高等数学(大一下学期期末考试)
大一下学期高数期末试卷
命题人： 审核人： 审核日期：《高等数学》 （A 卷） 第 1 页 共 4 页2019至2020学年 第二学期 期末考核题卷高等数学 课程（开卷）（A 卷）项 目一二三总 分12 3 4 5 得 分 评分人一、选择题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．不定积分dx x x ⎰+-)sin (2= ( ) 。
A.C x x ++--cos 21B. C x x ++--cos 23C.C x x +---cos 1D. C x x +---cos 332．定积分dx x 211⎰-＝（ ）。
A. 0 B.31 C. 32D. 4 3.设二元函数z=x y ，则xz∂∂=（ )。
A.x y B.x y lny C.x y lnx D.yx y-1 4.二元函数z=x ²+y ²-3x-2y 的驻点坐标是（ ）。
A ．B.C.D.5.设二元函数z=cos(xy),则。
A.y ²sin(xy)B.y ²cos(xy)C.-y ²sin(xy)D.-y ²cos(xy)《高等数学》 （A 卷） 第 2 页 共 4 页二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）. 1.不定积分2．定积分dx x x )12102-+⎰（= ； 3．=⎰]'[2dx x __________.4.设二元函数z=x ³y ²,则5.dx x ⎰∞+-123=_______________.三、解答题（1—5题，每道题10分，共50分，解答应写出推理、演算步骤） 1.计算不定积分⎰-dx x 5)12(。
2. 用定积分表示由曲线y=x ²，直线x=0,x=1及x 轴所围成的平面图形。
3. 求函数32333y x y x z -+=的二阶偏导数。
4. 求复合函数xy v y x u v uv u z =+=++=,,22的一阶混合偏导yz x z ∂∂∂∂和。
大一高等数学期末考试试卷及答案详解
大一高等数学期末考试试卷及答案详解本页仅作为文档封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March大一高等数学期末考试试卷（一）一、选择题（共12分）1. （3分）若2,0,(),0x e x f x a x x ⎧<=⎨+>⎩为连续函数,则a 的值为( ).(A)1 (B)2 (C)3 (D)-1 2. （3分）已知(3)2,f '=则0(3)(3)lim2h f h f h→--的值为（ ）.(A)1 (B)3 (C)-1 (D)123. （3分）定积分22ππ-⎰的值为（ ）.(A)0 (B)-2 (C)1 (D)24. （3分）若()f x 在0x x =处不连续,则()f x 在该点处( ). (A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限 二、填空题（共12分）1．（3分） 平面上过点(0,1)，且在任意一点(,)x y 处的切线斜率为23x 的曲线方程为 .2. （3分） 1241(sin )x x x dx -+=⎰ .3. （3分） 201lim sinx x x→= . 4. （3分） 3223y x x =-的极大值为 .三、计算题（共42分） 1. （6分）求2ln(15)lim.sin 3x x x x→+ 2. （6分）设2,1y x =+求.y '3. （6分）求不定积分2ln(1).x x dx +⎰4. （6分）求3(1),f x dx -⎰其中,1,()1cos 1, 1.x xx f x xe x ⎧≤⎪=+⎨⎪+>⎩5. （6分）设函数()y f x =由方程0cos 0y xt e dt tdt +=⎰⎰所确定,求.dy6. （6分）设2()sin ,f x dx x C =+⎰求(23).f x dx +⎰7. （6分）求极限3lim 1.2nn n →∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭四、解答题（共28分）1. （7分）设(ln )1,f x x '=+且(0)1,f =求().f x2. （7分）求由曲线cos 22y x x ππ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭与x 轴所围成图形绕着x 轴旋转一周所得旋转体的体积.3. （7分）求曲线3232419y x x x =-+-在拐点处的切线方程.4. （7分）求函数y x =+[5,1]-上的最小值和最大值. 五、证明题(6分)设()f x ''在区间[,]a b 上连续,证明1()[()()]()()().22bbaab a f x dx f a f b x a x b f x dx -''=++--⎰⎰（二）一、 填空题（每小题3分，共18分）1．设函数()23122+--=x x x x f ，则1=x 是()x f 的第 类间断点.2．函数()21ln x y +=，则='y. 3． =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→xx x x 21lim. 4．曲线x y 1=在点⎪⎭⎫⎝⎛2,21处的切线方程为 . 5．函数2332x x y -=在[]4,1-上的最大值 ，最小值 .6．=+⎰dx xx21arctan .二、 单项选择题（每小题4分，共20分） 1．数列{}n x 有界是它收敛的（ ） .() A 必要但非充分条件； () B 充分但非必要条件 ；() C 充分必要条件； () D 无关条件.2．下列各式正确的是（ ） .() A C e dx e x x +=--⎰； () B C xxdx +=⎰1ln ； () C ()C x dx x +-=-⎰21ln 21211； () D C x dx xx +=⎰ln ln ln 1. 3． 设()x f 在[]b a ,上，()0>'x f 且()0>''x f ，则曲线()x f y =在[]b a ,上.() A 沿x 轴正向上升且为凹的； () B 沿x 轴正向下降且为凹的；() C 沿x 轴正向上升且为凸的； () D 沿x 轴正向下降且为凸的.4．设()x x x f ln =，则()x f 在0=x 处的导数（ ）.() A 等于1； () B 等于1-；() C 等于0； () D 不存在.5．已知()2lim 1=+→x f x ，以下结论正确的是（ ）.() A 函数在1=x 处有定义且()21=f ； () B 函数在1=x 处的某去心邻域内有定义；() C 函数在1=x 处的左侧某邻域内有定义；() D 函数在1=x 处的右侧某邻域内有定义.三、 计算（每小题6分，共36分） 1．求极限：xx x 1sinlim 20→. 2. 已知()21ln x y +=，求y '. 3. 求函数x x y sin =()0>x 的导数.4. ⎰+dx xx 221. 5. ⎰xdx x cos .6.方程yxx y 11=确定函数()x f y =，求y '.四、 （10分）已知2x e 为()x f 的一个原函数，求()⎰dx x f x 2.五、 （6分）求曲线x xe y -=的拐点及凹凸区间. 六、 （10分）设()()C ex dx x f x++='⎰1，求()x f .（三）一、填空题(本题共5小题，每小题4分，共20分).（1） 210)(cos lim x x x → =_____e 1________.（2）曲线x x y ln =上与直线01=+-y x 平行的切线方程为___1-=x y ______.（3）已知xx xe e f -=')(，且0)1(=f , 则=)(x f ______=)(x f 2)(ln 21x _____ .（4）曲线132+=x x y 的斜渐近线方程为 _______.9131-=x y __（5）微分方程522(1)1'-=++y y x x 的通解为_________.)1()1(32227+++=x C x y二、选择题 (本题共5小题，每小题4分，共20分). （1）下列积分结果正确的是（ D ）(A) 0111=⎰-dx x (B) 21112-=⎰-dx x(C) +∞=⎰∞+141dx x (D) +∞=⎰∞+11dx x（2）函数)(x f 在],[b a 内有定义，其导数)('x f 的图形如图1-1所示，则（ D ）.(A)21,x x 都是极值点.(B) ()())(,,)(,2211x f x x f x 都是拐点. (C) 1x 是极值点.，())(,22x f x 是拐点. (D) ())(,11x f x 是拐点，2x 是极值点. 图1-1（3）函数212e e e x x xy C C x -=++满足的一个微分方程是（ D ）.（A ）23e .x y y y x '''--= （B ）23e .xy y y '''--= （C ）23e .x y y y x '''+-=（D ）23e .xy y y '''+-=（4）设)(x f 在0x 处可导，则()()000limh f x f x h h →--为（ A ）.(A) ()0f x '. (B) ()0f x '-. (C) 0. (D)不存在 .（5）下列等式中正确的结果是 （ A ）.(A)(())().f x dx f x '=⎰ (B) ()().=⎰df x f x(C) [()]().d f x dx f x =⎰ (D) ()().f x dx f x '=⎰三、计算题（本题共4小题，每小题6分，共24分）.1．求极限)ln 11(lim 1x x x x --→. 解 )ln 11(lim 1x x x x --→=x x x x x x ln )1(1ln lim 1-+-→ 1分 =x x x x x ln 1ln lim1+-→ 2分 = x x x xx x ln 1ln lim1+-→ 1分= 211ln 1ln 1lim 1=+++→x x x 2分2.方程⎩⎨⎧+==t t t y t x sin cos sin ln 确定y 为x 的函数，求dx dy 与22dx y d .解 ,sin )()(t t t x t y dx dy =''= （3分）.sin tan sin )()sin (22t t t t t x t t dx y d +=''= （6分）3. 4. 计算不定积分. 222(1) =2arctan 2 =2d x C =----------+------+---------⎰⎰分分（分4.计算定积分⎰++3011dxx x.解 ⎰⎰-+-=++3030)11(11dx x x x dx x x ⎰+--=3)11(dx x （3分）35)1(3233023=++-=x （6分）（或令t x =+1）四、解答题（本题共4小题，共29分）.1．（本题6分）解微分方程256xy y y xe '''-+=.2．（本题7分）一个横放着的圆柱形水桶（如图4-1），桶内盛有半桶水，设桶的底半径为R ，水的比重为γ，计算桶的一端面上所受的压力．解：建立坐标系如图22022220322203*********RRRP gx R x dx g R x d R x g R x g R ρρρρ=----------=---------=--------=----------------⎰⎰分（）分[（）]分分3. （本题8分）设()f x 在[,]a b 上有连续的导数，()()0f a f b ==，且2()1b af x dx =⎰，试求()()b axf x f x dx'⎰.222()()()()21 ()221 =[()]()2211=0222b b aab ab b a a xf x f x dx xf x df x xdf x xf x f x dx '=-----=---------=----------⎰⎰⎰⎰解：分分分分4. （本题8分）过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平面图形D.(1) (3) 求D 的面积A; (2) (4) 求D 绕直线e x =旋转一周所得旋转体的体积V.x y 2122312*20101*223212-56012,31.1()111.21(1)121(1).12x x x x x x x r r r r e C e y x b x b e b b y x x e y e C e x x e +=----------==----------+-------=+-----------=-=-=-------------=+-+----解：特征方程分特征解.分 次方程的通解Y =C 分令分代入解得，所以分所以所求通解C 分解：(1) 设切点的横坐标为0x ，则曲线x y ln =在点)ln ,(00x x 处的切线方程是).(1ln 000x x x x y -+= ----1分由该切线过原点知 01ln 0=-x ，从而.0e x =所以该切线的方程为.1x e y =----1分平面图形D 的面积⎰-=-=10.121)(e dy ey e A y ----2分（2） 切线xe y 1=与x 轴及直线e x =所围成的三角形绕直线e x =旋转所得的圆锥体积为 .3121e V π= 2分曲线x y ln =与x 轴及直线e x =所围成的图形绕直线e x =旋转所得的旋转体体积为dye e V y 2102)(⎰-=π， 1分因此所求旋转体的体积为).3125(6)(312102221+-=--=-=⎰e e dy e e e V V V y πππ 1分五、证明题（本题共1小题，共7分）.1.证明对于任意的实数x ，1xe x ≥+.解法一：2112xe e x x xξ=++≥+解法二：设() 1.xf x e x =--则(0)0.f = 1分 因为() 1.xf x e '=- 1分 当0x ≥时，()0.f x '≥()f x 单调增加，()(0)0.f x f ≥= 2分 当0x ≤时，()0.f x '≤()f x 单调增加，()(0)0.f x f ≥= 2分所以对于任意的实数x ，()0.f x ≥即1xe x ≥+。
大一下学期高等数学期末试题及答案__数套
高等数学（下）试卷一一、 填空题（每空3分，共15分）（1）函数z =的定义域为 （2）已知函数arctanyz x =，则z x ∂=∂（3）交换积分次序，2220(,)y y dy f x y dx⎰⎰＝（4）已知L 是连接(0,1),(1,0)两点的直线段，则()L x y ds +=⎰（5）已知微分方程230y y y '''+-=，则其通解为二、选择题（每空3分，共15分）（1）设直线L 为321021030x y z x y z +++=⎧⎨--+=⎩，平面π为4220x y z -+-=，则（ ）A. L 平行于πB. L 在π上C. L 垂直于πD. L 与π斜交 （2）设是由方程xyz =(1,0,1)-处的dz =（ ）A.dx dy +B.dxD.dx （3）已知Ω是由曲面222425()z x y =+及平面5z =所围成的闭区域，将22()x y dv Ω+⎰⎰⎰在柱面坐标系下化成三次积分为（ ） A.22530d r dr dzπθ⎰⎰⎰ B.24530d r dr dzπθ⎰⎰⎰ C.2253502rd r dr dzπθ⎰⎰⎰ D.2252d r dr dzπθ⎰⎰⎰（4）已知幂级数12nnn n x ∞=∑，则其收敛半径（ ）A. 2B. 1C. 12D. （5）微分方程3232x y y y x e '''-+=-的特解y *的形式为y *=（ ）A.B.()x ax b xe +C.()xax b ce ++D.()xax b cxe ++三、计算题（每题8分，共48分）1、 求过直线1L :123101x y z ---==-且平行于直线2L ：21211x y z +-==的平面方程 2、 已知22(,)z f xy x y =，求zx ∂∂， z y ∂∂3、 设22{(,)4}D x y x y =+≤，利用极坐标求2Dx dxdy ⎰⎰4、 求函数22(,)(2)x f x y e x y y =++的极值5、计算曲线积分2(23sin )()y L xy x dx x e dy ++-⎰， 其中L 为摆线sin 1cos x t t y t =-⎧⎨=-⎩从点(0,0)O 到(,2)A π的一段弧6、求微分方程 x xy y xe '+=满足 11x y ==的特解四.解答题（共22分）1、利用高斯公式计算22xzdydz yzdzdx z dxdy ∑+-⎰⎰，其中∑由圆锥面z =与上半球面z =所围成的立体表面的外侧 (10)'2、（1）判别级数111(1)3n n n n ∞--=-∑的敛散性，若收敛，判别是绝对收敛还是条件收敛；（6'）（2）在(1,1)x ∈-求幂级数1nn nx∞=∑的和函数（6'）高等数学（下）试卷二一．填空题（每空3分，共15分）（1）函数z =的定义域为 ； （2）已知函数xyz e =，则在(2,1)处的全微分dz = ；（3）交换积分次序，ln 1(,)e x dx f x y dy⎰⎰＝ ；（4）已知L 是抛物线2y x =上点(0,0)O 与点(1,1)B 之间的一段弧，则=⎰；（5）已知微分方程20y y y '''-+=，则其通解为 . 二．选择题（每空3分，共15分）（1）设直线L 为300x y z x y z ++=⎧⎨--=⎩，平面π为10x y z --+=，则L 与π的夹角为（ ）；A. 0B. 2πC. 3πD. 4π（2）设(,)z f x y =是由方程333z xyz a -=确定，则z x ∂=∂（ ）； A. 2yz xy z - B. 2yz z xy - C. 2xz xy z - D. 2xy z xy -（3）微分方程256x y y y xe '''-+=的特解y *的形式为y *=（ ）；A.2()x ax b e +B.2()x ax b xe +C.2()x ax b ce ++D.2()xax b cxe ++ （4）已知Ω是由球面2222x y z a ++=所围成的闭区域, 将dvΩ⎰⎰⎰在球面坐标系下化成三次积分为（ ）； A222sin ad d r drππθϕϕ⎰⎰⎰ B.220ad d rdrππθϕ⎰⎰⎰C.20ad d rdrππθϕ⎰⎰⎰ D.220sin a d d r drππθϕϕ⎰⎰⎰（5）已知幂级数1212nnn n x ∞=-∑，则其收敛半径（ ）.2 B.1 C. 12 D.三．计算题（每题8分，共48分）5、 求过(0,2,4)A 且与两平面1:21x z π+=和2:32y z π-=平行的直线方程 .6、 已知(sin cos ,)x yz f x y e +=，求zx ∂∂， z y ∂∂ . 7、 设22{(,)1,0}D x y x y y x =+≤≤≤，利用极坐标计算arctanDydxdy x ⎰⎰ .8、 求函数22(,)56106f x y x y x y =+-++的极值. 9、 利用格林公式计算(sin 2)(cos 2)x x Le y y dx e y dy -+-⎰，其中L 为沿上半圆周222(),0x a y a y -+=≥、从(2,0)A a 到(0,0)O 的弧段. 6、求微分方程 32(1)1y y x x '-=++的通解.四．解答题（共22分）1、（1）（6'）判别级数11(1)2sin3n n n n π∞-=-∑的敛散性，若收敛，判别是绝对收敛还是条件收敛；（2）（4'）在区间(1,1)-内求幂级数1nn x n ∞=∑的和函数 .2、(12)'利用高斯公式计算2xdydz ydzdx zdxdy∑++⎰⎰，∑为抛物面22z x y =+(01)z ≤≤的下侧高等数学（下）模拟试卷三一． 填空题（每空3分，共15分）1、 函数arcsin(3)y x =-的定义域为 .2、22(2)lim 332n n n n →∞++-= .3、已知2ln(1)y x =+，在1x =处的微分dy = . 4、定积分1200621(sin )x x x dx -+=⎰.5、求由方程57230y y x x +--=所确定的隐函数的导数dydx =.二．选择题（每空3分，共15分）1、2x =是函数22132x y x x -=-+的 间断点 （A ）可去 （B ）跳跃 （C ）无穷 （D ）振荡2、积分10⎰= .(A) ∞ (B)-∞(C) 0 (D) 13、函数1xy e x =-+在(,0]-∞内的单调性是 。
广州大学大一公共课高等数学期末考试卷及答案15
广州大学20XX-20XX 学年第二学期考试卷课 程：高等数学（90学时） 考 试 形 式：闭卷 考试一．填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分） 1．设yxxy z +=，则=dz __________________ 2．设),(v u f z =连续，y x u +=2, xy v = , 则=∂∂xz___________________ 3．L 为122=+y x ，则2Lx ds =⎰4．若级数∑∞=1n nu收敛，则=∞→n n u lim5．微分方程02=-ydx xdy 的通解是二．单项选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分）1．函数),(y x f z =在点),(y x 处可微是),(y x f 在该点偏导数x z ∂∂及yz ∂∂存在的【 】 （A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）无关条件.2.曲线2t x =，12+=t y ，3t z =在点)1,1,1(--处的 法平面方程为【 】（A ）3322-=++z y x （B ）7322=--z y x（C ）312121+=+=-z y x （D ）312121+=+=--z y x 3．设),(y x f 是连续函数，改换二次积分的积分次序⎰⎰=ex dy y x f dx 1ln 0),( 【 】（A ）⎰⎰ex dx y x f dy 1ln 0),( （B ）⎰⎰e ey dx y x f dy 10),(（C ）⎰⎰x edx y x f dy ln 01),( （D ）⎰⎰10),(eey dx y x f dy4. 设∑是球面2222a z y x =++的内侧)0(>a ，Ω为∑所围成闭区域， 由高斯公式，曲面积分333x dy dz y dz dx z dx dy ∑++=⎰⎰【 】（A ）dv a ⎰⎰⎰Ω-23（B ）dv a ⎰⎰⎰Ω23（C ）θϕϕd drd r rsin 322⋅-⎰⎰⎰Ω（D ）θϕϕd drd r r sin 322⋅⎰⎰⎰Ω5．设有级数∑∞=--11)1(n p n n ，则【 】（A ）当1≥p 时，级数∑∞=--11)1(n pn n 绝对收敛 （B ）当1>p 时，级数∑∞=--11)1(n pn n 条件收敛 （C ）当10≤<p 时，级数∑∞=--11)1(n pn n 绝对收敛 （D ）当10≤<p 时，级数∑∞=--11)1(n pn n 条件收敛三．解答下列各题（本题共3小题，第1、2小题6分，第3小题8分，满分20分）1．求函数2221)ln(y x x y z --+-= 的定义域，并画出其区域图2．函数),(y x z z =是由方程0=+-xy yz e z确定，求x z ∂∂及22x z∂∂3．求表面积为36而体积最大的长方体四．计算下列积分（本题共3小题，第1、2小题6分，第3小题8分，满分20分） 1．计算dxdy y x D⎰⎰，其中D 由直线x y =，1=y 及0=x 围成的闭区域2．计算⎰⎰⎰Ωdz dy dx z ，其中Ω是由平面1=++z y x 及三个坐标面所围成的闭区域3．利用格林公式计算22()()y x LI xy e dy x y e dx =+-+⎰，其中L 为圆周422=+y x ，取逆时针方向五．解答下列级数（本题共3小题，第1小题5分，第2小题10分，满分15分）1．判别级数∑∞=123n n n 的敛散性2．求幂级数∑∞=+1)1(n nxn n 的收敛域及其和函数六．（本题满分7分）设有连结点)0,0(O 和点(1,1)A 的一段向上凸 的曲线弧OA ，对于OA 上任一点),(y x P ，曲线弧OP 与直线段 OP 所围成的图形的面积为2x ，求曲线弧OA 的方程七．（本题满分8分）求微分方程2x y y y xe '''--=的通解广州大学20XX-20XX 学年第二学期考试卷答案与评分标准课 程：高等数学（90学时） 考 试 形 式：闭卷 考试一．填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分） 1．设y xxy z +=，则=dz dy y x x dx y y ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+21 2．设),(v u f z =具有一阶连续偏导数，y x u +=2, xy v = , 则=∂∂xzv u f y f +2 3．L 为圆周122=+y x ，则2Lx ds =⎰π4．若级数∑∞=1n nu收敛，则=∞→n n u lim 05．微分方程02=-ydx xdy 的通解是2y c x =二．单项选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分）1．函数),(y x f z =在点),(y x 处可微是),(y x f 在该点偏导数x z ∂∂及yz ∂∂存在的【 A 】 （A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）无关条件.2.曲线2t x =，12+=t y ，3t z =在点)1,1,1(--处的 法平面方程为【 B 】（A ）3322-=++z y x （B ）7322=--z y x（C ）312121+=+=-z y x （D ）312121+=+=--z y x 3．设),(y x f 是连续函数，改换二次积分的积分次序⎰⎰=ex dy y x f dx 1ln 0),( 【 D 】（A ）⎰⎰ex dx y x f dy 1ln 0),( （B ）⎰⎰e ey dx y x f dy 10),(（C ）⎰⎰x edx y x f dy ln 01),( （D ）⎰⎰10),(eey dx y x f dy4. 设∑是球面2222a z y x =++的内侧)0(>a ，Ω为∑所围成闭区域，由高斯公式，曲面积分333x dydz y dzdx z dxdy ∑++=⎰⎰【 C 】（A ）dv a ⎰⎰⎰Ω-23（B ）dv a ⎰⎰⎰Ω23 （C ）θϕϕd drd r r sin 322⋅-⎰⎰⎰Ω（D ）θϕϕd drd r r sin 322⋅⎰⎰⎰Ω5．设有级数∑∞=--11)1(n pn n ，则【 D 】 （A ）当1≥p 时，级数∑∞=--11)1(n pn n 绝对收敛 （B ）当1>p 时，级数∑∞=--11)1(n pn n 条件收敛 （C ）当10≤<p 时，级数∑∞=--11)1(n pn n 绝对收敛 （D ）当10≤<p 时，级数∑∞=--11)1(n pn n 条件收敛三．解答下列各题（本题共3小题，第1、2小题6分，第3小题8分，满分20分）1．求函数2221)ln(y x x y z --+-= 的定义域，并画出其区域图解：要使函数有意义，须满足⎪⎩⎪⎨⎧≥-->-010222y x x y 即⎪⎩⎪⎨⎧≤+>1222y x x y 所求定义域为}1|),{(222≤+>=y x x y y x D 且 ┉┉┉┉┉ 3分区域D 的图形如左图阴影部分┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 6分2．函数),(y x z z =是由方程0=+-xy yz e z确定，求x z ∂∂及22x z∂∂解：令=),,(z y x F xy yz e z +- 则 y F x =， y e F z z -=zy x ey yF F x z -=-=∂∂ ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 3分 22x z ∂∂2)(z z e y x z e y -⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂--= ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 5分32)(z z e y e y -= ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 6分 3．求表面积为36而体积最大的长方体解：设长方体的三棱长为z y x ,,，则体积xyz V =，且 18=++xz yz xy令)18(),,(-+++=xz yz xy xyz z y x L λ ┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 3分由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++==++==++=180)(0)(0)(xz yz xy y x xy L z x xz L z y yz L zy x λλλ ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 5分得6===z y x ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 7分由实际问题可知，当棱长为6的正方体时体积最大 ┉┉┉┉ 8分四．计算下列积分（本题共3小题，第1、2小题6分，第3小题8分，满分20分） 1．计算dxdy y x D⎰⎰，其中D 由直线x y =，1=y 及0=x 围成的闭区域解：dxdy y x D⎰⎰⎰⎰=101xdy xy dx ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 3分dx y x x ⎰=1012|21 ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 4分dx x x ⎰-=103)(21 ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 5分81= ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 6分2．计算⎰⎰⎰Ωdz dy dx z ，其中Ω是由平面1=++z y x 及三个坐标面所围成的闭区域 解：⎰⎰⎰Ωdz dy dx z ⎰⎰⎰---=y x x dz z dy dx 101010┉┉┉┉┉┉┉┉ 3分dy y x dx x ⎰⎰---=10102)1(21 ┉┉┉┉┉┉┉ 4分 ⎰--=103)1(61dx x ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 5分=241┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 6分3．利用格林公式计算22()()y x LI xy e dy x y e dx =+-+⎰，其中L 为圆周422=+y x ，取逆时针方向 解：记4:22≤+y x D ，由格林公式 ⎰⎰+=D dy dx y x I )(22 ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 3分 ⎰⎰⋅=πρρρθ2022d d ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 6分420|2πρ=┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 7分π8= ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 8分五．解答下列级数（本题共3小题，第1小题5分，第2小题10分，满分15分）1．判别级数∑∞=123n n n 的敛散性解：nn n nn n n n u u 33)1(lim lim 2)1(21+∞→+∞→+= ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 2分 211lim 31⎪⎭⎫⎝⎛+=∞→n n131<= ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 4分 该级数收敛 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 5分2．求幂级数∑∞=+1)1(n n xn n 的收敛域及其和函数解：n n n a a 1lim+∞→=ρ)1()2)(1(lim +++=∞→n n n n n ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∞→n n 21lim 1= ┅┅ 2分 故11==ρR ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 3分当1-=x 时，级数∑∞=+-1)1()1(n n n n 发散 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 4分 当1=x 时，级数∑∞=+1)1(n n n 发散 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 5分幂级数的收敛域为)1,1(- ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 6分 记=)(x S ∑∞=+1)1(n n xn n 11<<-x =⎰x dx x S 0)(∑∞=+11n n nx 2x =∑∞=-11n n nx又设=)(x g ∑∞=-11n n nx，11<<-x ，=⎰x dx x g 0)(∑∞=1n n x =xx -1 ┅┅ 8分 知2)1(11)(x x x x g -='⎪⎭⎫ ⎝⎛-= ()3222)1(2)1()()(x x x x x g x x S -='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-='= （11<<-x ）┉┉┅┅ 10分六．（本题满分7分）设有连结点(0,0)O 和点(1,1)A 的一段向上凸 的曲线弧OA ，对于OA 上任一点(,)P x y ，曲线弧OP 与直线段 OP 所围成的图形的面积为2x ，求曲线弧OA 的方程解：设曲线弧OA 的方程为()y y x =，依题意 201()2xy t dt xy x -=⎰ ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 2分 两边关于x 求导，得1()()22y x y xy x '-+= 即14y y x '-=- ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 3分 该方程为一阶线性微分方程，由常数变易公式得(4)dx dx x x y e e dx C -⎡⎤⎰⎰=-+⎢⎥⎣⎦⎰┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 4分14x dx C x ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦⎰ (4ln )x x C =-+ ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 6分 由1|1x y ==得，1C =所求方程为4ln y x x x =-+┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 7分七．（本题满分8分）求微分方程2x y y y xe '''--=的通解解：该方程为二阶常系数非齐次线性微分方程，且()f x 为()x m P x e λ型（其中()m P x x =，1λ=） 与所给方程对应的齐次方程为20y y y '''--=它的特征方程 220r r --=┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 2分 特征根11r =-，22r =齐次方程的通解为212x x Y C e C e -=+┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 4分 由于1λ=不是特征根，设()x y ax b e *=+ ┅┅┅┅┅┅ 5分 代入原方程得 22ax a b x -+-=由比较系数法得2120a ab -=⎧⎨-=⎩，解得11,24a b =-=-， 1(21)4x y x e *=-+，┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 7分 所求通解为2121(21)4x x x y C e C e x e -=+-+┅┅┅┅┅┅8分。
大一高等数学期末考试试卷及答案详解
大一高等数学期末考试试卷一、选择题（共12分）1。
（3分)若2,0,(),0x e x f x a x x ⎧<=⎨+>⎩为连续函数,则a 的值为( )。
(A)1 （B ）2 （C ）3 （D ）-12。
（3分）已知(3)2,f '=则0(3)(3)lim 2h f h f h→--的值为( ）。
(A ）1 （B ）3 （C ）—1 (D)123。
(3分）定积分22ππ-⎰的值为（ ）.（A)0 (B)—2 (C ）1 （D ）24. (3分）若()f x 在0x x =处不连续，则()f x 在该点处（ ）.(A)必不可导 （B ）一定可导（C ）可能可导 （D ）必无极限二、填空题（共12分）1．(3分） 平面上过点(0,1),且在任意一点(,)x y 处的切线斜率为23x 的曲线方程为 .2。
（3分) 1241(sin )x x x dx -+=⎰ 。
3. （3分） 201lim sin x x x→= . 4。
(3分） 3223y x x =-的极大值为 。
三、计算题（共42分）1. （6分）求20ln(15)lim .sin 3x x x x →+ 2. （6分)设2,1y x =+求.y ' 3. (6分）求不定积分2ln(1).x x dx +⎰4. (6分)求30(1),f x dx -⎰其中,1,()1cos 1, 1.x x x f x x e x ⎧≤⎪=+⎨⎪+>⎩5. (6分)设函数()y f x =由方程00cos 0y xt e dt tdt +=⎰⎰所确定,求.dy 6. （6分）设2()sin ,f x dx x C =+⎰求(23).f x dx +⎰7. (6分)求极限3lim 1.2nn n →∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭四、解答题（共28分）1. （7分）设(ln )1,f x x '=+且(0)1,f =求().f x2. （7分)求由曲线cos 22y x x ππ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭与x 轴所围成图形绕着x 轴旋转一周所得旋转体的体积。
大一高等数学期末模拟试卷五套
大一高等数学期末模拟试卷（一）一、填空题(本题共5小题，每小题4分，共20分).（1）210)(cos lim x x x →=_____e 1.（2）曲线x x y ln =上与直线01=+-y x 平行的切线方程为___1-=x y ______.（3）已知xx xe e f -=')(，且0)1(=f ,则=)(x f ______=)(x f 2)(ln 21x _____.（4）曲线132+=x x y 的斜渐近线方程为.9131-=x y （5）微分方程522(1)1'-=++y y x x 的通解为_________.)1()1(32227+++=x C x y 二、选择题(本题共5小题，每小题4分，共20分).（1）下列积分结果正确的是（D ）(A)0111=⎰-dx x (B)21112-=⎰-dx x (C)+∞=⎰∞+141dx x (D)+∞=⎰∞+11dx x （2）函数)(x f 在],[b a 内有定义，其导数)('x f 的图形如图1-1所示，则（D）.(A)21,x x 都是极值点.(B)()())(,,)(,2211x f x x f x 都是拐点.(C)1x 是极值点.，())(,22x f x 是拐点.(D)())(,11x f x 是拐点，2x 是极值点.图1-1（3）函数212e e e x x xy C C x -=++满足的一个微分方程是（D ）.（A）23e .xy y y x '''--=（B）23e .xy y y '''--=（C）23e .x y y y x '''+-=（D）23e .xy y y '''+-=（4）设)(x f 在0x 处可导，则()()000limh f x f x h h→--为（A）.(A)()0f x '.(B)()0f x '-.(C)0.(D)不存在（5）下列等式中正确的结果是（A）.(A)(())().f x dx f x '=⎰(B)()().=⎰df x f x (C)[()]().d f x dx f x =⎰(D)()().f x dx f x '=⎰三、计算题（本题共4小题，每小题6分，共24分）.1．求极限)ln 11(lim 1x x x x --→.解ln 11(lim 1x x x x --→=xx x x x x ln )1(1ln lim1-+-→1分)(x f y '=y O1x 2x ab x=x xx x x ln 1ln lim1+-→2分=x x x x x x ln 1ln lim1+-→1分=211ln 1ln 1lim 1=+++→x x x 2分2.方程⎩⎨⎧+==tt t y t x sin cos sin ln 确定y 为x 的函数，求dx dy 与22dx yd .解,sin )()(t t t x t y dx dy =''=（3分）.sin tan sin )()sin (22t t t t t x t t dxy d +=''=（6分）3.计算不定积分.2arctan 22(1) =2arctan arctan 2 =arctan 2d x C =----------+-------+---------⎰⎰分分（分4.计算定积分⎰++3011dxx x.解⎰⎰-+-=++3030)11(11dx x x x dx x x ⎰+--=3011(dx x （3分）35)1(3233023=++-=x （6分）（或令t x =+1）四、解答题（本题共4小题，共29分）.1．（本题6分）解微分方程256xy y y xe '''-+=.2122312*20101*223212-56012,31.1()111.21(1)121(1).12x x x x x x x r r r r e C e y x b x b e b b y x x e y e C e x x e +=----------==----------+-------=+-----------=-=-=-------------=+-+----解：特征方程分特征解.分 次方程的通解Y =C 分令分代入解得，所以分所以所求通解C 分2．（本题7分）一个横放着的圆柱形水桶（如图4-1），桶内盛有半桶水，设桶的底半径为R ，水的比重为γ，计算桶的一端面上所受的压力．解：建立坐标系如图220322203*********RR P g R x g R x g R ρρρρ=---------=--------=--------=----------------⎰⎰分）分[（）]分分3.（本题8分）设()f x 在[,]a b 上有连续的导数，()()0f a f b ==，且2()1baf x dx =⎰，试求()()baxf x f x dx'⎰.222()()()()21 ()221 =[()]()2211=0222b baabab b aaxf x f x dx xf x df x xdf x xf x f x dx '=-----=---------=----------⎰⎰⎰⎰解：分分分分4.（本题8分）过坐标原点作曲线xy ln =的切线，该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平面图形D.(1)(3)求D 的面积A;(2)(4)求D 绕直线e x =旋转一周所得旋转体的体积V.解：(1)设切点的横坐标为x ，则曲线x y ln =在点)ln ,(00x x 处的切线方程是).(1ln 000x x x x y -+=----1分由该切线过原点知01ln 0=-x ，从而.0e x =所以该切线的方程为.1x ey =----1分平面图形D 的面积⎰-=-=1.121)(e dy ey e A y ----2分（2）切线xe y 1=与x 轴及直线e x =所围成的三角形绕直线e x =旋转所得的圆锥体积为.3121e V π=2分曲线x y ln =与x 轴及直线e x =所围成的图形绕直线e x =旋转所得的旋转体体积为dye e V y 212)(⎰-=π，1分xyxyO1e1D因此所求旋转体的体积为).3125(6)(312102221+-=--=-=⎰e e dy e e e V V V y πππ1分五、证明题（本题共1小题，共7分）.1.证明对于任意的实数x ，1xe x ≥+.解法一：2112xe e x x xξ=++≥+解法二：设() 1.xf x e x =--则(0)0.f =1分因为() 1.xf x e '=-1分当0x ≥时，()0.f x '≥()f x 单调增加，()(0)0.f x f ≥=2分当0x ≤时，()0.f x '≤()f x 单调增加，()(0)0.f x f ≥=2分所以对于任意的实数x ，()0.f x ≥即1x e x ≥+。
最新大一下学期高等数学期末考试试题及答案
最新大一下学期高等数学期末考试试题及答案院（系）别班级 学号 姓名成绩一、填空题：（本题共5小题，每小题4分，满分20分，把答案直接填在题中横线上）1、已知向量a 、b 满足0a b +=，2a =，2b =，则a b ⋅= ．2、设ln()z x xy =，则32zx y ∂=∂∂ ．3、曲面229x y z ++=在点(1,2,4)处的切平面方程为 ．4、设()f x 是周期为2π的周期函数，它在[,)ππ-上的表达式为()f x x =，则()f x 的傅里叶级数 在3x =处收敛于 ，在x π=处收敛于 ．5、设L 为连接(1,0)与(0,1)两点的直线段，则()Lx y ds +=⎰ ．※以下各题在答题纸上作答，答题时必须写出详细的解答过程，并在每张答题纸写上：姓名、学号、班级． 二、解下列各题：（本题共5小题，每小题7分，满分35分）1、求曲线2222222393x y z z x y⎧++=⎪⎨=+⎪⎩在点0M (1,1,2)-处的切线及法平面方程． 2、求由曲面2222z x y =+及226z x y =--所围成的立体体积．3、判定级数11(1)lnn n n n∞=+-∑是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？ 4、设(,)sin x z f xy y y =+，其中f 具有二阶连续偏导数，求2,z zx x y∂∂∂∂∂． 5、计算曲面积分,dSz ∑⎰⎰其中∑是球面2222x y z a ++=被平面(0)z h h a =<<截出的顶部．三、（本题满分9分）抛物面22z x y =+被平面1x y z ++=截成一椭圆，求这椭圆上的点到原点的距离的最大值与最小值．四、 （本题满分10分）计算曲线积分(sin )(cos )x x Le y m dx e y mx dy -+-⎰，其中m 为常数，L 为由点(,0)A a 至原点(0,0)O 的上半圆周22(0)x y ax a +=>．五、（本题满分10分）求幂级数13nn n x n∞=⋅∑的收敛域及和函数．六、（本题满分10分）计算曲面积分332223(1)I x dydz y dzdx zdxdy ∑=++-⎰⎰，其中∑为曲面221(0)z x y z =--≥的上侧．七、（本题满分6分）设()f x 为连续函数，(0)f a =，222()[()]tF t z f x y z dv Ω=+++⎰⎰⎰，其中t Ω是由曲面z =与z =所围成的闭区域，求 30()lim t F t t+→．-------------------------------------备注：①考试时间为2小时；②考试结束时，请每位考生按卷面→答题纸→草稿纸由表及里依序对折上交； 不得带走试卷.高等数学A(下册)期末考试试题【A 卷】参考解答与评分标准一、填空题【每小题4分，共20分】 1、4-； 2、21y-；3、2414x y z ++=； 4、3，0； 5二、试解下列各题【每小题7分，共35分】1、解：方程两边对x 求导，得323dydz y z x dx dx dy dz y z xdxdx ⎧+=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩， 从而54dy x dx y =-，74dz x dx z =…………..【4】 该曲线在()1,1,2-处的切向量为571(1,,)(8,10,7).488T == (5)故所求的切线方程为1128107x y z -+-==………………..【6】 法平面方程为()()()81101720x y z -+++-= 即 810712x y z ++= (7)２、解：2222226z x y z x y⎧=+⇒⎨=--⎩222x y +=，该立体Ω在xOy 面上的投影区域为22:2xy D x y +≤．…..【2】 故所求的体积为Vdv Ω=⎰⎰⎰222620202(63)6d d dz d πρρθρπρρπ-==-=⎰⎰ (7)３、解：由11lim lim ln(1)lim ln(1)10nn n n n n u n n n →∞→∞→∞=+=+=>，知级数1n n u ∞=∑发散 (3)又111||ln(1)ln(1)||1nn u u n n +=+>+=+，1lim ||lim ln(1)0n n n u n→∞→∞=+=.故所给级数收敛且条件收敛．【7】４、解：121211()0z f y f yf f x y y∂''''=⋅+⋅+=+∂， …………………………………【3】 2111122212222211[()][()]z x xf y f x f f f x f x y y y y y ∂''''''''''=+⋅+⋅--+⋅+⋅-∂∂111222231.x f xyf f f y y''''''=+--【7】 ５、解：∑的方程为z =，∑在xOy 面上的投影区域为2222{(,)|}xy D x y x y a h =+≤-．=…..………【３】故22222200xy D dS adxdy d a d z a x y a πρρθρ∑==---⎰⎰⎰⎰⎰22012ln()2ln 2aa a a hπρπ⎡=--=⎢⎥⎣⎦..【7】三、【9分】解：设(,,)M x y z 为该椭圆上的任一点，则点M到原点的距离为d =【1】令22222(,,)()(1)L x y z x y z z x y x y z λμ=+++--+++-，则由22220220201x y z L x x L y y L z z x yx y z λμλμλμ=-+=⎧⎪=-+=⎪⎪=++=⎨⎪=+⎪++=⎪⎩，解得12x y -±==，23z =．于是得到两个可能极值点121111(,(2222M M --+---+…………………【7】 又由题意知，距离的最大值和最小值一定存在，所以距离的最大值与最小值分别在这两点处取得．故max 2min 1||||d OM d OM ==== (9)四、【10分】 解：记L 与直线段OA 所围成的闭区域为D ，则由格林公式，得22(sin )(cos )8x x DL OAI e y m dx e y mx dy m d ma πσ+=-+-=-=-⎰⎰⎰． (5)而1(sin )(cos )ax xOAI e y m dx e y mx dy m dx ma =-+-=-=-⎰⎰ (8)∴221(sin )(cos ).8x x Le y m dx e y mx dy I I ma ma π-+-=-=-⎰ (10)五、【10分】解：()1131limlim 3133n n n n n na n R a n ρ++→∞→∞===⇒=+，收敛区间为 (3,3)-…………【2】 又当3x =时，级数成为11n n∞=∑，发散；当3x =-时，级数成为()11nn n ∞=-∑，收敛．……【4】 故该幂级数的收敛域为[)3,3- (5)令()13nn n x s x n ∞==∑（33x -≤<），则11111111()()33331/33n n n n n x x s x x x -∞∞-=='====--∑∑， (||3x <) ……【8】 于是()()000()()ln 3ln 3ln 33x xx dxs x s x dx x x x '===--=---⎰⎰，（33x -≤<） (10)六、【10分】解：取1∑为220(1)z x y =+≤的下侧，记∑与1∑所围成的空间闭区域为Ω，则由高斯公式，有()()133222222316I x dydz y dzdx z dxdy x y z dv ∑+∑Ω=++-=++⎰⎰⎰⎰⎰ (5)()2211262d d z dz πρθρρρπ-=+=⎰⎰⎰ (7)而()()221133221122313133x y I x dydz y dzdx z dxdy z dxdy dxdy π∑∑+≤=++-=-==⎰⎰⎰⎰⎰⎰ (9)2123.I I I πππ∴=-=-=- (10)七、【6分】解：()()2224000sin cos tF t d d r f r r dr ππθϕϕϕ⎡⎤=+⎣⎦⎰⎰⎰….… 【2】 ()3224400002sin cos sin t t d r dr d f r r dr πππϕϕϕϕϕ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰(()422028tt r f r dr π⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦⎰….… 【4】 故()(3222320002()222limlim lim ().333t t t t t f t F t f t a t t π+++→→→⎡⎤+⎢⎥-⎣⎦=== 【6】。
大一下高等数学期末试卷
大一下高等数学期末试卷篇一：大一下学期高等数学期末考试试题及答案高等数学A(下册)期末考试试题【A卷】院（系）别班级学号姓名成绩一、填空题：（本题共5小题，每小题4分，满分20分，把答案直接填在题中横线上）1、已知向量a、b满足a?b?0，a?2，b?2，则a?b??3z2、设z?xln(xy)，则? 2?x?y3、曲面x2?y2?z?9在点(1,2,4)处的切平面方程为．4、设f(x)是周期为2?的周期函数，它在[??,?)上的表达式为f(x)?x，则f(x)的傅里叶级数在x?3处收敛于，在x??处收敛于．5、设L为连接(1,0)与(0,1)两点的直线段，则?(x?y)ds?．L※以下各题在答题纸上作答，答题时必须写出详细的解答过程，并在每张答题纸写上：姓名、学号、班级．二、解下列各题：（本题共5小题，每小题7分，满分35分）222??2x?3y?z?91、求曲线?2在点M0(1,?1,2)处的切线及法平面方程．22??z?3x?y2、求由曲面z?2x?2y及z?6?x?y所围成的立体体积．3、判定级数2222?(?1)nlnn?1?n?1是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？nx?z?2z4、设z?f(xy,)?siny，其中f具有二阶连续偏导数，求．,y?x?x?y5、计算曲面积分dS2222,其中是球面被平面z?h(0?h?a)截出的顶部．x?y?z?a???z?三、（本题满分9分）抛物面z?x2?y2被平面x?y?z?1截成一椭圆，求这椭圆上的点到原点的距离的最大值与最小值．四、（本题满分10分）。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高等数学II
填空题
1、()1
3
1sin x x dx -+=⎰ _______________________. 2、设()1
1
x x
f x e dx e C =+⎰, 则()f x =_________________. 3、微分方程2220d y dy y dx dx
-+=的通解为_______________________. 4、函数
(,)ln 1f x y x y =--_______________.
5、椭圆22
1169
x y += 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积为______________________. 计算题
1、计算不定积分
2211sec dx x x ⎰. 2
、计算不定积分
dx , ()0a >.
3、计算定积分
320sin cos x x dx π⎰
4、计算定积分
1
0arcsin x dx ⎰ 解答题 1、设函数()f x 的原函数()F x 恒正, (0)1F =且()()f x F x x =, 且()f x 的表达式. 2、解微分方程()52211dy y x dx x =+++，并求出其满足初始条件01|3
x y ==-的特解. 3、设2ln z u v =，且x u y
=， 32v x y =-, 求z x ∂∂和z y ∂∂, 并写出dz . 4、设02
(), 0() , 0
x tf t dt x F x x A x ⎧⎪≠=⎨⎪=⎩⎰, 其中()f x 具有连续导数且(0)0f =. (1) 如果()F x 在点0x =处连续, 求A 的值;
(2) 在(1)的前提下, 证明()F x 在点0x =处可导, 并求(0)F '的值.
证明题
1、设函数()f x 在[],a b 上连续，且()0f x >， 令 ()()()
1 x
x a b F x f t dt dt f t =+⎰⎰， [],x a b ∈. 证明: 方程()0F x =在[],a b 上有且仅有一个实数根.
2、证明：反常积分01p I dx x
+∞=⎰（0p >）发散. 3、设二元函数()ln x y z e e =+，
证明：222222z z z x y x y ⎛⎫∂∂∂⋅= ⎪∂∂∂∂⎝⎭
.。