高考数学第一轮复习考纲《绝对值不等式》课件29 理
【互动探究】 4．已知函数 f(x)＝|x－8|－|x－4|. (1)如图 5－7－2 中，作出函数 y＝f(x)的图像； (2)解不等式|x－8|－|x－4|＞2.
图 5－7－2
4 x≤4 解：(1)f(x)＝－2x＋12 4<x≤8 －4 x>8 图像如图 5－7－3：
【互动探究】 {x|－1<x<2} 2．(1)(2010 年陕西)不等式|2x－1|<3 的解集为___________ ． {x|－3≤x≤2} ． (2)不等式|x－1|＋|x＋2|≤5 的实数解为______________
1 x≤－ －x－5 2 1 解析： (1－2<x<4 x＋5 x≥4
利用||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b| 的几何意义解不等式 例 3：设函数 f(x)＝|2x＋1|－|x－4|. (1)解不等式 f(x)>2； (2)求函数 y＝f(x)的最小值．
考点 3
.
作出函数 y＝|2x＋1|－|x－4|的图像，如图 5－7－1，它与直 线 y＝2
5 的交点为(－7,2)和 3，2. 5 (－∞，－7)∪3，＋∞.
考点 1 利用绝对值的定义解不等式
例 1：(2010
x－2 x－2 > 年江西)不等式 x 的解集是( x
)
A．(0,2) C．(2，＋∞)
B．(－∞，0) D．(－∞，0)∪(0，＋∞)
解析：绝对值大于本身，值为负数.
x－2 <0，解得 A. x
或者选择 x＝1 和 x＝－1，两个检验进行排除． 故选 A
1 1 <x<2 x≤ 2 ②或 2 ③，不等式组 2x－1＋x－2<0 －2x－1＋x－2<0 1 1 ①无解，由②得2<x<1，由③得－1<x≤2， 综上得－1<x<1，所以原不等式的解集为{x|－1<x<1}.
本题考查了含有多个绝对值号的不等式的解法， 需要根据绝对值的定义分段去掉绝对值号，最后把各种情况综 合得出答案．本题涉及到分类讨论的数学思想．
【互动探究】 1．(2010 年江西)不等式|x－2|>x－2 的解集是( A) A．(－∞，2) B．(－∞，＋∞) C．(2，＋∞) D．(－∞，＋2)∪(2，＋∞) 考点 2 利用分类讨论解绝对值不等式 例 2：不等式|2x－1|－|x－2|<0 的解集为________． x≥2 解析： 原不等式等价于不等式组 ①或 2 x － 1 － x － 2 <0
1．若关于 x 的不等式|x－a|<1 的解集为(1,3)，则实数 a 的 值为( A ) A．2 B．1 C．－1 D．－2 2．已知不等式|8x＋9|<7 和不等式 ax2＋bx>2 的解集相同， 则实数 a、b 的值分别为( B ) A．－8、－10 B．－4、－9 D．－1、2 C．－1、9 (0,2) ． 3．不等式|x－1|<1 的解集是______ 1 1 － ，0∪(0,1) 4．不等式1＋ x>2 的解集为_________________ ． 3 1 x|x>1或x< 5．不等式|2x－1|>|x|的解集为________________. 3
解析：设 y＝|x－a|＋|x－2|，则 ymin＝|a－2|，因为不等式|x －a|＋|x－2|≥1 对∀x∈R 恒成立，所以|a－2|≥1，解得：a≥3 或 a≤1.
错源：对题意理解不透彻 例 4：设函数 f(x)＝2|x－1|＋|x＋2|. (1)求不等式 f(x)≥4 的解集； (2)若不等式 f(x)<|m－2|的解集是非空的集合，求实数 m 的 取值范围． 误解分析：|m－2|>f(x)的解集非空，就是|m－z|大于 f(x)的最 小值．这一点理解起来比较困难．可以考虑反证法．
【互动探究】 3．(1)若不等式|x－4|＋|x－3|<a 的解集为非空集合，则实数
a 的取值范围是( C) A．a>7 B．1<a<7 D．a≥1 C．a>1 (2)若不等式|x－a|＋|x－2|≥1 对任意实数 x 均成立，则实数 a≥3 或 a≤1 a 的取值范围为_____________.
，
图 5－7－3 (2)不等式|x－8|－|x－4|＞2，即 f(x)＞2. 由－2x＋12＝2，得 x＝5.
－3x x≤－2 正解：(1)f(x)＝－x＋4 －2<x≤1 ， 3x x>1 4 令－x＋4＝4 或 3x＝4，得 x＝0，x＝3，
4 所以，不等式 f(x)≥4 的解集是{x|x≤0 或 x≥3}. (2)f(x)在(－∞，1]上递减，[1，＋∞)递增， 所以 f(x)≥f(1)＝3， 由于不等式 f(x)<|m－2|的解集是非空的集合， 所以|m－2|>3，解之得 m<－1 或 m>5， 即实数 m 的取值范围是(－∞，－1)∪(5，＋∞).
第 7 讲
绝对值不等式
含绝对值不等式的解法 (1)等价转化法：利用公式进行转化．设 a>0， －a<f(x)<a ； |f(x)|<a⇔___________ f(x)<－a 或 f(x)>a . |f(x)|>a⇔_________________ (2)分类讨论法：进行零点分类，分类求解后取并集． (3)平方法：对于两边均有绝对值符号的不等式，可考虑两 边平方去掉绝对值符号后再解不等式．
所以|2x＋1|－|x－4|>2 的解集为
(2)由函数 y＝|2x＋1|－|x－4|的图像如图 5－7－1 可知，
图 5－7－1 1 9 当 x＝－2时，y＝|2x＋1|－|x－4|取得最小值－2.
对于比较复杂的含绝对值不等式的问题，若用 常规解法需分类讨论，去掉绝对值符号，解法繁琐，而灵活运 用绝对值的几何意义，往往能简便、巧妙地将问题解决．
高中数学高考第1节 绝对值不等式 课件
两招解不等式问题中的含参问题
自
主 回
(1)问题转化
课
顾
①把存在性问题转化为求最值问题，即 f(x)＞a 有解⇔f(x)max＞a.
后 限
②不等式的解集为 R 是指不等式的恒成立问题；
时 集
课
训
堂 考
③不等式的解集为∅的对立面也是不等式的恒成立问题，此类问
点
探 究
题都可转化为最值问题，即 f(x)＜a 恒成立⇔a＞f(x)max，f(x)＞a 恒成
课
.
后
限
2 [由|kx－4|≤2⇔2≤kx≤6.
时 集
训
∵不等式的解集为{x|1≤x≤3}，∴k＝2.]
返 首 页
15
4．不等式|x＋1|－|x－2|≥1 的解集是
．
课
前
自 主 回 顾
{x|x≥1}
－3，x≤－1，
[令 f(x)＝|x＋1|－|x－2|＝2x－1，－1＜x＜2， 3，x≥2.
当课 后 限
时
课 －1＜x＜2 时，
集 训
堂
考 点
由 2x－1≥1，解得 1≤x＜2.又当 x≥2 时，f(x)＝3＞1 恒成立．所
探
究 以不等式的解集为{x|x≥1}．]
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16
课
前
自 主 回
课堂考点探究
课
顾
后
限
时
集
课
训
堂
考
点
探
究
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17
课
前 自
考点 1 绝对值不等式的常用解法
主
回
解绝对值不等式的常用方法
前
自
主 回
高考数学一轮复习 第一节 不等式和绝对值不等式课件 理 新人教A版选修45(广东专用)
若f(x)＝x2－x＋c(c为常数)，|x－a|<1，求证：|f(x)－f(a)|<2(1 ＋|a|)． 【证明】 |f(x)－f(a)|＝|(x2－x＋c)－(a2－a＋c)| ＝|x2－x－a2＋a|＝|(x－a)(x＋a－1)| ＝|x－a||x＋a－1|＝|x－a||(x－a)＋(2a－1)|， ∵|x－a|<1. ∴|x－a||(x－a)＋(2a－1)|<|(x－a)＋(2a－1)| ≤|x－a|＋|2a－1|<1＋|2a|＋1＝2(1＋|a|)． 若不等式|f(x)－f(a)|<2(1＋|a|)成立．
综合 ①②③ 知，原不等式的解集为{x|x≥1}．
【答案】 (－∞，－3]∪[3，＋∞)
4．(2012·广州调研)不等式||xx＋ ＋12||≥1 的实数解为________．
【解析】 ||xx＋＋21||≥1⇔|x＋1|≥|x＋2|且 x＋2≠0， ∴x≤－23且 x≠－2.
【答案】 {x|x≤－32且 x≠－2}
绝对值不等式性质的应用
(2011·江西高考)对于实数x，y，若|x－1|≤1，|y－2|≤1， 则|x－2y＋1|的最大值为________． 【思路点拨】 思路一 将|x－2y＋1|变形，设法用x－1与y－ 2表示，利用绝对值不等式的性质求最值； 思路二 由|x－1|≤1，|y－2|≤1分别求x、y的范围，然后运用不 等式的性质和绝对值的意义求解．
含绝对值不等式的解法
(1)(2011·江苏高考)解不等式：x＋|2x－1|＜3. (2)不等式|x＋3|－|x－2|≥3的解集为________．
【思路点拨】 (1)将不等式x＋|2x－1|＜3化成|2x－1|＜3－x的 形式，然后用公式求解． (2)去|x＋3|与|x－2|的绝对值，按零点分区间讨论．
高考数学一轮复习 第七章 不等式 7.5 绝对值不等式课件
∴a+1=5,
∴a=4.综上,a=-6或a=4.
8.(2014广东,9,5分)不等式|x-1|+|x+2|≥5的解集为
.
答案 {x|x≤-3或x≥2}
解析
原不等式等价于
x 1, (x 1)
(
x
2)
5
或
2 x 1, (x 1) (x
2)
5
或
x ( x
2, 1)
(
x
高考数学 (浙江专用)
第七章 不等式
§7.5 绝对值不等式
五年高考
考点 含绝对值不等式的解法
1.(2016浙江,8,5分)已知实数a,b,c. ( ) A.若|a2+b+c|+|a+b2+c|≤1,则a2+b2+c2<100 B.若|a2+b+c|+|a2+b-c|≤1,则a2+b2+c2<100 C.若|a+b+c2|+|a+b-c2|≤1,则a2+b2+c2<100 D.若|a2+b+c|+|a+b2-c|≤1,则a2+b2+c2<100
2)
5,
解得x≥2或x≤-3.
故原不等式的解集为{x|x≤-3或x≥2}.
9.(2013重庆,16,5分)若关于实数x的不等式|x-5|+|x+3|<a无解,则实数a的取值范围是
.
答案 (-∞,8]
解析 由绝对值的几何意义得|x-5|+|x+3|的最小值为8,若|x-5|+|x+3|<a无解,应有a≤8. 故a的取值范围是(-∞,8].
高三数学高考第一轮复习课件：不等式
第六单元 │ 使用建议
使用建议
１．本单元内容理论性强，知识覆盖面广，因此教学中 应注意：
（１）复习不等式的性质时，要克服“想当然”和“显 然成立”的思维定式，一定使要用注建议意不等式成立的条件，强化 或者弱化了条件都有可能得出错误的结论．
第34讲 │ 编读互动 编读互动
第34讲 │ 知识要点 知识要点
第34讲 │ 知识要点
第34讲 │ 知识要点
第34讲 │ 双基固化 双基固化
第34讲 │ 双基固化
第34讲 │ 双基固化
第34讲 │ 双基固化
第34讲 │ 双基固化
第34讲 │ 双基固化
第34讲 │ 双基固化
第34讲 │ 双基固化
（１）理解不等式的性质及其证明． （２）掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于 它们的几何平均数的定理，并会简单的应用． （３）掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式． （４）掌握简单不等式的解法． （５）理解不等式｜ａ｜－｜ｂ｜≤｜ａ＋ｂ｜≤｜ａ｜＋｜ ｂ｜．
第六单元 │ 复习策略
复习策略
不等式
目录
第34讲 不等式的概念与性质 第35讲 均值不等式 第36讲 不等式的解法 第37讲 不等式的证明 第38讲 含绝对值的不等式
第六单元 不等式
第六单元 │ 知识框架 知识框架
第六单元 │ 考点解读 考点解读
不等式、不等式的基本性质、不等式的证明、不等式的 解法、含绝对值的不等式．
第六单元 │ 考点解读
第35讲 │ 双基固化
第35讲 │ 双基固化
第35讲 │ 双基固化
第35讲 │ 双基固化
高考苏教版数学理大一轮复习课件14.4.1不等式的基本性质、含有绝对值的不等式
基础知识·自主学习
要点梳理
难点正本 疑点清源
②利用“零点分段法”求解，体现了分类 讨论的思想； ③通过构造函数，利用函数的图象求解， 体现了函数与方程的思想．
解含有绝对值不等式时， 脱去 绝对值符号的方法主要有： 公 式法、分段讨论法、平方法、 几何法等． 这几种方法应用时 各有利弊， 在解只含有一个绝 对值的不等式时， 用公式法较 为简便； 但若不等式含有多个 绝对值时， 则应采用分段讨论 法； 应用平方法时， 要注意只 有在不等式两边均为正的情 况下才能施行． 因此， 我们在 去绝对值符号时， 用何种方法 需视具体情况而定．
思维启迪 解析 探究提高
＋1.
题型分类·深度剖析
题型一
【例1】
含绝对值不等式的解法
x 解不等式|x＋3|－|2x－1|< 2
思维启迪 解析 探究提高
利用零点分段法求解．
＋1.
题型分类·深度剖析
题型一 含绝对值不等式的解法
探究提高 思维启迪 解析 x 【例1】 解不等式|x＋3|－|2x－1|< 2 x 解 ①当x<－3时，原不等式化为－(x＋ 3)－(1－2x)< ＋1，解得 由于出现的结果有限，每次每 2 ＋1. 颗只能有四种结果，且每种结 x<10，∴x<－3.
解含有绝对值不等式时， 脱去 绝对值符号的方法主要有： 公 式法、分段讨论法、平方法、 几何法等． 这几种方法应用时 各有利弊， 在解只含有一个绝 对值的不等式时， 用公式法较 为简便； 但若不等式含有多个 绝对值时， 则应采用分段讨论 法； 应用平方法时， 要注意只 有在不等式两边均为正的情 况下才能施行． 因此， 我们在 去绝对值符号时， 用何种方法 需视具体情况而定．
高中数学一轮复习绝对值不等式
③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.
2.含有绝对值的不等式的性质 (1)如果a，b是实数，则 |a|－|b|≤|a±b|≤ |a|＋|b|，当且仅当 ab≥0 时，等号成立. (2)如果a，b，c是实数，那么 |a－c|≤|a－b|＋|b－c| ，当且仅 当 (a－b)(b－c)≥0 时，等号成立.
当x<－2时，不等式等价于－(x－1)－(x＋2)≥5，解得x≤－3；
当－2≤x<1时，不等式等价于－(x－1)＋(x＋2)≥5，即3≥5，无解；
当x≥1时，不等式等价于x－1＋x＋2≥5，解得x≥2.
综上，不等式的解集为{x|x≤－3或x≥2}.
5 1 (2)若关于 x 的不等式|ax－2|<3 的解集为{x|－3<x<3}，求 a 的值. 解答
1 (2)不等式|x＋x|≥|a－2|＋sin y 对一切非零实数 x，y 均成立，求实数 a 的取值范围.
解答
1 ∵x＋x∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)，
1 ∴|x＋x |∈[2，＋∞)，其最小值为 2.
又∵sin y的最大值为1， 1 故不等式|x＋x |≥|a－2|＋sin y 恒成立时， 有|a－2|≤1，解得a∈[1,3].
(a，＋∞)
(0，＋∞)
(2)|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法：
①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c ；
②|ax＋b|≥c⇔ ax＋b≥c或ax＋b≤－c ；
(3)|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法：
①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；
高考数学一轮复习第12章选修4系列第3讲绝对值不等式讲义理含解析
第3讲绝对值不等式1．绝对值不等式(1)定理如果a，b是实数，那么|a＋b|≤□01|a|＋|b|，当且仅当□02ab≥0时，等号成立．(2)如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|.当且仅当□03(a－b)(b－c)≥0时，等号成立，即b落在a，c之间．(3)由绝对值不等式定理还可以推得以下几个不等式①|a1＋a2＋…＋a n|≤|a1|＋|a2|＋…＋|a n|.②||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.2．绝对值不等式的解法(1)形如|ax＋b|≥|cx＋d|的不等式，可以利用两边平方的形式转化为二次不等式求解．(2)①绝对值不等式|x|>a与|x|<a的解集．②|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法．|ax＋b|≤c⇔□03－c≤ax＋b≤c(c>0)，|ax＋b|≥c⇔□04ax＋b≤－c或ax＋b≥c(c>0)．1．概念辨析(1)不等式|x－1|＋|x＋2|<2的解集为∅.( )(2)若|x|>c的解集为R，则c≤0.( )(3)|ax＋b|≤c(c≥0)的解集，等价于－c≤ax＋b≤c.( )(4)对|a－b|≤|a|＋|b|当且仅当ab≤0时等号成立．( )答案 (1)√ (2)× (3)√ (4)√ 2．小题热身(1)设a ，b 为满足ab <0的实数，那么( ) A ．|a ＋b |>|a －b | B ．|a ＋b |<|a －b | C ．|a －b |<||a |－|b || D ．|a －b |<|a |＋|b | 答案 B解析 ∵ab <0，∴|a －b |＝|a |＋|b |>|a ＋b |.(2)若不等式|kx －4|≤2的解集为{x |1≤x ≤3}，则实数k ＝________. 答案 2解析 由|kx －4|≤2⇔2≤kx ≤6.∵不等式的解集为{x |1≤x ≤3}，∴k ＝2. (3)函数y ＝|x －3|＋|x ＋3|的最小值为________． 答案 6解析 因为|x －3|＋|x ＋3|≥|(x －3)－(x ＋3)|＝6，当－3≤x ≤3时，|x －3|＋|x ＋3|＝6，所以函数y ＝|x －3|＋|x ＋3|的最小值为6.(4)不等式|x －1|－|x －5|<2的解集是________． 答案 (－∞，4)解析 |x －1|－|x －5|表示数轴上对应的点x 到1和5的距离之差．而数轴上满足|x －1|－|x －5|＝2的点的数是4，结合数轴可知，满足|x －1|－|x －5|<2的解集是(－∞，4)．题型 一 解绝对值不等式设函数f (x )＝|2x ＋1|－|x －4|. (1)解不等式f (x )>2； (2)求函数y ＝f (x )的最小值．解 (1)解法一：令2x ＋1＝0，x －4＝0分别得x ＝－12，x ＝4.原不等式可化为：⎩⎪⎨⎪⎧x <－12，－x －5>2或⎩⎪⎨⎪⎧－12≤x <4，3x －3>2或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥4，x ＋5>2.∴原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－7或x >53. 解法二：f (x )＝|2x ＋1|－|x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －5，x <－12，3x －3，－12≤x <4，x ＋5，x ≥4.画出f (x )的图象，如图所示．求得y ＝2与f (x )图象的交点为(－7,2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫53，2. 由图象知f (x )>2的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－7或x >53. (2)由(1)的解法二知，f (x )min ＝－92.条件探究 把举例说明中函数改为“f (x )＝|x ＋1|－|2x －3|”，解不等式|f (x )|>1.解 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≤－1，3x －2，－1<x ≤32，－x ＋4，x >32，y ＝f (x )的图象如图所示．由f (x )的表达式及图象，当f (x )＝1时，可得x ＝1或x ＝3； 当f (x )＝－1时，可得x ＝13或x ＝5，故f (x )>1的解集为{x |1<x <3}；f (x )<－1的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <13或x >5.所以|f (x )|>1的解集为{|x x <13或1<x <3或x >5.解|x －a |＋|x －b |≥c 或|x －a |＋|x －b |≤c 的一般步骤 (1)零点分段法①令每个含绝对值符号的代数式为零，并求出相应的根；②将这些根按从小到大排序并以这些根为端点把实数集分为若干个区间； ③由所分区间去掉绝对值符号组成若干个不等式，解这些不等式，求出解集； ④取各个不等式解集的并集求得原不等式的解集． (2)利用|x －a |＋|x －b |的几何意义数轴上到点x 1＝a 和x 2＝b 的距离之和大于c 的全体，|x －a |＋|x －b |≥|x －a －(x －b )|＝|a －b |.(3)图象法：作出函数y 1＝|x －a |＋|x －b |和y 2＝c 的图象，结合图象求解．见举例说明．提醒：易出现解集不全的错误．对于含绝对值的不等式，不论是分段去绝对值号还是利用几何意义，都要不重不漏．1．求不等式|x －1|＋|x ＋2|≥5的解集．解 当x <－2时，不等式等价于－(x －1)－(x ＋2)≥5，解得x ≤－3；当－2≤x <1时，不等式等价于－(x －1)＋(x ＋2)≥5，即3≥5，无解； 当x ≥1时，不等式等价于x －1＋x ＋2≥5，解得x ≥2. 综上，不等式的解集为{x |x ≤－3或x ≥2}．2．若关于x 的不等式|ax －2|<3的解集为{|x －53<x <13，求a 的值．解 ∵|ax －2|<3，∴－1<ax <5. 当a >0时，－1a <x <5a ，－1a ＝－53，且5a ＝13无解； 当a ＝0时，x ∈R ，与已知条件不符； 当a <0时，5a <x <－1a ，5a ＝－53，且－1a ＝13，解得a ＝－3.题型 二 绝对值不等式性质的应用角度1 用绝对值不等式的性质求最值 1．设函数f (x )＝|2x －3|.(1)求不等式f (x )>5－|x ＋2|的解集；(2)若g (x )＝f (x ＋m )＋f (x －m )的最小值为4，求实数m 的值． 解 (1)∵f (x )>5－|x ＋2|可化为|2x －3|＋|x ＋2|>5， ∴当x ≥32时，原不等式化为(2x －3)＋(x ＋2)>5，解得x >2，∴x >2；当－2<x <32时，原不等式化为(3－2x )＋(x ＋2)>5，解得x <0，∴－2<x <0；当x ≤－2时，原不等式化为(3－2x )－(x ＋2)>5，解得x <－43，∴x ≤－2.综上，不等式f (x )>5－|x ＋2|的解集为(－∞，0)∪(2，＋∞)． (2)∵f (x )＝|2x －3|，∴g (x )＝f (x ＋m )＋f (x －m )＝|2x ＋2m －3|＋|2x －2m －3|≥|(2x ＋2m －3)－(2x －2m －3)|＝|4m |，∴依题意有4|m |＝4，解得m ＝±1.角度2 用绝对值不等式的性质证明不等式 (多维探究)2．设a >0，|x －1|<a 3，|y －2|<a3，求证：|2x ＋y －4|<a .证明 因为|x －1|<a 3，|y －2|<a3， 所以|2x ＋y －4|＝|2(x －1)＋(y －2)| ≤2|x －1|＋|y －2|<2×a 3＋a3＝a .即|2x ＋y －4|<a .结论探究 举例说明条件不变，求证：|x －2y ＋1|<a ＋2. 证明 |x －2y ＋1|＝|(x －1)－2(y －1)|<|x －1|＋|2(y －1)|＝|x －1|＋|2(y －2)＋2|<|x －1|＋2|y －2|＋2a 3＋2·a3＋2＝a ＋2.1．证明绝对值不等式的三种主要方法(1)利用绝对值的定义去掉绝对值符号，转化为普通不等式再证明． (2)利用三角不等式||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |进行证明． (3)转化为函数问题，利用数形结合进行证明． 2．用绝对值不等式的性质求最值的方法利用不等式|a ＋b |≤|a |＋|b |(a ，b ∈R )和|a －b |≤|a －c |＋|c －b |(a ，b ∈R )，通过确定适当的a ，b ，利用整体思想或使函数、不等式中不含变量，可以求最值．(2018·江西南昌模拟)已知函数f (x )＝|2x －a |＋|x －1|. (1)若不等式f (x )≤2－|x －1|有解，求实数a 的取值范围； (2)当a <2时，函数f (x )的最小值为3，求实数a 的值． 解 (1)由题意f (x )≤2－|x －1|，即为⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －a 2＋|x －1|≤1.而由绝对值的几何意义知⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －a2＋|x －1|≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪a2－1， 由不等式f (x )≤2－|x －1|有解，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪a2－1≤1，即0≤a ≤4.∴实数a 的取值范围是[0,4]．(2)由2x －a ＝0得x ＝a2，由x －1＝0得x ＝1， 由a <2知a2<1，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋a ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫x <a 2，x －a ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2≤x ≤1，3x －a －x函数的图象如图所示．∴f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝－a2＋1＝3，解得a ＝－4.题型 三 与绝对值不等式有关的参数范围问题(2018·全国卷Ⅰ)已知f (x )＝|x ＋1|－|ax －1|. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )>1的解集；(2)若x ∈(0,1)时不等式f (x )>x 成立，求a 的取值范围． 解 (1)当a ＝1时，f (x )＝|x ＋1|－|x －1|， 即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2，x ≤－1，2x ，－1<x <1，2，x ≥1.故不等式f (x )>1的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >12. (2)当x ∈(0,1)时|x ＋1|－|ax －1|>x 成立等价于当x ∈(0,1)时|ax －1|<1成立． 若a ≤0，则当x ∈(0,1)时，|ax －1|≥1，不符合题意；若a >0，|ax －1|<1的解集为0<x <2a ，所以2a≥1，故0<a ≤2.综上，a 的取值范围为(0,2]．条件探究 把举例说明函数改为“f (x )＝|2x －1|－|x －a |”，若x ∈(－1,0)时，f (x )>1有解，求a 的取值范围．解 当x ∈(－1,0)时，f (x )>1有解⇔|x －a |<－2x 有解⇔2x <x －a <－2x 有解⇔3x <a <－x 有解，∵3x >－3，－x <1，∴－3<a <1，即实数a 的取值范围是(－3,1)．两招解不等式问题中的含参问题(1)第一招是转化．①把存在性问题转化为求最值问题；②不等式的解集为R 是指不等式的恒成立问题；③不等式的解集为∅的对立面也是不等式的恒成立问题，此类问题都可转化为最值问题，即f (x )<a 恒成立⇔a >f (x )max ，f (x )>a 恒成立⇔a <f (x )min .(2)第二招是求最值．求含绝对值的函数最值时，常用的方法有三种：①利用绝对值的几何意义；②利用绝对值三角不等式，即|a |＋|b |≥|a ±b |≥||a |－|b ||；③利用零点分区间法．已知f (x )＝|x －a |，a ∈R .(1)当a ＝1时，求不等式f (x )＋|2x －5|≥6的解集；(2)若函数g (x )＝f (x )－|x －3|的值域为A ，且[－1,2]⊆A ，求实数a 的取值范围． 解 (1)当a ＝1时，不等式为|x －1|＋|2x －5|≥6. 当x ≤1时，不等式可化为－(x －1)－(2x －5)≥6， 解得x ≤0，所以x ≤0；当1<x <52时，不等式可化为(x －1)－(2x －5)≥6，解得x ≤－2，所以x ∈∅；当x ≥52时，不等式可化为(x －1)＋(2x －5)≥6，解得x ≥4，所以x ≥4.综上所述，原不等式的解集为{x |x ≤0或x ≥4}． (2)因为|g (x )|＝||x －a |－|x －3|| ≤|x －a －(x －3)|＝|a －3|， 所以g (x )∈[－|a －3|，|a －3|]，所以函数g (x )的值域A ＝[－|a －3|，|a －3|]， 因为[－1,2]⊆A ，所以⎩⎪⎨⎪⎧－|a －3|≤－1，|a －3|≥2，解得a ≤1或a ≥5.所以实数a 的取值范围是(－∞，1]∪[5，＋∞)．。
2020版高考数学不等式选讲第1讲绝对值不等式课件
含绝对值不等式解法的常用方法
1．(2018· 高考全国卷Ⅱ)设函数 f(x)＝5－|x＋a|－|x－2|. (1)当 a＝1 时，求不等式 f(x)≥0 的解集； (2)若 f(x)≤1，求 a 的取值范围．
解：(1)当 a＝1 时， 2x＋4，x≤－1， f(x)＝2，－1＜x≤2， －2x＋6，x＞2. 可得 f(x)≥0 的解集为{x|－2≤x≤3}． (2)f(x)≤1 等价于|x＋a|＋|x－2|≥4. 而|x＋a|＋|x－2|≥|a＋2|，且当 x＝2 时等号成立．故 f(x)≤1 等 价于|a＋2|≥4. 由|a＋2|≥4 可得 a≤－6 或 a≥2.所以 a 的取值范围是 (－∞，－6]∪[2，＋∞)．
2．已知函数 f(x)＝|x＋1|－|2x－3|. (1)画出 y＝f(x)的图象； (2)求不等式|f(x)|＞1 的解集．
x－4，x≤－1， 3x－2，－1＜x≤3， 2 解：(1)f(x)＝ 3 －x＋4，x＞ ， 2 y＝f(x)的图象如图所示．
(2)由 f(x)的表达式及图象知， 当 f(x)＝1 时， 可得 x＝1 或 x＝3； 1 当 f(x)＝－1 时，可得 x＝ 或 x＝5. 3 故 f(x) ＞ 1 的 解 集 为 {x|1 ＜ x ＜ 3} ； f(x) ＜ － 1 的 解 集 为
1 xx＜ 或x＞5. 3
所以|f(x)|＞1
1 的解集为xx＜3或1＜x＜3或x＞5.
绝对值不等式性质的应用(师生共研)
3 1 设不等式|x－2|<a(a∈N )的解集为 A，且 ∈A， ∉A. 2 2
*
(1)求 a 的值； (2)求函数 f(x)＝|x＋a|＋|x－2|的最小值．
第一讲 不等式和绝对值不等式 知识归纳 课件(人教A选修4-5)
对于不等式恒成立求参数范围问题，常见类型及其解法
如下：
(1)分离参数法：
运用“f(x)≤a⇔f(x)max≤a，f(x)≥a⇔f(x)min≥a”可解决恒成立
中的参数范围问题．
(2)更换主元法：
不少含参不等式恒成立问题，若直接从主元入手非常 困难或不可能时，可转换思维角度，将主元与参数互换，
常可得到简捷的解法．
5 ②当－ ≤x≤2 时， 2 3 原不等式变形为 2－x－2x－5>2x，解得 x<－ . 5 5 3 ∴解集为{x|－ ≤x<－ }． 2 5 ③当 x>2 时，原不等式变形为 x－2－2x－5>2x， 7 解得 x<－ ，∴原不等式无解． 3 3 综上可得，原不等式的解集为{x|x<－ }. 5
2|≤1＋2|y－2|＋2≤5，即|x－2y＋1|的最大值为5.
答案：5
3．(2011· 陕西高考)若不等式|x＋1|＋|x－2|≥a对任意x∈R 恒成立，则a的取值范围是________．
解析：令 f(x)＝|x＋1|＋|x－2|＝ －2x＋1x≤－1， 3－1<x<2， 2x－1x≥2， ∴f(x)≥3. ∵|x＋1|＋|x－2|≥a 对任意 x∈R 恒成立，∴a≤3.
[解析]
x＋3z 由 x－2y＋3z＝0 得 y＝ ， 2
2 2 y2 x ＋9z ＋6xz 6xz＋6xz 则xz＝ ≥ ＝3， 4xz 4xz
当且仅当 x＝3z 时取“＝”．
[答案]
3ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 1 1 [例 3] 设 a， c 为正实数， b， 求证：3＋ 3＋ 3＋abc≥2 3. a b c 1 [证明]因为 a，b，c 为正实数，由平均不等式可得 3＋ a
高三一轮复习课件绝对值不等式的解法(共16张PPT)
高三一轮复习
典例导练
变式2.解不等式 x 1 ≥ x 1 .
解析：（1）零点分段
原不等式可化为
1
x 1 x
或 1
x
x ≥1 1≥ x
1
解得x ≤ 0或x
所以原不等式的解集为（ ,0].
高三一轮复习
典例导练
江西省宁都中学
变式2.解不等式 x 1 ≥ x 1 .
解析： （2）函数图像
（3）平方
（1）当a 1时，求不等式f (x) 1的解集；
（2）若x (0,1)时，不等式f (x) x成立，求a的取值范围.
(2)当x (0,1)时，x 1 x 1, f (x) x可化为 ax 1 1,
当x (0,1)时，不等式 1 ax 1 1恒成立，即0 ax 2恒成立，
“分”：0 a 2 恒成立，而x (0,1)时，2 (2,), a (0,2].
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谢 谢观 看
同在一个环境中生活，强者与弱者的分界就在于谁能改变它。顽强的毅力改变可以征服世界上任何一座高峰。望远镜可以望见远的目标，却不能代替你走半步。 伟大的成就，来自为远大的目标所花费的巨大心思和付诸的最大努力。我不能说只要坚持就能怎样，但是只要放弃就什么都没有了。有压力，但不会被压垮；迷 茫，但永不绝望。沉湎于希望的人和守株待兔的樵夫没有什么两样。你花时间做什么事，你就会成为什么样的人！人生没有彩排，每一天都是现场直播。人生最 大的成就是从失败中站起来要做一件事，成功之前，没有必要告诉其他人。成功之后不用你说，其他人都会知道的。这就是信息时代所带来的效应。天下最宝贵 的，莫如时日；天下最能奢侈的，莫如浪费时不论你在什么时候开始，重要的是开始之后就不要停止。面对困境，悲观的人因为往往只看到事情消极一面。人生 的路，说长也很长，说短也很短。偶遇不幸或挫败只能证明某一时候某一方面的不足或做得不够。如果把才华比作剑，那么勤奋就是磨刀石。才能一旦让懒惰支 配，它就一无可为。很多时候，人并不是因为失败而烦恼；而是因为失败后找不到任何借口而烦恼。假如樵夫害怕荆棘，船只避忌风浪，铁匠畏惧火星，那么， 世界就会变成另一副模样。每一个人都多多少少有点惰性。一个人的意志力量不够推动他自己，他就失败，谁最能推动自己，谁就最先得到成功。目标的坚定是 性格中最必要的力量源泉之一，也是成功的利器之一。人的肉体可以随着时间的推移而衰老，而赋予人的生命的思想却可以青春永驻，与日月同存。人生是个圆， 有的人走了一辈子也没有走出命运画出的圆圈，其实，圆上的每一个点都有一条腾飞的切线。人生是伟大的宝藏，我晓得从这个宝藏里选取最珍贵的珠宝。日复 明日，明日何其多？我生待明日，万事成蹉跎。只要是辛勤的蜜蜂，在生活的广阔原野里，到处都可以找到蜜源。不要对挫折叹气，姑且把这一切看成是在你成 大事之前，必须经受的准备工作。不要为已消逝之年华叹息，须正视欲匆匆溜走的时光。不要在这个努力拼搏的年纪去选择安逸。不做准备的人是准备失败的人！ 在任何苦难中能发现好的一面！成功就是你坚持不住的时候，在坚持一下。成功是一种观念，成功是一种思想，成功是一心态，成功是一种习惯。成名每在穷苦 日，败事多因得意时。大道理人人都懂，小情绪却是难以自控。当你的能力还驾驭不了你的目标时，那你就应该沉下心来历练。当你停下来休息的时候，不要忘 记别人还在奔跑。第二名意味着你是头号输家。钢钎与顽石的碰撞声，是一首力的歌曲。格局被理想撑大，事业由梦想激发。光说不干，事事落空；又说又干， 马到成功。过去的时间会永远流入无边的黑洞，永不再回来，所以要珍惜当下的每一秒。海浪的品格，就是无数次被礁石击碎又无数闪地扑向礁石。行动是治愈 恐惧的良药，而犹豫、拖延将不断滋养恐惧。积极者相信只有推动自己才能推动世界，只要推动自己就能推动世界。即使脚步下是一片岩石，它也会迸发出火花， 只要你拿起铁锤钢钎。假如生活欺骗了你，不要心焦，也不要烦恼。阴郁的日子里要心平气和，相信吧，那快乐的日子就来到。——普希金驾驭命运的舵是奋斗。 不抱有一丝幻想，不放弃一点机会，不停止一日努力。坚持把简单的事情做好就是不简单，坚持把平凡的事情做好就是不平凡。所谓成功，就是在平凡中做出不 平凡的坚持。今天有许多人不是不愿接受新观念，而是不愿抛弃旧观念。拒绝严峻的冶炼，矿石并不比被发掘前更有价值。59.只有经历地狱般的磨练，才能炼出 创造天堂的力量。怕吃苦的人苦一辈子，不怕吃苦的人苦一阵子。抛掉过去，不一定有好的开始，但一定不会比过去坏。如果你坚信自己最优秀，那么你就最聪 明。如果你真心选择去做一件事，那么全世界都是帮助你的。如果缺少破土面出并与风雪拚搏的勇气，种子的前途并不比落叶美妙一分。生活会辜负努力的人， 但不会一直辜负努力的人。失败的历程也是成功的历程。时间会告诉你一切真相。有些事情，要等到你渐渐清醒了，才明白它是个错误；有些东西，要等到你真 正放下了，才知道它的沉重。实现自己既定的目标，必须能耐得住寂寞单干输在犹豫，赢在行动。树苗如果因为怕痛而拒绝修剪，那就永远不会成材。头脑是日 用品，而不是装饰品。忠告：人在生气、烦恼、情绪不稳定是最好不要去作出任何的选择、决定。种一棵树最好的时间是十年之前，其次，是现在。自己的路自 己走，无论是苦是累，甚至是失败，都要去承担，只要是自己的选择，就无怨无悔。最困难的时候，就是距离成功不远了。人生四然：来是偶然，去是必然，尽 其当然，顺其自然。人生舞台的大幕随时都可能