式与余弦定理求解即可.(2)根据BCD BCA DCA ∠=∠-∠,再利用三角函数的同角三角函数关系与差角公式求解即可.【详解】解：（1）1sin 2BCD S BD BC B ∆=⋅⋅ ∴4BC =在BCD ∆中,由余弦定理可得2222212cos 42242122CD BC BD BC BD B =+-⋅⋅⋅=+-⨯⨯⨯=∴CD 23=（2）BCD BCA DCA ∠=∠-∠∴sin sin cos cos sin BCD BCA DCA BCA DCA ∠=∠∠-∠∠5cos5BCA ∠=,310cos 10DCA ∠=,∴21cos 25sin 5BCA BCA -∠∠==,21cos 10sin 10DCA DCA -∠∠==,∴3101010102552sin 552BCD ∠=⋅-⋅=在BCD ∆中,由正弦定理可得sin sin CD BDB BCD=∠, ∴sin 6sin BD BCD BCD⋅==∠．【点睛】本题主要考查了解三角形中正余弦定理与面积的运用,属于中等题型.18.在如图三棱锥A －BCD 中，BD ⊥CD ，E ，F 分别为棱BC ，CD 上的点，且BD ∥平面AEF ，AE ⊥平面BCD ．（1）求证：平面AEF ⊥平面ACD ；（2）若2BD CD AD ===，E 为BC 的中点，求直线AF 与平面ABD 所成角的正弦值． 【答案】（1）见解析（2）23【解析】 【分析】(1)证明CD AE ⊥,CD EF ⊥进而可得CD AEF ⊥面即可证明平面AEF ⊥平面ACD(2) 分别以,,EC ED EA 为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系,再根据构造的直角三角形的关系求得每边的长度,再利用空间向量求解线面夹角即可.【详解】解：（1）证明：因为//BD AEF 面,BCD AEF EF =面面,BD BCD ⊂面所以//BD EF ,因为BD CD ⊥,所以CD EF ⊥． 又因为AE BCD ⊥面,CD BCD ⊂面, 所以CD AE ⊥,而EFAE E =,所以CD AEF ⊥面,又CD ACD ⊂面, 所以AEF ACD ⊥面面．（2）解：设直线AF 与平面ABD 所成交的余弦值为θ． 连接DE ,在BCD ∆中,=2BD CD =,BE EC =,BD CD ⊥,所以DE BC ⊥,且22BC =,2DE =,又因为AE BCD ⊥面,DE BCD ⊂面,BC BCD ⊂面, 所以AE DE ⊥,AE BC ⊥．在Rt ADE ∆中,2DE =,2AD =,所以2AE =．如图,以点E 为坐标原点,分别以,,EC ED EA 为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系,各点坐标为(0,02)A ，,(2,0,0)B -,(0,2,0)D ,(2,0,0)C ,因为//BD EF ,E 为BC 的中点,所以F 为CD 的中点,即22,22F , 设平面ABD 的法向量(,,)m x y z =,(2,0,2)BA =,(2,2,0)BD =,由m BA m BD ⎧⊥⎨⊥⎩,即(,,)(2,0,2)0(,,)(2,2,0)0m BA x y z m BD x y z ⎧⋅=⋅=⎪⎨⊥=⋅=⎪⎩,整理得0x z x y +=⎧⎨+=⎩,令1z =-,得1x =,1y =-,则(1,1,1)m =--．因为2(AF =,所以2sin ||||m AF m AF θ⋅==⨯故直线AF 与平面ABD 所成交的正弦值为3． 【点睛】本题主要考查了面面垂直的证明以及利用空间直角坐标系求解线面角的方法,属于中等题型.19.已知椭圆Γ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为C 、D ，且过点，P 是椭圆上异于C 、D 的任意一点，直线PC ，PD 的斜率之积为12-． （1）求椭圆Γ的方程；（2）O 为坐标原点，设直线CP 交定直线x = m 于点M ，当m 为何值时，OP OM ⋅为定值．【答案】（1）22142x y +=（2）2m =【解析】 【分析】(1)设(),P x y ,根据题意可求得2212b a =,再代入椭圆方程即可求解.(2)根据(1)中的结论, 设直线:(2)CM y k x =+,并联立与椭圆的方程,求得(,(2))+M m k m ,222244(,)1212k kP k k-++,再表达出OP OM ⋅,根据恒成立问题求得系数的关系即可.也可直接设00(,)P x y 表达出OP OM ⋅,利用00(,)P x y 满足椭圆的方程进行化简,同理可得m 的值.【详解】解：（1）椭圆Γ过点,∴22211a b+=,① 又因为直线,PC PD 的斜率之积为12-,故2221122y y y x a x a x a ⋅=-⇒=-+--. 又222222222222221x y a y y b x a a b b x a a +=⇒⇒=--=--.即2212b a =,②联立①②得2,a b ==∴所求的椭圆方程为22142x y +=．（2）方法1：由（1）知,(2,0)为-C ．由题意可设:(2)CM y k x =+, 令x=m ,得(,(2))+M m k m ．又设11(,)P x y由22142(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩整理得：2222(12)8840k x k x k +++-=． ∵21284212k x k--=+,∴2122412k x k -=+,1124(2)12k y k x k =+=+, 所以222244(,)1212k kP k k -++,∴22222224(2)244282(2)12121212+-+⋅=⋅++⋅==++++mk k k m kOP OM m k m k k k k , 要使OP OM ⋅与k 无关,只需12m=,此时OP OM ⋅恒等于4.∴2m =方法2：:设00(,)P x y ,则00:(2)2=++y CM y x x ,令x=m ,得00(2)(,)2++y m M m x , ∴20000000(2)(2)(,)(,)22++⋅=⋅=+++y m y m OP OM x y m mx x x由2200142x y +=有220000(2)(2)2(1)42+-=-=x x x y , 所以000(2)(2)(2)2422+--++⋅=+=m x m x m OP OM mx ,要使OP OM ⋅与0x 无关,只须12m=,此时4OP OM ⋅=.∴2m =【点睛】本题主要考查了根据椭圆中的定值问题求解基本量的方法,同时也考查了联立直线与椭圆方程,根据椭圆上的点满足椭圆的方程,求解定值的有关问题.属于难题.20.某工厂生产某种产品，为了控制质量，质量控制工程师要在产品出厂前对产品进行检验．现有n （n *∈N 且2n ≥）份产品，有以下两种检验方式：（1）逐份检验，则需要检验n 次；（2）混合检验，将这n 份产品混合在一起作为一组来检验．若检测通过，则这n 份产品全部为正品，因而这n 份产品只要检验一次就够了；若检测不通过，为了明确这n 份产品究竟哪几份是次品，就要对这n 份产品逐份检验，此时这n 份产品的检验次数总共为1n +次．假设在接受检验的样本中，每份样本的检验结果是正品还是次品都是独立的，且每份样本是次品的概率为(01)p p <<．（1）如果4n =，采用逐份检验方式进行检验，求检测结果恰有两份次品的概率； （2）现对n 份产品进行检验，运用统计概率相关知识回答：当n 和p 满足什么关系时，用混合检验方式进行检验可以减少检验次数？（3）①当2n k =（k *∈N 且2k ≥）时，将这n 份产品均分为两组，每组采用混合检验方式进行检验，求检验总次数ξ的数学期望；②当n mk =（,k m N *∈，且2k ≥，2m ≥）时，将这n 份产品均分为m 组，每组采用混合检验方式进行检验，写出检验总次数ξ的数学期望（不需证明）．【答案】（1）226(1)p p -（2）111()np n<-（3）①()()2221kE k k p ξ=+--②()(1)1km k mk p +-- 【解析】 【分析】(1)根据二项分布的方法求解即可.(2)记采用逐份检验方式,样本需要检验的总次数为1ξ,采用混合检验方式,样本需要检验的总次数为2ξ,再根据题意求出对应的数学期望1E n ξ=,()211nE n n p ξ=+--再根据1E ξ>2E ξ化简求解即可.(3)①设两组采用混合检验的检验次数分别为1ξ,2ξ,由(2)可知()12()()11kE E k k p ξξ==+--再相加即可.②根据题意可知,这m 组采用混合检验的检验次数所有的可能值均为1,1k +,再求解数学期望即可.【详解】解：（1）如果4n =,采用逐份检验方式,设检测结果恰有两份次品的概率为222224(1)6(1)C p p p p -=-∴检测结果恰有两份次品的概率226(1)p p -．（2）记采用逐份检验方式,样本需要检验的总次数为1ξ,采用混合检验方式,样本需要检验的总次数为2ξ,由已知得1E n ξ=,2ξ的所有可能取值为1,1n +()()211kP p ξ∴==-,()()2111nP n p ξ=+=--∴()()21(1)11n n E p n p ξ⎡⎤=-++--⎣⎦=()11n n n p +--要减少检验次数,则1E ξ>2E ξ,则1(1)nn n n p >+--∴(1)1nn p ->,1(1)np n ->,即111()n p n<-,（3）①两组采用混合检验的检验次数分别为1ξ,2ξ,则由（2）知11,1k ξ=+,21,1k ξ=+,()12()()11k E E k k p ξξ==+--,12ξξξ=+()1212()()()()2221kE E E E k k p ξξξξξ=+=+=+--②设这m 组采用混合检验的检验次数分别为1ξ,2ξ,,m ξ,11,1k ξ=+,21,1k ξ=+,,1,1m k ξ=+,且检验总次数12m ξξξξ=+++,()()11,1,2,,ki P p i m ξ∴==-=,()()111,1,2,,ki P k p i m ξ=+=--=()()11,1,2,ki E k k p i m ξ∴=+--=()121()()()()(1)1kk k E E E E m k mk p ξξξξξξ∴=+++=++=+--,所以检验总次数ξ的数学期望()(1)1km k mk p +--．【点睛】本题主要考查了二项分布的方法以及根据题意求离散型随机变量的数学期望方法,需要根据题意找到所有可能的取值,再列式求解.属于难题.21.已知函数12()(1)1x f x e x x x -=+-++，1()(2)(3)ln(3)x g x x e x x -=----．证明： （1）存在唯一x 0∈（0,1），使f (x 0)＝0；（2）存在唯一x 1∈（1，2），使g (x 1)＝0，且对(1)中的x 0，有x 0＋x 1<2．【答案】（1）见解析（2）见解析 【解析】 【分析】(1)求导后根据极值点的存在性定理证明即可.(2)令2t x =-,换元将()(2)g x g t =-m 再构造函数1(2)()ln(1)11tg t te h t t t t --==-+++,分析()h t 的单调性,结合(1)中的结论求得()h t 存在唯一的()10,1t ∈,使1()0h t =,再根据零点的大小关系即可证明.【详解】证明：(1)当x ∈（0,1）时,f ′(x )＝12()(2)1x f x e x x -=-+++＞0,函数f (x )在（0,1）上为增函数．又f (0)＝-e+1<0,f (1)＝3>0,所以存在唯一x 0∈（0,1）,使f (x 0)＝0． (2)当x ∈（1,2）时,1()(2)(3)ln(3)x g x x e x x -=----, 令2t x =-,x =2-t ,x ∈（1,2）,t ∈（0,1）, 1(2)(1)ln(1)t g t te t t --=-++,t ∈（0,1）记函数1(2)()ln(1)11tg t te h t t t t --==-+++,t ∈（0,1）． 则h ′(t )＝1222(1)1()(1)(1)t e t t t f t t t ---+---=++．由(1)得,当t ∈(0,x 0)时,f (t )<0,h ′(t )＞0, 当t ∈(x 0,1)时,f (t )>0,h ′(t )<0．故在(0,x 0)上h (t )是增函数,又h (0)＝0,从而可知当t ∈(0,x 0]时,h (t )>0,所以h (t )在(0,x 0]上无零点．在(x 0,1)上h (t )为减函数,由h (x 0)>0,h (1)＝12－ln2<0,知存在唯一t 1∈(x 0,1),使h (t 1)＝0, 故存在唯一的t 1∈(0,1),使h (t 1)＝0．因此存在唯一x 1＝2－t 1∈(1,2),使g (x 1)＝g (2－t 1)＝h (t 1)＝0． 因为当t ∈(0,1)时,1＋t >0,故(2)()1g t h t t -=+与g (2－t )有相同的零点,所以存在唯一的x 1∈（1,2）,使g (x 1)＝0．因为x 1＝2－t 1,t 1>x 0,所以x 0＋x 1<2．【点睛】本题考查了根据导数求解隐零点的问题.需要根据题意确定零点所在区间,再根据零点满足的关系式证明函数的单调性与最值.同时也考查了构造函数证明不等式分方法,属于难题.（二）选考题：10分．请考生在第22、23题中任选一题作答． 如果多做，则按所做第一题计分．22.在直角坐标系xOy 中，直线1C的参数方程为2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（其中t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为=2sin ρθ．（1）写出直线1C 的极坐标方程；（2）设动直线:(0)l y kx k =>与1C ，2C 分别交于点M 、N ，求ON OM的最大值． 【答案】（1）sin()4πρθ+=2【解析】【分析】 (1)消去参数t 求1C 的直角坐标方程,再根据cos x ρθ=,sin y ρθ=代入方程化简即可.(2) 设直线l 的极坐标方程为=0<<)2πθαα(,再根据极坐标的几何意义求解即可.【详解】解：（1）直线1C 的直角坐标方程为20x y +-=,将cos x ρθ=,sin y ρθ=代入方程得sin cos 2ρθρθ+=,即sin()4πρθ+=（2）设直线l 的极坐标方程为=0<<)2πθαα(,设12(,),(,)M N ραρα,则212sin sin()1=)242ON OM πααρπαρ+=-+, 由02πα<<,有32444πππα-<-<, 当sin(2)=14πα-时,ON OM的最大值为2． 【点睛】本题主要考查了参数方程与直角坐标的互化以及直角坐标化极坐标的方法.同时也考查了极坐标的几何意义,属于中等题型.23.已知函数()2f x x =-．（1）求不等式()25f x x ≤+的解集；（2）记函数()(1)(5)g x f x f x =+--+，且()g x 的最大值为M ，若0a >，求证：213Ma a +≥． 【答案】（1）[)1,-+∞（2）见解析【解析】【分析】(1)根据绝对值不等式的方法求解即可.(2)利用绝对值的三角不等式可得2M =,再利用三元基本不等式求证即可.【详解】解：（1）由()25f x x ≤+得25025225x x x x +≥⎧⎨--≤-≤+⎩,解得1x ≥- ∴不等式()25f x x ≤+的解集为[)1,-+∞．（2）()(1)(5)13132g x f x f x x x x x =+--+=---+≤--+=当且仅当3x ≥时等号成立,∴2M =,∴22211123Ma a a a a a a +=+=++≥=． 当且仅当21a a =,即1a =时等号成立． 【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的求解以及绝对值三角不等式和三元的基本不等式的方法,属于中等题型.。
精品解析：2020届湖南省长沙市明达中学高三(高复部)第二次模拟考试理科数学试题(原卷版)
长沙市明达中学高复部2020届高考备考第二次模拟考试理科数学试卷一．选择题（每小题5分，满分60分）1.“4n =”是1nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中存在常数项”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件2.关于函数()232f x x =-的下列判断，其中正确的是（ ） A. 函数的图像是轴对称图形 B. 函数的图像是中心对称图形 C. 函数有最大值D. 当0x >时，()y f x =是减函数3.已知向量a v 和b v 的夹角为3π，且2,3a b ==v v ，则(2)(2)a b a b -+=v v v v（ ）A. 10-B. 7-C. 4-D. 1-4.魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”，刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为π：4.若正方体的棱长为2，则“牟合方盖”的体积为( ) A. 16B. C.163D.12835.关于三个不同平面,,αβγ与直线l ，下列命题中的假命题是（ ） A. 若αβ⊥，则α内一定存在直线平行于βB. 若α与β不垂直，则α内一定不存在直线垂直于βC. 若αγ⊥，βγ⊥，l αβ=I ，则l γ⊥D. 若αβ⊥，则α内所有直线垂直于β6.已知函数2()1f x ax x =-+，1,? 1(),? 11?1,?1x g x x x x -≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩，若函数()()y f x g x =-恰有两个零点，则实数a取值范围为（ ）A. (0,)+∞B. (,0)(0,1)-∞UC. 1(,)(1,)2-∞-⋃+∞D. (,0)(0,2)-∞U7.对于函数()y f x =，如果其图象上的任意一点都在平面区域()()(){x,y |y x y x 0}+-≤内，则称函数()f x 为“蝶型函数”，已知函数：y sinx =①；2y x 1=-②，下列结论正确的是( )A. ①、②均不是“蝶型函数”B. ①、②均是“蝶型函数”C. ①是“蝶型函数”；②不是“蝶型函数”D. ①不是“蝶型函数”：②是“蝶型函数”8.如图，在正方体1111ABCD A B C D -的八个顶点中任取两个点作直线，与直线1A B 异面且夹角成60︒的直线的条数为（ ）．A. 3B. 4C. 5D. 69.如图，平面直角坐标系中，曲线(实线部分)的方程可以是（ ）．A. ()()22110x y xy --⋅-+=B. ()22110x y x y ---+=C.()22110x y x y ---+=D.22110x y x y ---+=10.设△ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，(a ＋b ＋c )(a －b ＋c )＝ac ，sinAsinC 3-1，则角C =（ ）A. C ＝15°或C ＝45°B. C ＝15°或C ＝30°C. C ＝60°或C ＝45°D. C ＝30°或C ＝60° 11.设点M 、N 均在双曲线22:143x y C -=上运动，1F 、2F 是双曲线C 的左、右焦点，则122MF MF MN +-u u u u v u u u u v u u u u v 的最小值为（ ）A. B. 4C.D. 以上都不对12.已知点E 是抛物线2:2(0)C y px p =>的对称轴与准线的交点，点F 为抛物线C 的焦点，点P 在抛物线C 上.在EFP ∆中，若sin sin EFP FEP μ∠=⋅∠，则μ的最大值为（ ）A.2B.2二．填空题（每小题分，满分20分）13.设函数()sin f x x ω=（02ω<<），将()f x 图像向左平移23π单位后所得函数图像对称轴与原函数图像对称轴重合，则ω= ．14.天干地支纪年法，源于中国，中国自古便有十天干与十二地支.十天干：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸.十二地支：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，以此类推，已知2016年为丙申年，那么到改革开放100年时，即2078年为________年15.已知平面向量a v 、b v 、c v 满足1a =v ，2b c ==v v ，且0b c ⋅=v v ，则当01λ≤≤时，(1)a b c λλ---v v v的取值范围是_______16.已知函数2()2ln 3f x x ax =-+，若存在实数,[1,5]m n ∈满足2n m -≥时，()()f m f n =成立，则实数a 的最大值为_____三:解答题（满分70分）17.如图，有一块边长为1(hm )的正方形区域ABCD ，在点A 处装有一个可转动的小摄像头，其能够捕捉到图象的角PAQ ∠始终为45°（其中点P 、Q 分别在边BC 、CD 上），设PAB θ∠=，记tan t θ=.∆的周长l是否为定值？（1）用t表示PQ的长度，并研究CPQ（2）问摄像头能捕捉到正方形ABCD内部区域的面积S至多为多少？18.如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的多面体中，四边形ACDF是菱形，60,∠=//,//,3,23,15FAC====AB DE BC EF AB BC AF BF（1）求证：平面ABC⊥平面ACDF（2）求平面AEF与平面ACE所成的锐二面角的余弦值19.某快递公司收取快递费用的标准是：重量不超过1kg的包裹收费10元；重量超过1kg的包裹，除1kg收费10元之外，超过1kg的部分，每超出1kg（不足1kg，按1kg计算）需再收5元．该公司将最近承揽的100件包裹的重量统计如表：包裹重量（单位：kg） 1 2 3 4 5包裹件数43 30 15 8 4公司对近60天，每天揽件数量统计如表：包裹件数范围0～100 101～200 201～300 301～400 401～500包裹件数（近似处理）50 150 250 350 450天数 6 6 30 12 6以上数据已做近似处理，并将频率视概率．（1）计算该公司未来3天内恰有2天揽件数在101～400之间的概率；（2）①估计该公司对每件包裹收取的快递费的平均值；②公司将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润，剩余的用作其他费用．目前前台有工作人员3人，每人每天揽件不超过150件，工资100元．公司正在考虑是否将前台工作人员裁减1人，试计算裁员前后公司每日利润的数学期望，并判断裁员是否对提高公司利润更有利？20.已知椭圆Γ：22221(0)x y a b a b+=>>，1B ，2B 分别是椭圆短轴的上下两个端点，1F 是椭圆的左焦点，P 是椭圆上异于点1B ，2B 的点，若112B F B V 的边长为4的等边三角形．()1写出椭圆的标准方程；()2当直线1PB 的一个方向向量是()1,1时，求以1PB 为直径的圆的标准方程；()3设点R 满足：11RB PB ⊥，22RB PB ⊥，求证：12PB B V 与12RB B V 的面积之比为定值．21.已知数列{}n a ，{}n b 均为各项都不相等的数列，n S 为{}n a 的前n 项和，()*11n n n a b S n N+=+∈．()1若11,2n n a b ==，求4a 的值；()2若{}n a 是公比为()1q q ≠的等比数列，求证：数列11n b q ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭为等比数列； ()3若{}n a 的各项都不为零，{}n b 是公差为d 的等差数列，求证：2a ，3a ，⋯，n a ，⋯成等差数列的充要条件是12d =． 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.在直角坐标系xoy 中，曲线1C 的参数方程为222x cos y sin αα=+⎧⎨=⎩，其中α为参数，曲线222:20C x y y +-=，以原点o 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线():0l a θρ=≥与曲线12,C C 分别交于点,A B (均异于原点O )（1）求曲线12,C C 的极坐标方程； （2）当02a π<<时，求22OA OB +的取值范围.23.已知函数()12f x x x =-+-，记()f x 最小值为k .（1）解不等式()1f x x ≤+；（2）是否存在正数,a b ,同时满足：122,4a b k a b+=+=？并说明理由。
2020届高三第二次模拟考试数学(理科)试题 Word版含解析
2020年高考数学二模试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1.设351i z i i=++，则z =（ ）A. 2B.12C.22D.102【★答案★】C 【解析】 【分析】根据复数运算法则求得1122z i =-+，根据模长的定义求得结果. 【详解】()351111222i i i z i i i i --=+=+=-++ 112442z ∴=+= 本题正确选项：C【点睛】本题考查复数模长的求解问题，关键是能够通过复数的运算求得复数，属于基础题. 2.已知集合{}2670A x x x =--<，{}B x x x ==-，则A B =（ ）A. (]1,0-B. (]7,0-C. [)0,7D. [)0,1【★答案★】A 【解析】 【分析】分别求解出集合A 和集合B ，根据交集的定义求得结果. 【详解】{}()26701,7A x x x =--<=-，{}(],0B x x x ==-=-∞(]1,0A B ∴=-本题正确选项：A【点睛】本题考查集合运算中的交集运算，属于基础题. 3.函数()()22ln x xf x x -=+的图象大致为（ ）A. B.C. D.【★答案★】B 【解析】 【分析】根据函数奇偶性的判断可知函数为偶函数，图象关于y 轴对称，排除D ；根据()0,1x ∈时，()0f x <，排除,A C ，从而得到正确选项.【详解】()f x 定义域为{}0x x ≠，且()()()()22ln 22ln x x x x f x x x f x ---=+-=+=()f x ∴为偶函数，关于y 轴对称，排除D ；当()0,1x ∈时，220x x -+>，ln 0x <，可知()0f x <，排除,A C . 本题正确选项：B【点睛】本题考查函数图象的辨析，关键是能够通过函数的奇偶性、特殊值的符号来进行排除. 4.已知向量a ，b 满足||2a =，||1b =，且||2b a -=则向量a 与b 的夹角的余弦值为（ ） A.22B.23C.24D.25【★答案★】C 【解析】 分析】先由向量模的计算公式，根据题中数据，求出12a b ⋅=，再由向量夹角公式，即可得出结果. 【详解】因为向量a ，b 满足||2a =，||1b =，且||2b a -=，所以2||2-=b a ，即2222+-⋅=b a a b ，因此12a b ⋅=， 所以12cos ,422⋅<>===a b a b a b. 故选：C【点睛】本题主要考查由向量的模求向量夹角余弦值，熟记向量夹角公式，以及模的计算公式即可，属于常考题型.5.已知抛物线2:2(0)C x py p =>的准线l 与圆22:(1)(2)16M x y -+-=相切，则(p = )A. 6B. 8C. 3D. 4【★答案★】D 【解析】 【分析】根据题意，求出圆的圆心为()1,2和半径为4，以及抛物线的准线方程:2pl y =-，利用直线与圆相切的性质得出242p+=，即可求出p 的值． 【详解】解：由题可知，圆22:(1)(2)16M x y -+-=的圆心为()1,2，半径为4，抛物线2:2(0)C x py p =>的准线:2p l y =-与圆22:(1)(2)16M x y -+-=相切， 则有242p+=，解得：4p =． 故选：D .【点睛】本题考查圆的标准方程和抛物线的简单性质，以及直线与圆的位置关系的应用，是基本知识的考查．6.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1231112a a a ++=，22a =，则3S =（ ） A. 8B. 7C. 6D. 4【★答案★】A 【解析】 【分析】根据等比数列的性质，得到13123322123132221111a a a a a S a a a a a a a a +++++=+==，结合题中数据，即可得出结果.【详解】因为等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1231112a a a ++=，22a =， 则13123321231322111124a a a a a S a a a a a a a +++++=+===,则38S =. 故选A【点睛】本题考查等比数列的性质，熟记等比数列的性质即可，属于常考题型. 7.“割圆术”是刘徽最突出的数学成就之一，他在《九章算术注》中提出割圆术，并作为计算圆的周长、面积以及圆周率的基础.刘徽把圆内接正多边形的面积一直算到了正3072边形，并由此而求得了圆周率为3.1415和3.1416这两个近似数值，这个结果是当时世界上圆周率计算的最精确数据.如图，当分割到圆内接正六边形时，某同学利用计算机随机模拟法向圆内随机投掷点，计算得出该点落在正六边形内的频率为0.8269，那么通过该实验计算出来的圆周率近似值为（ ）（参考数据：32.09460.8269≈）A. 3.1419B. 3.1417C. 3.1415D. 3.1413【★答案★】A 【解析】 【分析】先设圆的半径为r ，表示出圆的面积和正六边形的面积，再由题中所给概率，即可得出结果. 【详解】设圆的半径为r ，则圆的面积为2r π，正六边形的面积为213336222r r r ⨯⨯⨯=，因而所求该实验的概率为22333320.82692rr ππ==，则33 3.141920.8269π=≈⨯.故选A【点睛】本题主要考查与面积有关的几何概型，熟记概率计算公式即可，属于常考题型. 8.已知函数()cos()(0)f x x ωϕω=+>的最小正周期为π，且对x ∈R ，()3f x f π⎛⎫⎪⎝⎭恒成立，若函数()y f x =在[0,]a 上单调递减，则a 的最大值是（ ） A.π6B.π3C.2π3D.5π6【★答案★】B 【解析】 【分析】先由最小正周期，求出ω，再由对x ∈R ，()3f x f π⎛⎫≥ ⎪⎝⎭恒成立，得到2,3k k Z πϕπ=+∈，进而可得()cos 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，求出其单调递减区间，即可得出结果. 【详解】因为函数()()cos f x x ωϕ=+的最小正周期为π，所以22πωπ==，又对任意的x ，都使得()3f x f π⎛⎫≥ ⎪⎝⎭， 所以函数()f x 在3x π=上取得最小值，则223k πϕππ+=+，k Z ∈， 即2,3k k Z πϕπ=+∈，所以()cos 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 令222,3k x k k Z ππππ≤+≤+∈，解得,63k x k k Z ππππ-+≤≤+∈ ，则函数()y f x =在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故a 的最大值是3π.故选B【点睛】本题考查三角函数的图象及其性质，考查运算求解能力.9.已知函数||2()2x f x x =+，设21(log )3m f =，0.1(7)n f -=，()4log 25p f =，则m ，n ，p 的大小关系为（ ） A. m p n >> B. p n m >>C. p m n >>D. n p m >>【★答案★】C 【解析】 【分析】先由函数奇偶性的概念判断函数()f x 的奇偶性，再得到其单调性，确定21log 3，0.17-，4log 25的范围，即可得出结果.【详解】因为()22xf x x =+，所以()222()2()xxf x x x f x --=+-=+=，因此()22xf x x =+为偶函数，且易知函数()f x 在()0,∞+上单调递增，又()221log log 31,23=∈，()0.170,1-∈，()42log 25log 52,3=∈， 所以0.1421log 25log 73->>， 因此p m n >>. 故选C【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性的应用，熟记函数性质即可，属于常考题型.10.已知双曲线()2222100x y a b a b-=＞，＞的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2且斜率为247的直线与双曲线在第一象限的交点为A ，若21210F F F A F A →→→⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭，则此双曲线的标准方程可能为（ ）A. x 2212y -=1B. 22134x y -= C. 221169x y -= D. 221916x y -=【★答案★】D 【解析】 【分析】由向量的加减运算和数量积的性质，可得221||||2AF F F c ==，由双曲线的定义可得1||22AF a c =+，再由三角形的余弦定理，可得35c a =，45c b =，即可判断出所求双曲线的可能方程． 【详解】解：由题可知，1212F A F F F A →→→=-+，若21210F F F A F A →→→⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭，即为2221210F F F F A F F A →→→→⎛⎫+⋅ ⎛⎫-+⎪⎝ ⎭⎪⎭=⎝， 可得21222F AF F →→=，即有221||||2AF F F c ==，由双曲线的定义可知122AF AF a -=， 可得1||22AF a c =+， 由于过F 2的直线斜率为247， 所以在等腰三角形12AF F 中，2124tan 7AF F ∠=-， 则217cos 25AF F ∠=-， 由余弦定理得：22221744(22)cos 25222c c a c AF F c c+-+∠=-=，化简得：35c a =， 即35a c =，45b c =， 可得:3:4a b =，22:9:16a b =，所以此双曲线的标准方程可能为：221916x y -=.故选：D ．【点睛】本题考查双曲线的定义和方程、性质，考查向量数量积的性质，以及三角形的余弦定理，考查运算能力，属于中档题．11.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是AD 的中点，动点P 在底面ABCD 内（不包括边界），若1B P平面1A BM ，则1C P 的最小值是（ ）A.305 B.2305C. 275D.475【★答案★】B【解析】 【分析】在11A D 上取中点Q ，在BC 上取中点N ，连接11,,,DN NB B Q QD ，根据面面平行的判定定理可知平面1//B QDN 平面1A BM ，从而可得P 的轨迹是DN （不含,D N 两点）；由垂直关系可知当CP DN ⊥时，1C P 取得最小值；利用面积桥和勾股定理可求得最小值.【详解】如图，在11A D 上取中点Q ，在BC 上取中点N ，连接11,,,DN NB B Q QD//DN BM ，1//DQ A M 且DNDQ D =，1BMA M M =∴平面1//B QDN 平面1A BM ，则动点P 的轨迹是DN （不含,D N 两点）又1CC ⊥平面ABCD ，则当CP DN ⊥时，1C P 取得最小值此时，22212512CP ⨯==+ 2212230255C P ⎛⎫∴≥+= ⎪⎝⎭本题正确选项：B【点睛】本题考查立体几何中动点轨迹及最值的求解问题，关键是能够通过面面平行关系得到动点的轨迹，从而找到最值取得的点.12.已知函数()2ln 2xx f x e x =+-的极值点为1x ，函数()2xg x e x =+-的零点为2x ，函数()ln 2xh x x=的最大值为3x ，则（ ） A. 123x x x >> B. 213x x x >>C. 312x x x >>D. 321x x x >>【★答案★】A 【解析】 【分析】根据()f x '在()0,∞+上单调递增，且11024f f ⎛⎫⎛⎫''⋅<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可知导函数零点在区间11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭内，即()f x 的极值点111,42x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；根据()g x 单调递增且11024g g ⎛⎫⎛⎫⋅< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可知211,42x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；通过判断()()12g x g x >，结合()g x 单调性可得12x x >；利用导数可求得()max 1124h x e =<，即314x <，从而可得三者的大小关系. 【详解】()1x f x e x x'=+-在()0,∞+上单调递增且1213022f e ⎛⎫'=-> ⎪⎝⎭，14115044f e ⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭111,42x ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭且11110x e x x +-= 函数()2xg x e x =+-在()0,∞+上单调递增且1213022g e ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，14112044g e ⎛⎫=+-< ⎪⎝⎭211,42x ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭又()()11111211112220xg x e x x x g x x x ⎛⎫=+-=-+-=->=⎪⎝⎭且()g x 单调递增 12x x ∴> 由()21ln 2x h x x-'=可得：()()max 12h x h e e ==，即31124x e =< 123x x x ∴>>本题正确选项：A【点睛】本题考查函数极值点、零点、最值的判断和求解问题，涉及到零点存在定理的应用，易错点是判断12,x x 大小关系时，未结合()g x 单调性判断出()()12g x g x >，造成求解困难. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把★答案★填在答题卡中的横线上.13.设x ，y 满足约束条件2020260x y x y -≥⎧⎪+≥⎨⎪+-≤⎩，则z x y =+的最小值是________.【★答案★】0 【解析】 【分析】画出可行域，平移基准直线0x y +=到可行域边界的位置，由此求得目标函数的最小值.【详解】画出可行域如下图所示，由图可知当:0l x y +=平移到过点(2,2)-时，min 0z =.【点睛】本题考查线性规划问题，考查数形结合的数学思想以及运算求解能力. 14.某公司对2019年1～4月份的获利情况进行了数据统计，如表所示：利用线性回归分析思想，预测出2019年8月份的利润为11.6万元，则y 关于x 的线性回归方程为_____【★答案★】0.954y x =+ 【解析】 【分析】由已知求得样本点的中心的坐标，结合已知列关于b 与a 的方程组，求解即可得到y 关于x 的线性回归方程.【详解】解：由已知表格中的数据可得，12342.54x +++==，56 6.5825.544y +++==，∴25.52.54b a =+，① 又11.68b a =+，②联立①②解得：0.95b =，4a =.∴y 关于x 的线性回归方程为0.954y x =+.故★答案★为：0.954y x =+.【点睛】本题考查线性回归方程，直接利用公司计算即可，属于基础题15.若一个圆柱的轴截面是面积为4的正方形，则该圆柱的外接球的表面积为_______. 【★答案★】8π. 【解析】 【分析】作出圆柱与其外接球的轴截面，结合题中数据，求出外接球半径，再由球的表面积公式，即可得出结果.【详解】作出圆柱与其外接球的轴截面如下：设圆柱的底面圆半径为r ，则2BC r =，所以轴截面的面积为()224ABCD S r ==正方形，解得1r =，因此，该圆柱的外接球的半径2222222BD R +===， 所以球的表面积为()2428S ππ==.故★答案★8π【点睛】本题主要考查圆柱外接球的相关计算，熟记公式即可，属于常考题型.16.数列{}n a 为1，1，2，1，1，2，3，1，1，2，1，1，2，3，4，…，首先给出11a =，接着复制该项后，再添加其后继数2，于是21a =，32a =，然后再复制前面所有的项1，1，2，再添加2的后继数3，于是41a =，51a =，62a =，73a =，接下来再复制前面所有的项1，1，2，1，1，2，3，再添加4，…，如此继续，则2019a =______. 【★答案★】1 【解析】 【分析】根据数列构造方法可知：21n a n -=，即()21121n nk k a a k -+=≤<-；根据变化规律可得20192a a =，从而得到结果.【详解】由数列{}n a 的构造方法可知11a =，32a =，73a =，154a =，可得：21n a n -= 即：()21121n nk k a a k -+=≤<-201999648523010340921a a a a a a a a ∴========本题正确结果：1【点睛】本题考查根据数列的构造规律求解数列中的项，关键是能够根据构造特点得到数列各项之间的关系，考查学生的归纳总结能力.三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2sin sin sin sin sin sin B C b B c C a A A ⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭.（1）求A 的大小； （2）若2a =，π3B =，求ABC ∆的面积.【★答案★】(1) 4A π=.(2) 334ABC S ∆+=【解析】 【分析】（1）先由正弦定理，将2sin sin sin sin sin sin B C b B c C a A A ⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭化为222bc b c a a a ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，结合余弦定理，即可求出角A ；（2）先求出sin C ，再由正弦定理求出b ，根据三角形面积公式，即可得出结果.【详解】（1）因为2sin sin sin sin sin sin B C b B c C a A A ⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭，由正弦定理可得：222bc b c a a a ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭， 即2222b c a bc +-=，再由余弦定理可得2cos 2bc A bc =，即2cos 2A =, 所以4A π=；（2）因为3B π=，所以()62sin sin 4C A B +=+=， 由正弦定理sin sin a b A B=，可得3b =. 133sin 24ABC S ab C ∆+==. 【点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理、余弦定理即可，属于常考题型.18.如图，在直四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是矩形，A 1D 与AD 1交于点E ，AA 1＝AD ＝2AB ＝4.（1）证明：AE ⊥平面ECD.（2）求直线A 1C 与平面EAC 所成角的正弦值. 【★答案★】（1）证明见解析；（2）69【解析】 【分析】（1）证明AA 1⊥CD，CD⊥AD，推出CD⊥平面AA 1D 1D ，得到CD⊥AE.证明AE⊥ED.即可证明AE⊥平面ECD ；（2）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法求解直线A 1C 与平面EAC 所成角的正弦值. 【详解】（1）证明：因为四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1是直四棱柱， 所以AA 1⊥平面ABCD ，则AA 1⊥CD.又CD ⊥AD ，AA 1∩AD ＝A ，1,AA AD ⊂平面AA 1D 1D ， 所以CD ⊥平面AA 1D 1D ，所以CD ⊥AE.因为AA1⊥AD，AA1＝AD，所以AA1D1D是正方形，所以AE⊥ED.又CD∩ED＝D，,CD ED⊂平面ECD.所以AE⊥平面ECD.（2）如图，以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴，以1AA所在直线为z轴，建立如图所示的坐标系，A1D与AD1交于点E，AA1＝AD＝2AB＝4.A（0，0，0），A1（0，0，4），C（2，4，0），D（0，4，0），所以E（0，2，2），(0,2,2)AE=，(2,4,0)AC=，1AC=（2，4，﹣4），设平面EAC的法向量为n=（x，y ，z），可得n ACn AE⎧⋅=⎨⋅=⎩，即240220x yy z+=⎧⎨+=⎩，不妨n=（﹣2，1，-1），所以直线A1C与平面EAC 所成角的正弦值为11||444|46966|636nA CA Cn⋅-++===⋅.【点睛】本题主要考查空间直线平面的位置关系的证明，考查空间线面角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.19.某工厂预购买软件服务，有如下两种方案：方案一：软件服务公司每日收取工厂60元，对于提供的软件服务每次10元；方案二：软件服务公司每日收取工厂200元，若每日软件服务不超过15次，不另外收费，若超过15次，超过部分的软件服务每次收费标准为20元．（1）设日收费为y 元，每天软件服务的次数为x ，试写出两种方案中y 与x 的函数关系式； （2）该工厂对过去100天的软件服务的次数进行了统计，得到如图所示的条形图，依据该统计数据，把频率视为概率，从节约成本的角度考虑，从两个方案中选择一个，哪个方案更合适？请说明理由．【★答案★】(1) 方案一中:1060,y x x N =+∈,方案二：200,15,20100,15,x x Ny x x x N ≤∈⎧=⎨->∈⎩.(2) 从节约成本的角度考虑，选择方案一. 【解析】 【分析】（1）根据题中条件，建立等量关系，即可得出所需函数关系；（2）分别设两种方案的日收费为X ，Y ，由题中条形图，得到X ，Y 的分布列，求出对应期望，比较大小，即可得出结果.【详解】（1）由题可知，方案一中的日收费y 与x 的函数关系式为1060,y x x N =+∈方案二中的日收费y 与x 的函数关系式为200,15,20100,15,x x Ny x x x N ≤∈⎧=⎨->∈⎩.（2）设方案一种的日收费为X ，由条形图可得X 的分布列为X190 200 210 220 230 P0.10.40.10.20.2所以()1900.12000.42100.12200.22300.2210E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（元） 方案二中的日收费为Y ，由条形图可得Y 的分布列为Y200 220 240 P0.60.20.2()2000.62200.22400.2212E Y =⨯+⨯+⨯=（元）所以从节约成本的角度考虑，选择方案一.【点睛】本题主要考查函数的应用，以及离散型随机变量的分布列与期望，熟记相关概念即可，属于常考题型.20.已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率为32，焦距为23.（1）求C 的方程； （2）若斜率为12-的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点（点P ，Q 均在第一象限），O 为坐标原点. ①证明：直线,,OP PQ OQ 的斜率依次成等比数列. ②若Q '与Q 关于x 轴对称，证明：4tan 3POQ '∠>. 【★答案★】（1）2214x y +=； （2）①见解析；②见解析.【解析】 【分析】（1）根据离心率、焦距和222b a c =-可解出,,a b c ，从而得到椭圆方程；（2）①设直线l 的方程为：12y x m =-+，()11,P x y ，()22,Q x y ，将直线方程与椭圆方程联立可得韦达定理的形式，从而求得12y y ；整理可知：2121214Q Q O O P P y y k k k x x ===，从而证得结论；②Q '与Q 关于x 轴对称可知xOQ xOQ'∠=∠，由①知1tan tan 4xOQ xOP '∠⋅∠=，则()tan tan POQ xOQ xOP ''∠=∠+∠，利用两角和差正切公式展开整理，根据基本不等式求得最小值，经验证等号无法取得，从而证得结论.【详解】（1）由题意可得：32223c a c ⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得：23a c =⎧⎪⎨=⎪⎩ 2221b a c ∴=-=∴椭圆C 的方程为：2214x y += （2）证明：①设直线l 的方程为：12y x m =-+，()11,P x y ，()22,Q x y由221214y x m x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去y 得：()222210x mx m -+-= 则()()222481420m m m∆=--=->，且122xx m +=，()21221x x m =-()22121212121111122422m y y x m x m x x m x x m -⎛⎫⎛⎫∴=-+-+=-++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()2212212112421OP OQPQ m y y k k k x x m -∴====- 即直线,,OP PQ OQ 的斜率依次成等比数列 ②由题可知：xOQ xOQ '∠=∠ 由①可知：1tan tan 4xOQ xOP '∠⋅∠=，tan 0xOQ '∠>，tan 0xOP ∠> ()tan tan tan tan 1tan tan xOQ xOP POQ xOQ xOP xOQ xOP'∠+∠''∴∠=∠+∠='-∠⋅∠()44tan tan 2tan tan 3343xOQ xOP xOQ xOP ''=∠+∠⨯⋅∠=≥∠ 若xOQ xOP '∠=∠，则,P Q 两点重合，不符合题意；可知无法取得等号4tan 3POQ '∴∠>【点睛】本题考查椭圆标准方程求解、直线与椭圆综合应用问题，涉及到斜率关系的证明和不等式的证明.证明不等式的关键是能够利用倾斜角的关系，利用两角和差正切公式构造出符合基本不等式的形式，利用基本不等式求得最值；易错点是忽略对于取等条件能否成立的验证.21.已知函数()xf x e ax b =++，曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线方程为20ex y --=．（1）求函数()f x 的解析式，并证明：()1f x x -．（2）已知()2g x kx =-，且函数()f x 与函数()g x 的图象交于1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 两点，且线段AB 的中点为0(P x ，0)y ，证明：0()f x g <（1）0y <.【★答案★】（1）()2xf x e =-；证明见解析；（2）证明见解析； 【解析】 【分析】（1）根据题意，对()f x 求导得()x f x a e '=+，利用导数的几何意义和切线方程求出a 和b ，即可求出()f x 的解析式，令()()11x h x f x x e x =-+=--，利用导数研究函数得单调性和最值得出()0h x ≥，即可证明不等式；（2）结合分析法，把所要证明的问题转化为证明212121221112x x x x x x e e x x e----+<<-，设210t x x =->，进而转化为只需证：22tte e t -->，构造函数22()ttF t e e t -=--，利用导数研究函数的单调性，从而可证明出0()f x g <（1）0y <.【详解】解：（1）由题可知，()xf x e ax b =++，则()x f x a e '=+，由于()y f x =在点(1，f （1）)处的切线方程为20ex y --=， 所以f （1）2e a b e =++=-，即2a b +=-， 即f '（1）e a e =+=，则0a =，解得：2b =-， 则()2xf x e =-．令()()11x h x f x x e x =-+=--，()1xh x e '=-，令()0h x '=，即10x e -=，解得：0x =，则0x <时，()0h x '<，()h x 单调递减；0x >时，()0h x '>，()h x 单调递增， 所以函数()h x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增，()(0)0h x h ∴=，则()1f x x -．（2）由题可知，()2g x kx =-，且12012022x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，则1202()22x x x f x e e+=-=-，12120422x x y y e e y ++-==， 要证0()f x g <（1）0y <成立， 只需证：121224222x x x x e e ek ++--<-<，即证：121222x x x x e k e e++<<，即证：1122122212xx x x x x e e e x e e x +-+<<-， 只需证：212121221112x x x x x x e e x x e----+<<-， 不妨设210t x x =->，即证：2112tt t e e e t -+<<， 要证21t t e e t-<，只需证：22t t e e t -->，令22()t t F t e et -=--，则221()()102t tF t e e -'=+->，()F t ∴在(0,)+∞上为增函数，()(0)0F t F ∴>=，即21t t e e t-<成立； 要证112t t e e t -+<，只需证：112t t e t e -<+，令1()12t t e tG t e -=-+，则22222214(1)(1)()0(1)22(1)2(1)t t t t t t t e e e e G t e e e -+--'=-==<+++， ()G t ∴在(0,)+∞上为减函数，()(0)0G t G ∴<=，即112t te e t -+<成立． ∴2112tt t e e e t -+<<，0t >成立， 0()f x g ∴<（1）0y <成立．【点睛】本题考查导数的几何意义的应用和利用导数证明不等式，还涉及利用导数研究函数的单调性和最值，属于导数知识的综合应用，考查转化思想和运算能力．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为0x y a +-=，曲线C 的参数方程为2cos ,sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求直线l 和曲线C 的极坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且直线OA 与OB 的斜率之积为54，求a . 【★答案★】（1）l :cos sin0a ，C ：()2224sin cos 4ρθθ+=；（2）12a =±. 【解析】 【分析】（1）利用直角坐标与极坐标换算公式直接可得； （2）联立直线l 与曲线C 的极坐标方程，得()()22224sincos 4cos sin aθθθθ++=，设()()1122,,,A B ρθρθ，则125tan tan 4O O B A k k θθ==，解得a 即可. 【详解】（1）将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入0x y a +-=的方程中，所以直线l 的极坐标方程为cos sin 0a .在曲线C 的参数方程中，消去α，可得2214x y +=，将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入2214x y +=的方程中，所以曲线C 的极坐标方程为()2224sincos 4ρθθ+=.（2）直线l 与曲线C 的公共点的极坐标满足方程组()222cos sin 04sin cos 4a ρθρθρθθ+-=⎧⎪⎨+=⎪⎩，由方程组得()()22224sin cos 4cos sin a θθθθ++=， ()2222224sin cos 4si 2cos n sin cos a a θθθθθθ+=++，两边同除2cos θ，可化为22224tan 48tan 4tan a a θθθ+=++，即()22244tan 8tan 40a a θθ--+-=， 设()()1122,,,A B ρθρθ，则212245tan tan 444O OB A a k k a θθ-===-，解得12a =±. 【点睛】本题考查了参数方程，极坐标方程，普通方程之间的换算关系．考查了直线与椭圆极坐标方程的应用．属于中档题． [选修4-5：不等式选讲] 23.已知函数()|2|f x x =+.（1）求不等式()(2)4f x f x x +-<+的解集；（2）若x ∀∈R ，使得()()(2)f x a f x f a ++恒成立，求a 的取值范围.【★答案★】(1) {}22x x -<<.(2) 22,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦. 【解析】【分析】（1）先由题意得24x x x ++<+，再分别讨论2x -≤，20x -<≤，0x >三种情况，即可得出结果；（2）先由含绝对值不等式的性质，得到()()22f x a f x x a x a ++=++++≥，再由题意，可得22a a ≥+，求解，即可得出结果.【详解】（1）不等式()()24f x f x x +-<+ 可化为24x x x ++<+，当2x -≤时，224x x --<+ ，2x >-，所以无解；当20x -<≤时，24x <+ 所以20x -<≤；当0x >时，224x x +<+，2x < ，所以02x <<，综上，不等式()()24f x f x x +-<+的解集是{}|22x x -<<.（2）因为()()22f x a f x x a x a ++=++++≥又x R ∀∈，使得()()()2f x a f x f a ++≥ 恒成立，则22a a ≥+，()2222a a ≥+，解得223a -≤≤-. 所以a 的取值范围为22,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题主要考查含绝对值的不等式，熟记分类讨论的思想，以及绝对值不等式的性质即可，属于常考题型.感谢您的下载!快乐分享，知识无限！。
明德中学2020届高三数学理科第二次模拟考试卷
明德中学2020届高三数学理科第二次模拟考试卷本试卷分选择题和非选择题两部分满分150分 考试用时120分钟一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共计50分，在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1 由等式x 4+a 1x 3+a 2x 2+a 3x+a 4=（x+1）4+b 1（x+1）3+b 2（x+1）2+b 3（x+1）+b 4，定义映射f:（a 1，a 2，a 3，a 4）→（b 1，b 2，b 3，b 4），则f （4，3，2，1）等于A （1，2，3，4）B （0，3，4，0）C （－1，0，2，－2）D （0，－3，4，－1） 2 给出下列命题：////;//;a b a b a b a b αααα⊥⎫⎫⇒⇒⎬⎬⊥⎭⎭①②Ø////;a a b b a b a b αααα⊥⎫⎫⇒⇒⊥⎬⎬⊥⊥⎭⎭③④，其中正确的判断是A ①④B ①②C ②③D ①②④3 已知f （cosx ）=cos3x ，则f （sin30°）的值是A 1B23C 0D －14 已知y=f （x ）是偶函数，当x>0时，f （x ）=x+x4，当x ∈［－3，－1］时，记f （x ）的最大值为m ，最小值为n ，则m －n 等于A 2B 1C 3D235 某村有旱地与水田若干，现在需要估计平均亩产量，用按5%比例分层抽样的方法抽取了15亩旱地45亩水田进行调查，则这个村的旱地与水田的亩数分别为A 150，450B 300，900C 600，600D 75，2256 已知两点A （－1，0），B （0，2），点P 是椭圆24)3(22y x +-=1上的动点，则△PAB 面积的最大值为A 4+332B 4+223 C 2+332 D 2+2237 设向量a r =（x 1，y 1），b r =（x 2，y 2），则下列为a r 与b r共线的充要条件的有①存在一个实数λ，使得a r =λb r 或b r =λa r ；②|a r ·b r |=|a r|·|b r |； ③2121y y x x =；④（a r +b r ）∥（a r －b r ）A 1个B 2个C 3个D 4个8 点P 是球O 的直径AB 上的动点，PA=x ，过点P 且与AB 垂直的截面面积记为y ，则y=21f （x ）的大致图象是9 三人互相传球，由甲开始发球，并作为第一次传球，经过5次传球后，球仍回到甲手中， 则不同的传球方式共有A 6种B 10种C 8种D 16种10 已知点F 1 F 2分别是双曲线2222by a x -=1的左 右焦点，过F 1且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A B 两点，若△ABF 2为锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是A （1，+∞）B （1，3）C （2－1，1+2）D （1，1+2）二 填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分 把答案填在答卷横线上）11设复数i y x z 111+=和),,,(2121222R y y x x i y x z ∈+=分别对应复平面内的点P 1P 2，O为原点，定义运算：212121y y x x z z +=⊕若021=⊕z z ，则△OP 1P 2一定是____ _三角形12 方程log 2|x|=x 2－2的实根的个数为______13 1996年的诺贝尔化学奖授予对发现C 60有重大贡献的三位科学家 C 60是由60个C 原子组成的分子，它的结构为简单多面体形状 这个多面体有60个顶点，从每个顶点都引出3条棱，各面的形状分为五边形或六边形两种，则C 60分子中形状为五边形的面有______个，形状为六边形的面有______个14 在底面半径为6的圆柱内，有两个半径也为6的球面，两球的球心距离为13，若作一个平面与两个球都相切，且与圆柱面相交成一椭圆，则椭圆的长轴长为______15 定义在R 上的偶函数f （x ）满足f （x+1）=－f （x ），且在［－1，0］上是增函数，给出下列关于f （x ）的判断：①f （x ）是周期函数；②f （x ）关于直线x=1对称；③f （x ）在［0，1］上是增函数；④f （x ）在［1，2］上是减函数；⑤f （2）=f （0），其中正确判断的序号为______（写出所有正确判断的序号）三 解答题（本大题共6小题，共75分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤） 16 （本小题满分12分）袋内装有35个球，每个球上都记有从1到35的一个号码，设号码n 的球重32n －5n+15克，这些球以等可能性从袋里取出（不受重量 号码的影响）（1）如果任意取出1球，试求其重量大于号码数的概率； （2）如果任意取出2球，试求它们重量相等的概率17 （本小题满分12分）如图所示，已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各棱长均为2，侧棱B 1B 与底面ABC 所成的角为3，且侧面ABB 1A 1垂直于底面ABC（1）证明AB ⊥CB 1；（2）求三棱锥B 1－ABC 的体积； （3）求二面角C －AB 1－B 的大小18 （本小题满分12分）如图为河岸一段的示意图 一游泳者站在河岸的A 点处，欲前往河对岸的C 点处 若河宽BC 为100 m ，A B 相距100 m 他希望尽快到达C ，准备从A 步行到E （E 为河岸AB 上的点），再从E 游到C 已知此人步行速度为v ，游泳速度为0 5v（1）设∠BEC=θ，试将此人按上述路线从A 到C 所需时间T 表示为θ的函数；并求自变量θ的取值范围；（2）θ为何值时，此人从A 经E 游到C 所需时间T 最小，其最小值是多少？19（本小题满分12分）已知等差数列}{n a 的公差d 大于0，且2a 5a 是方程027122=+-x x 的两根，数列}{n b 的前n 项和为n T ，且n n b T 211-= )(*∈N n（1）求数列}{n a }{n b 的通项公式；（2）设数列}{n a 的前n 项和为n S ，试比较nb 1与1+n S 的大小20（本小题满分13分）定义：离心率 215-=e 的椭圆为“黄金椭圆”已知椭圆 E ：)0(12222>>=+b a by a x 的一个焦点为)0)(0,(>c c F ，P 为椭圆E 上的任意一点(I) 试证：若c b a ,,不是等比数列，则E 一定不是“黄金椭圆”；(II) 设E 为黄金椭圆，问：是否存在过点F 的直线L ，使L 与y 轴的交点R 满足2RP PF =-u u u r u u u r？若存在，求直线L 的斜率k ；若不存在，说明理由(III) 已知椭圆E 的短轴长是2，点S (0, 2 )，求使2SP uu r 取最大值时点P 的坐标21（本小题满分14分）已知函数)(x f =bx ax+2，在1=x 处取得极值2（1）求函数)(x f 的解析式；（2）m 满足什么条件时，区间)12,(+m m 为函数)(x f 的单调增区间？ （3）若),(00y x P 为)(x f =b x ax +2图象上的任意一点，直线l 与)(x f =bx ax+2的图象切于P 点，求直线l 的斜率的取值范围[参考答案]1-10 DBDBA BCACD11直角12 4 13 12 20 14 13 15 ①②⑤16（1）由不等式32n －5n+15>n ，得n>15，或n<3由题意，知n=1，2或n=16，17，…，35于是所求概率为35226分（2）设第n 号与第m 号的两个球的重量相等，其中n<m ，则有32n －5n+15=32m －5m+15，8分∴（n －m ）（n+m －15）=0，∵n ≠m ，∴n+m=15， 10分∴（n ，m ）=（1，14），（2，13），…，（7，8）故所求概率为8515957C 7235== 12分17．（1）在平面ABB 1A 1内，过B 1作B 1D ⊥AB 于D ， ∵侧面ABB 1A 1⊥平面ABC ， ∴B 1D ⊥平面ABC ，∴∠B 1BA 是B 1B 与底面ABC 所成的角， ∴∠B 1BA=60°， 2分 ∵三棱柱的各棱长均为2 ∴△ABB 1是正三角形，∴D 是AB 的中点，连结CD 在正△ABC 中，CD ⊥AB ， ∴AB ⊥CB 1 4分（2）∵B 1D ⊥平面ABC ，∴B 1D 是三棱锥B 1－ABC 的高， ∴由B 1B=2，∠B 1BA=60°，得B 1D=2sin60°6分∴ABC B V -1=31S △ABC ·B 1D=31（21×23×2×2）·3=18分（3）∵△ABC 是正三角形，CD ⊥AB ，CD ⊥B 1D ， ∴CD ⊥平面ABB 1在平面ABB 1中作DE ⊥AB 1于E ，连结CE ，则CE ⊥AB 1， ∵∠CED 为二面角C －AB 1－B 的平面角，10分在Rt △CED 中，CD=2sin60°=3，连结BA 1交AB 1于O ，则BO=3，∴DE=21BO=23，∴tanCED=DECD =2 ∴所求二面角C －AB 1－B 的大小为arctan212分18．（1）从A 步行到E 所用的时间为vAE， AE=AB －BE=100（1－cot θ），2分从E 游到C ，所用时间为θθsin 100sin ,5.0==BC EC v EC ， 4分∴T=24(),cot sin 21(100πθπθθ<<-+v6分（2）由T=)cot sin 21(100θθ-++v 得T=)cot sin 2(100100θθ-+v v=2cos 2sin 22sin 21100100)sin cos 2(1001002θθθθθ+⋅+=-+v v v v =2cos2sin2cos 2sin 35010022θθθθ+⋅+vv8分令t=tan2θ则T=)13(50100t t v v ++；10分当且仅当3t=t1，即tan,332=θθ=3π时， T min 12分19．解：（1）由2a +5a =12，2a 5a =27，且d >0,所以2a =3，5a =9， 从而1,23125==-=a a a d ，12-=∴n a n )(*∈N n （………………………3分）在已知n n b T 211-=中，令n=1，得321=b 当2≥n 时，n n b T 211-=，11211---=n n b T ，两式相减得，n n n b b b 21211-=-，)2(311≥=∴-n b b n n ，n n n b 32)31(321==∴- )(*∈N n （………………………6分） （2）231,)1(2)]12(1[212n n n n b n S n n n S =+=∴=-+=+Θ当n=1时，21211,4,231S b S b <∴==，当n=2时，32321,9,291S b S b <∴==，当n=3时，43431,16,2271S b S b <∴==，当n=4时，54541,25,2811S b S b >∴==， 猜想：4≥n 时，11+>n nS b （………………………8分） 以下用数学归纳法证明：（i ）n=4时，已证，（ii ）设n=k （)4,≥∈+n N k 时，11+>k k S b ，即2)1(23+>k K ，则n=k+1时，122)44(363)1(3233231222211-++++=++=+>⋅==++k k k k k k k b kk k 1)1(2]1)1[(++=++>k S k ，1+=∴k n 时，11+>n nS b 成立 由（i ） （ii ）知4,≥∈+n N n 时，11+>n nS b 综上所述，当n=1，2，3时，11+<n n S b ，当4≥n 时，11+>n nS b （………12分） 解法二：当n=1，2，3时，同解法一；（………………………8分）当4,≥∈+n N n 时，)2221(21)21(2123133221⋅+⋅+⋅+>+==n n n n n n C C C b=)]1(38621[21]86)2)(1(42)1(21[21-+++≥⋅--+⋅-++n n n n n n n n n n 122222)1(126342612663168+=+=++>-++++=++=n S n n n n n n n n n ，综上所述，当n=1，2，3时，11+<n n S b ，当4≥n 时，1+>n nS b （…………12分） 20 (I)证明：假设E 为黄金椭圆，则a c a c e 215,215-=-==即 ac a a a c a b =-=--=-=∴222222215)215(即成等比数列，c b a ,,与已知矛盾，故椭圆E 一定不是“黄金椭圆” 分3ΛΛΛ (II)解：依题假设直线L 的方程为)(c x k y -=令)kc 0R ,kc y 0--==，的坐标为（即点有x RP 2PF,F(c,0)P (2c,kc)=-∴u u u r u u u rQ 点点的坐标为 分5ΛΛΛΘ点P 在椭圆上1b c k a 4c 22222=+∴,ac b =2Θ∴1422=+e k e故04122<-=ee k ，与02≥k 矛盾 所以，满足题意的直线不存在 分7ΛΛΛ（III ）依题有12=b ，由点P ()11y ,x 在E 上知)1(21221y a x -=22222221111||(2)(1)4(4)SP SP x y a y y a ∴==+-=--++u u r u u r22221214)4()12)(1(aa a y a --++---= 11,01112≤≤-<-∴>y a a 又Θ。
湖南省长沙市明达中学2020届高三下学期高考押题试卷(十)理科数学试题
长沙市明达中学2020年高考押题考试试卷（十）理科数学（教师版）本试题卷共4页,23题。
全卷满分150 分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1. 已知复数z 满足 ( 1+ i ）z= | -4 i | ,则z=A.2+2iB.1+2iC.2-2 iD.1-2i 2. 若集合{}{}2ln(23),23A y y x x B x x ==--=-<,则AB=A.{x|x ≤-1}B. {x|x >3}C. {}13x x -<<D. {}35x x << 3. 圆周率π是一个在数学及物理学中普遍存在的数学常数，它既常用又神秘，古今中外很多数学家曾研究它的计算方法.下面做一个游戏：让大家各自随意写下两个小于1的正数然后请他们各自检查一下，所得的两数与1是否能构成一个锐角三角形的三边，最后把结论告诉你，只需将每个人的结论记录下来就能算出圆周率的近似值.假设有n 个人说“能”，而有m 个人说“不能”，那么应用你学过的知识可算得圆周率π的近似值为（）A.mm+nB.nm+nC.4mm+nD.4nm+n4. 已知A 为抛物线C :y 2=2px （p >0）上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p =（ ）A. 2B. 3C. 6D. 95. 2020年湖北抗击新冠肺炎期间,全国各地医护人员主动请缨,支援湖北.某地有3名医生.6名护士来到武汉，他们被随机分到3家医院,每家医院1名医生、2名护士,则医生甲和护士乙分到同一家医院的概率为A.16 B. 12 C. 18 D. 136. 将函数f(x) = cosx 的图象先向右平移56π个单位长度,在把所得函数图象的横坐标变为原来的1(0)ωω>倍，纵坐标不变,得到函数g(x)的图象,若函数g(x)在3(,)22ππ上没有零点,则ω的取值范围是( )A.228(0,][,]939⋃2.(0,]9BC.28(0,][]99,1⋃.(0,1]D7. 已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推，若该数列前n 项和N 满足：★N >80★N 是2的整数次幂，则满足条件的最小的n 为A.21B.91C.95D.108. 正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为3,点E 、F 分别在棱C 1C ，D 1C 1上,且C 1E=2EC ，D 1F=2FC 1，下列命题:★异面直线BE ，CF 所成角的余弦值为310; ★过点B,E,F 的平面截正方体,截面为等腰梯形; ★三棱锥B 1 -BEF 的体积为32;★过B 1作平面α,使得AE★α,则平面α. 其中所有真命题的序号为A.★★B.★★★C.★★★D.★★★★9. 在棱长为1的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，点C 关于平面BDC 1的对称点为M ，则AM 与平面ABCD 所成角的正切值为A.√2B.√22C.√3D.210.★ABC 中, sin 2sin cos sin A B C B C +==,则cosC=A.12 B. 2 C. 12- D. 2-11.已知f′(x )是奇函数f (x )(x ∈R )的导函数，f (2)=0，当x ≠0时，f′(x )>2x f (x )，则不等式(x −1)f (x )<0的解集为（）A.(−∞,−2)∪(0,2)B.(−2,0)∪(2,+∞)C.(−∞,−2)∪(1,2)D.(−2,0)∪(1,2)12.已知不等式x -3lnx+ 1≥mlnx+n (m,n★R,且m≠-3)对任意实数x> 0恒成立，则33n m -+的最大值为( ) A.-2ln2 B.-ln2 C.ln2- 1 D.ln2-2二、填空题（每题5分，满分20分.）13.已知实数x 、y 满足约束条件01010y x x y y -≤⎧⎪+-≤⎨⎪+≥⎩,则 z= 3x+y+1的最大值为_____14.函数()(2)xf x x e =-在点(2,f(2))处的切线方程为________________15.过抛物线C:x 2=y 的焦点F 作两条互相垂直的弦AC ，BD,则四边形ABCD 面积的最小值为_________________16.如图有标号为1,2,3的三根柱子,在1号柱子上套有n 个金属圆片,从 下到上圆片依次减小.按下列规则,把金属圆片从1号柱子全部移到3 号柱子,要求:★每次只能移动一个金属圆片;★较大的金属圆片不能在 较小的金属圆片上面.(1)若n=3时,至少需要移动______次;(2)将n 个金属圆片全部移到3号柱子,至少需要移动_______次.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，且(2)tan tan a b B b C -= （1）求角C ；（2）若cos cos 2a B b A +=，求2a b +的最大值。
2020年湖南省重点中学高三仿真模拟考试理科数学试题-含答案
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【数学】湖南省长沙市2020届高三统一模拟考试理科数学试卷有答案
（2 分）
则有
⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩ a
2
ac = 2
c=1 a2 = b2 +
c2
⇒
a
=
2,
+ 1 ，从而
1 nbn
=
1 n
−
1 n +1
，
故
1 b1
+
1 2b2
+L+
1 99b99
=1−
1 2
+
1 2
−
1 3
+L+
1 99−1 100= Nhomakorabea1
−
1 100
=
99 100
.
11．B
故选 C
解析：函数 f ( x) 的图象如图，
(1) 设 f (a)= f (b)=k ,则 k∈(2, 4] 。
由 2+log1 a=k, 2b=k ，
2x +1 − log2
2−x +1
=
log2
2x +1 2−x +1
=
x
，由
x
的任意性，可得 a
=
1 2
14.3
解析：由题意可知等比数列的公比 q ≠ 1，否则 S3 ， S9 ， S6 不成等差数列，
( ) ( ) ( ) 于是
2S9
=
S3
+
S6
⇒
2a1 1 − q9 1− q
=
a1
1− q3 1− q
（1 分） （2 分） （3 分）
1
又Q AB = AC1 ， O 是 BC1 的中点， ∴ AO ⊥ BC1 ，
2020年湖南省长沙市明德中学高考(理科)数学模拟试卷 Word解析版
2020年高考（理科）数学模拟试卷一、选择题.1．设集合A={x|y=√1−x}，B＝{x|（x+1）（x﹣2）＜0}，则A∩B＝（）A．[1，2）B．（﹣1，1]C．（﹣1，1）D．（﹣1，2）2．已知复数z满足z−z=0，且z•z=4，则z＝（）A．2B．2i C．±2D．±2i3．下列说法正确的是（）A．“若α=π6，则sinα=12”的否命题是“若α=π6，则sinα≠12”B．若命题p，￢q均为真命题，则命题p∧q为真命题C．命题p：“∃x0∈R，x02−x0−5＞0”的否定为￢p：“∀x∈R，x2﹣x﹣5≤0”D．在△ABC中，“C=π2”是“sin A＝cos B”的充要条件4．已知向量a→、b→满足|a→|=1，|b→|=2，|2a→+b→|=√3|2a→−b→|，则a→与b→夹角为（）A．45°B．60°C．90°D．120°5．已知cos（α+π6）=√33，则sin（2α−π6）的值为（）A．2√23B．13C．−13D．−2√226．已知函数f（x）=1x−lnx−1，则y＝f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．7．如果将函数y=√5sinx+√5cos x的图象向右平移θ(0＜θ＜π2)个单位得到函数y＝3sin x+a cos x（a＜0）的图象，则tanθ的值为（）A ．2B ．12C ．13D ．38．现有10名学生排成一排，其中4名男生，6名女生，若有且只有3名男生相邻排在一起，则不同的排法共有（ ）种A ．A 62A 72B ．A 43A 72C ．A 33A 62A 72D ．A 43A 66A 729．已知△ABC 外接圆的半径R ＝2，且2√3cos 2A2=sinA ，则△ABC 周长的取值范围为（ ） A ．(2√3，4] B ．(4，4√3] C ．(4√3，4+2√3] D ．(4+2√3，6√3]10．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，过原点的直线与双曲线C 交于A ，B 两点，若∠AF 2B ＝60°，△ABF 2的面积为√3a 2，则双曲线的离心率为（ ） A ．√52B ．2√33C ．2D ．√511．已知f '（x ）是函数f （x ）的导函数，且对任意的实数x 都有f '（x ）＝e x （2x +1）+f （x ），f （0）＝﹣2，则不等式f （x ）＜4e x 的解集为（ ） A ．（﹣2，3）B ．（﹣3，2）C ．（﹣∞，﹣3）∪（2，+∞）D ．（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞）12．在三棱锥S ﹣ABC 中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝2，SA =SC =2√2，二面角S ﹣AC ﹣B 的余弦值是−√33，若S ，A ，B ，C 都在同一球面上，则该球的表面积是（ ）A ．6πB ．8πC ．12πD ．18π二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．设随机变量ξ～N （3，δ2），若P （ξ≥7）＝0.16，则P （﹣1≤ξ≤7）＝ ． 14．向曲线x 2+y 2＝|x |+|y |所围成的区域内任投一点，这点正好落在y ＝1﹣x 2与两坐标轴非负半轴所围成区域内的概率为 ．15．过直线l ：x +y ＝3上任一点P 向圆C ：x 2+y 2＝1作两条切线，切点分别为A ，B ，线段AB 的中点为Q ，则点Q 到直线l 的距离的取值范围为 ．16．定义在实数集R 上的偶函数f （x ）满足f(x +2)=2+√4f(x)−f 2(x)，则f （2021）＝ ．三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，首项a 1＝1，且S 20202020−S 20172017=3．数列{b n }的前n 项和为T n ，且满足T n ＝2﹣b n （n ∈N *）． （1）求数列{a n }和{b n }的通项公式； （2）求数列{a nb n2}的前n 项和S n ′． 18．如图，三棱锥P ﹣ABC 中，平面PAB ⊥平面ABC ，PA ＝PB ，∠APB ＝∠ACB ＝90°，点E ，F 分别是棱AB ，PB 的中点，点G 是△BCE 的重心． （1）证明：GF ∥平面PAC ；（2）若GF 与平面ABC 所成的角为60°，求二面角B ﹣AP ﹣C 的余弦值．19．在贯彻中共中央、国务院关于精准扶贫政策的过程中，某单位在某市定点帮扶某村100户贫困户．为了做到精准帮扶，工作组对这100户村民的年收入情况、危旧房情况、患病情况等进行调查，并把调查结果转化为各户的贫困指标x ．将指标x 按照[0，0.2），[0.2，0.4），[0.4，0.6），[0.6，0.8），[0.8，1.0]分成五组，得到如图所示的频率分布直方图．规定若0≤x ＜0.6，则认定该户为“绝对贫困户”，否则认定该户为“相对贫困户”；当0≤x ＜0.2时，认定该户为“亟待帮住户”．工作组又对这100户家庭的受教育水平进行评测，家庭受教育水平记为“良好”与“不好”两种．（1）完成下面的列联表，并判断是否有95%的把握认为绝对贫困户数与受教育水平不好有关：受教育水平良好受教育水平不好总计 绝对贫困户 2 相对贫困户 52 总计100（2）上级部门为了调查这个村的特困户分布情况，在贫困指标处于[0，0.4）的贫困户中，随机选取两户，用X 表示所选两户中“亟待帮助户”的户数，求X 的分布列和数学期望EX ．附：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n ＝a +b +c +d ． P （K 2≥k 0）0.15 0.10 0.05 0.025 k 02.0722.7063.8415.02420．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的离心率为√32，点M （0，√2）在椭圆C 上，焦点为F 1，F 2，圆O 的直径为F 1F 2． （Ⅰ）求椭圆C 及圆O 的标准方程；（Ⅱ）设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ，且直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点．记△OAB 的面积为S ，证明：S ＜√3．21．已知函数f （x ）＝1+x ﹣2sin x ，x ＞0． （1）求f （x ）的最小值； （2）证明：f （x ）＞e﹣2x．请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =√6sinαy =√6cosα（α为参数），以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos(θ+π3)=2．（1）求C的普通方程和l的直角坐标方程；（2）直线l与x轴的交点为P，经过点P的直线m与曲线C交于A，B两点，若|PA|+|PB|= 4√3，求直线m的倾斜角．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝2|x+1|+|x﹣m|（m＞﹣1）．（Ⅰ）若m＝3，求不等式f（x）＞7的解集；（Ⅱ）若∃x0∈R，使得f（x0）＜2成立，求实数m的取值范围．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题所给的四个选项中只有一个是正确的.1．设集合A ={x|y =√1−x}，B ＝{x |（x +1）（x ﹣2）＜0}，则A ∩B ＝（ ） A ．[1，2）B ．（﹣1，1]C ．（﹣1，1）D ．（﹣1，2）【分析】求出集合A ，B ，由此能求出A ∩B ． 解：∵集合A ={x|y =√1−x}={x |x ≤1}， B ＝{x |（x +1）（x ﹣2）＜0}＝{x |﹣1＜x ＜2}， ∴A ∩B ＝{x |﹣1＜x ≤1}＝（﹣1，1]． 故选：B ．2．已知复数z 满足z −z =0，且z •z =4，则z ＝（ ） A ．2B ．2iC ．±2D ．±2i【分析】设z ＝a +bi ，（a ，b ∈R ），由已知得关于a ，b 的方程组，求解a ，b 的值，则答案可求．解：设z ＝a +bi ，（a ，b ∈R ）， 由z −z =0，z ⋅z =4，得{a 2+b 2=4b =0， 即a ＝±2，b ＝0． ∴z ＝±2． 故选：C ．3．下列说法正确的是（ ）A ．“若α=π6，则sinα=12”的否命题是“若α=π6，则sinα≠12” B ．若命题p ，￢q 均为真命题，则命题p ∧q 为真命题C ．命题p ：“∃x 0∈R ，x 02−x 0−5＞0”的否定为￢p ：“∀x ∈R ，x 2﹣x ﹣5≤0”D ．在△ABC 中，“C =π2”是“sin A ＝cos B ”的充要条件【分析】写出否命题判断A 的正误；利用复合命题的真假判断B 的正误；命题的否定形式判断C 的正误；充要条件判断D 的正误；解：“若α=π6，则sinα=12”的否命题是“若α≠π6，则sinα≠12”，所以A 不正确； 若命题p ，￢q 均为真命题，则q 是假命题，所以命题p ∧q 为假命题，所以B 不正确；命题p ：“∃x 0∈R ，x 02−x 0−5＞0”的否定为￢p ：“∀x ∈R ，x 2﹣x ﹣5≤0”，所以C正确；在△ABC 中，“C =π2”⇔“A +B =π2”⇔“A =π2−B ”⇒sin A ＝cos B ， 反之sin A ＝cos B ，A +B =π2，或A =π2+B ，“C =π2”不一定成立， ∴C =π2是sin A ＝cos B 成立的充分不必要条件，所以D 不正确． 故选：C ．4．已知向量a →、b →满足|a →|=1，|b →|=2，|2a →+b →|=√3|2a →−b →|，则a →与b →夹角为（ ）A ．45°B ．60°C ．90°D ．120°【分析】根据|a →|=1，|b →|=2对|2a →+b →|=√3|2a →−b →|两边平方，进行数量积的运算即可求出a →⋅b →的值，从而可得出cos ＜a →，b →＞的值，根据向量夹角的范围即可求出夹角． 解：|a →|=1，|b →|=2，|2a →+b →|=√3|2a →−b →|， ∴(2a →+b →)2=3(2a →−b →)2，∴4a →2+4a →⋅b →+b →2=12a →2−12a →⋅b →+3b →2， ∴4a →2−8a →⋅b →+b →2=0，即4−8a →⋅b →+4=0， ∴a →⋅b →=1，∴cos ＜a →，b →＞=a →⋅b→|a →||b →|=12，且0°≤＜a →，b →＞≤180°，∴＜a →，b →＞=60°． 故选：B ．5．已知cos （α+π6）=√33，则sin （2α−π6）的值为（ ）A ．2√23B ．13C ．−13D ．−2√22【分析】用已知角表示未知角，再结合二倍角公式即可求得sin （2α−π6）的值．解：∵cos（α+π6）=√33，则sin（2α−π6）＝﹣sin（5π6+2α）＝﹣sin[（2α+π3）+π2]＝﹣cos （2α+π3）＝1﹣2cos2(α+π6)=1−23=13，故选：B．6．已知函数f（x）=1x−lnx−1，则y＝f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】利用函数的定义域与函数的值域排除B，D，通过函数的单调性排除C，推出结果即可．解：令g（x）＝x﹣lnx﹣1，则g′(x)=1−1x=x−1x，由g'（x）＞0，得x＞1，即函数g（x）在（1，+∞）上单调递增，由g'（x）＜0得0＜x＜1，即函数g（x）在（0，1）上单调递减，所以当x＝1时，函数g（x）有最小值，g（x）min＝g（0）＝0，于是对任意的x∈（0，1）∪（1，+∞），有g（x）≥0，故排除B、D，因函数g（x）在（0，1）上单调递减，则函数f（x）在（0，1）上递增，故排除C，故选：A．7．如果将函数y=√5sinx+√5cos x的图象向右平移θ(0＜θ＜π2)个单位得到函数y＝3sin x+a cos x（a＜0）的图象，则tanθ的值为（）A．2B．12C．13D．3【分析】利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，可得y=√10sin(x+π4−θ)与y=√9+a2sin（x+φ）表示同一函数，求出a和θ，可得tan θ的值．解：函数y =√5sinx +√5cosx =√10（sin x •√22+√22cos x ）=√10sin （x +π4），将其图象向右平移θ个单位后，得到函数y =√10sin(x +π4−θ)的图象． 将函数y ＝3sin x +a cos x ，化为y =√9+a 2sin （x +φ），其中tanφ=a3， ∵y =√10sin(x +π4−θ)与y =√9+a 2sin （x +φ） 表示同一函数，∴√a 2+9=√10，又a ＜0，∴a ＝﹣1，此时tanφ=−13，且π4−θ+2kπ=φ，k ∈Z ，∴θ=π4−φ+2kπ，k ∈Z ，∴tanθ=tan(π4−φ)=1−tanφ1+tanφ=2， 故选：A ．8．现有10名学生排成一排，其中4名男生，6名女生，若有且只有3名男生相邻排在一起，则不同的排法共有（ ）种A ．A 62A 72B ．A 43A 72C ．A 33A 62A 72D ．A 43A 66A 72【分析】根据题意，分3步进行分析：①，将4名男生分成1、3的两组，②，将6名女生全排列，排好后有7个空位，③，将分好的2组安排到7个空位中，由分步计数原理计算可得答案．解：根据题意，分3步进行分析：①，将4名男生分成1、3的两组，有C 43＝4种分组方法，其中三人组三人之间的顺序有A 33种，②，将6名女生全排列，有A 66种情况，排好后有7个空位， ③，将分好的2组安排到7个空位中，有A 72种情况， 则不同的排法有C 43A 33A 66A 72＝A 43A 66A 72种， 故选：D ．9．已知△ABC 外接圆的半径R ＝2，且2√3cos 2A2=sinA ，则△ABC 周长的取值范围为（ ） A ．(2√3，4]B ．(4，4√3]C ．(4√3，4+2√3]D ．(4+2√3，6√3]【分析】由题意求出A 的值，再利用余弦定理与基本不等式，求出b +c 的取值范围，从而求得△ABC 周长的取值范围．解：由题意知，2cos 2A 2−1=√33sinA −1，即cosA −√33sinA =−1，可化为2√3sin(A −π3)=3，即sin(A −π3)=√32；因为0＜A ＜π，所以A −π3=π3， 即A =2π3； 设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ， 由余弦定理得，12＝b 2+c 2+bc ；又因为b 2+c 2≥2bc （当且仅当b ＝c 时取“＝”）， 所以12＝b 2+c 2+bc ≥3bc ，即bc ≤4； 又因为12＝b 2+c 2+bc ＝（b +c ）2﹣bc ， 所以bc ＝（b +c ）2﹣12≤4，解得b +c ≤4，则a +b +c ≤4+2√3； 又因为b +c ＞a ，所以a +b +c ＞2a =4√3， 即4√3＜a +b +c ≤4+2√3；所以△ABC 周长的取值范围是(4√3，4+2√3]． 故选：C ． 10．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，过原点的直线与双曲线C 交于A ，B 两点，若∠AF 2B ＝60°，△ABF 2的面积为√3a 2，则双曲线的离心率为（ ） A ．√52B ．2√33C ．2D ．√5【分析】连接AF 1，BF 1得四边形AF 2BF 1为平行四边形，由∠AF 2B ＝60°，△ABF 2的面积为√3a 2，可得|BF 1|，|BF 2|的值，在三角形F 1F 2B 中，由余弦定理可得a ，c 的关系，进而求出离心率．解：根据题意，连接AF 1，BF 1得四边形AF 2BF 1为平行四边形，几何关系如图所示．设|AF 2|＝x ，则|BF 1|＝x ，|BF 2|＝x +2a ，△ABF 2的面积为√3a 2，∠AF 2B ＝60°，则由三角形面积公式可得√3a 2=12⋅x ⋅(x +2a)⋅√32，化简得x 2+2ax ﹣4a 2＝0，解得x1=(√5−1)a，x2=(−√5−1)a（舍），所以|BF2|=(√5+1)a，在△BF1F2中，|F1F2|＝2c，由余弦定理可得|F1F2|2=|BF1|2+|BF2|2−2|BF1|⋅|BF2|cos120°，即(2c)2=(√5−1)2a2+(√5+1)2a2−2(√5−1)a⋅(√5+1)acos120°，化简可得c2＝4a2，则双曲线的离心率为2，故选：C．11．已知f'（x）是函数f（x）的导函数，且对任意的实数x都有f'（x）＝e x（2x+1）+f（x），f（0）＝﹣2，则不等式f（x）＜4e x的解集为（）A．（﹣2，3）B．（﹣3，2）C．（﹣∞，﹣3）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞）【分析】用已知条件构造新函数G(x)=f(x)e x，对G（x）求导变成一元二次函数，然后解不等式即可．解：令G(x)=f(x)e x，则G′(x)=f′(x)−f(x)e x=2x+1，可设G（x）＝x2+x+c，∵G（0）＝f（0）＝﹣2，∴c＝﹣2，所以G(x)=f(x)e x=x2+x−2，解不等式f（x）＜4e x，即f(x)e x＜4，所以x2+x﹣2＜4，解得﹣3＜x＜2，所以不等式的解集为（﹣3，2），故选：B．12．在三棱锥S﹣ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝2，SA=SC=2√2，二面角S﹣AC﹣B的余弦值是−√33，若S，A，B，C都在同一球面上，则该球的表面积是（）A．6πB．8πC．12πD．18π【分析】取AC的中点D，连接SD，BD．说明∠SDB即为二面角S﹣AC﹣B的平面角，在Rt△SDC中，求出BD，求出SB，判断点E为该球的球心，求出半径为√3，然后求解球的表面积．解：取AC的中点D，连接SD，BD．因为SA＝SC，AB＝BC，所以SD⊥AC，BD⊥AC，可得∠SDB即为二面角S﹣AC﹣B的平面角，故cos∠SDB=−√33．在Rt△SDC中，SD=√SC2−CD2=√6，同理可得BD=√2，由余弦定理得cos∠SDB=−√33，解得SB=√12．在△SCB中，SC2+CB2=8+4=(√12)2=SB2，所以△SCB为直角三角形，同理可得△SAB为直角三角形，取SB中点E，则SE=EB=√3，在Rt△SCB与Rt△SAB中，EA=SB2=√3，EC=SB2=√3，所以点E为该球的球心，半径为√3，所以球的表面积为S=4×π×(√3)2=12π．故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．设随机变量ξ～N（3，δ2），若P（ξ≥7）＝0.16，则P（﹣1≤ξ≤7）＝0.68．【分析】利用正态曲线的对称性可知P（ξ≤﹣1）＝P（ξ≥7）＝0.16，故P（﹣1≤ξ≤7）可求．解：因为随机变量ξ～N（3，δ2），且P（ξ≥7）＝0.16，∴P（ξ≤﹣1）＝P（ξ≥7）＝0.16，∴P（﹣1≤ξ≤7）＝1﹣2P（ξ≥7）＝1﹣2×0.16＝0.68．故答案为：0.68．14．向曲线x2+y2＝|x|+|y|所围成的区域内任投一点，这点正好落在y＝1﹣x2与两坐标轴非负半轴所围成区域内的概率为26+3π．【分析】由方程x2+y2＝|x|+|y|可画出其围成的区域，并求出面积，再利用定积分求出y ＝1﹣x2与两坐标轴非负半轴所围成区域的面积，进而求概率．解：因为x2+y2＝|x|+|y|所围成的区域如下图所示的四个圆弧围成的图形，其面积S=√2×√2+2×(√22)2×π=2+π，y＝1﹣x2与两坐标轴非负半轴所围成区域的面积S1=∫10(1−x2)dx=(x−13x3)|01=23，所以概率P=S1S=232+π=26+3π．故答案是：26+3π．15．过直线l：x+y＝3上任一点P向圆C：x2+y2＝1作两条切线，切点分别为A，B，线段AB的中点为Q，则点Q到直线l的距离的取值范围为[7√26，3√22)．【分析】设P（x0，3﹣x0），可得过O、A、P、B的圆的方程与已知圆的方程相减可得AB的方程，进而联立直线方程解方程组可得中点Q的坐标，由点Q到直线的距离公式和不等式的性质可得．解：设点P（x0，3﹣x0），则直线AB的方程为x0x+（3﹣x0）y＝1（注：由圆x2+y2＝r2外一点E（x0，y0）向该圆引两条切线，切点分别为F，G，则直线FG的方程是x0x+y0y=r2），注意到直线AB：x0x+（3﹣x0）y＝1，即x0（x﹣y）+（3y﹣1）＝0，直线x﹣y＝0与3y﹣1＝0的交点为N(13，13)．又OQ→⋅QN→=0，因此点Q的轨迹是以ON为直径的圆（除去原点），其中该圆的圆心C坐标是(16，16)，半径是12|ON|=√26．又线段ON的中点C(16，16)到直线x+y﹣3＝0的距离等于|16+16−3|√2=4√23，因此点Q到直线l的距离的取值范围是[4√23−√26，4√23+√26)=[7√26，3√22)．故答案为：[7√26，3√22)．16．定义在实数集R上的偶函数f（x）满足f(x+2)=2+√4f(x)−f2(x)，则f（2021）＝2+√2．【分析】根据题意，将f(x+2)=2+√4f(x)−f2(x)整理变形可得f2（x+2）﹣4f（x+2）＝﹣[f2（x）﹣4f（x）]﹣4，令g（x）＝f2（x）﹣4f（x），分析可得函数g（x）的周期为4，据此可得g（2021）＝g（4×505+1）＝g（1），结合函数的奇偶性分析可得g （1）的值，进而计算可得答案．解：根据题意，因为f(x+2)=2+√4f(x)−f2(x)，所以f(x+2)−2=√4f(x)−f2(x)，即（f（x+2）﹣2）2＝4f（x）﹣f2（x），即f2（x+2）﹣4f（x+2）＝﹣[f2（x）﹣4f（x）]﹣4，令g（x）＝f2（x）﹣4f（x），则g（x+2）＝﹣g（x）﹣4，即g（x+2）+g（x）＝﹣2，①则有g（x+4）+g（x+2）＝﹣2，②联立①②可得：g（x+4）＝g（x），故函数g（x）是周期为4的周期函数，所以g（2021）＝g（4×505+1）＝g（1），又因为f（x）是偶函数，则g（x）＝f2（x）﹣4f（x）为偶函数，又因为g（1）＝﹣g（﹣1）﹣4，所以g（1）＝﹣2，即f2（2021）﹣4f（2021）＝﹣2，解得f(2021)=2±√2，又f(x+2)=2+√4f(x)−f2(x)≥2，即f（2021）＞2，即f(2021)=2+√2；故答案为：2+√2．三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，首项a 1＝1，且S 20202020−S 20172017=3．数列{b n }的前n 项和为T n ，且满足T n ＝2﹣b n （n ∈N *）． （1）求数列{a n }和{b n }的通项公式； （2）求数列{a nb n2}的前n 项和S n ′． 【分析】（1）设数列{a n }的公差为d ，因为S nn=na 1+n(n−1)2d n=a 1+(n −1)d2，可得数列{Sn n }为一个等差数列，可得d ，S n ．n ≥2时，a n ＝S n ﹣S n ﹣1，n ＝1时，可得a 1．数列{b n }对任意正整数n 满足T n ＝2﹣b n ．当n ＝1时，b 1＝T 1＝2﹣b 1，解得b 1；当n ＞1时，b n ＝T n ﹣T n ﹣1，可得b n ． （2）由（1）知a nb n 2=2n−12n，利用错位相减法即可得出．解：（1）设数列{a n }的公差为d ，因为S n n=na 1+n(n−1)2d n =a 1+(n −1)d2，所以{Sn n }为一个等差数列，所以S 20202020−S 20172017=3d 2=3，所以d ＝2，故S n n =n ，所以S n =n 2．n ≥2时，a n ＝S n ﹣S n ﹣1＝2n ﹣1，n ＝1时也满足，故a n ＝2n﹣1．数列{b n }对任意正整数n 满足T n ＝2﹣b n ． 当n ＝1时，b 1＝T 1＝2﹣b 1，解得b 1＝1；当n ＞1时，b n ＝T n ﹣T n ﹣1＝（2﹣b n ）﹣（2﹣b n ﹣1）＝b n ﹣1﹣b n ， 所以b n =12b n−1(n ≥2)．所以{b n }是以首项b 1＝1，公比q =12的等比数列，故数列{b n }的通项公式为b n =(12)n−1． （2）由（1）知a n b n 2=2n−12，所以S n ′=12+322+523+⋯+2n−32n−1+2n−12n ，① 所以12S n ′=122+323+⋯+2n−32n +2n−12n+1，②①﹣②，得12S n′=12+22+22+⋯+22−2n−12=12+(12+12+⋯+12)−2n−12=12+12[1−(12)n−1]1−12−2n−12=12+1−(12)n−1−2n−12，所以S n ′=3−2n+32n ．18．如图，三棱锥P﹣ABC中，平面PAB⊥平面ABC，PA＝PB，∠APB＝∠ACB＝90°，点E，F分别是棱AB，PB的中点，点G是△BCE的重心．（1）证明：GF∥平面PAC；（2）若GF与平面ABC所成的角为60°，求二面角B﹣AP﹣C的余弦值．【分析】（1）连结EF，连结EG并延长，交BC于点D，由点D是BC的中点，推导出DE∥AC，EF∥AP，从而DE∥平面PAC，EF∥平面PAC，进而平面EFG∥平面PAC，由此能证明GF∥平面PAC．（2）连结PE，连结CG并延长交BE于点O，则O为BE的中点，连结OF，则OF∥PE，以O为原点，OC为x轴，OB为y轴，OF为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B﹣AP﹣C的余弦值．解：（1）证明：连结EF，连结EG并延长，交BC于点D由点D是BC的中点，∴D，E，F分别是棱CB，AB，PB的中点，∴DE∥AC，EF∥AP，∵DE，EF⊄平面PAC，AC，AP⊂平面PAC，∴DE∥平面PAC，EF∥平面PAC，∵DE，EF⊂平面EFG，DE∩EF＝E，∴平面EFG∥平面PAC，∵GF⊂平面EFG，∴GF∥平面PAC．（2）解：连结PE，∵PA＝PB，E是AB的中点，∴PE⊥AB，∵平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB，PE⊂平面PAB，∴PE⊥平面ABC，连结CG并延长交BE于点O，则O为BE的中点，连结OF，则OF∥PE，∴OF⊥平面ABC，∴∠FGO是GF与平面ABC所成角，∴∠FGO＝60°，在Rt△FGO中，设GF＝2，则OG＝1，OF=√3，∴OC＝3，PE＝2√3，∴AB＝4√3，CE＝2√3，OE=√3，∴OE 2+OC 2＝CE 2，∴OC ⊥AB ，以O 为原点，OC 为x 轴，OB 为y 轴，OF 为z 轴，建立空间直角坐标系， 则A （0，﹣3√3，0），C （3，0，0），P （0，−√3，2√3）， AC →=（3，3√3，0），AP →=（0，2√3，2√3）， 设平面PAC 的一个法向量n →=（x ，y ，z ），则{n →⋅AP →=3x +3√3y =0n →⋅AC →=2√3y +2√3z =0，取z ＝1，得n →=（√3，−1，1）， 平面PAB 的法向量m →=（1，0，0）， 设二面角B ﹣AP ﹣C 的平面角为θ，则cos θ=|m →⋅n →||m →|⋅|n →|=√35=√155， ∴二面角B ﹣AP ﹣C 的余弦值为√155．19．在贯彻中共中央、国务院关于精准扶贫政策的过程中，某单位在某市定点帮扶某村100户贫困户．为了做到精准帮扶，工作组对这100户村民的年收入情况、危旧房情况、患病情况等进行调查，并把调查结果转化为各户的贫困指标x ．将指标x 按照[0，0.2），[0.2，0.4），[0.4，0.6），[0.6，0.8），[0.8，1.0]分成五组，得到如图所示的频率分布直方图．规定若0≤x ＜0.6，则认定该户为“绝对贫困户”，否则认定该户为“相对贫困户”；当0≤x ＜0.2时，认定该户为“亟待帮住户”．工作组又对这100户家庭的受教育水平进行评测，家庭受教育水平记为“良好”与“不好”两种．（1）完成下面的列联表，并判断是否有95%的把握认为绝对贫困户数与受教育水平不好有关：受教育水平良好受教育水平不好总计绝对贫困户 2 相对贫困户 52 总计100（2）上级部门为了调查这个村的特困户分布情况，在贫困指标处于[0，0.4）的贫困户中，随机选取两户，用X 表示所选两户中“亟待帮助户”的户数，求X 的分布列和数学期望EX ．附：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n ＝a +b +c +d ．P （K 2≥k 0）0.15 0.10 0.05 0.025 k 02.0722.7063.8415.024【分析】（1）由频率分布直方图可得0≤x ＜0.6的概率，进而求出表中的所有的值； 再求出k 2的值进而判断出有95%的把握认为绝对贫困户数与受教育水平不好有关； （2）由题意求出贫困户和亟待帮助户的人数，进而求出随机变量X 的概率及其分布列，求出期望．解：（1）由如图所示的频率分布直方图可得0≤x ＜0.6的概率p 1＝（0.25+0.50+0.75）×0.2＝0.3，所以100户家庭的“绝对贫困户”由100×0.3＝30，由（1）的表可得“受教育水平不好”的由30﹣2＝28，由题意可得“相对贫困户”由100﹣30＝70，由表可得“受教育水平良好的”有70﹣52＝18，所以表的值为下表：；因为k 2=100(2×52−18×28)220×80×70×30=4.762＞3.841，所以有95%的把握认为绝对贫困户数与受教育水平不好有关；（2）由题意可得100户家庭中由“亟待帮住户”有100×0.25×0.2＝5户， [0，0.4）的贫困户有：100×（0.25+0.5）×0.2＝15， 由题意可得随机变量X 的可能取值为：0，1，2， p （x ＝0）=C 102⋅C 50C 152=37，p （x ＝1）=C 101⋅C 51C 152=1021，p （x ＝2）=C 100⋅C 52C152=221， 所以X 的分布列为：，所以数学期望EX ＝0•37+1⋅1021+2⋅221=23．20．已知椭圆C ：x 2a +y 2b =1（a ＞b ＞0）的离心率为√32，点M （0，√2）在椭圆C 上，焦点为F 1，F 2，圆O 的直径为F 1F 2． （Ⅰ）求椭圆C 及圆O 的标准方程；（Ⅱ）设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ，且直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点．记△OAB 的面积为S ，证明：S ＜√3．【分析】第一问根据椭圆的性质以及，a ，b ，c 的关系可以直接求得椭圆标准方程．第二问设出直线方程，A ，B 两点坐标，进而表示出△OAB 的面积S ，得出S 的范围． 解：（Ⅰ）由题意，椭圆C 的方程为x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)，e =c a =√32，点M （0，√2）在椭圆C 上，∴b =√2，又a 2＝b 2+c 2，可解得{b 2=2a 2=8c 2=6．所以椭圆C 的方程为x 28+y 22=1．因为焦点在x 轴上，所以椭圆C 的焦点为F 1(−√6，0)，F 2(√6，0)． 所以直径为F 1F 2的圆O 的方程为x 2+y 2＝6．（Ⅱ）由题意知，直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ， 设直线l 的斜截式方程为y ＝kx +m （k ＜0，m ＞0）． 因为直线l 与圆O 相切， 所以点O 到直线l 的距离为d =|m|√1+k=√6．即m 2＝6k 2+6，因为直线l 与椭圆C 相交A ，B 两点，由{y =kx +mx 2+4y 2=8，整理得（1+4k 2）x 2+8kmx +4m 2﹣8＝0， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则 {x 1x 2=4m 2−81+4k 2x 1+x 2=−8km1+4k 2△＞0．因为△＝（8km ）2﹣4×（1+4k 2）（4m 2﹣8）＝16×（8k 2﹣m 2+2）． 又m 2＝6k 2+6，所以△＝32（k 2﹣2）＞0． 所以k 2＞2． 又因k ＜0， 所以k ＜−√2．∵|AB|=√1+k2|x1−x2|=4√2√1+k2√k2−21+4k2，∴S△OAB=12|AB|⋅d==4√3×√(1+k 2)(k2−2)(1+4k2)2．设1+4k2＝t，则t＞9，则S△OAB=4√3×√(t−9)(t+3)16t2=√3×√−27t2−6t+1．令u=1t，0＜u＜19，则S△OAB=√3×√−27u2−6u+1．设h(u)=−27u2−6u+1=−27(u+19)2+43，∵h（u）在(0，19)上单调递减，所以h（u）＜1．所以S△OAB＜√3．21．已知函数f（x）＝1+x﹣2sin x，x＞0．（1）求f（x）的最小值；（2）证明：f（x）＞e﹣2x．【分析】（1）求导可知x∈[0，π3)时f（x）单减，x∈(π3，π]时f（x）单增，进而求得最小值；（2）即证x＞0时，g（x）＝（1+x﹣2sin x）e2x＞1，利用导数容易得证．解：（1）f′（x）＝1﹣2cos x，令f′（x）＝0，得cosx=1 2，故在区间[0，π]上，f′（x）的唯一零点是x=π3，当x∈[0，π3)时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈(π3，π]时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，故在区间[0，π]上，f（x）的极小值为f(π3)=1+π3−√3，当x＞π时，f(x)＞1+π−2=π−1＞f(π3)，∴f （x ）的最小值为f(π3)=1+π3−√3；（2）要证x ＞0时，f （x ）＞e ﹣2x ，即证x ＞0时，g （x ）＝（1+x ﹣2sin x ）e 2x ＞1， g ′（x ）＝2（1+x ﹣2sin x ）e 2x +（1﹣2cos x ）e 2x ＝（3+2x ﹣4sin x ﹣2cos x ）e 2x ， 令h （x ）＝x ﹣sin x ，x ＞0，则h ′（x ）＝1﹣cos x ≥0，即h （x ）是（0，+∞）上的增函数，∴h （x ）＞h （0）＝0，即x ＞sin x ，∴3+2x ﹣4sin x ﹣2cos x ＞3+2sin x ﹣4sin x ﹣2cos x ＝3﹣2（sin x +cos x ）=3−2√2sin(x +π4)＞0，∴g ′（x ）＝（3+2x ﹣4sin x ﹣2cos x ）e 2x ＞0，即g （x ）是（0，+∞）上的增函数，g （x ）＞g （0）＝1，故当x ＞0时，f （x ）＞e ﹣2x ，即得证．一、选择题22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =√6sinαy =√6cosα（α为参数），以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos(θ+π3)=2． （1）求C 的普通方程和l 的直角坐标方程；（2）直线l 与x 轴的交点为P ，经过点P 的直线m 与曲线C 交于A ，B 两点，若|PA|+|PB|=4√3，求直线m 的倾斜角．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换求出结果．（2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用和三角函数关系式的恒等变换求出结果．解：（1）曲线C 的参数方程为{x =√6sinαy =√6cosα（α为参数），转换为直角坐标方程为x 2+y 2＝6．直线l 的极坐标方程为ρcos(θ+π3)=2．整理得12ρcosθ−√32ρsinθ−2=0，转换为直角坐标方程为x −√3y −4=0．（2）直线l 与x 轴的交点为P ，所以P （4，0），所以{x =4+cosθt y =sinθt （t 为参数），把直线的参数方程代入圆的方程得到：（4+t cos θ）2+（t sin θ）2＝6，整理得t 2+8cos θt +10＝0，所以t 1+t 2＝﹣8cos θ，所以|PA|+|PB|=|8cosθ|=4√3，解得cosθ=√32或cosθ=−√32， 所以θ=π6或5π6．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）＝2|x +1|+|x ﹣m |（m ＞﹣1）．（Ⅰ）若m ＝3，求不等式f （x ）＞7的解集；（Ⅱ）若∃x 0∈R ，使得f （x 0）＜2成立，求实数m 的取值范围．【分析】（Ⅰ）将m ＝3代入f （x ）中，然后由f （x ）＞7，分x ＜﹣1，﹣1≤x ≤3和x ＞3三种情况解出不等式即可；（Ⅱ）先判断函数f （x ）的单调性，求出f （x ）的最小值，再由∃x 0∈R ，使得f （x 0）＜2成立，得到f （﹣1）＝1+m ＜2，然后解关于m 的不等式即可得到m 的范围． 解：（Ⅰ）当m ＝3时，f （x ）＝2|x +1|+|x ﹣3|．∵f （x ）＞7，∴当x ＜﹣1时，原式化为﹣2x ﹣2+3﹣x ＞7，解得x ＜﹣2，故x ＜﹣2； 当﹣1≤x ≤3时，原式化为2x +2+3﹣x ＞7，解得x ＞2，故2＜x ≤3；当x ＞3时，原式化为2x +2+3﹣x ＞7，解得x ＞83，故x ＞3；综上所述，不等式f （x ）＞7的解集为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．（Ⅱ）f(x)={3x +2−m ，x ＞mx +2+m ，−1≤x ≤m −3x −2+m ，x ＜−1，∴f （x ）在[﹣1，m ]和（m ，+∞）上是增函数，在（﹣∞，﹣1]上是减函数， ∴f （x ）的最小值是f （﹣1）＝1+m ，∵∃x 0∈R ，使得f （x 0）＜2成立，∴只需f （﹣1）＝1+m ＜2，∴m ＜1，∴实数m 的取值范围是（﹣1，1）．。