线性回归方程
环球雅思学科教师辅导讲义讲义编号：组长签字：签字日期：
＝x －1 ＝x ＋1 ＝88＋1
2
x ＝176
解析 因为x －＝174＋176＋176＋176＋178
5＝176，
y －
＝
175＋175＋176＋177＋177
5
＝176，
又y 对x 的线性回归方程表示的直线恒过点(x －，y －
)， 所以将(176,176)代入A 、B 、C 、D 中检验知选C. 答案 C
3．(2011·陕西)设(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )是变量x 和y 的
n 个样本点，直线l
是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线(如图)，以下结论中正确的是
( )．
A ．x 和y 的相关系数为直线l 的斜率
B ．x 和y 的相关系数在0到1之间
C ．当n 为偶数时，分布在l 两侧的样本点的个数一定相同
D ．直线l 过点(x －，y －
)
解析 因为相关系数是表示两个变量是否具有线性相关关系的一个值，它的 绝对值越接近1，两个变量的线性相关程度越强，所以A 、B 错误．C 中n 为偶数时，分布在l 两侧的样本点的个数可以不相同，所以C 错误．根据回 归直线方程一定经过样本中心点可知D 正确，所以选D. 答案 D
4．(2011·广东)为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间x (单位：小时)与当天投篮命中率y 之间的关系：
时间x 1 2 3 4 5 命中率y
小李这5天的平均投篮命中率为________；用线性回归分析的方法，预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率为________．
解析 小李这5天的平均投篮命中率 y －
＝错误!＝，
可求得小李这5天的平均打篮球时间x －＝3.根据表中数据可求得b ^＝，a ^
＝ ，故回归直线方程为y ^
＝＋，将x ＝6代入得6号打6小时篮球的 投篮命中率约为. 答案
5．(2011·辽宁)调查了某地若干户家庭的年收入x (单位：万元)和年饮食支出y (单位：万元)，调查显示年收入
x 与年饮食支出y 具有线性相关关系，并由调查数据得到y 对x 的回归直线方程：y ^
＝＋.由回归直线方程可知，
家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元． 解析 由题意知[(x ＋1)＋]－＋＝. 答案
6．(2011·安徽)某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：
年份 2002 2004 2006 2008 2010 需求量(万吨)
236
246
257
276
286
(1)利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^； (2)利用(1)中所求出的直线方程预测该地2012年的粮食需求量．
解 (1)由所给数据看出，年需求量与年份之间是近似直线上升的，下面求回归直线方程．为此对数据预处理如下：
年份－2006 －4 －2 0 2 4 需求量－257
－21
－11
19
29
对预处理后的数据，容易算得x －＝0，y －
＝. b ^
＝
－4×－21＋－2×－11＋2×19＋4×29－5×0×
－42＋－22＋22＋42－5×0
2
＝
26040
＝，a ^＝y －－b x －
＝3. 由上述计算结果，知所求回归直线方程为 y ^
－257＝b ^(x －2 006)＋a ^
＝(x －2 006)＋，
即y ^
＝(x －2 006)＋.
①
(2)利用直线方程①，可预测2012年的粮食需求量为 6．5×(2012－2006)＋＝×6＋＝(万吨)．
(2)求出y 关于x 的线性回归方程y ^
＝bx ＋a ，并在坐标系中画出回归直线； (3)试预测加工10个零件需要多少小时
课后练习
一、选择题
1．实验测得四组(x ，y )的值为(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)，则y 与x 之间的回归直线方程为( )
＝x ＋1 ＝x ＋2 ＝2x ＋1 ＝x －1 答案 A
解析 画出散点图，四点都在直线y ^
＝x ＋1. 2．下列有关样本相关系数的说法不正确的是( ) A ．相关系数用来衡量变量x 与y 之间的线性相关程度 B ．|r |≤1，且|r |越接近于1，相关程度越大 C ．|r |≤1，且|r |越接近0，相关程度越小 D ．|r |≥1，且|r |越接近1，相关程度越小 答案 D
3．由一组样本(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )得到的回归直线方程y ^
＝a ＋bx ，下面有四种关于回归直线方程的论述：
(1)直线y ^
＝a ＋bx 至少经过点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )中的一个点；
解析 由所提供数据可计算得出x ＝10，y ＝38，又b ≈－2代入公式a ＝y －b x 可得a ＝
58，即线性回归方程y ^
＝－2x ＋58，将x ＝6代入可得．
9．对196个接受心脏搭桥手术的病人和196个接受血管清障手术的病人进行了3年的跟踪研究，调查他们是否又发作过心脏病，调查结果如下表所示：
又发作过
心脏病 未发作过
心脏病 合计
心脏搭桥手术 39 157 196 血管清障手术
29 167 196 合计
68
324
392
试根据上述数据计算K 2＝________.
比较这两种手术对病人又发作心脏病的影响有没有差别．________. 答案
392×39×167－29×157
2
68×324×196×196
≈
不能作出这两种手术对病人又发作心脏病的影响有差别的结论 解析 提出假设H 0：两种手术对病人又发作心脏病的影响没有差别． 根据列联表中的数据，可以求得K 2
＝
392×39×167－29×157
2
68×324×196×196
≈.
当H 0成立时K 2≈，而K 2＜的概率为.所以，不能否定假设H 0.也就是不能作出这两种手术对病人又发作心脏病的影响有差别的结论．
三、解答题
10．某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了2010年12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如下表：
日期 12月1日 12月2日 12月3日 12月4日 12月5日
温差x (℃) 10 11 13 12 8 发芽数y (颗)
23
25
30
26
16
(2)求出y 关于x 的线性回归方程y ^
＝bx ＋a ，并在坐标系中画出回归直线； (3)试预测加工10个零件需要多少小时
(注：b ＝∑n
i ＝1
x i y i －n x y ∑n i ＝1x 2i －n x 2
，a ＝y －b x )
解析 (1)散点图如图．
(2)由表中数据得：∑4
i ＝1
x i y i ＝， x ＝，y ＝，∑4
i ＝1
x 2
i ＝54， ∴b ＝， ∴a ＝，
∴y ^
＝＋.
回归直线如图所示．
(3)将x ＝10代入回归直线方程，得y ^
＝×10＋＝(小时 )． ∴预测加工10个零件需要小时．
12．(2010·辽宁卷)为了比较注射A ，B 两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，选200只家兔做试验，将这200只家兔随机地分成两组，每组100只，其中一组注射药物A ，另一组注射药物B .
下表1和表2分别是注射药物A和B后的试验结果．(疱疹面积单位：mm2)
表1：注射药物A后皮肤疱疹面积的频数分布表
疱疹面积[60,65)[65,70)[70,75)[75,80)
频数30402010
表2：注射药物B后皮肤疱疹面积的频数分布表
疱疹面积[60,65)[65,70)[70,75)[75,80)[80,85)频数1025203015 (ⅰ)完成下面频率分布直方图，并比较注射两种药物后疱疹面积的中位数大小；
(ⅱ)完成下面2×2列联表，并回答能否有% 的把握认为“注射药物A后的疱疹面积与注射药物B后的疱疹面积有差异”．
表3：
疱疹面积小
于70 mm2疱疹面积不小
于70 mm2合计
注射药物A a＝b＝
注射药物B c＝d＝
合计n＝
附：K2＝
n ad－bc2
a＋b c＋d a＋c b＋d
解析(ⅰ)
可以看出注射药物A后的疱疹面积的中位数在65至70之间，而注射药物B后的疱疹面积的中位数在70至75之间，，所以注射药物A后疱疹面积的中位数小于注射药物B后疱疹面积的中位数．
(ⅱ)表3：
疱疹面积小
于70 mm2疱疹面积不小
于70 mm2合计
注射药物A a＝70b＝30100
注射药物B c＝35d＝65100
合计10595n＝200
K2＝200×70×65－35×302 100×100×105×95
≈.
由于K2＞，所以有%的把握认为“注射药物A后的疱疹面积与注射药物B后的疱疹面积有差异”．
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