2.2 函数的表示

●知识梳理1. 用描点法作函数的图像.2. 正比例函数、反比例函数、二次函数的图像及几种基本初等函数的图像.3. 图像变换与变量替换的关系 (1) 平移变换（2）对称变换：()()y f x y f x =→=-， ()y f x =-，(2)y f a x =-，1()y fx -= ，()y f x =-- ，()y f x = ，()y f x =（3）伸缩变换：()()(0)y f x y f ax a =→=> ， ()(0)y af x a =>4.作函数图像的一般步骤是：（1） 求出函数的定义域； （2） 化简函数式；（3） 讨论函数的性质（如奇偶性、周期性、单调性）以及图像上的特殊点、线（如极值点、渐近线、对称轴等）；（4） 利用基本函数的图像画出所给函数的图像。

5.函数的三种表示法（1）解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式.（2）列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系. （3）图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系. 6 、幂函数7、NIKE 函数 8、滑板函数●点击双基1.若f （sin x ）=2－cos2x ，则f （cos x ）等于 A.2－sin2x B.2+sin2x C.2－cos2x D.2+cos2x解析：∵f （sin x ）=2－（1－2sin 2x ）=1+2sin 2x ， ∴f （cos x ）=f （sin 2π－x ）=1+2sin 2（2π－x ）=1+2cos 2x =2+cos2x . 答案：D2.已知f （x x+-11）=2211xx +-，则f （x ）的解析式可取为 A.21x x+ B.－212x x+ C.212xx +D.－21xx+ 解析：令x x +-11=t ，则x =tt+-11，∴f （t ）=122+t t .∴f （x ）=122+x x. 答案：C评述：本题考查函数的定义及换元思想. 3.函数f （x ）=|x －1|的图象是解析：转化为分段函数y =⎩⎨⎧<-≥-.1,1,1,1x x x x答案：B4.函数y =22++-x x 的定义域为______________，值域为___________________. 答案：［－1，2］ ［0，23］ ●典例剖析【例1】 已知函数f （x ）=31323-+-ax ax x 的定义域是R ，则实数a 的取值范围是A.a ＞31 B.－12＜a ≤0C.－12＜a ＜0D.a ≤31 剖析：由a =0或⎩⎨⎧<-⨯-=≠,0)3(4,02a a Δa 可得－12＜a ≤0. 答案：B【例2】 在△ABC 中，BC =2，AB +AC =3，中线AD 的长为y ，AB 的长为x ，建立y 与x 的函数关系式，并指出其定义域.113-AB C D x y xq解：设∠ADC ＝θ，则∠ADB ＝π－θ.根据余弦定理得12＋y 2－2y cos θ＝（3－x ）2，① 12＋y 2－2y cos （π－θ）＝x 2.②由①＋②整理得y ＝2732+-x x . 其中⎪⎩⎪⎨⎧>+-->+>,2)3(,32,0x x x x x 解得21＜x ＜25.∴函数的定义域为（21，25）. 评述：函数的定义域是使式子有意义的自变量的取值范围，同时也要注意变量的实际意义的要求.【例3】 若函数f （x ）=cx ax ++21的值域为［－1，5］，求实数a 、c .解：由y =f （x ）=cx ax ++21，得x 2y －ax +cy －1=0.当y =0时，ax =－1，∴a ≠0.当y ≠0时，∵x ∈R ，∴Δ=a 2－4y （cy －1）≥0.∴4cy 2－4y －a 2≤0.∵－1≤y ≤5，∴－1、5是方程4cy 2－4y －a 2=0的两根.∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=.54,412ca c ∴⎪⎩⎪⎨⎧=±=.41,5c a 评述：求f （x ）=11212222c x b x a c x b x a ++++（a 12+a 22≠0）的值域时，常利用函数的定义域非空这一隐含的条件，将函数转化为方程，利用Δ≥0转化为关于函数值的不等式.求解时，要注意二次项系数为字母时要讨论.●闯关训练 夯实基础1.函数y =2211xx +-的值域是 A.［－1，1］B.（－1，1］C.［－1，1）D.（－1，1）解法一：y =2211x x +-=212x +－1.∵1+x 2≥1，∴0＜212x+≤2.∴－1＜y ≤1. 解法二：由y =2211x x +-，得x 2=y y +-11.∵x 2≥0，∴yy+-11≥0，解得－1＜y ≤1.解法三：令x =tan θ（－2π＜θ＜2π），则y =θθ22tan 1tan 1+-=cos2θ.∵－π＜2θ＜π，∴－1＜cos2θ≤1，即－1＜y ≤1.答案：B2.如果f ［f （x ）］=2x －1，则一次函数f （x ）=___________________. 解析：设f （x ）=kx +b ，则f ［f （x ）］=kf （x ）+b =k （kx +b ）+b =k 2x +kb +b . 由于该函数与y =2x －1是同一个函数， ∴k 2=2且kb +b =－1.∴k =±2. 当k =2时，b =1－2； 当k =－2时，b =1+2.答案：f （x ）=2x +1－2或f （x ）=－2x +1+23.已知f （x 2－4）=lg 822-x x ，则f （x ）的定义域为__________.解析：设x 2－4=t ，则t ≥－4，x 2=4+t . ∴f （t ）=lg44-+t t .∴f （x ）=lg 44-+t x （x ≥－4）. 由⎪⎩⎪⎨⎧-≥>-+,4,044x x x 得x ＞4. 答案：（4，+∞）4.用长为l 的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架（如下图），若矩形底边长为2x ，求此框架围成的面积y 与x 的函数关系式，并写出其定义域.D解：∵AB =2x ，则=πx ，AD =2π2xx l --. ∴y =2x ·2π2x x l --+22πx =－（2π+2）x 2+lx .由⎪⎩⎪⎨⎧-->2π2,02x x l x ＞0，解得0＜x ＜2π+l .5.已知函数f （x ）=⎩⎨⎧<-≥-),2(2),2(2x x x 则f （lg30－lg3）=___________________；不等式xf （x －1）＜10的解集是___________________.解析：f （lg30－lg3）=f （lg10）=f （1）=－2，f （x －1）=⎩⎨⎧<-≥-.32,33x x x当x ≥3时，x （x －3）＜10⇔－2＜x ＜5，故3≤x ＜5. 当x ＜3时，－2x ＜10⇔x ＞－5，故－5＜x ＜3. 总之x ∈（－5，5）.答案：－2 {x |－5＜x ＜5} 培养能力6.设定义在N 上的函数f （x ）满足f （n ）=⎩⎨⎧-+)]18([13n f f n ),2000(),2000(>≤n n 试求f （2002）的值.解：∵2002＞2000，∴f （2002）=f ［f （2002－18）］=f ［f （1984）］=f ［1984+13］=f （1997）=1997+13=2010.7.设f （x ）=1214+-x x －2x +1，已知f （m ）=2，求f （－m ）.解：∵f （m ）=2，∴1214+-m m －2m +1=2.①∴1214+-m m －2m =2－1.而f （－m ）=1214+---m m +2m +1=m m 212141⋅-+2m +1=12441+-⋅-m m m +2m +1=1241+-m m +2m +1=－1214+-m m + 2m +1=－（1214+-m m －2m ）+1=－（2－1）+1=2－2.8.（理）某市有小灵通与全球通两种手机，小灵通手机的月租费为25元，接听电话不收费，打出电话一次在3 min 以内收费0.2元，超过3 min 的部分为每分钟收费0.1元，不足1 min 按1 min 计算（以下同）.全球通手机月租费为10元，接听与打出的费用都是每分钟0.2元.若某人打出与接听次数一样多，每次接听与打出的时间在1 min 以内、1到2 min 以内、2到3 min 以内、3到4 min 以内的次数之比为4∶3∶1∶1.问，根据他的通话次数应该选择什么样的手机才能使费用最省？（注：m 到m +1 min 以内指含m min ，而不含m +1 min ）解：设小灵通每月的费用为y 1元，全球通的费用为y 2元，分别在1 min 以内、2 min 以内、3 min 以内、4 min 以内的通话次数为4x 、3x 、x 、x ，则y 1=25+（4x +3x +x +x ）×0.2+0.1x =25+1.9x ，y 2=10+2（0.2×4x +0.4×3x +0.6x +0.8x ）=10+6.8x . 令y 1≥y 2，即25+1.9x ≥10+6.8x ，解得x ≤9.415≈3.06. ∴总次数为（4+3+1+1）×2×3.06=55.1.故当他每月的通话次数小于等于55次时，应选择全球通，大于55次时应选择小灵通.（文）定义“符号函数”f （x ）=sgn x =⎪⎩⎪⎨⎧<-=>,01,00,01x x x 则不等式x +2＞（x －2）sgn x 的解集是______________.解析：分类讨论. 答案：（－5，+∞）探究创新9.图①是某公共汽车线路收支差额y 元与乘客量x 的图象.-2010 A B O x (人) (元)(元)(元)O x (人) y y y -10-20A B 5 10 20O x (人) -205 10 20① ② ③（1）试说明图①上点A 、点B 以及射线AB 上的点的实际意义.（2）由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为赢的建议，如图②③所示.你能根据图象，说明这两种建议的意义吗？解：（1）点A 表示无人乘车时收入差额为－20元，点B 表示有10人乘车时收入差额为0元，线段AB 上的点表示亏损，AB 延长线上的点表示赢利.（2）图②的建议是降低成本，票价不变，图③的建议是增加票价. 深化拓展（1）图①、图②中的票价是多少元？图③中的票价是多少元？ （2）此问题中直线斜率的实际意义是什么？ 答案：（1）图①②中的票价是2元. 图（3）中的票价是4元. （2）斜率表示票价.●思悟小结1.并不是所有的函数关系都可以用解析式来表示，函数还有另外两种表示方法：列表法、图象法.2.求函数解析式的方法一般有待定系数法和换元法.如果已知函数式的构造模式，可用待定系数法；如果已知复合函数f ［g （x ）］的表达式来求f （x ），常用换元法；当已知表达式较简单时，甚至可直接用凑配法求解.3.要熟悉求函数值域的几种基本方法，遇到求值域的问题，应优先考虑采用特殊方法，如不等式法、配方法、几何法、换元法等.当特殊方法不易解决时，再采用一般方法如方程法求解.如一题可有多种方法解决时，应注意选择最优解法.拓展题例【例题】 已知扇形的周长为10，求扇形半径r 与面积S 的函数关系式及此函数的定义域、值域. 解：设扇形的弧长为l ，则l =10－2r ，∴S =21lr =（5－r ）r =－r 2+5r . 由⎪⎩⎪⎨⎧<>>,π2,0,0r l l r 得1+π5＜r ＜5. ∴S =－r 2+5r 的定义域为（1+π5，5）. 又S =－r 2+5r =－（r －25）2+425且r =25∈（1+π5，π）， ∴当r =25时，S 最大=425.又S ＞－52+5×5=0，∴S =－r 2+5r ，r ∈（1+π5，5）的值域为（0，425］.。