高一数学二倍角的正
吉林省吉林市高一数学 第三章第2节《二倍角的正弦、余弦、正切(2)》教案 新人教B版必修4
1吉林省吉林市高一数学 第三章第2节《二倍角的正弦、余弦、正切（2）》教案 新人教B 版必修4：（一）复习：1．二倍角的正弦、余弦、正切公式。
2．练习：①=π-ππ+π)125cos125)(sin125cos125(sin2365cos125cos125sin22=π-=π-π．②若tan 3θ=，求sin 2cos 2θθ-的值。
（解答：2222222sin cos sin cos 2tan tan 17sin 2cos 2sin cos 1tan 5θθθθθθθθθθθ+-+--===++）．（二）新课讲解：例1．利用三角公式化简：)10tan 31(50sin+．解：原式10cos )10sin 2310cos 21(250sin )10cos 10sin 31(50sin +⋅=+=10cos 40sin 50sin 210cos 10sin 30cos 10cos 30sin 50sin 2=+⋅=110cos 80sin 10cos 40sin 40cos 2===．例2．求证21sin 4cos 41sin 4cos 42tan 1tan θθθθθθ+-++=-．证明：原式等价于22tan 1sin 4cos 4(1sin 4cos 4)1tan θθθθθθ+-=++-， 即：1sin 4cos 4tan 2(1sin 4cos 4)θθθθθ+-=++ （*）而（*）式右边tan 2(1cos 4sin 4)θθθ=++ 2sin 2(2cos 2sin 2cos 2)cos 2θθθθθ=+222sin 2cos 22sin 2θθθ=+ sin 41cos 4θθ=+-=左边， 所以，（*）式成立，原式得证。
【变式练习】已知223sin 2sin 1,3sin 22sin 20αβαβ+=-=，求证：cos(2)0αβ+=． 例3．求函数)7cos(2)722cos(π+-π+=x x y 的值域。
二倍角的正弦、余弦、正切公式第一课时教案-数学高一必修4第三章三角恒等变换3.1.3人教A版
第三章 三角恒等变换3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式3.1.1 两角差的余弦公式一、学习目标 1.知识与技能(1)掌握用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用. (2)能用两角差的余弦公式化简、求值.(重点) 2.过程与方法通过公式的推导，领会其中的数学基本思想，掌握研究数学的基本方法，从而提高数学素质.3.情感、态度与价值观通过公式的推导，了解它们的内在联系和知识的发展过程，体会一般与特殊的关系与转化，培养利用联系、变化的辩证唯物主义观点去分析问题的能力.二、教学重点难点重点：灵活运用两角差的余弦公式. 难点：用向量推导两角差的余弦公式. 三、专家建议通过对两角差的余弦公式的推理，变形应用的学习，以及两角差的余弦公式的正用、逆用和变用的学习，从而培养发现思维能力，变异思维能力，分析问题解决问题的能力，强化数学探究意识，掌握转化与化归的数学思想方法。
四、教学方法自学-训练-点拨-练习-总结 五、教学过程 ●课堂探究知识点 两角差的余弦公式 【问题导思】1.单位圆中(如图)，∠AOx ＝α，∠BOx ＝β，那么A ，B 的坐标是什么？OA →与OB →的夹角是多少？【提示】A (cos α，sin α)，B (cos β，sin β). OA →与OB →的夹角是α－β.2.你能用哪几种方法计算OA →·OB →的数量积？【提示】 ①OA →·OB →＝|OA →||OB →|cos(α－β)＝cos(α－β)，②OA →·OB →＝cos αcos β＋sin αsin β. 3.根据上面的计算可以得出什么结论？ 【提示】 cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β. 两角差的余弦公式●典例剖析类型1 运用公式求值例1.求下列各式的值：(1)cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)； (2)cos 7°－sin 15°sin 8°cos 8°.【思路探究】 (1)将α－35°，25°＋α分别视为一个角，逆用公式可得解. (2)由7°＝15°－8°，可用两角差的余弦公式解决.【自主解答】 (1)原式＝cos[(α－35°)－(25°＋α)]＝cos(－60°)＝cos 60°＝12. (2)原式＝cos (15°－8°)－sin 15°sin 8°cos 8°＝cos 15°cos 8°＋sin 15°sin 8°－sin 15°sin 8°cos 8°＝cos 15°cos 8°cos 8°＝cos 15°＝cos(45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°＝22×32＋22×12＝6＋24.【总结提升】1.两角差的余弦公式中，α，β可以是单个角，也可以是两个角的和或差，在运用公式时常将两角的和或差视为一个整体.2.在两角差的余弦公式求值应用中，一般思路是：(1)把非特殊角转化为特殊角的和或差，正用公式直接求值.(2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角和差的余弦公式的结构形式，然后逆用公式求值.【变式训练】求值：cos 75°cos 15°－sin 255°sin 15°.【解】cos 75°cos 15°－sin 255°sin 15°＝cos 75°cos 15°＋sin 75°sin 15°＝cos(75°－15°)＝cos 60°＝1 2.类型2 给值求值例2.设cos(α－β2)＝－19，sin(α2－β)＝23，且π2＜α＜π，0＜β＜π2，求cosα＋β2的值.【思路探究】由已知可求得α－β2，α2－β的正弦、余弦.只须将α＋β2用已知条件中的角α－β2，α2－β表示出来，注意α－β2和α2－β的范围.用两角和与差的三角函数公式展开即得结论. 【自主解答】∵π2＜α＜π，0＜β＜π2，∴π4＜α－β2＜π，－π4＜α2－β＜π2.又cos(α－β2)＝－19，sin(α2－β)＝23.∴sin(α－β2)＝1－cos2(α－β2)＝459，cos(α2－β)＝1－sin 2(α2－β)＝53.∴cos α＋β2＝cos[(α－β2)－(α2－β)] ＝cos(α－β2)cos(α2－β)＋sin(α－β2)sin(α2－β) ＝－19×53＋459×23＝7527.【总结提升】1.利用差角的余弦公式求值时，不能机械地从表面去套公式，而要变通地从本质上使用公式，即把所求的角分解成某两个角的差，并且这两个角的正、余弦函数值是已知的或可求的，再代入公式即可求解.2.在将所求角分解成某两角的和(差)时，应注意如下变换：α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝(2α－β)－(α－β)， 2α＝[(β＋α)－(β－α)]等. 【变式训练】α，β为锐角，cos(α＋β)＝1213，cos(2α＋β)＝35，求cos α的值. 【解】∵α，β为锐角，∴0＜α＋β＜π. 又∵cos(α＋β)＝1213，∴0＜α＋β＜π2， ∴0＜2α＋β＜π.又∵cos(2α＋β)＝35，∴0＜2α＋β＜π2， ∴sin(α＋β)＝513，sin(2α＋β)＝45， ∴cos α＝cos[(2α＋β)－(α＋β)]＝cos(2α＋β)·cos(α＋β)＋sin(2α＋β)·sin(α＋β) ＝35×1213＋45×513＝5665. 类型3 给值求角例3.已知α，β均为锐角，cos α＝17，sin(α＋β)＝5314，求角β的值.【思路探究】 解决本题的关键是根据已知条件，分别求出α的正弦值与α＋β的余弦值.再由β＝(α＋β)－α求出cos α，从而可以根据β的范围求出β的值.【自主解答】 ∵0＜α＜π2，cos α＝17. ∴sin α＝1－cos 2α＝437.又∵0＜β＜π2，∴0＜α＋β＜π.∵sin(α＋β)＝5314＜sin α，∴cos(α＋β)＝－1－sin 2(α＋β)＝－1114.∴cos β＝cos[(α＋β)－α] ＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝(－1114)×17＋5314×437＝12. 又∵0＜β＜π2，∴β＝π3.【总结提升】解答给值求角问题的步骤： (1)求角的某一个三角函数值； (2)确定角所在的范围； (3)根据角的范围写出所求的角.特别注意：根据题意选择求角的正弦值、余弦值还是正切值，同时要注意缩小所求角的范围，最好把角的范围缩小在某一三角函数的单调区间内.【变式训练】已知sin α＝16，cos β＝13，且α，β均为锐角，求cos(α-β)的值.【解】∵sin α＝16，cos β＝13，且α，β均为锐角，∴cos α＝1－sin 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫162＝356，sin β＝1－cos 2β＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝223.∴cos(α-β)＝cos αcos β+sin αsin β＝356×13+16×223＝.●课堂小结对公式C (α－β)的理解：(1)公式中的α，β为任意角公式中的α，β不仅可以是任意具体的角，也可以是一个“团体”，比如cos(α＋β2－α－β2)中的“α＋β2”相当于角α，“α－β2”相当于角β，可用两角差的余弦公式展开.因此对公式的理解要注重结构形式，而不要局限于具体的角，完全可以把α，β视为一个“代号”，将公式记作cos(△－□)＝cos△cos□＋sin△sin□.(2)公式C(α－β)的结构特点①同名函数相乘：即两角余弦乘余弦，正弦乘正弦.②把所得的积相加.六、板书设计两角差的余弦公式七．当堂检测1.(2014·天水高一检测)cos 15°＝()A.6－22 B.6＋22C.6－24 D.6＋24【解析】cos 15°＝cos(45°－30°)＝cos 45°·cos 30°＋sin 45°sin 30°＝22×32＋22×12＝6＋24，故选D.【答案】 D2.(2014·乐清高一检测)化简sin(x＋y)sin(x－y)+cos(x＋y)cos(x－y)的结果为()A.sin 2xB.cos 2yC.－cos2yD.－sin 2x【解析】原式＝cos[(x＋y)-(x－y)]＝cos 2y，故选B.【答案】 B3.(2014·青岛高一检测)已知sin θ＝－513，且θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，32π，那么cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝________. 【解析】 ∵sin θ＝－513且θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，32π，∴cos θ＝－1213，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝cos θcos π4＋sin θ·sin π4＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－513－1213＝－17226.【答案】 －172264.已知α，β均为锐角，且sin α＝55，cos β＝1010，求α－β的值. 【解】 ∵cos β＝1010，sin α＝55，α，β为锐角， ∴sin β＝31010，cos α＝255. ∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β ＝255×1010＋55×31010＝22. 又∵sin α＜sin β，∴α＜β. ∴－π2＜α－β＜0.∴α－β＝－π4.。
高一数学必修4313二倍角的正弦余弦正切公式PPT课件
A．6
B．－34
C．－38
9 D.8
[答案] B [解析] tan2α＝1－2tatannα2α＝12－×332＝－34.
第三章 3.1 3.1.3
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[拓展]倍角公式的变形公式 剖析：(1)公式的逆用： 2sinαcosα＝sin2α；sinαcosα＝12sin2α； cosα＝s2isni2nαα； cos2α－sin2α＝cos2α； 1－2tatannα2α＝tan2α.
第三章 三角恒等变换
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课前自主预习 思路方法技巧 名师辨误做答
随堂应用练习 课后强化作业
第三章 3.1 3.1.3
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课前自主预习
第三章 3.1 3.1.3
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温故知新 1．cos(α±β)＝________；sin(α±β)＝________；tan(α±β) ＝________. [答案] cosαcosβ∓sinαsinβ sinαcosβ±cosαsinβ tanα±tanβ 1∓tanαtanβ
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思路方法技巧
第三章 3.1 3.1.3
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命题方向 倍角公式的正用 从题设出发，顺着问题的线索，符合公式的特点，直接 应用倍角公式． [例1] 已知sinα＝45，求sin2α、cos2α、tan2α的值．
第三章 3.1 3.1.3
第三章 3.1 3.1.3
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2．sin21°cos39°＋cos21°sin39°等于( )
二倍角的正弦、余弦、正切公式
归纳小结
(1)二倍角公式是和角公式的特例，体现了 二倍角公式是和角公式的特例， 二倍角公式是和角公式的特例 将一般化归为特殊的基本数学思想方法。 将一般化归为特殊的基本数学思想方法。 (2)二倍角公式与和角、差角公式一样，反 二倍角公式与和角、 二倍角公式与和角 差角公式一样， 映的都是如何用单角α的三角函数值表示 映的都是如何用单角 的三角函数值表示 复角（ 的三角函数值， 复角（和、差、倍）的三角函数值，结合 前面学习到的同角三角函数关系式和诱导 公式可以解决三角函数中有关的求值、 公式可以解决三角函数中有关的求值、化 简和证明问题。 简和证明问题。
化简 sin 50 (1 + 3 tan10 )
o o
cos10o + 3 sin 10o o 解： 原式 = sin 50 ⋅ o cos10 o o 2 sin 40 = sin 50 ⋅ o cos10 o o 2 sin 40 = cos 40 ⋅ o cos10 o sin 80 = =1 o cos10
［例2］若270°＜α＜360°， 化简：
1 1 + 2 2
求值
1 1 + cos 2α 2 2
（1）cos80°cos40°cos20° （2）sin10°sin30°sin50°sin70°
例3
1+sin2 −cos2 θ θ 求 ： 证 = tanθ 1+sin2 +cos2 θ θ
2
1 + 2 sin θ cos θ − (1 − 2 sin θ ) 证明： 证明：左边 = 2 1 + 2 sin θ cos θ + ( 2 cos θ − 1)
同样对于正切也有这样的结论
5.5.1第三课时二倍角的正弦、余弦、正切公式课件高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
2
+
1-cos (2 -30°)
2
+cos θsin θ
1
=1+2(cos 2θcos 30°-sin 2θsin 30°-cos 2θcos 30°-sin 2θsin 30°)
1
1
+2sin 2θ=1-sin 2θsin 30°+2sin 2θ=1.
(2)证明 左边=
(1-cos2 )+sin2
A.2sin 15°cos 15°
B.cos215°－sin215°
C.2sin215°
D.sin215°＋cos215°
2.若 sin
α
3
＝ ，则 cos α等于
2 3
2
1
A.－
B.－
3
3
π
π
3.sin4 －cos4 等于
12
12
1
A.－
2
B.－
3
2
1
C.
3
1
C.
2
2
D.
3
D.
3
2
跟踪训练
4.cos275°＋cos215°＋cos 75°cos 15°的值等于
二倍关系.
(3)注意几种公式的灵活应用，如：
①sin
π
π
2x＝cos2－2x＝cos24－x
＝2cos
②cos
π
π
2x＝sin2－2x＝sin24－x
π
π
＝2sin4－xcos4－x.
5.5.1二倍角的正弦、余弦、正切公式2024-2025学年高一上学期数学人教A版(2019)必修一
2
2
即 cos 2α=cos α-sin α;tan(α+α)=
,即 tan 2α=
.
-
-
2.根据同角三角函数的基本关系sin2α+cos2α=1,能否只用sin α
或cos α表示cos 2α?
提示:cos 2α=cos2α-sin2α=cos2α-(1-cos2α)=2cos2α-1;
=
+
+
-
=sin +cos +sin -cos =2sin .
以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改
正?你如何防范?
提示:在去根号时,对 sin±cos的符号未加以讨论,导致化简
错误.
正解:原式= + + -
+
=
+
=
.
D.
)
探究三 利用倍角公式化简、证明
【例 3】 化简:
-
-
+
.
分析:首先切化弦,然后利用二倍角公式统一角,最后化简得结
果.
解:方法一:
原式=
-
-
·
=-
.
2.将本例变为“已知 sin
又 sin
人教版高一数学必修四第三章二倍角的正弦、余弦、正切公式
3．1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式考点学习目标核心素养二倍角的正弦、余弦、正切公式会推导二倍角的正弦、余弦、正切公式逻辑推理二倍角的正弦、余弦、正切公式的应用能够灵活运用二倍角公式解决求值、化简和证明等问题数学运算、逻辑推理问题导学预习教材P132－P134，并思考下列问题：1．在公式C(α＋β)，S(α＋β)和T(α＋β)中，若α＝β，公式还成立吗？2．在上述公式中，若α＝β，能得出什么结论？二倍角的正弦、余弦、正切公式名称公式推导记法正弦sin 2α＝2sin__αcos__αS(α＋β)――→令β＝αS2αS2α余弦cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2αC(α＋β)――→令β＝αC2α利用sin2α＋cos2α＝1消去sin2α或cos2αC2α正切tan 2α＝2tan α1－tan2αT(α＋β)――→令β＝αT2αT2α正确理解二倍角公式(1)要注意公式应用的前提是所含各三角函数有意义．(2)倍角公式中的“倍角”是相对的，对于两个角的比值等于2的情况都成立，如6α是3α的2倍，3α是3α2的2倍．这里蕴含着换元思想．这就是说，“倍”是相对而言的，是描述两个数量之间的关系的．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)10α是5α的倍角，5α是5α2的倍角．( ) (2)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角．( ) (3)存在角α，使得sin 2α＝2sin α成立．( ) (4)对于任意角α，总有tan 2α＝2tan α1－tan 2α.( )答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)×已知sin α＝35，cos α＝45，则sin 2α等于( )A.75 B.125 C.1225 D.2425答案：D计算1－2sin 222.5°的结果等于( ) A.12 B.22 C.33D.32 答案：B已知tan α＝43，则tan 2α＝________．答案：－247给角求值求下列各式的值． (1)sin π8cos π8；(2)cos 2π6－sin 2π6；(3)2tan 150°1－tan 2150°； (4)cos π5cos 2π5.【解】 (1)sin π8cos π8＝12×2sin π8cos π8＝12×sin π4＝12×22＝24.(2)cos2π6－sin2π6＝cos⎝⎛⎭⎫2×π6＝cosπ3＝12.(3)原式＝tan(2×150°)＝tan 300°＝tan(360°－60°)＝－tan 60°＝－ 3.(4)原式＝2sinπ5cosπ5cos2π52sinπ5＝sin2π5cos2π52sinπ5＝sin4π54sinπ5＝sinπ54sinπ5＝14.给角求值问题的两类解法(1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式进行转化，一般可以化为特殊角．(2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式．1．cos4π12－sin4π12等于()A．－12B．－32C.12 D.32解析：选D.原式＝⎝⎛⎭⎫cos2π12－sin2π12⎝⎛⎭⎫cos2π12＋sin2π12＝cos π6＝32.2．求下列各式的值．(1)tan 30°1－tan2 30°；(2)1sin 10°－3cos 10°.解：(1)tan 30°1－tan230°＝12×2tan 30°1－tan230°＝12tan 60°＝32.(2)原式＝cos 10°－3sin 10°sin 10°cos 10°＝2⎝⎛⎭⎫12cos 10°－32sin 10°sin 10°cos 10°＝4（sin 30°cos 10°－cos 30°sin 10°）2sin 10°cos 10°＝4sin （30°－10°）sin （2×10°）＝4sin 20°sin 20°＝4.给值求值已知cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝35，π2≤α＜3π2，求cos(2α＋π4)的值． 【解】 因为π2≤α＜3π2，所以3π4≤α＋π4＜7π4.因为cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4>0，所以3π2<α＋π4<7π4. 所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝－1－cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4 ＝－1－⎝⎛⎭⎫352＝－45. 所以cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π2 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4 ＝2×⎝⎛⎭⎫－45×35＝－2425， sin 2α＝－cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π2＝1－2cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4 ＝1－2×⎝⎛⎭⎫352＝725.所以cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＝22cos 2α－22sin 2α ＝22×⎝⎛⎭⎫－2425－725＝－31250.三角函数求值问题的一般思路(1)一是对题设条件变形，将题设条件中的角、函数名向结论中的角、函数名靠拢；另一种是对结论变形，将结论中的角、函数名向题设条件中的角、函数名靠拢，以便将题设条件代入结论．(2)注意几种公式的灵活应用，如： ①sin 2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π4－x ＝2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－x －1＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎫π4－x ； ②cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π4－x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－x cos ⎝⎛⎭⎫π4－x .1．已知x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，cos x ＝45，则tan 2x ＝( ) A.724 B ．－724 C.247D ．－247解析：选D.由cos x ＝45，x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，0， 得sin x ＝－35，所以tan x ＝－34，所以tan 2x ＝2tan x1－tan 2x ＝2×⎝⎛⎭⎫－341－⎝⎛⎭⎫－342＝－247，故选D.2．若α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且3cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α，则sin 2α的值为( )A.118 B ．－118 C.1718D ．－1718解析：选 D.cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－2α＝sin 2⎝⎛⎭⎫π4－α＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－αcos ⎝⎛⎭⎫π4－α，代入原式，得6sin ⎝⎛⎭⎫π4－α·cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α.因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝16，所以sin 2α＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2α＝2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α－1＝－1718.化简与证明(1)化简2cos 2α－12tan ⎝⎛⎭⎫π4－αsin 2⎝⎛⎭⎫π4＋α；(2)证明tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α－tan ⎝⎛⎭⎫π4－α＝2tan 2α. 【解】 (1)原式＝cos 2α2tan ⎝⎛⎭⎫π4－αcos 2⎝⎛⎭⎫π2－π4－α＝cos 2α2tan ⎝⎛⎭⎫π4－αcos 2⎝⎛⎭⎫π4－α＝cos 2α2sin ⎝⎛⎭⎫π4－αcos ⎝⎛⎭⎫π4－α ＝cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫2×π4－2α ＝cos 2αcos 2α＝1. (2)证明：法一：左边＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋αcos ⎝⎛⎭⎫π4＋α－sin ⎝⎛⎭⎫π4－αcos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋αcos ⎝⎛⎭⎫π4－α－sin ⎝⎛⎭⎫π4－αcos ⎝⎛⎭⎫π4＋αcos ⎝⎛⎭⎫π4＋αcos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α－π4＋αcos ⎝⎛⎭⎫π4＋αsin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝sin 2α12sin ⎝⎛⎭⎫π2＋2α＝2sin 2αcos 2α＝2tan 2α＝右边．所以等式成立．法二：左边＝1＋tan α1－tan α－1－tan α1＋tan α＝4tan α1－tan 2α＝2tan 2α＝右边．故原式成立．三角函数式的化简与证明(1)化简的方法①弦切互化，异名化同名，异角化同角；②降幂或升幂；③一个重要结论：(sin θ±cos θ)2＝1±sin 2θ.(2)证明三角恒等式的方法①从复杂的一边入手，证明一边等于另一边；②比较法，左边－右边＝0，左边右边＝1；③分析法，从要证明的等式出发，一步步寻找等式成立的条件．1．若α为第三象限角，则1＋cos 2αcos α－1－cos 2αsin α＝________．解析：因为α为第三象限角，所以cos α＜0，sin α＜0， 所以1＋cos 2αcos α－1－cos 2αsin α＝2cos 2αcos α－2sin 2αsin α＝－2cos αcos α－－2sin αsin α＝0.答案：02．求证：4sin αcos α1＋cos 2α·cos 2αcos 2α－sin 2α＝tan 2α.证明：左边＝2sin 2α2cos 2α·cos 2αcos 2α＝tan 2α＝右边．1．已知sin α＝3cos α，那么tan 2α的值为( ) A ．2 B ．－2 C.34D ．－34解析：选D.因为sin α＝3cos α，所以tan α＝3， 所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×31－32＝－34.2．已知sin θ2＋cos θ2＝233，那么sin θ＝________，cos 2θ＝________．解析：因为sin θ2＋cos θ2＝233，所以⎝⎛⎭⎫sin θ2＋cos θ22＝43， 即1＋2sin θ2cos θ2＝43，所以sin θ＝13，所以cos 2θ＝1－2sin 2θ＝1－2×⎝⎛⎭⎫132＝79. 答案：13 793．已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝55. (1)求sin 2α，cos 2α的值； (2)求cos ⎝⎛⎭⎫5π6－2α的值． 解：(1)因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝55， 所以cos α＝－1－sin 2α＝－255.sin 2α＝2sin αcos α＝2×55×⎝⎛⎭⎫－255＝－45， cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝⎛⎭⎫552＝35. (2)由(1)知cos ⎝⎛⎭⎫5π6－2α＝cos 5π6cos 2α＋sin 5π6sin 2α ＝⎝⎛⎭⎫－32×35＋12×⎝⎛⎭⎫－45 ＝－4＋3310.[A 基础达标]1．已知sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝35，则cos ⎝⎛⎭⎫π2－2x 的值为( )A.1925 B.1625 C.1425D.725解析：选D.因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝35，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝725.2．已知sin α＝55，则cos 4α－sin 4α的值为( ) A ．－35B ．－15C.15D.35解析：选D.cos 4α－sin 4α＝(cos 2α＋sin 2α)(cos 2α－sin 2α)＝cos 2α＝1－2sin 2α＝1－25＝35.3．设－3π<α<－5π2，化简1－cos （α－π）2的结果是( )A ．sin α2B ．cos α2C ．－cos α2D ．－sin α2解析：选C.因为－3π<α<－5π2，－3π2<α2<－5π4，所以1－cos （α－π）2＝1＋cos α2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2.4．已知cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝－13，则sin(－3π＋2α)＝( )A.79 B ．－79C.35D ．－35解析：选A.易得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π2＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4－1＝2×⎝⎛⎭⎫－132－1＝－79.又cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α－π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝sin 2α，所以sin(－3π＋2α)＝sin(π＋2α)＝－sin 2α＝－⎝⎛⎭⎫－79＝79.故选A. 5．化简tan 14°1－tan 214°·cos 28°的结果为( )A.sin 28°2B ．sin 28°C ．2sin 28°D ．sin 14°cos 28°解析：选A.tan 14°1－tan 214°·cos 28°＝12×2tan 14°1－tan 214°·cos 28°＝12tan 28°·cos 28°＝sin 28°2，故选A.6．已知sin α－2cos α＝0，则tan 2α＝________． 解析：由sin α－2cos α＝0，得tan α＝sin αcos α＝2，tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×21－22＝－43. 答案：－437．已知tan α＝－13，则sin 2α－cos 2α1＋cos 2α＝________．解析：sin 2α－cos 2α1＋cos 2α＝2sin αcos α－cos 2α1＋2cos 2α－1＝2sin αcos α－cos 2α2cos 2α＝tan α－12＝－56.答案：－568.1－2sin 20°cos 20°2cos 210°－1－cos 2160°－1＝________．解析：1－2sin 20°cos 20°2cos 210°－1－cos 2160°－1＝（cos 20°－sin 20°）2cos 20°－sin 20°＝cos 20°－sin 20°cos 20°－sin 20°＝1.答案：19．已知sin 2α＝513，π4<α<π2，求sin 4α，cos 4α的值．解：由π4<α<π2，得π2<2α<π. 因为sin 2α＝513，所以cos 2α＝－1－sin 22α＝－1－⎝⎛⎭⎫5132＝－1213. 于是sin 4α＝2sin 2αcos 2α＝2×513×⎝⎛⎭⎫－1213＝－120169； cos 4α＝1－2sin 22α＝1－2×⎝⎛⎭⎫5132＝119169. 10．已知π2<α<π，sin α＝45. (1)求tan 2α的值；(2)求cos ⎝⎛⎭⎫2α－π4的值． 解：(1)由题意得cos α＝－35， 所以tan α＝－43， 所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－831－169＝247. (2)因为sin α＝45，所以cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝⎛⎭⎫452＝－725， sin 2α＝2sin α·cos α＝2×45×⎝⎛⎭⎫－35＝－2425. 所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α－π4＝cos 2α·cos π4＋sin 2α·sin π4＝⎝⎛⎭⎫－725×22＋⎝⎛⎭⎫－2425×22＝－31250. [B 能力提升]11．已知tan x ＝2，则tan ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π4等于( ) A.43B ．－43 C.34 D ．－34解析：选C.tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4 ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝－cos 2x sin 2x ＝－1tan 2x＝－1－tan 2x 2tan x ＝4－12×2＝34. 12．已知θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，1sin θ＋1cos θ＝22，则sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π3＝________． 解析：1sin θ＋1cos θ＝22⇒sin θ＋cos θsin θcos θ＝22 ⇒sin θ＋cos θ＝22sin θcos θ⇒1＋sin 2θ＝2sin 22θ，因为θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以2θ∈(π，2π)， 所以sin 2θ＝－12，所以sin θ＋cos θ<0， 所以θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π，所以2θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π， 所以cos 2θ＝32，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π3＝sin 2θ·cos π3＋sin π3cos 2θ＝12. 答案：1213．已知sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝513，0<x <π4，求cos 2x cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x 的值． 解：因为0<x <π4，所以0<π4－x <π4. 又因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝513， 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝1213. 因为cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ， 所以cos 2x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝2413. 14．(选做题)已知sin x 2－2cos x 2＝0. (1)求tan x 的值；(2)求cos 2xcos ⎝⎛⎭⎫5π4＋x sin （π＋x ）的值．解：(1)由sin x 2－2cos x 2＝0， 知cos x 2≠0，所以tan x 2＝2， 所以tan x ＝2tan x 21－tan 2 x 2＝2×21－22＝－43. (2)由(1)知tan x ＝－43， 所以cos 2x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4＋x sin （π＋x ） ＝cos 2x－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x （－sin x ） ＝cos 2x －sin 2x ⎝⎛⎭⎫22cos x －22sin x sin x ＝（cos x －sin x ）（cos x ＋sin x ）22（cos x －sin x ）sin x ＝2×cos x ＋sin x sin x＝2×1＋tan x tan x ＝24.。
高一数学必修4： 二倍角的正弦、余弦、正切公式
能 力 提 升一、选择题1．(2013·长沙模拟)若cos2αsin (α－π4)＝－22，则cos α＋sin α的值为( )A ．－72 B ．－12 C.12 D.72[答案] C[解析] cos2αsin (α－π4)＝cos 2α－sin 2α22(sin α－cos α) ＝(cos α＋sin α)(cos α－sin α)22(sin α－cos α)＝－2(cos α＋sin α)＝－22. ∴sin α＋cos α＝12.2．已知sin θ＝45，sin θcos θ<0，则sin2θ的值为( ) A ．－2425 B ．－1225 C ．－45 D.2425 [答案] A[解析] ∵sin θ＝45>0，sin θcos θ<0， ∴cos θ<0.∴cos θ＝－1－sin 2θ＝－35.∴sin2θ＝2sin θcos θ＝－2425.3．若x ＝π12，则cos 2x －sin 2x 的值等于( ) A.14 B.12 C.22 D.32[答案] D[解析] 当x ＝π12时，cos 2x －sin 2x ＝cos2x ＝cos(2×π12)＝cos π6＝32.4．(2013·济南模拟)已知cos2θ＝23，则sin 4θ＋cos 4θ的值为( ) A.1318 B.1118 C.79 D ．－1 [答案] B[解析] sin 4θ＋cos 4θ＝(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ ＝1－12sin 22θ＝1－12(1－cos 22θ)＝1118.5．已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θ，12的模为22，则cos2θ等于( ) A.2－32 B ．－14 C ．－12 D.12 [答案] C[解析] |a |＝cos 2θ＋14＝22，则cos 2θ＝14，所以cos2θ＝2cos 2θ－1＝－12.6．(2013·新课标Ⅱ文)已知sin2α＝23，则cos 2(α＋π4)＝( ) A.16 B.13 C.12 D.23[答案] A[解析] 本题考查半角公式及诱导公式．由倍角公式可得，cos 2(2＋π4)＝1＋cos (2α＋π2)2＝1－sin2α2＝1－232＝16，故选A.二、填空题7．在△ABC 中，cos A ＝513，则sin2A ＝________. [答案] 120169[解析] ∵0<A <π，∴sin A ＝1－cos 2A ＝1213.∴sin2A ＝2sin A cos A ＝120169.8．(2013山东师大附中模拟)若α∈(0，π2)，且sin 2α＋cos2α＝14，则tan α的值等于________．[答案]3[解析] 由sin 2α＋cos2α＝14得sin 2α＋1－2sin 2α＝1－sin 2α＝cos 2α＝14.∵α∈(0，π2)，∴cos α＝12，∴α＝π3，∴tan α＝tan π3＝ 3.9．2002年北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形接成的一个大正方形(如图)．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么cos2θ的值等于________．[答案] 725[解析] 设直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，则有4×⎝ ⎛⎭⎪⎫12ab ＋1＝25，∴ab ＝12.又a 2＋b 2＝25，即直角三角形的斜边c ＝5.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝12，a 2＋b 2＝25，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝3，∴cos θ＝45.∴cos2θ＝2cos 2θ－1＝725. 三、解答题10．已知sin(π4－x )＝513，0<x <π4，求cos2xcos (π4＋x )的值． [解析] 原式＝sin (π2＋2x )cos (π4＋x )＝2sin (π4＋x )·cos (π4＋x )cos (π4＋x )＝2sin(π4＋x )．∵sin(π4－x )＝cos(π4＋x )＝513， 且0<x <π4， ∴π4＋x ∈(π4，π2)， ∴sin(π4＋x )＝1－cos 2(π4＋x )＝1213.∴原式＝2×1213＝2413.11．已知cos(x －π4)＝210，x ∈(π2，3π4)． (1)求sin x 的值． (2)求sin(2x ＋π3)的值． [解析] (1)因为x ∈(π2，3π4)， 所以x －π4∈(π4，π2)，于是sin(x －π4)＝1－cos 2(x －π4)＝7210，则sin x ＝sin[(x －π4)＋π4] ＝sin(x －π4)cos π4＋cos(x －π4)sin π4 ＝7210×22＋210×22＝45. (2)因为x ∈(π2，3π4)， 故cos x ＝－1－sin 2x ＝－1－(45)2＝－35，sin2x ＝2sin x cos x ＝－2425，cos2x ＝2cos 2x －1＝－725，所以sin(2x ＋π3)＝sin2x cos π3＋cos2x sin π3＝－24＋7350.12．设函数f (x )＝2cos x sin(x ＋π3)－3sin 2x ＋sin x cos x ，当x ∈[0，π2]时，求f (x )的最大值和最小值．[解析] f (x )＝2cos x (12sin x ＋32cos x )－3sin 2x ＋sin x cos x ＝2sin x cos x ＋3(cos 2x －sin 2x )＝sin2x ＋3cos2x ＝2sin(2x ＋π3)． ∵x ∈[0，π2]，∴2x ＋π3∈[π3，4π3]， ∴－32≤sin(2x ＋π3)≤1， 从而－3≤f (x )≤2π2]时，f(x)max＝2，f(x)min＝－ 3.故当x∈[0，。
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