偶函数讲课 PPT课件
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函数奇偶性的概念 课件
2
综上可知，a＝b＝1，c＝0.
【互动探究】若将题2中奇函数改为偶函数，f(2)<3改为
f(2)<6，求a,b,c的值.
【解析】∵函数 f x＝(aax2,b,1c∈Z)是偶函数，
bx c
∴f(－x)=f(x)，故 ax2 1 ＝即ax－2 b1x，+c=bx+c，故b=0，f(x)=
－bx c bx c
方法二：画出函数图象如下: 由图象关于原点对称知为奇函数.
【拓展提升】 1.判断函数奇偶性的两个方法 方法一,定义法:利用函数奇偶性的定义判断. 方法二,图象法:利用奇、偶函数图象的对称性来判断. 2.定义法判断函数奇偶性的步骤 (1)首先看定义域是否关于原点对称. (2)判定f(x)与f(－x)的关系. (3)利用定义下结论.
二、偶函数、奇函数图象的特征 1.偶函数图象的特征：关于_y_轴对称; 2.奇函数图象的特征：关于_原__点__对称.
类型 一 判定函数的奇偶性
【典型例题】
1.设定义在R上的函数f(x)= x ，则f(x)( )
A.是奇函数，又是增函数
B.是偶函数，又是增函数
C.是奇函数，又是减函数
D.是偶函数，但不是减函数
应用二:求函数最值、单调性问题 函数的奇偶性反映到图象上是图象的对称性,可以利用图象解 决关于原点对称的区间上的函数值的有关问题,也可以解决关 于原点对称的区间上的函数的单调性问题,同时可以简化解题 过程.
类型 三 利用函数的奇偶性求参数值
【典型例题】
1.若函数f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函数，定义域为［a-1,2a］,
【解析】1.因为定义域为［a-1,2a］关于原点对称，
所以a-1+2a=0，所以a1=.
综上可知，a＝b＝1，c＝0.
【互动探究】若将题2中奇函数改为偶函数，f(2)<3改为
f(2)<6，求a,b,c的值.
【解析】∵函数 f x＝(aax2,b,1c∈Z)是偶函数，
bx c
∴f(－x)=f(x)，故 ax2 1 ＝即ax－2 b1x，+c=bx+c，故b=0，f(x)=
－bx c bx c
方法二：画出函数图象如下: 由图象关于原点对称知为奇函数.
【拓展提升】 1.判断函数奇偶性的两个方法 方法一,定义法:利用函数奇偶性的定义判断. 方法二,图象法:利用奇、偶函数图象的对称性来判断. 2.定义法判断函数奇偶性的步骤 (1)首先看定义域是否关于原点对称. (2)判定f(x)与f(－x)的关系. (3)利用定义下结论.
二、偶函数、奇函数图象的特征 1.偶函数图象的特征：关于_y_轴对称; 2.奇函数图象的特征：关于_原__点__对称.
类型 一 判定函数的奇偶性
【典型例题】
1.设定义在R上的函数f(x)= x ，则f(x)( )
A.是奇函数，又是增函数
B.是偶函数，又是增函数
C.是奇函数，又是减函数
D.是偶函数，但不是减函数
应用二:求函数最值、单调性问题 函数的奇偶性反映到图象上是图象的对称性,可以利用图象解 决关于原点对称的区间上的函数值的有关问题,也可以解决关 于原点对称的区间上的函数的单调性问题,同时可以简化解题 过程.
类型 三 利用函数的奇偶性求参数值
【典型例题】
1.若函数f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函数，定义域为［a-1,2a］,
【解析】1.因为定义域为［a-1,2a］关于原点对称，
所以a-1+2a=0，所以a1=.
偶函数的定义与性质PPT课件
x
P' (2,4) 2
P'( x , x2)
4
P2 (2,4)
x2
P(x , x2)
f (x) x
f x x2
特征 1.定义域关于原点对称；
： 2. f x f x
一、偶函数
1、偶函数的定义：
一般地，如果对于函数f(x)的定
任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶
函数（even function）。
注意：定义域关于原点对称
2、偶函数的性质 A、偶函数图象关于y轴对称，反之亦然； B、偶函数在关于原点对称的两个区间上，单调性相反。
二、例题剖析
例1. 判断函数下列函数是否为偶函数？
(1) f x 2x2 1; x [2,2); (2) f x x3 x2.
解：(1)由于f x 2x2 1的定义域为 2,2
§1.3.2 偶函数的定义与性质
• 观察下列函数的图象，从图象对称的角度把这些函数图象分 类：
y f (x) x2
y f (x) | x |
y f (x) 1
| x|
x O
(1) y f (x) x x
(4)
x O
(2)
y f (x) x3 x
O (5)
x O
(3)
y f x x 1
x O
P1 (1,1)
1
x
P' (2,4) 2
P'( x , x2)
4
P2 (2,4)
x2
P(x , x2)
y
P'(x, x )
P' 2
2,2
P' 1
1,1
x
《函数的奇偶性》函数 PPT教学课件
∴f(x)是偶函数.
解:(1)∵由
课堂篇
探究学习
探究一
探究二
探究三
(4)设 f(x)=(x-2)
∵由
+2
-2
≥ 0,
思维辨析
当堂检测
+2
.
-2
得 x≤-2 或 x>2,
-2 ≠ 0,
∴函数的定义域为(-∞,-2]∪(2,+∞),
不关于原点对称.
∴f(x)=(x-2)
+2
既不是奇函数也不是偶函数.
课前篇
自主预习
一
二
3.做一做
(1)下列函数是偶函,2]
B.y=x3-x2
C.y=x3
D.y=x2,x∈[-1,0)∪(0,1]
答案:D
(2)下列函数中,既是奇函数又是减函数的为(
A.y=x-1
B.y=3x2
1
C.y=2
答案:D
D.y=-x|x|
)
课前篇
探究三
思维辨析
当堂检测
4.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,当x∈(-∞,0)时,f(x)=x-x4;当
x∈(0,+∞)时,f(x)=
.
解析:方法一:由于是填空题,故可采用直接代换法,将x用-x代替,
D.f(x)=x2+x4
答案:AD
当堂检测
)
课堂篇
探究学习
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
2.有下列说法:
①偶函数的图像一定与y轴相交;
②若y=f(x)是奇函数,则由f(-x)=-f(x)可知f(0)=0;
③既是奇函数也是偶函数的函数一定是f(x)=0,x∈R;
解:(1)∵由
课堂篇
探究学习
探究一
探究二
探究三
(4)设 f(x)=(x-2)
∵由
+2
-2
≥ 0,
思维辨析
当堂检测
+2
.
-2
得 x≤-2 或 x>2,
-2 ≠ 0,
∴函数的定义域为(-∞,-2]∪(2,+∞),
不关于原点对称.
∴f(x)=(x-2)
+2
既不是奇函数也不是偶函数.
课前篇
自主预习
一
二
3.做一做
(1)下列函数是偶函,2]
B.y=x3-x2
C.y=x3
D.y=x2,x∈[-1,0)∪(0,1]
答案:D
(2)下列函数中,既是奇函数又是减函数的为(
A.y=x-1
B.y=3x2
1
C.y=2
答案:D
D.y=-x|x|
)
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思维辨析
当堂检测
4.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,当x∈(-∞,0)时,f(x)=x-x4;当
x∈(0,+∞)时,f(x)=
.
解析:方法一:由于是填空题,故可采用直接代换法,将x用-x代替,
D.f(x)=x2+x4
答案:AD
当堂检测
)
课堂篇
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探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
2.有下列说法:
①偶函数的图像一定与y轴相交;
②若y=f(x)是奇函数,则由f(-x)=-f(x)可知f(0)=0;
③既是奇函数也是偶函数的函数一定是f(x)=0,x∈R;
函数的奇偶性对称性周期性课件共19张PPT
(2)已知 f (x) 是奇函数，且当 x 0 时，f (x) eax .若 f (ln 2) 8 ，则a ___-_3______.
(3)(2020·海南 8)若定义在 R 的奇函数 f(x)在(, 0) 单调递减，且 f(2)=0，则满足
xf (x 1) 0 的 x 的取值范围是（ D ）
A．13
B． 2
C．
13 2
D．123
专题三：函数的周期性
变式 5：(1)设定义在 R 上的函数 f x 满足 f x 2 f x ，若 f 1 2 ，则 f 99 _-_2__.
(2)(2022·湖北模拟)定义在 R 上的函数 f x 满足 f x 1 f x 2 ，则下列是周期函数的是 （ D ）A． y f x x B． y f x x C． y f x 2x D． y f x 2x
叫做偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I， 奇函数 都有－x∈I，且_f_(－__x_)_＝__－__f_(x_)_，那么函数f(x) 关于_原__点__对称 就叫做奇函数
复习回顾 2.周期性 (1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数 T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且_f_(_x＋__T__)＝__f_(x_)_，那么函数y＝f(x) 就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期. (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最_小___的正数， 那么这个_最__小__正__数__就叫做f(x)的最小正周期.
课堂小结
函数的性质
奇偶性
判断 求解析 求参数
对称性
轴对称： 中心对称：
周期性
求值 求解析 比较大小
祝同学们前程似锦！
函数的奇偶性和单调性1-课件
$f(x) = x^3$，满足$f(-x) = f(x)$，在全域上单调递增。
偶函数实例
$f(x) = x^2$，满足$f(-x) = f(x)$，在$x geq 0$时单调递增 。
单调性实例分析
单调递增函数实例
$f(x) = x$，在全域上单调递增。
单调递减函数实例
$f(x) = frac{1}{x}$，在$( - infty ,0)$和$(0, + infty)$上单调递减。
非奇非偶函数
定义
既不是奇函数也不是偶函数的函 数称为非奇非偶函数。
特性
非奇非偶函数的图像既不关于原点 对称也不关于y轴对称。
举例
$f(x)=x+1$是非奇非偶函数，因为 $f(-x)=-x+1neq -f(x)$且$f(-x)neq f(x)$。
02
CHAPTER
函数的单调性
单调增函数
定义
对于函数$f(x)$的定义域内的任意 $x_1$和$x_2$（$x_1 < x_2$），如 果$f(x_1) < f(x_2)$，则称函数$f(x)$ 在其定义域内单调递增。
奇偶性与单调性的综合应用
利用奇偶性和单调性判断函数的值域
根据函数的奇偶性和单调性，可以判断函数在不同区间的值域，进而确定整个函 数的值域。
利用奇偶性和单调性判断函数的极值
根据函数的奇偶性和单调性，可以判断函数在不同区间的增减性，进而确定函数 的极值点。
04
CHAPTER
实例分析
奇偶性实例分析
奇函数实例
递减。
性质
单调减函数的图像是沿x轴方向 下降的。
举例
正比例函数$y = -kx$（$k > 0$ ）和指数函数$y =
偶函数实例
$f(x) = x^2$，满足$f(-x) = f(x)$，在$x geq 0$时单调递增 。
单调性实例分析
单调递增函数实例
$f(x) = x$，在全域上单调递增。
单调递减函数实例
$f(x) = frac{1}{x}$，在$( - infty ,0)$和$(0, + infty)$上单调递减。
非奇非偶函数
定义
既不是奇函数也不是偶函数的函 数称为非奇非偶函数。
特性
非奇非偶函数的图像既不关于原点 对称也不关于y轴对称。
举例
$f(x)=x+1$是非奇非偶函数，因为 $f(-x)=-x+1neq -f(x)$且$f(-x)neq f(x)$。
02
CHAPTER
函数的单调性
单调增函数
定义
对于函数$f(x)$的定义域内的任意 $x_1$和$x_2$（$x_1 < x_2$），如 果$f(x_1) < f(x_2)$，则称函数$f(x)$ 在其定义域内单调递增。
奇偶性与单调性的综合应用
利用奇偶性和单调性判断函数的值域
根据函数的奇偶性和单调性，可以判断函数在不同区间的值域，进而确定整个函 数的值域。
利用奇偶性和单调性判断函数的极值
根据函数的奇偶性和单调性，可以判断函数在不同区间的增减性，进而确定函数 的极值点。
04
CHAPTER
实例分析
奇偶性实例分析
奇函数实例
递减。
性质
单调减函数的图像是沿x轴方向 下降的。
举例
正比例函数$y = -kx$（$k > 0$ ）和指数函数$y =
函数的奇偶性ppt课件
2.4.1函数的奇偶性
北师大版（2019）必修第一册
学习目录
PARENT CONFERENCE DIRECTORY
壹
学习目标
叁
题型突破
Learning Objectives
Breakthrough in question types
贰
探索新知
肆
当堂检测
Explore new knowledge
Classroom test
PART 01
学 习 目 标
01
学习目标
01
结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义
02
掌握函数奇偶性的判断和证明方法
03
会用奇、偶函数图象的对称性解决简单问题
PART 02
探 索 新 知
02
探索新知
情境导学
（1）这些图形是什么对称图形？
（2）对称轴分别在哪里？
02
探索新知
情境导学
（1）这些图形是什么对称图形？
关于原点对称，那么它是奇函数，如果一个函数的图象关于y轴对称，那么它是偶函数.
2.若奇函数在x＝0处有定义，则其图象一定过原点.
3.对于偶函数f(x)，我们有f(x)＝f(|x|)
02
探索新知
例2 根据定义，判断下列函数的奇偶性：
（1）f（x）＝ －2x5 ；
1
（3）h（x）＝ 2 ；
（2）g（x）＝x4＋2；
证明：根据函数关于点A(a，b)中心对称的定义，p(x，y)的对称点p′(x′，y′)有如
下等式
+′
2
= ，
+′
2
= .我们得到：x′＝2a－x，y′＝2b－y
北师大版（2019）必修第一册
学习目录
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壹
学习目标
叁
题型突破
Learning Objectives
Breakthrough in question types
贰
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肆
当堂检测
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PART 01
学 习 目 标
01
学习目标
01
结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义
02
掌握函数奇偶性的判断和证明方法
03
会用奇、偶函数图象的对称性解决简单问题
PART 02
探 索 新 知
02
探索新知
情境导学
（1）这些图形是什么对称图形？
（2）对称轴分别在哪里？
02
探索新知
情境导学
（1）这些图形是什么对称图形？
关于原点对称，那么它是奇函数，如果一个函数的图象关于y轴对称，那么它是偶函数.
2.若奇函数在x＝0处有定义，则其图象一定过原点.
3.对于偶函数f(x)，我们有f(x)＝f(|x|)
02
探索新知
例2 根据定义，判断下列函数的奇偶性：
（1）f（x）＝ －2x5 ；
1
（3）h（x）＝ 2 ；
（2）g（x）＝x4＋2；
证明：根据函数关于点A(a，b)中心对称的定义，p(x，y)的对称点p′(x′，y′)有如
下等式
+′
2
= ，
+′
2
= .我们得到：x′＝2a－x，y′＝2b－y
函数的奇偶性课件(共14张PPT)
y
则f (x) f (x) 2x
即2 f (x) 2x
2
即f (x) x
-2 o
2
x
故解集为：- 2，-1 0,1
-2
高中数学必修1同步辅导课程——函数的奇偶性
变式2：定义在R 上的函数 f (x), 对任意x, y R都有 f (x y) f (x) f ( y) 1, 且x 0时，f (x) 1, f (1) 2
f (x)单调递减，则f (1 m) f (m) 成立的 m 取值范围 是 ________。
高中数学必修1同步辅导课程——函数的奇偶性
例2：定义在 3,3 上的函数 f (x), g(x)分别为偶函数、
奇函数，图像如下，则不等式 f (x) 0的解集是：
g(x)
(_2_,_1_)__(_0_,1_) __(_2,_3_) 。
(1)求证：f (x)是R上的增函数； (2)解不等式： f (3x 1) 7; (3)求证：g(x) f (x) 1是奇函数。
高中数学必修1同步辅导课程——函数的奇偶性
课堂总结：
1：函数奇偶性的定义： “数”与“形”的特征
2：利用函数的奇偶性求值、求解析式
3：函数奇偶性与单调性的联系： “模拟图像”
题型三：奇偶性与单调性的联系：
例：已知函数 y f (x)(x 0)为奇函数，在 x 0,
上为单调增函数，且 f (1) 0 ，则不等式 f (2x 1) 0 解集为__________.
高中数学必修1同步辅导课程——函数的奇偶性
变式：定义在 2,2上的偶函数 f (x)，当x 0 时，
高中数学必修1同步辅导课程——函数的奇偶性
函数的奇偶性PPT课件
图所示，画出函数y=f(x)在y轴左边的图象.
y
0
x
两直线的位置关系
直线与直线的位置关系：
（ 1 ） 有 斜 率 的 两 直 线 l1：y=k1x+b1；l2：
y=k2x+ b2
① l1∥l 2 k1=k2 且 b1≠b2； ②l1⊥l2
k1·k2= -1；
③l1与l2相交 k1≠k2 ④l1与l2重合
x x
例如: f (3) 1 f (3) , f (1) 2 (2) f ( 1)
3
2
2
这时我们说函数 f (x) x与 f (x) 1 为奇函数．
x
那么奇函数又该如何去定义？
一般地，如果对于函数 f (x) 的定义域内任意一个x,
都有 f (x) f (x) ，那么函数 f (x) 就叫做奇函数．
定理：
⑴奇函数的图象关于原点对称，反过来， 若一个函 数的图象关于原点对称，则这个函数是奇函数；
⑵ 偶函数的图象关于y轴对称，反过来，若一个函 数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数.
例2已知函数y=f(x)是偶函数，它在y轴的右
边的图象如图所示，画出函数y=f(x)在y轴左
边的图象.
y
0
x
小结
2.3 函数的性质
——奇偶性
我们看到这两个函数的图象都关于y轴对称，而且 从刚才的演示中可以看出：当自变量x取一对相反数时， 相应的两个函数值相同．
实际上，对于函数 y x2 ，在R内任意取一个x,都
有 f (x) (x)2 x2 f (x),比如：
f (3) 9 f (3) f (1.2) 1.44 f (1.2)
点与直线的位置关系：
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2020/1/22
1
一、设疑导入，观图激趣
2020/1/22
2
故宫博物院
埃菲尔铁塔
2020/1/22
3
二、指导观察，形成概念
观察学生制作的函数图像思考以下问题：
问1：仔细观察这两个图，从对称的角度思考 他们有什么特征 ?
2020/1/22
4
二、指导观察，形成概念
课前学生利用几何画板制作两个函数图像
计算ｆ(-x) ，然后根据定义判断是否为偶函数。
(2) 如果定义域没有关于原点对称,则函数肯定是 非奇非偶函数
2020/1/22
11
例2 根据函数图像判断下列函数是否为偶函数？
y
x
答：（1）不是偶函数 （2）是偶函数
2020/1/22
四、小组讨论，综合练习
如图所示，给出了偶函数y=f(x)的局部图像，试比较f(1)与f(3)的大小
（1）f (x) 2x2 1 （2）f (x) x2 -1
（3）f (x) x
（4）f (x) x 1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
（3）该函数定义域为 x | x 0，没有关于原点对称
该函数是非奇非偶函数
定义域不关于原点对称的 函数都是非奇非偶函数
2020/1/22
10
判断函数奇偶性的方法： (1) 求出定义域，如果定义域关于原点对称，
偶函数定义：
如果对于函数ｆ(x)定义域内的任意一个x,
-x也在其定义域内
都有ｆ(-x)=ｆ(x)成立，则称函数ｆ(x)为
偶函数. 图象关于Y轴对称
2020/1/22
8
三、知识应用，巩固提高
例1、判断下列函数是否为偶函数.
（1）f (x) 2x2 1 （2）f (x) x2 -1
（3）f (x) x
y
-3 -2 -1
x
2020/1/22
五、归纳小结，布置作业
偶函数
f(x)=f(-x)
图像关于 y轴对称
2020/1/22
五、归纳小结，布置作业
请同学们打开微信，班级群里有我们的微课，练习题和作业。
微课 习题 作业
2020/1/22
15
THANK YOU
2020/1/22
16
（4）f (x) x 1
（1）函数定义域为（ ， ）
且对于任意 x （ ， ）,都有 x (,) 且f (x) 2(x)2 1 2x2 1 f (x)
该函数是偶函数
2020/1/22
9
三、知识应用，巩固提高
例1、判断下列函数是否为偶函数.
f(-x)=f(x)
问2：从数值角度研究图像的这种特征，自变量与函数值之间有何规律？
通过取值
2020/1/22
发现特征
5
二、指导观察，形成概念
课前学生利用几何画板制作两个函数图像
问3：如何用符号语言来刻画?
通过解析式给出严格证明
得出定义
2020/1/22
6
讨论法
2020/1/22
7
师生互助，得出定义
1
一、设疑导入，观图激趣
2020/1/22
2
故宫博物院
埃菲尔铁塔
2020/1/22
3
二、指导观察，形成概念
观察学生制作的函数图像思考以下问题：
问1：仔细观察这两个图，从对称的角度思考 他们有什么特征 ?
2020/1/22
4
二、指导观察，形成概念
课前学生利用几何画板制作两个函数图像
计算ｆ(-x) ，然后根据定义判断是否为偶函数。
(2) 如果定义域没有关于原点对称,则函数肯定是 非奇非偶函数
2020/1/22
11
例2 根据函数图像判断下列函数是否为偶函数？
y
x
答：（1）不是偶函数 （2）是偶函数
2020/1/22
四、小组讨论，综合练习
如图所示，给出了偶函数y=f(x)的局部图像，试比较f(1)与f(3)的大小
（1）f (x) 2x2 1 （2）f (x) x2 -1
（3）f (x) x
（4）f (x) x 1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
（3）该函数定义域为 x | x 0，没有关于原点对称
该函数是非奇非偶函数
定义域不关于原点对称的 函数都是非奇非偶函数
2020/1/22
10
判断函数奇偶性的方法： (1) 求出定义域，如果定义域关于原点对称，
偶函数定义：
如果对于函数ｆ(x)定义域内的任意一个x,
-x也在其定义域内
都有ｆ(-x)=ｆ(x)成立，则称函数ｆ(x)为
偶函数. 图象关于Y轴对称
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三、知识应用，巩固提高
例1、判断下列函数是否为偶函数.
（1）f (x) 2x2 1 （2）f (x) x2 -1
（3）f (x) x
y
-3 -2 -1
x
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五、归纳小结，布置作业
偶函数
f(x)=f(-x)
图像关于 y轴对称
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五、归纳小结，布置作业
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微课 习题 作业
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THANK YOU
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（4）f (x) x 1
（1）函数定义域为（ ， ）
且对于任意 x （ ， ）,都有 x (,) 且f (x) 2(x)2 1 2x2 1 f (x)
该函数是偶函数
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三、知识应用，巩固提高
例1、判断下列函数是否为偶函数.
f(-x)=f(x)
问2：从数值角度研究图像的这种特征，自变量与函数值之间有何规律？
通过取值
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发现特征
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二、指导观察，形成概念
课前学生利用几何画板制作两个函数图像
问3：如何用符号语言来刻画?
通过解析式给出严格证明
得出定义
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讨论法
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师生互助，得出定义